Ảnh hưởng của phonon giam cầm lên hiệu ứng radio – điện trong hố lượng tử với cơ chế tán xạ điện tử phonon âm
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.57 MB, 60 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
--------------------------------
Nguyễn Thị Thanh Huyền
ẢNH HƢỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM LÊN HIỆU
ỨNG RADIO – ĐIỆN TRONG HỐ LƢỢNG TỬ VỚI
CƠ CHẾ TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON ÂM
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
Hà Nội – 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
--------------------------------
Nguyễn Thị Thanh Huyền
ẢNH HƢỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM LÊN HIỆU
ỨNG RADIO – ĐIỆN TRONG HỐ LƢỢNG TỬ VỚI
CƠ CHẾ TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON ÂM
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 60440103
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. NGUYỄN VŨ NHÂN
Hà Nội – 2015
LỜI CẢM ƠN
Trước hết, em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến PGS.TS
NGUYỄN VŨ NHÂN - Người đã hướng dẫn và chỉ đạo tận tình cho em trong
quá trình thực hiện luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ và dạy bảo tận tình của các thầy cô giáo
trong bộ môn Vật lí lý thuyết – Khoa Vật Lí – trường Đại học Khoa học Tự nhiên –
Đại học Quốc gia Hà Nội trong suốt thời gian vừa qua, để em có thể học tập và
hoàn thành luận văn này một cách tốt nhất.
Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện của ban chủ nhiệm
khoa Vật Lí, phòng sau đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc
gia Hà Nội.
Em cũng gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên em
trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1
Chƣơng 1: HỐ LƢỢNG TỬ VÀ LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG
RADIO ĐIỆN TRONG BÁN DẪN KHỐI ..............................................................4
1.1. Khái niệm về hố lượng tử ...................................................................................4
1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử giam cầm trong hố lượng tử với hố
thế cao vô hạn.. ……………………………………………………………………...4
1.3. Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng radio điện trong bán dẫn khối ..........................5
Chƣơng 2: PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ CHO ĐIỆN TỬ VÀ HIỆU
ỨNG
RADIO ĐIỆN TRONG HỐ LƢỢNG TỬ VỚI HỐ THẾ CAO VÔ
HẠN DƢỚI ẢNH HƢỞNG CỦA PHONON ÂM GIAM CẦM .........................11
2.1. Hamiltonion của điện tử - phonon trong hố lượng tử với hố thế cao vô hạn .....11
2.2. Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong hố lượng tử ..............12
2.3. Biểu thức mật độ dòng toàn phần qua hố lượng tử ............................................25
Chƣơng 3: TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ KẾT QUẢ LÝ THUYẾT CHO
HỐ LƢỢNG TỬ VỚI HỐ THẾ CAO VÔ HẠN..................................................41
3.1. Sự phụ thuộc của thành phần E0x vào tần số Ω của bức xạ ...............................42
3.2. Sự phụ thuộc của thành phần E0x vào tần số ω của trường điện từ phân cực
thẳng…. ............................................................................................................…….43
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................45
PHỤ LỤC .................................................................................................................46
DANH MỤC BẢNG BIỂU
Trang
Bảng 3.1……………………………………………………………………………43
DANH MỤC HÌNH VẼ
Trang
Hình 3.1…………………………………………………………………………….44
Hình 3.2…………………………………………………………………………….45
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay người ta đã biết bức xạ laser có thể ảnh hưởng đến độ dẫn điện và
hiệu ứng động khác trong các chất bán dẫn khối vì không chỉ thay đổi nồng độ hạt
tải hay nhiệt độ electron mà còn làm thay đổi xác suất tán xạ của electron bởi
phonon hoặc các tạp. Người ta cũng chỉ ra rằng không những có thể thay đổi độ lớn
của những hiệu ứng mà còn mở rộng phạm vi tồn tại của chúng.
Thời gian gần đây vật lý bán dẫn thấp chiều ngày càng dành được nhiều sự
quan tâm nghiên cứu. Việc chuyển từ hệ các bán dẫn khối thông thường sang các hệ
thấp chiều hơn đã làm thay đổi nhiều tính chất vật lý, trong đó có tính chất quang
của vật liệu. Việc nghiên cứu kĩ hơn các hệ hai chiều như: hố lượng tử, siêu mạng
pha tạp, siêu mạng hợp phần…nhận được sự quan tâm của các nhà khoa học trong
và ngoài nước. Trong các vật liệu thấp chiều, hầu hết các tính chất vật lý của điện tử
thay đổi có nhiều tính chất khác lạ so với vật liệu khối ( gọi là hiệu ứng giảm kích
thước). Với hệ thấp chiều có trúc nano, các quy luật lượng tử bắt đầu có hiệu lực,
trươc hết là sự thay đổi phổ năng lượng. Phổ năng lượng của điện tử trở thành gián
đoạn theo hướng tọa độ bị giới hạn. Vì vậy vật liệu bán dẫn xuất hiện nhiều đặc tính
mới, hiệu ứng mới mà hệ điện tử ba chiều không có.
Ở bán dẫn khối, các điện tử có thể chyển động trong toàn mạng tinh thể ( cấu
trúc ba chiều), nhưng ở các hệ thấp chiều chuyển động của điện tử sẽ bị giới hạn
nghiêm ngặt dọc theo một hoặc hai, ba trục tọa độ. Phổ năng lượng của các hạt tải
bị gián đoạn theo các phương giới hạn này. Sư lượng tử hóa phổ năng lượng của hạt
tải dẫn đến sự thay dổi cơ bản của các vật liệu như hàm phân bố, mật độ trạng thái,
mật độ dòng, tương tác điện tử-phonon…Nghĩa là sự chuyển đổi từ hệ ba chiều
sang hệ hai chiều, một chiều hay không chiều đã làm thay đổi đáng kể những tính
chất của hệ.
Cho tới nay, các công trình trong nước và quốc tế về nghiên cứu lý thuyết các
hệ thấp chiều khá phong phú. Gần đây đã có một số công trình nghiên cứu về ảnh
hưởng sóng điện từ mạnh ( trường bức xạ laser) lên hiệu ứng radio điện bởi điện tử
giam cầm trong các bán dẫn thấp chiều đã được công bố. Tuy nhiên, bài toán về
Hiệu ứng radio-điện trong hố lượng tử vẫn còn mới mẻ, các tác giả mới chỉ nghiên
1
cứu về ảnh hưởng sóng điện từ mạnh (trường bức xạ laser) lên hiệu ứng radio-điện
bởi điện tử giam cầm chứ chưa kể đến được ảnh hưởng của phonon giam cầm. Vì
vậy, trong luận văn này, tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu: “Ảnh hƣởng của phonon
giam cầm lên hiệu ứng radio-điện trong hố lƣợng tử với cơ chế tán xạ điện tử phonon âm”
2. Phƣơng pháp nghiên cứu
Đối với bài toán về hiệu ứng radio-điện trong hố lượng tử, tôi sử dụng phương
pháp phương trình động lượng tử : Đây là phương pháp được sử dụng rộng rãi khi
nghiên cứu các hệ bán dẫn thấp chiều, đạt hiệu quả cao và cho kết quả có ý nghĩa
khoa học nhất định. Từ Hamilton của hệ điện tử - phonon âm trong biểu diễn lượng
tử hóa lần hai ta xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong
hố lượng tử, sau đó áp dụng phương trình động lượng tử để tính mật độ dòng hạt tải,
cuối cùng suy ra biểu thức giải tích của cường độ điện trường.
Ngoài ra còn sử dụng chương trình Matlab để có được các kết quả tính toán số
và đồ thị sự phụ thuộc của cường độ điện trường vào tần số của bức xạ.
Kết quả chính của luận văn là thiết lập được biểu thức giải tích của cường độ
điện trường trong hố lượng tử khi có thêm sóng điện từ mạnh (laser) dưới ảnh
hưởng của phonon quang giam cầm. Biểu thức này chỉ ra rằng cường độ điện
trường phụ thuộc phức tạp và không tuyến tính vào tần số ω, Ω của sóng điện từ,
nhiệt độ T của hệ và tham số của hố lượng tử.
3. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết thúc, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn có 3
chương, cụ thể :
Chương 1: Hố lượng tử và lý thuyết lượng tử về hiệu ứng radioelectric trong bán
dẫn khối.
Chương 2: Phương trình động lượng tử và hiệu ứng radio điện trong hố lượng tử với
hố thế cao vô hạn dưới ảnh hưởng của phonon âm giam cầm.
Chương 3: Tính số và vẽ đồ thị kết quả lý thuyết.
Các kết quả chính của luận văn chứa đựng trong chương 2 và chương 3, trong
đó đáng lưu ý chúng ta đã thu được biểu thức giải tích của trường điện từ trong hố
lượng tử (cơ chế tán xạ điện tử – phonon âm) có kể đến ảnh hưởng của phonon
2
giam cầm. Các kết quả thu được đã chứng tỏ ảnh hưởng của phonon giam cầm lên
hiệu ứng radio điện trong hố lượng tử (cơ chế tán xạ điện tử - phonon âm). Đồng
thời luận văn cũng đã thực hiện việc tính số và vẽ đồ thị cho hố lượng tử
GaAs/GaAsAl để làm rõ hơn hiệu ứng radio-điện trong hố lượng tử khi có kể đến
sự giam cầm phonon. Các kết quả thu được trong luận văn là mới và có giá trị khoa
học, góp phần vào phát triển lý thuyết về hiệu ứng radio – điện trong bán dẫn thấp
chiều nói chung và trong hố lượng tử nói riêng.
3
Chƣơng 1:
HỐ LƢỢNG TỬ VÀ LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG RADIO
ĐIỆN TRONG BÁN DẪN KHỐI
1.1. Khái niệm về hố lƣợng tử
Hố lượng tử (Quantum well) là một cấu trúc bán dẫn thuộc hệ điện tử chuẩn hai
chiều, được cấu tạo bởi các chất bán dẫn có hằng số mạng xấp xỉ bằng nhau, có cấu
trúc tinh thể tương đối giống nhau. Tuy nhiên, do các chất bán dẫn khác nhau có độ
rộng vùng cấm khác nhau, do đó tại các lớp tiếp xúc giữa hai loại bán dẫn khác
nhau sẽ xuất hiện dộ lệch ở vùng hóa trị và vùng dẫn. Sự khác biệt giữa cực tiểu
vùng dẫn và cực đại vùng hóa trị của các lớp bán dẫn đó gây ra một giếng thế năng
đối với các điện tử. Các hạt tải điện nằm trong mỗi lớp chất bán dẫn này không thể
xuyên qua mặt phân cách để đi đến lớp chất bán dẫn bên cạnh, hay nói một cách
khác trong các cấu trúc này các hạt tải điện bị định xứ mạnh, chúng bị cách ly lẫn
nhau trong các giếng thế năng hai chiều. Chuyền động của điện tử theo một hướng
nào đó bị giới hạn, phổ năng lượng của điện tử theo phương mà điện tử bị giới hạn
chuyển động bị lượng tử hóa, chỉ còn thành phần xung lượng của điện tử theo
phương điện tử được tự do là biến đổi liên tục.
Một tính chất quan trọng xuất hiện trong hố lượng tử do sự giam giữ điện tử là
là mật độ trạng thái đã thay đổi. Nếu như trong cấu trúc với hệ điện tử ba chiều, mật
độ trạng thái bắt đầu từ giá trị 0 và tăng theo quy luật ε1/2 ( với ε là năng lượng của
điện tử) thì trong hố lượng tử cũng như các hệ thấp chiều khác, mật độ trạng thái bắt
đầu tại một giá trị khác 0 nào đó tại trạng thái có năng lượng thấp nhất và quy luật
khác ε1/2.
Các hố thế có thể được tạo nên bằng nhiều phương pháp như epytaxy chùm
phân tử hay kết tủa hơi kim loại hóa hữu cơ (MOCVD). Cặp bán dẫn trong hố
lượng tử phải phù hợp để có chất lượng cấu trúc hố lượng tử tốt.
1.2. Hàm sóng và phổ năng lƣợng của điện tử giam cầm trong hố lƣợng tử với
hố thế cao vô hạn
Để nghiên cứu sự ảnh hưởng của phonon giam cầm lên hiệu ứng radio điện
trong hố lượng tử, ta sử dụng mô hình lý tưởng hóa hố thế hình chữ nhật, có thành
4
cao vô hạn. Giải phương trình Schrodinger cho điện tử chuyển động trong hố thế
này, ta thu được hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử có dạng:
N,p
r e
0
Với N, p
i p r
sin pzN z
2 2 2
p 2 N
2m
L
2
Trong đó :
N=1,2,3…là các chỉ số lượng tử của phổ năng lượng theo phương z
p p p z là vecto xung lượng của điện tử ( chính xác hơn là vecto sóng của điện
tử điện tử)
ΨOxy : Hệ số chuẩn hóa hàm sóng trên mặt phẳng (x,y)
m: khối lượng hiệu dụng của điên tử
L : Độ rộng của hố lượng tử
p : hình chiếu của của p trên mặt phẳng (x,y)
r : hình chiếu của của r trên mặt phẳng (x,y)
pzm
m
: là các giá trị của vectơ sóng của điện tử theo chiều z
L
Phổ năng lượng của điện tử bị giam cẩm trong hố lượng tử chỉ nhận các giá trị
năng lượng gián đoạn theo phương điện tử bị giới hạn chuyển động, không như phổ
năng lượng liên tục toàn bộ không gian như trong bán dẫn khối. Sự gián đoạn của
phổ năng lượng điện tử là đặc trưng của hệ điện tử bị giam cầm trong các hệ thấp
chiều nói chung và trong hố lượng tửu nói riêng. Sự biến đổi phổ năng lượng như
vậy gây ra những khác biệt lớn trong tất cả tính chất của điện tử ở hố lượng tử so
với các mẫu bán dẫn thông thường.
1.3. Lý thuyết lƣợng tử về hiệu ứng radio điện trong bán dẫn khối
Hiệu ứng radio điện liên quan đến việc các hạt tải tự do của sóng điện từ mang
theo cả năng lượng và xung lượng lan truyền trong vật liệu. Do đó các electron
được sinh ra với sự chuyển động có định hướng và hướng này xuất hiện một hiệu
điện thế trong điều kiện mạch hở.
Ta khảo sát hệ hạt tải của bán dẫn khối đặt trong:
+) Một trường sóng điện từ phân cực thẳng với vecto:
5
E (t ) E (e it eit )
H (t ) [n, E (t )]
Với tần số ℏω ≪ ( với là năng lượng trung bình của hạt tải) trong điện
trường không đổi E 0 ( có tác dụng định hướng chuyển động của hạt tải theo E 0 )
+) Một trường bức xạ laser : F (t ) F sin t được xem như một trường sóng điện
từ cao tần phân cực tuyến tính với Ωτ ≫1 (τ: thời gian hồi phục đặc trưng).
Dưới sự xuất hiện của 2 trường bức xạ có tần số ω và Ω sẽ làm cho chuyển
động định hướng của hạt tải theo E0 sẽ bị bất đẳng hướng . Kết quả là xuất hiện các
cường độ điện trường E0x, E0y, E0z là các thành phần của vecto cường độ điện trường
không đổi E 0 theo các trục trong điều kiện phụ thuộc vào tham số của hố lượng tử :
phổ năng lượng và các giá trị : ω, Ω, E . Đó chính là các hiệu ứng radio điện.
Bây giờ ta thành lập biểu thức giải tích về cường độ điện trường E0x, E0y, E0z
Phương trình động lượng tử cho hàm phân bố hạt tải f ( p, t ) trong bán dẫn khối:
f ( p, t )
f ( p, t )
eE 0 eE (t ) H [ p, h(t )],
t
p
(1.1)
= 2 M (q) J l2 (a, q)[f ( p q, t) f ( p, t )] ( p q p l )
q
l
+ Trong đó :
2
eH
H (t )
e.F
p
H
; h(t )
;a
; p
2
mc
H
2m
m
(1.2)
+ Với p : xung lượng chính tắc của hạt
Jl (x) : hàm Bessel của đối số thực
m : Khối lượng hiệu dụng của điện tử
M(q) :được xác định bởi cơ chế tán xạ của hạt tải
Ta giải thiết : k l ≪ l ( l là quãng đường tự do trung bình của hạt tải ) nên ta có
thể bỏ qua cá số hạng k l trong các đối số của E ( x, t ); H ( x, t ) .
6
Chúng ta chỉ xét sóng laser ở mức xấp xỉ tuyển tính theo cường độ của nó nên
ta chỉ lấy các số hạng với l 0; 1 trong (1) và chỉ tính đến các số hạng tỉ lệ với
a, q trong biểu thức khai triển của hàm Besel. Tức là: J
2
2
0
1;J 2
a, q
2
(1.3)
4
Hàm phân bố hạt tải được tìm dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các phần đối
xứng và phản đối xứng: f p (t ) f 0 f1 ( p, t )
(1.4)
+) f 0 là hàm số phân bố cân bằng của hạt tải xét trong trường hợp khí điện tử không
suy biến thì ta có phân bố Boltzman
p
f 0 f 0 p n0* exp
k B
+) Phần phản đối xứng : f1 ( p, t ) P X (t )
(1.5)
f 0
p
(1.6)
Ta viết dạng khai triển theo thời gian
f1 ( p, t ) f10 ( p) f1 ( p)eit f1* ( p)eit
(1.7)
f 0
f
(
p
)
P
X
1
Với :
p
f10 ( p) P X 0
(1.8)
f 0
p
(1.9)
Từ (1.6) và (1.7) ta có :
X (t ) X 0 Xeit X * eit
(1.10)
Theo định nghĩa: mật độ dòng bằng tích tenxo độ dẫn và cường độ điện trường
J i (t ) jk Ek (t )
(1.11)
Ở thời điểm t = 0 thì :
J (t 0) ( R R )d J 1 J 1
*
*
(1.12)
0
( )
(Q( ) S ( ))d
1 iH ( )
0
J 1 ( R( )d
0
Trong đó :
7
(1.13)
( R( )
( )
(Q( ) S ( ))
1 iH ( )
e2 n
Q
E ( F )
m
(1.14)
S en[ij ( F ) Aij ( F )]X j ( F )
X j ( F )
e
( )
E
m [1 iH ( )]
(1.15)
(1.16)
Trong đó :
n: Mật độ hạt tải
: Năng lượng hạt tải: ij
2
( ij ai0 a0j );Aij
ij
()
3 ()
εF : Năng lượng Fecmi
τ: Thời gian hồi phục khi không có mặt trường bức xạ laser
i;j = 1,2,3
λ,A: Các ma trận phụ thuộc vào từng cơ chế tán xạ cụ thể trong trường hợp tán
xạ trên phonon quang ở nhiệt độ cao (k0T≫ω0) với ω0 là tần số của phonon âm.
1
2
e2 F 2
( ) ( F ) ;
m3
F
Suy ra:
e ( )
( ) e2 n
J1
E d
E ( F ) en[ij ( F ) Aij ( F )]
1 i ( ) m
m [1 i ( )]
0
( F )
e2 n ( F )
()
A
1
E
m 1 i ( F )
1 i ()
1 i ( F )
*
J1
( F )
e2 n ( F )
()
A
1
E
m 1 i ( F )
1 i ()
1 i ( F )
Vậy ta được:
8
(1.17)
(1.18)
J (t 0) J 1 J
*
1
() 1 i 2 () ( F )
( F ) 1 i 2 () ( F )
( F )
e2 n
A
1
2E
m 1 2 2 ( F )
1 2 2 ( F )
1 2 2 ( F )
Mặt khác ta có :
J (t 0) E (t 0) .2E
Suy ra:
() 1 i 2 () ( F )
( F ) 1 i 2 () ( F )
e2 n ( F )
ij ( )
A
1
m 1 2 2 ( F )
1 2 2 ( F )
1 2 2 ( F )
Lấy trung bình theo thời gian biểu thức mật độ dòng toàn phần:
J tot t J 0 t J (t ) J 0
Và xét trường hợp mạch hở theo tất cả các hướng, ta được:
J tot 0 J 0 0
Trong đó: J 0 R0 ( )d
S , h
H 2 ( ) Q( ), h
2
d ( )((Q0 ( ) S0 ( ))
H ( ) Re
2 2
1 i ( )
1 ( )
1 () A ( F ) E0
e2 n
2
2
2
( F )
E
[1
i
(
)
(
)]
(
)[1
i
(
)
(
)]
2
w
F
F
F
m
A
( F )1 ()
2 2
2 2
1 ( F )
1 ( F )
( F )
Hay
[1 () A ( F )]E0
[1 i 2 () ( F )]
2 ( F )[1 i 2 () ( F )] Ew
2
( F )1 ()
A
1 2 2 ( F )
1 2 2 ( F )
( F )
Suy ra:
E 0 () A ( F ) E0
[1 i 2 () ( F )]
2 ( F )[1 i 2 () ( F )] Ew
( F )1 2 ()
A
1 2 2 ( F )
1 2 2 ( F )
( F )
9
Giải phương trình trên bằng phương pháp lặp và gần đúng tuyến tính theo β với
A,λ~β
( F ) 1 () A ( F )
Ew
E0 2
[1 i 2 () ( F )]
2 ( F )[1 i 2 () ( F )]
A
()
( F )
2 2
2 2
1
(
)
1
(
)
F
F
1 () A ( F )
2
() [1 i 2 () ( F )]
( F )[1 i 2 () ( F )] Ew
A
2 2
1 2 2 ( F )
( F ) 1 ( F )
Với: EW
W
enc
(1.19)
Trong đó:
∝: là hệ số hấp thụ
: chỉ số khúc xạ
W:Năng thông trung bình của sóng điện từ
c:Vận tốc ánh sáng trong chân không
: Vecto sóng của phonon
Để đơn giản ta chọn trục: Oz // n; Ox // E; Oy / / H . Khi đó các vecto thành phần
của vecto cường độ điện trường không đổi theo các trục Ox, Oy, Oz được cho bởi :
2 ()[1 2 () ( F )]
( F )[1 2 ( F )]
E0 x Ew
zx
Azx
2 2
1 2 2 ( F )
( F )[1 ( F )]
E0 y Ew ()zy ( F ) Azy
1 ()zz ( F ) Azz
E0 z Ew 1 2 ()[1 2 () ( F )]
2 ( F )[1 2 ( F )]
Axx
2 2
( ) ( )[1 2 2 ( )] xx
1
(
)
F
F
F
F
10
Chƣơng 2:
PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ CHO ĐIỆN TỬ VÀ HIỆU ỨNG
RADIO ĐIỆN TRONG HỐ LƢỢNG TỬ VỚI HỐ THẾ CAO VÔ HẠN
DƢỚI ẢNH HƢỞNG CỦA PHONON ÂM GIAM CẦM
2.1. Hamiltonion của điện tử - phonon trong hố lƣợng tử với hố thế cao vô hạn
Khảo sát hệ hạt tải của hố lượng tử đặt trong một trường sóng điện từ phân cực
thẳng với các vecto sóng:
E (t ) E (e it eit )
H (t ) [n, E (t )]
Xét một trường bức xạ laser : F (t ) F sin t được xem như một trường sóng
điện từ cao tần phân cực tuyến tính với Ωτ ≫1.
Giả thiết rằng các vecto sóng điện từ thỏa mãn: [ (t),0,0] ; [0,
, 0]
Khi đó sóng điện từ truyền theo trục Oz. Dưới sự xuất hiện của hai trường bức xạ có
tần số ω và Ω sẽ làm cho chuyển động định hướng của hạt tải bị ảnh hưởng làm
xuất hiện các điện trường E0x , E0y , E0z trong điều kiện mạch hở.
Ta xem xét hệ “ hạt tải + hiệu ứng” được đặt trong một trường sóng điện từ
phân cực thẳng, một điện trường không đổi
0
và trong một trường leser (t). Khi
đó Hamiltonion của hệ điện tử - phonon trong hố lượng tử với hố thế cao vô hạn khi
có mặt các trường trên là:
H = H0 + U
+
H0
N
N , p
+U
(2.1)
e
p A(t ) aN , p aN , p m,q bm,q bm,q
c
q
D m N , N ' (q)aN , p
N ,N', p ,q
q
aN , p (bm,q bm , q )
aN,
; aN, p : Toán tử sinh, hủy điện tử ở trạng thái N, p .
p
a
N, p
; aN',
p'
a
N', p '
; aN,
p
p
N,N'
, p '
a
0
; a N, p ; aN',
;a
p '
N, p N', p '
bm ,q , bm ,q : Toán tử sinh hủy phonon ở trạng thái m, q
.
b ; b b ; b m , m ' ; b ; b b ; b 0
q ,q '
m,q m ',q ' m ',q ' m,q
m,q m ',q ' m,q m ',q '
11
p : Xung lượng của điện tử;
m
m
DN,N'
(q ) Cm,q I N,N'
(q ) ;
Cm,q : hệ số tương tác điện tử - phonon. Xét tương tác điện tử - phonon âm thì:
2
Cm,q
2
q2 q2 z ;
2V0 s
Trong đó: V : Thể tích chuẩn hóa (thường chọn V 1 ).
: Hằng số thế biến dạng
: Mật độ tinh thể
s : Vận tốc sóng âm
q 2 q2 qz2 q2 qm2 ; q2 qx2 q y2
I
2
m
N ,N'
2
m z
m z
N z
N ' z
[ (m)cos
(m 1)sin
]sin
sin
dz
L0
L
L
L
L
L
1
0
nếu m chẵn
nếu m lẻ
( m)
A t : Thế vectơ của trường sóng điện từ mạnh
N, p : Năng lượng của điện tử trong hố lượng tử;
2.2. Xây dựng phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong hố lƣợng tử
Gọi nN, p (t ) aN,
aN, p
p
là số điện tử trung bình tại thời điểm t.
t
Phương trình động lượng tử cho điện tử trong hố lượng tử có dạng:
i
nN, p (t )
t
aN,
a ,H
p N, p
(2.2)
t
Tính 3 số hạng trong (2.2) ta có:
Số hạng thứ nhất:
Sh1
t
e
aN,
a
,
p
'
A
t
a
a
N'
p N, p
N', p ' N', p '
c
N', p '
Ta có:
12
t
e
aN, p aN, p , N' p ' A t aN', p ' aN', p '
c
N', p '
N'
N', p '
N'
N', p '
n'
n ', p '
e
p ' A t aN, p aN, p , aN', p ' aN', p '
c
e
p ' A t aN, p aN, p aN', p ' aN', p ' aN', p ' aN', p ' aN, p aN, p
c
e
p ' A t an, p an ', p ' n,n' p , p ' an ', p ' an, p n,n ' p , p ' 0
c
Vậy: Sh1
t
0
(2.3)
Số hạng thứ hai:
Sh2
t
aN,
a
,
b
b
p N, p
m ,q m ,q m ,q
m,q
0
(2.4)
t
Số hạng thứ ba:
Sh3 aN,
a
, DNm1 ,N2 (q )a
a
bm,q bm , q
p N, p
N 2 , p ' q
N1 , p '
N1 ,N 2 ,m
p ' , q
t
Ta có:
m
aN, p aN, p , DN1 ,N2 (q )a N2 , p ' q a N1 , p ' bm,q bm, q
N1 ,N 2 ,m
p ' , q
b
DNm1 ,N2 (q ) aN,
a , a
a
bm , q
p N, p
m ,q
N 2 , p ' q
n
,
p
'
1
N1 ,N 2 ,m
p ' , q
b b
DNm1 ,N2 (q ) aN, p aN, p a
a
a
a
aN,
a
p N, p
m ,q
m , q
N
,
p
'
q
N
,
p
'
N
,
p
'
q
N
,
p
'
2
1
2
1
N1 ,N 2 ,m
p ' , q
DNm1 ,N2 (q ) aN,
a
p N , p ' N,N2 p
N1 ,N 2 ,m
p ' ,q
N1 ,N 2 ,m
p ' , q
1
DNm1 ,N2 (q )aN,
aN , p
p
N1 ,N 2 ,m
p ' , q
DNm1 ,N2 (q )aN
1
2 , p q
q
, p ' q
b
m ,q
a
bm , q
aN, p bm,q bm , q
N2 , p ' q
13
aN, p N,N1 p
, p '
b
m,q
bm , q
Do ta có: n2 n1 nên suy ra:
DN1 ,m (q )aN, p aN , p
DN1 ,m (q ) aN, p aN , p
N1 ,m,
p ' , q
N1 ,m,
p ' , q
1
b
q
1
bm , q
m,q
q
b
D
N1 , m
1
N1 ,m,
p ' , q
a
bm , q
m ,q
(q )aN , p
N1 , p q
q
aN, p bm,q bm , q
aN, p bm,q bm , q
Chuyển chỉ số N1 thành N’ ta có:
Sh3
'
DNm, N ' (q ) aN,
aN', p
p
n ,m,q
a N', p
q
q
bm,q
aN, p bm,q aN,
aN', p
p
t
t
a N', p
q
aN, p bm, q
t
q
bm, q
(2.5)
t
Thay (2.3), (2.4),(2.5) vào (2.2) ta được:
nN, p (t )
i
t
f N', p q ,N, p ,q t f N, p ,N', p q ,m, q t
m
DN,N
' (q )
N ' ,m, q
f N, p ,N', p q ,m,q t f N', p q,N, p ,m, q
Với: f N , p ,N
1
1
2 , p 2 ,m, q
t
aN , p aN
1
1
2 , p2
bm,q
(2.6)
t
Ta đi xây dựng biểu thức tính hàm f(t) bằng cách viết phương trình động lượng tử
cho nó:
f N , p ,N
1
i
1
2 , p 2 ,m, q
t
t
aN , p aN , p bm,q , H
1 1 2 2
(2.7)
t
e
sht1 t aN , p aN , p bm,q , N p A t aN,
a
p N, p
c
1 1 2 2 N, p
N
N, p
e
p A t aN1 , p1 aN2 , p2 bm,q , aN, p aN, p
c
t
t
Ta xét:
a a
N1 , p1 N2 , p2 bm,q , aN, p aN, p aN1 , p1 aN 2 , p 2 bm,q aN, p aN, p aN, p aN, p aN1 , p1 aN 2 , p 2 bm,q
aN , p N,N2 p
1
1
2 , p
aN,
aN
p
aN , p aN, p bm,q N,N2 p
1
1
2 , p
2 , p2
a
N, p
aN,
aN
p
bm,q aN,
p
2 , p2
N,N1
bm,q N,N1 p , p
Vậy ta có
14
1
p , p aN , p aN, p
1
1
1
a
b
N 2 , p 2 m ,q
e
e
sht1 t N2 p 2 A t N1 p1 A t aN , p aN , p bm,q
c
c
1 1 2 2
Mà : N, p
t
2 2 2
p 2 N
2m
L
2
e
e
e
Nên: N2 p 2 A(t ) N1 p1 A t N , p N , p
p 2 p1 A t
2
1 1
2
c
c
mc
Vậy ta có:
e
sht1 t N , p N , p
p 2 p1 A t f N , p ,N , p ,m,q t
1 1
mc
2 2
1 1 2 2
sht 2 t aN , p aN , p bm,q , m ',q bm ',q bm ',q
1
1
1
1 1 2 2 m ',q1
m ',q aN , p aN
1
1
m ,' q1
1
(2.8)
t
b , b b
m,q m ',q1 m ',q1
2 , p2
t
Ta xét:
b , b b b b b
b b b
q ,q m,m 'bm,q
1
m,q m ',q1 m ',q1 m,q m ',q1 m ',q1 m ',q1 m ',q1 m,q
sht 2 t m,q f N , p ,N
Vậy:
1
1
2 , p 2 ,m, q
t
(2.9)
sht 3 t aN , p aN , p bm,q , DNm3',N4 (q )aN , p q aN , p bm ',q bm ', q
1 1
2
4
3
2
1
1
1
N3 ,N 4 , m '
p , q1
DNm3',N4 (q1 ) aN , p aN , p bm,q , aN , p q aN , p bm ',q bm ', q
1
1
1 1 2 2 4 1 3
N3 ,N 4 , m '
t
p , q1
Ta xét:
a a
b , a
a
b
b
N1 , p1 N2 , p2 m,q N4 , p q1 N3 , p m ',q1 m ', q1
aN , p aN , p bm,q bm ',q bm ', q
1
aN
3
1
4 , p
q1
aN
4 , p q1
aN
4 , p q1
N1 ,N3
N1 ,N3
1
N 2 ,N 4
p
p , p aN , p aN , p aN
1
3
1
1
p , p aN , p aN , p aN
1
aN , p aN , p aN
3
1
1
1
3
2 , p2
b
m ',q1
1
1
2 , p q1
2 , p2
2 , p2
bm ',q bm ,q
bm ', q bm,q
1
15
1
q1 ,q
m,m ' bm ', q bm,q
1
t
aN , p aN , p bm,q bm ',q bm ', q N2 ,N4 p
1
aN
a
3
1
4 , p q1
N4 , p q1
aN
2 , p2
b
N1 , p1
1
2 , p q1
bm ', q bm,q N1 ,N3 p , p
m ', q1
aN , p a
3
1
1
aN
2 , p2
1
N ,N p , p q ,q m,m '
1
3
1
1
Vậy:
sht 3 t
DNm , N (q ) aN , p aN , p
2
m ,N3 , q
3
DNm ,N (q ) aN
1
m ,N 4 , q
4
DNm ,N (q ) aN
1
N4
Do aN
4
4 , p1 q
1
4 , p1 q
4 , p1 q
aN , p aN , p aN
1
1
1
1
aN
1
3
2 , p2
b
2 , p2
1
1
t
1
bm , q bm ,q
m ,q
aN , p aN , p aN
1
bm ,q bm ,q bm , q
2 q
t
t
(2.10)
2 , p2
t
n 2p 1
(2.11)
nên ta bỏ qua số hạng này.
Thay (2.8), (2.9), (2.10), (2.11) vào (2.7) ta được:
f N , p ,N
1
i
1
2 , p 2 ,m, q
t
t
DNm,,Nm ' (q ) aN , p aN , p
2
m ',N3 , q
3
1
DNm,,Nm ' (q ) aN
1
m ',N 4 , q
4
e
N , p N , p
p p A t m ,q f N , p ,N , p ,m,q t
2 2
1 1
1
mc 2
1 1 2 2
3
1
4 , p1 q
2 q
aN
bm,q bm ',q bm ', q
2 , p2
b
bm ', q bm ,q
m ', q
t
(2.12)
t
Trước hết ta đi giải phương trình vi phân thuần nhất sau:
i
f N0 , p ,N , p ,m,q t
1
2
1
2
t
e
N , p N , p
p 2 p1 A t m ,q f N0 , p ,N , p ,m,q t
2 2
1 1
mc
1 1 2 2
Sử dụng điều kiện đoạn nhiệt ln FN , p ,N
1
1
2 , p 2 ,m, q
(t )
t
(2.13)
0 , ta dễ dàng tính được
nghiệm của phương trình thuần nhất trên có dạng:
f
0
N1 , p1 ,N 2 , p 2 ,m,q
i
t exp
t
N1 , p1
N
2 , p2
e
p1 p 2 A t m ,q dt1
mc
(2.14)
Để giải phương trình vi phân không thuần nhất trên ta dùng phương pháp biến thiên
hằng số.
Đặt: f N , p ,N
1
1
2 , p 2 ,m, q
t M t f N0 , p ,N , p ,m,q t
1
1
2
2
16
(2.15)
Suy ra:
f N , p ,N
i
1
1
2 , p 2 ,m, q
t
t
f
0
N1 , p1 ,N 2 , p 2 ,m, q
f N0 , p ,N , p ,m,q t
M (t )
1 1
2
2
t i
M (t )i
t
t
(2.16)
Thay (2.15) vào (2.12), thay (2.13), (2.14) vào (2.16) và đồng nhất số hạng của
(2.12) và (2.16) ta được kết quả sau:
DNm,,Nm ' (q1 ) aN , p q aN , p bm ',q bm ', q bm ,q
1 4
4 1
2
1
2
1
`
m
t
',N 4 ,
q
M (t ) i 1
t
DNm,m,N' (q1 ) aN , p aN , p q bm,q bm ',q bm ', q
1 1
3
2
1
1
1
t
m ',N3 , 2 3
q1
i t
e
exp N , p N , p m,q
p 2 p1 A t1 dt1
2
1 1
2
mc
Suy ra:
DNm1,,Nm4' (q1 ) aN 4 , p1 q1 aN2 , p2 bm ',q1 bm ',q1 bm,q
m ',N 4 , q1
i
M (t )
DNm2,m,N' 3 (q1 ) aN1 , p1 aN3 , p2 q1 bm,q bm ',q1 bm ',q1
m ',N
3 , q1
t2
e
i
exp N , p N , p m,q
p 2 p1 A t dt1 dt2
2 2
1 1
mc
t
t2
t2
(2.17)
Thay (2.14) và (2.17) vào (2.15) ta được kết quả sau:
f N , p ,N
1
1
i
2 , p 2 ,m, q
f N0 , p ,N
1
1
2 , p 2 ,m, q
t .M t
t
ie
i
exp
t
t
p
p
A
t
dt
2
1
1
1
2
N1 , p1 N2 , p2
m,q
mc
t2
t
m'
DNm1,,N
(q1 ) aN , p q aN , p bm ',q bm ', q bm,q
4
4 1
2
m ',N ,q
2
1
1
4 1
m ',N3 , q1
DNm,,Nm ' (q1 ) aN , p aN , p
2
3
1
1
3
2
b
bm ',q bm ', q
q m ,q
1
1
1
Thay (2.18) vào (2.8) ta được:
17
t2
dt2
t2
(2.18)
nN, p t
m ,m '
(
q
)
dt
2 DN ' ,N 4 ( q1 ) aN 4 , p q1 aN, p bm ',q1 bm ', q1 bm ,q
1
2
t
m ',N', q1
m ',N4 ,q1
m ,m '
DN,N
(q1 ) aN ' , p q aN , p q bm,q bm ',q bm ', q
3
3
1
1
1
1
t2
m ',N3 , q1
t
ie
i
exp N ' , p q N, p m,q t t2
q
A
t
dt
1
1
mc
t2
t
1
m ,m '
N,N'
D
m'
DNm',,N
(q1 ) aN , p
3
3
m ',N3 , q1
a
bm ',q bm ', q bm , q
q N, p
1
t2
m ,m '
DN,N
(q1 ) aN',
a
b
bm ',q bm ', q
p q1 N 4 , p q1 m , q
4
1
1
m ',N4 ,q1
1
1
t2
t2
t
ie
i
exp N, p N ' , p q m, q t t2
q
A
t
dt
1
1
mc
t
2
m ,m '
DN,N
(q1 ) aN , p q aN', p q bm ',q bm ', q bm , q
4
4
1
1
1
1
t2
m ',N 4 ,
q1
D
m ',N3 ,
q1
m ,m '
N ' ,N3
(q1 ) a
N, p
aN, p
q1
m ', q1
bm, q bm ',q b
1
t2
t
ie
i
exp N, p N', p q m,q t t2
q
A
t
dt
1
1
mc
t2
D m' ,m ' (q1 ) aN, p aN , p q bm , q bm ',q bm ', q
4 1
1
1
m ',N4 ,q1 N ,N4
m ',N3 ,q
m ,m '
DN,N
(q1 ) aN , p
3
3
a
q N', p
1
q1
m ',q1
bm ', q bm , q
b
1
t2
t2
t
ie
i
exp N', p q N, p m, q t t2
q
A
t
dt
1
1
mc t2
(2.19)
Đối với số hạng thứ nhất và thứ ba của (2.19) ta đổi chỉ số q1 q , đối với số
hạng thứ hai và thứ tư của (2.19) ta đổi chỉ số q1 q và (N3 , N4 ) (N', N) ta
được:
18
