(Luận án tiến sĩ) Phương pháp tiếp cận vi mô GinzburgLandau đối với sự đồng tồn tại pha trong hệ nhiều hạt

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả mới
mà tôi công bố trong luận án là trung thực và chưa được ai công bố trong bất kỳ công
trình nào khác.
Hà Nội, ngày 25 tháng 9 năm 2019.
Tác giả: Nguyễn Văn Hinh


Lời cám ơn
Trước hết, tôi xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Trí Lân, người thầy đầu tiên tiếp
nhận tôi, đã luôn quan tâm sát sao, cùng tôi thực hiện các ý tưởng và giúp đỡ tôi rất
nhiều trong quá trình làm NCS. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến GS. TS. Nguyễn
Toàn Thắng, người thầy thứ hai tiếp nhận và chỉ hướng cho tôi để định hình mục tiêu
nghiên cứu trong luận án, đồng thời là giáo viên hướng dẫn luận án.
Tiếp theo, tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy giáo, Cô giáo và lãnh đạo Học viện
Khoa học và Công nghệ, bộ môn Vật lý lý thuyết – Vật lý toán của Viện Vật Lý đã
tạo mọi điều kiện học tập, nghiên cứu cho tôi trong quá trình làm NCS. Tôi cũng chân
thành cảm ơn ban Giám hiệu, các đồng nghiệp của khoa Khoa học cơ bản, trường Đại
học Công nghiệp Hà Nội đã giúp đỡ tôi rất nhiều về vật chất và tinh thần trong thời
gian tôi làm NCS.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn toàn thể gia đình, bạn bè luôn đồng hành, động
viên và giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình theo đuổi và thực hiện ước mơ của
mình.


Danh mục các chữ viết tắt
GL(Ginzburg-Landau)
HS (Hubbard-Stratonovich)
BCS (Bardeen-Cooper-Schrieffer)
HFB (Hatree-Fock-Bogoliubov)
SC (Superconductivity)

:
:
:
:
:

Ginzburg-Landau
Hubbard-Stratonovich
Bardeen-Cooper-Schrieffer
Hatree-Fock-Bogoliubov
Siêu dẫn

FM (Ferromagnetism)

:

Sắt từ

AFM (Antiferromagnetism)
PM (Paramagneticsm)
N (Normal)
SDW (Spin-density-wave)
CDW (Charge-density-wave)

:
:
:
:
:

Phản sắt từ
Thuận từ
Dẫn thường
Sóng mật độ spin
Sóng mật độ điện tích


Danh sách hình vẽ
1.1. Giản đồ pha của U Ge2 xác định bởi các số đo độ từ hóa dưới áp suất.
Tc là nhiệt độ Curie và Tx xác định nơi chuyển pha giữa hai pha sắt từ
FM1 và FM2 có độ phân cực từ khác nhau. Tsc là nhiệt độ chuyển pha
siêu dẫn [85, 38]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Giản đồ pha P − T của CeRhIn5 với các pha phản sắt từ (kí hiệu AFM,
vùng màu xanh) và siêu dẫn (kí hiệu SC, vùng màu vàng) được xác định
từ số đo nhiệt dung riêng khi không có từ trường ngoài. Khi Tc < TN có
tồn tại một pha đồng tồn tại AFM+SC. Khí Tc > TN trật tự phản sắt
từ đột ngột biến mất [92, 32]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Hiệu ứng hút của hai điện tử do bởi sự trao đổi phonon [42] . . . . . .
1.4. Phổ chuẩn hạt. Khe năng lượng được quan sát giữa trạng thái siêu dẫn
(ở đỉnh) và trạng thái dẫn thường (ở đáy) sinh ra tham số trật tự của
hệ [42]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. “Tính đối xứng bị phá vỡ”. Sự tiến triển của trật tự kết tinh bên trong
một giọt nước hình cầu dẫn tới sự hình thành một bông tuyết, làm giảm
tính đối xứng từ đối xứng cầu tới đối xứng sáu nếp gấp [21]. . . . . . .
1.6. (a) Trong một kim loại thường, không có trật tự tầm xa. (b) Bên dưới
nhiệt độ Curie TC của một sắt từ, các spin điện tử sắp hàng để tiến
triển một tham số trật tự sắt từ. Kết quả là kim loại có một moment từ
hữu hạn. (c) Bên dưới nhiệt độ chuyển pha của một siêu dẫn, các điện
tử kết cặp với nhau tiến triển một tham số trật tự siêu dẫn. Kết quả là

kim loại biểu hiện hiệu ứng Meissner, đẩy từ trường ra khỏi bên trong
lòng nó [21]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7. (a) Năng lượng tự do Landau F (ψ) như là một hàm của nhiệt độ đối
với một tham số trật tự Ising. Các đường cong được dịch chuyển thẳng
đứng. (b) Tham số trật tự ψ như là một hàm của nhiệt độ đối với một
trường hữu hạn h > 0 và một trường rất nhỏ h = 0+ [21]. . . . . . . . .
1.8. Giản đồ pha trong một trường ngoài. Một đường bậc nhất kéo dài dọc
theo trục trường ngoài bằng không, h = 0 đến điểm tới hạn. Tham số
trật tự cân bằng đổi dấu khi vượt qua đường ranh giới pha này. (a) Đồ
thị ba chiều cho thấy sự gián đoạn theo tham số trật tự như một hàm
của trường ψ. (b) Đường ranh giới pha hai chiều cho thấy là đường bậc
nhất [21]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

8
29

34

42

43

45

46


Danh sách hình vẽ

1.9. Sự phụ thuộc của năng lượng tự do vào tham số trật tự đối với (a) tham
số trật tự Ising ψ = ψ1 , cho thấy hai cực tiểu cùng mức năng lượng và
(b) tham số trật tự phức ψ = ψ1 + iψ2 = |ψ| eiφ , ở đó năng lượng tự
do Landau hình thành một “thế mũ Mexican” trong đó cực tiểu năng
lượng tự do hình thành một vành các trạng thái có năng lượng bằng
nhau phụ thuộc vào pha φ của tham số trật tự đồng đều [21]. . . . . .
1.10. Nghiệm sóng đơn của các phương trình GL. (a) Sự tiến hóa của ψ trong
một chiều tương đương với một hạt ở vị trí ψ, chuyển động trong một
thế năng nghịch đảo V [ψ] = −fL [ψ]. Một sóng đơn tương đương với
một “sự nảy” giữa các cực đại ở ψ = ±ψ0 của V [ψ]. (b) Đường mà hạt
mô tả sự phát triển theo thời gian “t” ≡ x xác định sự phụ thuộc không
gian của tham số trật tự ψ [x] [21]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Các lựa chọn khác nhau cho phép biến đổi Hubbard-Stratonovich để tách
cặp số hạng tương tác hai hạt tổng quát. Hình bên trái: tách cặp theo
kênh “mật độ”; hình giữa: tách cặp theo kênh “kết cặp” hoặc “Cooper”;
hình bên phải: tách cặp theo kênh “trao đổi”. . . . . . . . . . . . . . .

48

51

91

4.1. Một minh họa về giản đồ T − P của UGe2 được tính cho Ts = 0,
Tf 0 = 52K, Pc = 1.6GP a, γ/κ = 0.1089, δ/κ = 0.1867. Miền pha FS
được làm đậm. Đường nét liền biểu thị đường chuyển pha loại hai FM-FS. 134
4.2. Giản đồ pha trong mặt phẳng (t, r) khi γ = 0.49, δ = 0.84 . . . . . . . 136


Mục lục

Lời cam đoan
Lời cám ơn
Danh mục các chữ viết tắt
Danh sách hình v˜
e
MỞ ĐẦU

1

1. TỔNG QUAN
1.1. Tổng quan về sự đồng tồn tại của trật tự từ và siêu dẫn trong hệ fermion
nặng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Hiện tượng đồng tồn tại pha từ - siêu dẫn trong vật liệu fermion
nặng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Một số quan sát thực nghiệm trong các hợp chất Fermion nặng
1.1.3. Nghiên cứu lý thuyết về các hợp chất Fermion nặng . . . . . . .
1.2. Sắt từ trong kim loại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Trật tự sắt từ trong các hệ moment từ định xứ. . . . . . . . . .
1.2.2. Trật tự từ của hệ spin linh động . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Siêu dẫn và lý thuyết BCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Lược sử ra đời và phát triển của siêu dẫn . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Lý thuyết BSC của siêu dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3. Lý thuyết BCS tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Lý thuyết Ginzburg-Landau về sự chuyển pha . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. Lý thuyết Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2. Lý thuyết Ginzburg-Landau I: Trật tự Ising . . . . . . . . . . .
1.4.3. Lý thuyết Ginzburg-Landau II: Trật tự phức và siêu chảy . . . .
1.4.4. Lý thuyết Ginzburg-Landau cho siêu dẫn . . . . . . . . . . . . .
1.5. Thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

4
6
7
10
11
19
22
22
27
33
39
40
49
52
55
58

2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN VI MÔ GINZBURG-LANDAU
2.1. Phương pháp hàm Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1. Các hàm Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Phương trình chuyển động cho các hàm Green . . . . . . . . .
2.1.3. Ứng dụng của hàm Green cho lý thuyết siêu dẫn và sắt từ . .
2.2. Phương pháp tích phân phiếm hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Biến số Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59
59
60

62
64
69
70

i

.
.
.
.
.
.

4


Mục lục
2.2.2. Hamiltonian và hình thức luận . . . . .
2.2.3. Áp dụng cho hệ siêu dẫn BCS . . . . . .
2.2.4. Phiếm hàm Ginzburg-Landau một thành
2.3. Thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .
. . .
phần
. . .

.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

72
74
84
88

3. THIẾT LẬP PHIẾM HÀM NĂNG LƯỢNG GINZBURG-LANDAU NHIỀU
THÀNH PHẦN
3.1. Mô hình ba tham số trật tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Hamiltonian và hình thức luận . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2. Khử tham số kết cặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3. Phiếm hàm Ginzburg-Landau ba thành phần . . . . . . . . . .
3.2. Các mô hình đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.1. Kênh mật độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2. Kênh trao đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3. Kênh Cooper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89
89
89
94
110
111
111
112
114
115

4. SỰ ĐỒNG TỒN TẠI CÁC TRẬT TỰ SẮT TỪ VÀ SIÊU DẪN TRONG
CÁC HỢP CHẤT FERMION NẶNG
4.1. Nguồn gốc vi mô của phiếm hàm Ginzburg-Landau hai thành phần . .
4.2. Sự đồng tồn tại của các trật tự siêu dẫn và sắt từ trong UGe2 . . . . .
4.2.1. Phiếm hàm năng lượng tự do Ginzburg-Landau cho siêu dẫn sắt
từ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2. Giản đồ pha từ gần đúng phiếm hàm Ginzburg-Landau . . . . .
4.3. Thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

117
118
125
125
131

136

Phụ lục

142

A. Tính hệ fermion hiệu dụng bậc hai kết cặp với các trường phụ

143

B. Khai triển hàm mũ chứa các đạo hàm

151

C. Các phép đạo hàm lên hàm mũ

163

Tài liệu tham khảo

177

ii


MỞ ĐẦU
Trong các chất sắt từ ở dưới nhiệt độ Curie, Tc , spin của các điện tử sắp hàng để tạo ra
một độ từ hóa. Trong một thời gian dài người ta cho rằng tính siêu dẫn không hợp với
tính sắt từ. Quan điểm này bén rễ từ lý thuyết vi mô về siêu dẫn được xuất bản 1957
bởi Bardeen, Cooper, và Schrieffer (BCS). Trong phạm vi lý thuyết BCS chuẩn, ngưng

tụ siêu dẫn được hình thành dưới tác động của một lực hút do bởi các dao động mạng
liên kết các điện tử có spin đối song thành các cặp Cooper singlet. Khi các nguyên tử
tạp chất từ được đặt vào một chất siêu dẫn truyền thống, thì trường cục bộ bao quanh
các nguyên tử tạp chất sẽ ngăn cản sự hình thành các cặp Cooper singlet [15], điều
này gây ra một sự sụt giảm nhanh chóng nhiệt độ chuyển pha siêu dẫn Tsc . Tuy nhiên,
vào khoảng năm 1980, người ta nhận thấy dưới các điều kiện đặc biệt trật tự siêu dẫn
có thể đồng tồn tại với trật tự phản sắt từ [86], ở đó các spin điện tử lân cận sắp xếp
thành một cấu hình đối song. Chẳng hạn, trong các chất phản sắt từ fermion nặng,
các mô men từ lưu động hầu như không có hiệu ứng làm giảm đi sự kết cặp lên các cặp
Cooper singlet vì tương tác trao đổi trung bình bằng không. Quan sát đầu tiên về điện
trở kháng bằng không trong trạng thái sắt từ của HoMo6 S8 được đăng bởi Lynn và
các cộng sự [57], tiếp theo bởi Genicon và các cộng sự [31]. Rồi sau đó, các thí nghiệm
nhiễu xạ neutron trên các tinh thể singlet của HoMo6 S8 được tiến hành bởi Rossat và
các cộng sự [71] đã xác nhận thêm một lần nữa các quan sát ở trên. Họ nhận thấy
rằng khi T < 0, 60K, với sự làm lạnh chậm, một pha sắt từ xuất hiện. Cường độ từ
trường trong pha sắt từ tăng lên và sau đấy đạt bão hòa ở khoảng T = 0, 4K, biểu thị
rằng ở dưới nhiệt độ này, các thăng giáng nhiệt là không đáng kể. Vật liệu có một sự
chuyển pha siêu dẫn ở T = 1, 82K và một sự chuyển pha từ ở T = 0, 67K trong vùng
lân cận của sự tái nhập tới trạng thái dẫn thường [57]. Sự khám phá lần đầu tiên ra
chất sắt từ UGe2 [74] có tính siêu dẫn (Tsc < Tc ) trong năm 2000 đã gây ra một sự
ngạc nhiên lớn. Trong vật liệu này, một sự chuyển siêu dẫn xảy ra ở một nhiệt độ Tsc
ngập sâu trong trạng thái sắt từ, tức là ở dưới hẳn nhiệt độ Curie Tc , mà không loại
trừ trật tự sắt từ (ta gọi nó là chất siêu dẫn sắt từ). Về sau, ba chất siêu dẫn sắt từ
khác đã được phát hiện là UIr [7], URhGe [10] và UCoGe [44]. Các vật liệu này có đặc
điểm chung là trật tự sắt từ được quyết định bởi các mô men từ 5f của Uranium và có
đặc tính lưu động mạnh. Thêm nữa, tính siêu dẫn xuất hiện gần như với một từ tính
không ổn định. Sự đồng tồn tại của tính siêu dẫn và sắt từ trong các vật liệu này có
thể được hiểu dưới dạng các mô hình thăng giáng spin: Ở vùng lân cận điểm tới hạn
lượng tử sắt từ, các thăng giáng từ then chốt có thể dàn xếp tính siêu dẫn bằng cách
ghép cặp các điện tử thành các cặp Cooper spin-triplet [25, 56], đó là các trạng thái

kết cặp bình đẳng về spin (L = 1, Sz = 1; L = 1, Sz = −1 và L = 1, Sz = 0). Trong
những năm gần đây các bằng chứng phong phú đã cho thấy một cơ chế kết cặp bất
thường như thế đang tồn tại trong các chất sắt từ có tính siêu dẫn [73, 29, 61].

1


MỞ ĐẦU
Theo sát những kết quả mới mà các nhóm nghiên cứu ngoài nước đã thu được, ở Việt
Nam GS. Đỗ Trần Cát là người đầu tiên triển khai nghiên cứu lý thuyết pha siêu dẫn
và pha sắt từ trong UGe2 dựa trên tính chất kết ô của cấu trúc vùng năng lượng và thu
được những kết quả thú vị [20, 19]. Các thành viên của nhóm Hệ tương quan mạnh,
Trung tâm Vật lý lý thuyết, Viện Vật lý cũng đã bắt đầu nghiên cứu sự đồng tồn tại
hai pha từ và siêu dẫn trong UGe2 từ năm 2006. Họ đã thu được những kết quả bước
đầu về hai pha từ FM1 và FM2 trong UGe2 [87] và đã đề xuất cơ chế siêu dẫn dựa
trên trao đổi các kích thích từ do tách trường tinh thể của các mức Uranium định xứ
[88].
Với khám phá về các chất sắt từ siêu dẫn một chủ đề nghiên cứu mới trong lĩnh vực
từ tính và siêu dẫn đã được vạch ra. Nghiên cứu các chất sắt từ siêu dẫn sẽ giúp làm
sáng tỏ các thăng giáng từ làm thế nào mà có thể kích thích tính siêu dẫn, một tính
chất mà nó là chủ đề trung tâm chạy xuyên suốt các họ vật liệu ngày càng đa dạng
như các chất siêu dẫn fermion nặng, siêu dẫn đồng nhiệt độ Tsc cao và các chất siêu
dẫn được khám phá gần đây có thành phần chính là FeAs [47]. Cái nhìn mới lạ này có
thể đóng vai trò chủ chốt trong sự sáng tạo ra các vật liệu siêu dẫn mới. Tuy nhiên,
vấn đề hiểu bản chất thực sự và cơ chế của sự đồng tồn tại tính siêu dẫn với sắt từ
là rất phức tạp, một lời giải đầy đủ vẫn chưa có. Đã có các đề xuất rằng sự kết hợp
của các thăng giáng spin ngang và dọc đóng một vai trò quan trọng và sẽ được kể đến
trong việc nghiên cứu vấn đề [83]. Abrikosov [5] và Mineev cùng các cộng sự [60] đã
đề cập rằng tính siêu dẫn sóng s có thể là kết quả từ sự tương tác điện tử được điều
đình bởi các mô men định xứ sắp trật tự có tính sắt từ. Trong những năm gần đây,

ngoài những nghiên cứu thực nghiệm khảo sát sự phụ thuộc chuyển pha vào áp suất
và từ trường ngoài, các công trình lý thuyết của các nhóm nghiên cứu ở Đức, Mỹ, Nga,
Nhật, Bulgaria . . . tập trung tìm các cơ chế chuyển pha, bản chất các pha và sự phụ
thuộc nhiệt độ chuyển pha và moment từ hóa tự phát vào các thông số của vật liệu.
Nhiều cơ chế chuyển pha khác nhau đã được đề xuất như: sóng điện tích và sóng spin
[90], trao đổi magnon [48], tương tác trao đổi trên các mức định xứ [5]. . . Tuy nhiên
cho đến nay bản chất của pha siêu dẫn (singlet hay triplet) chưa rõ, cơ chế gây trật
tự từ cũng còn gây tranh cãi (do moment định xứ hay do điện tử linh động), nguyên
nhân gây siêu dẫn chưa xác định rõ ràng (do trao đổi phonon hay magnon hay sóng
điện tích). Đặc biệt sự phụ thuộc nhiệt độ chuyển pha và độ từ hóa vào áp suất chưa
được nghiên cứu về lý thuyết. Tóm lại lý thuyết đồng tồn tại hai pha siêu dẫn và sắt
từ hiện vẫn là một thách thức đối với những người nghiên cứu vật lý [22, 53]. Bởi vậy,
chúng tôi chọn hướng nghiên cứu này làm chủ điểm với tiêu đề của luận án: “Phương
pháp tiếp cận vi mô Ginzburg-Landau đối với sự đồng tồn tại pha trong hệ nhiều hạt”.
Sự xem xét ở trên đã thúc đẩy chúng tôi thực hiện phép biến đổi lý thuyết trường
fermion tới một lý thuyết hiệu dụng dựa trên các trường kết cặp được biểu diễn dưới
dạng các tham số trật tự theo các kênh khác nhau. Mục đích chính của luận án là
hình thành một phiếm hàm Ginzburg-Landau (GL) mà nó có thể mô tả sự đồng tồn
tại của nhiều pha. Trong nghiên cứu của chúng tôi, thông qua phép biến đổi HubbardStratonovich (HS), một Hamiltonian sẽ được tách thành các kênh khả dĩ, khi đó sẽ
nhận được một phiếm hàm chỉ phụ thuộc vào các tham số trật tự. Vì vậy chúng tôi sẽ
đi đến một sự biểu diễn chung của phiếm hàm GL cho hệ ba tham số trật tự thông
qua các tính toán dựa vào hàm Green. Dựa trên bài toán riêng của siêu dẫn sắt từ của

2


MỞ ĐẦU
các hệ fermion nặng dựa trên Uranium, chúng tôi sẽ rút ra một biểu diễn chính thức
cho phiếm hàm GL, và sau đó sử dụng nó để nghiên cứu sự đồng tồn tại của sắt từ
và siêu dẫn trong hệ UGe2 đồng thời tạo ra các đồ thị cho thấy sự phụ thuộc giữa các

tham số trật tự và biểu thị các miền pha cân bằng.
Nội dung của bản luận án sẽ được trình bày trong 4 chương:
Chương 1, tổng quan. Chương này, phần đầu sẽ trình bày tổng quan về sự đồng tồn
tại của trật tự từ và siêu dẫn trong hệ fermion nặng. Phần tiếp theo là lý thuyết sắt
từ và lý thuyết siêu dẫn. Phần cuối cùng trình bày lý thuyết Ginzburg-Landau về sự
chuyển pha.
Chương 2, các phương pháp tiếp cận vi mô Ginzburg-Landau. Chương này, mục 2.1
chúng tôi sẽ trình bày tổng quan về phương pháp hàm Green cùng với ứng dụng của
nó cho hệ sắt từ và siêu dẫn. Mục 2.2, chúng tôi sẽ phát triển bài toán siêu dẫn BCS
bằng việc sử dụng phương pháp tích phân phiếm hàm để tính hàm phân bố của hệ,
thiết lập phiếm hàm năng lượng Ginzburg-Landau một thành phần cho siêu dẫn BCS.
Chương 3, thiết lập phiếm hàm năng lượng Ginzburg-Landau nhiều thành phần.
Chương này, phần đầu xây dựng mô hình ba tham số trật tự và thiết lập phiếm
hàm năng lượng Ginzburg-Landau cho ba tham số trật tự, phần sau chúng tôi xây
dựng một số mô hình đơn giản tương ứng với từng kênh riêng biệt.
Chương 4, sự đồng tồn tại các trật tự sắt từ và siêu dẫn trong các hợp chất fermion
nặng. Trong chương này, trước tiên chúng tôi trình bày một cách tiếp cận vi mô để rút
ra phiếm hàm năng lượng GL hai thành phần. Tiếp theo, dựa trên bài toán riêng của
siêu dẫn sắt từ của các hệ fermion nặng dựa trên Uranium, chúng tôi sẽ rút ra một
biểu diễn chính thức cho phiếm hàm GL hai tham số trật tự sắt từ và siêu dẫn triplet
và sau đó sử dụng nó để nghiên cứu sự đồng tồn tại của các pha sắt từ và siêu dẫn
trong hệ UGe2 .

3


1. TỔNG QUAN
Trong chương này chúng tôi trình bày tổng quan về sự đồng tồn tại trật tự từ và siêu
dẫn trong hệ fermion nặng, giới thiệu về siêu dẫn và sự hình thành siêu dẫn, từ tính
của vật liệu, và trình bày lý thuyết Ginzburg-Landau về sự chuyển pha.

1.1. Tổng quan về sự đồng tồn tại của trật tự từ và
siêu dẫn trong hệ fermion nặng
1.1.1. Hiện tượng đồng tồn tại pha từ - siêu dẫn trong vật liệu
fermion nặng
Trạng thái chất lỏng Fermi trong kim loại có hai tính bất ổn định. Tính siêu dẫn do sự
hình thành của cặp điện tử và sóng mật độ (spin, điện tích) được hình thành bởi việc
ghép cặp của các điện tử và lỗ trống. Về mặt lý thuyết, điều được mong đợi từ lâu là
các hàm số sóng ghép cặp khác ngoài sóng s như trong siêu dẫn truyền thống và trong
các sóng mật độ có thể tồn tại. Tuy nhiên, điều đó đòi hỏi một thời gian lâu đến mức
ngạc nhiên để nhận dạng các trạng thái ghép cặp đông đặc phi truyền thống trong các
vật liệu thật. Giờ đây, có một sự phong phú của các chất siêu dẫn phi sóng s mà các
vật liệu này, một cách thường xuyên, được gắn liền với các hàm khe “nút” bất đẳng
hướng mà tại đó các trạng thái kích thích của các chuẩn hạt trong trạng thái siêu dẫn
triệt tiêu tại các điểm hoặc tại các đường trên bề mặt Fermi. Hiện tượng này dẫn tới
hành vi dạng “định luật lũy thừa” tại vùng nhiệt độ thấp trong nhiều đại lượng vật lý.
Các vật chất siêu dẫn actinide và đất hiếm fermion nặng là các vật liệu đầu tiên được
giả thiết có các trạng thái ghép cặp siêu dẫn phi truyền thống được sinh ra bởi các
thăng giáng spin năng lượng thấp. Các hợp chất siêu dẫn nhiệt độ cao Tc có chứa đồng
thể hiện tính siêu dẫn sóng d là các ví dụ quan trọng và đầy hứa hẹn. Nhưng tính siêu
dẫn nút cũng có thể được phát hiện trong các muối hữu cơ và muối ruthenates. Các
trạng thái sóng mật độ điện tích và sóng mật độ spin truyền thống hiện diện thường
xuyên trong các kim loại với trật tự sóng mật độ spin hay trật tự phản sắt từ tương
ứng là thông thường nhất. Các hợp chất với các sóng mật độ phi truyền thống được
xác nhận trong thực tế là khá hiếm hoi và với tính nhất định chỉ đã được tìm thấy
trong các kim loại hữu cơ và có lẽ trong các vật liệu fermion nặng có chứa Uranium và
pha “giả khe” của các hợp chất có chứa đồng kích thích thấp. Điều này một phần có
thể là do sự khó khăn trong việc tìm kiếm các tham số trật tự “ẩn” mà những tham số
đó không để lại dấu vết trong các thí nghiệm về tán xạ X quang hoặc tán xạ neutron
tiêu chuẩn.

4


1.1 Tổng quan về sự đồng tồn tại của trật tự từ và siêu dẫn trong hệ fermion nặng
Chúng ta sẽ chỉ tập trung vào một số vật liệu quan trọng mà tại đó thể hiện một khía
cạnh quan trọng của siêu dẫn phi truyền thống và quan hệ của nó với từ trường hay
trật tự ẩn. Các giản đồ pha nhiệt độ thấp phức tạp của các kim loại fermion nặng là
kết quả của các lớp vỏ f lấp đầy không hoàn toàn của các ion actinide và đất hiếm mà
bảo toàn đặc trưng tương tự nguyên tử. Việc lấp đầy các trạng thái theo quy tắc Hund
dẫn tới các moment từ. Trong một tinh thể, tính suy biến quay của các moment từ bị
dịch chuyển từng phần bởi trường điện tích tinh thể và sự lai với các vùng dẫn rộng
của các điện tử lớp ngoài. Như một hệ quả, một số lớn các kích thích năng lượng thấp
được tạo thành. Trong trường hợp của một chất lỏng Fermi lý tưởng, các kích thích
này tương ứng với các chuẩn hạt nặng mà khối lượng hiệu dụng của chúng m∗ vào cỡ
vài bậc lớn hơn so với khối lượng m của điện tử tự do. Độ rộng của vùng chuẩn hạt
tương ứng Tc vào cỡ meV đối với các kim loại fermion nặng thực. Sự tăng cường của
khối lượng được phản ánh trong sự tăng mạnh của giá trị nhiệt dung riêng, độ từ cảm
Pauli và hệ số dạng T 2 của điện trở. Tuy nhiên, gần điểm tới hạn lượng tử, điểm thể
hiện sự khởi đầu của các tính bất ổn định của sóng mật độ, các kỳ dị nhiệt độ thấp
trong các đại lượng này xuất hiện mà các kỳ dị này là các dấu hiệu đặc trưng của trạng
thái chất lỏng phi Fermi. Các cơ chế khác nhau đối với sự hình thành của các khối
lượng nặng đã được đề xuất. Trong khi trong các hợp chất Ce với các trạng thái 4f 1 bị
định xứ hoàn toàn, cơ chế Kondo là phù hợp, có các bằng chứng ngày càng rõ rằng bản
chất đối ngẫu, nghĩa là định xứ và linh động từng phần, bản chất của các trạng thái
5f chịu trách nhiệm đối với sự tái chuẩn hóa khối lượng trong trong các vật liệu chứa
Uranium. Trong cả hai kịch bản, người ta giả thiết rằng các chuẩn hạt nặng, một cách
ưu thế, có các đặc tính f . Các tương tác thặng dư giữa các chuẩn hạt dẫn đến tính
không ổn định của việc ghép cặp. Hai ứng cử viên đã được nhận dạng trong các hợp
chất fermion nặng: thứ nhất, các tương tác ghép cặp thông qua trao đổi của các thăng

giáng spin tắt nhanh tăng cường của các chuẩn hạt linh động, một cách giả thiết tại
vector sóng phản sắt từ. Mô hình này được thiết lập cho các hợp chất Ce, đặc biệt khi
tính siêu dẫn xuất hiện ở gần một điểm tới hạn lượng tử. Điều này cũng có thể chứa
một sự thật nào đó đối với các hợp chất fermion nặng chứa Uranium linh động. Tuy
nhiên, chúng ta giờ đây đã biết một cách chắc chắn rằng trong các hợp chất có chứa
Uranium với các điện tử 5f định xứ từng phần, một cơ chế khác đang chiếm ưu thế:
việc ghép cặp được sinh ra bởi sự trao đổi của các kích thích nội lan truyền (các exciton
từ) của hệ con 5f định xứ. Các bằng chứng thực nghiệm mạnh mẽ (các thí nghiệm
tán xạ Neutron) về sự đồng tồn tại không bị tách pha giữa sắt từ và siêu dẫn gần đây
đã được tìm thấy trong UGe2 , đã ủng hộ quan điểm rằng tính sắt từ và siêu dẫn được
gây bởi các điện tử 5f trong cùng một dải, nghĩa là các thăng giáng từ gây ra kết cặp
là một cơ chế khả dĩ. Điều này dường như biểu thị rằng tương tác hút hiệu dụng giữa
các chuẩn hạt nặng tái chuẩn hóa trong UGe2 không phải được cung cấp bởi tương tác
điện tử-phô nôn như trong các chất siêu dẫn thông thường, mà là được điều đình bởi
các thăng giáng spin điện tử. Trong lân cận của điểm tới hạn lượng tử sắt từ, các thăng
giáng từ tới hạn có thể điều đình tính siêu dẫn bằng cách kết cặp các điện tử thành các
cặp Cooper spin-triplet, đó là các trạng thái kết cặp có spin bằng nhau mà mô men
spin toàn phần không
bằng không (S = 1): |↑↑ (L = 1, Sz = 1), |↓↓ (L = 1, Sz = −1),
√
và (|↑↓ + |↓↑ ) / 2 ( L = 1, Sz = 0). Các cặp Cooper spin-triplet này có các trạng
thái lượng tử với các spin điện tử song song và vì vậy có thể tồn tại trong sự hiện diện

5


1.1 Tổng quan về sự đồng tồn tại của trật tự từ và siêu dẫn trong hệ fermion nặng
của các mô men từ.
Cho đến nay, hiểu biết lý thuyết về tính siêu dẫn và từ tính trong các hệ fermion nặng
vẫn luôn ở trạng thái với các mô hình có tính sơ đồ hoặc minh họa và thiếu đi năng

lực dự báo thực. Các khó khăn xuất hiện ở hai mức độ. Thứ nhất chính các chuẩn hạt
trạng thái chuẩn chỉ có thể được mô tả trong các bức tranh vùng được tái chuẩn hóa
một hạt hiệu dụng với các tham số đầu vào có tính kinh nghiệm. Đối với một số hợp
chất tương tự như UBe13 và các hợp chất có chứa Ce gần điểm tới hạn lượng tử, thậm
chí chuyển pha siêu dẫn diễn ra trong một trạng thái mà trong đó không tồn tại các
chuẩn hạt được định xác định rõ như đã được cung cấp bằng chứng bởi quan sát về
hành vi chất lỏng phi Fermi. Thứ hai, tương tác ghép cặp hiệu dụng chỉ có thể được
mô tả theo một cách được đơn giản hóa quá đáng như trong các mô hình thăng giáng
spin và các biến thể của mô hình này. Các mô hình được đề xuất này thông thường
bỏ qua cấu trúc quĩ đạo nội của các hợp chất điện tử f gây ra bởi liên kết spin quĩ
đạo giữa các nguyên tử và thế năng trường điện tích tinh thể. Các nỗ lực để đưa các
số hạng này vào các khảo sát lý thuyết, trên thực tế, cũng không cho phép đưa các
nhận thức về các hiện tượng thú vị này đi xa hơn. Tuy vậy, việc hiểu biết các lý thuyết
định tính này cũng rất quan trọng. Các thảo luận thường tập trung vào các chuẩn hạt
trạng thái cơ bản, mà cụ thể là mô hình Kondo mạng đối với các hợp chất có chứa Ce
đối lập với mô hình các điện tử 5f lưỡng tính đối với các hợp chất có chứa U. Bắt đầu
từ nhận thức cơ sở này, lý thuyết vùng tái chuẩn hóa cung cấp một cách thức để mô
tả các vùng của các chuẩn hạt nặng trong khuôn khổ của một cách tiếp cận chất lỏng
Fermi. Từ những hiểu biết đó, các mô hình gần đúng đối với các tương tác ghép cặp
hiệu dụng có thể được thu nhận bằng các kỹ thuật nhiễu hạt chuẩn. Sự phân loại đối
xứng của các tham số ghép cặp là một bước quan trọng để hiểu cấu trúc nút của khe
và để giải các phương trình khe.

1.1.2. Một số quan sát thực nghiệm trong các hợp chất Fermion
nặng
Các nghiên cứu thực nghiệm về UGe2 [74, 43, 85, 38] cho thấy rằng ở áp suất bằng
không UGe2 là một sắt từ linh động, nhiệt độ Curie của nó Tc = 52K, và độ từ hóa
tự phát µs = 1.4µB/nguyên tử U. Trong tinh thể trực giao trục dễ là trục a [89]. Khi
áp suất tăng lên, hệ trải qua hai chuyển pha lượng tử liên tục, từ pha sắt từ (FM) tới
pha sắt từ-siêu dẫn (FM-SC) ở P = 1GP a, và từ pha sắt từ tới pha thuận từ (PM) ở

áp suất cao Pc = 1.6GPa. Pha siêu dẫn tồn tại hoàn toàn trong miền sắt từ ở nhiệt độ
thấp và áp suất khoảng 1.0 ÷ 1.6 GPa với một nhiệt độ chuyển cực đại Tsc = 0.8K ở
gần 1.2 GPa. Trong miền sắt từ, có hai pha sắt từ riêng biệt được kí hiệu là FM2 và
FM1 với độ lớn mô men từ khác nhau. Với sự tăng áp suất, trạng thái từ cơ bản chuyển
từ pha phân cực mạnh (FM2, µ = 1.5µB) tới pha phân cực yếu (FM1,µ = 0.9µB) ở
áp suất Px = 1.2 GPa, và đường pha kết thúc ở giá trị cực đại của nó Tx = Tsc . Khi áp
suất tăng thì bậc của chuyển pha từ FM1 tới PM thay đổi từ bậc hai tới bậc nhất ở
điểm ba Tcr trên giản đồ T (P ), và tại áp suất tới hạn Pc . Khi áp suất tăng hơn nữa thì
cả TF M và TF S sụt giảm nhanh chóng và gần như biến mất đồng thời quanh P ∼ 1.7
GPa (xem hình 1.1).

6


1.1 Tổng quan về sự đồng tồn tại của trật tự từ và siêu dẫn trong hệ fermion nặng

Hình 1.1.: Giản đồ pha của U Ge2 xác định bởi các số đo độ từ hóa dưới áp suất. Tc
là nhiệt độ Curie và Tx xác định nơi chuyển pha giữa hai pha sắt từ FM1 và FM2
có độ phân cực từ khác nhau. Tsc là nhiệt độ chuyển pha siêu dẫn [85, 38].
Các nghiên cứu thực nghiệm về CeRhIn5 [40, 49, 92, 67, 11, 32] cũng chỉ ra rằng ở
áp suất bằng không, trật tự AFM xuất hiện tại TN = 3.8K với một mô men từ so
le khoảng 0.8 µB. Bằng cách đặt vào áp suất, ở Tc < TN hệ có thể trải qua một sự
chuyển pha lượng tử khi làm lạnh từ pha AFM tới pha AFM+SC. Khi tăng áp suất,
nhiệt đô N’eel tăng nhẹ và có một cực đại trơn quanh 0.8 GPa. Sau đó TN suy giảm
khi P tiến gần tới áp suất tới hạn Pc mà tại đó tính siêu dẫn được thiết lập và nhiệt độ
chuyển siêu dẫn Tc = TN . Trật tự phản sắt từ biến mất ở gần Pc∗ = 1.95 GPa do bởi
một chuyển pha bậc nhất từ pha AFM+SC tới pha SC không truyền thống. Sự đồng
tồn tại của phản sắt từ và siêu dẫn được tìm thấy trong một phạm vi hẹp áp suất từ
1.6 − 1.95 GPa. Khi P tăng hơn nữa (P ở trên Pc∗ ) một pha siêu dẫn không truyền
thống xuất hiện, nói cách khác, nếu Tc > TN trạng thái cơ bản là siêu dẫn thuần trong

một miền áp suất lớn từ 1.95 tới 5 GPa (xem hình 1.2).

1.1.3. Nghiên cứu lý thuyết về các hợp chất Fermion nặng
Theo các lý thuyết trước đây, tính chất từ được gây bởi các mô men spin của các điện
tử định xứ 4f, 5f , còn tính siêu dẫn được gây ra bởi các cặp Cooper được hình thành
bởi các điện tử dẫn. Các khám phá trên cùng với một số các dữ liệu thực nghiệm tin
cậy về độ dài kết hợp và khe siêu dẫn [74, 43, 68, 10], đã ủng hộ kết luận là các điện
tử 4f từ Ce và 5f từ U chịu trách nhiệm cho cả tính chất từ (sắt từ và phản sắt từ)
và siêu dẫn. Các cặp Cooper trong các hợp chất kim loại này thuộc loại spin-triplet và
các thăng giáng từ gây ra các kết cặp là một cơ chế khả dĩ. Trong những năm gần đây,
bên cạnh các nghiên cứu thực nghiệm khảo sát sự phụ thuộc của chuyển pha vào áp
suất và từ trường ngoài, cũng đã có nhiều các nghiên cứu về lý thuyết tập trung vào
việc tìm ra cơ chế chuyển pha, bản chất các pha và sự phụ thuộc của nhiệt độ chuyển
pha và mô men từ tự phát vào các tham số của vật liệu. Các cơ chế khác nhau, chẳng
hạn như, kết cặp sóng mật độ điện tích và sóng mật độ spin [89, 18], trao đổi magnon

7


1.1 Tổng quan về sự đồng tồn tại của trật tự từ và siêu dẫn trong hệ fermion nặng

Hình 1.2.: Giản đồ pha P − T của CeRhIn5 với các pha phản sắt từ (kí hiệu AFM,
vùng màu xanh) và siêu dẫn (kí hiệu SC, vùng màu vàng) được xác định từ số đo
nhiệt dung riêng khi không có từ trường ngoài. Khi Tc < TN có tồn tại một pha
đồng tồn tại AFM+SC. Khí Tc > TN trật tự phản sắt từ đột ngột biến mất [92, 32].
[48], tương tác điện tử được điều đình bởi các mô men định xứ sắp trật tự có tính sắt
từ [5, 60], tương tác phonon bị chắn [75], trao đổi điện tử d [80], M-trigger [78, 77, 76],
các mô hình nhiều vùng [1, 26, 45, 8], vv..., đã được đề xuất. Các nghiên cứu lý thuyết
đã phần nào giải quyết được vấn đề quan trọng này và cung cấp nhiều thông tin bổ
ích về tương tác giữa các pha từ và siêu dẫn trong các trạng thái đồng tồn tại.

Các mô hình hiện tượng học [58, 72] sử dụng để mô tả sự đồng tồn tại của các trật tự
siêu dẫn và sắt từ được đề xuất ngay sau khi có các khám phá thực nghiệm [74, 43, 85].
Các lý thuyết này được xây dựng dựa trên các lập luận đối xứng tổng quát và các dữ
liệu thực nghiệm về nhiệt động lực học của các hợp chất dựa trên Uranium, nghĩa là
các lý thuyết này không liên quan đến vật lý vi mô cơ bản. Trong các hợp chất này
người ta cho rằng các điện tử định xứ 5f chịu trách nhiệm cho cả tính chất từ và siêu
dẫn. Trong bối cảnh đó, các cặp Cooper phải có mô men từ, nghĩa là một chất siêu
dẫn sắt từ với một trật từ đồng đều phải là một siêu dẫn triplet. Các mô hình hiện
tượng học này, sau đó đã được Shopova và các cộng sự sử dụng để tìm các miền ổn
định của các pha trong nhiều công trình của họ và đã rất thành công trong việc mô tả
sự đồng tồn tại của các trật tự sắt từ và siêu dẫn triplet trong các hợp chất dựa trên
Uranium [77, 78, 76, 79]. Mô hình hiện tượng học được xây dựng trong các tham khảo
[58, 72] được cho bởi

1
fGL (ψ, M) = fS (ψ) + fF (M) + fI (ψ, M) + H2
2

(1.1)

trong đó ψ là véc tơ phức ba chiều mô tả trật tự siêu dẫn, B = (H + 4πM) = ∇ × A
là cảm ứng từ, H là từ trường ngoài và A là thế véc tơ điện từ.

8


1.1 Tổng quan về sự đồng tồn tại của trật tự từ và siêu dẫn trong hệ fermion nặng
Số hạng fS (ψ) mô tả tính chất siêu dẫn khi H = M = 0, và có dạng

us 2 2 vs

bs
ψ +
fS (ψ) = fgrad (ψ) + as |ψ| + |ψ|4 +
2
2
2

3

2

|ψi |4 ,

(1.2)

i=1

với
fgrad (ψ) = K1 (Di ψj )∗ (Di ψj ) + K2 (Di ψi )∗ (Di ψi )
+ K3 [(Di ψi )∗ (Dj ψj ) + (Di ψj )∗ (Dj ψi )] ,

(1.3)

ở đây sự lấy tổng theo các chỉ số i, j được thừa nhận và kí hiệu

Di = −i

∂
+ 2eAi ,
∂xi

(1.4)

của phép lấy vi phân hiệp biến được đưa vào. Số hạng fF (M) trong phương trình (1.1)
mô tả tính chất sắt từ và được cho bởi

3

|∇j Mj |2 + af (Tf ) |M|2 +

fF (M) = cf
j=1

bf
|M|4 .
2

(1.5)

Đây là biểu thức chuẩn cho một sắt từ đẳng hướng. Thêm vào đó fI (ψ, M) mô tả sự
tương tác giữa các tham số trật tự sắt từ và siêu dẫn, và có dạng

fI (ψ, M) = iγ0 M. (ψ × ψ ∗ ) + δ0 |ψ|2 |M|2 .

(1.6)

Khi không có từ trường ngoài và bỏ qua các ảnh hưởng của tính bất đẳng hướng của
các cặp Cooper và tinh thể thì phiếm hàm năng lượng GL của siêu dẫn sắt từ triplet
bao gồm các số hạng sau

fGL (ψ, M) = as |ψ|2 +

bs
2

|ψ|4 + af |M|2 +

bf
2

|M|4 + iγ0 M. (ψ × ψ ∗ ) + δ0 |ψ|2 |M|2
(1.7)

Phiếm hàm (1.7) đã được Shopova dùng để khảo sát pha Meisner trong siêu dẫn sắt
từ spin-triplet [78] và thu được nhiều kết quả phù hợp tốt với thực nghiệm.
Bên cạnh các lý thuyết hiện tượng luận, các lý thuyết vi mô cố gắng giải thích các cơ
chế khác nhau. Một trong những mô hình vi mô tốt là mô hình được đề xuất bởi Dahl

9


1.2 Sắt từ trong kim loại
và Sudbø [23], khảo sát một Hamiltonian gồm ba số hạng. Số hạng thứ nhất mô tả các
điện tử tự do, số hạng thứ hai là số hạng BCS spin tổng quát mô tả tính siêu dẫn, và
số hạng cuối cùng là số hạng trao đổi sắt từ Heisenberg giải thích cho tính sắt từ linh
động. Với Hamiltonian đó họ đã rút ra được phiếm hàm năng lượng tự do GL cho siêu
dẫn sắt từ sóng p, sau đó áp dụng để tính các hiệu ứng chui hầm cả trong vùng điện
tích và vùng spin, và vì vậy làm sáng tỏ tương tác giữa các nhóm đối xứng bị phá vỡ
U1 và SU2 .
Các khám phá mới về các chất siêu dẫn sắt từ và bối cảnh nghiên cứu trong lĩnh vực

từ tính và siêu dẫn của cộng đồng những người nghiên cứu vật lý, đã thúc đẩy chúng
tôi thực hiện phép biến đổi lý thuyết trường fermion tới một lý thuyết hiệu dụng dựa
trên các trường kết cặp được biểu diễn dưới dạng các tham số trật tự theo các kênh
khác nhau nhằm tìm kiếm các pha đồng tồn tại. Để thuận tiện cho việc trình bày các
nghiên cứu mới (mục 2.2 chương 2, chương 3 và chương 4), dưới đây chúng tôi nhắc
lại một số kiến thức vật lý quan trọng và các phương pháp hữu ích phục vụ cho việc
nghiên cứu của chúng tôi.

1.2. Sắt từ trong kim loại
Mục này sẽ thảo luận tính chất sắt từ trong kim loại. Trọng tâm của phần thảo luận
là “tích phân trao đổi”, một đại lượng chỉ xuất hiện trong cơ học lượng tử và cho phép
giải thích được hiện tượng từ tính mạnh. Chính vì điều này mà các hiện tượng từ xuất
hiện từ rất xa xưa nhưng mãi đến tận khi cơ học lượng tử ra đời người ta mới có được
sự hiểu biết sâu sắc về nó.
Trong các vật sắt từ (Fe,Ni,Co,Gd, . . ., và một số hợp kim của chúng) khi nhiệt độ của
vật thấp hơn một nhiệt độ xác định nào đó thì tồn tại độ từ hóa tự phát. Độ từ hóa
tự phát là moment từ trung bình của vật sắt từ tính trong một đơn vị thể tích tồn
tại ngay cả khi không có cảm ứng từ trường ngoài B, và phụ thuộc vào nhiệt độ. Khi
B = 0, nhiệt độ tăng thì độ từ hóa tự phát của vật sắt từ giảm và khi tăng đến nhiệt
độ chuyển pha sắt từ TC thì độ từ hóa của vật sắt từ bằng không, khi đó từ tính của
vật sắt từ sẽ biến mất. Vật được gọi là sắt từ nếu trong vật tồn tại moment từ tự phát
ngay cả khi không có từ trường ngoài.
Các tính chất của vật sắt từ về cơ bản được xác định bởi moment từ spin của các
điện tử ở các lớp vỏ chưa đầy ( lớp 3d, 4f . . .) và moment từ các điện tử s ở lớp ngoài.
Tương tác trao đổi (một loại tương tác điện) giữa các điện tử ở các lớp vỏ chưa đầy
của các nguyên tử với nhau dẫn đến sự định hướng các moment từ spin của các điện
tử song song cùng chiều với nhau và tạo thành độ từ hóa tự phát của vật sắt từ khi
không có từ trường ngoài.

10

1.2 Sắt từ trong kim loại

1.2.1. Trật tự sắt từ trong các hệ moment từ định xứ.
1.2.1.1. Tương tác trao đổi. Mẫu Heisenberg
Để dẫn đến khái niệm tương tác trao đổi, ta khảo sát bài toán Heli. Nhờ tương tác
trao đổi giữa các điện tử ta giải thích được bản chất của hiện tượng sắt từ. Vì khối
lượng của hạt nhân Heli rất lớn so với khối lượng của các điện tử cho nên trong bài
toán này ta coi hạt nhân của Heli đứng yên.
Điện tích của hạt nhân Heli là +2e, điện tích của điện tử là −e; khoảng cách từ điện
tử thứ i (i = 1, 2) đến hạt nhân là ri , khoảng cách giữa hai điện tử là r12 = r21 = r =
|r2 − r1 |.
Phương trình Schrodinger ở trạng thái dừng đối với hệ hai điện tử của nguyên tử Heli
khi không tính đến ảnh hưởng của spin có dạng:

ˆ
HΦ(r
1 , r2 ) = EΦ(r1 , r2 )

(1.8)

ˆ là toán tử Hamiltonian và E là năng lượng của hệ.
H

ˆ =H
ˆ 0 + Uˆ
H

(1.9)

trong đó
ˆ0 = H
ˆ 0 (r1 ) + H
ˆ 0 (r2 )
H

ˆ 0 (ri ) = −
H

e2
Uˆ = ,
r

2

2m

∇2i −

(1.10)

2e2
là Hamiltonian của điện tử thứ i
ri

khảo sát như nhiễu loạn

ˆ 0 (ri )ψn (ri ) = En ψn (ri )
H

i = 1, 2

(1.11)

(1.12)

(1.13)

suy ra

Φ01 (r1 , r2 ) = ψn (r1 )ψm (r2 )
Φ02 (r1 , r2 ) = ψn (r2 )ψm (r1 )

(1.14)

11


1.2 Sắt từ trong kim loại
ˆ0 = H
ˆ 0 (r1 )+ H
ˆ 0 (r2 ) ứng với một trị riêng E 0 = En +Em
đều là hàm riêng của toán tử H

ˆ 0 Φ01 (r1 , r2 ) = (En + Em )Φ01 (r1 , r2 ) = E 0 Φ01 (r1 , r2 )
H
ˆ 0 Φ0 (r1 , r2 ) = (En + Em )Φ0 (r1 , r2 ) = E 0 Φ0 (r1 , r2 )
H
2

2
2

(1.15)

Trong gần đúng bậc không, hàm sóng của hệ hai điện tử Φ(r1 , r2 ) được tìm dưới dạng
tổ hợp tuyến tính của Φ01 và Φ02
Φ(r1 , r2 ) = c1 Φ01 (r1 , r2 ) + c2 Φ02 (r1 , r2 )

(1.16)

Phương trình Schrodinger được viết lại như sau
0
0
ˆ
ˆ 0
ˆ 0
HΦ(r
1 , r2 ) = c1 HΦ1 (r1 , r2 ) + c2 HΦ2 (r1 , r2 ) = E c1 Φ1 (r1 , r2 ) + c2 Φ2 (r1 , r2 )

(1.17)
Đặt E = E 0 + E và dùng các phương trình

ˆ 01 (r1 , r2 ) = (H
ˆ 0 + Uˆ )Φ01 = E 0 Φ01 + Uˆ Φ01
HΦ
ˆ 0 (r1 , r2 ) = (H
ˆ 0 + Uˆ )Φ0 = E 0 Φ0 + Uˆ Φ0
HΦ
2

2
2
2

(1.18)

c1 Uˆ Φ01 + c2 Uˆ Φ02 = E (c1 Φ01 + c2 Φ02 )

(1.19)

ta có

Nhân về phía trái cả hai vế của phương trình này với Φ0∗
i (r1 , r2 ) rồi lấy tích phân theo
r1 , r2 và chú ý
✂
0
Φ0∗
i (r1 , r2 )Φk (r1 , r2 )dr1 dr2 = δik

i, k = 1, 2

(1.20)

ta tìm được

U

11 c1

+ U12 c2
U21 c1 + U22 c2

= E c1
= E c2

(1.21)

hay

(U

11

− E ) c1 + U12 c2
+ (U22 − E ) c2

U21 c1

=0
=0

(1.22)

12


1.2 Sắt từ trong kim loại
ở đây
✂

✂

ˆ 0
Φ0∗
1 U Φ1 dr1 dr2

U11 =
✂

ˆ 0
Φ0∗
2 U Φ2 dr1 dr2

U22 =
✂

ˆ 0
Φ0∗
1 U Φ2 dr1 dr2

U12 =
✂

U21 =

ˆ 0
Φ0∗
2 U Φ1 dr1 dr2

e2
|ψm (r2 )|2 dr1 dr2
r
✂
e2
= |ψn (r2 )|2 |ψm (r1 )|2 dr1 dr2
r
✂
2
e ∗
= ψn∗ (r1 )ψm (r1 ) ψm
(r2 )ψn (r2 )dr1 dr2
r
✂
e2
∗
(r1 )ψn (r1 ) ψn∗ (r2 )ψm (r2 )dr1 dr2
= ψm
r

khi thay biến số của tích phân r1

U11 = U22 = K;

|ψn (r1 )|2

=

(1.23)

r2 thì tích phân không thay đổi. Vì vậy ta có

U12 = U21 = J,

(1.24)

và

(K
Jc1

− E ) c1 + Jc2
+ (K − E ) c2

=0
=0

(1.25)

Để hệ phương trình có nghiệm khác không thì định thức sau đây phải bằng không

K −E
J

J
K −E

=0

(1.26)

hay (K − E )2 − J 2 = 0 suy ra E = K ± J
a) Khi E = K + J thì c1 = c2 và ta có

Φ1 (r1 , r2 ) ≡ Φs (r1 , r2 ) = c1 (Φ01 + Φ02 ) = c1 {ψn (r1 )ψm (r2 ) + ψn (r2 )ψm (r1 )}

E1 = E 0 + E

= E0 + K + J

(1.27)

(1.28)

b) Khi E = K − J thì c1 = −c2

Φ2 (r1 , r2 ) ≡ Φa (r1 , r2 ) = c1 (Φ01 − Φ02 ) = c1 {ψn (r1 )ψm (r2 ) − ψn (r2 )ψm (r1 )}

13

(1.29)


1.2 Sắt từ trong kim loại

E2 = E 0 + E

= E0 + K − J

(1.30)

Hàm Φs (r1 , r2 ) = Φs (r2 , r1 ) là đối xứng đối với phép hoán vị r1 cho r2 còn hàm
Φa (r1 , r2 ) = −Φa (r2 , r1 ) là phản đối xứng đối với phép hoán
√ vị r1 cho r2 . Từ điều kiện
chuẩn hóa của các hàm sóng Φs , Φa ta tìm được c1 = 1/ 2.
Bây giờ ta xét ý nghĩa của tích phân K và tích phân J. Chú ý rằng ρ(r1 ) = −e |ψn (r1 )|2
là mật độ điện tích của điện tử ở điểm r1 , ρ(r2 ) = −e |ψm (r2 )|2 là mật độ điện tích
của điện tử ở điểm r2 và r = |r2 − r1 | cho nên tích phân K là năng lượng tương tác
tĩnh điện giữa các điện tử trong nguyên tử Heli.
Tích phân J không có ý nghĩa như tích phân K, nó cũng là năng lượng tương tác điện
giữa các điện tử nhưng không giống như tương tác tĩnh điện thông thường mà chúng
ta đã biết trong vật lý cổ điển. Sự xuất hiện đại lượng mới J gắn liền với việc trao đổi
chỗ giữa các hạt đồng nhất (các điện tử) trong cơ học lượng tử và do đó không thể
tính được J trong phạm vi vật lý cổ điển. Tích phân J gọi là tích phân trao đổi và
phần năng lượng ±J gọi là năng lượng trao đổi. Tùy thuộc vào sự định hướng của các
spin của hai điện tử mà ta có năng lượng trao đổi bằng +J hay bằng −J.
Ta hãy khảo sát vấn đề này một cách cụ thể hơn. Từ cơ học lượng tử ta biết rằng hàm
sóng của hệ hạt fermion đồng nhất là hàm sóng phản đối xứng. Điện tử có spin bằng
1/2 thuộc vào loại hạt fermion nên hàm sóng hệ hai hạt điện tử là hàm sóng phản đối
xứng. Để đặc trưng cho chuyển động của điện tử ngoài ba tọa độ x, y, z còn có thêm
một biến số thứ tư là hình chiếu spin sz = ms (ms = ± 12 ). Ta kí hiệu tập hợp bốn
biến số đặc trưng cho chuyển động của điện tử thứ i là ξi (i = 1, 2). Hàm sóng ψ của
hệ hai điện tử là hàm sóng phản đối xứng có nghĩa là

ψ(ξ1 , ξ2 ) = −ψ(ξ2 , ξ1 )

(1.31)

Nếu bỏ qua sự tương tác từ do các mô men từ của các điện tử gây nên thì phân bố
xác suất theo tọa độ không gian sẽ không phụ thuộc vào sự định hướng của các spin,

do đó hàm sóng ψ(ξ1 , ξ2 ) bằng tích các hàm sóng phụ thuộc vào các tọa độ không gian
và các hình chiếu spin

ψ(ξ1 , ξ2 ) = Φ(r1 , r2 )χ(s1z , s2z )

(1.32)

Hàm sóng ψ(ξ1 , ξ2 ) là hàm sóng phản đối xứng, cho nên khi Φ(r1 , r2 ) là hàm đối xứng
thì hàm sóng spin χ(s1z , s2z ) phải là hàm phản đối xứng, và ngược lại, khi Φ(r1 , r2 )
là hàm sóng phản đối xứng thì hàm sóng spin χ(s1z , s2z ) phải là hàm đối xứng. Hàm
sóng của hệ hai điện tử ψ(ξ1 , ξ2 ) có thể có các trường hợp sau
ψ(ξ1 , ξ2 ) = Φs (r1 , r2 )χa (s1z , s2z )
ψ(ξ1 , ξ2 ) = Φa (r1 , r2 )χs (s1z , s2z )

(1.33)

14


1.2 Sắt từ trong kim loại
ở đây
Φs (r1 , r2 ) = Φs (r2 , r1 )χa (s1z , s2z ) = −χa (s1z , s2z )
Φa (r1 , r2 ) = −Φa (r2 , r1 )χs (s1z , s2z ) = χs (s1z , s2z )

(1.34)

Khi spin của hai điện tử định hướng song song cùng chiều (spin toàn phần của hệ hai
điện tử s = 1) thì hàm sóng spin là hàm sóng đối xứng χs . Khi đó hàm sóng của tọa
độ phải là hàm sóng phản đối xứng Φa (r1 , r2 ) và năng lượng của hệ hai điện tử là
E2 = E 0 + K − J.

Khi spin của hai điện tử định hướng song song ngược chiều (spin toàn phần của hệ
hai điện tử s = 0) thì hàm sóng spin là hàm sóng phản đối xứng χa . Khi đó hàm sóng
của tọa độ phải là hàm sóng đối xứng Φs (r1 , r2 ) và năng lượng của hệ hai điện tử là
E1 = E 0 + K + J.
Như vậy sự thay đổi cách định hướng các spin của hai điện tử làm cho năng lượng trao
đổi thay đổi dấu. Trạng thái của hệ hai điện tử càng bền vững khi hai điện tử ở mức
năng lượng càng thấp.
-Nếu J > 0 thì E2 < E1 , hệ hai điện tử sẽ ở trạng thái có năng lượng E2 có hai spin
định hướng song song cùng chiều,
-Nếu J < 0 thì E1 < E2 , hệ hai điện tử sẽ ở trạng thái có năng lượng E1 có hai spin
định hướng song song ngược chiều.
Khi hai spin của hai điện tử định hướng song song cùng chiều thì hai mô men từ spin
cũng định hướng song song cùng chiều và khi hai spin của hai điện tử định hướng song
song ngược chiều thì hai mô men từ spin của chúng cũng định hướng song song ngược
chiều. Điều kiện để hai mô men từ spin (hay hai spin) của hai điện tử định hướng song
song cùng chiều là J > 0 và song song ngược chiều là J < 0. Bài toán về tương tác trao
đổi giữa hai điện tử với năng lượng trao đổi bằng ±J mang tính chất tổng quát không
phụ thuộc vào hai điện tử có ở cùng một nguyên tử hay không. Gọi Jij là tích phân
trao đổi giữa các điện tử của các nguyên tử i và j trong tinh thể ở 0K, nếu Jij > 0 thì
các mô men từ spin của các điện tử trong các nguyên tử i và j định hướng song song
cùng chiều và vật là vật sắt từ. Còn nếu Jij < 0 thì các mô men từ spin của các điện
tử trong các nguyên tử i và j định hướng song song ngược chiều và vật là vật phản sắt
từ.
Để nghiên cứu lý thuyết lượng tử về sắt từ, đầu tiên ta khảo sát lý thuyết sắt từ trong
gần đúng giả cổ điển. Khi đó ta coi các toán tử spin của các điện tử trong các nguyên
tử i, j bất kì của tinh thể như những véc tơ spin Si = σ i , Sj = σ j định hướng song
song cùng chiều hay ngược chiều. Độ lớn của σi2 và σj2 được xác định bằng công thức
3
1 1
σi2 = σj2 = Si (Sj + 1) = ( + 1) = .

2 2
4

(1.35)

Ta xét bình phương của tổng σi + σj
(σi + σj )2 = σi 2 + σj 2 + 2σi σj =

3 3
+ + 2σi σj = S(S + 1) .
4 4

15

(1.36)


1.2 Sắt từ trong kim loại
Trong đó S là spin tổng cộng của hệ hai điện tử. Khi σi , σj định hướng song song cùng
chiều thì S = 1 và khi σi , σj định hướng song song ngược chiều thì S = 0. Vậy ta có

− 3

1
3
σi σj =
S(S + 1) −
2
2

= 1

khi S = 0,
khi S = 1.

4

4

(1.37)

Phần năng lượng trao đổi giữa các điện tử ở trong các nguyên tử i và j được viết chung
dưới dạng



Wij = ±Jij

−J
1
ij
= − Jij − 2Jij σi σj =
+Jij
2

khi σi ↑↑ σj ,
khi σi ↓↑ σj .

(1.38)

Năng lượng trao đổi của các điện tử trong toàn bộ tinh thể của vật sắt từ sẽ là

W =

1
2

Wij = C + H .

(1.39)

i=j

Trong đó tổng theo i, j lấy theo tất cả các nguyên tử của vật sắt từ.

C=−

1
4

Jij = const,

(1.40)

i=j

và
H=

Jij σi σj ,

(1.41)

i=j

là phần năng lượng trao đổi phụ thuộc vào sự định hướng của các spin của các điện tử.
Khi nghiên cứu lí thuyết về sự định hướng của các mô men từ spin của các điện tử
trong vật từ ta chỉ dùng phần năng lượng trao đổi H.
Chuyển từ lý thuyết giả cổ điển đến lý thuyết lượng tử của vật từ, ta thay đổi các véc
ˆ
tơ σ i , σ j bằng các toán tử Sˆi / , Sˆj / khi đó hàm H trở thành toán tử Hamiltonian H
ˆ
ˆ
ˆ
của vật từ. Nếu chọn đơn vị đo là thì σ
ˆ i = Si , σ
ˆj = Sj và toán tử H có dạng

ˆ =−
H

Jij Sˆi Sˆj = −
i=j

Jij Sˆi Sˆj −
i>j

i
16

Jij Sˆi Sˆj .

(1.42)


1.2 Sắt từ trong kim loại
Nếu trong tổng thứ hai ta thay chỉ số lấy tổng i
ˆ =−
H

Jij Sˆi Sˆj = −
i>j

i=j

j và chú ý rằng Jij = Jji , ta có

2Jij Sˆi Sˆj .

(1.43)

Mẫu sắt từ mà tương tác trao đổi được mô tả bằng toán tử Hamiltonian này gọi là
mẫu sắt từ Heisenberg. Trong trường hợp tổng quát, các toán tử Sˆi , Sˆj trong toán tử
ˆ của mẫu sắt từ Heisenberg là toán tử tổng cộng các toán tử spin của các điện tử
H
trong nguyên tử i và j của vật sắt từ. Mẫu sắt từ Heisenberg là mẫu điện tử định xứ
trong các nguyên tử sắt từ, vì vậy mẫu này chỉ áp dụng tốt cho các vật sắt từ điện môi.
Đối với các kim loại sắt từ như Fe,Co,Ni . . . ngoài những điện tử ở các lớp 3d chưa làm
đầy, định xứ trong các nguyên tử, còn có các điện tử dẫn. Tương tác giữa các điện tử

định xứ trong các nguyên tử và các điện tử dẫn cũng có ảnh hưởng đến tính chất từ
của các kim loại sắt từ.
1.2.1.2. Lý thuyết trường trung bình phân tử Weiss
Ta bắt đầu với Hamiltonian Heisenberg
H=−
ij

Jij Si Sj ,

(1.44)

với Si Sj = S(S + 1). Ta có
Si =

+ (Si − Si )

Si
trung bình

,

(1.45)

thăng giáng

trong đó Si = TrρSi kí hiệu trung bình theo tập hợp và ρ là toán tử mật độ. Vì vậy
Si Sj = [ Si + (Si − Si )] [ Sj + (Sj − Sj )]
= Si Sj + (Si − Si ) Sj + Si (Sj − Sj ) + (Si − Si ) (Sj − Sj ) (1.46)
= − Si Sj + Si Sj + Si Sj + (Si − Si ) (Sj − Sj ) .
Giả sử rằng thăng giáng Si − Si là nhỏ theo nghĩa là đóng góp của số hạng cuối cùng

trong (1.46) là không đáng kể. Điều này dẫn tới Hamiltonian trường trung bình có
dạng
H∼
=

Jij Si Sj −
ij

Jij Sj −

Si
i

j



Jij Si Sj −

=+
ij

Jij Sj 
j

W
Si .Hef
f,

= E0 −

Sj
j



Si . 2
i

Jij Si
i

i

17

(1.47)


1.2 Sắt từ trong kim loại
trong đó
Jij Si Sj ,

E0 =
ij

HW = 2

(1.48)

Jij Sj .
j

HW gọi là từ trường phân tử Weiss hay từ trường hiệu dụng.
Ta thấy rằng HW bất cứ ở đâu cũng cùng hướng với Sj . Bởi vì Sj là các trung bình
spin trong từ trường hiệu dụng và H không chứa bất kỳ số hạng bất đẳng hướng nào
nên giá trị trung bình của Sj được tính như sau

S
ms =−S

| Sj | ≡ M/gµB =

2

ms exp

S
ms =−S

exp

j

Jij

(gµB )kB T
2

J

j ij

(gµB )kB T

M ms
= SBS

M ms

2 j Jij
MS ,
(gµB ) kB T
(1.49)

trong đó BS (x) là hàm Brillouin đối với spin S. BS (x) có dạng

BS (x) =

2S + 1
1
1
2S + 1
coth
x −
coth
x .
2S
2S
2S
2S

Khi T → Tc thì M → 0, chú ý rằng với x
trình (1.49) trở thành
M
=S
gµB

2 j Jij
S+1
M S,
3S
(gµB ) kB Tc

(1.50)

1 thì BS (x) ∼
= [(S + 1) /(3S)] x, phương

(1.51)

từ đây ta có

kB Tc =

2S (S + 1)
3

Jij .

(1.52)

j

Công thức này cho mối liên hệ giữa nhiệt độ Curie TC và tích phân trao đổi Jij . Nếu
Jij = 0 thì TC = 0, nghĩa là vật không phải là vật sắt từ. Như vậy bản chất của hiện
tượng sắt từ là do tương tác trao đổi, với Jij > 0.
Gọi J là tích phân trao đổi của một cặp nguyên tử gần nhau nhất và gần đúng coi
Jij ≈ 0 khi các nguyên tử i và j ở xa nhau (không gần nhau nhất), ta có

kTC =

2S(S + 1)
ZJ,
3

(1.53)

18