Tính ổn định của phương trình vi phân có chậm và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

NGUYỄN THỊ HẬU

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
CÓ CHẬM VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2013


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

NGUYỄN THỊ HẬU

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
CÓ CHẬM VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành:

TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số:

60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. NGUYỄN SINH BẢY

Hà Nội - 2013


Mục lục
1 Phương trình vi phân có chậm
1.1 Giới thiệu về phương trình vi phân hàm . . . . . . .
1.1.1 Dạng biểu diễn . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Nghiệm và định lý tồn tại duy nhất nghiệm .
1.2 Cách giải phương trình có chậm hằng rời rạc . . . .
1.2.1 Trường hợp có một độ chậm hằng rời rạc . .
1.2.2 Trường hợp có nhiều độ chậm hằng rời rạc .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

2 Sự ổn định của các phương trình vi phân có chậm
2.1 Kiến thức mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Khái niệm nghiệm ổn định, bị chặn . . . . . . . . .
2.1.2 Một số bổ đề cần dùng . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Phương pháp nghiên cứu tính ổn định . . . . . . .
2.2 Hệ tuyến tính không dừng và phương trình Riccati . . . .
2.3 Các kết quả cho phương trình vi phân có chậm phân phối .
2.4 Bất phương trình ma trận với hệ tuyến tính không dừng

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

4
4
4
6
7
7
14

.
.
.
.
.
.

.

18
18
18
19
20
24
30
34

3 Một vài ứng dụng của phương trình vi phân có chậm
39
3.1 Ứng dụng vào bài toán ổn định hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Ứng dụng vào mô hình tăng trưởng quần thể một loài . . . . . . . 45

1


Mở Đầu
Lý thuyết ổn định các phương trình vi phân là một trong những hướng nghiên
cứu quan trọng của Toán học. Lý thuyết này được được khởi đầu từ những đòi
hỏi của thực tế và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như Cơ học,
Điều khiển học, Vật lý, Toán học, Sinh thái học, Kỹ thuật, Kinh tế, ... . Hiện
nay lý thuyết ổn định vẫn là một trong những lĩnh vực Toán học lớn được nhiều
người quan tâm.
Lý thuyết ổn định đã được nghiên cứu nhiều cho các hệ phương trình vi phân
thường. Ngày nay, việc nghiên cứu đã được mở rộng theo nhiều hướng. Một
trong số đó là nghiên cứu trên các phương trình vi phân hàm, đặc biệt là các
phương trình có chậm. Luận văn này đề cập đến tính ổn định của một lớp các

phương trình vi phân có chậm và trình bày một vài ứng dụng của nó.
Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mục
tài liệu tham khảo.
Chương một trình bày những kiến thức cơ sở về phương trình vi phân hàm:
giới thiệu về khái niệm và cách tìm nghiệm theo điều kiện ban đầu của một số
loại phương trình vi phân có chậm. Các ví dụ ở phần này ngoài mục đích giới
thiệu cách giải phương trình vi phân hàm còn nhằm làm bật tính vô hạn chiều
của tập nghiệm của phương trình vi phân hàm, bất kể không gian trạng thái là
vô hạn chiều hay hữu hạn chiều.
Chương hai trình bày khái niệm ổn định nghiệm và các phương pháp chính để
nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân có chậm. Các định lý ở đây
đều thuộc hướng nghiên cứu ổn định bằng phương pháp thứ hai Lyapunov. Với
các phương trình hàm, thay vì hàm Lyapunov thông thường ta sẽ cần dùng tới
các công cụ mạnh hơn đó là các phiếm hàm Lyapunov- Krasovskii trong không
gian các hàm liên tục. Ngoài ra, chương này còn giới thiệu công thức nghiệm
của phương trình ma trận Riccati trong trường hợp hệ tuyến tính không dừng
và kết quả cho phương trình vi phân có chậm không dừng.
Chương ba trình bày một số ứng dụng của phương trình vi phân có chậm.
2


Cụ thể là ứng dụng các kết quả ổn định của các hệ có chậm vào bài toán điều
khiển và bài toán phân tích tính chất quần thể sinh thái đơn loài.
Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn
Sinh Bảy. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã
dành nhiều công sức và thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôi trong việc
hoàn thành bản luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo và các thầy cô trong khoa Toán - Cơ Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội về các kiến thức và những
điều tốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian học tập tại trường. Tôi xin cảm ơn
tới phòng Sau Đại học về những điều kiện thuận lợi trong việc hoàn thành thủ

tục học tập và bảo vệ luận văn.
Cám ơn các thầy và các bạn trong seminar Phương trình vi phân về những
sự động viên và những ý kiến trao đổi quí báu đối với bản thân tôi trong thời
gian qua.
Cuối cùng tôi muốn tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân là chỗ dựa về tinh
thần và vật chất cho tôi trong cuộc sống và trong học tập.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những thiếu
sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy, cô và các bạn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2013

Nguyễn Thị Hậu

3


Chương 1

Phương trình vi phân có chậm
1.1

Giới thiệu về phương trình vi phân hàm

1.1.1

Dạng biểu diễn

Chúng ta nhắc lại rằng đẳng thức
x(t)
˙
= f (t, x(t)), x ∈ X, t ∈ R

gọi là một phương trình vi phân thường trong không gian X (xem [1, 2, 13 ]).
Ở đẳng thức này ta thấy tốc độ thay đổi của hệ thống (đối tượng nghiên cứu)
tại thời điểm t (đặc trưng bởi x(t)
˙ ) chỉ phụ thuộc vào t và trạng thái tức thời
x(t) của chính hệ thống đó. Sau đây, ta sẽ đề cập đến một loại phương trình vi
phân trong đó ngoài sự phụ thuộc như trên tốc độ thay đổi x(t)
˙
còn phụ thuộc
vào trạng thái của hệ thống trong quá khứ hoặc trong tương lai (xem [8, 9, 10
12] ). Ta xét phương trình sau
x(t)
˙
= f (t, x(q1 (t)), x(q2 (t)), ..., x(qs (t))),

(1.1)

trong đó x ∈ Rn và để đơn giản (đủ cho việc nghiên cứu định tính) ta chỉ xét
cho trường hợp t ∈ R+ := [0, +∞), f : R+ × Rn×s −→ Rn , f ∈ C 0 (liên tục theo
t), qi (t) (i = 1, s) là các hàm đơn điệu. Khi đó
• Nếu qi (t) = t, ∀i = 1, s thì (1.1) là một phương trình vi phân thường.
• Nếu qi (t) ≤ t, ∀i = 1, s và tồn tại i0 sao cho qi0 (t) < t thì (1.1) được gọi là

một phương trình vi phân có chậm.
• Nếu qi (t) ≥ t, ∀i = 1, s và tồn tại i0 sao cho qi0 (t) > t thì (1.1) được gọi là

một phương trình vi phân sớm.
4

• Nếu tồn tại i0 và i1 sao cho qi0 (t) < t và qi1 (t) > t thì (1.1) được gọi là một

phương trình vi phân vừa chậm, vừa sớm.
Trừ trường hợp đầu (khi là phương trình vi phân thường), ở các trường hợp sau
phương trình (1.1) được gọi là một phương trình vi phân hàm. Tên gọi này xuất
phát từ việc cần thiết phải xét tập nghiệm trong không gian các hàm liên tục
chứ không phải chỉ xét chúng trong không gian trạng thái như với các phương
trình vi phân thường. Điều này phản ánh bản chất vô hạn chiều của tập nghiệm
của các phương trình vi phân thuộc lớp này (xem [5, 6, 8, 9, 12 ] ). Qua các nội
dung trong luận văn ta sẽ làm rõ ý kiến này. Trong Luận văn này ta bỏ qua các
phương trình sớm mà chỉ nghiên cứu về các phương trình chậm, nghĩa là khi
qi (t) ≤ t, ∀i = 1, s và tồn tại i0 sao cho qi0 (t) < t. Tập thời gian được mặc định là
t ∈ R+ := [0, +∞). Trong trường hợp này
h := max{max{t − qi (t)}}
i

t∈R+

được gọi là độ chậm của phương trình. Sau đây là một số kiến thức mở đầu về
loại phương trình này.
Xét phương trình (1.1) trong đó qi (t) < t và độ chậm là h > 0. Ký hiệu
C := C([−h, 0], Rn ) là không gian Banach của các hàm liên tục trên đoạn [−h, 0]
và nhận giá trị trong Rn . Chuẩn của hàm φ ∈ C xác định như sau
||φ||C =

sup ||φ(θ)||Rn .

−h≤θ≤0

Giả sử x = x(t) là một hàm liên tục trên R+ . Với mỗi t ∈ R+ , bằng cách đặt

xt (s) = x(t + s), ∀s ∈ [−h, 0]

ta sẽ có hàm xt ∈ C([−h, 0], Rn ). Như vậy, xt là cung từ t − h đến t của đường
cong x = x(t). Khi s chạy trên [−h, 0] ta thấy x(t + s) chạy trên [t − h, t]. Có thể
thấy đại lượng này mang các thông tin về trạng thái x(s) với s ∈ [t − h, t]. Các
thông tin này là "chậm" theo nghĩa đã xảy ra trước thời điểm t. Khi x(t)
˙
phụ
thuộc vào các trạng thái này, ta sẽ có một quan hệ hàm được mô tả như sau
x(t)
˙
= f (t, xt ),

(1.2)

trong đó
f : D ⊂ R × C −→ Rn .

Đây là phương trình tổng quát nhất của các phương trình có chậm với độ chậm
h.
5


1.1.2

Nghiệm và định lý tồn tại duy nhất nghiệm

Định nghĩa 1.1. ([9]) Hàm liên tục x = x(t) có đạo hàm phải hầu khắp nơi trên
R+ mà khi thay vào (1.2) được đẳng thức được gọi là một nghiệm của phương
trình có chậm (1.2).

Điều kiện ban đầu.
Định nghĩa 1.2. ([9]) Cho trước φ ∈ C và t0 ∈ R+ . Nghiệm x(.) của (1.2) thỏa
mãn điều kiện
x(s) = φ(s), ∀s ∈ [t0 − h, t0 ]

gọi là nghiệm đựợc xác định bởi điều kiện ban đầu (t0 , φ) (hay là nghiệm đi qua
(t0 , φ)).
Nghiệm này thường được ký hiệu là x(t0 , φ, t) hoặc chỉ đơn giản là x(t), khi
không có khả năng nhầm lẫn.
Định lý tồn tại, duy nhất nghiệm
Định lý 1.1. ([9], tr 41) Giả sử D là một tập mở trong R+ ×C và f ∈ C(D, Rn ).
Nếu (t0 , φ) ∈ D thì tồn tại một nghiệm của phương trình (1.2) đi qua (t0 , φ).
Nếu hàm f là Lipschitz theo biến φ thì nghiệm nói trên xác định duy nhất.
Định lý trên đây được chứng minh ở [9], dựa vào bổ đề sau đây ([9], tr 37)
Bổ đề 1.1. ([9]) Nếu t0 ∈ R+ , φ ∈ C cho trước và f (t, φ) là liên tục thì việc
tìm nghiệm của phương trình (1.2) qua (t0 , φ) tương đương với việc giải phương
trình tích phân sau
xt 0 = φ

(1.3)

t

x(t) = φ(t0 ) +

f (s, xs )ds,

t ≥ t0 .

t0

Lưu ý rằng hàm x(t) thỏa mãn phương trình tích phân trong Bổ đề 1.1 chỉ
cần khả vi bên phải hầu khắp nơi, không cần phải khả vi (hai phía) khắp nơi
như khái niệm nghiệm cổ điển của các phương trình vi phân thường. Ta sẽ thấy
điều này qua các ví dụ về việc giải các phương trình chậm ở phần sau.

6


1.2
1.2.1

Cách giải phương trình có chậm hằng rời rạc
Trường hợp có một độ chậm hằng rời rạc

Các phương trình vi phân thường dạng đặc biệt ta có thể giải được, hơn nữa
có thể đưa ra các công thức giải tích tường minh cho tập nghiệm trên toàn bộ
trục số. Với các phương trình vi phân hàm việc tìm nghiệm như vậy nói chung
là không thể, trừ một vài phương trình đơn giản với các điều kiện ban đầu cho
trước. Ngay cả trong trường hợp này, công thức nghiệm cũng chỉ có thể tìm
bằng cách dựa vào Bổ đề 1.1 (xem [9]), lấy tích phân trên từng đoạn có độ dài
h0 thích hợp, bắt đầu từ t0 . Các kết quả nhận được là rất khác nhau theo các
điều kiện ban đầu khác nhau và nói chung không nêu được một công thức giải
tích cho cả bán trục R+ . Phương pháp lấy tích phân theo từng đoạn như vậy
gọi là phương pháp "step" (bước chậm).
Sau đây là một vài ví dụ về việc tìm nghiệm trên các khoảng hữu hạn theo điều
kiện ban đầu. Nhắc lại phương trình có độ chậm h > 0 (1.2)
x(t)
˙
= f (t, xt )

trong đó xt ∈ C([−h, 0], Rn ), xt (s) = x(t + s), ∀s ∈ [−h, 0]. Trước tiên, ta phân tích
độ phức tạp của tập nghiệm của phương trình này trên góc nhìn từ tập phổ. Để
minh họa ta xét ví dụ sau cho trường hợp x ∈ R1 .
x(t)
˙
= x(t)

(1.4)

x(t)
˙
= x(t − 1)

(1.5)

Tìm nghiệm ở dạng x(t) = eλt , (λ ∈ C), ta sẽ có ngay phương trình đặc trưng
của (1.4) và (1.5) tương ứng là
λ=1
(1.6)
λ = e−λ , (λ ∈ C).

(1.7)

Rõ ràng nghiệm của (1.6) là duy nhất, nghiệm cơ bản của phương trình chỉ có
một hàm x = et . Nghiệm tổng quát của phương trình đơn giản là x = Cet (C là
hằng số tuỳ ý). Trong khi đó, tập các nghiệm phức của phương trình đặc trưng
(1.5) là một tập vô hạn đếm được (xem [9] ). Do đó, tập nghiệm của phương
trình có chậm (1.3) là một tập vô hạn đếm được. Qua ví dụ này ta thấy ngay
cả khi phương trình là rất đơn giản (một khoảng chậm rời rạc và không gian

trạng thái là vô hướng) tập phổ của phương trình đã khá phức tạp. Khi dạng
của phương trình tổng quát hơn và số chiều của không gian tăng lên thì tập
7


phổ lại càng phong phú, nói chung là rất khó kiểm soát. Điều đó cũng có nghĩa
là tập nghiệm của phương trình hàm là phức tạp, khó nghiên cứu về mặt định
lượng.
Về sự khác biệt giữa (1.2) và (1.3) cũng sẽ được làm rõ qua cách giải hai
phương trình này bằng phương pháp step ở phần sau.
Với điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên xác định, tập nghiệm có thể trở
nên đơn giản và tường minh hơn. Ta minh họa nhận xét này qua ví dụ sau trong
trường hợp đơn giản nhất, khi không gian trạng thái là vô hướng (X = R). Ta
xét cùng một phương trình nhưng trong ba tình huống sau:
Ví dụ 1.1.
a) Phương trình vi phân có chậm không có điều kiện ban đầu
x(t)
˙
= −x(t −

π
).
2

(1.8)

b) Phương trình vi phân có chậm với điều kiện ban đầu

π
x(t)

˙
= −x(t − ), t ≥ 0
x(t) = a,

2
π
∀t ∈ − , 0 , (a ∈ R).
2

c) Phương trình vi phân có chậm với điều kiện biên

π
π

x(t)
˙
= −x(t − ), t ∈ 0,


2
2

x(t)
˙

= 0,

∀t ∈ R \ 0,





x(0) = a,

π
2

(1.9)

(1.10)

(a ∈ R).

Ta có thể thấy x(t) = cos t là nghiệm của (1.8). Thật vậy, với mọi t ≥ 0 có
x(t)
˙
= − sin t = − cos t −

π
2

= −x t −

π
.
2

Tuy nhiên, x(t) = cos t lại không phải là nghiệm của (1.9) vì không thỏa mãn
điều kiện ban đầu
x(t) = a,

π
∀t ∈ − , 0 .
2

Và x(t) = cos t cũng không phải là nghiệm của (1.10) vì không thỏa mãn điều
kiện biên
π
x(t)
˙
= 0, ∀t ∈ R \ 0,
.
2

Tiếp theo, để tìm nghiệm của (1.9), ta sẽ sử dụng công thức tích phân ở Bổ đề
1.1 (phương pháp step)
t

x(t) = φ(0) +

f (s, xs )ds.
0

8


Theo nghĩa cổ điển thì nói chung (1.2) và (1.3) là không tương đương. Để chúng
là tương đương thì khái niệm "nghiệm" cần được hiểu theo nghĩa rộng hơn: x(t)
có thể không khả vi khắp nơi mà chỉ cần khả vi bên phải hầu khắp nơi trên R+ .
Giải theo phương pháp step, ta thấy tại các điểm đầu và cuối các bước độ dài

h0 hàm là liên tục nhưng có thể không khả vi.
π
Theo (1.3), trên 0,
ta có
2

t

x(t) = x(0) −

x s−
0

π
ds
2

t

=a−

ads
0

= a(1 − t).

Trên

π
, π , ta có

2
t

π
− π x s−
ds
2
2
t
π
π
=a 1−
− π a 1−s+
ds
2
2
2
a
π
π2 π2
= − t2 − a 1 +
+
t+a 1+
2
2
4
8

π
x(t) = x

2

Tương tự ta có thể thác triển trên π,

.

3π
3π
, 2π , ...
,
2
2

Bây giờ ta xét tới nghiệm của (1.10).

Do


x(t)
˙

= 0,

∀t ∈ R \ 0,

π
2

x(0) = a.
nên ta có x(t) = a,

π
∀t ∈ − , 0 .
2

Vậy, dùng lời giải cho (1.9) ở trên ta có nghiệm của (1.10) trên đoạn 0,
x(t) = a(1 − t).

Kết hợp với điều kiện biên ta có nghiệm của (1.10) là


a, khi t < 0



π
x(t) =
a(1 − t), khi 0 ≤ t ≤
2



 a 1 − π , khi t > π .
2

9

2

π

2

là


Nhận xét 1.1.
π
• Trở lại phương trình có chậm (1.9), với hàm φ(t) = a, ∀t ∈ − , 0 ta có
2
π
π
3π
3π
nghiệm x(t) được tính như trên trên các đoạn 0,
, , π , π,
,
, 2π ,
2
2
2
2

... và nói chung là trên R+ .
• Cho hàm bất kỳ φ ∈ C

π
− ,0 ,R
2

ta cũng có thể thác triển nghiệm về

bên phải điểm 0 theo công thức (1.3) (tích phân tồn tại vì φ liên tục). Do
φ là tùy ý trong không gian hàm C (vô hạn chiều) nên ta thấy tập nghiệm
của (1.9) là có vô hạn chiều.
• Tại các điểm thay đổi công thức nghiệm x(t) của (1.10) không nhất thiết

khả vi.
Sau đây là một số ví dụ về việc tìm nghiệm của phương trình vi phân có chậm rời
rạc theo điều kiện ban đầu bằng phương pháp step. Như đã nói ở trên, phương
pháp này chỉ có thể cho kết quả trên các đoạn hữu hạn.
Ví dụ 1.2. Tìm nghiệm của phương trình dạng Bernouly, trên đoạn [1, 2]

x(t)
˙ − x(t) = −x2 (t − 1)x2 (t),
(1.11)
x(t)
= t,
∀t ∈ [0, 1].
Giải. Khi t ∈ [1, 2] thì t − 1 ∈ [0, 1]. Do đó
x(t − 1) = t − 1,

∀t ∈ [1, 2].

Khi đó (1.11) trở thành
x(t)
˙ − x(t) = −(t − 1)2 x2 (t).

(1.12)

Đây là một phương trình vi phân thường dạng Bernouly.

Từ (1.12) có x(t) = 0 không thỏa mãn điều kiện ban đầu. Nên
−2
x(t)x
˙
(t) − x−1 (t) = −(t − 1)2 .

(1.13)

Đặt z(t) := x−1 (t), ta đưa về phương trình vi phân tuyến tính
z(t)
˙ + z(t) = (t − 1)2 .

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là
z(t) = ce−t .
10

(1.14)


Tìm một nghiệm riêng ở dạng
z(t) = at2 + bt + c.

Ta tìm được
z(t) = (t − 1)2 − 2(t − 1) + 2.

Vậy nghiệm tổng quát của (1.14) là
x(t) = Ce−t + (t − 1)2 − 2(t − 1) + 2.

Thay lại z(t) = x−1 (t), ta được
x(t) =

Ce−t

1
.
+ (t − 1)2 − 2(t − 1) + 2

Lưu ý đến x(1) = 1, ta xác định được C = −2e.
Vậy nghiệm của (1.13) trên [1,2] và thỏa mãn điều kiện ban đầu trên là
x(t) =

−2e1−t

1
.
+ (t − 1)2 − 2(t − 1) + 2

Ví dụ 1.3.

x(t)
˙
= 3x(t − 1),
x(t) = φ(t) = t, t ∈ [−1, 0].
trên [0, 4]

Giải.
Trên [−1, 0], ta có x(t) = φ(t) = t.
Trên [0, 1]
t

f (τ, xτ )dτ

x(t) = φ(0) +
0
t

3x(τ − 1)dτ

=0+
0
t

x(τ − 1)dτ

=3
0
t

(τ − 1)dτ

=3
0

3
t
= (τ − 1)2 0
2
3
3
= (t − 1)2 − .

2
2
11


Trên [1, 2]
t

x(τ − 1)dτ

x(t) = x(1) + 3
1
t

3
3
3
(τ − 2)2 −
dτ
=− +3
2
2
2
1
1
3
3
t
= − + 3 (τ − 2)3 − τ 1
2

2
2
3
1
3
= − + 3 (t − 2)3 − t + 2
2
2
2
3
9
9
3
= (t − 2) − t + .
2
2
2

Trên [2, 3]
t

x(τ − 1)dτ

x(t) = x(2) + 3
2
t

3
9
9

9
(τ − 3)3 − (τ − 1) +
=− +3
2
2
2
2
2
9
3
9
9
= − + 3 (τ − 3)4 − (τ − 1)2 + t
2
8
4
2
9
27
27
207
= (t − 3)4 − (t − 1)2 + t −
.
8
4
2
8

t
2

Trên [3, 4]
t

x(τ − 1)dτ

x(t) = x(3) + 3
3
t

9
27
27
207
99
+3
(τ − 4)4 − (τ − 2)2 + (τ − 1) −
dτ
8
8
4
2
8
3
99 27
27
81
621 t
t
t

t
t
= − + (τ − 4)5 3 − (τ − 2)3 3 + (τ − 1)2 3 −
8
40
4
4
8 3
27
81
621
5877
27
= (t − 4)5 − (t − 2)3 + (t − 1)2 −
t+
.
40
4
4
8
40
=−

Cứ tiếp tục như vậy ta xác định nghiệm của phương trình trên từng đoạn liên
tiếp.
Ví dụ 1.4.
Tìm nghiệm của phương trình cấp hai có chậm sau trên đoạn [0, 3]

x¨(t) = 4x(t
˙ − 1),

x(t) = φ(t) = t, t ∈ [−1, 0].
Giải.

12


Đặt x(t)
˙
:= y(t), ta có

x(t
˙ − 1) = y(t − 1),
x¨(t) = y(t).
˙
˙ = 1, t ∈ [−1, 0].
Ta có x(t) = φ(t) = t, t ∈ [−1, 0] nên y(t) = x(t)
˙
= φ(t)
Vậy

y(t)
˙ = 4y(t − 1) := g(t, yt ),

y(t) = 1, t ∈ [−1, 0].
Trên [−1, 0], y(t) = 1, x(t) = t.
Trên [0, 1]
t

y(t) = y(0) +

g(τ, yτ )dτ
0
t

4y(τ − 1)dτ

=1+
0

t

y(τ − 1)dτ

=1+4
0
t

=1+4

dτ = 1 + 4t.
0

⇒ x(t) = t + 2t2 + C1 .

Trên [1, 2]
t

y(t) = y(1) +

g(τ, yτ )dτ

1
t

y(τ − 1)dτ

=5+4
1
t

[1 + 4(τ − 1)] dτ

=5+4
1
t

(4τ − 3)dτ

=5+4
1

= 5 + (4τ − 3)2
= 4 + (4t − 3)2 .
⇒ x(t) = 4t +

1
(4t − 3)3 + C2 .
12

13

t
1


Trên [2, 3]
t

y(τ − 1)dτ

y(t) = y(2) + 4
2
t

4 + (4τ − 7)2 dτ

= 29 + 4
2

1
+ (4τ − 7)3
3
1
10
= (4t − 7)3 + 16t − .
3
3
1
10
⇒ x(t) = (4t − 7)4 + 8t2 − t + C3 .
48

3
Trong đó C1 , C2 , C3 là các hằng số.
= 29 + 16τ

t
2

t
2

Cứ tiếp tục như vậy ta sẽ xác định được nghiệm của phương trình trên các đoạn
liên tiếp.
1.2.2

Trường hợp có nhiều độ chậm hằng rời rạc

Khi phương trình có nhiều độ chậm rời rạc khác nhau 0 < h1 < ... < hr = h
thì dù điều kiện ban đầu được cho trên đoạn có độ dài h nhưng khi vận dụng
Bổ đề 1.1, ta chỉ có thể lấy tích phân lần lượt trên các đoạn có độ dài h1 , kể từ
t0 . Ta minh hoạ qua ví dụ sau
x(t)
˙
= f (t, x(t − h1 ), x(t − h2 ), x(t − h3 ), ..., x(t − hr ))
x(t) = φ(t),

t ∈ [−h, 0],

trong đó 0 < h1 < h2 < h3 < ... < hr := h.
Để đơn giản ta coi t0 = 0.
Trước tiên, với t ∈ [0, h1 ], ta có

t

f (τ, x(τ − h1 ), x(τ − h2 ), x(τ − h3 ), ..., x(τ − hr ))dτ

x(t) = x(0) +

(1.15)

0
t

f (τ, φ(τ − h1 ), φ(τ − h2 ), φ(τ − h3 ), ..., φ(τ − hr ))dτ := xh1 (t).

= x(0) +
0

Như vậy, trên [0, h1 ] công thức (1.15) là hoàn toàn tường minh : vế trái là
hàm cần tìm x(t), vế phải là tích phân một biểu thức của φ(τ − hi )- một hàm
đã biết trên đoạn lấy tích phân [0, h1 ]. Như đã ký hiệu, đoạn đường cong trên
[−h + h1 , h1 ] của hàm liên tục x(t) vừa tìm được là xh1 (t). Đó là phần đầu tiên
của nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu (0, φ) của hệ. Tiếp tục, trên [h1 , 2h1 ] ta

14


lại lấy tích phân theo biểu thức của đoạn hàm liên tục vừa tìm được xh1 (t)
t

f (τ, x(τ − h1 ), x(τ − h2 ), x(τ − h3 ), ..., x(τ − hr ))dτ

x(t) = x(h1 ) +

(1.16)

h1
t

f (τ, xh1 (τ − h1 ), xh1 (τ − h2 ), xh1 (τ − h3 ), ..., xh1 (τ − hr ))dτ

= xh1 (h1 ) +
h1

:= x2h1 (t).

Tương tự, trên [2h1 , 3h1 ] ta có
t

f (τ, x2h1 (τ − h1 ), x2h1 (τ − h2 ), x2h1 (τ − h3 ), ..., x2h1 (τ − hr ))dτ.

x(t) = x2h1 (2h1 ) +
2h1

...
Tiếp tục quá trình này, ta xác định được nghiệm của hệ trên toàn bán trục
R+ , trong đó trên [ih1 , (i + 1)h1 ]
t

f (τ, xih1 (τ − h1 ), xih1 (τ − h2 ), xih1 (τ − h3 ), ..., xih1 (τ − hr ))dτ

x(t) = xih1 (ih1 ) +

ih1

Lưu ý rằng do f là một hàm giới nội trên D nên các tích phân ở trên luôn tồn
tại. Nghiệm của hệ là hoàn toàn xác định.
Ví dụ 1.5. Giải phương trình sau

x(t)
˙
= 2x(t − 2) + 3x(t − 3) − 4x(t − 5) = f (t, xt ),
x(t) = sin t,

(1.17)

t ∈ [−5, 0].

Giải. Trên [−5, 0], ta có x(t) = sin t.
Trên [0, 2]
t

x(t) = x(0) +

f (τ, xτ )dτ
0
t

[2x(τ − 2) + 3x(τ − 3) − 4x(τ − 5)] dτ

= sin 0 +
0
t

[2 sin(τ − 2) + 3 sin(τ − 3) − 4 sin(τ − 5)] dτ

=0+
0

= [−2 cos(τ − 2) − 3 cos(τ − 3) + 4 cos(τ − 5)]

t
0

= −2 cos(t − 2) − 3 cos(t − 3) + 4 cos(t − 5) + 2 cos 2 + 3 cos 3 − 4 cos 5.

15


Trên [2, 4]
t

x(t) = x(2) +

f (τ, xτ )dτ
2
t

= −2 + 7 cos 3 + 2 cos 2 − 3 cos 1 − 4 cos 5 + 2

x(τ − 2)dτ
2

t

t

x(τ − 3)dτ − 4

+3
2

x(τ − 5)dτ
2

Xét trên [2, 4], ta có
t

t

x(τ − 2)dτ =

[−2 cos(τ − 4) − 3 cos(τ − 5) + 4 cos(τ − 7)] dτ

2

2
t

[2 cos 2 + 3 cos 3 − 4 cos 5] dτ

+
2

= [−2 sin(τ − 4) − 3 sin(τ − 5) + 4 sin(τ − 7)]
+ [(2 cos 2 + 3 cos 3 − 4 cos 5)τ ]

t
2

t
2

= −2 sin(t − 4) − 3 sin(t − 5) + 4 sin(t − 7) − 2 sin 2 − 3 sin 3
+ 4 sin 5 + (2 cos 2 + 3 cos 3 − 4 cos 5)(t − 2)
t

3

x(τ − 3)dτ =
2

t

x(τ − 3)dτ +
2

x(τ − 3)dτ
3

3

t

sin(τ − 3)dτ − 2

=
2

t

cos(τ − 5)dτ − 3
3

t

t

cos(τ − 8)dτ +

+4

cos(τ − 6)dτ
3

3

(2 cos 2 + 3 cos 3 − 4 cos 5)dτ
3

= cos 1 − 1 + [−2 sin(τ − 5) − 3 sin(τ − 6) + 4 sin(τ − 8)]
+ (2 cos 2 + 3 cos 3 − 4 cos 5)τ

t
3

t
3

= cos 1 − 1 − 2 sin(t − 5) − 3 sin(t − 6) + 4 sin(t − 8) − 2 sin 2
− 3 sin 3 + 4 sin 5 + (2 cos 2 + 3 cos 3 − 4 cos 5)(t − 3)
t

t

x(τ − 5)dτ =
2

sin(τ − 5)dτ = − cos(τ − 5)
2

t
2

= − cos(t − 5) + cos 3

Từ đó, trên [2, 4]
x(t) = (2 cos 2 + 3 cos 3 − 4 cos 5)(5t − 13) − 4 sin(t − 4) − 12 sin(t − 5) + 4 cos(t − 5)
− 9 sin(t − 6) + 8 sin(t − 7) + 12 sin(t − 8) − 5 + 2 cos 2 − 10 sin 2 + 3 cos 3
− 15 sin 3 − 4 cos 5 + 20 sin 5.
16

Tương tự ta tìm được nghiệm x(t) trên các đoạn liên tiếp [4, 6], [6, 8], ...
Tóm lại.
Chương này giới thiệu về các phương trình vi phân hàm, nêu những khó khăn
khi giải loại phương trình này. Chúng tôi đã đưa ra một số ví dụ về việc tìm
nghiệm theo điều kiện ban đầu cho trường hợp độ chậm rời rạc. Qua cách giải
có thế thấy được tính vô hạn chiều của tập nghiệm.

17


Chương 2

Sự ổn định của các phương trình vi
phân có chậm
2.1

Kiến thức mở đầu

2.1.1

Khái niệm nghiệm ổn định, bị chặn

Xét phương trình có chậm tổng quát (1.2)
x(t)
˙
= f (t, xt ), t ≥ 0
f (t, 0) = 0, ∀t ∈ R+ .

Điều kiện f (t, 0) = 0 đảm bảm rằng hệ trên có nghiệm cân bằng tầm thường
x(t) ≡ 0. Ta luôn giả thiết hàm f đủ tốt để các điều kiện về tồn tại, duy nhất

và kéo dài nghiệm trên R+ được thỏa mãn.
Định nghĩa 2.1.
• Nghiệm x = 0 của phương trình (1.2) được gọi là ổn định nếu ∀t0 ∈ R+ , ∀ >
0, ∃δ = δ(t0 , ) sao cho với mọi φ ∈ C mà ||φ|| < δ thì ||x(t0 , φ, t)|| < , ∀t ≥ t0 .

• Nghiệm x = 0 của phương tình (1.2) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó là

ổn định và tồn tại δ1 > 0 sao cho với ||φ|| < δ1 thì x(t0 , φ, t) → 0 khi t → +∞ .

• Nghiệm x = 0 của phương trình (1.2) được gọi là ổn định đều (hoặc ổn định

tiệm cận đều) nếu δ ( hoặc δ1 ) nói trên là không phụ thuộc vào t0 .

18


• Nghiệm x = 0 được gọi là ổn định mũ nếu với mọi φ ∈ C, tồn tại δ > 0, N > 0

sao cho
||x(t0 , φ, t)|| ≤ N ||φ||e−δ(t−t0 ) , ∀t ≥ t0 .
• Với α > 0 cho trước nghiệm x = 0 ổn định mũ với chỉ số α (δ = α) thì nói

nghiệm đó là α - ổn định mũ.
Khi nghiệm tầm thường x = 0 ổn định ta sẽ nói ngắn gọn là hệ phương trình ổn
định (theo các nghĩa khác nhau nói trên).
Ngoài khái niệm ổn định, đôi khi ta cần dùng đến khái niệm nghiệm bị chặn,
được định nghĩa như sau.
Định nghĩa 2.2.
• Nghiệm x(t0 , φ, t) của phương trình (1.2) được gọi là bị chặn nếu ∃β(t0 , φ)

sao cho ||x(t0 , φ, t)|| ≤ β(to , φ), ∀t ≥ t0 − h.
• Nghiệm x(t0 , φ, t) của phương trình (1.2) là bị chặn đều nếu ∃α > 0, ∃β =
β(α) > 0 sao cho ∀t0 ∈ R, φ ∈ C, ||φ|| ≤ α thì ||x(t0 , φ, t)|| ≤ β(α), ∀t ≥ t0 .
• Nghiệm x(t0 , φ, t) của phương trình (1.2) là bị chặn cuối cùng nếu tồn tại

hằng số β sao cho với (t0 , φ) ∈ R × C , tồn tại hằng số t1 (t0 , φ) sao cho
||x(t0 , φ, t)|| < β , ∀t ≥ t0 + t1 (t0 , φ).
• Nghiệm x(t0 , φ, t) của phương trình (1.2) là bị chặn đều cuối cùng nếu tồn

tại hằng số β > 0 sao cho với α > 0 nào đó, tồn tại t1 (α) > 0 sao cho
||x(t0 , φ, t)|| ≤ β với t ≥ t0 + t1 (α), t0 ∈ R, φ ∈ C, ||φ|| ≤ α.
2.1.2

Một số bổ đề cần dùng

Dưới đây là các bổ đề cần dùng cho việc chứng minh các kết quả ở chương 2
và chương 3. Các bổ đề này được phát biểu và chứng minh ở [7].
Bổ đề 2.1. Cho S ∈ Rn×n đối xứng, xác định dương, Q ∈ Rn×n tùy ý. Khi đó
với ∀x, y ∈ Rn có bất đẳng thức Cauchy sau
2 Qy, x ≤ Sy, y + QS −1 QT x, x .

Hệ quả 2.1. Giả sử N ∈ Rn×n là ma trận nửa xác định dương, x, y ∈ Rn . Khi
đó
2xT y ≤ xT N x + yN −1 y.

19


Bổ đề 2.2. Cho W ∈ Rn×n là ma trận hằng thỏa mãn W = W T , số σ > 0 sao
cho w : [0, σ] −→ Rn . Khi đó

T

σ

w(s)ds
0

σ

σ

W

w(s)ds

wT (s)W w(s)ds.

≤σ
0

0

Ngoài ra ta cũng hay dùng đến các hàm thuộc lớp CIP , được định nghĩa như
sau
CIP := {u : R+ −→ R+ |u(0) = 0, u(s) > 0 nếu s > 0, u(.) liên tục và không
giảm trên R+ }.
2.1.3

Phương pháp nghiên cứu tính ổn định

Phương pháp thứ nhất Lyapunov dựa vào khái niệm tập phổ rất được ưa
chuộng trong nghiên cứu ổn định các phương trình vi phân thường. Với phương
trình vi phân hàm (1.2)
x(t)
˙
= f (t, xt ),

phương pháp này hoàn toàn không khả dụng. Lý do đơn giản là tập phổ của
các phương trình hàm quá phức tạp, khó có thể kiểm soát hay đánh giá chúng.
Hơn nữa, sự liên hệ giữa tập phổ và hành vi tập nghiệm cũng là chưa rõ ràng.
Nghiên cứu tính ổn định của các phương trình vi phân hàm người ta chủ yếu
dựa vào các hàm bổ trợ, thường gọi là các phiếm hàm Lyapunov-Krasovskii (gọi
ngắn gọn là hàm Lyapunov), hoạt động trong không gian hàm. Điều này cũng
rất khác so với trường hợp phương trình vi phân thường, các hàm bổ trợ chỉ cần
hoạt động trong không gian trạng thái.
Giả sử f : R+ × C −→ Rn với f (t, 0) = 0, ∀t ∈ R+ và f đủ tốt (thường được
giả thiết là hoàn toàn liên tục) để thỏa mãn các điều kiện về tồn tại, duy nhất
và kéo dài nghiệm.
Giả sử xác định một hàm số
V : R+ × C −→ R+ ,

trong đó V (t, φ) liên tục theo từng biến và V (t, 0) = 0, ∀t ≥ t0 . Giả sử x(t) =
x(t0 , φ, t) là nghiệm của phương trình (1.2).
Ký hiệu sau đây chỉ đạo hàm theo biến t của hàm V dọc theo nghiệm của phương
trình (1.2)
1
V˙ = V˙ (1.2) (t, φ) = lim+ [V (t + h, xt+h (t, φ)) − V (t, φ)].
h→0 h

20

Định lý 2.1. ([9]) Giả sử tồn tại hàm V : D ⊂ R+ × C −→ R+ , V (t, 0) = 0, ∀t ≥
t0 , liên tục theo từng biến trên D và tồn tại các hàm u(s), w(s) : R+ −→ R+ liên
tục không giảm, u(s) > 0 với s > 0, u(0) = 0. Khi đó:
(i) Nếu
u(||φ(0)||) ≤ V (t, φ)
V˙ (1.2) (t, φ) ≤ −w(||φ(0)||)

thì nghiệm x = 0 của (1.2) là ổn định.
(ii) Nếu có thêm điều kiện lim u(s) = +∞ vào điều kiện của (i) thì nghiệm
s→+∞

của (1.2) là bị chặn.
(iii) Nếu có thêm điều kiện w(s) > 0 với s > 0 vào điều kiện (i) thì nghiệm
x = 0 của (1.2) là ổn định tiệm cận.
Phần chứng minh định lý này có thể xem ở [7] (J. Hale) hoặc ở [13] (Yoshizawa).
Định lý sau đây cho ta điều kiện đủ để nghiệm là ổn định đều.
Định lý 2.2. Giả sử tồn tại hàm V : D ⊂ R+ × C −→ R+ , V (t, 0) = 0, ∀t ≥ t0 ,
liên tục theo từng biến trên D và tồn tại các hàm u(s), v(s), w(s) : R+ −→ R+
liên tục không giảm, u(s), v(s) > 0 với s > 0, u(0) = v(0) = 0. Khi đó:
(i) Nếu
u(||φ(0)||) ≤ V (t, φ) ≤ v(||φ||)
V˙ (t, φ) ≤ −w(||φ(0)||)

thì nghiệm x = 0 của (1.2) là ổn định đều.
(ii) Nếu có thêm điều kiện lim u(s) = +∞ vào điều kiện của (i) thì nghiệm
s→+∞

của (1.2) là bị chặn đều.

(iii) Nếu có thêm điều kiện w(s) > 0 với s > 0 vào điều kiện (i) thì nghiệm
x = 0 của (1.2) là ổn định tiệm cận đều.
Chứng minh.
(i) Với > 0 tuỳ ý, ∃δ = δ( ), (0 < δ < ) sao cho v(δ) < u( ). Nếu ||φ|| < δ, t0 ∈
R+ thì
V˙ (t, xt (t0 , φ)) ≤ 0, ∀t ≥ t0 .

Nên ta có V (t, xt (t0 , φ)) ≤ V (t0 , xt0 (t0 , φ)) = V (t0 , φ).
Điều này dẫn đến
V (t, xt (t0 , φ)) ≤ V (t0 , φ) ≤ v(||φ||) < v(δ) < u( ).

Suy ra
u(||x(t0 , φ)(t)||) ≤ V (t, xt (t0 , φ)) < u( ).
21


Do u là hàm không giảm nên
||x(t0 , φ)(t)|| < , ∀t ≥ t0 .

Vậy, với ∀ > 0, ∃δ = δ( ), t0 ∈ R+ , ||φ|| < δ thì ||x(t0 , φ)(t)|| < , ∀t ≥ t0 .
Từ đó ta có x = 0 là ổn định đều (số δ không phụ thuộc vào t0 ).
(ii) Ta có u(0) = 0, lim u(s) = +∞ và u(.) liên tục nên với mọi số α > 0 luôn
s→+∞

tồn tại β = β(α) sao cho u(β) = v(α).
Nếu ||φ|| ≤ α thì theo chứng minh (i) ta có
u(||x(t0 , φ)(t)||) < v(α) = u(β).

Do u là hàm không giảm nên
||x(t0 , φ)(t)|| < β.

Vậy với α > 0 nào đó, tồn tại số β = β(α) sao cho ∀t ∈ R, φ ∈ C, ||φ|| ≤ α thì
||x(t0 , φ)(t)|| < β . Do đó nghiệm x = 0 là bị chặn đều.
(iii) Theo (i) thì nghiệm x = 0 là ổn định đều. Ta kiểm tra tính hút về 0 của
nghiệm.
Giả sử = 1, δ0 = δ(1), trong đó δ(.) được định nghĩa trong (i). Ta đi chứng
minh rằng ∀ > 0, tồn tại t1 (δ0 , ) > 0 sao cho ||φ|| < δ0 thì nghiệm x(t0 , φ) thỏa
mãn ||xt (t0 , φ)|| < với t ≥ t0 + t1 (δ0 , ).
Giả sử tồn tại nghiệm x = x(t0 , φ), ||φ|| < δ0 thỏa mãn ||xt || ≥ δ, t ≥ t0 . Do đó
mỗi khoảng có độ dài h chứa một số s sao cho ||x(s)|| > δ . Vì vậy tồn tại {tk }k
sao cho
||x(tk )|| ≥ δ,

t0 + (2k − 1)h ≤ tk ≤ t0 + 2kh, k = 1, 2, ....

Do f là hàm hoàn toàn liên tục nên tồn tại hằng số L sao cho ||x(t)||
˙
< L, ∀t ≥ t0 .
Vì vậy, trong khoảng tk −

δ
δ
δ
≤ t ≤ tk +
ta có x(t) > .
2L
2L
2

Thật vậy, từ giả thiết của hàm f, tồn tại hằng số L sao cho ||x(t)||

˙
< L, ∀t ≥ t0 ,
suy ra
tk

||

tk

x(τ
˙ )dτ || ≤
t

tk

||x(τ
˙ )||dτ ≤
t

Ldτ = L(tk − t)
t

⇒

||x(tk )|| − ||x(t)|| ≤ ||x(tk ) − x(t)|| ≤ L(tk − t)

⇒

||x(t)|| ≥ ||x(tk )|| − L(tk − t) ≥ δ −

δ
δ
= .
2
2

Do đó
V˙ (t, xt ) ≤ −w(||φ(0)||) ≤ −w

δ
2
22

,

tk −

δ
δ
≤ t ≤ tk +
.
2L
2L


Với L đủ lớn, nếu cần thiết ta có thể giả thiết rằng các khoảng này là không
giao nhau. Do đó
V (tk , xtk ) − V (t0 , φ) ≤ −w

δ

2

δ
(k − 1).
L

Giả sử K(δ0 , L) là số nguyên dương nhỏ nhất mà
v(δ0 )
.
δ
δ
w
L
2

K(δ0 , L) ≥

Nếu k > 1 + K(δ0 , L) thì
δ δ v(δ0 )
V (tk , xtk ) < v(δ0 ) − w( )
2 Lδ
δ
w
L
2

≤ 0.

Điều này mâu thuẫn. Do đó, tồn tại τ = τ (t0 , φ) sao cho
t0 < τ < t0 + 2hK(δ0 , L) mà ||xτ || < δ và ||xt || < với t ≥ t0 + 2hK(δ0 , L).

Định lý được chứng minh.
Định lý sau cho ta một tiêu chuẩn ổn định mũ.
Định lý 2.3. ([12]) Giả sử tồn tại hàm V : D ⊂ R+ × C −→ R, V (t, 0) = 0,
∀t ≥ t0 , liên tục theo từng biến trên D. Nếu tồn tại các số dương λ1 , λ2 , λ3 sao cho
λ1 (||φ(0)||) ≤ V (t, φ) ≤ λ2 ||φ||

và
V˙ (1.2) (t, φ) ≤ −λ3 ||φ(0)||

thì nghiệm x(t0 , φ) của (1.2) thỏa mãn
||x(t0 , φ)(t)|| ≤

λ2
||φ||e−λ3 (t−t0 ) .
λ2

Định lý 2.4. ([3]) Cho

x(t)
˙
= f (t, xt ),
x(t) = φ(t), t ∈ [−h; 0].
Nếu tồn tại hàm Lyapunov- Krasovskii V (t, xt ) và số dương λ1 , λ2 , λ3 sao cho
mọi nghiệm x(t) thỏa mãn:
(i) λ1 ||xt ||2 ≤ V (t, xt ) ≤ λ2 ||xt ||2
23