Đề thi HSG lop 9(09-10)

PHÒNG GD&ĐT CHƯƠNG MỸ
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học: 2009-2010
Môn thi : Toán (150 phút)
Bài 1 ( 2,5 điểm)
a, Tìm số tự nhiên n để n + 18 và n – 41 là hai số chính phương.
b, Căn bậc hai của 64 có thể viết dưới dạng:
64 6 4= +
.
Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết chúng dưới dạng như trên và là
một số nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó?
Bài 2 ( 3,0 điểm)
Cho biểu thức:
1 1
1 1
A x
x x x x
= + −
+ − − −
a, Rút gọn A, chứng minh A
≥
0.
b, Tìm x để A = 9.
c, Tính giá trị của A khi:
( ) ( )
4 15 . 10 6 . 4 15x
= + − −
Bài 3 ( 2,5 điểm)
Cho hàm số y = (2m – 1).x + n – 2 (1) với m, n là tham số.
a, Vẽ đồ thị của (1) khi m = 2, n = 2.
b, Tìm m, n để đồ thị đi qua gốc tọa độ và vuông góc với đường thẳng có phương trình:

2x – 5y = 1
c, Giả sử m, n tùy ý sao cho m + n = 1. Chứng minh rằng đường thẳng (1) luôn đi qua
điểm cố định, tìm tọa độ điểm cố định đó?
Bài 4 ( 2,0 điểm) Giải phương trình:

2 3. 2. 5 2 2. 5 2 2x x x x
+ + − + − − − =

Bài 5 ( 3,0 điểm)
a, Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn: a + b + c = 1.
Chứng minh rằng: a + b
≥
16a.b.c
b, Cho 3 số a, b, c khác 0 thỏa mãn điều kiện a
3
+ b
3
+ c
3
= 3a.b.c
Tính giá trị của biểu thức:
1 . 1 . 1
a b c
M
b c a
     
= + + +
 ÷  ÷  ÷
     
Bài 6: (5,0 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm A với OA = 2R. Từ A kẻ

tiếp tuyến AE, AF đến (O), (E, F thuộc (O)). Đường thẳng OA cắt (O) tại C và D (O
nằm giữa A và C).
a, Chứng minh rằng 4 điểm A, E, O, F thuộc một đường tròn.
b, Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với OE cắt AF tại M. Tính tỷ số diện tích tam giác
OFM và tam giác OAM.
c, Tính diện tích tứ giác AECF theo R.
d, Đường thẳng kẻ từ D vuông góc với OE cắt EC tại Q. Chứng minh rằng 3 đường
thẳng AC, EF, QM đồng quy.
Bài 7: ( 2,0 điểm) Cho hình thoi ABCD cạnh 1, hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi R
1
và R
2
lần lượt là bán kính của các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và ABD.
Chứng minh rằng:
2 2
1 2
1 1
4
R R
+ =
Q
M
C
F
E
A
O
D