Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng hall trong siêu mạng pha tạp
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.42 MB, 59 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------
TRỊNH THU THỦY
LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG HALL
TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội – 2013
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------
TRỊNH THU THỦY
LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG HALL
TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60 44 01 03
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
CÁN BỘ HƢỚNG DẪN: GS.TS. NGUYỄN QUANG BÁU
Hà Nội – 2013
LỜI CẢM ƠN
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến GS.TS. NGUYỄN
QUANG BÁU, ngƣời đã chỉ bảo tận tình và hƣớng dẫn em trong quá trình thực
hiện luân văn khoa học này.
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ và dạy bảo tận tình của các thầy cô
giáo trong bộ môn Vật lý Lý thuyết – Khoa Vật lý – Trƣờng Đại học Khoa học Tự
nhiên – ĐHQGHN trong suốt khóa học.
Xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Vật lý, phòng Sau đại học,
trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên đã quan tâm, tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn
thành luận văn.
Em cũng gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên
em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Luận văn đƣợc hoàn thành dƣới sự tài trợ của để tài nghiên cứu khoa học
NAFOSTED (10301 – 2011.18) & QGTD.12.01
Hà Nội, ngày
tháng
Học viên
Trịnh Thu Thủy
năm
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................ 1
CHƢƠNG 1: SIÊU MẠNG PHA TẠP VÀ LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ VỀ
HIỆU ỨNG HALL TRONG BÁN DẪN KHỐI ................................................ 5
1.1. Tổng quan về siêu mạng pha tạp ................................................................... 5
1.1.1. Khái niệm về siêu mạng pha tạp ............................................................ 5
1.1.2. Phổ năng lƣợng và hàm sóng của điện tử giam cầm trong siêu mạng pha
tạp ................................................................................................................... 6
1.2. Lý thuyết lƣợng tử về hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối ............................. 7
CHƢƠNG 2: PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ VÀ BIỂU THỨC GIẢI
TÍCH CHO HỆ SỐ HALL TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP ......................... 13
2.1. Hamiltonian của hệ điện tử giam cầm – phonon trong siêu mạng pha tạp ............. 13
2.2. Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp ............ 14
2.3. Biểu thức giải tích cho hệ số Hall ............................................................... 23
CHƢƠNG 4: TÍNH SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ KẾT QUẢ LÝ THUYẾT TRONG
SIÊU MẠNG PHA TẠP GaAs ...................................................................... 37
3.1. Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo tần số f ................................................. 38
3.2. Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo từ trƣờng B ............................................ 39
3.3. Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào nồng độ pha tạp ....................................... 40
KẾT LUẬN .................................................................................................. 41
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 42
PHỤ LỤC ..................................................................................................... 43
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Thành tựu của khoa học vật lý cuối những năm 80 của thế kỷ 20 đƣợc đặc
trƣng bởi sự chuyển hƣớng đối tƣợng nghiên cứu chính từ các vật liệu bán dẫn khối
(bán dẫn có cấu trúc 3 chiều) sang bán dẫn thấp chiều. Đó là, các bán dẫn hai chiều
(giếng lƣợng tử, siêu mạng hợp phần, siêu mạng pha tạp, màng mỏng, …); bán dẫn
một chiều (dây lƣợng tử hình trụ, dây lƣợng tử hình chữ nhật,…); bán dẫn không
chiều (chấm lƣợng tử hình lập phƣơng, chấm lƣợng tử hình hình cầu).
Ta biết rằng ở bán dẫn khối, các điện tử có thể chuyển động trong toàn mạng
tinh thể (cấu trúc 3 chiều). Nhƣng trong các cấu trúc thấp chiều (hệ hai chiều, hệ
một chiều và hệ không chiều), ngoài điện trƣờng của thế tuần hoàn gây ra bởi các
nguyên tử tạo nên tinh thể, trong mạng còn tồn tại một trƣờng điện thế phụ. Trƣờng
điện thế phụ này cũng biến thiên tuần hoàn nhƣng với chu kỳ lớn hơn rất nhiều so
với chu kỳ của hằng số mạng (hàng chục đến hàng nghìn lần). Tuỳ thuộc vào trƣờng
điện thế phụ tuần hoàn mà các bán dẫn thấp chiều này thuộc về bán dẫn có cấu trúc
hai chiều (giếng lƣợng tử, siêu mạng), hoặc bán dẫn có cấu trúc một chiều (dây
lƣợng tử). Nếu dọc theo một hƣớng nào đó có trƣờng điện thế phụ thì chuyển động
của hạt mang điện sẽ bị giới hạn nghiêm ngặt ( hạt chỉ có thể chuyển động tự do
theo chiều không có trƣờng điện thế phụ), phổ năng lƣợng của các hạt mang điện
theo hƣớng này bị lƣợng tử hoá. Chính sự lƣợng tử hóa phổ năng lƣợng của các hạt
tải dẫn đến sự thay đổi cơ bản các đại lƣợng vật lý: hàm phân bố, mật độ dòng,
tenso độ dẫn, tƣơng tác điện tử với phonon…, đặc tính của vật liệu, làm xuất hiện
nhiều hiệu ứng mới, ƣu việt mà hệ điện tử ba chiều không có [1,2]. Các hệ bán dẫn
với cấu trúc thấp chiều đã giúp cho việc tạo ra các linh kiện, thiết bị điện tử dựa trên
nguyên tắc hoàn toàn mới, công nghệ cao, hiện đại có tính chất cách mạng trong
khoa học kỹ thuật nói chung và quang-điện tử nói riêng. Nhờ những tính năng nổi
bật, các ứng dụng to lớn của vật liệu bán dẫn thấp chiều đối với khoa học công nghệ
và trong thực tế cuộc sống mà vật liệu bán dẫn thấp chiều đã thu hút sự quan tâm
đặc biệt của các nhà vật lý lý thuyết cũng nhƣ thực nghiệm trong và ngoài nƣớc.
1
Trong nhiều năm gần đây, có rất nhiều nghiên cứu về sự ảnh hƣởng của sóng
điện từ lên bán dẫn thấp chiều. Sự hấp thụ tuyến tính sóng điện từ yếu gây ra bởi sự
giam giữ các điện tử trong bán dẫn thấp chiều đƣợc nghiên cứu bằng cách sử dụng
phƣơng pháp Kubo - Mori [1 - 4]. Những tính toán về hệ số hấp thụ phi tuyến tính
sóng điện từ mạnh đƣợc nghiên cứu trên cơ sở sử dụng phƣơng trình động lƣợng tử
cho điện tử trong bán dẫn khối [5], trong bán dẫn siêu mạng hợp phần [6, 7] và
trong dây lƣợng tử [8]. Hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối với sự có mặt của sóng
điện tử đƣợc nghiên cứu rất chi tiết bằng việc sử dụng phƣơng pháp phƣơng trình
động lƣợng tử [9 – 13]. Trong [11] và [12], từ trở ngang đƣợc nghiên cứu với sự có
mặt của sóng điện từ mạnh cho hai trƣờng hợp: vectơ từ trƣờng và vectơ điện
trƣờng của sóng điện từ là trực giao nhau [11] và song song với nhau [12]. Ngoài ra,
sự phụ thuộc của từ trở ngang vào góc tƣơng đối của các trƣờng tác dụng, đƣợc tính
đến trong [9 - 13].
Những vấn đề của hiệu ứng Hall trong hệ hai chiều ở nhiệt độ tƣơng đối cao,
đặc biệt là với sự có mặt của trƣờng laser đang đƣợc quan tâm nghiên cứu từ nhiều
quan điểm và góc độ khác. Tuy nhiên, bài toán vật lý về tính toán lý thuyết độ dẫn
Hall và hệ số Hall trong siêu mạng pha tạp dƣới ảnh hƣởng của sóng điện từ, từ
trƣờng dọc theo trục siêu mạng với cơ chế tán xạ điện tử – phonon quang chƣa
nghiên cứu. Do đó, trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu vấn đề còn bỏ ngỏ trên
với đề tài: “Lý thuyết lƣợng tử về hiệu ứng Hall trong siêu mạng pha tạp”.
2
2. Phƣơng pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng phƣơng pháp phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử và
sử dụng chƣơng trình Matlab để tính toán số cho siêu mạng pha tạp n – i – p – i
GaAs:Si/GaAs . Đây là phƣơng pháp phổ biến để nghiên cứu bán dẫn thấp chiều.
3. Mục đích, đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu: Tính toán độ dẫn Hall và hệ số Hall trong siêu mạng
pha tạp để làm rõ hơn các tính chất đặc biệt của bán dẫn thấp chiều.
Đối tƣợng nghiên cứu: Siêu mạng pha tạp.
Phạm vi nghiên cứu: Xét rƣờng hợp từ trƣờng dọc theo trục siêu mạng và tán
xạ chủ yếu là tán xạ điện tử - phonon quang.
4. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn này
đƣợc chia làm ba chƣơng:
CHƢƠNG I: Siêu mạng pha tạp và lý thuyết lƣợng tử về hiệu ứng Hall trong bán
dẫn khối.
CHƢƠNG II: Phƣơng trình động lƣợng tử và biểu thức giải tích cho tenxo độ dẫn
Hall, hệ số Hall cho siêu mạng pha tạp.
CHƢƠNG III: Tính toán số và vẽ đồ thị các kết quả lý thuyết cho siêu mạng pha
tạp cụ thể n-GaAs/p-GaAs.
Trong luận văn này, chúng tôi đã xây dựng đƣợc biểu thức độ dẫn Hall và hệ
số Hall khi tán xạ điện tử - phonon quang đƣợc xét đến ở nhiệt độ cao và khí điện tử
là không suy biến. Sự ảnh hƣởng của sóng điện từ đƣợc giải thích bởi sự phụ thuộc
của hệ số Hall và độ dẫn Hall vào biên độ và tần số (năng lƣợng phonton) của sóng
điện từ bên cạnh sự phụ thuộc vào từ trƣờng và điện trƣờng.Kết quả giải tích đƣợc
tính toán số và vẽ đồ thị cho siêu mạng GaAs:Si/GaAs cho thấy hệ số Hall đạt giá
trị bão hòa khi từ trƣờng hoặc tần số sóng điện từ tăng và luôn luôn âm.
Những kết quả thu đƣợc đã đƣợc giải nhì trong báo cáo khoa học sinh viên
của trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội và đóng góp vàp
3
báo cáo khoa học ở Hội nghị Khoa học Quốc tế “Tính toán trong khoa học vật liệu”
– Thái Lan, 7/2013.
4
CHƢƠNG 1
SIÊU MẠNG PHA TẠP VÀ LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG
HALL TRONG BÁN DẪN KHỐI
Trong chƣơng đầu tiên này, chúng tôi sẽ giới thiệu sơ lƣợc về siêu mạng pha
tạp và hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối theo quan điểm lƣợng tử. Từ Hamiltonnian
của hệ điện tử - phonon, bằng phƣơng pháp phƣơng trình động lƣợng tử, đƣa ra
công thức tenxo độ dẫn Hall, công thức xác định hệ số Hall của điện tử trong bán
dẫn khối.
1.1. Tổng quan về siêu mạng pha tạp
1.1.1. Khái niệm về siêu mạng pha tạp
Bán dẫn siêu mạng là loại cấu trúc tuần hoàn nhân tạo gồm các lớp bán dẫn
thuộc hai loại khác nhau có độ dày cỡ nanomet đặt kế tiếp. Do cấu trúc tuần hoàn,
trong bán dẫn siêu mạng, ngoài thế tuần hoàn của mạng tinh thể, các electron còn
phải chịu một thế tuần hoàn phụ do siêu mạng tạo ra với chu kỳ lớn hơn hằng số
mạng rất nhiều. Thế phụ đƣợc tạo nên bởi sự khác biệt giữa các đáy vùng dẫn của
hai bán dẫn cấu trúc thành siêu mạng.
Trong bán dẫn siêu mạng, độ lớn của các lớp đủ hẹp để electron có thể xuyên
qua các lớp mỏng kế tiếp nhau, và khi đó có thể coi siêu mạng nhƣ một thế tuần
hoàn bổ sung và thế mạng tinh thể.
Bán dẫn siêu mạng đƣợc chia làm hai loại: bán dẫn siêu mạng hợp phần và
bán dẫn siêu mạng pha tạp.
Bán dẫn siêu mạng bao gồm chuỗi tuần hoàn các lớp tinh thể mỏng đan xen
kế tiếp nhau, lớp đan xen có thể là các hợp chất khác nhau(ví dụ nhƣ AlAs/GaAs,
InAs/GaSb) gọi là bán dẫn siêu mạng hợp phần
Bán dẫn siêu mạng pha tạp có cấu tạo các hố thế trong siêu mạng, đƣợc tạo
thành từ các lớp bán dẫn cùng loại nhƣng pha tạp khác nhau và sắp xếp đan xen
nhau (ví dụ nhƣ n – GaAs/p - GaAs). Siêu mạng pha tạp đƣợc sắp xếp tuần hoàn
của các lớp bán dẫn mỏng GaAs loại n (GaAs : Si) và GaAs loại p (GaAs : Be),
ngăn cách bởi các lớp GaAs không pha tạp đƣợc gọi là tinh thể n-i-p-i.
5
Trong siêu mạng pha tạp, hàm sóng vùng dẫn của các giải nhỏ bị di đi ½ chu
kỳ cảu siêu mạng so với hàm sóng của vùng hóa trị. Khe hở E geff có thể đƣợc coi là
một độ hở gián tiếp trong không gian thực. Siêu mạng hợp phần cũng có độ hở gián
tiếp trong không gian thực nhƣ thế nhƣng sự phân biệt không gian giữa điện tử và lỗ
trống là không hoàn chỉnh và ảnh hƣởng của nó không mạnh nhƣ ở siêu mạng pha
tạp. Do đó siêu mạng pha tạp ngoài những đặc thù vốn có của siêu mạng hợp phần
còn có đặc trƣng mới đó là khe năng lƣợng gián tiếp của không gian thật ở trong vật
liệu đƣợc bố trí thành lớp.
Mặt khác thế tuần hoàn trong siêu mạng pha tạp gây ra bởi điện tích không
gian, điều này khác hẳn so với siêu mạng hợp phần vì khe hở các thành phần mạng
sẽ tạo ra sự thay đổi chu kỳ ở các mép giải. Ƣu điểm của siêu mạng pha tạp về mặt
cấu trúc điện tử là: có thể sử dụng một bán dẫn thuần chất đƣợc điều biến bằng cách
chập lên nó một thế chu kỳ siêu mạng.
1.1.2. Phổ năng lƣợng và hàm sóng của điện tử giam cầm trong siêu
mạng pha tạp
Hàm sóng của điện tử trong siêu mạng pha tạp với trục siêu mạng đƣợc giả
thiết theo phƣơng Oz:
n, p r e
i p r
e
S0
Un r
n z jd
ipz jz
j 1
Và phổ năng lƣợng của điện tử trong siêu mạng pha tạp:
n, p
p2
1
p n
*
2m
2
2
Trong đó:
n = 1,2,3,4,…: Chỉ số lƣợng tử của phổ năng lƣợng theo phƣơng z
p p p z : Vectơ xung lƣợng của điện tử (vectơ sóng điện tử)
r : Hình chiếu của r lên mặt phẳng (x, y)
Un( r ): Hàm thế năng của điện tử
S0: Số chu kỳ siêu mạng
6
d : Chu kỳ siêu mạng
p 2e
nD
tần số plasma gây bởi các tạp chất donor
0 m*
nD : Nồng độ pha tạp
0 : Hằng số điện
e: Khối lƣợng của điện tử
m*: Khối lƣợng hiệu dụng của điện tử
Từ đó thấy phổ năng lƣợng của điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp
chỉ nhận các giá trị năng lƣợng gián đoạn, không giống trong bán dẫn khối, phổ
năng lƣợng là liên tục trong toàn bộ không gian. Sự khác biệt phổ năng lƣợng nhƣ
vậy gây ra khác biệt đáng kể trong tất cả các tính chất của điện tử trong siêu mạng
pha tạp.
1.2. Lý thuyết lƣợng tử về hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối.
Trong phần này chúng tôi giới thiệu tổng quát về ảnh hƣởng của sóng điện từ
lên hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối.
Trong bán dẫn khối, nếu ta đặt một dòng điện theo phƣơng Ox, một từ
trƣờng theo phƣơng Oz thì thấy xuất hiện một điện trƣờng theo phƣơng Oy. Hiện
tƣợng này đƣợc gọi là Hiệu ứng Hall cổ điển.
Ở đây, để có ảnh hƣởng của sóng điện từ lên hiệu ứng Hall trong bán dẫn
khối. ta xét bán dẫn khối đặt trong điện trƣờng và từ trƣờng không đổi, vuông góc
với nhau. Sự có mặt của sóng điện từ mạnh đặc trƣng bởi vectơ cƣờng độ điện
trƣờng E (E0sin t,0,0) với Eo và tƣơng ứng là biên độ và tần số của sóng điện từ).
Trƣớc hết, ta xây dựng phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong bán dẫn
khối khi có mặt trƣờng sóng điện từ. Sử dungjHamiltonnian của hệ điện tử - phonon
trong bán dẫn khối:
H H e H ph H e ph
(1.1)
7
Với:
e
H e p A(t) a p a p
c
p
H ph q bqbq
H e ph Dq a p q a p bq bq
q, p
e
H p A(t) a p a p q bq bq Dq a p q a p bq bq
c
p
q, p
Trong đó:
a p , a p : Toán tử sinh và hủy điện tử
bq , bq : Toán tử sinh hủy phonon
Dq : Hằng số tƣơng tác điện tử - phonon
p, p q : Trạng thái của điện tử trƣớc và sau khi tán xạ
p : Năng lƣợng của điện tử
A(t) : Thế vectơ của trƣờng điện từ
q : Tần số của phonon âm
Số điện tử trung bình đƣợc đặc trƣng bởi xung lƣợng p là: n p t a p a p
t
Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong bán dẫn khối có dạng:
i
n p t
t
a p a p , H
(1.2)
t
Số hạng thứ nhất:
e
a p a p , p A(t) a p ' a p '
c
p
e
p A(t) a p p , p ' a p ' a p a p ' a p ' p p ' a p a p ' a p 0
c
p
Số hạng thứ hai:
a a , bb a a , bb 0
q q q
q p p
q q
p p
Số hạng thứ ba:
8
a p a p , Dq a p ' q a p ' bq b q
q, p '
Dq a p a p ' p , p ' q a p ' q a p p , p ' bq bq
q, p '
Dq
q
aa
p
a p a p q b q
b
p q q t
t
a p q a p bq
t
a p q a p b q
t
Dq Fp , p q ,q t Fp*q , p , q t Fp , p q ,q t Fp*, pq , q t
q
Thay số hạng thứ nhất, só hạng thứ hai, số hạng thứ ba vào phƣơng trình (1.2) ta có:
i
n p t
t
Dq Fp , p q ,q t Fp*q , p , q t Fp , p q ,q t Fp*, pq , q t
q
Với : Fp , p
1
2 ,q
t
a p a p bq
1
2
(1.3)
t
Để giải phƣơng trình (1.3) ta đi tính hàm F(t):
i
Fp , p
1
2 ,q
t
t
a p a p bq , H
1 2
(1.4)
t
Chứng minh tự tƣơng ta nhận đƣợc phƣơng trình đối với hàm Fp , p
1
i
Fp , p
1
2 ,q
t
t
Dq a p a p
1
t :
e
p 2 p1 * p 2 p1 A t q Fp , p ,q t
mc
1 2
1
2 ,q
2 p1
b
q1
b q bq
1
q1
t
(1.5)
Dq a p q a p bq b q bq
q1
1
1
1
2
1
1
t
Ta sẽ giả thiết có đƣa vào đoạn nhiệt của tƣơng tác điện tử - phonon và của trƣờng
cao tần, khi đó t . Tƣơng tác điện tử - phonon sẽ đƣợc cho là yếu và nghiên
cứu nhƣ nhiễu loạn. Khi đó phần bên phải có thể đƣa đến sự tách và để lại giá trị
trung bình chéo
n p t a p a p ; n p t bqbq
Giải phƣơng trình thu đƣợc ở trên với điều kiện ban đầu:
Fp , p
1
2 ,q
t 0
9
Xét tập hợp tần số thấp của hàm phân bố, đồng thời giả thiết phân bố phonon là đối
xứng ta sẽ thu đƣợc phƣơng trình:
n p t
r
eE1
2 Dk
2
n p t
p
2N
k
1 j k n p k n p p k p l
l
k
2
l
(1.6)
Bổ sung ảnh hƣởng của từ trƣờng ta thu đƣợc:
n p t
r
eE1 c p, h
2 Dk
2
2N
n p t
p
k
1 j k n p k n p p k p l
l
k
2
l
(1.7)
e
p p và lấy tổng theo p ta thu đƣợc:
m
Sau đó nhân hai vế với
R
c p, R Q S
T
(1.8)
Trong đó:
R
p
Q
n p
e
p
F p
m p p
S
e
pn p
m p
2 e
D
m k k
2
2N
k
(1.9)
n n
1 k
p
pk
np
p
2 p k p p k k p k k k
Giải phƣơng trình (1.8) ta thu đƣợc:
R
T
(1 c2 T 2 ( ))
Q S cT h, Q S T
2
c
2
h h, Q S
(1.10)
Hàm R có ý nghĩa mật độ dòng “riêng” đƣợc chuyển dời bởi các electron với
năng lƣợng . Đại lƣợng này liên hệ với mật độ dòng bởi hệ thức:
10
j R d
(1.11)
0
Hay j im Em từ đó ta thu đƣợc biểu thức tenxo độ dẫn:
i
im
b0b2
T
T
2
e
ik cT F ikl hl c2T F hi hk
a0 ik b0b1
2
2 2
2
m 1 c T
1 c T
T F
1 T
2
c
2
F
ik
cT F ikl hl c2T
ik cT F ikl hl c2T
2
2
F hi hk b0b3
T F
1 c2T
2
F
F hi hk km cT F kmn hn c2T F hk hm
2
(1.12)
Trong đó:
a0
eLx 0
eLx 2 k B e 2 E02 eE1c
I N, N '
4 2 m 0 S 2 4 4 02
b0
b1 4
b2
b3
(1.13)
0
2 4
0 31 2 0 0 3 2 2 0 0 33 2 4 7
1
2
3
4 7
72 52
5 7
72 62
67
1
2m 3p N e2 E12 2m p2 F
eE
2
0 1 2c
2 2
0
0
2
1
2m 3p N ' e2 E12 2m p2 F
eE
2
1 1 2c
2 2
0
0
2
1
2m 3p N ' e2 E12 2m p2 F
eE
2
2 1 2c
2 2
0
0
2
11
1
2m 3p N ' e2 E12 2m p2 F
eE
2
3 1 2c
2 2
0
0
2
2
eE
4 1 2c
0
2
eE
5 1 2c
0
2
eE
6 1 2c
0
1
2m 3p N e2 E12 2m p2 F
2
02
2
1
2m 3p N e2 E12 2m p2 F
2
02
2
1
2m 3p N e2 E12 2m p2 F
2
02
2
1
2m 3p N ' e2 E12 2m p2 F
eE
2
7 1 2c
2 2
0
0
2
Ở đây Dk là hằng số tƣơng tác của điện tử và phonon (với các cơ chế tán xạ của
tƣơng tác điện tử và phonon khác nhau thì Dk có giá trị khác nhau). Và dựa vào đó
ta sẽ xác định đƣợc các thông số a0 , b0 , b1 , b2 , b3 trong biểu thức ….Từ đó ta có: công
thức xác định hệ số Hall của điện tử trong bán dẫn khối:
RH
xz (B)
1
2
B zz (B) xz2 B
(1.14)
Bằng phƣơng pháp phƣơng trình động lƣợng tử, ta thu nhận đƣợc biểu thức
tenxo độ dẫn Hall từ đó xác định đƣợc công thức hệ số Hall trong bán dẫn khối.
Theo (1.13)và (1.14)ta có nhận xét: dƣới ảnh hƣởng của trƣờng sóng điện từ hệ số
Hall RH phụ thuộc vào biên độ E0, tần số Ω, bên cạnh đó hệ số Hall còn phụ thuộc
vào từ trƣờng B, tỉ lệ nghịch với B2 và phụ thuộc vào điện trƣờng không đổi E1ện
12
CHƢƠNG 2
PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ VÀ BIỂU THỨC GIẢI TÍCH
CHO HỆ SỐ HALL TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP
Trong chƣơng này, chúng tôi đƣa ra Hamiltonian của hệ điện tử giam cầm phonon trong siêu mạng pha tạp. Sau đó bằng phƣơng pháp phƣơng trình động
lƣợng tử cho điện tử trong siêu mạng pha tạp, từ đó tìm đƣợc biểu thức giải tích cho
hệ số Hall.
2.1. Hamiltonian của hệ điện tử giam cầm – phonon trong siêu mạng pha tạp.
Xét siêu mạng pha tạp (n+i-p-i) với trục siêu mạng đƣợc giả thiết theo
phƣơng z, ở đó khí điện tử đuợc giam giữ bởi một thế đƣợc đặt vào dọc theo
phƣơng z và chuyển động tự do theo phƣơng (x - y). Chuyển động của electron bị
giam giữ trong hệ thống và năng lƣợng của nó bị lƣợng tử hóa theo phƣơng z. Nếu
ta đặt vào trục siêu mạng một điện trƣờng dọc theo trục Ox: E1 (E1 , 0, 0) , một từ
trƣờng không đổi theo phƣơng Oz: B1 (0, 0, B1 ) , không những thế còn có sự góp
mặt của trƣờng laser E (0, E1sin t ,0) đƣợc đặt dọc theo trục z.
Hamiltonian của hệ điện tử - phonon quang khi có mặt của trƣờng Laser:
H H0 U
H0
N ,n
N ,n , k y
U=
(2.1)
e
k y A t aN ,n ,ky aN ,n ,ky q bq bq
c
q
D
N ,n , N ', n '
N , N ' n ,n ' q , k y
q a
N ',n ' k y q y
aN ,n , ky bq bq
(2.2)
Vậy :
H
N ,n k y
N ,n , k y
e
A t aN ,n , k aN ,n , k q bq bq
y
y
c
q
DN ,n , N ',n' q aN ',n ' k
N , N ' n ,n ' q , k y
y qy
aN ,n , ky bq bq
Trong đó:
13
(2.3)
n: Chỉ số lƣợng tử theo phƣơng z (n=0,1,2,…)
N; Chỉ số Landau
N , n, k y
q
và
N ' , n' , k y q y
trạng thái của điện tử trƣớc và sau va chạm
: Năng lƣợng của phonon quang với vectơ sóng
aN ,n,k và aN ,n,k
y
y
q (qx , qy , qz )
: Toán tử sinh và toán tử hủy của điện tử
bq và bq là toán tử sinh và toán tửu hủy của phonon quang
At
: Thế vectơ của trƣờng điện từ
DN ,n , N ',n ' q
: Yếu tố ma trận tƣơng tác. Nó phụ thuộc vào trạng thái đầu và trang thái
cuối của điện tử và tƣơng tác cơ học
Cq
: Hằng số tƣơng tác điện tử và phonon quang. Nó phụ thuộc vào tán xạ cơ học,
tƣơng tác điện tử - phonon quang [5,6,20]
Cq 2 e2 0 1 01 / 0V0 q 2
2
(2.4)
Ở đây:
0 : Hằng số điện
V0 : Thể tích chuẩn hóa của mẫu đo
0 và : Hằng số tần số điện môi tĩnh và hằng số tần số điện môi cao
2.2. Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp.
Trƣớc hết, ta đi thiết lập phƣơng trình động lƣợng tử cho số điện tử trung bình
f N ,n,k y aN ,n,k y aN ,n,k y
i
aN ,n,k y aN ,n,k y t
t
. Phƣơng trình có dạng:
t
aN ,n,k y aN ,n,k y , t
(2.5)
Số hạng thứ nhất:
14
e
aN ,n,k y aN ,n,k y , N ' ,n' k ' y A t aN ' ,n' ,k 'y aN ,n,k y t 0
c
N ' , n' , k 'y
(2.6)
Số hạng thứ hai:
aN ,n ,k y aN ,n ,k y , q bq bq 0
q
(2.7)
Số hạng thứ 3:
aN ,n ,k y aN ,n ,k y , DN ',n ', N1' ,n1' q aN ',n ' k y' q y aN1' ,n1' ,k y' bq bq
N ', N1' n ', n1' q , k y'
D
N ', N1'
n ', n1'
q , k y'
N ', n ', N1' , n1'
q aN ,n,k aN ,n ,k N , N ' n,n ' k ,k
aN ',n ' k ' q aN ,n ,k N , N ' n ,n'
y
y
y
1
1
'
1
y
'
k y ,k y
b
q
'
1
'
y
y
'
y qy
b
q
bq
bq
DN ,n , N ' ,n' q aN ,n ,k aN ' ,n' ,k y q bq bq
N1'
n1'
q
1
1
DN ,n , N ',n ' q aN ',n ' k
N'
n'
q
y
y qy
1
1
y
aN ,n ,k bq bq
y
aN ,n ,k y aN ,n ,k y , DN ',n ', N1' , n1' q aN ', n ' k y' q y a N1' , n1' , k y' bq bq
N ', N1' n ', n1' q , k y'
DN ,n , N ",n " q aN ,n ,k aN ",n "k y q bq bq
N " n"
q
DN ,n , N '',n '' q aN '',n '' k
N '' n ''
q
y
y qy
y
aN , n, k bq bq
y
DN ,n , N ",n" q aN ,n ,k aN ",n "k y q bq DN ,n , N ",n" q aN ",n "k y q aN , n, k b q
y
y
y
y
N '' n '' q
*
*
DN ,n , N ",n" q aN ",n "k y q aN ,n ,k bq DN ,n , N ",n" q aN ,n,k aN ",n "k y q b q
y
y
y
y
(2.8)
15
Với:
FN ,n , p , N
1
1
1
t
2 , n2 , p 2 , h
aN ,n , p aN
1
1
1
2 , n2,
b
p2 h
t
Thay vào (2.8) ta có:
aN ,n ,k y aN ,n ,k y , DN ',n ', N1' ,n1' q aN ', n ' k y' q y aN1' , n1' , k y' bq bq
N ', N1' n ', n1' q , k y'
DN ,n , N ",n " q FN ,n ,k , N '',n '',k y q , q DN ,n , N ",n " q FN* '', n '', k y q , N , n, k , q
y
y
y
y
N '' n '' q
DN ,n , N ",n" q FN '',n '',k y q
y , N ,n,k y ,q
DN ,n , N ",n " q FN* , n, k
y , N '', n '', k y q y , q
(2.9)
Thay (2.6),(2.7), (2.9) vào phƣơng trình (2.5) ta có:
i
aN ,n,k y aN ,n,k y t
t
DN ,n , N ",n" q FN ,n ,k , N '',n '',k y q ,q DN ,n , N ",n" q FN* '',n '',k y q , N ,n ,k , q
y
y
y
y
N '' n '' q
DN ,n , N ",n " q FN '',n '',k y q
y , N ,n ,k y ,q
DN ,n , N ",n " q FN*,n ,k
y , N '', n '', k y q y , q
(2.10)
Ta viết phƣơng trình chuyển động Heisenberg để tìm
i
aN ,n , p aN
1
1
1
2 , n2,
b
p2 h
t
t
FN ,n , p , N
1
1
1
2 , n2 , p 2 , h
t :
aN ,n , p aN ,n p bh , t
1 1 1 2 2, 2
Tƣơng tự ta có:
1
2
e Hay:
i t
FN ,n , p , N
1
1
1
2 , n2 , p 2 , h
t
t
X t F t G t
(2.11)
16
Trong đó:
c2 e
i
X t N1 ,n1 p1 N2 ,n2 p 2 h 1 2
p1 p 2 At FN ,n , p , N ,n , p , h t
mc
1 1 1 2 2 2
p
i
G (t ) DN1 , N3 q1 aN ,n , p q aN ,n p bq bq bh
3 3 1
2 2, 2
1
1
1
tt
N3 , q1
DN3 , N2 q1
N ky
aN ,n , p aN
1
1
1
3 , n3,
p 2 q1
1 1
p N
2 2m
b
q1
bq bh
1
2
2
1 k yc eE1
k
; N 0,1, 2,3,...
2m
p
2
y
Giải phƣơng trình (2.11) bằng phƣơng pháp biến thiên hằng số ta thu đƣợc:
t G t1
t
F t 0
exp X t2 d t2
F t
1
FN ,n , p , N
1
1
1
2 , n2 , p 2 , h
DN3 ,n3 , N2 ,n2 q1
t
t dt1 DN ,n , N ,n
N ,n ,q
i
aN ,n , p aN
1
1
1
1
3
3
3 , n3 , p 2 q1
1
3
3
q
1
aN
3 , n3 , p1 q1
2 , n2 , p 2
b
q1
b
q1
bq bh
1
bq bh
1
1
t1
t1
2
i
ie p
exp N1 ,n1 ( p1 ) N2 ,n2 ( p1 ) h (t t1 )
1
mc c2
aN
t
p1 p 2 At dt2
t1
(2.12)
Sử dụng tính chất hàm Bessel ta đƣợc:
ie t
ieE0 k
exp
kA t2 dt2 exp
sint sint1
2
mc t1
m
ieE k
exp 0 2 sint1 sint
m
eE k eE k
J s 0 2 J l 0 2 exp ist exp il t2
s l
m m
eE k eE k
J s 0 2 J l 0 2 exp i l s Ωt ilΩ t t 2
s l
m m
17
Suy ra:
F t
t
i
D
N1 , N3 , n1 , n3 q1 a N3 , n3 , p1 q1 a N 2 , n2 , p2 bh bq1 b q1
N3 ,n3 ,q1
dt
1
DN3 , N2 ,n3 ,n2 q1 aN1 ,n1 , p1 aN3 ,n3 , p2 q1 bh bq1 bq1
t1
t1
(2.13)
1
is l t
i
J
exp N1 ,n1 p1 N2 ,n2 p2 ђh
Jl e
2 s
ђ s,l
t t
1
Áp dụng (2.13) ta viết đƣợc các số hạng trong (2.10):
FN '' ,n'' ,k
y
y
DN3 , N ,n3 ,n q1 aN '' ,n'' ,k
t
i
y
t dt1 DN , N ,n ,n q1 aN ,n ,k q q aN ,n,k bq bq
q , N ,n ,k ,q
N ,n ,q
y qy
''
''
3
3
3
3
3
1
aN3 ,n3 ,k y q1 bq bq1 bq1
t1
3
y
y
1
y
1
bq1
t1
1
is lt
i
J
exp N '' ,n'' k y q y N2 ,n2 k y ђq
Jl e
2 s
ђ s,l
t t
1
Thay vào (2.10) ta sẽ thu đƣợc:
f N ,n ,k y t
t
t
dt1
N ' ,n,q
eE1
f N ,n ,k y t
ђk y
DN , N ' ,n ,n' q
2
f
1
2
J
s ,l
N ,n,k y
s
i s l t
Jl e
t1 N q f N ,n ,k q 1 N q
'
'
y
y
i
exp N ' ,n' k y q y N ,n k y q l Ω i
t t1 f N ' ,n' ,k
y qy
t1 N q f N ,n,k t1 1 N q
y
i
exp N ,n k y N ' ,n' k y q y q l Ω i
t t
f N ' ,n' ,k q t1 1 N q f N ,n ,k y t1 N q
y
y
i
exp N ,n k y N ' ,n' k y q y q l Ω i
t t
Trong đó
eE o q y
m
18
1
1
(2.14)
Áp dụng công thức khai triển Fourier có:
f N ,n ,k y
f N ,n,k y t
f
1
2
N ,n,k y
t eit dt
f
t eit d
N ,n,k y
Thay vào (2.14) ta có:
1
t 2
it
f N ,n,k y e d eE1 k y f N ,n,k y e d
2
1
2 DN , N ' ,n ,n' q J s J l e i s l t
s ,l
N ' , n' , q
it
1
dt1
2
t
f N ,n ,k y e
it1
1
d N q
2
f N ' , n' , k
eit d N q 1
1
y qy
i
exp N ' ,n' k y q y N ,n k y q l i t t1
1
2
f N ,n ,k y e it d N q 1
1
2
f
eit d N q
1
N ' , n' , k y q y
i
exp N ' ,n' k y q y N ,n k y q l i t t1
1
2
f N ' , n' , k
eit d N q
1
y qy
1
2
f
i
exp N ,n k y N ' ,n' ,k q q l i
y
y
1
2
f
N ' , n' , k y q y
e
it1
e it d N q 1
1
N ,n ,k y
1
d N q 1
2
t t
1
f
N ,n ,k y
i
exp N ,n k y N ' ,n' k y q y q l i
e
it1
d N q
t t
1
Vế trái của (2.15) tƣơng đƣơng với:
1
1
VT
i f N ,n,k y eit1 d eE1
2
2
f N ,n,k y eit1
Áp dụng:
t
t
. dt1 .. d
. d . dt1
19
k y
d
(2.15)
Đổi thứ tự lấy tích phân về phải (2.15) ta đƣợc:
VP
i
N ' , n' , q
DN , N ' ,n ,n' q
i s l t 1
J s Jl e
2
s ,l
2
d e
it
f N ,n ,k N q f ' '
N 1 f N ,n ,k y N q 1 f N ' ,n' ,k q N q
N ,n ,k y q y q
y
y
y
N ' ,n' ,k q N ,n ,k y q l i
N ' ,n' ,k y q y N ,n ,k y q l i
y
y
f N ' ,n' ,k q N q f N ,n ,k y N q 1 f N ' ,n' ,k q N q 1 f N ,n ,k y N q
y
y
y
y
N ,n ,k y N ' ,n' ,k q q l i
N ,n ,k y N ' ,n' ,k q q l i
y
y
y
y
So sánh vế trái và vế phải của (2.15) ta thấy hệ số Fourier của hai vế phải bằng
nhau, trong vế phải ta chỉ xét s=l:
i f N ,n ,k y eE1
f N ,n ,k y
k y
i
DN , N ' ,n ,n' q
N ' , n' , q
2
J
2
s
l
f N ,n ,k N q f ' '
N 1 f N ,n ,k y N q 1 f N ' ,n' ,k q N q
N ,n ,k y qy q
y
y
y
N ' ,n' ,k q N ,n ,k y q l i
N ' ,n' ,k y q y N ,n ,k y q l i
y
y
f N ' , n' , k
y qy
N q f N ,n,k N q 1
y
N ,n ,k N ,n ,k
'
y
'
y qy
q l i
f N ' , n' , k
N ,n ,k
y
N
1 f N ,n ,k y N q
N ' ,n' ,k q q l i
y
y
y qy
q
Hay:
i f N ,n ,k y eE1
f N ,n ,k y
k y
i
2
N , n , N ', n '
l 0
N ', n ' q
f N ',n ',k q N q 1 f N ,n ,k N q 1 1
y
y
y
f N ',n ',k q N q f N ,n,k N q 1
y
y
y
2
2
Trong đó:
k q y N ,n k y q l i
1 N ',n ' y
1
2 N ',n ' k y q y N ,n k y q l i
Sau đó áp dụng các đẳng thức:
20
q J l2
D
1
(2.16)
1
1
1
i x
2 i x
X i X
X i X i
1 1
Thay vào (2.16) ta thu đƣợc phƣơng trình sau:
f N ,n ,k y t
t
eE1
f N ,n ,k y t
2
k y
DN ,n , N ',n ' q
N ', n ' q
t N 1 k
2
J
l 0
2
l
q k
l
f N ',n ',k q t N q 1 f N ,n ,k t N q N ',n ' k y q y N ,n k y q l
y
y
y
f N ',n ',k q t N q f N ,n ,k
y
y
y
q
N ', n '
y
y
N ,n
y
q
(2.17)
Khi có mặt từ trƣờng với tần số cyclotron :
c
kBT , c
Vế trái của (2.17) có thể đƣợc thay bằng số hạng (giả sử không phụ thuộc vào t) :
k y f N ,n,k y
r
m
c k y h
f N ,n,k
y
k y
,h
B
B
Phƣơng trình (2.17) trở thành:
f N ,n ,k t
y
t
2
eE1 c k y h
DN , n , N ',n ' q
N ', n ' q
2
J
l 0
2
l
f N ,n ,k t
y
k y
k y f N ,n ,k y
r
m
N 1 k
q k
l ,
f N ',n ',k q N q 1 f N ,n ,k N q N ',n ' k y q y N , n k y q l
y
y
y
f N ',n ',k q N q f N ,n ,k
y
y
y
q
N ', n '
y
y
N ,n
y
q
(2.18)
Trong đó :
Ta chỉ xét l=0,1,-1 trong (2.18) và giả thiết với phonon quang ở nhiệt độ cao
N q 1 N q
21
