Một số bài toán của lý thuyết xác suất trên không gian vô số chiều

MUC LUC

tran g
M§ đầu
Chươn,r; ĩ
1.

đo ổn định và toẫn tủ p-tong hoắ

Cắc định nghĩa

và

k ết quẳ chuẩnb ị .....................

2*- Toắn tu! sinh ra đọ do p-on định

.....................

3 . Khong gian cổ đối lo ạ i p-on định

.....................

Chưđn;; 2

2

..................................................................

5

lk

Dắn£ đ i|u t i | 1 cậncua M artincale

1. M artingale tre n khon^ £ian Banach cổ tín h
Rađon-Nikodyra

. ..........................................................

19

2. M artingale trê n không gian Banach trơ n đều
( lồ i đều)
Chưđn/: 3

..............................................................

23

Sự liê n tục tu y ẹt đoi theo nghĩa yếu

1 . Sự liê n tục tu y ft dối theo nghĩa yếu của haỉ

dọ đo.Dịch chuyển

chấp nhận yếu

.....................

29

2.

đọ

.....................

36

Tru’cJn£j hỢp cắc

đo ổn định

3 . Trương h£p đọ đo on định vối phổ rồ’i rạc
Tằi liệ u tr íc h dẫn

. . . .

.................................

l\2.
52


-2-

Hỏ ĐÌƯ
Lỵ thuyết xắc su ất trê n cắc khong g ian vo số chieu lằ v i |c nghỉ
cú'u cẳc phần tử ncẫu nhiẽn và phân’ bố của chung trê n khong gian
vo số chiều.Lĩnli vực n£hiên cíu này nằm è giao điểm của lỵ thuyết

xắc s u ấ t,lý thuyết đọ đo và g ỉẳ i tíc h ham.Khẽi n^uon tĩĩ cons t r ì n
của F*Maurei và R -Forter trong nhữri£ nom I950,khoảng 20 năm gần
ctây lĩn h vực nay đã phẩt tr iể n 'khậ mạnh mẽ do nhu cầu phắt tr iể n
nội tẹ l của lý thuyết xạc suất(nhầm g iẳ i quyết cắc b ài toẩn xạc
suất trê n lihong gian hàm và đặt co’ sẫ cho ly thuyết quậ tr ìn h ngẫ
nhien)cuns như do nhu cầu của mọt số ngành v ậ t lý lỵ thuyết cần
những cong cụ mêi để xử lý cắc h | thống ngẫu nhiên vỗỉ vo số bậc
*

tự do.
Nhiều k ế t quẳ cơ bẳn cửa xạc su ất cổ điển(xẩc su ất trê n không
£ian hữu hạn chiều)khi chuyển le n khong gian vo số chiều đã khong
con đung nữa.Điều đọ nổi lê n rằng v i |c nghiên cứu trê n lĩn h vực
nay đòi hỏi những phương phắp mối vằ cong cụ mỗi.
V i|c nghiên cứu xắc su ẩ t trê n khong gian Banach vạch ra sụ liê n
h | mịt t h i ế t £iữa cậc tín h chất xậc su ất Và tín h chất hình học
cùa không gian đang x ẹ t.s ự liê n hf đọ mật t h i ế t đến mức cậc phươn
pháp xậc su ấ t đã tr ỗ thành một công cụ n ỗ i(n h iều khỉ khẫ hữu h l|u
đ l nghiên cúu hình hpc không gian Banach.cặc nàixẳc su ấ t cổ điển


-3 -

thực ra vẫn thứồ’ng xuyên sỗ dyng cac tín h Chat t c t cua khong
gian hữu hgtn chiều mọt cắch khong cổ ỷ thiìc cũng như ong Jourdaj
mọt nhân v ậ t của M o lière,đã h ết sậc sửng số t khi thầy học cho
b iế t ong vẫn thưctos nọi văn xuoi.
Luận ận đưp’c ch ia lam 3 chương vỗỉ n$i dung như sau
Chương I nghiên cứu cậc đọ đo p-ổn định và nối quan h | của chuni
vSỉ cầc toắn tử p-tong hoẫ,i»§ rọnc cắc k ế t quẫ của Chobanian và

T arieladze [2] x ểt cho đọ đo Gauss.Chương 2 nghỉen cưu dắng đ i|u
ti f n cận của M artingale nhận g ỉẩ t r ị trê n khong gian Banach,mơ
rọng cắc k ế t quẳ của Neveu£l2j trong trưồ’n^ hỢp thực.Cắc k ết
luận ctgit đư^c ẫ hai chương nay cỗ liê n quan chặt chẽ vSỉ tín h
chất hình học của khong gian đang x ễt như tín h chất lo ạ i và đối
l o ạ i ,t í n h chất Radon-Nykodym,tính chất p -trơ n đều.Chương 3 đưa
ra khắi n i|n tương đương yếu cua haỉ độ đo và nạnh dạn tiế t) cận
g iẫ thu y ết: Hai đọ đo ồn định hoặc tương đương hoặc trự c giao 9
Tắc g ỉẳ bẳn luận ắn bày tỏ lồng b iế t ơn chân thành nhất tố i
Giắo sư Tien s ĩ Nguyễn Duy tiến,ngưc?ỉ đã dành cho tắc g iẳ sự
giụp đS to lơn và sự hư ống dẫn n h ỉ |t tĩn h trong khoa học cũng
như trong cuọc sống.Tắc g iẳ bày tỏ lòng b iế t ơn sâu sắc tố i Giặc
sư Hoàng hữu Như và Gỉắo sứ Nguyễn văn Hữu đã tạo những điều k if
thuạn lỷ l để tẩc g ỉẳ hoàn thành bản luận văn^ạc g iẳ cũng xin
chân thành cắn ơn Tiến s ĩ Nguyễn văn Thu vằ Giắo sư Tiến s ĩ


-k~
Nguyen Xuân Lọc ve những ỷ kiến nhạn x ễt sầu sắc và quý bau ehe
ban luận văn, caía ơn sự giụp đ3 của anh em trong tồ bọ mon xắc
suất-Thống kê cùng cắc bạn bè đồng nghiçp.


CHƯƠNG I

ĐỘ ĐO ổìí ĐỊNH v \ TOẬN TỬ p-TỔNG HOẪ.
I.Cắc định n,F;hĩa và k ết quẳ chuẩn bị
Trong mục này chung to i nhắc l ạ i iíiọt vài khai ni|m và k ế t quả
đã b iế t sẽ đưj?c sỗ dụng trong chương này«,
a) Đp đo •~>-ồn định

ĩ »ĩ . Định n.shĩa:

Giẳ sử

E l ầ mọt khong gian ^anach.Đọ đo xắc

su ất JLC trê n E đư^c gọi l à p-ẩn định( 0 < p £ 2) nếu vSi mỗỉ sc
dương 0( , p
jx

Ky h l |u

iiàm đặc trưng jCl(a)

(o u x ) jU , ( pa.)

-

cua Jtt thoẳ -:ãn h | thức

ọ______
( fẽ7~ỊỴr

Ị
a. ^

Va.

6

E

(£) là tạp t ấ t ca cắc đọ do TD-ẩn định trê n E.

I »2.Đinh l ý Ị ĩ l : Nấu ỷjc là đọ đo p-ổn định tre n E th ì cổ

tồn t ạ i

mọt đọ đo hữu hạn \J trê n mặt cầu đơn v ị của E sao cho
p .(a ) s

exp Ị “ j |( x JCL>|*eív>(x'>

Đọ đo v> đưp’c gọỉ lầ đọ đo phổ của JJL .
ĩ >3*Sính

Mỗi độ đo p-ổn định đều c ỉ

ũ lent cắp r <

nhưng ‘chong cỗ mo íient cẩp p nếu p < 2 .
1 . 4 . ¿ịnh n,-;hĩa:Không gian Banach E đứj?c gọi l à có lo ạ i p-ổn địr
(0 < p ^ 2) nếu vó’i mổi dãy (x ) c E sao cho
n
ta cọ chuỗi

£

xn 6^p)

hội tụ h .c .c .

ẫ độ

Y llx li** < oữ
X/ n
e£p) l'a dẫy cậc

biến ngẫu nhiên thực,đọc lạ p ,c ổ cùng hằm đ£c trư n r l à e x p Ị - |t |:


TÎïih. cheit cổ logii p-on định. lo. nọt "tinh. ch.s.'t liiĩili h.£)C cua kh.0H£
- i an E.Thạt vạy, Maure y và P is ie * đã ch'tzr; 'lỉnh

rằạg neu

th ì E cọ lo ạ i p-on định nếu và chỉ nếu E khong

chiìa l n mọt cậch

p <2

đeu*
Vị djjl L

cỗ lo ạ i p-ổn định nếu r > p và- kho&g cổ lo ạ i p-cn định

nếu r ^ p < 2*
b) Toan tử vọ-tổn, ; hoa
ĩ . 5. Dinh iy;hĩa: Giẳ

tỏ T : E

w

sử E và

ẩứỢc g ỵ l

F

là hai khong gian Banach.Toắn

lầ p-tẩng

hoậ nếu vối mỗi dãy (x ) c E

p

sao cho

£ |(x ,a)| < o o ,
2

V a £ E'

l|TXn l,P <

ta cộ

00 •

Tạp hj?p cắc toắn tầ p-tổng hoắ tĩỉ E vạo F đư^c kỵ h i |u l à T Ĩ ( I ,
Neu p < q

th ì

T ĩp (E ,F ) c

TTl(E,F)*Mpt toắn tử

p-tổng hoắ

vỗi mọi p đư^c gọi l à hoàn toàn tồng hoẳ.Ta cổ
ĩ , 6«Định lỵ :

Neu T : E1 —^ F

l à p-tổĩi£ hoắ và E có lo ạ i p-ổn

định thỉ. T l à hoàn toàn tồng hoắ .
ĩ

nnhĩ a : Giả sỗ E và

F

tử T : E

F

lo ạ i p tr ê n

,đọ đo ẳnh T(A)

1*8» Định

l ý r i o ] : Toẩn tử

Neu p > 1

th i mỉá án tử p-t©

l à h ai khong £ ia a Banach.Toắn

đươc gçi l a p-Hadon neu vỗĩ mỗđ đọ đo try. X

CC

l ằ một đọ đo Radon cỗ lonent cấp Ị
p-lâd©a luon l a toắn tử p - t omg hoa*
ắ cũiii

ẽ

-Radon*

ĩ ĩ » Toắn tử sin h ra đo đo ~p-on đinh
Trong su ố t chương này ta luon kỷ higu X l à m jt khong gian

-7 -

Banach đẳng cấu v ỗ ỉ một không g i a n con đọng cùa

¿ . ĩ .Đinh n,';hĩa: Toắn tử T : À’

X

Ị)

.

đũị>’c gpỉ l a toạn tu sinh

ra đọ đo p-ổn định nếu hằm
*^(a)

e x p Ị - II Ta II Ị

=

(I-I)

l à hàm đặc tr ư n g của n ộ t độ đo p -ổ n đ ịn h t r ê n E.
Ky h ± fu

oA.p(E’ ,X )
p

p

l à t ậ p t ấ t c ả các to ậ n t ỗ

Ttĩỉ

E ' vào X

?

s i n h r a đọ đo p -ổ n định*
2»2 . Sinh l ý : ĩ s 1

- A p ( S ',X )

l ạ một khôag g i a a B anachộ . < p $

vỗi chuẩn S"(T)
z
Ị j IIXf j f L j

S*t ( T ) s

Vt.

4$ 'ĩ- <

p

ỗ đỗ JUL l a đọ đo p-ẩn định sinh b ẫi T

Sau đẳy ta sẽ

nghiên cứu mối quan h | giữa toẩn tử sinh

ra

đọ

đo p-ổn định và toận tử p-tổng hoẩ.
¿>5•Bịnh lý :

Ta luon cổ bao hằm thức
-Ap(E<,xp) c

Chứii;; 'lin h ;

Gia sỗ

T ĩ p ( E ' , x p)

T l à toắn tố sin h ra đ$ đo p-ổn định.T ấy

0 <, r < p .v ì (x ,a) l à biến ngẫu nhiên trê n khong gian xắc su ấ t
(E,

ỗ

,JU- ) v ỗ ỉ hằm đặc t r ũ n g

e x p Ị - ||Ta||

j |( x ,a ) | rdju. -

c IITa II r

đỗ c là hầng số*vỗi

£ |T \l|r

=

,a^ , . . . , a K ta cổ

C '
=

c ' j u x i l ^ K ^ j O

E
c J | | : II

E

sup Ị

ttxlls*

I t f j nên

I * ^

-

E
(x, a^)| jdp. r f c

ijx II rd yu(x)j

E

sup £ | ( x , a )|1

I/Xllsi


-ö -

Biểu thức tronc mổc vuông hữu h^n.vậy T là r-to n g hoạ do đọ la
p-tong hoẩ.
Định lý dưệi đây sẽ đặc trưng những khong gian Eftrong đổ mỗi
toẩn tử p-tong hoắ sẽ sinh ra đọ đo p-on định.
¿»4»Định 1 1 1 2 ] :

Cắc khẳng định sau l à tương đương

i ) E cổ lo ạ i 2-ồn định.

ỉi)

l ĩ * (E ',x 2) c
lỵ :

A 4( ĩ ' . x s )

Giả sỗ

1 < p < 2 .Cắc d I

định sau tương đương

i ) E cổ l o ạ i p -ổ n đ ịn h v a đẳng cấu v ỗ l :iọ t không g ỉ a n con đổng

của L
p
ii)

T T p(E.,Xp) c

Châng ninh :

Ta co bồ đề sau

Neu T : E1
r < p

A p ( E ' , X p)

X
p

sao cho T* :—* E l à r-tổ n g hoẩ vối
p

’

th ì T l à toắn tử sinh ra đọ đo p-ổn định.

Thạt v ạy ,g iẳ sỗ
exp{-|u|l j .Ta cổ í

l à đọ do tr ụ trê n X7

vối hàm dặc trưng

l à mọt đọ do tr ụ cấT) r vỗỉ

VÌ T * là r-t©ng hoắ nên nổ l ạ r-RadoiuVgty T*(tf )

1< r
la

< p*
đo trê n

E.De thấy rang T*( X ) Ị ạ đf đo p-ổn định sỉiih b ả i toẩn tỏ T,
i ) —> ỉ i )

Giả sỗ T ệ TlpC

g ian COĨ1 đổng cua Lnên

1,- ). VÌđẫn| cấu v ái

lộ t khong

ta cổ th ể x ểt tập -A n (X; ,E ).v l E có
r p

lo ạ i p-ổn định nên theo định lý 1.6 T là r-to n g hoậ.Theo bố đề
ta cọ T £ J ^ .Đ(X ,E) Theo định ly 2.5 T* l ằ r-tồ n g hoắ.L ai ắp
1
•
dụng bồ đề ta có T £ A o ( E .,X ) .
r


-9 -

i i j —Ì 1 J: ifau tiê n ta chứng minh E có lo ạ i p-ổn định.G ia su
*Xẹt toạn tủ T:2 1

(x ) l ầ dãy tro n s E sao cho y IIX Ị| < oồ
n

Z-i

n

>

đư^c cho như Gau
Ta =

{ < v a )},

T lầ p-tổng h©a*That v|y,¿'ia sỗ (a ) c E1 sạo cho
n
Anh x a X

(x ,a )]

tĩỉ E vào 1

\ ị(::,a )| ^< (
/•

cổ đồ t h ị k í n do đo l i ê n

n *1
tục.Vạy ton t ạ i c y 0 sao cho
C||::||p vối npi X € Ẽ

^ |( x ,a ) | P ^
Vậy
2 2

i(v V |P=

Ị Ị k v . x 1'« c Ị X ,p < -

vậy T l à p-tong hoắ*Theo g ỉả t h i ế t T sinh ra đọ đo p-on định.
Tồ định lý Ito -N is io ta cổ chuỗi

họi tụ h •c •c • Như

vậy ta đã chứng minh E cổ lo ạ i p-ồn đ^ih.
T iếp th eo t a chứng n ỉn h ■’ ăỉ':\Q cể.u v S l

ÌỌt kh on s g i an co n đong

của L ..Gỉẳ sử khong phẳỉ như vạy.Theo tiê u chuẩn L in d en strau sp
P e lz in sk i tồn t ạ i h ai dãy (x ) và (y ) trong E sao cho
n
Ĩ1
£ |( x ^ ,a ) |
và

£ ( | yỉilfP < oc.

£

^

, nhưng

x ểt toận tồ T: E1 —^ 1
p

ị(yn>a)Ị

£ II xnll

vỗỉ mpi a £.E'

=. oo

đừỢc cho như sau

Ta = Ị(x n , a ) Ị “

3 số (a n ) c E' Gao cho ¿S
y I(x ,a Ỷ < o
n 1

T l ầ p-tẩng hoậ*Thât va
vỗĩ mgi X

E*£o định ly đo th ị k ía f tồn tạ i G>
2^ Ị(x ,a )ị

^

c lị x ịp

0

vệ ỉ 1 ỌỈ X

sao cho

K


-1 0 TU a o za. ÜO
£ 0 T a n H

-

z

I

»< rt.

'V

r

Ẹ
fc-

¿

k.

V\-

-

N<

£

K

a

•

"

I ỉ (yk * an }l

=

"■*

<

Theo g i ẫ t h i ế t T s i n h r a độ đo p -ổ n đ ịn h .L ậ p l u ậ n nhu’ phần trứ ớ c

ta cỗ chuỗi

T

x

U

ty h .c .c .v ì

n ^

< 2

p

nên

6

||x
n

y

II

<

co

Điều nằy mẳu thuẫn.Định lỵ dư^c ch5ng minh.
B ay

g i o’ t a

chuyển

san g

n g h iê n

CTỈU c ắ c

to ẫ n

tử

đố i

ngẫu

của

toẵn tồ sinh ra dç> đo p-ổn định.Kỵ h ỉ|u

'1—f
1 Ip (E*,x

)

cẩc toắn tỏ T : E1 —ỳ X

x#

l ầ ọ-tong ho,

•

sao eho

T* :

p

^

£

l à tập

?

2 .6 . Định l y : Giả sỗ 1 < p < 2 .Cắc khang định sau tương đươag
ỉ)

E cổ lo ạ i p-ồn định

ii)

T T p ( E ',X p ) c

j\.p ( E ',X p )

Chứnr; ininh: ỉ ) —^ ỉ i ) :
nhung cua X

Giẳ sử T*

l à p-tồng hoắ.Gọi J l à phểp

vào L (T,ỉ-i).sỏ dụng định lỵ Kwapien^ôl ta cổ J*T

jp

p

l à p-phân tíc h đư^c.vậy tồn t ạ i ham F: T —ÿ E sao cho F
L (T ,n f.E) và J(Ta)
p
Khi đọ

II Tall

-

thuọc

( F ( .) ,a )
Il J ( Ta)Il

X

j ị ( F ( t ) , a ) ị pdm

T

vậy
expị-||Ta|| ] “

expỊ- j |(F (t) ,a)| ?dmJ

VÌ E cỗ l o ạ i p -ổ n đ ịn h nên

e x p Ị - ( j(F (t) ,a )j

daj

l à hạm đặc

T
trứng của một độ đo trê n E.vậy T sin h ra độ đo p-ổn định.
i i ) —5> i )

nhúng của

Theo g±ẳ t h i ế t

T ĨB(E' ,1
r

) c

p

- A „ ( E ' , 1 _) . P h i n

p

|.|p(S',l
) vào -A-_(
1,1 ) cổ? cto thị kía nên lỉên
r
p
r

tụ c.v ậy tồn t j i hằng

só c S ũsao cho


-lĩ<3 ¿(t)
G iẳ sử

^

c TfpCT*)

(1*3)

E không cọl o ạ i p -ồ n đ ịn h .T h o o đ ịn h

a p t cạch

Ìpi

tẹ.i,::4 , . . .

đ ề u .v ố i nỗi n , t ồ n

,..., t

tro n g E

ln

sao cho v ệ i

ta co

( I I U | r )Vf í

II L t „ O I

x ểt anh xa T : E* —^ 1

ị a . ( l l t . l r) V'

đươc cho như sau

p

Ts.

Ị 9. ) , ‘>J50 , • • ^

Khi đo vỗi s r ( ổ,.) è

nT*GII ^

l ỵ P i s i e r E chú'a

ta cổ

=^

z [ ỵ \ \ \ Ỹ)'e

[ 1 Uj,*oiM

p

¿
đọ4 đo xắc suất t r ê n hĩnh cầu dđn v ị s của 1 o

tron:; đổ7 V l à

VÌ thế do định ly Piesch
Tfp(T*) $ 2nVr

y

Mặt khắc

(TrCT) * Ị ĩ l l I > : nC « ' ] %
TĨỈ (1-3)

[ 6 ( I I 6 " V ) % ] V ^ ( ^ r ) Vp

ta suy ra
Ạị

4/p

CQ( n l0£n) ^
Song điều nay l a

VC

2Cn ^

lỵ .v ậ y

E

vỗỉ n đủ lỗn

cỗ lo ạ i

p-ổn định.

Bay giò’ chúng ta sẽ đặc trưng những >hong gian Banach mà ề đỗ
mỗi to ắ n t ỏ s i n h

r a đọ đo p-ồn

rly.c đích nay dẫn ta đen

2.7* Định nr;h ĩ a :

đ ịn h sẽ cỗ đối ngẫu7)-tong h o ẩ .

khẵi ni|m sau

Khong ~ian E được nọỉ l à cọ đốỉlo ạ i p-ổn

(0 < p ^Ị 2) nếu vSi mỗi dãy
dãy (x
(x ) ) trong
trongE Esao
saocho
c]
1

-

expị-

£

| ( x n ,a)|

Ị

{

1 -

JU

(a)

định


-1 2 -

vối mọi a £ E1 va. jVA nao dọ thuọc H (E)
¿♦3»£ậnh l ý :

X

M < 00.

Gỉẳ sỗ 0 < p ^ 2 .Cắc :hẳn£ định sau là tương đươĩi£

i)

E co đoỉ l o ạ i p -ổ n đ ịn h .

ỉi)

J V p( E ',X p )
CliLỈnr 'lin h : i ) -■* ỉ i )

Tí

x? )

Gia sử T l à t o ạ n tử s i n h r a đọ đo

p -ổ n đ ịn h và g i ẫ sử (& ) c

tỗ S : X - - > 1
p

p

2 , Brr*g II < oứ

00

.x ể t toắn

xắc định như sau
Sx „

{ (ẩ n ,x )} ^ °

s l à tuyến tín h liễ n tue và s*e s
n

II STall

2.1« Gn »x ) l p <

sao cho

vỗi moi :: £ X .Ta sẽ chổng minh

Ta ° '

th ì

■

n >

(e ) l à dãy vecto đơn vị
n

<: ị|SịlP|ỊTaị|P

( 1 -4 )

Mặt khắc

|S T a f=

2 l(STa»en)l ' = £ | ( ^ e n, . f

(1-5)

Giả sử JUL là độ đo ổn định vối hàm đặc trưng
jû.(a) -

e x p Ị-Ịsịp lT a ll j

TĨf (1 - 4) và (1 - 5 ) ta cổ
1 - expỊ-

ị(T‘ S*e ,a)Ị °J ^

1 -

jíX(a)

VÌ Ecổ đối lo ạ i p-ốn định nên
s»e. ||
ii)

i)

=

£ ||t % ||

< 00

Gỉẳ sử E khong cỗ dối lo ạ ỉ p-ổn định.Như vậy ,tồ n

t ạ i đọ đo
ĩo p-ốn định JU và dãy
dãy (x
(x ))
1 - expỊ- £ Ị(xn ,a)Ị }

th

thupe
u ọ c EE sao

« 1 -

cho

jCL( a )
(1 -6 )

V&L mọi a

nhưng

£ (I X II «

n


-1 3 -

G±ẳ aử

jCL( a ) — exp j - I - II J

bao k ín của TE' trong L
•p

r

của L va
p

s đọ T: E*

) Tjp

la

-Khi đỗ X l à not khons gian con đọnc

p

T AA_ (Ef .x
c

)*Ta sẽ chỉ ra rằng

- #wp

h o ắ . x ể t to a n t ỏ B: E !

1

Ba r

dtươc cho như sau

p

Ị(x

,a ) j

Ta xạc định toắn tử V : TE*
V(Ta) d

T* khong l à p-tSng

1

bằng cắch đặt

Ba .

V xắc định đung đắn-Thật vậy,do (1-6) ta cổ
| l B ( a l - a 2 )|l

do đổ Ta

— Ta

keo theo

Ặ

ỉ|T (a 1 -

Ba^ n

a p )|Ị

Ba^ .

V là tuyến tín h ,l iê n tục nên V thắc tr iể n đươc liê n
X

va ta cổ

V6T =1 B .Tồ do B* -

l à p-tong hoặ.vậy

l ằ p-tổn£ hoắ nên
8 xn ll

£ l B*enll -

tục lê n toàĩ

<

oa .

Dieu nằy t r ắ l vSi (1-6) .vậy T* khong l ằ p-ton£ hoắ*Định lý
đúýc

Chung m in h .

¿♦9»Định l ỵ :

Ngu aS i đọ đo p-ổn định tr ê n E l à ẳnh lỉê n

tục

của mọt đọ đo p-ổn định trê n mọt >hSnr gian con đổn£ của L
p

th ì E phải có đối lo ạ i p-ẩn định*
Chưn " " In h :

G iẳ

sử

Ắp đụn£ định lý trê n ta sẽ chỉ ra

T s i n h r a đọ đo

p-ồn

đ ịn h

JUL .

iẵ

th iế t

JLC SS

v(

X

)

t

vơi A l a m$t đọ do p-ồn định tre n khong gian con đổng s của L ,
p

V là toận tử tuyến tín h liê n tục tĩỉ s vào E^Khong £Ỉẳm tons quắt


- I tị-

cọ

tue gia sử V lạ dơn ặnh,do vậy V*(E') trù nật trong S '.Gia

sỏ

>(s*)

:':hi 1 '

- sxpj-JHs'll p Ị

p .(a ) - e x p [-|T a |pJ =

vSi -AỌ± a £ E1

QTa (I =1 II HV*a I

Suy ra

exp[-||HV*a||PJ

Ta định nghĩa toắn tử W: V*(Ef )

X

(1-7)

bằng cong thốc

w(v*a) s Ta
w được xắc định đúng đắn*Thật vạy,nếu
(1-7)

0T(a1 - a ^)|| s

nên Ta

th ì do

ịịH C V ^ - v*a2 ) I

s

0

s Ta . w l a tuyến t ín h ,l iê n tục,V *(E ') tr ù mật trong S'

nên V/ düÿc mẫ rọng thành toắn tử tuyến tín h lie n ty.c xạc định trê ĩ
toàn Sf và

T : wêV* .Mặt khắc
A (sf ) -

ex p Ị-jH sfl| J =r expỊ-|Ws*ị| J

Vạy w là toẩn tử sinh ra độ đo p-ổĩi định trên s .v i s CC đốỉ
lo ạ i p-ổn định nên w* l à p-tõng hoắ do đổT* -

VV/*

cũng l à

p - tS n g h oắ-Đ ịn h l ỵ đư^c chổng -flinh.
III.

Ilion,: ¿¡lan CO đ ồ i l 0 £ i ">-011 ctịnh

T i ế t này dành cho v i | c n g h ie n cưu khong g i a n co đ ố i l o ạ i p -o n
địn h

3 .1 . Định l ỵ : Cắc khẳng định sau l ằ
ỉ)

ii)

tương đương

E cổ đối lo ạ i 2-ổn định,
E co đoi lo ạ i 2.

Slìâ&I_lis ỉìl ỉ ) “•) i ỉ )

Giả sử (x ) l à dãy trong E sao cho chuỗi


-1 5 -

V X 0W

hoi tụ h-c-c-T a phẳi chứng minh
£ X 6^

l a phân bố cua

~

n

ju (a ) -

(U. 6

.Ta cổ

ri

exp Ị-

^

Wx * < oo
v&

J

Ị(xn ,a )Ị

J

TÌỈ định nghĩa r u t ra ^ |1 X II < oô .
ii)

i)

Giẳ sử (x ) l à dãy tron£ E sao cho
n
1 -

vSi nọi a

expỊ- ^ |(x ,a)Ị

j ^ 1 -

JU (a)

(1 -8)

E1

Gọi V la đọ đo trụ Gauss vỗi ham địíc trứng
^ (a) r e x p Ị- ^ | ( x

TĨỈ (1-8)

,a )|

j

ta cỗ
1 - ^ (a )

^

1 -

jCL( a)

TĨĩ mọt định lỵ quen b iế t về đọ đo trụ Gauss ta suy ra v> 1à

nọt

đ£> do Gauss.Theo định lý I to-N ỉ s i 0 ta cổ chuỗi

họi

p

tụ h .c .c .v ì E cổdoi lo§đ. 2 nên

ll < oo .

3»2»Định l ỵ : Neu E cổ đối lo ạ i p-ồn định th ì nổcũng cỗ đối

lo ạ i

q v S ỉ p < q.

ChSnr; , -inh:

Gỉẳ sử T £

A

q

(K ',x ) tức l à
q

exp ị- UTe. II ] l à
i

J

ham đặc trứng của mọt đọ đo q-ổn địnluDo định lý 2 / I I / khi đỗ
ex pỊ-II T ã Ịp jcu n g l ạ hạ» đặc trxim ặ của m ật độ đo p - ổ n đ ịn h nếu p < q*

VI E cỗ đối lo g ỉ p-ồn định nen

theo định

hoa do đổ l à q-tồng hoẵ*T^ định lỵ 2.8 ta

lỷ 2*8

T * là

p-tổ&g

cỗ E cổ đối lo ạ i q-ồn

đ ịn h

3«5«Định l ỵ : Neu E l à mọt S-khong gian thỉ. E cọ đối lo ạ i
định vối mỗi 0 ^ p ^ 2.

p-ổn


-16-

ChiSn^ minh:

Gia số (x ) là dãy trong E sao cho

— *—u----------

n

1 - expỊ-

^ |(x ,a)j J

1 -

ju(a)

(1-9)

vỗi r.iọi a Ế E1 va jut la. đọ đo p-on định*
Glẳ sử z l à s-topo trê n E'.TÙ’ (1-9) ta r ụ t ra
3(a) =

e x p ị - ^I Cx^a) !

là ham xắc định dưdug,
khong g i a n nen

v(a)

Tỉ - lie n tục và

2

v (o ) — l . v i

la s-

l à hầu» đặc tr ư n g c u a mọt đọ đo xắc s u ấ t .

Theo định lý Ito -N isio ta co cto S l
p < 2 nên ta cổ

Ị

2^ X ô ^

h$i tụ h .c .c .v ì

N < 00.

3. 4.HS--------quẳ: Mỗi không- gian con đổng
cua Ls (1 í 8 < 2) co đoi
’

lo§l p-on định vối mỗi

04

p g 2 »Khonggian L (s

đố i l o ạ i p -ổ n đ ịn h

v ỗ i b ấ t cổ p n à o .

3*5*Dinh l y : Neu

đồng tho’i cỗ lo ạ i p-ẩn định

y

2)khS&gCC

vầ đoilo ạ i p-ổĩi

định th ì E nhung ctư$?c vào L .
Ghứnr; ninh:

sử dụng tiê u chuẩn Lindenst rau ss-P elczy n sk i ta sẽ

chống minh rằng: Neu (x ) Vä (y ) l à hai dãy trong E sao cho
n
n

X, l(v a)l 4 Z, l(v a)l
2 11 ynilp < o0

và
th ì

£ \\ X |Ị

v5ỉ mpi aÉe/

(I-IO )

< oô

Thật v ậ y ,s iẫ sử (x ) va (y ) l ằ hai dãy như vậy trong E .v ì
E cổ lo ạ i p-on định nên chuỗi

V y

họỉ tụ h .c .c . Gọi ẠX,


l à phằn bố của
ju.(a)

-Ta cọ jx l à đọ đo p-ổn định va

^
=

expị- 2 | ( y n ,a)ị Ị

TĨỈ (I-IO ) ta ru t ra
1 - expỊ- £ ị ( x , a ) ị pj

^

1 -

VÌ E cỗ đ ố i l o ạ i p -ồ n đ ịn h nen

jU.(a)
I

vệi mọi a ér E»

< oớ .

3 »6»H§ quả: Xhong gian Banach cỗ đốỉ lo ạ i p-on định vSi p < 1
th ì cổ thể nhúng được vào L .
p

Qụẳ vạy,vi mỗi :honj gian. Banach cổ logđ.

p-on định

5 .7 .HI quẳ: Khong gian Banach cổ đoi log1 p-ốn
v à cổ t í n h x ấ p X I m e t r i c

là

vỗip <

định m

p <1

s-k h o n g c ia n

3»8»x>inh l ý ; Khong gian Banach E đồng thc?ỉ cổ lo ạ i p-ồn đ^ĩh

f

vằ cổ đối l o ạ i p -ồn dị nil (1 ^ p ^ 2)

nếu và ch ỉ nếu no đẳng cấu

v ỗ i mọt khong g i a n con done cu a L r S đ | q

<1

p < q < 2 nếu p <

t 2 eu p s 2

vầ

2.

Chun : lin h : Khẳng định ’nếu1 suy

tù’ định lý 3*5và định lý

H oseltanl / 14/ .Khẳng định 'c h ỉ nếu1 suy tí? h | quẳ

và sự k i |n

L cổ lo a i p-on định s đọ p s 2 ncu q JJ 2 và p < q < 2 neu q < 2 .
q '
Định lỷ 3 .8 - nỗ rộĩi£ myt k ế t quẳ của Kwappien / 6/
3- 9• Định l ỵ : Neu Ji: cỗ M-đồi lo ạ i p (theo nr.hĩa cưa Mouchtari / I I /

th ì E cũng co đoi lc ạ i p-on định-

ủ'

"S-'.I- : Gọi 5\

La 1

của t ấ t ca cắc đọ đo p -o n đ ịn h t r ê n

a t tr e

1

2 l i ê n tụ c .E

tặc t
đước

Ị TOONG •^I^OCTONG HỌẼrtANO- ị

nỗi là

1#


-1 8 -

e l M-đốỉ lo a i p neu nỗi hàn F xắc địnli dứđng, i

*

-

*0

F (0) s 1 l ầ hằm đặc tr ư n g cu a m ọ t đọ đo xẩc s u ấ t t r ê n E .

Cắch chiỗng linh tương tự như chú’ng minh dịnh lỵ 3*3*

'ì .IC. Di h l y : Giả sử TD< q, q > l*Khi đổ ten tg l khõng gian có
đ ố ỉ l o ạ i q -ổ n đ ịn h nhưn£ khong cỗ đối l o ạ i p-o n đ ị n h .

Chứng

.V ..

: Xet

ho

s

(1 )
t

o đó q )

, t y 1.

> t )

định lỵ 7 /II/,l:h o n g gỉan 1 (1 ) cổ M-đốỉ lo ạ i q nen co đối lo ạ i
s z
q-on định.vỉ. 1

"fc

cổ lo§± p-ổn định va s ) p

ê

s

t

(1 ) cỗ 3 oại

p-ồn định.Neu nó cỗ đối lo ạ i p-ổn định th ì theo định lý 3*5 nó
nhúng dtư^c vầo L •Nhưng như đã chỉ ra trong / I I / } 1 (1 ) vệi
J)

s

t

s S t khong nhung đưđc vào L .Vay 1 ( 1 ) khong cổ đối lo ạ i p-ồn
f
p

s t
đ ịn h .


-1 9 -

GHƯC "G II

D ÍN G

Đ IỆ U

T IỆ M

CẬN

CỦA

M A R T IN G A LE

ĩ . i l a r t i n n a l e t r e n ':hon,; ■;la n cổ t í n h -:a d o n -:!l'-o d i-i

Gia sỗ ( J l , 3 r , p )

l à khong g i a n xẫc s u ấ t cơ sS ,E l ằ không g i a n

Banacb^ỵ h i ç u L (il) l à tậ p cắc b i ế n ngẫu n h i ê n E - g i ắ t r ị sao cho

'0

HXII < o0

.Giả sỗ ( ĩ

)

là. dãy tăng cắc Ç*-trü o ’ng con của ĩ

.

(E) du’ÿc gọỉ l a nọt M artingale E -giặ t r ị nếu vễl

Dãy (X ) thuọc

mỗi n, X l à 7 -đo đươc và
n

n

E(x

n*rl

/% r\. ) s Xn

h .c .c .

E đư^c nổi l a cổ tín h Radoĩi-Nykodin(tính. R-N) nếu vỗi mỗi đọ
do Jtt xắc định trê n cắc tập Borel của đoạn [0 ,1 ] nhận g ỉắ t r ị
t r o n g E , c ỗ b i ế n phẵn g i ỗ i ĨIỌỈ t h ì

\

JU.CA ) r

f (t)d m (t)

A

trong đọ f : £0, 1 ]

E l à hàm khả tíc h Bochner con ni l à biến

phân to à n phần cua JU.

Cạc khon£ ¿lan phần xạ, cắc khong o i an là đối n^ẫu của ••■Jt khõng
:;ian kha ly cể tín h M L T re s f khi đọ những khSng gian như
Co ’ L1 ,Loồ

1

-kõnc c? tín h R-N .3au đây l à Igt đặc trưng hình

học lý thu của tín h R-N
ĩ . ĩ «Định l y : Khonr ¿lan E cọ tín h lĩ-N khi và chỉ khi mỗi tap con
g iỗ i nọi cua E l à tập nhọn.


-2 0 -

TÍnh R-N co liê n h | mật th iế t vỗỉ cắc tín h chất họỉ tụ của

M artingale
ĩ»2«Định l ý : [5]

Cắc khẳng định sau là tư ơn/, đương

a) E cố tín h H-IT
b) Mỗi M artingale (X ) jil-£ỉậ t r ị thoẳ nãn đieu k i|n
n
sup E |x II

< oô

sẽ họi tụ h .c .c . (theo

chuẩn của E)

c)

E -£ ỉậ

Moi M artingale (X )

t r ị kha t í c h đeu sẽ h ọ i ty. trong

L (E)
d) Mỗi M artingale (X )
sup

E -giẩ t r ị thoẳ mãn điều kiẹn
IIX II

,p > 1

< 0 0

sẽ họỉ tụ trong L (E)
p
Cho (X^ ) là mọt M artingale E -giậ t r ị thưọc L (E ),p "ỳ

l.K h i

để

^ II X H ^ l à n ọ t s u ta a rtin g a le t h ự c . x ể t khai tr iể n Doob của nổ
1* a
A^

=

» l?) 1-

l à 71$t dãy tăng.Đ ặt

ĩ .3 »Định l y ;

¿%
— lim A

Gỉẳ sử (X ) là M artingale E -giậ t r ị thuọc L (E) và
Ĩ1

1

p

X — 0. -Chi đỗ
0
a)

sup

1\

Bx ft =
'

E
,

( l"1)<

b ) v o i p ) 1 vả s A w

E sup I
Chứng ::lnh:

II

oo

$

. cộ/
ta
(p /l-l)p ] A ^}

Tồ coĩir thức tru y hồi xắc định

A ỵW

ta cổ


'21a'

”’ -

0,

A<*>
n-H

-

. «rt

II

-

Ị IIw

=

II

■ Il : I

/

? -J

Do cto v o l p s i

su p
Vơi

p

I

su

A ^} -

t a cổ ( x e n Ịl
L s u p |x II

£

( p / p - l ) sup 1 11X II

r

( p / p - l ) supl'

=
- ( p / p - l ) PE A 'qq

TĨỈ đ ịn h l ý 1 . 2 va 1 .3 t a su y r a
1 ,4

«31 il!1- l ý :G ỉẳ sử 1. cổ t í n h 3-N v a (X ) l à M a r t i n g a l e th u ọ c

L (E ).iĩế u E
L (E) neu
p

<

oo

t h ì ( c ) h ọ i tụ h . C .c . v à h g i t ụ t r o n

> 1.

Ĩ •5»Bjnh l y

Cắc khẳng địn h sau l à tương đương

a) E cổ t í n h R-ỈT.
(E; ttca cổ bao hà'.i thức
b) Vối mỗi M iarrtti rnrgaalle (X ) thuọc L (E)

Ị Aoo <
Ị : ù-nil : a)

b)

]c

00

3 t dãy (X
la

(t>)

(A ^

öö

A T ) . Đo l à
• »

A(p)

I i n t n : A^Vi
K *i
1

h* c . c .

—> ]

v ỗ l mỗi a ) Û t a x ể t thcìỉ điểm dồng

• í

T a

{ ;:n

3.

"M
neu

>

a

pp ?
)

A(p>
'
n +1
n-H

^ ap
<
x

v o«...i moi n
r

aọt M a r t i n g a l e v o l dãy tă n g tư ơ ng ứng

^ T ).Do đ ịnh l ỵ 1 .3 t a cọ d ãy (X

)

hội tụ

h . c . c . Ta co
Xn * T

=

‘n.

"

(p)
[

Do đổ
{ * -

*

*PJ

c

{ x n ---> j

= •» ]

= (* «

í

}


-2 2 TĨỈ dọ

I^Aoo < oO Ị =

b)

$ a ị

[a *

c

[

^

h .c .c .

a ) Đầu t i ê n , x ể t tru ’o’ng hç?p p r l . G i ẫ sử (X ) l à M a r t in g a l e

E -g iắ

t r ị th o ẫ :nãn đ iề u k i ệ n
su p

Ta cỗ

E

n

0° •

su p } (:. II < 00

:

b a o hằm t h ứ c

<

Ix 1

Ị

< ooỊ c

Ị

h ọ i t ụ h . c . c . T h e o đ ịn h l ỵ 1 . 2

^

Ta cọ

E a 2

sup E |x ]Ị
a

ta

su y ra

h . c . c . TÒ
la y

(X )

E cỗ t í n h K-N.

x ể t p y l . G i ẳ sử (X ) l a M arti
lãn đ iề u k ỉ | n

<00

* v |y

- ; l ắ t r ị thuọc I
<

( ) th o a

oo

su p E(x |Ị^ < oo
n

«Vay A 2L <
^

00

h .c .c .

Î

iẳ

t h i ế t t a suy r a dẩy (X ) h ọ i ty. h . c . c . t S ỉ :nọt b i ẩn ngẫu n h iê n
E - g i ẩ t r ị X.Do bo đề F a to u t a cỗ
IX#

Mft

-hác

£ l i 1 E| X II
n

Hxn - xflp

Do đ ịn h l ỹ ĩ . 3 và

lim

<

00

Ặ 2P_1 ( s u p i x ||P + u :|| )

đ ịn h l ý h p ỉ t ụ chặn t a cổ

E II X - x||
n

s

0

vậy dãy (X ) h ọ i t ụ t ố i X t r o n g L (E ).T h eo đ ịn h l ỵ 1 . 2 t a cỗ
E co t í n h R-N*

1 . 6 . Đinh
l ýM-:
-------

Giả sử (Xn ) l a M a r t i n g a l e E- ± ẩ' t r i sao cho
E s u p Ị x n|>1

Khi đổ

Oh*': - â n h :

^

Ị c

-

XJ

Ị ^ 00 ^

x ể t thcJi die™ đĩỉng

r

oo
°°j

h •c . c •

-23-

[ : I\

I >

}

T -

A ^ rn
n A T
Ta cỗ

«Vạy t a cỗ
I X
I
il A T
a

ta cổ

11 X

E || X
n

$ RP
^

trê :

E a £ P> z
T

a
< O0

1 T 1

a

* n

a

l i a £ ACP\ .

=

n AT

lira : flx

- X

n-1*

r„ 11 $

c

nA T

a
(
vối nỗi a. vì A^

h .c .c .

IV

$2‘ (ap \ sup|x

m a - |l X II

n AT

vậy

11X
m 11
" n A T 11
a
n ’ = E Atp)
nAT
a
'a
■ lĩ Ị T ^ ml .T r ê n tẹ

«—
Î

Doob của

trê n

a

a

|T c o o Ịts

Ị s u p |X r ll ^ a j

Ị s u p IX II ^

Ịsu p ịx u <
{

a jc Ị

ĩ» 7 » Bịiih l y :

Aoo<

ooj c Ị^A ^

cn - - > } < =

nên
00 ]

h .c.c.

v ỗ i nỗi

<, o o j

h .c .c *

Suy ra

Ị A oo < * ]

h -c -c -

G ỉẳ sử E cọ t í n h R-N v à (X ) l à
, - A |l“
11 Ĩ1Ỷ1
n 11

a .v ậ y

sao cho

Ẽ supllx

<

Chỉ đọ

Ịx n - * ] = Ị A 33 < 00]

M artin g ale E -g iầ t r ị

00

Chứn0 lin h su y tì? đ ịn h l ỵ 1 . 5 v a 1 . 5 .
I I . 'ĩa r t i n . a l c t r e n

. ,; i a n t r d n c/HiO.ồi.

■■ậ
^ '0

a sử ] l a khong g i a n B a n a c h .ĩ đữ^c n ổ i l à p - t r ớ i i ' đ e u ( l ^ p < 2 )
nếu

ỹ(*c) » 0 ( Ị ) , ỗ đỗ ỹ (%)

la

aodun t r ơ n c u a E*Khong p.an

đưj?c gç>i l à p - t r ơ n đều hoẩ nếu E cổ t h ể đ ịn h chuẩn tư ơ ng đương
để t r ỗ th ằ n h mọt k h o n r g i a n p - t r đ n đều.
Chong g ia n E đự£?c n ố i l à q - l ồ i đeu (2 £ q. <

00 )

nếu t ồ n t ạ i h ằng

II )


-2 4 -

30 K sao cho

¿'(6) s K ỉ

. E U'/.'OC n o i l ằ q - l ồ i đều hoắ n?u nổ

co t h ề đ ịn h chuãn tương đương để t r ỗ th à n h ìiọt 'chong g i a n q - l ồ ỉ
đều-Đ ịnh l ỵ P i s i e r sau đẫy cho t a đf.c tr ư n g của ’.thons g i a n p - t r ơ n
đeu hoắ vằ q - l o ỉ đều hoẩ qua /nọt b ấ t
¿ » ĩ «Định l y :

Cắc kh?Jig

đ ịn h

Gau

áẫnc th ứ c l a r t ỉ n g a l e *
là

tương đương

a) E l à p - t r ơ n đeu h o ắ .
b) Ton t ạ i hầng 30 G ) 0

sao cho v ố i mỗi M a r t in g a l e

E -g iẳ t r ị

(X ) th u ọ c L (E) t a cỗ
p

2 * 1 '. S ịnh l y :
a)

Cắc '.diẳng đ ịn h sau l ằ tư ơĩir dương

E l ằ q - l o i đều hoắ.

b) Ton t ạ i hằng so c ) 0 sao cho mỗi M a r t i n g a l e E - g i ạ t r ị (X )
n
thuọc L (E) t a cổ

q.

n

p


25-

[ B»
3)

< Oûj c Ị x a - >

v ỗ i n ỗ i M a r tin g a le

Ị

h .c .c .

(X ) th u ọ c L ( i )
n

t h o ẳ -lãn đ i e u I i ỉ | n

'0

sẽ h ộ i tụ h . c . c .

Lị) vSi mỗi

M a r tin g a le

(X ) t h u o c L (...:) t h o ẳ
n
p
V ịp
A

n

ỹ
n " p E II :
/L,
n+1
sẽ

<

lãn đ i ề u ldL§n

oo

tu ẫ n t h e o l u ậ t s ố l ố n .

y /:- ~;

' î h : I ) —$

2)

Do định, l ỵ 2 . 1 . ĩ ồ n t ạ i c > 0

A(p)
lrv
ĩ .'

< c B' '
X

B(£>
V

(p)

Do đổ

<

0
0

V

{ b to <
< 0000 ]j

vậy

n\j
ec

2) —> 3)

{ a (¿

B

3) —)

l w

I

VẬy
tối

xẹ. do đó cỗ t í n h K-N.TỒđ ịn h

:n »

< “

đổ

họi

tụ h . c . c .

Ta x ễ t dãy (Y ) như sau
0 ,

Y s
n

S ' Y . Dãy (Ư )
4
k
n
« V *

u

-

h.c.c.D o

Y r
o
Đãt u •
n

00 ]

Ta cọ

< oo

k)

<

[ B o„ <*<»} c Ịx —ạ j

E B »
- I
(p )

vậy

;o ỉ n

J

-IhSn¿ g i a n p - t r ơ n đều hoẩ l ằ phan

l ý 1.5. t a cọ

vS i

-

=

i f 1 (X A - X )
n 41
n
l a -lot M a r t i n g a l e . Ta cổ
z ° '

l x» .

-% #

< “

hffi t ụ h . c . c . Theo bổ đề K ro n e c k e r t a cỗ n 'X

0 h « c .c *

lị) —> I )

sao cho

ĐÕ l à .:iọt đ ịn h l ý của Woyczyns.'ti [ 1 7 J

họỉ

tụ