Đề thi HSG tỉnh Hải Dương

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG
Môn Toán lớp 9 (2003 - 2004)
(Thời gian : 150 phút)
Bài 1 : (2,5 điểm)
Giải phương trình :
|xy - x - y + a| + |x
2
y
2
+ x
2
y + xy
2
+ xy - 4b| = 0

Bài 2 : (2,5 điểm)
Hai phương trình :
x
2
+ (a - 1)x + 1 = 0 ; x
2
+ (b + 1)x + c = 0 có nghiệm chung, đồng thời hai phương
trình : x
2
+ x + a - 1 = 0 và x
2
+ cx + b + 1 = 0 cũng có nghiệm chung.
Tính giá trị của biểu thức 2004a/(b + c).
Bài 3 : (3,0 điểm)
Cho hai đường tròn tâm O
1

và tâm O
2
cắt nhau tại A, B. Đường thẳng O
1
A cắt
đường tròn tâm O
2
tại D, đường thẳng O
2
A cắt đường tròn tâm O
1
tại C.
Qua A kẻ đường thẳng song song với CD cắt đường tròn tâm O
1
tại M và cắt
đường tròn tâm O
2
tại N.
Chứng minh rằng :
1) Năm điểm B ; C ; D ; O1 ; O2 nằm trên một đường tròn.
2) BC + BD = MN.
Bài 4 : (2,0 điểm) Tìm các số thực x và y thỏa mãn x
2
+ y
2
= 3 và x + y là một số
nguyên.