9 đề thi online – tích phân từng phần – có lời giải chi tiết

ĐỀ THI ONLINE – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN – CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Mục tiêu: Qua đề thi giúp học sinh nắm rõ được phương pháp từng phần giải các bài toán tích phân cho từng
dạng bài với các hàm số cụ thể thường xuyên xuất hiện ở các đề thi thử. Đồng thời qua từng câu hỏi, từng lời
giải cung cấp thêm cho học sinh một số kiến thức, phương pháp giải toán với các bài chống và không chống
caiso.
b

u  f  x 
Câu 1 (Nhận biết). Cho tích phân I   f  x  .g  x  dx, nếu đặt 
thì

dv

g
x
dx



a

b

A. I  f  x  .g  x  a   f   x  .g  x  dx.
b

b

a

a

b

C. I  f  x  .g  x  a   f   x  .g  x  dx.
b

b

B. I  f  x  .g  x  a   f  x  .g  x  dx.
b

D. I  f  x  .g  x  a   f  x  .g  x  dx.
b

a

a

1

u  ln  x  2 
Câu 2 (Nhận biết). Nếu đặt 
thì tích phân I   x.ln  x  2  dx trở thành

0
dv  x dx

1
x 2 ln  x  2 
1 x2

A. I 
 
dx.
2
2
x

2
0
0

1 x2
B. I  x ln  x  2   
dx.
0
4 0 x2

1
x 2 ln  x  2 
x2
C. I 

dx.
2
x2
0
0

1
x 2 ln  x  2 

1 x2
D. I 
 
dx.
4
4 0 x2
0

1

2

1

1

1

1


2

Câu 3 (Nhận biết). Để tính I   x 2 cos x dx theo phương pháp tích phân từng phần, ta đặt
0

u  x 2
B. 
dv  cos x dx

u  x
A. 
dv  x cos x dx

u  cos x
C. 
2
dv  x dx

 u  x 2 cos x
.
D. 
dv  dx

e

Câu 4 (Nhận biết). Tính tích phân I   x.ln x dx.
1

e2  2
B. I 
.
2

1
A. I  .
2

du  2 dx
u  2x  1



C. 
e3x ,
3x
dv

e
dx
v



3


e2  1
D. I 
.
4

Câu 5 (Nhận biết). Cho f  x  , g  x  là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 và thỏa mãn điều kiện
1

 g  x  .f   x  dx  1,
0

1

1

0

0


 g  x  .f  x  dx  2. Tính tích phân I   f  x  .g  x  dx.

1 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


1

Câu 6 (Nhận biết). Tính I   ln  2x  1 dx, ta được I = aln3 – b, với a, b là các số hữu tỉ. Khi đó, tích số ab
0

bằng bao nhiêu ?
A.

1
.
2

3
B.  .
2

C.

3
.
2

1
D.  .
2



 2
Câu 7 (Thông hiểu). Cho
 x cos x dx  1. Khi đó giá trị 9m2  6 bằng
m 0

A. 3.

C.  3.

B. 30.
m

Câu 8 (Thông hiểu). Cho tích phân I  
1

ln x
1 1
dx   ln 2. Giá trị của a thuộc khoảng
2
x

2 2

3 
B.  ; 2  .
2 

A. 1; 2  .

D.  30.

5 
C.  ;3  .
2 

3 5
D.  ;  .
2 2

3

Câu 9 (Thông hiểu). Kết quả của tích phân I   ln  x 2  x  dx được viết dưới dạng I = aln3 – b với a, b là các
2

số nguyên. Khi đó a – b nhận giá trị nào sau đây ?
A. 2.

B. 1.

D.  1.

C. 5.

ea  b
Câu 10 (Thông hiểu). Tích phân I    2x  1 e dx 
, với a, b  Z. Tính tích P = ab.
9
0
1

3x

A. P = 6

B. P = 8

C. P = 15

D. P = 9.

1

Câu 11 (Thông hiểu). Cho hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện

  x  1 f   x  dx  10 và 2f 1  f  0   2. Tính tích
0

1

phân I   f  x  dx.
0

A. I = - 12

B. I = 8

C. I = 12

Câu 12 (Thông hiểu). Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn điều kiện

D. I = - 8
1

f x

 x  1 dx  1 và f 1  2f  0   2.
0

1

Tính tích phân I  
0

A. I  0.

f x

 x  1

2

dx.

B. I  3.

C. I  1.

D. I  1.

2 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!



2

Câu 13 (Vận dụng). Cho tích phân I    x 2  1 sin x dx  a  b, với a, b  Q. Tính P  a 2  2b.
0

A. P  0.

C. P  3.

B. P  1.

D. P   2.

ln 1  x 
dx  a.ln 3  b.ln 2, với a, b  Q. Tính P = 2a + 5b.
x2
1

2

Câu 14 (Vận dụng). Cho tích phân I  
A. P  10.

B. P  12.

C. P  3.

D. P  6.

1

Câu 15 (Vận dụng). Kết quả tích phân I   x.ln  2  x 2  dx được viết dưới dạng I = aln3 + bln2 + c với a, b, c
0

là các số hữu tỷ. Tổng a + b + c có giá trị bằng:
A. 0.

C.  1.

B. 2.
1

Câu 16 (Vận dụng). Biết rằng

D. 1.

1

 x cos 2x dx  4  a sin 2  b cos 2  c  ,

với a, b, c  Z. Mệnh đề nào sau đây là

0

đúng ?
A. 2a  b  c  1.

B. a  b  c  1.

C. a  2b  c  0.

Câu 17 (Vận dụng). Cho F  x   x là nguyên hàm của hàm số f  x  e
2

D. a  b  c  0.
2x

và f  x  là hàm số thỏa mãn điều kiện

1

f  0   1, f 1  0. Tính tích phân I   f   x  e2x dx.
0

A. I  0.

C. I  1.

B. I  1.
2

Câu 18 (Vận dụng). Cho tích phân I  
1

A. 8.

x  ln x

 x  1

dx  a  b.ln 2  c.ln 3 với a, b, c  R , tỉ số

B. 9.

C. 24.

4

Câu 19 (Vận dụng cao). Cho tích phân I  
0

A. 2 .

3

D. I  2.

B. 7 .

x2

 x sin x  cos x 

2

dx 

C. 4 .

c
bằng
a

D. 36.

m
, giá trị của m bằng :
m
D. 5 .


2

ln  3sin x  cos x 

dx  m.ln 2  n.ln 3  , tổng m + n
2
sin x

4


Câu 20 (Vận dụng cao). Cho tích phân I  
4

A. bằng 12 .
C. bằng 8 .

B. bằng 10 .
D. bằng 6 .

3 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
THỰC HIỆN BỞI BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM

1. C

2. A

3. B

4. C

5. C

6. C

7. B

8. D

9. B

10. C

11. D

12. A

13. C

14. B

15. A

16. D

17. B

18. D

19. C

20. A

Câu 1:

b

b

Phương pháp: Sử dụng công thức của tích phân từng phần:  udv  uv a   vdu .
b

a

a

Cách giải.
b
u  f  x 
du  f   x  dx
b


Đặt 

, khi đó I  f  x  .g  x  a   f   x  .g  x  dx.


a
dv  g  x  dx
v  g  x 

Chọn C.
Câu 2:
b

b

Phương pháp: Sử dụng công thức của tích phân từng phần:  udv  uv a   vdu .
b

a

a

Cách giải.

dx

1
du 
1

u  ln  x  2 
x 2 ln  x  2 
1 x2

x2

,
Đặt 
khi
đó
I



0 x  2 dx.
2
2
2
dv  x dx
v  x
0

2
Chọn A.
Câu 3:
b

b

Phương pháp: Sử dụng công thức của tích phân từng phần:  udv  uv a   vdu .
b

a

a

Trong các tích phân có hàm đa thức và hàm lượng giác ta ưu tiên đặt u bằng hàm đa thức.
Cách giải.



2
u  x 2

du  2x dx

, khi đó I  x 2 sin x 2  2 x sin x dx.
Đặt 
0
 v  sin x
dv  cos x dx
0

Chọn B.
Câu 4:

4 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


b

b

Phương pháp: Sử dụng công thức của tích phân từng phần:  udv  uv a   vdu .
b

a

a

Trong các tích phân có hàm đa thức và hàm logarit ta ưu tiên đặt u bằng hàm logarit.
Cách giải.

dx

e
e
du 
e

u

ln
x

 x 2 ln x x 2 
x 2 ln x
1
e2  1

x

,
Đặt 
khi
đó
I

x dx  
  
.
2
2 1 2 1

4 1
4
dv  x dx
 2
v  x

2
Chọn C.
Câu 5:
b

b

Phương pháp: Sử dụng công thức của tích phân từng phần:  udv  uv a   vdu .
b

a

a

Trong các tích phân đã xuất hiện dạng vi phân f '  x  dx thì ta đặt dv  f '  x  dx .
b

Và sử dụng công thức  f '  x  dx  f  x  a .
b

a

Cách giải.



u  g  x 
du  g  x  dx
Đặt 

.
dv  f   x  dx
v  f  x 


1

1

Khi đó  g  x  .f   x  dx  g  x  .f  x    g  x  .f  x  dx  g  x  .f  x   3.
1

1

0

0

0

0

1

Mặt khác I   f  x  .g  x   dx  f  x  .g  x   I  3.
1

0

0

Chọn C.
Câu 6:
Phương pháp:
b

- Sử dụng công thức của tích phân từng phần:

 udv  uv
a

b

b
a

  vdu .
a

- Trong các tích phân có hàm đa thức và hàm logarit ta ưu tiên đặt u bằng hàm logarit.
- Đồng nhất thức.
Cách giải.
2 dx


1
1
2x
u  ln  2x  1
du 
Đặt 

dx
2x  1 , khi đó I  x.ln  2x  1 0  
2x  1
dv  dx
0
 v  x

5 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


1

1 
1



 1
 3
 ln 3   1 
 dx  ln 3   x  ln 2x  1   ln 3  1  ln 3   ln 3  1.
2x  1 

2

0
 2
 2
0
1

3

3
a 
Mặt khác I  a ln 3  b, với a, b  Q  
2  ab  .
2
b  1
Chọn C.
Câu 7:
Phương pháp:
b

- Sử dụng công thức của tích phân từng phần:

 udv  uv

b

b
a

a

  vdu .
a

- Trong các tích phân có hàm đa thức và hàm lượng giác ta ưu tiên đặt u bằng hàm đa thức.
Cách giải.
u  x
du  dx

, khi đó
Đặt 
dv  cos x dx
 v  sin x




2

 x cos x dx  x.sin x
0


2
0


2

  sin x dx
0





 cos x   cos  cos 0   1.
2
2
2
2

2
0


2

Suy ra


 
  x cos x dx    1  1  m  2.
m 0
m 2

Chọn B.
Câu 8:
Phương pháp:

b

- Sử dụng công thức của tích phân từng phần:

b

 udv  uv a   vdu .
b

a

a

- Trong các tích phân có hàm đa thức và hàm logarit ta ưu tiên đặt u bằng hàm logarit.
- Đồng nhất thức để tìm giá trị của m.
- Tìm các khoảng thích hợp chứa m.
Cách giải.

dx

du 
m
m
u  ln x
m

ln x
dx
ln m 1
ln m 1



x
I







 1
, khi đó
Đặt 
dx  
2

1
x
x
m
x
m
m
dv

1
1
1


v  
x2

x
Mặt khác I 

1 1
1 1
ln m 1
3 5
 ln 2   ln 2  
  1  m  2   ; .
2 2
2 2
m
m
2 2

Chọn D.
6 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


Câu 9:
Phương pháp:
b

- Sử dụng công thức của tích phân từng phần:

 udv  uv

b

b
a

a

  vdu .
a

- Trong các tích phân có hàm đa thức và hàm logarit ta ưu tiên đặt u bằng hàm logarit.
- Đồng nhất thức.
Cách giải.
2x  1

2

dx
u  ln  x  x 
du  2
Đặt 

x x ,


dv  dx
v  x
3
2x  1

1 

dx  x.ln  x 2  x     2 
 dx
2
x

1
x

1


2
2
3

3

Khi đó I  x.ln  x 2  x   
3

2

 x.ln  x 2  x    2x  ln x  1 
3

3

2

2

 3ln 6  2 ln 2   6  ln 2  4 
 3ln 6  3ln 2  2
 3ln 3  2.
Mà I = aln3 – b.
a  3
 a  b  1.
Vậy 
b  2

Chọn B.
Câu 10:
Phương pháp:
b

- Sử dụng công thức của tích phân từng phần:

b

 udv  uv a   vdu .
b

a

a

- Trong các tích phân có hàm đa thức và hàm mũ ta ưu tiên đặt u bằng hàm đa thức.
- Đồng nhất thức.

Cách giải.
du  2 dx
3x 1
1
u  2x  1
2x

1
e


2e3x

3x

, khi đó I 
Đặt 

dx
e
3x
3
3
dv  e dx
0
v 
0
3

1

e3 1 2 3x
e3  1 2 3
e 3  5 e a  b a  3
   e

  e  1 


. Vậy ab = 15.
3 3 9
3
9
9
9
b  5
0
Chọn C.

Câu 11:
7 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


b

b

Phương pháp: Sử dụng công thức của tích phân từng phần:  udv  uv a   vdu .
b

a

a

Trong các tích phân đã xuất hiện dạng vi phân f '  x  dx thì ta đặt dv  f '  x  dx .
Cách giải.

u  x  1
du  dx


Đặt 
.

dv  f   x  dx
v  f  x 


1

Khi đó

1

  x  1 f   x  dx   x  1 f  x    f  x  dx
1

0

0

0

 10  2f 1  f  0   I  I  2f 1  f  0   10  2  10   8.
Chọn D.
Câu 12:
Phương pháp:
b

- Sử dụng công thức của tích phân từng phần:

 udv  uv

b

b
a

a

  vdu .
a

- Trong các tích phân đã xuất hiện dạng vi phân f '  x  dx thì ta đặt dv  f '  x  dx .
Cách giải.

dx

1


2
du  
u 
 x  1 , khi đó
Đặt 
x 1

dv  f   x  dx


v  f  x 

1
f x
f x
f x
0 x  1 dx  x  1  0  x  12 dx
0
1

1

f x
 f 1

1
1
 I  I  1 
 f  0    1  f 1  2f  0    1  .2  0.
Suy ra 1 

x 1 0
2
2
 2

1

Chọn A.
Câu 13:
Phương pháp:
b

b

- Sử dụng công thức của tích phân từng phần:  udv  uv a   vdu .
b

a

a

- Trong các tích phân có hàm đa thức và hàm lượng giác ta ưu tiên đặt u bằng hàm đa thức.
- Đồng nhất thức.
Cách giải.

u  x 2  1
du  2x dx

.
Đặt 

v


cos
x
dv

sin
x
dx



8 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!



2


2


2

0

0

Khi đó I    x 2  1 cos x  2 x cos x dx  1  2  x cos x dx.
0


2

u  x
du  dx

.
Xét tích phân J   x cos x dx, ta đặt 
dv  cos x dx
 v  sin x
0

2
0


2

Khi đó J  x sin x   sin x dx 
0




 cos x 02   1.
2
2

a  1
 
.
Vậy I  1  2   1    1  a  b  
2 
b  1
 P  a 2  2b  1  2  3.

Chọn C.
Câu 14:
Phương pháp:
b

- Sử dụng công thức của tích phân từng phần:

 udv  uv
a

b

b
a

  vdu .
a

- Trong các tích phân có hàm đa thức và hàm logarit ta ưu tiên đặt u bằng hàm logarit.
- Đồng nhất thức.
Cách giải.

dx

u  ln 1  x 
du 



x 1.

Đặt 
dx
dv  2
v   1

x

x
2

2

1
dx
Khi đó I   .ln 1  x   
x
x  x  1
1
1

1
1 
1
 I   ln 3  ln 2    
 dx
2
x x 1 
1
2

2

1
x
  ln 3  ln 2  ln
2
x 1 1

1
2
1
  ln 3  ln 2  ln  ln
2
3
2
1
  ln 3  ln 2  ln 2  ln 3  ln 2
2
3
  ln 3  3ln 2.

2
9 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


3

a  
 3
Mặt khác I  a ln 3  bln 2 suy ra 
2  P  2a  5b  2.     5.3  12.
 2
b  3
Chọn B.
Câu 15:
Phương pháp:
b

- Sử dụng công thức của tích phân từng phần:

 udv  uv

b

b
a

a

  vdu .

a

- Trong các tích phân có hàm đa thức và hàm logarit ta ưu tiên đặt u bằng hàm logarit.
- Đồng nhất thức.
Cách giải.

2x

du

dx
u  ln  2  x 

2  x2

.
Đặt 
2
2
x
2

x
dv

x
dx
v 

1 


2
2
2

1

1

2  x2
3
x2
3
1
Khi đó I   x ln  2  x  dx 
.ln  2  x 2    x dx  ln 3  ln 2 
 ln 3  ln 2  .
2
2
2 0 2
2
0
1
0
1

2

2

3
1
Mặt khác I = aln3 + bln2 + c suy ra a  ; b  1; c   .
2
2
Vậy a + b + c = 0.
Chọn A.
Câu 16:
Phương pháp:
b

- Sử dụng công thức của tích phân từng phần:

b

 udv  uv a   vdu .
b

a

a

- Trong các tích phân có hàm đa thức và hàm lượng giác ta ưu tiên đặt u bằng hàm đa thức.
- Đồng nhất thức.
Cách giải.

du  dx
1
1
1

u  x
x.sin 2x
sin 2x



dx
Đặt 
sin 2x , khi đó  x cos 2x dx 
2
2
dv  cos 2x dx
0
0
0
 v  2
1

1

1

x.sin 2x
cos 2x
sin 2 cos 2 1 1
 x.sin 2x cos 2x 






   2sin 2  cos 2  1 .
 
2
4 0 
2
4 0
2
4
4 4
0

10 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


1

1
Mặt khác  x cos 2x dx   a sin 2  b cos 2  c  suy ra
4
0

a  2

b  1  a  b  c  0.
c  1


Chọn D.

Câu 17:
Phương pháp:
b

- F(x) được gọi là 1 nguyên hàm của hàm số f(x) khi và chỉ khi  f  x  dx  F  x  và  f  x  dx  F  x  a .
b

a

b

b

- Sử dụng công thức của tích phân từng phần:  udv  uv a   vdu .
b

a

a

- Trong các tích phân đã xuất hiện dạng vi phân f '  x  dx thì ta đặt dv  f '  x  dx .
- Đồng nhất thức.
Cách giải.
Vì x 2 là một nguyên hàm của hàm số f  x  e 2x   f  x  e 2x dx  x 2 .
2x
2x
1
1



1
u  e
du  2e dx
Đặt 

, khi đó  f   x  e2x dx  f  x  e2x 0  2 f  x  e2x dx.


0
0
dv  f   x  dx
v  f  x 

Suy ra I  e2f 1  f  0   2 x 2    1  2  1.
1

0

Vậy I  1.
Chọn B.
Câu 18:
Phương pháp:
b

- Sử dụng công thức của tích phân từng phần:

b

 udv  uv a   vdu .
b

a

a

- Trong các tích phân đã xuất hiện dạng vi phân f '  x  dx thì ta đặt dv  f '  x  dx .
- Đồng nhất thức.
Cách giải.

x 1

u  x  ln x
du  x dx


dx  
Đặt 
.
1
dv 
3


v


2
 x  1

2  x  1



Khi đó I  

x  ln x
2  x  1

2

2



2
1

1

x 1
1
.
dx.
x 2  x  12

11 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


2  ln 2 1 1
dx

2  ln 2 1 1  1
1 

  

   
 dx.
18
8 2 1 x  x  1
18
8 2 1  x x 1 
2

2

2
2  ln 2 1 1
   ln x  ln x  1 
1
18
8 2
1 1
1

 ln 2   ln 2  ln 3  ln 2 
72 18
2
1 17
1


 ln 2  ln 3  a  b.ln 2  c.ln 3.
72 18
2
1

a  72

17
c 1 1

Vậy b 
  :
 36.
18
a
2
72

1

c  2

Chọn D.



Câu 19:
Phương pháp:
b

- Sử dụng công thức của tích phân từng phần:

b

 udv  uv a   vdu .
b

a

a

- Làm xuất hiện dạng vi phân f '  x  dx sau đó đặt dv  f '  x  dx .
- Đồng nhất thức.
Cách giải.
Ta có :  x sin x  cos x  '  sin x  x cos x  sin x  x cos x

x
.x cos x
cos x
I
dx

2
0  x sin x  cos x 2 dv
0  x sin x  cos x 

4

x

2


4

x

x sin x  cos x

du 
dx
u  cos x
2



cos
x
Đặt 

.
x cos x
1
dv 

dx
v
2



 x sin x  cos x 
x sin x  cos x


Khi đó

12 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!






4
4
x
1
dx
I
.


cos x x sin x  cos x 0 0 cos 2 x



1
.
 4.

 tan x 04
2  2
2

2 4 2
2


4  1  2  1  4    m  4

1 
4
   4
  1
2 4 
Chọn C.


Câu 20:
Phương pháp:
b

- Sử dụng công thức của tích phân từng phần:

b

 udv  uv a   vdu .
b

a

a

- Trong các tích phân có hàm logarit và hàm lượng giác ta ưu tiên đặt u bằng hàm logarit.
- Đồng nhất thức.
Cách giải.

3cos x  sin x

u  ln  3sin x  cos x 
du 
dx



3sin x  cos x

Đặt 
.

dx
3sin
x

cos
x
dv


 v   cot x  3  

sin 2 x


sin x

2

4


2

3cos x  sin x
dx.
sin x


Khi đó I     cot x  3 ln  3sin x  cos x   
4

2


2


4

4

d  sin x 
sin x


 4.ln 2 2  3.ln 3   dx  3.

2

 4.ln 2 2  3.ln 3   dx  3ln sin x

4

 4.ln 2 2  3.ln 3 
 12ln 2  3ln 3 


2

4


1
 3.ln
4
2



 3ln 2  15.ln 2  3.ln 3 
4

4

m  15

 m  n  12.
n  3
Chọn A.
13 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!