Chuyên đề ôn hình 12 toàn bộ kiến về phương trình đường thẳng trong oxyz

PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG (PHẦN 1)
CHUYÊN ĐỀ: HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
I/ Lý thuyết

 x  xo  A.t

2. Phƣơng trình tham số:  y  yo  B.t
 z  z  C.t
o


x  xo y  yo z  zo
1. Phƣơng trình chính tắc:


A
B
C

 M ( xo ; yo ; zo )  dt
Trong đó 

u ( A; B; C )

*) VD chuyển từ phƣơng trình chính tắc sang phƣơng trình tham số
x  t  3
x  3 y  2 z 1

() :



 t   y  3t  2
1
3
2
 z  2t  1


Bài 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M và có VTCP a cho trước với
M (1;2; 3), a(1;3;5) .

Hƣớng dẫn giải:

x 1 y  2 z  3
+) Chính tắc:


1
3
5

 x  t  1

+) Tham số:  y  3t  2
 z  5t  3


Bài 2:
a. Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A(2;3; 1), B(1; 2; 4)
b. Viết phương trình đường thẳng AB biết A(2;1;0), B(0;1; 2)
c. Cho tam giác OMN. Viết phương trình đường trung tuyến OI biết điểm M (1; 2;3), N (3;0;1)

d. Cho hình bình hành ABCD với A(0;1;1), B(2;3;1), C (4; 3;1) . Viết phương trình đường chéo BD
Hƣớng dẫn giải:

 AB  u  (1; 1;5)
x  2 y  3 z 1

a. 



1
1
5

 A(2;3; 1)

 x  2t  2
 AB(2;0; 2) 
  y  0t  1
b. 
 A(2;1;0)
 z  2t  0


1

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!

Đối với câu này không nên viết dưới dạng chính tắc vì các hệ số tọa độ của VTCP không đồng thời khác 0.
c. Ta tìm được I (1;1;2)  OI  1;1; 2 .
Khi đó đường thẳng OI đi qua O và nhận vecto OI  1;1; 2  làm vecto chỉ phương có phương trình:
x  t

y  t .
 z  2t


d. Cách 1: Ta tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành
Phương trình đường chéo BD đi qua B và D.
Cách 2: Ta tìm được tọa độ giao điểm của 2 đường chéo O, O là trung điểm của AC
Phương trình đường chéo BD đi qua B và O.
Gọi D  a; b; c 
Ta có: AB   2; 2;0  , DC  4  a; 3  b;1  c  .

2  4  a
a  6


 AB  DC  2  3  b  b  5  D  6; 5;1
0  1  c
c  1


 BD   8;  8;0   8 1; 1;0 
x  2  t

 BD :  y  1  t .
z  1


Bài 3:
a. Lập phương trình đường thẳng đi qua A(1;0; 3) và song song với đường thẳng MN với
M (1;1; 2), N (2;0;0)
b. Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và song song với  biết
x  2 y 5 z 2
A(4; 2; 2),  :


4
2
3

 x  1  2t

c. Lập phương trình đường thẳng  đi qua điểm M (1; 2;3) và song song với đường thẳng d :  y  2  t
 z  1  3t

d. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1; 2; 3) và song song với trục Ox
Hƣớng dẫn giải:
a. Gọi đường thẳng cần tìm là d


x 1 y  0 z  3
u  MN  (3; 1; 2)
Vì d / / MN   d



3

1
2

 A(1;0; 3)  d

2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


b. Vì d / /   ud  u  (4;2;3) 

x4 y2 z2


4
2
3

c. Làm tương tự như ý (b)

 x  1t  1

d. Vì d / /Ox  ud  i  (1;0;0)   y  0t  2
 z  0t  3

Bài 4:
a. Lập phương trình đường thẳng  đi qua điểm A(1;4;1) và vuông góc với mặt phẳng ( P) : x  y  2 z  3  0
b. Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (1;2;2) và vuông góc với mặt phẳng (Q) : 2 x  y  2  0

Hƣớng dẫn giải:


x  1 y 1 z 1
nP  u  (1;1; 2)
 :


1
1
2

 A(1; 4;1)

a. Vì   ( P)   : 
b. Làm tương tự ý (a)
*) Chú ý: u  n1 , n2 





Bài 5:
a. Cho 2 vecto a(3;0; 1), b(1;2;3) . Lập phương trình đường thẳng đi qua M (1; 3; 2) và vuông góc với 2
vecto trên
b. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với 2 đường thẳng cho trước:

x  2 3 y z
x y2 z


 , : 

1
2
3
3
1
1
x  2 y 1 z  2
c. Viết phương trình đường thẳng vuông góc với d :
song song với ( P) : x  y  z  1  0 và


3
2
1
đi qua điểm M (1;0;3)
Biết A(1;0;5), d :

Hƣớng dẫn giải:
a. Vì   a, b  u  [a, b]  (2; 8;6)


x 1 y  3 z  2
u  (2; 8;6)
: 



2

8
6

 M (1; 3; 2)
b. Ta có: ud  1; 2;3 , u   3;1; 1.
Vì u  d , u    u  [ud , u ]  (1;10;7)


x 1 y z  5
u  (1;10;7)





1
10
7
A
(1;0;5)


c.

nP (1; 1; 1), ud (3; 2;1)

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


u  [ud , nP ]  (3; 4;1)

M (1;0;3)

Vì  / /( P),   d  

( P ) : 6 x  2 y  2 z  3  0
.
(Q) : 3 x  5 y  2 z  1  0

Bài 6: Viết phương trình giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau 

Gọi  là giao tuyến cần tìm  u  [nP , nQ ]  (6;18; 36)  (1;3; 6) Cho

13

x  t

36
13

u (1;3; 6)

x
6 x  2 y  3  0 

13


5
5




36
z0

 A
; ;0    :   13 5    :  y    3t .
12
; ;0 
 36 12 
3x  5 y  1  0
 y  5
 A

36
12




 z  6t
12



4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


BÀI GIẢNG: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG OXYZ (TIẾT 2)
CHUYÊN ĐỀ: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
MÔN TOÁN LỚP 12 – THẦY GIÁO NGUYỄN QUỐC CHÍ
VD7: Cho mặt phẳng ( P) : x  y  z  0 , đường thẳng d :

x  6 y  12 z  3
. Tìm giao điểm của d và (P).


3
5
1

Hướng dẫn giải:
 x  3t  6

d :  y  5t  12
 z  t  3

M  d  M (3t  6; 5t  12; t  3)
M  ( P)  (3t  6)  (5t  12)  (t  3)  0
 3t  21  0  t  7
 M (27; 23; 4)

VD8:

 x  3  2t

a. Viết phương trình đường thẳng đi qua A(4; 2; 4) vuông góc và cắt d :  y  1  t
 z  1  4t

x 1 y z  3
b. Cho A(1; 2;3) và đường thẳng d :
. Viết phương trình đường thẳng  đi qua A, vuông
 
2
1
2
góc với d và cắt Ox.
*) Chú ý: Với những bài tập có từ “cắt” thì phải tìm ra giao điểm
Hướng dẫn giải:
a. Gọi giao của  và d là H
H  d  H (3  2t ;1  t ; 1  4t )
AH  d  AH  ud  AH .ud  0
AH (1  2t;3  t; 5  4t )
ud (2; 1; 4)
 2  4t  3  t  20  16t  0  21t  21  0  t  1  H (1;0;3)
 AH (3; 2; 1)
x4 y2 z4




3

2
1
 A(4; 2; 4)

b. Gọi   Ox={H }

1

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


H  Ox  H(t;0;0)
AH  ud  AH .ud  0
AH (t  1; 2; 3)
d

ud (2;1; 2)
Ox

AH .ud  2t  2  2  6  0  t  1
x 1 y  2 z  3
 AH (2; 2; 3)




2
2
3

 A(1; 2;3)
x y 1 z 1
x  1 y z 1


; d1 :
 
;
2
1
2
1
2
1
thẳng song song với  và cắt với d1 , d 2 .

VD9: Cho  :

H
A(1;2;3)

d2 :

x  2 y 1 z  3
. Viết phương trình đường


3
2
1

Hướng dẫn giải:

) a  d1  {A}  A(t1  1; 2t1 ; t1  1)
) a  d 2  {B}  B(3t2  2; 2t2  1: t2  3)
) AB / / u

A

AB(3t2  t1  3; 2t2  2t1  1; t2  t1  4)

B

a

u (2; 1; 2)
33
 3t2  t1  3

 2t2  2t1  1
t2 


7t2  5t1  1  0
43 47 43

2
4




 A( ; ;
)
4 2 4
2t2  2t1  7  0
 3t2  t1  3  t2  t1  4
t  47
 1 4

2
2
43
47
43
ua  u
x
y
z

4 
2 
4
a :  43 47 43 
2

1
2
)
 A( ; ;
 4 2 4

VD10: Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 , d 2

 x  3  2t1

d1 :  y  1  4t1 ;
 z  2  4t
1

Hướng dẫn giải:

2

 x  2  3t2

d 2 :  y  4  t2
 z  1  2t
2

A

B

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


A(3  2t1 ;1  4t1; 2  4t1 )
B(2  3t2 ; 4  t2 ;1  2t2 )
 AB(3t2  2t1  1; t2  4t1  3; 2t2  4t1  3)
AB  u1  (6t2  4t1  2)  (4t2  16t1  12)  (8t2  16t1  12)  0

 18t2  36t1  26  0 (1)
AB  u2  (9t2  6t1  3)  (t2  4t1  3)  (4t2  8t1  6)  0
 14t2  18t1  12  0 (2)
 t1 , t2
 A, B

 x  3  2t1
 x  2  3t 2


VD10: Viết phương trình đường vuông góc chung của d1; d 2 với: d1 :  y  1  4t1 và d 2 :  y  4  t 2 .
z  2  4t
z  1  2t
1
2


Đường thẳng d1 có u1   2; 4; 4  ; đường thẳng d 2 có: u 2   3; 1; 2  .
Gọi A  3  2t1;1  4t1 ; 2  4t1  ; B 2  3t2 ;4  t2 ;1  2t2  .

 AB   3t 2  2t1  1; 3  t 2  4t1; 3  2t 2  4t1 .

AB  d1

AB là đường thẳng vuông góc của hai đường thẳng d1; d 2  


AB  d 2

2  3t 2  2t1  1  4  3  t 2  4t1   4  3  2t 2  4t1   0


3  3t 2  2t1  1   3  t 2  4t1   2  3  2t 2  4t1   0

37
 61 193 58 
t1 
 A ;
; 

45
36t1  18t 2  26
4 1 1

 45 45 45 
 2


 AB   ;  ;    2;  4; 5  .
 45 45 9  45
18t1  14t 2  12
 t   1  B  7 ; 21 ; 7 
2



5
5 5 5
7

 x  5  2t


21

Vậy phương trình đường thẳng vuông góc chung AB là:  y 
 4t.
5

7

 z  5  5t


3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


BÀI GIẢNG : PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG TRONG OXYZ (TIẾT 3)
CHUYÊN ĐỀ: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
MÔN TOÁN: LỚP 12 – THẦY NGUYỄN QUỐC CHÍ
Vấn đề 2:


u
u
I/ Vị trí tƣơng đối giữa hai đƣờng thẳng d1 :  1 ; d 2 :  2
M1
M 2





[u , u ]  0
1. Chéo nhau:  1 2

[u1 , u2 ].M1M 2  0

[u , u ]  0
2. Cắt nhau:  1 2

[u1 , u2 ].M1M 2  0

[u , u ]  0
3. Song song:  1 2

M1  d2

[u , u ]  0

4. Trùng nhau:  1 2

M1  d2

5. Vuông góc: u1.u2  0
Câu 231: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  :

x y  2 z 1
đi qua điểm M (2; m; n) .



1
1
3

Khi đó giá trị của m,n lần lượt là:
A. m  2; n  1

B. m  2; n  1

C. m  4; n  7

D. m  0; n  7

Hƣớng dẫn giải:

M  

2 m  2 n  1 m  4



1
1
3
n  7

Chọn đáp án: C
Câu 232: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

 x  1  3t
x 1 y  2 z  3

d1 :  y  t
và d 2 :
. Vị trí tương đối của d1 và d 2 là:


3
1
2
 z  1  2t

A.Song song

1

B.Trùng nhau

C.Cắt nhau

D.Chéo nhau

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


Hƣớng dẫn giải:
u1  (3; 1; 2)
u2  (3;1; 2)  u1

M 1 (1;0;1) 

1  1 0  2

3
1

( Sai )

Chọn đáp án: A
Câu 233: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

 x  1  2t
x 1 y  1 z  2

d1 :  y  t
và d 2 :
. Vị trí tương đối của d1 và d 2 là:


2
1
1
z  1 t

A.Song song

B.Trùng nhau

C.Cắt nhau

D.Chéo nhau

Hƣớng dẫn giải:
u1  (2; 1;1)
u2  (2;1; 1)
1  1  2t
t  1


M 2 (1; 1; 2)  1  t  t  1
2  1  t
t  1



Chọn đáp án: B
Câu 234: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

x  t
x  3 y  2 z 1

và d 2 :  y  2 . Vị trí tương đối của d1 và d 2 là:
d1 :


1
2
1
z  2  t


A.Song song

B.Trùng nhau

C.Cắt nhau

D.Chéo nhau

Hƣớng dẫn giải:
u1 (1; 2;1), M 1 (3; 2;1)
u2 (1;0;1), M 2 (0; 2; 2)
[u1 , u2 ]  (2;0; 2)
M1M 2 (3;0;1)
 [u1 , u2 ].M1M 2  6  0  2  8  0

2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


Chọn đáp án: D
Câu 240: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

 x  1  at
x y 3 z  2

d :  y  2  t và d ' : 
. Với giá trị nào của a thì d và d’ song song với nhau:


2

1
2
 z  2t

A. a  0

B. a  1

C. a  2

D.Không tồn tại

Hƣớng dẫn giải:

u (a;1; 2)
u '(2; 1; 2)
a 1 2
 

 1  a  2
2 1 2
1 5
M 1 (1; 2;0)  
(S )
2 1
Chọn đáp án: C
Câu 234: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :

x 1 y  3 z 1
và


1
1
1

 x  n  2t

d 2 :  y  1  2t . Với giá trị nào của m,n thì hai đường thẳng trùng nhau:
 z  3  mt

A. m  2, n  5

B. m  2, n  5

C. m  5, n  2

D. m  5, n  2

Hƣớng dẫn giải:

u1 (1; 1;1)
u2 (2; 2; m)
1 1 1

 m2
2 2 m

n  1 1  3 3  1
M 2 (n; 1;3) 


4n5
1
1
1



Chọn đáp án: A

 x  1  at
x  1 t


Câu 234: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :  y  t
và d 2 :  y  2  2t . Với
 z  1  2t
z  3  t


giá trị nào của a thì d1 , d 2 cắt nhau.

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!

A. a  0

B. a  1

C. a 

1
2

D. a  2

Hƣớng dẫn giải:
u1 (a;1; 2), M 1 (1;0; 1)
u2 (1; 2; 1), M 2 (1; 2;3)
 [u1 , u2 ]  (5; a  2; 2a  1)  M 1M 2  (0; 2; 4)
[u1 , u2 ].M 1M 2  0  0  2(a  2)  8a  4  0  10a  0  a  0

Chọn đáp án: A
II/ Vị trí giữa đƣờng và mặt
+) Xét giao điểm của đường và mặt

 x  xo  At

 y  y0  Bt

 z  z0  Ct
Ax  By  Cz  D  0
+ Có 1 nghiệm  cắt nhau
+ Vô nghiệm  song song ( ud  nP )

+ Vô số nghiệm  trùng nhau
+ Tỉ lệ

ud
 k  vuông góc
nP

Câu 243: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x  2 y  3z 1  0 và đường thẳng
d:

x 1 y  2 z  3
. Khẳng định nào sau đây đúng:


3
3
1

A.
B.
C.
D.

Đường thẳng d cắt mặt phẳng (P)
Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P)
Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P)
Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P)

Hƣớng dẫn giải:

4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


 x  3t  1
 y  3t  2


z  t  3
 x  2 y  3z  1  0
 (3t  1)  2(3t  2)  3(t  3)  1  0  0t  5  0  5  0 (VN )
Chọn đáp án: B

x  1 t

Câu 244: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y  2  t và mặt phẳng
 z  t

( ) : x  y  z  1  0 . Vị trí tương đối của d và ( ) là:

A. Đường thẳng d cắt mặt phẳng ( )
B. Đường thẳng d song song với mặt phẳng ( )
C. Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng ( )
D. Đường thẳng d vuông góc mặt phẳng ( )
Hƣớng dẫn giải:

 1  t  2  t  t 1  0  t  2  0  t  2
Chọn đáp án: A

Câu 246: (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x  10 y  2 z  2
. Xét mặt phẳng ( P) :10 x  2 y  mz  11  0 , với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá
:


5
1
1
trị của m để mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng  .
A. m  2

B. m  2

C. m  52

D. m  52

Hƣớng dẫn giải:
u  (5;1;1)
nP  (10; 2; m)


5 1 1
  m2
10 2 m

Chọn đáp án: B
Câu 247: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : 2 x  y  z  3  0 và đường thẳng

 x  2  mt

d :  y  n  3t . Với giá trị nào của m,n thì d nằm trong mặt phẳng (P)?
 z  1  2t


5

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


A. m 

5
,n  6
2

5
B. m  , n  6
2

5
C. m  , n  6
2

D. m 

5
, n  6

2

Hƣớng dẫn giải:

 2(2  mt )  (n  3t )  (1  2t )  3  0  (2mt  3t  2t )  (4  n  1  3)  0
5

 2m  5  0
m 
 t (2m  5)  (n  6)  0  

2
n  6  0
n  6
Chọn đáp án: D
Vấn đề 3: Góc
I/ Góc giữa hai đƣờng thẳng d 1 và d 2  
 cos =

u1.u2
u1 . u2

II/ Góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng
 sin =

u.n
u.n

x  t
 x  1  4t



Câu 254: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng  :  y  5  2t và  ' :  y  2  t . Xác
 z  14  3t
 z  1  5t


định góc giữa hai đường thẳng:
B. 45o

A. 30o

C. 60o

D. 90o

Hƣớng dẫn giải:

u  (1; 2; 3)
u '  (4;1;5)
 cos =

4  2  15
14. 42



21
   30o
14. 42

Chọn đáp án: A

 x  1  t
x  2  t


Câu 257: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :  y   2t và d 2 :  y  1  2t .
 z  2  mt
z  2  t



6

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


Để 2 đường thẳng hợp với nhau một góc bằng 60o thì giá trị của m bằng:
A. m  1

B. m  1

C. m 

1
2

D. m 

1
2

Hƣớng dẫn giải:
u1 (1;  2;1)
u2 (1; 2; m)

cos60o 

1 2  m
4. 1  2  m2



m 1
m2  3.2



1
2

 2 m  1  m2  3.2  4(m  1) 2  4(m2  3)  8m  4  12  m  1

Chọn đáp án: B

7

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –

GDCD tốt nhất!


TỔNG HỢP BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG
Câu 1: (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(0;1;1), B(1; 2;3) . Viết phương trình mặt phẳng qua A và
vuông góc với AB.
A. ( P) : x  y  2 z  3  0

B. ( P) : x  y  2 z  6  0

C. ( P) : x  3 y  4 z  7  0

D. ( P) : x  3 y  4 z  26  0

Hướng dẫn giải:
n  AB  (1;1; 2)

( P) : 
 1( x  0)  1( y  1)  2( z  1)  0

 A(0;1;1)

Chọn đáp án A
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( ) : 4 x  3 y  7 z  3  0 và điểm I (1; 1; 2) .
Phương trình mặt phẳng (  ) đối xứng với ( ) qua I là:
A. ( ) : 4 x  3 y  7 z  3  0

B. ( ) : 4 x  3 y  7 z  11  0

C. ( ) : 4 x  3 y  7 z 11  0

D. ( ) : 4 x  3 y  7 z  5  0

Hướng dẫn giải:

( ) / /( )  n  n  (4; 3; 7)
Lấy A(0;1;0)    . Gọi A '    là hình chiếu của A qua I

 I là trung điểm của AA ' .
 A '(2; 3;4)
 4( x  2)  3( y  3)  7( z  4)  0
 4 x  3 y  7 z  11  0.

Chọn đáp án: B
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(0;0; 3) và đường thẳng d :

x 1 y 1 z

 . Phương
2
1 1

trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng (d) là:
A. 2 x  y  z  3  0

B. 2 x  y  z  3  0

C. 2 x  y  z  5  0

D. 2 x  y  z  4  0

Hướng dẫn giải:

1

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


( P)  (d )  nP  ud  (2; 1;1)
A(0;0; 3)  ( P)
 ( P) : 2( x  0)  1( y  0)  1( z  3)  0

Chọn đáp án: B
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz mặt phẳng ( ) cắt 3 trục tọa độ tại 3 điểm
M (8;0;0), N (0; 2;0), P(0;0; 4) . Phương trình của mặt phẳng ( ) là:

x y z
A. ( ) : 
 0
8 2 4

x y z
B. ( ) :    1
4 1 2

C. ( ) : x  4 y  2 z  0

D. ( ) : x  4 y  2 z  8  0

Hướng dẫn giải: *) Chú ý: Phương trình mặt chắn
Mặt phẳng ( ) cắt 3 trục tọa độ tại 3 điểm M (a;0;0), N (0; b;0), P(0;0; c) có phương trình là:

x y z
  1
a b c

x y z
  1  x  4 y  2z  8
Áp dụng lý thuyết trên ta có ( ) : 
8 2 4
Chọn đáp án: D
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;0;3) và 2 đường thẳng

 x  1  2t
x3 y 6 z

d1 :

 ; d 2 :  y  5  3t
1
1
1
z  4

Phương trình mặt phẳng qua A và song song với d1 , d 2 là:
A. 3x  y  2 z  6  0

B. 3x  y  z  3  0

C. 3x  2 y  z  3  0

D. 3x  2 y  z  3  0

Hướng dẫn giải:
( P) / / d1 , d 2  nP  [u1 , u2 ]
 nP  (3; 2; 1)
n (3; 2; 1)
( P) :  P
 A(0;0;3)

Chọn đáp án: D

2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P) : x  y  3z  2  0 và đường thẳng
(d ) :

x  2 y 1 z 1
. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với (P):


1
2
3

A. 3x  z  5  0

B. 3x  z  5  0

C. 3x  z  5  0

D. 3x  z  5  0

Hướng dẫn giải:

n  [ud , nP ]  (9;0;3)  (3;0; 1)


 A(2; 1;1)
 3( x  2)  1( z  1)  0

Chọn đáp án: C
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 2;1) và đường thẳng (d ) :

x y 1

 z  3 . Viết
3
4

phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và chứa đường thẳng d
A. 15x 11y  z  8  0

B. 15x  11y  z  8  0

C. 15x  11y  z  8  0

D. 15x  11y  z  8  0

Hướng dẫn giải:
Chọn B(0;1; 3)  d
nP  [ AB, ud ]  (15;11;1)
n (15;11;1)
( P) :  P
 A(1; 2;1)

Chọn đáp án: B
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD có các đỉnh
A(1;2;1), B(2;1;3), C(2; 1;1), D(0;3;1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua AB sao cho khoảng cách từ C
đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).
Hướng dẫn giải:
TH1: C,D cùng phía so với (P)

 ( P) / / CD
AB   3; 1; 2  , CD   2; 4; 0  .
n  [ AB, CD]=  8; 4; 14   2  4; 2; 7  .
 ( P) :  P
 A(1; 2; 1)
  P  : 4  x  1  2  y  2   7  z  1  0
 4 x  2 y  7 z  15  0.

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –

GDCD tốt nhất!


TH2: C,D khác phía so với (P)
Suy ra, trung điểm I (1;1;1)  ( P)
AI   0; 1; 0  , BI   3; 0;  2  .

n   AI , BI  =  2; 0; 3
( P) :  P 

 A(1;2;1)
  P  : 2  x  1  3  z  1  0
 2 x  3 z  5  0.

4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


TỔNG HỢP BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG (TIẾT 2)
CHUYÊN ĐỀ: HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Thầy giáo: Nguyễn Quốc Chí

 x  at  xo (1)

Vấn đề 2: Vị trí tương đối giữa ( P) : Ax+By+Cz+D=0 (4) với (d ) :  y  bt  yo (2)
 z  ct  z (3)
o


(1)
(2)

Xét hệ 
(3)
(4)
TH1: Hệ có 1 nghiệm  cắt nhau
TH2: Hệ vô nghiệm  song song
TH3: Hệ vô số nghiệm  trùng nhau
TH4: Vuông góc  ud / / nP  tỉ lệ tọa độ bằng nhau
Bài 1: Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tìm giao điểm (nếu có) của chúng.

 x  2t

a. d :  y  1  t
z  3  t

x  12 y  9 z  1
b. d :


4
3
1
x  11 y  3 z
c. d :


2
4

3

( P) : x  y  z  10  0

( P) : 3x  5 y  z  2  0
( P) : 3x  3 y  2 z  5  0

Hướng dẫn giải:

 x  2t
 y  1 t

 2t  (1  t )  (3  t )  10  0  t  3
a. Xét 
z  3  t
 x  y  z  10  0
 I (6; 2;6)

1

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


 x  4t  12
 y  3t  9

 3(4t  12)  5(3t  9)  (t  1)  2  0
b.  z  t  1


3x  5 y  z  2  0
 26t  78  0  t  3
 x  2t  11
 y  4t  3

 3(2t  11)  3(4t  3)  6t  5  0
c.  z  3t

3x  3 y  2 z  5  0
 0t  47  0
Phương trình vô nghiệm  song song
Cách 2:

ud (2;4;3), nP (3; 3;2)  ud .nP  0  song song
Bài 2:
x 1 y  2 z  3


; ( P) : x  3 y  2 z  5  0 . Tìm m để d và (P) song song
m
2m  1
2
x  1 y  3 z 1
b. Cho d :


; ( P) : x  3 y  2 z  5  0 . Tìm m để d và (P) vuông góc với nhau.
2
m
m2

 x  3  4t

c. Cho d :  y  1  4t ; ( P) : (m  1) x  2 y  4 z  m  9  0 . Tìm m để d và (P) cắt nhau
 z  3  t


a. Cho d :

Hướng dẫn giải:
d / /( P)  ud  nP  ud .nP  0

a. ud (m; 2m  1; 2)
 m  (6m  3)  4  0  m  1

n
(1;3;

2)

 P
d  ( P)  ud / / nP

b. ud (2; m; m  2) 2 m m  2
  
m6

1
3
2
n

(1;3;
2)

 P

 x  3  4t
 y  1  4t

c. Xét 
 z  3  t
(m  1) x  2 y  4 z  m  9  0

2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


 (m  1)(3  4t )  2(1  4t )  4(3  t )  m  9  0
 (4m  16)t  4m  2  0
4m  2
t 
4m  16
Để phương trình có nghiệm  4m 16  0  m  4

Vấn đề 3: Góc
ud .nP

 d : ud
 sin  


ud . nP

( P) : nP

Bài 3: Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P)
x 1 y 1 z  3


; ( P) : 2 x  y  2 z  10  0
1
2
3
x  1

b. d :  y  2  t 4 5 ; ( P) : x 4 5  z  4  0
z  3  t


a. d :

Hướng dẫn giải:
ud (1; 2;3)  ud  1  4  9  14

a. nP (2; 1; 2)  nP  4  1  4  3
 sin  

226
14.3



10
   63o
3 14

Bài 4: Cho tứ diện ABCD có A(3;2;6), B(3; 1;0), C(0; 7;3), D(2;1; 1) . Tính góc giữa AD và mặt phẳng
(ABC)
Hướng dẫn giải:

AD(5; 1; 7)  (5;1;7)  u AD  5;1;7 

 AB(0; 3; 6)
 [ AB, AC ]  (45;18; 9)  9(5; 2; 1)  n ABC   (5; 2; 1)

AC
(

3;

9;

3)

25  2  7
30
 sin  

   39o
75. 30

75. 30

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG
CHUYÊN ĐỀ: HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Thầy giáo: Nguyễn Quốc Chí

Vấn đề 1: Tiếp xúc

 IH  R

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : 2 x  2 y  z  3  0 và điểm I (1; 2; 3) . Mặt
cầu (S) tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P) có phương trình:
A. ( x  1)2  ( y  2)2  ( z  3) 2  4

B. ( x  1)2  ( y  2)2  ( z  3)2  4

C. ( x  1)2  ( y  2)2  ( z  3)2  4

D. ( x  1)2  ( y  2)2  ( z  3)2  2

Hướng dẫn giải:

d ( I ; P) 

2 433
4  4 1



6
2
3

R2
Chọn đáp án: C
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S ) : x2  y 2  z 2  6 x  2 y  4 z  5  0 và điểm
M (4;3;0) . Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) tại M

Hướng dẫn giải:
Tâm I (3;1; 2)  R  9  1  4  5  3
nP  IM (1; 2; 2)

 1( x  4)  2( y  3)  2 z  0


 M (4;3;0)
 x  2 y  2 z  10  0

1

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S ) : x2  y 2  z 2  2 x  2 y  4 z  4  0 và 2 đường

 x  2t
x 1 y
z

thẳng 1 :  y  1  t và  2 :
  . Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S), biết rằng
1 1 1
z  t

(P) song song với 1 ,  2
Hướng dẫn giải:
Tâm I (1; 1; 2); R  2

nP  [u1 , u2 ]  (0;1;1)
Gọi ( P) : y  z  D  0

d ( I ; P) 

1  2  D
2



D3

2
D 3
D  3  2

D  5  y  z  5  0

 2


2
 D  3  2
D  1  y  z 1  0
Câu 4: Trong không gian Oxyz cho điểm A(0; 2; 1) , mặt phẳng ( P) : 2 x  y  2 z  2  0 và đường thẳng (d) có

 x  2t

phương trình  y  2 . Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua A, có tâm thuộc đường thẳng (d) và tiếp xúc với
z  t

mặt phẳng (P)
A. ( x  2)2  ( y  2)2  ( z  1) 2  5

B. x2  ( y  2)2  ( z  1)2  4

C. ( x  5)2  ( y  6)2  ( z  1)2  4

D. ( x  2)2  ( y  2)2  ( z  1)2  4

Hướng dẫn giải:
I  d  I (2t ; 2; t )
d ( I ; P) 

4t  2  2t  2
4 1 4



6t
3

2t

AI (2t ;0; t  1)  IA  4t 2  t 2  2t  1  5t 2  2t  1
 2 t  5t 2  2t  1
 I (2; 2; 1)
 t  1  
R  2

Chọn đáp án: D

2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho ( P) : x  y  2 z  6  0 . Lập phương trình mặt cầu (S) có bán kính R  6
và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm M (0;0;3)
( x  1) 2  ( y  1) 2  ( z  1) 2  8
A. 
2
2
2
( x  1)  ( y  1)  ( z  5)  8

( x  1)2  ( y  1)2  ( z  1)2  6
B. 
2
2
2
( x  1)  ( y  1)  ( z  5)  6

( x  5) 2  ( y  2) 2  ( z  5) 2  6
C. 
2
2
2
( x  1)  y  ( z  5)  6

 x2  y 2  z 2  6
D.  2
2
2
 x  y  ( z  5)  6

Hướng dẫn giải:
Phương trình đường thẳng IM
x  t
 IM  ( P)  uIM  nP  (1;1; 2)

 IM :  y  t

 M (0;0;3)
 z  2t  3


t  1
I (t ; t ; 2t  3)  MI (t ; t ; 2t )  IM  t 2  t 2  4t 2  6t 2  6  
t  1

Chọn đáp án: B
Vấn đề 2: Cắt nhau
(S) và (P) cắt nhau tạo ra giao tuyến là 1 đường
tròn.
IA R : mặt cầu

HA r : đường tròn

IH d I;P

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I (0;1;1) và mặt phẳng ( P) : 2 x  y  z  10  0 . Mặt
phẳng (P) cắt mặt cầu (S) tâm I theo giao tuyến là 1 đường tròn diện tích là 10 . Phương trình mặt cầu (S) là:
A. x2  ( y  1)2  ( z  1)2  25

C. x2  ( y  1)2  ( z  1)2  25

B. x2  ( y  1)2  ( z  1)2  35

D. x 2  ( y  1)2  ( z  1)2 

3

80
3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


Hướng dẫn giải:

S   r 2  10  r 2  10  r  10
d ( I ; P) 
 IH 

0  1  1  10
6



10
6

10
6

 IA2  AH 2  IH 2  10 
 R2 

100 80

6
3

80

3

Chọn đáp án: D
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ( P) : 2 x  y  2 z  19  0 và mặt cầu
(S ) : ( x  1)2  ( y  2)2  ( z  3)2  25 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và cắt mặt cầu (S)

theo thiết diện là 1 đường tròn có chu vi là 8
A. 2 x  y  2 z  1  0

B. 2 x  y  2 z  1  0

C. 2 x  y  3z  4  0

D. 2 x  y  2 z  1  0

Hướng dẫn giải:
C  2 r  8  r  4
R  5  IH  3
( P) / /(Q)  nP  nQ  (2;1; 2)
(Q) : 2 x  y  2 z  D  0
d ( I ; Q)  IH 

2  2  6  D
9



D  10
3

3

 D  19 ( L)

D  1

Chọn đáp án: D

4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!