Tính toán từ trở ngang trong siêu mạng pha tạp
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.68 MB, 68 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------
NGUYỄN VĂN TUẤN
TÍNH TOÁN TỪ TRỞ NGANG TRONG
SIÊU MẠNG PHA TẠP
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội – Năm 2014
1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------
Nguyễn Văn Tuấn
TÍNH TOÁN TỪ TRỞ NGANG TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: CH.60440103
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Đinh Quốc Vƣơng
Hà Nội – Năm 2014
2
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ............................................................................................................................1
Chương 1: SIÊU MẠNG PHA TẠP VÀ TÍNH TOÁN TỪ TRỞ NGANG
TRONG BÁN DẪN KHỐI ...............................................................................................3
1. 1. Siêu mạng pha tạp . .................................................................................................................... 3
1.1.1. Khái niệm về Siêu mạng pha tạp. ..................................................................... 3
1.1.2. Phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử giam cầm trong Siêu mạng
pha tạp .................................................................................................................... …3
1.2. Tính toán từ trở ngang trong bán dẫn khối bằng phương pháp phương
trình động lượng tử. ............................................................................................................................. 4
1.2.1. X ây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối ............ 5
1.2.2. Biểu thức giải tích của từ trở trong bán dẫn khối ........................................... 20
Chương 2: BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA TỪ TRỞ NGANG TRONG SIÊU
MẠNG PHA TẠP ............................................................................................................ 26
2.1. Phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng pha tạp .............................26
2.2. Biểu thức giải tích của từ trở ngang trong siêu mạng pha tạp. ....................................38
Chương 3: TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ, BÀN LUẬN KẾT QUẢ LÝ
THUYẾT .......................................................................................................................... 54
3.1. Sự phụ thuộc của từ trở vào từ trường B. ...........................................................................54
3.2. Sự phụ thuộc của từ trở vào biên độ của sóng điện từ E. ..............................................55
3.3. Sự phụ thuộc của từ trở vào tần số của sóng điện từ . ................................................56
3.4. Sự phụ thuộc của từ trở vào nhiệt độ T. ..............................................................................56
KẾT LUẬN CHUNG ...................................................................................................... 58
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................... 69
PHỤ LỤC ......................................................................................................................... 60
3
LỜI CẢM ƠN
Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến TS Đinh Quốc
Vương. Người đã hướng dẫn và chỉ đạo tận tình cho em trong quá trình thực hiện
luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ và dạy bảo tận tình của các thầy cô
giáo trong bộ môn vật lí lý thuyết – Khoa Vật Lí – trường Đại Học Khoa Học Tự
Nhiên – Đại Học Quốc Gia Hà Nội trong suốt thời gian vừa qua, để em có thể học
tập và hoàn thành luận văn này một cách tốt nhất.
Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện của ban chủ
nhiệm khoa Vật Lí, phòng sau đại học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên – Đại
Học Quốc Gia Hà Nội.
Em cũng gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên
em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
4
MỞ ĐẦU
. L do chọn đề tài.
Trong nhiều năm lại gần đây đã có nhiều công trình nghiên cứu liên quan
đến tính chất của hệ thấp chiều như tính chất quang, tính chất từ, tính chất điện
Những kết quả nghiên cứu cho ta thấy sự khác nhau của các tính chất vật lý trên cả
về mặt định tính lẫn định lượng giữa bán dẫn thấp chiều và bán dẫn khối. Tính toán
từ trở đặc biệt được quan tâm và giải quyết khá tốt trong bán dẫn khối. Tuy nhiên, nó
chưa được giải quyết trong siêu mạng pha tạp dưới sự ảnh hưởng của sóng điện từ.
Tính toán từ trở ngang trong siêu mạng pha tạp dưới ảnh hưởng của sóng điện từ
được chúng tôi thực hiện bởi phương pháp phương trình động lượng tử nhằm giải
quyết vấn đề còn bỏ ngỏ trên và được trình bày trong luận văn với đề tài: “Tính toán
từ trở ngang trong siêu mạng pha tạp’’.
2. Phƣơng pháp nghiên cứu.
Trong lĩnh vực lý thuyết, bài toán tính từ trở ngang trong siêu mạng pha tạp
có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau như: phương pháp phương trình động
lượng tử, phương pháp hàm Green, phương pháp tích phân phiếm hàm, … Mỗi
phương pháp có một ưu điểm riêng nên tôi sử dụng phương pháp phương trình động
lượng tử: Đây là phương pháp được sử dụng rộng rãi khi nghiên cứu các hệ bán dẫn
thấp chiều, đạt hiệu quả cao và cho các kết quả có ý nghĩa khoa học nhất định.
Ngoài ra, chúng tôi còn sử dụng chương trình Matlab để có được các kết quả
tính toán số và đồ thị sự phụ thuộc của từ trở vào các đại lượng như: từ trường B,
nhiệt độ T, biên độ của sóng điện từ E và tần số của sóng điện từ .
3. Bố cục của luận văn.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn được
chia làm 3 chương:
Chương 1: siêu mạng pha tạp và tính toán từ trở ngang trong bán dẫn khối.
Chương 2: Biểu thức giải tích của từ trở ngang trong siêu mạng pha tạp.
Chương 3: Tính toán số và vẽ đồ thị, bàn luận kết quả lý thuyết.
Các kết quả chính của luận văn được chứa đựng trong chương 2 và chương
3. Chúng tôi đã thu được biểu thức giải tích của từ trở ngang trong siêu mạng pha
tạp. Việc tính toán số cũng được thực hiện và cho thấy sự phụ thuộc phi tuyến của
từ trở ngang vào các đại lượng như: từ trường B, biên độ của sóng điện từ E, tần số
5
của sóng điện từ và nhiệt độ T. Chúng ta thấy ở đây sự khác nhau trong sự phụ
thuộc của từ trở vào nhiệt độ, biên độ E và tần số của sóng điện từ so với trường
hợp bán dẫn khối. Khi tần số p đạt đến giá trị 0, ta thu được giới hạn các kết quả
của bán dẫn khối.
6
Chƣơng : SIÊU MẠNG PHA TẠP VÀ TÍNH TOÁN TỪ TRỞ NGANG
TRONG BÁN DẪN KHỐI
1. . Siêu mạng pha tạp.
1.1.1. Khái niệm về Siêu mạng pha tạp.
Bán dẫn siêu mạng là loại cấu trúc tuần hoàn nhân tạo gồm các lớp bán dẫn
thuộc hai loại khác nhau có độ dày cỡ nanomet đặt kế tiếp. Do cấu trúc tuần hoàn,
trong bán dẫn siêu mạng, ngoài thế tuần hoàn của mạng tinh thể, các electron còn
phải chịu một thế tuần hoàn phụ do siêu mạng tạo ra với chu kì lớn hơn hằng số
mạng rất nhiều. Thế phụ được tạo nên bởi sự khác biệt giữa các đáy vùng dẫn của
hai bán dẫn cấu trúc thành siêu mạng.
Trong bán dẫn siêu mạng, độ rộng của các lớp đủ hẹp để electron có thể
xuyên qua các lớp mỏng kế tiếp nhau, và khi đó có thể coi siêu mạng như một thế
tuần hoàn bổ xung vào thế của mạng tinh thể.
Bán dẫn siêu mạng được chia thành hai loại: bán dẫn siêu mạng pha tạp và
bán dẫn siêu mạng hợp phần. Bán dẫn siêu mạng pha tạp có cấu tạo các hố thế
trong siêu mạng được tạo thành từ hai lớp bán dẫn cùng loại nhưng được pha tạp
khác nhau. Siêu mạng pha tạp có ưu điểm là có thể điều chỉnh dễ dàng các tham số
của siêu mạng nhờ thay đổi nồng độ pha tạp.
. .2. Phổ năng lƣợng và hàm sóng của điện tử giam cầm trong siêu mạng pha
tạp.
Trong siêu mạng pha tạp, chuyển động của các điện tử bị lượng tử hóa và
năng lượng là gián đoạn theo một chiều nào đó.
Chuyển động của điện tử trong mặt phẳng (xy) là tự do, phổ năng lượng có dạng:
2
2m
(k x2 k y2 )
Trong đó: k x , k y là các thành phần vectơ sóng theo hai trục Ox và Oy.
- Ngoài ra, năng lượng của điện tử tự do là lượng tử hóa nên sẽ phụ thuộc vào một
số lượng tử n là n . Khi đó năng lượng toàn phần của điện tử là:
7
n .
- Điều kiện để quan sát các hiệu ứng liên quan đến điện từ là hiệu giữa hai mức
năng lượng liên tiếp phải lớn hơn năng lượng chuyển động nhiệt koT và độ rộng va
chạm các mức
.
2 1 koT ,
Giải phương trình Schrodinger:
(
2
2m
2 U ) (r ) E (r ) .
Ta tìm được phổ năng lượng của điện tử:
n ( k )
2
2m
(k2 k zn 2 )
Với n là số lượng tử (n=1,2,3…), m là khối lượng điện tử.
Khi đó phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử có dạng:
(r )
1 i k r
e ( z z 0 ) với k (k x , k y )
2
1
2
N (k x ) N
1 2 2 k X C eE1
[ k (
)]
2m
Với N=0,1,2,……;
2 p2 c2
1
p
4 nD 2
là tần số plasma gây ra bởi các tạp chất dornor với nồng độ
0m
pha tạp nD .
c
eB
là tần số cyclotron
m
( z z 0 ) H ( z z 0 ) exp( z 2 / 2) , với H(z) là đa thức Hermite.
1.2. Tính toán từ trở ngang trong bán dẫn khối bằng phƣơng pháp phƣơng
trình động lƣợng tử.
8
.2. . Xây dựng phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong bán dẫn khối.
Phương trình động lượng tử cho điện tử có dạng:
n t
p
i
t
a a p , H
p
(1.1)
t
Trong đó:
2
1
e
p A(t ) a p a p k bk bk c k a p k a p (bk bk ) (k )a p k a p
2m p
m
k
p ,k
k
H
(1.2)
2
1
e
)
p A(t ) a p a p là Hamiltonian của hệ điện tử trong điện từ trường.
2m p
m
+) a p , a p , (bk bk ) tương ứng là các toán tử sinh hủy điện tử (phonon) ứng với
xung lượng p (vec tơ sóng k ).
+)
b
k
k
bk ( 1 1) là Hamiltonian của hệ các dao động điện tử điều hòa
k
không tương tác.
+)
c a
k
pk
a p (bk bk ) là toán tử mô tả tương tác điện tử và phonon.
p ,k
+)
c k : hằng số tương tác điện tử - phonon âm.
+) m , e là khối lượng và điện tích cho điện tử.
+) A(t ) là thế vectơ.
1 d A(t )
E 0 sin(t )
c dt
+) Giữa các toán tử sinh, hủy điện tử tồn tại các hệ thức giao hoán sau :
a , a a a
i
k
i k
ak ai ik ; ai , ak ai , ak 0
+) Giữa các toán tử sinh, hủy phonon tồn tại các hệ thức giao hoán sau :
9
b , b b b
i
k
i k
bkbi ik ; bi , bk bi , bk 0
Vế phải của (1.2) có tương ứng bốn số hạng với toán tử Hamilton. Ta lần lượt
tính từng số hạng bằng cách tính toán các giao hoán tử. Sử dụng tính giao hoán giữa
các toán tử sinh, hủy cùng loại, khác loại để hoán vị các toán tử một cách thích hợp.
*) Số hạng thứ nhất:
2
1
e
) a p a p ,
p ' c A t a p 'a p '
2m p '
2
2
2
2
2
1
e
p ' A t a p a p , a p 'a p '
2m p '
c
t
1
e
p ' A t a p a p a p 'a p ' a p 'a p 'a p a p
2m p '
c
1
e
p ' A t a p p , p ' a p 'a p a p ' a p ' p , p ' a p a p ' a p
2m p '
c
1
e
p ' A t a p a p ' p , p ' a p a p 'a p a p ' a p 'a p p , p ' a p 'a p a p 'a p
2m p '
c
1
e
p ' At a p a p a p a p 0
2m p '
c
*) Số hạng thứ hai: ) a p a p , k bkbk
k
thì chúng giao hoán với nhau.
0 do toán tử a, b là hai loại độc lập
t
*) Số hạng thứ ba:
) a p a p , Ck a p ' k a p ' bk bk
k,p'
t
Ck a p a p , a p ' k a p ' bk bk
k, p'
Làm tương tự cách phân tích số hạng thứ nhất vừa tính toán ở trên ta có :
a a , a a a a
a p 'k a p p , p '
p p ' p , p ' k
p p p ' k p '
Do đó:
10
a
a
,
C
a
a
b
b
p p k p ' k p ' k k
k,p'
t
Ck a p a p ' p , p 'k a p 'k a p p , p ' bk bk
k,p'
Ck a p a p k a p k a p bk bk
k
Ck a p a p k bk a p a p k bk a p k a pbk a p k a pbk
k
Ck a p a p k bk (a p k a pbk )* a p k a pbk (a p a p k bk )*
k
Ck Fp , p k ,k t Fp*k , p , k t Fp k , p ,k t Fp*, p k , k t
k
*) Số hạng thứ tư: a p a p , k a p ' k a p '
k
+) a p a p , a p 'k a p ' a pa p a p 'k a p ' a p 'k a p 'a pa p
a p p , p 'k a p 'k a p a p ' a p 'k p , p ' a p a p ' a p
a p a p ' p , p 'k a p ' k a p p , p '
Thay kết quả vào số hạng thứ 4:
a a , k a a ieE1 d k
(k ) a a p ' p, p ' ka a p p, p '
p
p
'
p
p
'
k
p
p
'
k
k
k
t
ieE1
a a p với k 2i 3 eE1 k
k
p p
Vậy phương trình (1.1) trở thành:
11
n p t
t
eE1
n p t
i Cq Fp , p k ,k t Fp*k , p , k t Fp k , p ,k t Fp*, p k , k t
p
k
(1.3)
Với: Fp , p
1
2 ,q
t
a p a p bq
1
2
t
Để giải (1.3) ta cần tính Fp , p ,q (t ) thông qua phương trình:
1
Fp , p ,q t
i
1
2
t
a p a p bq , H
1 2
2
(1.4)
t
Vế phải của (1.4) chứa ba số hạng tương ứng ba số hạng của hàm Hamilton
H. Ta lần lượt tính từng số hạng bằng cách tính giao hoán tử ta thu được.
*) Số hạng thứ nhất:
2
1
e
p3 c A t a p a p
a p a p bq ,
2
m
p
1
2
3
3
3
2
t
1
e
p3 A t a p a p bq a p a p a p a p a p a p bq
2m p
c
1
2
3
3
3
3
1
2
3
2
1
e
p3 A t a p a p bq p , p a p a p bq p , p
2m p
c
1
3
3
2
3
2
1
3
2
t
3
t
2
1
e
1
e
p
A
t
a
a
b
p
A
t
2
1
p p q t 2m
a p a p bq
2m
c
c
1
2
1
e
p22 p12
p2 p1 A t a p a p bq
2m 2m mc
1
2
t
*) Số hạng thứ hai:
k bk bk
a p a p bq ,
k
1
1
2
1
1
k a p a p bq , bk bk
k
t
1
1
t
1
2
1
12
1
1
2
t
k a p a p bqbk bk bk bk bq
1
k1
1
2
1
1
1
1
t
b b b
k a p a p ( k ,q bk bq )bk bk bk bq
1
k1
1
2
k a p a p
1
k1
1
2
1
1
b bk bqbk
k1 , q k 1
k a p a p k ,qbk
1
k1
1
2
1
1
1
1
1
t
1
k1 k 1 q
t
1
t
q a p a p bq q Fp , p ,q t
1
2
1
t
2
*) Số hạng thứ ba:
a p1 a p2 bq , Ck1 a p3 k1 a p3 bk1 b k1
k1 , p3
C
k1 , p3
t
a a b , a a b b
p1 p2 q p3 k1 p3 k1 k1
k1
t
Ta có:
a a b , a a b b a a b a a b b a a b b a a b
p k p
k
k
p p q
p p q p k p k k p p q p k p k k
1
2
1
3
3
1
1
1
2
1
3
3
1
1
1
3
3
1
1
1
2
a p p , p k a p k a p a p bk bq a p p , p k a p k a p a p bqbk
1
2
3
1
1
3
2
1
3
1
2
3
1
3
1
2
1
3
a p k p , p a p a p a p bk bq a p k p , p a p a p a p bk bq
1
3
1
1
3
3
2
1
1
3
1
1
3
3
2
1
p , p k a p a p bqbk p , p k a p a p bqbk p , p a p k a p bk bq p , p a p k a p bk bq q ,k a p a p a p
2
3
1
1
1
3
2
3
1
1
1
3
1
3
3
1
2
1
1
3
3
1
2
1
1
1
3
2
Đặt vào số hạng thứ ba ta được:
a
a
b
,
C
a
a
b
b
p p q k , p k p k p k
k
t
1
2
1
1
3
1
3
1
1
3
C q a p a p q a p a p Ck a p a p k1bq bk bk
1
p3
3
2
3
k1
1
1
2
1
1
t
k1
1
1
2
1
Thay các số hạng vào (1.4) ta được phương trình:
i
Fp , p ,q (t )
1
2
t
e
( p2 ) ( p1 ) q
p2 p1 A(t ) Fp , p ,q (t )
mc
1 2
13
Ck a p k1 a p bk bk bq
1
t
C q a p a p q a p a p Ck a p a p k1bq bk bk
1
p3
3
2
3
1
k1
1
2
1
1
Ck a p k1 a p bk bk bq
1
k1
t
1
2
1
1
(1.5)
t
Phương trình (1.5) là phương trình vi phân không thuần nhất được giải bằng
phương pháp biến thiên hằng số. Để tìm được nghiệm của phương trình trước hết ta
giải phương trình vi phân thuần nhất tương ứng:
i
Fp , p ,q t
1
2
t
Fp , p ,q t
1
2
t
1
1
e
p2 p1 q
p2 p1 A t Fp , p ,q t
mc
2
e
i p1 p2 q
p1 p2 A t Fp , p ,q t
mc
Sử dụng điều kiện đoạn nhiệt tương tác ln Fp , p
2 ,q
1
t 0
2
được nghiệm
của phương trình vi phân thuần nhất có dạng:
t
e
F 0 p , p ,q t exp i p2 p1
p2 p1 A t1 q dt1
mc
1
2
Từ đó, ta đi tìm nghiệm của phương trình vi phân không thuần nhất có dạng
Fp , p
1
2
0
t
M
t
F
t
,q
p , p ,q
1
2
Suy ra:
i
Fp , p ,q t
1
2
t
iM ' t F 0 p , p ,q t iM t F 0 ' p , p ,q t
1
2
1
2
e
iM ' t F 0 p , p ,q t iM t F 0 p , p ,q t i p2 p1
p2 p1 A t q
1 2
1 2
mc
e
iM ' t F 0 p , p ,q t Fp , p ,q t p2 p1
p2 p1 A t q
1 2
1 2
mc
e
p2 p1 mc p2 p1 A t q Fp1 , p2 ,q t
k1
1
2
1
1
2
k1
t
1
1
Ck a p k1 a p bk bk bq
k1
1
1
2
iM ' t .F 0 p , p ,q t Ck a p a p k1 bq bk bk
1
Ck a p a p k1 bq bk bk
1
2
1
14
1
t
1
1
t
Ck a p k1 a p bk bk bq
k1
1
1
2
1
1
t
M 't i
M t
C
k1
k1
a p k1 a p bk bk bq
1
2
1
1
F
t
p1 , p2 , q
t2
a p a p
1
k
0
i
k Ck1 a p1 a p2 k1bq bk1 bk1
1
t
Ck
1
2 k 1
bq bk bk
1
1
t
t
Ck a p k1 a p bk bk bq
1
k1
1
2
1
1
t
e
2
exp i p2 p1
p2 p1 A t1 q dt1 dt2
mc
Suy ra :
Fp , p ,q (t ) F 0
(t ) M (t )
p1 , p 2 , q
1 2
t
e
exp i p2 p1
p2 p1 A t1 q dt1
mc
t
i Ck1 a p k1 a p bk bk bq Ck a p a p k1 bq bk bk
1
2
1
1
1
1
2
1
1
t2
q1
k1
t2
t2
e
exp i p2 p1
p2 p1 A t1 q dt1 dt2
mc
t
idt2 Ck a p k1 a p bk bk bq Ck a p a p k1 bq bk bk
2
1
1
1
1
2
1
1
t2
t2
k1 1 1
k1
t2
e
exp i p2 p1
p2 p1 A t1 q dt1
mc
t
e
i p2 p1
p2 p1 A t1 q dt1
mc
t
i Ck a p k1 a p bk bk bq Ck a p a p k1 bq bk bk
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
t
t
2
2
k1
k1
t
e
2
exp i p2 p1
p2 p1 A t1 q dt1 dt2
mc
t
t
i C
k1
k1
a p k1 a p bk bk bq
1
2
1
1
t2
Ck a p a p k1 bq bk bk
1
k1
15
1
2
1
1
t2
t2
t2
e
exp i p2 p1
p2 p1 A t1 q dt1 dt2
mc
t
t
i Ck a p k1 a p bk bk bq Ck a p a p k1 bq bk bk
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
t2
t2
k
k
1
1
t2
t2
e
exp i p2 p1 q dt1 i
p2 p1 A t1 dt1 dt2
mc
t
t
i
Ck a p k1 a p bk bk bq Ck a p a p k1 bq bk bk
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
k1
k1
t
t2
t2
e
exp i p2 p1 q t2 t i
p2 p1 A t1 dt1 dt2
mc
t
Như vậy ta thu được kết quả cuối cùng là:
Đổi k1 q1
Fp , p ,q (t ) i Cq
1
2
q1
1
t
a p q a p bq bq bq
1
1
2
1
1
t2
a p a p
1
t
ie
exp i p p q t t2
p
p
A
t
dt
dt2
1
2
1
1
1
2
mc
t2
Ta có cường độ điện trường biến thiên theo thời gian
1 A(t )
E 0 sin t
c t
Suy ra: A(t ) E 0 c sin t
Nếu xét hàm Fp
1 , p 2 ,q
1
1
t2
*) Tính thế vectơ A(t ) của trường sóng điện từ.
E (t )
b bq bq
2 q1 q
E 0c
cost
ta có:
Thay thế vectơ A(t ) vào tích phân
16
(1.6)
t
t
E0 c
E0 c
A(t1)dt1 cos t1dt1 (sin t sin t2 )
t2
(1.7)
t2
Thay kết quả tính Fp , p ,q vào (1.3) ta được:
1
n p t
t
eE1
n p t
2
t
i Ck Cq a p k q a p bq bq bk
1
1
1
1
p
q1 ,k
2
a p k a p q bk bq bq
1
1
1
p
1
1
t2
a p k q a p bk bq bq bk
1
1
1
q1
exp i p p k k
t2
a p a p k q bq bk bk b q
1
1
1
t
t2
t
t
ie
t t2 k A t dt1 dt2 a p q1 a p k bq1 bq1 bk
mc t2
a a p k q bk bq b
exp i p p k k
t2
t
ie
exp
i
(
t
t
)
k
A
(
t
)
dt
pk
2
1 dt2
p
k
mc t
t2
2
a p k a p q bq bk bk b q
1
1
1
t
exp i p k p k
t2
t2
t
ie
t t2 k A t1 dt1 dt2
mc t2
a p q a p k bk bq b q bk
1
1
1
t2
t
ie
k
A
t
dt
t t2
dt2
1
1
mc t2
(1.8)
Trong số hạng thứ nhất, thứ 3 ta thay q1 k và trong số hạng thứ 2, thứ 4
ta thay q1 k . Khi đó phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khi có
mặt trường sóng điện từ:
n p t
t
eE1
a p k a p k bk
n p t
p
Ck
b k bk
k
2
t
dt2 a p a p b k bk bk
t2
t
ie
k A(t )dt1
expi p k p k (t t2 )
mc t
t2
2
17
a p k a p k bk bk bk b k
exp i p k p k
t t2
a a pbk b k b
p
k
t2
t2
a p a p bk bk b k bk
t
ie
k A t1 dt1
mc t2
exp i p p k k
a p a p bk bk bk b k
exp i p p k k
t2
a
p k
t2
a p k b k bk bk
t2
t
ie
t t2 k A t1 dt1
mc t2
a p k a p k bk bk b k bk
t t2
t
ie
k A t1 dt1
mc t2
t2
(1.9)
Chú ý:
exp iz sin
J z e
i
n p t a p a p
t
N k t bkbk
N k 1 bk bk
t
t
vì ( bk bk 1 bk bk )
+) Tần số dao động của phonon:
k k
*) Tính:
t
ieE0 k
ie
exp
k A t1 dt1 exp
sin
t
sin
t
2
2
m
mc t
eE k
exp i 0 2 sin t2 sin t
m
J
s
eE0 k
s
m2 J
eE0 k
2
exp ist exp i t2
m
18
J
s
s
eE0 k eE0 k
J
exp i s t i t t2
2
2
m
m
(1.10)
Thay (1.10) vào (1.9 )ta có
n p t
t
eE1
n p t
p
Ck
k
t
2
eE0 k
Js
m 2
s ,l
J
eE0 k
2
m
expi (l s )t dt ' n p (t ' ) N k n p k (t ' )( N k 1)
exp i ( p k l i )(t t ' ) n p (t ' )( N k 1) n p k (t ' ) N k
p
k
exp i( p k l i )(t t ' ) n p (t ' ) N k n p (t ' )( N k 1)
k
p
k
exp i ( p
l i )(t t ' ) n p (t ' )( N k 1) n p (t ' ) N k
p k
k
k
exp i ( p
l i )(t t ' )
p k
k
(1.11)
*) Áp dụng công thức chuyển phổ Fourier
n ( ) n (t )eit dt
p
p
1
n p ( )e it d
n p (t )
2
(1.12)
Đặt (1.12) vào (1.11) ta được:
1
t 2
Ck
k
n p ( )e
2
it
1
d eE1
p 2
eE k
J s m0 2 J
s ,l
it
n
(
)
e
d
p
t
eE0 k
2
exp i (l s )t dt '
m
19
1
2
it '
n p ()e d Nk
1
2
it '
n
(
)
e
d
(
N
1)
pk
k
1
exp i ( p k l i )(t t ' )
n p ( )e it 'd ( N k 1)
p
k
2
1
2
it '
exp i (
n
(
)
e
d
N
l i )(t t ' )
pk
k
p
k
p
k
1
1
it '
it '
n
(
)
e
d
N
n
(
)
e
d
(
N
1
)
k 2 p
k
2 p k
1
exp i ( p
l i )(t t ' )
n
( )e it 'd ( N k 1)
2 p k
p k
k
1
2
it '
i ( l i)(t t ' )
n
(
)
e
d
N
exp
p
k
p
p k
k
(1.13)
Ta có:
1
t 2
n e
p
it
i
d
2
n e
it
p
d
(a)
+) Đổi thứ tự lấy tích phân trong (1.13):
t
...dt ...d ...d ...dt
'
Với lưu ý rằng n p
'
; n p k ; N
20
k
không thuộc biến t’, khi đó ta có:
t
i
p k i t
pk
e
'
dt '
t
i p k p k i
e
i
p k i t '
pk
i
p k i t
pk
i.e
pk
p k i
(b)
Thay (a), (b) vào (1.13) ta có:
i
2
1
2
n p e
it
e
it
d i Ck
2
s,
k
eE k eE k
J s 0 2 J 0 2 .exp i l s t
m m
1
d n p ( ) N k n p k ( ) N k 1
i
pk
p
k
1
n p k ( ) N k n p ( ) N k 1
i
p
p k
k
n p k ( ) N k 1 n p ( ) N k
k i
1
pk
p
*) Lưu ý:
i
2
e
it
i
f d
2
e
it
g d
Suy ra: f g
()
+) Đặt: 1
1( )
pk
pk
1
p k i
1
p k i
21
(1.14)
(2 )
(2 )
p k
1
p k i
p k
1
p k i
Từ (1.14) ta có:
.n p Ck
2
k
eE k eE k
J s 0 2 J l 0 2 .exp i l s t
l , s
m m
n p ( ) N k n p k ( ) N k 1 1( ) n p ( ) N k 1 n p k ( ) N k 1( )
n p k ( ) N k n p ( ) N k 1 (2 ) n p k ( ) N k 1 n p ( ) N k (2 )
(1.15)
*) Ta thấy rằng, với s ≠ ℓ trong vế trái của (1.15) sẽ cho đóng góp bậc cao hơn hằng
số tương tác điện tử - phonon. Vì vậy ta chỉ lấy s = ℓ và thực hiện ngắt chuỗi bậc
hai với Ck .
Suy ra:
.n p Ck
k
2
J
l
2
l
eE0 k
n ( ) N n ( ) N 1 1( )
2
k
pk
k
p
m
n p ( ) N k 1 n p k ( ) N k 1( ) n p k ( ) N k n p ( ) N k 1 (2 )
(2 )
n
(
)
N
1
n
(
)
N
p
k
k
p
k
(1.16)
*) Do tính chất đối xứng của mạng tinh thể nên thay vecto k k và chuỗi theo
ℓ chạy từ nên thay …+ℓΩ… …- ℓΩ; suy ra:
(1) + (2) số hạng 1; (3) + (4) (2)
22
i.n p i Ck
2
k
2 eE0 k
1( ) 1( )
J
n
(
)
N
1
n
(
)
N
l
2
p
k
k
p
k
l
m
n p k ( ) N k n p ( ) N k 1 (2 ) (2 )
(1.17)
(Sử dụng một lần nữa phép biến đổi Fourier) và lưu ý đến công thức
f x
dx
x 1
x dx i
f
x
Suy ra: 2 i x
f
x
x 1
x
f x
x 1
dx
Nên:
+)
()
1
+)
()
2
1( ) dx 2 i p k p k
(2) dx 2 i p k p k
1
t 2
Và sử dụng:
n e
it
p
i
d
2
n e
it
p
d
+) Vậy công thức (1.14), khi chưa chú ý đến (1.15) ta có:
n p (t )
t
eE1
n p (t )
p
2 Ck
2
J
k
2
eE0 k
2
n p k (t ) N k 1 n p (t ) N k
m
pk p k np k (t ) Nk n p (t ) Nk 1 p k p k
Suy ra:
n t
p
t
eE1
n t
p
p
2 C
k
k
2
J
l
2
l
a k n t N 1 n t N
p
k
p k k
23
l n t N 1 n t ( N 1) l
k
k
k
pk p
pk k p
pk p
(1.18)
Biểu thức (1.18) là phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối.
1.2.2. Biểu thức giải tích của từ trở trong bán dẫn khối
Giải phương trình động lượng tử (1.18) trong phép xấp xỉ:
z2
z2
2
J z 1 ; J 1 z
2
4
2
0
Sau đó nhân hai vế với
R
e
p p rồ lấy tổng theo p ta được:
m
H h, R Q S
(1.19)
Trong đó:
+) Q
+) S
n p
e
p F,
p
m p p
n
e
k ak
4m k
2
p
p
p k p k p p
Với : F eE F
(1.20)
2
p k
F
T
p p k p p k p
(1.21)
T
(1.22)
Ta có:
1
1
k k 2 p k p , p 2m 0
2
2p k
(1.23)
Mật độ dòng:
j
e
pn p R d
m p
0
(1.24)
24
qe
1
F R d
e 0
(1.25)
Thay (1.20), (1.21) vào (1.19) và chú ý (1.24), (1.25) ta có :
Q S , h h
+) R 1 H2 2 Q S H hQ hS
1
H2 2
(1.26)
(1.27)
(1.28)
+) j L0 Q L0 S
+) qe L1 Q L1 S
F
e
+) Lk A 1 H2 2 A H h, A H2 2 h h, A
1
0
k
d
(1.29)
Hàm phân bố np0 trong phép xấp xỉ tuyến tính qua điện trường không đổi có
dạng:
n p np f 0 p p p f 0' p
0
(1.30)
Trong đó:
+) f 0 p F p : hàm phân bố điện tử cân bằng.
+) f 0' p
+)
f p
p
m
F
p p F
1
2
H
2
1
F h, F
2
H
H
2
h h, F
(1.3)
3
3
3
4em 2 '
'
2 f 2 H
+) S1
f
j
ij
0
j
ij
2 0
3 2
1
+) ij k ak
4 k
2
k2
ki k j ' k 2
ij
2m
m
2m
25
(1.32)
(1.33)
