P5 đề một số bài toán min max oxyz tổng quát

Bài toán 1:

A, B , mặt phẳng ( P ) và đường thẳng d .

Bài toán 1a: Trong không gian cho hai điểm

M
2/ Tìm tọa độ điểm M
1/ Tìm tọa độ điểm

Các ví dụ minh họa

( P)

MAB nhỏ nhất.
thuộc d sao cho chu vi tam giác MAB nhỏ nhất.
thuộc

sao cho chu vi tam giác

A ( 1;2;2 ) , B ( 1;1;2 ) , mặt phẳng ( P ) : x + y + z − 2 = 0 .

Ví dụ 1: Trong không gian cho hai điểm

M

tọa độ điểm

thuộc

( P)

sao cho chu vi tam giác

M

thuộc

( P)

sao cho chu vi tam giác

Bài toán 1b: Trong không gian cho hai điểm
2/ Tìm tọa độ điểm M thuộc
Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian

Ví dụ 2: Trong không gian

Bài toán 2:
Bài 2.

Cho hai điểm
a.
b.

nhỏ nhất.

d sao cho chu vi tam giác MAB

thuộc

d

thuộc

d

d:

d:

nhỏ nhất.

x−1 y+ 2 z − 3
=
=
2
−2
1 và hai điểm A ( − 4;1;1) và

sao cho tam giác

Oxyz , cho đường thẳng

B ( 1;4;0 ) . Tìm điểm M

MAB

MAB

có chu vi nhỏ nhất.

x−1 y − 2 z −1
=
=
2
2
1 và hai điểm A ( − 1;1;1) và

sao cho tam giác

MAB

A, B và đường thẳng (d ) . Tìm trên (d )

có chu vi nhỏ nhất.

điểm

M để

( MA2 + MB 2 ) đạt giá trị nhỏ nhất
uuur uuur
MA + MB

c. Tam giác

đạt giá trị nhỏ nhất

MAB có diện tích nhỏ nhất

 x = 1− t

(∆ ) :  y = − 2 + t
 z = 2t
Ví dụ 1: Trong hệ trục Oxyz, cho đường thẳng
và hai điểm

a. Tìm điểm

M

trên

A(1;4;2), B(− 1;2;4)

(∆ ) sao cho : MA2 + MB 2 đạt giá trị nhỏ nhất
uuur uuur
MA + MB

đạt giá trị nhỏ nhất
M trên (∆ ) sao cho :
c. Tìm điểm M trên (∆ ) sao cho diện tích tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất.
b. Tìm điểm

Tìm tọa

A, B và đường thẳng d .

Oxyz , cho đường thẳng

B ( 3;6; − 3) . Tìm điểm M

nhỏ nhất.

A ( 0;1;1) , B ( 2;1;1) , mặt phẳng ( P ) : x − y + z − 3 = 0 .

Ví dụ 2: Trong không gian cho hai điểm
độ điểm

MAB

Tìm


Ví dụ 2: a. Trong không gian với hệ trục toạ độ

d:

Oxyz,

x−1 y − 2 z − 3
=
=
1
−2
2 . Tìm tọa độ điểm

đạt giá trị nhỏ nhất.

d:

x− 4 y+1 z
=
=
1
1
1 . Tìm tọa độ điểm

giá trị nhỏ nhất.
c.

d:

C

Cho điểm

A

là điểm trên đường thẳng

cho 2 điểm

Oxyz,

cho 2 điểm

và đường thẳng

d

và đường thẳng

sao cho

và đường thẳng

sao cho

A ( 1;5;0 ) ; B ( 3;3;6 )

MA2 + MB 2

uuur uuur
MA + MB

đạt

và đường thẳng

ABC

nhỏ

( d ) .Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) chứa ( d )

có

A và C

d

d

A ( 0;1;5) ; B ( 0;3;3)

là điểm trên đường thẳng

là điểm trên đường thẳng

nhất. Khoảng cách giữa 2 điểm
Bài toán 3:
Bài toán 3.

M

Trong không gian với hệ trục toạ độ

x+1 y−1 z
=
=
2
− 1 2 . Gọi

M

Oxyz,

b. Trong không gian với hệ trục toạ độ

A ( 3; − 2;3) ; B ( 1;0;5 )

cho 2 điểm

sao cho diện tích tam giác

là

d ( A, ( Q ) )

lớn nhất , nhỏ nhất.
Bài tập minh họa:
Bài 1:Trong không gian
phương
trình mặt phẳng

Oxyz cho điểm

x−1 y + 2 z

A ( 1;4;2 ) và đường thẳng ( d ) : − 1 = 1 = 2 .Viết

( Q ) chứa ( d ) sao cho d ( A, ( Q ) )

lớn nhất , nhỏ nhất.

Bài 2:Trong không gian

Oxyz cho điểm A ( 0;0;1) và đường thẳng

phương trình mặt phẳng

( Q ) chứa ( d ) sao cho d ( A, ( Q ) )

( d) :

x−1 y z − 2
= =
2 1
3 .Viết

lớn nhất , nhỏ nhất.

Bài toán 4
Bài toán 4: Cho hai đường thẳng
thẳng

d , d ′ . Viết phương trình mặt phẳng ( P )

chứa

d

và tạo với đường

d ′ một góc lớn nhất.

Bài tập ví dụ:

Bài 1: Cho hai đường thẳng
mặt phẳng

( P)

d:

x−1 y + 2 z
x + 2 y −1 z
=
=
d′ :
=
=
1
2
− 1 và
2
− 1 2 . Lập phương trình

chứa đường thẳng

d

và tạo với đường thẳng

d ′ một góc lớn nhất.


Bài 2: Cho hai đường thẳng

trình mặt phẳng

( P)

d:

chứa đường thẳng

Bài toán 4. Viết phương trình mặt phẳng
song song với

x− 2 y−1 z +1
x− 2 y− 2 z+ 2
=
=
d′ :
=
=
1
2
− 2 và
1
1
2 . Lập phương

( P)

và tạo với đường thẳng

chứa đường thẳng

d ′ một góc lớn nhất.

d , tạo với đường thẳng d ′ ( d ′

không

d ) một góc lớn nhất.

Bài toán 4.1. Viết phương trình mặt phẳng

d′ :

d

( P)

d:

chứa

x−1 y +1 z− 2
=
=
2
1
2 và tạo với đường thẳng

x+1 y z −1
= =

1 2 1 một góc lớn nhất

 x = 1 + 2t

d :  y = − 2 + 4t
x+1 y− 6 z− 2
d′ :
=
=
z = 3+ t
Bài toán 4.2.Cho hai đường thẳng
,

−1
−1
1 . Viết phương trình mặt
Bài toán 5:
Câu 1.

Trong không gian với hệ tọa độ

( d) :

x−1 y− 2 z+ 2
=
=
1
−2
1 hai điểm A ( 1;2; − 2 ) , B ( 2;0; − 1) . Viết phương trình mặt phẳng ( Q )

chứa đường thẳng
A.
Câu 2.

Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z + 1 = 0 và đường thẳng

d

và tạo với mặt phẳng

4 x + y − 2 z − 10 = 0 .

B.

( α ) : x − 2 y + 2 z − 5 = 0 . Gọi ( P )
a, b, c, d < 5 ). Khi đó tích a.b.c.d

∆

( P)

có dạng

đường thẳng
điểm

B

D.

60 .

đi qua

và mặt phẳng

A , B và tạo với ( α ) một góc
ax + by + cz + d = 0 ( a, b, c, d ∈ ¢ và

C.

Oxyz ,

A , cắt d

− 60 .

D.

cho hai điểm
và cách điểm

B

A, B

− 120 .

và đường thẳng

d . Viết

một khoảng lớn nhất.

Oxyz , cho hai điểm A ( 2;3;1) , B ( 1; − 1;0 )

x−1 y z − 2
= =
2 3 − 1 . Viết phương trình đường thẳng đi qua

một khoảng lớn nhất.

2x + y − z − 6 = 0 .

bằng bao nhiêu?

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ

d:

x− z− 3= 0.

là mặt phẳng đi qua hai điểm

Câu 6a. Trong không gian với hệ trục tọa độ
phương trình đường thẳng

C.

Oxyz , cho hai điểm A ( 1;1;0 ) , B ( 2;3;2 )

nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng

B.

một góc nhỏ nhất.

x + 2 y + 3z + 1 = 0 .

Trong không gian với hệ trục toạ độ

A. 120 .
Bài toán 6

( P)

A , cắt d

và

và cách


Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ

đường thẳng

B

điểm

d:

x−1 y +1 z + 2
=
=
−2
1
3 . Viết phương trình đường thẳng đi qua

∆

Oxyz , cho hai điểm A , B

đi qua

A , cắt d

B

và cách điểm

Oxyz ,

Ví dụ 1. Trong không gian

d:

A , cắt d

và

và cách

một khoảng lớn nhất.

Câu 6b. Trong không gian
thẳng

Oxyz , cho hai điểm A ( 0; − 2; − 1) , B ( 2; − 1;1)

và đường thẳng

d . Viết phương trình đường

một khoảng nhỏ nhất.

A ( 0; − 1;2 ) , B ( 2;1;1)

cho hai điểm

x+1 y z− 2
= =
2 1 − 1 . Viết phương trình đường thẳng

∆

khoảng nhỏ nhất.

đi qua

A , cắt d

và đường thẳng

và cách điểm

B

một

x = 2− t

d :  y = −1 + t
z = 2
Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 1;2;4 ) , B ( 1;2; − 2 ) và đường thẳng
.

Viết phương trình đường thẳng
Bài toán 7:
Bài toán 7: Cho

( P)

a)
Câu 1.

, điểm

đi qua

A , cắt d

A, B, C . Tìm tọa độ điểm M

m.MA + n.MB + k .MC
2

2

Trong không gian tọa độ
trên mặt phẳng

∆

Oyz

2

và cách điểm

trên

nhỏ nhất.

( P)

b)

B

một khoảng nhỏ nhất.

sao cho:

uuur uuur uuuur
m.MA + n.MB + k .MC

nhỏ nhất.

Oxyz , cho điểm A ( 1;2; − 1) , B ( 3; − 2;1) , C ( 5; − 1;2 ) . Tìm điểm M
MA2 + MB 2 − MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Oxyz , cho điểm A ( 1;2; − 1) , B ( 3; − 2;1) , C ( 5; − 1;2 ) . Tìm điểm M

sao cho

Câu 2.

Trong không gian tọa độ

Câu 3.

( P ) : x + 2 y − z − 5 = 0 sao cho MA2 − MB 2 − MC 2 đạt giá trị lớn nhất.
Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 1;2; − 1) , B ( 3; − 2;1) , C ( 5; − 1;2 ) . Tìm điểm M
trên mặt phẳng

trên mặt phẳng
Câu 4.

Oxz sao cho

Trong không gian tọa độ

trên mặt phẳng
Bài toán 8
Bài toán 8.1 Cho mặt cầu

uuur uuur uuuur
MA + 2MB − 4MC

đạt giá trị nhỏ nhất.

Oxyz , cho điểm A ( 1;2; − 1) , B ( 3; − 2;1) , C ( 5; − 1;2 ) . Tìm điểm M

( P ) : x + y − 2 z + 6 = 0 sao cho

uuur uuur uuuur
MA − 5MB + 3MC

( S ) : ( x − a) + ( x − b) + ( x − c)
2

2

2

đạt giá trị nhỏ nhất.

= r 2 , mp ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0 .

Tìm điểm M trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ nó đến mặt cầu đạt
Bài tập minh họa.
Bài 1.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho:

max hoặc đạt min ?


mặt cầu

( S ) : ( x + 1) + ( y − 2) + ( z − 3)
2

2

2

Tìm điểm M thuộc sao cho khoảng cách từ
a) lớn nhất?
Bài toán 8.2 Cho mặt cầu

= 49 và mặt phẳng ( α ) : 2 x − 3 y + 6 z − 72 = 0 .

M đến mp ( α )

là:
b) nhỏ nhất?

( S ) : ( x − a) + ( x − b) + ( x − c)
2

2

 x = x0 + a1t

 y = y0 + b1t , ( t ∈ ¡ )
z = z + c t
. Tìm điểm
0
1

nó đến đường thẳng
Bài tập minh họa.

d

M

= R2

và đường thẳng

trên mặt cầu

( S)

( d) :

sao cho khoảng cách từ

đạt giá trị lớn nhất hoặc đạt giá trị nhỏ nhất?

Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho: mặt cầu

 x = 1+ t

d :  y = 1− t
 z = − 6 − t . Tìm điểm
thẳng


d là:
a) lớn nhất?

2

M

thuộc

( S ) : ( x − 2)

2

+ y 2 + ( z − 2) = 6
2

và đường

( S ) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng

b) nhỏ nhất?