P6 GIẢI VDC hình giải tích trong không gian oxyz (1)

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.

Đề

GIẢI CHI TIẾT ĐỀ



Câu 1:

Cho đường thẳng

∆:

x−1 y z+ 2
= =
2
1 − 1 và hai điểm A(0; − 1;3), B(1; − 2;1). Tìm tọa độ điểm M

thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA2 +

2MB 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
B. M (3;1; − 3).
C. M (− 1; − 1; − 1).

A. M (1;0; − 2).

D. M (5;2; − 4).

Lờigiải
Tácgiả:HoàngTiếnĐông; Fb: HoàngTiếnĐông

ChọnC
Ta có M ∈ ∆

⇒ M ( 1 + 2t; t; − 2 − t ) nên ta có

MA2 = ( − 1 − 2t ) + ( − 1 − t ) + ( 5 + t ) = 6t 2 + 16t + 27 ;
2

2

2

MB 2 = ( − 2t ) + ( − 2 − t ) + ( 3 + t ) = 6t 2 + 10t + 13
2

Suy ra MA2 +

2

2

2
2
2MB 2 = 18t 2 + 36t + 53 = 18 ( t + 2t + 1) + 35 = 18 ( t + 1) + 35 ≥ 35 nên

MA2 + 2MB 2 đạt giá trị nhỏ nhất khi t = − 1 suy ra M (− 1; − 1; − 1) .
Câu 2:

x y −1 z + 2
∆: =

=
Cho đường thẳng 1
1
− 2 và ba điểm A(1;3; − 2), B(0;4; − 5), C (1;2; − 4). Biết điểm

M (a; b; c) thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA2 + MB 2 + 2MC 2

a + b + c bằng bao nhiêu?
A. 0 .
B. - 1 .

C.

đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, tổng

3.

D.

4.

Lờigiải
Tácgiả:HoàngTiếnĐông; Fb: HoàngTiếnĐông
Chọn B
Ta có M ∈ ∆

⇒ M ( t;1 + t; − 2 − 2t ) nên ta có MA2 = ( 1 − t ) + ( 2 − t ) + ( 2t ) = 6t 2 − 6t + 5 ;
2

2

2

MB 2 = ( − t ) + ( 3 − t ) + ( − 3 + 2t ) = 6t 2 − 18t + 18 .
2

2

2

MC 2 = ( 1 − t ) + ( 1 − t ) + ( − 2 + 2t ) = 6t 2 − 12t + 6 ⇒ 2MC 2 = 12t 2 − 24t + 12
2

2

2

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 1 Mã đề


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.

Suy ra MA2 +

Đề

2
2

MB 2 + 2MB 2 = 24t 2 − 48t + 35 = 24 ( t − 2t + 1) + 11 = 24 ( t − 1) + 11 ≥ 11 nên

MA2 + MB 2 + 2MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất khi t = 1 suy ra M (1;2; − 4) nên a = 1;b = 2;c = − 3 . Khi
đó a + b + c = − 1


Câu 3.

x y z −1
∆: = =
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
2 − 1 − 1 và hai điểm

A ( − 1; − 1;6 ) , B ( 2; − 1;0 ) . Biết điểm M
đạt giá trị nhỏ nhất là

A.

Tmin =

thuộc đường thẳng

∆

sao cho biểu thức

MA2 + 3MB 2

Tmin . Khi đó, Tmin bằng bao nhiêu ?

1
2.

B. Tmin

= 25 .

C.

Tmin =

25
2 .

D. Tmin

= 39 .

Lời giải
Tác giả:Diệp Tuân ; Fb:Tuân Diệp
Chọn D.
Đường thẳng

∆

r

đi qua điểm

 x = 2t


y = −t

trình tham số:  z = 1 − t
Vì

M

thuộc đường thẳng

M o ( 0;0;1) và có véc tơ chỉ phương u = ( 2; − 1; − 1)

nên có phương

(t∈¡ ).

∆

nên

M ( 2t; − t;1 − t ) .

2
2
2
 ( 2t − 2 ) 2 + ( t − 1) 2 + ( t − 1) 2 
=
2
t
+

1
+
t
−
1
+
t
+
5
+
3
(
)
(
)
(
)
Ta có MA + 3MB



2

2

45 

= 24t 2 − 24t + 45 = 6  4t 2 − 4t + ÷
6


39 
2
2

= 6  ( 2t − 1) +  = 6 ( 2t − 1) + 39 ≥ 39, ∀ t ∈ ¡ .
6

1

Vậy

Câu 4.

min ( MA2 + 3MB 2 ) = 39 ⇔ t = 2

 −1 1 
M  1; ; ÷
hay
 2 2.

x−1 y z + 2
= =
Cho đường thẳng
−1 1
1 và A ( 1; − 1;0 ) , B ( 0; − 1;2 ) , C ( − 1;1;0 ) . Tìm tọa độ điểm
uuur uuur uuuur
thuộc đường thẳng d sao cho MA + 2MB − MC đạt giá trị nhỏ nhất.
d:

M

1 2 4
M  ; ;− ÷
A.  3 3 3  .

B. M

( 0;1; − 1) .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 2 Mã đề


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.

Đề

 2 1 5
M  − ; ;− ÷
C.  3 3 3  .

D.

M ( 2; − 1; − 4 ) .

Lời giải
Tác giả:Diệp Tuân ; Fb:Tuân Diệp
Chọn A

M ( 1 − t; t; − 2 + t ) .
uuur
uuur
uuuur
Ta có: MA = ( t ; − t − 1;2 − t ) ,2 MB = ( 2t − 2; − 2t − 2;8 − 2t ) , MC = ( t − 2;1 − t;2 − t ) .
uuur uuur uuuur
Do đó: MA + 2 MB − MC = ( 2t ; − 2t − 4;8 − 2t ) .
Gọi

M

có tọa độ là:

uuur uuur uuuur 2
224
2
2
MA + 2MB − MC = 4t 2 + ( 2t + 4 ) + ( 2t − 8 ) = 12t 2 − 16t + 80 ≥
Suy ra:
3 .

uuur uuur uuuur 4 42
⇒ MA + 2 MB − MC ≥
3 .
Dấu

" = " xảy ra

⇔ t=

1 2 4
2
M  ; ;− ÷
3 hay  3 3 3  .



Câu 5.

x y +1 z −1
∆: =
=
Cho đường thẳng
2
1
− 1 và hai điểm A(1;0;1), B(− 1;1;2). Biết điểm M (a; b; c)
thuộc
A.

∆

0.

sao cho

uuur uuur
MA − 3MB
B.

đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, tổng

− 1.

C. 1 .

a + 2b + 4c bằng bao nhiêu?
D. 2 .

Lời giải
Tác giả:Nguyễn Hữu Sơn; Fb:Son Nguyen Huu
Chọn D
Do M ∈ ∆ ⇒ M (2t; −1 + t;1 − t )

uuur
MA = (1 − 2t;1 − t ; t )
uuur
MB = (− 1 − 2t ;2 − t;1 + t )
uuur
3MB = (− 3 − 6t;6 − 3t ;3 + 3t )
uuur uuur
MA − 3MB = (4 + 4t; − 5 + 2t; − 3 − 2t )
uuur uuur
1
MA − 3MB = 24t 2 + 24t + 50 = 24(t + )2 + 44 ≥ 44
2

uuur uuur
1
MA − 3MB đạt giá trị nhỏ nhất bằng 44 khi t = −
2

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 3 Mã đề


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.

Khi đó điểm

Câu 6.

M

3 3
M (− 1; − ; )
có tọa độ là
2 2 và

Cho đường thẳng

M

A.

∆:

Đề

a + 2b + 4c = − 1 − 3 + 6 = 2

x +1 y −1 z + 2
=
=
1
−1
2 và A(1;1;0), B(3; − 1;4), C (− 1;0;1). Tìm tọa độ điểm

thuộc đường thẳng

∆

sao cho

MA2 − MB 2 + 4MC 2

 1 1 2
M  − ; ; − ÷.
B.
 3 3 3

M (0;0;0) .

C.

đạt giá trị nhỏ nhất.

M (− 2;2; − 4).

 1 1 
M  − ; − ;0 ÷.

D.  2 2 

Lời giải
Tác giả:Nguyễn Hữu Sơn; Fb:Son Nguyen Huu
Chọn B
Do M ∈ ∆ ⇒ M (− 1 + t ;1 − t; − 2 + 2t )

uuur
MA = (2 − t; t;2 − 2t )
uuur
MB = (4 − t; − 2 + t;6 − 2t )
uuuur
MC = (− t ; − 1 + t;3 − 2t )

MA2 − MB 2 + 4MC 2 = (2 − t )2 + t 2 + (2 − 2t )2 − 4[(4 - t ) 2 + (t − 2) 2 + (6 − 2t ) 2 ] + [t 2 + (t − 1) 2 + (3 − 2t ) 2 ]

= 6t 2 − 12t + 8 − (6t 2 − 36t + 56) + 4(6t 2 − 14t + 10)
2
7
7
= 24t 2 − 32t − 8 = 24[(t − ) 2 − ] ≥ −
3
9
9

MA − MB + 4MC
2

2

2

đạt giá trị nhỏ nhất bằng

−

7
2
t=
khi
9
3

1 1 2
M (− ; ; − )
Suy ra điểm
3 3 3

Câu7.

Cho đường thẳng

uuur uuur uuuur
MA + MB − 3MC

∆:

x+1 y−1 z+ 2
=
=

.
1
−1
2 Tìm tọa độ điểm

đạt giá trị nhỏ nhất với

 3 3 
M  − ; ; −3÷
A.
 2 2 .

M

thuộc đường thẳng

A ( 2;1; − 2 ) , B ( 6; − 1;1) , C ( 1;1; − 2 )

1 1 2
M  ;− ; ÷
B.
 3 3 3 .

C.

M (− 3;3; − 6) .

D.

∆

sao cho

.

M (− 1;1; − 2) .

Lời giải
Tác giả:Trần Quốc An; Fb:Tran Quoc An
Chọn C
Gọi

I

là điểm thỏa mãn

uur uur uur r
IA + IB − 3IC = 0 ⇒ I ( −5;3; −5 )

.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 4 Mã đề


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.

Ta có :

Đề

uuur uuur uuuur uuur uur uuur uur uuur uur uuur
P = MA + MB − 3MC = MI + IA + MI + IB − 3MI − 3IC = MI = IM

.

M ∈ ∆ ⇒ M ( − 1 + t ;1 − t ; − 2 + 2t )
⇒ IM = (t + 4)2 + (− t − 2) 2 + (2t + 3) 2 = 6t 2 + 24t + 29 = 6(t + 2) 2 + 5 ≥ 5 .
Do đó

Câu8.

Pmin = 5

khi

t = − 2 ⇒ M (− 3;3; − 6) .

x y −1 z +1
∆: =
=
Cho đường thẳng
1 −1
1 và hai điểm A(1;0; − 1), B (2;1; − 1). Biết điểm
đường thẳng ∆ sao cho
nhiêu?
A.

Tmin = 4 .

uuur uuur
T = MA + 2MB
B.

đạt giá trị nhỏ nhất là

Tmin = 3 .

C.

Tmin .

Tmin = 14 .

Khi đó,

D.

M

Tmin

thuộc
bằng bao

Tmin = 6 .

Lời giải
Tác giả:Trần Quốc An; Fb:Tran Quoc An

Chọn C

uur uur r
5 2 
IA + 2 IB = 0 ⇒ I  ; ; − 1÷
Gọi I là điểm thỏa mãn
3 3 .
uuur uuur uuur uur uuur uur uuur
P
=
MA + 2MB = MI + IA + 2MI + 2 IB = 3MI = 3.IM .
Ta có :

M ∈ ∆ ⇒ M ( t ;1 − t ; − 1 + t )
2

2

2

1
26
14
 5 
 2  14
⇒ IM =  t − ÷ +  − t + ÷ + t 2 = 3t 2 − 4t + = 3  t − ÷ + ≥
3
9
3 .
 3 

 3 9
Do đó:

Pmin = 14

khi

t=

2
3.

Nhận xét : Ở câu 7,8 này , ta có thể giải trực tiếp khi biểu diễn điểm
không cần tìm tâm tỉ cự của hệ điểm như lời giải trên.

M theo tham số t mà



Câu 9.

Cho mặt phẳng
điểm
A.

M ∈ (α )

(α ) : x + 2 y + 2 z + 9 = 0

sao cho

M (1; − 2; − 3).

và ba điểm

2MA2 + 3MB 2 − 4MC 2
B. M (− 3;1; − 4).

A(1;2;0), B(2;0; − 1), C (3;1;1).

Tìm tọa độ

đạt giá trị nhỏ nhất.
C.

M (− 3;2; − 5).

D.

M (1; − 3; − 2).

Lời giải
Tác giả: Phùng Hằng; Fb: Hằng Phùng
Chọn C
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 5 Mã đề


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.

I ( x0 ; y0 ; z0 )

Giả sử

là điểm thỏa mãn:

Đề

uur uur uur r
2 IA + 3IB − 4 IC = 0

 2 ( 1 − x0 ) + 3 ( 2 − x0 ) − 4 ( 3 − x0 ) = 0

⇔  2 ( 2 − y 0 ) + 3 ( − y 0 ) − 4 ( 1 − y0 ) = 0 ⇔

(1)
 2 ( − z0 ) + 3 ( − 1 − z 0 ) − 4 ( 1 − z 0 ) = 0
Ta có:

(1)

 − x0 − 4 = 0

 − y0 = 0 ⇔
− z − 7 = 0
 0

 x0 = − 4


 y0 = 0 ⇒ I ( − 4;0; − 7 )
 z = −7
 0

uuur 2 uuur 2 uuuur2
2MA2 + 3MB 2 − 4MC 2 = 2MA + 3MB − 4MC

uuur uur 2
uuur uur 2
uuur uur
= 2 MI + IA + 3 MI + IB − 4 MI + IC

(

) (

(

) (

) (

)

2

) (

uuur2 uuur uur uur2
uuur2 uuur uur uur2

uuur2 uuur uur uur 2
= 2 MI + 2.MI .IA + IA + 3 MI + 2.MI .IB + IB − 4 MI + 2.MI .IC + IC

uuur uur uur uur
= MI + 2 IA + 3IB − 4 IC + 2MI . 2 IA + 3IB − 4 IC
2

2

2

(

2

uuur r
= MI + 2 IA + 3IB − 4 IC + 2MI .0
2

2

2

)

2

= MI 2 + 2IA2 + 3IB 2 − 4IC 2
Khi đó, để 2 MA2 + 3MB 2 − 4 MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất thì MI
Mà M ∈ (α ) ⇒ M là hình chiếu vuông góc của I lên (α ) .

Gọi

d

)

là đường thẳng qua

có độ dài ngắn nhất

r
u
I và vuông góc (α ) ⇒ d có 1 VTCP = ( 1;2;2 )

 x = −4 + t

 y = 2t

Phương trình đường thẳng d :  z = − 7 + 2t

⇒
Do

Giả sử tọa độ điểm

M ( − 4 + t;2t; − 7 + 2t )

M ∈ (α ) ⇒ ( − 4 + t ) + 2.2t + 2 ( − 7 + 2t ) + 9 = 0 ⇔ 9t − 9 = 0 ⇔ t = 1

⇒ M ( − 3;2; − 5) .

Câu 10. Cho đường thẳng
sao cho

A.

∆:

x+1 y −1 z + 2
=
=
1
−1
2 và A(1;1;0), B(3; − 1;4). Tìm tọa độ điểm

M

thuộc

∆

MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.

M (− 1;1; − 2).

1 1 
M  ; − ;1÷.
B.
2 2 

 3 3 
M  − ; ; − 3 ÷.
C.
 2 2 

D.

M (1; − 1;2).

Lời giải
Tác giả: Phùng Hằng; Fb: Hằng Phùng
Chọn D
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 6 Mã đề


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.

∆:

Đề

x+1 y −1 z + 2
r
=
=
u
1
−1

2 có 1 VTCP ( 1; −1;2 )

uuur
B
(3;
−
1;4)
⇒
AB ( 2; −2;4 )
A(1;1;0),
Ta có:

uuur
AB ( 2; − 2;4 )

⇒ AB // ∆ ⇒ AB

r
cùng phương với u ( 1; −1;2 )

và

* Xét mặt phẳng chứa
Gọi

A′

đồng phẳng.

AB

và

là điểm đối xứng của

Khi đó, giao điểm

(α )

∆

H

1+ 1 1− 1
≠
và A(1;1;0) ∉ ∆ (do 1
−1 )

của

∆

∆:
A qua ∆ ; ( α )

với

(α )

là mặt phẳng qua

là trung điểm của

A , vuông góc với ∆

AA′

r
n
có 1 VTPT ( 1; −1;2 ) , đi qua A(1;1;0) , có phương trình:

1( x − 1) − 1( y − 1) + 2 ( z − 0 ) = 0 ⇔ x − y + 2 z = 0
H∈∆:

x+1 y −1 z + 2
=
=
⇒
Giả sử H ( − 1 + t ;1 − t; − 2 + 2t )
1
−1
2

H ∈ ( α ) ⇒ ( − 1 + t ) − ( 1 − t ) + 2 ( − 2 + 2t ) = 0 ⇔ 6t − 6 = 0 ⇔ t = 1 ⇒ H ( 0;0;0 )

H

 2 xH = xA + x A′

AA′ ⇒  2 yH = y A + y A′ ⇔

 2z = z + z
là trung điểm của
A
A′
 H

Ta có:

 2.0 = 1 + xA′

 2.0 = 1 + y A′ ⇔
 2.0 = 0 + z
A′


MA + MB = MA′ + MB ≥ A′ B ⇒ ( MA + MB ) min = A′ B

giao điểm của

 x A′ = − 1

 y A′ = − 1 ⇒ A′ ( − 1; − 1;0 )
z = 0
 A′

khi và chỉ khi

A′ B và ∆

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

M

trùng với

Trang 7 Mã đề

M0

là


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.

Đề

 x = −1 + t′

 y = −1
uuur
A′ B = ( 4;0;4 ) ⇒ A′ B có 1 VTCP ( 1;0;1) và đi qua A′ ( − 1; − 1;0 ) , có phương trình:  z = t ′
 x = −1 + t

∆ :  y = 1− t
 z = − 2 + 2t
Mà

 −1 + t = −1 + t′

⇔

1 − t = − 1

Giải hệ phương trình:  − 2 + 2t = t ′

t = t′

⇔
t = 2
 − 2 + 2t = t ′


t′ = 2

t = 2

⇒ M 0 ( 1; − 1;2 )
Vậy, để MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất thì


Câu

∆:

11. Cho đường thẳng
thuộc

A.

∆

x y −1 z +1
=
=
−1 1
1 và hai điểm A(1;1; − 2), B(− 1;0; − 1). Biết điểm

sao cho biểu thức

Tmin = 2 1 −

M ( 1; − 1;2 ) .

1
3.

T = MA + MB

B.

Tmin = 2 +

đạt giá trị nhỏ nhất là

1
3.

C.

Tmin = 2 −

M

Tmin . Khi đó tính Tmin .
1
3.

D.

Tmin = 2 1 +

1
3.

Lời giải
Tác giả: Trần Lê Hương Ly; Fb: Trần Lê Hương Ly
Chọn D
nên ta có M (− t ; t + 1; t − 1) . Lúc đó

Vì điểm M thuộc

∆

T = MA + MB =

( t + 1)

2

+ t 2 + ( t + 1) +
2

( t − 1)

+ t 2 + ( t + 1)

2

2

= 3t 2 + 4t + 2 + 3t 2 + 2
2
2

2
 2  ÷
 2  2 
2

= 3  t + ÷ + 
+ t + 
÷
  3   3 ÷÷
3 ÷ ÷÷


.

r  2 2 r 
2
r r

r r
u =  t + ; ÷÷, v =  − t ; ÷÷
T
=
3
u
+
v
≥
3
u
+v .
3  . Ta có
Đặt
 3 3 


(

)

2

Tứclà

T≥

2
2
1

 2  2
3.  ÷ + 
+
÷÷ = 2 1 +
3
3.
 3  3

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 8 Mã đề


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.

Đề

2
2
3 = 3 ⇔ t = −1 + 1
−t
2
3
.
3

t+
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Vậy

1
3.

Tmin = 2 1 +

Câu 12. Cho đường thẳng

M (a; b; c)

thuộc

bằng:

A.

∆

∆:

x+1 y −1 z + 2
=
=
1
−1
2 và hai điểm A(1;1;0), B(− 1;0;1). Biết điểm

sao cho biểu thức

8.

B.

T = MA − MB

8 + 33 .

C.

đạt giá trị lớn nhất. Khi đó tổng

8+

33
3 .

D.

8+

a− b+ c

4 33
3 .

Lời giải
Tác giả: Trần Lê Hương Ly; Fb: TrầnLêHương Ly
Chọn D

r

C(
−
1;1;
−
2),
u
= (1; − 1;2)
và
có
vectơ
chỉ
phương
∆
uuur
uuur
AB = (− 2; − 1;1); AC = (− 2;0; − 2) .
qua

uuur r uuur
 AB; u  AC ≠ 0 nên AB;


∆
Vì điểm

M

thuộc

P = MA − MB =

∆

không đồng phẳng

nên ta có

( t − 2)

2

M (− 1 + t ;1 − t ; − 2 + 2t ), t ∈ R . Lúc đó

+ t 2 + ( 2t − 2 ) −
2

( − t ) + ( t − 1) + ( 2t − 3)
2

2

2

= 6t 2 − 12t + 8 − 6t 2 − 14t + 10 .
2

1
 7  11
P = 6 ( t − 1) + −  t − ÷ +
3

 6 6
2

r 
3  r  7 11 
r r r r
u =  t − 1; ÷÷, v =  t − ;
÷÷
|
u
|− |v| ≤ u− v .
3 
Đặt

 6 6  . Ta có
2

2
 1   3 11 
P ≤ 6.  ÷ + 
−
÷
6 ÷ .
 6  3
Tức là

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 9 Mã đề

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.

Đề

3
t −1
33
= 3 ⇔ t = 3+
7
3
11
t−
6
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
.
6

a − b + c = 4t − 4 = 8 +

Với ta có



4 33
3 .

x y −1 z
∆: =
=

Câu13. Cho đường thẳng
1
1
1 và hai điểm A(0;1; − 3), B(− 1;0;2). Biết điểm
sao cho biểu thức
A.

T = MA − MB

Tmax = 3 .

B.

đạt giá trị lớn nhất là

Tmax = 2 3 .

C. Tmax

M

thuộc

∆

Tmax . Khi đó, Tmax bằng bao nhiêu?
= 3 3.

D.

Tmax = 2 .

Lờigiải
Tácgiả: HồXuânDũng;Fb: DũngHồXuân
Chọn C

uuur
Ta có AB = ( − 1; − 1; 5 ) , phương trình đường thẳng AB
Xét vị trí tương đối giữa

AB

và

∆

ta có

AB

cắt

∆

 x = −t

 y = 1 − t (t ∈ ¡ )

là  z = − 3 + 5t
.

 1 1 1
C  − ; ;− ÷
tại  2 2 2  .

uuur  1 1 5  uuur 1 uuur
AC =  − ; − ; ÷ ⇒ AC = AB ⇒ C
Suy ra
là trung điểm
2
 2 2 2

T = MA − MB ≤ AB . Dấu “=” xảy ra khi M ≡ A
Do đó

A.

M ≡ B.

Tmax = AB = 27 = 3 3 .

Câu 14. Cho mặt phẳng
điểm

hoặc

AB .

( α ) : x + 2 y + 2 z + 9 = 0 và ba điểm A ( 1;2;0 ) , B ( 2;0; − 1) , C ( 3;1;1) . Tìm tọa độ

M ∈ ( α ) sao cho 2MA2 + 3MB 2 − 4MC 2

đạt giá trị nhỏ nhất.

M ( 1; − 2; − 3) .

B.

M ( − 3;1; − 4 ) .

( − 3;2; − 5) .

D.

M ( 1; − 3; − 2 ) .

C. M

Lờigiải
Tácgiả: HồXuânDũng;Fb: DũngHồXuân
Chọn C
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 10 Mã đề


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.

Ta đi tìm tọa độ điểm
Ta có

I ( a; b; c )

sao cho

Đề

uur uur uur r
2 IA + 3IB − 4 IC = 0

.

uur
uuur
uur
IA = ( 1 − a; 2 − b; − c ) ; IB = ( 2 − a; − b; − 1 − c ) ; IC = ( 3 − a; 1 − b; 1 − c )
uur uuur
uur
r
2 IA + 3 IB − 4 IC = ( − 4 − a; − b; − 7 − c ) = 0 ⇒ a = − 4; b = 0; c = − 7

Suyra I

( − 4; 0;

− 7) ∉ ( α ) .

uuur 2
uuur 2
uuuur 2

T = 2MA + 3MB − 4MC = 2 MA + 3 MB − 4 MC
2

Khiđó

2

2

( ) ( ) ( )

uuur uur 2
uuur uur 2
uuur uur 2
uuur uur uur uur
= 2 MI + IA + 3 MI + IB − 4 MI + IC = MI 2 + 2 IA2 + 3IB 2 − 4 IC 2 + 2MI 2 IA + 3IB − 4 IC

(

) (

) (

)

(

)

= MI 2 + 2 IA2 + 3IB 2 − 4IC 2

Do đó

T

nhỏ nhất khi

mặt phẳng

(α ) .

MI

ngắn nhất, khi và chỉ khi

M

là hình chiếu vuông góc của

I trên

r

Đường thẳng d qua I và vuông góc với ( α ) có vectơ chỉ phương u = ( 1; 2; 2 )

Do đó phương trình của

d

 x = −4 + t


 y = 2t (t ∈ ¡ )

là  z = − 7 + 2t

 x = −4 + t
 y = 2t

⇒ t = 1 ⇒ M ( −3; 2; −5 )

 z = −7 + 2t
thỏa mãn hệ  x + 2 y + 2 z + 9 = 0
.

Khi đó tọa độ M


Câu15.

Cho mặt phẳng

( P ) :5x − y + z − 2 = 0 và hai điểm A ( 0; − 1;0) , B ( − 2;1; − 1) . Biết điểm M

thuộc mặt phẳng

xM

( P)

sao cho

MA2 − 2MB 2

đạt giá trị lớn nhất. Khi đó điểm

M

có hoành độ

bằng bao nhiêu?

A. xM

= 1.

B. xM

= 2.

C. xM

= −1

D. xM

= 3.

Lời giải
Tác giả:Cao Thị Xuân Phương . Fb: Phuong Cao
Chọn A

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 11 Mã đề


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.

Gọi I là điểm thỏa mãn:
Khi đó

Đề

uur uur r
IA − 2 IB = 0 ⇒ I (− 4;3; − 2) .

T = MA2 − 2MB 2 = − MI 2 + IA2 − 2.IB 2 ⇒ Tmax ⇔ MI min ⇔ M là hình chiếu của I lên

mặt phẳng ( P). Khi đó đường thẳng MI đi qua

ur
VTPT n (5; − 1;1)
Ta có

I (− 4;3; − 2) và vuông góc với ( P)

nên nhận

 x = − 4 + 5t

 y = 3 − t (t ∈ R )


của ( P) làm VTCP, phương trình là  z = − 2 + t
.

M = IM ∩ ( P) ⇒

Tọa độ M là nghiệm của hệ

 x = −4 + 5t
t = 1
y = 3−t
x = 1


⇔
⇒ M (1; 2; − 1) ⇒ xM = 1.

z
=
−
2
+
t
y
=
2


5 x − y + z − 2 = 0
 z = −1

Câu16.

Cho mặt phẳng
điểm

M ( x0 ; y0 ; z0 )

Khi đó tổng
A. T

( P ) : x + y − 3z + 7 = 0 và ba điểm A ( 2; − 1;0 ) , B ( 0; − 1;2 ) , C ( 2;3; − 1) . Biết
thuộc mặt phẳng

T = x0 + 3 y0 − 2 z0

= 0.

B.

( P)

sao cho

MA2 + 3MB 2 − 2MC 2

đạt giá trị nhỏ nhất.

bằng bao nhiêu?

T = −4.

C. T

= 1.

D. T

= − 14 .

Lời giải
Tác giả: Cao Thị Xuân Phương . Fb: Phuong Cao
Chọn D
Gọi I là điểm thỏa mãn:
Khi đó

uur uur uur r
IA + 3IB − 2 IC = 0 ⇒ I (− 1; − 5;4)

T = MA2 + 3MB 2 − 2MC 2 = 2MI 2 + IA2 + 3IB 2 − 2 IC 2 ⇒ Tm im ⇔ MI max ⇔ M

chiếu của I lên mặt phẳng

( P). Khi đó đường thẳng MI đi qua I (− 1; − 5;4)

ur
( P) nên nhận VTPT n (1;1; − 3)
Ta có

.

M = IM ∩ ( P ) ⇒

là hình

và vuông góc với

 x = −1+ t

 y = − 5 + t (t ∈ R)

của ( P ) làm VTCP, phương trình là  z = 4 − 3t
.

Tọa độ M là nghiệm của hệ

 x = −1 + t
t = 1
 y = −5 + t
x = 0


⇔
⇒ M (0; − 4;1) ⇒ T = −14.

z
=
4
−
3
t

y
=
−
4


5 x − y + z − 2 = 0
 z = 1

,

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 12 Mã đề


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.

( α ) :2 x + 6 y − 3z − 1 = 0

Câu 17. Cho mặt phẳng
điểm

M

Khi đó

thuộc mặt phẳng

Pmin

(α )

Đề

và ba điểm

A ( 1; − 1; − 5) , B ( 0;1;2 ) , C ( 2;3; − 1) .

P = MA2 + 2MB 2 − 2MC 2

sao cho

đạt giá trị nhỏ nhất là

Biết

Pmin .

bằng bao nhiêu?

A. 16 .

B. 17 .

C. 18 .

D. 19 .

Lời giải

Tác giả : Hoàng Thị Thanh Nhàn, FB: Hoàng Nhàn
Chọn B

uur uur uur r
I ( a; b; c ) sao cho IA + 2 IB − 2 IC = 0 .
uur uuur uuur uuur
⇒ OI = OA + 2OB − 2OC .

Gọi

⇒ I ( − 3; − 5; − 3) .
uuur uur 2
uuur uur 2
uuur uur 2
=
MI
+
IA
+
2
MI
+
IB
−
2
MI + IC
Ta có P = MA + 2 MB − 2 MC
uur uur uur
= MI 2 + IA2 + 2 IB 2 − 2IC 2 + 2 IA + 2 IB − 2 IC = MI 2 + IA2 + 2 IB 2 − 2 IC 2 .
2

2

2

(

(

)

)

(

)

(

)

Do

IA2 + 2 IB 2 − 2 IC 2 = 36 + 70 − 93 = 13 không đổi nên Pmin ⇔ MI min

Và

MI min = d ( I , ( P ) ) =

Vậy Pmin

2. ( − 3) + 6. ( − 5 ) − 3 ( − 3) − 1
4 + 36 + 9

=4

.

= 4 + 13 = 17 .


Câu 18. Cho mặt phẳng
độ điểm
A.

( α ) :2 x − y − 3z + 1 = 0

M ∈ (α )

M ( 0;1;0 ) .

sao cho
B.

và ba điểm

uuur uuur uuuur
2MA + 5MB − 6MC

M ( 2; −1;2 ) .

A ( 1;1; − 1) , B ( − 3;1;0 ) , C ( − 2;1; − 1) . Tìm tọa

đạt giá trị nhỏ nhất.
C.

M ( 1;0;1)

.

D.

M ( − 1;2; − 1) .

Lời giải
Tác giả : Hoàng Thị Thanh Nhàn, FB: Hoàng Nhàn
Chọn C

uur uur uur r
I ( a; b; c ) sao cho 2 IA + 5IB − 6 IC = 0
uur uuur uuur uuur
⇒ OI = 2OA + 5OB − 6OC .

Gọi

⇒ I ( − 1;1;4 ) .
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 13 Mã đề

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.

Đề

uuur uuur uuuur
uuur uur
uuur uur
uuur uur
2MA + 5MB − 6 MC = 2 MI + IA + 5 MI + IB − 6 MI + IC

(

uuur uuur uuuur
2MA + 5MB − 6MC

Nên

hình chiếu của
Do

) (

I

trên

) (

đạt giá trị nhỏ nhất khi

( P) .

MI

)

= MI .

đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi

M là

I ∉ ( P ) ⇒ MI ⊥ ( P ) .

 x = − 1 + 2t

⇒ MI :  y = 1 − t
 z = 4 − 3t ⇒ M ( − 1 + 2t;1 − t ;4 − 3t )
.

Mà

M ∈ ( P ) ⇒ 2 ( − 1 + 2t ) − ( 1 − t ) − 3 ( 4 − 3t ) + 1 = 0 ⇔ t = 1 .

⇒ M ( 1;0;1) .


Câu 1:

Cho mặt phẳng

( P ) : x − y − z − 1 = 0 và hai điểm A ( − 5;1;2 ) , B ( 1; − 2;2 ) . Trong tất cả các điểm

M

thuộc mặt phẳng

A.

yM = 1 .

( P ) , điểm để
B.

uuur uuur
MA + 2MB

yM = − 2 .

đạt giá trị nhỏ nhất có tung độ
C.

yM = 0.

D.

yM

là

yM = −1 .

Lời giải
Tác giả: Cao Thị Xuân Phương . Fb: Phuong Cao
Chọn A
Gọi I là điểm thỏa mãn:

uur uur r
IA + 2 IB = 0 ⇒ I (− 1; − 1;2)

.

uuur uuur
T
=
MA
+ 2MB = 3MI ⇒ Tmin ⇔ MI min ⇔ M
Khi đó
Khi đó đường thẳng MI đi qua

( P).
ur
I (− 1; − 1;2) và vuông góc với ( P) nên nhận VTPT n (1; − 1; − 1)
là hình chiếu của I lên mặt phẳng

 x = −1 + t

 y = −1 − t (t ∈ R )


của ( P) làm VTCP, phương trình là  z = 2 − t
.
Ta có

M = IM ∩ ( P) ⇒

Tọa độ M là nghiệm của hệ

 x = −1 + t
t = 1
 y = −1 − t
x = 0


⇔
⇒ M (0; − 2;1) ⇒ yM = −2.

z = 2 − t
 y = −2
 x − y − z − 1 = 0
 z = 1

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 14 Mã đề


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.

Câu 2:

Cho mặt phẳng
mặt phẳng
nhiêu?
A.

(α )

Đề

( α ) :2 x + y − 3z − 6 = 0 và hai điểm A ( 0; − 1;1) , B ( 1; − 2;0 ) . Biết điểm M
uuur uuur
P = 2MA − MB

sao cho

Pmin = 2 3 .

B.

đạt giá trị nhỏ nhất là

Pmin = 14 .

C.

Pmin . Khi đó Pmin

Pmin = 3 .

D.

thuộc

bằng bao

Pmin = 21 .

Lời giải
Tác giả: Cao Thị Xuân Phương . Fb: Phuong Cao
Chọn D

uur uur r
Gọi I là điểm thỏa mãn: 2 IA − IB = 0 ⇒ I (− 1;0;2)

.

uuur uuur
P
=
2
MA − MB = MI ⇒ Pmin ⇔ MI min ⇔ M
Khi đó
đó

Pmin = d ( I / (α )) =

−2 − 6 − 6
2 +1 + 3
2

2

2

là hình chiếu của I lên mặt phẳng

( P). Khi

= 14.

Phản biện :

Câu 21. Cho mặt phẳng

( α ) : x − y + 2 z − 1 = 0 và hai điểm A ( 0; − 1;1) , B ( 1;1; − 2 ) . Biết M ∈ ( α )

MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, hoành độ xM
A.

xM =

1
3.

B. xM

= −1 .

của điểm

C. xM

M

= −2 .

sao cho

là
D.

xM =

2
7.

Lời giải
Tác giả:Lê Mai; Fb: Lê Mai
Chọn D

( xA − y A + 2 z A − 1) ( xB − yB + 2 zB − 1) = ( 0 + 1 + 2.1 − 1) ( 1 − 1 − 4 − 1) < 0 nên hai điểm A
và B nằm khác phía so với mặt phẳng ( α ) .
Ta có:

Nên

MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất khi M = AB ∩ ( α ) .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 15 Mã đề


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.

Đề

x = t

 y = − 1 + 2t

Phương trình đường thẳng AB :  z = 1 − 3t , do đó tọa độ điểm

M

là nghiệm của hệ phương

 2
t = 7

x = 2

7
⇔
x = t
 y = −1 + 2t
y = − 3



7


z
=
1
−
3
t
 2 3 1
1

M  ; − ; ÷ xM = 2

z
=
trình  x − y + 2 z − 1 = 0
7 . Do đó  7 7 7  ,

7.
Câu 22. Cho mặt phẳng
mặt phẳng
A. P =

( α ) : x − y + z + 1 = 0 và hai điểm A ( 1;1;0) , B ( 3; − 1;4 ) . Gọi M

là điểm thuộc

( α ) sao cho P = MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của P là:
B. P =

5.

C. P =

6.

7.

D.

P = 8.

Lời giải
Tác giả: Lê Mai; Fb: Lê Mai
Chọn B

( xA − yA + z A + 1) ( xB − yB + zB + 1) = ( 1 − 1 + 0 + 1) ( 3 + 1 + 4 + 1) > 0 nên hai điểm A và B
cùng nằm về một phía của mặt phẳng ( α ) .
Ta có:

Gọi

H

là hình chiếu vuông góc của

A lên mặt phẳng ( α ) .

 x = 1+ t


 y = 1− t

Phương trình đường thẳng AH :  z = t
.

Do đó tọa độ điểm

1

t = − 3

x = 2

3
⇔
x = 1+ t
 y = 1− t
y = 4


3


z
=
t
1

z = −


là nghiệm của hệ phương trình  x − y + z + 1 = 0
3 .


H

 2 4 1
H  ; ;− ÷
Do đó  3 3 3  .
Gọi

A′

đối xứng với

A

1 5 2
A′  ; ; − ÷
qua ( α ) , suy ra  3 3 3  .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 16 Mã đề


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.

Ta có

Đề

MA + MB = MA′ + MB ≥ A′ B ⇒ P = A′ B = 6 .

Câu 23. Cho mặt phẳng

( α ) : x + y − 3z − 5 = 0

thuộc mặt phẳng

T = a + 2b + 3c
A. T = 5 .

(α )

sao cho

và hai điểm

MA + MB

A ( 1; − 1;2 ) , B ( − 5; − 1;0 ) .

Biết

M ( a; b; c )

đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, giá trị của biểu thức

bằng bao nhiêu?
B. T

= − 3.

C. T

= −7.

D.

T = −9.

Lời giải
Tác giả: Lê Mai; Fb: Lê Mai
Chọn C

( xA + y A − 3z A − 5) ( xB + yB − 3zB − 5) = ( 1 − 1 − 3.2 − 5) ( − 5 − 1 − 3.0 − 5) > 0 nên hai điểm
A và B cùng nằm về một phía của mặt phẳng ( α ) .

Ta có:

Gọi

H

là hình chiếu vuông góc của

A lên mặt phẳng ( α ) .

 x = 1+ t

 y = −1 + t

Phương trình đường thẳng AH :  z = 2 − 3t .

Do đó tọa độ điểm

A′

Ta có

t = 1
x = 2


y = 0
 z = − 1 .

H ( 2;0; − 1) .

Do đó
Gọi

H

 x = 1+ t
 y = −1 + t

⇔


z
=
2
−
3
t

là nghiệm của hệ phương trình  x + y − 3 z − 5 = 0

đối xứng với

A qua ( α ) , suy ra A′ ( 3;1; − 4 ) .

MA + MB = MA′ + MB ≥ A′ B nên MA + MB nhỏ nhất khi M = A′ B ∩ ( α ) .

 x = 3 − 4t

 y = 1− t

Phương trình đường thẳng A′ B :  z = − 4 + 3t .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 17 Mã đề


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.

Do đó tọa độ điểm

M

 12
t = 11

 x = − 15

11
⇔
 x = 3 − 4t
 y = 1− t
y = − 1


11


z
=
−
4
+
3
t
20

z = −

là nghiệm của hệ phương trình  x + y − 3 z − 5 = 0


11 .

 15 1 20 
M  − ;− ;− ÷
Do đó
 11 11 11  , T =

A ( 1;1;0 ) , B ( 3; − 1;4 )

Câu 24. Cho
cho

MA − MB

A. M

( 1;3; − 1) .

Đề

a + 2b + 3c = − 7 .

và mặt phẳng

( α ) : x − y + z + 1 = 0 . Tìm tọa độ điểm

M ∈ ( α ) sao

đạt giá trị lớn nhất.

 3 5 1
M  ; ;− ÷
B.  4 4 2  .

1 2 2
M  ; ;− ÷
C.  3 3 3  .

D.

M ( 0;2;1) .

Lời giải
Tác giả: Lê Mai; Fb: Lê Mai
Chọn B

( xA − yA + z A + 1) ( xB − yB + zB + 1) = ( 1 − 1 + 0 + 1) ( 3 + 1 + 4 + 1) > 0 nên hai điểm A và B
cùng nằm về một phía của mặt phẳng ( α ) .
Ta có:

Ta có

MA − MB ≤ AB = 2 6 , nên MA − MB

lớn nhất khi và chỉ khi

 x = 1 + 2t

 y = 1 − 2t


Phương trình đường thẳng AB :  z = 4t , do đó tọa độ điểm
1

t = − 8

x = 3

4
⇔
 x = 1 + 2t
 y = 1 − 2t
y = 5


4


z
=
4
t
3 5
1

M  ; ;−

z
=
−

trình  x − y + z + 1 = 0

2 . Do đó  4 4

M

M = AB I ( α ) .

là nghiệm của hệ phương

1
÷
2 .



Câu 25. Cho hai điểm

A ( 1; − 1;2 ) , B ( 0;1;6 )

và đường thẳng

d:

x−1 y z +1
= =
2
1 − 1 . Biết điểm

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

M

thuộc.

Trang 18 Mã đề


Sn phm ca Group FB: STRONG TEAM TON VD VDC.

ng thng

Tmin
A.

d

sao cho biu thc



uuuur uuuur
T = AM .BM t giỏ tr nh nht bng Tmin . Khi ú giỏ tr

bng bao nhiờu?

Tmin = 14 .

B.

Tmin = 3 .

C.

Tmin = 3 2 .

D.

Tmin = 2 3 .

Li gii
Tỏc gi: Nguyn Th Thanh Tho; Fb: Nguyn Thanh Tho
Chn A
Vỡ

M ẻ d ị M ( 2t + 1;t;- t - 1)
uuuur
ị AM ( 2t;t + 1;- t - 3)
uuur
BM ( 2t + 1;t - 1;- t - 7)
uuuur uuur
ị AM .BM = 2t ( 2t + 1) + ( t + 1) ( t - 1) + ( - t - 1) ( - t - 3)
2

= 6t2 + 12t + 20 = 6( t + 1) + 14 14.
Cõu 26. Cho hai im

A ( 0; 1;2 ) , B ( 1;1;2 )

thuc ng thng

T = a + 2b + 3c
A.

T = 5.

d

v ng thng

sao cho tam giỏc

MAB

d:

x+1 y z 1
= =
1
1 1 . Bit im M ( a; b; c )

cú din tớch nh nht. Khi ú, giỏ tr

bng bao nhiờu?
B.

T = 3.

C.

T = 4.

D.

T = 10 .

Li gii
Tỏc gi: Nguyn Th Thanh Tho; Fb: Nguyn Thanh Tho
Chn D

uuuur
M ẻ d ị M ( t - 1;t;t + 1) ị AM ( t - 1;t + 1;t - 1)
M

uuur
uuur
AB ( 1;2;0) ị AB = AB = 5.

uuuur uuur
ộ
ự
ờAM ;AB ỳ= ( 2 - 2t;t - 1;t - 3)
ở
ỷ
M
2
2
2
1 ộuuuur uuurự
ờAM ;AB ỳ= ( 2 - 2t ) + ( t - 1) + ( t - 3)

ỷ
2ở
2
ổ 4ử
10 10
2
ữ
ỗ
ữ
= 6t - 16t + 14 = 6ỗ
t
+

ữ
ỗ
ữ 3
3
ố 3ứ

SDMAB =

Hóy tham gia STRONG TEAM TON VD-VDC- Group dnh riờng cho GV-SV toỏn!

Trang 19 Mó


Sn phm ca Group FB: STRONG TEAM TON VD VDC.

t=

ổ1 4 7ữ
ử
4
ữ
ị Mỗ
;
;
ỗ
ữị
ỗ
3
ố3 3 3ữ
ứ

Du bng xy ra khi


ỡù
ùù a = 1
ùù
3
ù
ùớ b = 4 ị T = a + 2b + 3c = 10.
3
ùùù
7
ùù c =
ùù

3
ùợ

Cõu 27. Vit phng trỡnh ng thng i qua M (1;0; 1) v to vi mt phng
gúc ln nht.

x = 1 + 2t

y = t

A. x = 1 + 3t .

x = 1 2t

y = t

B. z = 1 + 3t .

x = 1 + 2t

y = t

C. z = 1 3t .

( ) : 2 x y + 3z 6 = 0
x = 2 + t

y = 1

D. z = 3 t .

Li gii
Tỏc gi: Phựng Hng; Fb:Phựng Hng
Chn A
ng thng i qua
Khi ú ng thng



M (1;0; 1) to vi ( )

M (1;0; 1)

i qua nhn

phng trỡnh ng thng



gúc ln nht
v

max ( , ( ) ) = 90 ( ) .

uuur
n( ) ( 2; 1;3)

lm vộc t ch phng nờn

x = 1 + 2t

y = t

cú dng: x = 1 + 3t

Vy chn A.

Cõu 28. Vit phng trỡnh ng thng

( ) :3x 4 y + z 12 = 0



v cỏch im

x = 1 + 4t

y = 1 2t

A. x = 1 + t .

i qua

M ( 4; 2;1) ,

song song vi mt phng

A ( 2;5;0 ) mt khong ln nht.

x = 4 + t

x = 4 t
x = 4 + t



y = 2 + t
y = 2 + t
y = 2 + t



B. z = 1 t . C. z = 1 + t .D. z = 1 + t
Li gii
Tỏc gi:Phựng Hng; Fb:Phựng Hng

Chn D

Hóy tham gia STRONG TEAM TON VD-VDC- Group dnh riờng cho GV-SV toỏn!

Trang 20 Mó


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.

Đề

uuur
uuuur
n( α ) ( 3; − 4;1) , AM ( 6; −7;1)
Gọi

H

Ta có:

là hình chiếu của

A trên đường thẳng ∆

suy ra

d ( A; ∆ ) = AH

AH ≤ AM ⇒ max ( d ( A; ∆ ) ) = AM ⇔ H ≡ M . Khi đó

uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur
u( ∆) ⊥ AM , u( ∆ ) ⊥ n( α ) ⇒ u( ∆ ) =  AM , n( α )  = ( −3; −3; −3) = −3 ( 1;1;1)

Đường thẳng

∆

x = 4 + t

 y = −2 + t
r

đi qua M ( 4; − 2;1) có véc tơ chỉ phương u ( 1;1;1) có dạng:  z = 1 + t

Vậy chọn D.

, ,

Câu 29. Viết phương trình đường thẳng ∆
cách điểm B

x = t

∆ ' :  y = 1+ t
 z = 1 + 2t
đi qua A ( 1;1;1) , vuông góc với đường thẳng
và


( 2;0;1) một khoảng lớn nhất.

 x = 1− t

 y = 1+ t

A.  z = 1 + t .

 x = 1+ t

 y = 1+ t

B.  z = 1 − t .

 x = 1+ t

 y = 1− t


C.  z = 1 + t .

 x = 1+ t

 y = 1+ t

D.  z = − 1 + t .

Lời giải

Tác giả :Lê Thị Lý, FB:Lê Thị Lý
Chọn B

uur uur
Giả sử ∆ , ∆ ' có VTCP lần lượt là u∆ , u∆ ' = ( 1;1;2 )
uur uur
Do ∆ ⊥ ∆ ' nên u∆ ⊥ u∆ ' ( 1)

H là hình chiếu của B trên ∆ .
Do A∈ ∆ nên BH ≤ BA .
Suy ra ∆ cách B một khoảng
Gọi

lớn nhất khi và chỉ khi

uur uuur
⇔ u∆ ⊥ AB = ( 1; −1;0 ) ( 2 ) .

Từ

( 1) và ( 2) nên ta chọn một VTCP của ∆

H≡ A

hay

∆ ⊥ AB

uur uur uuur


u
: ∆ =  u∆ ' ; AB  = ( 2;2; − 2 ) = 2 ( 1;1; − 1) .

x = 1+ t

∆ :  y = 1+ t
z = 1− t
Vậy
.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 21 Mã đề


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.

Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ

d:

vuông góc với

Đề

Oxyz , viết phương trình đường thẳng ∆

x−1 y − 2 z
=
=
2
1
2 đồng thời tạo với trục

x = 1

 y = 1+ t

A.  z = 2 − 2t .

 x = 1− t

y =1

B.  z = 2 + t .

Oz

qua

A ( 1;1;2 )

và

góc lớn nhất.

 x = 1+ t

 y = 1 − 2t

C.  z = 2
.

x = 1+ t

 y = −2 + t

D.  z = 2t
.

Lời giải
Tác giả :Lê Thị Lý, FB:Lê Thị Lý
Chọn C

uur
u
d có VTCP là d = ( 2;1;2 ) .
r

k
Oz có VTCP là = ( 0;0;1) .
uur
u
Gọi ∆ là VTCP của ∆ .
uur uur
Do ∆ ⊥ d nên u∆ ⊥ ud ( 1)

∆
Từ

tạo với

( 1)

và

Oz

một góc lớn nhất khi và chỉ khi

( 2)

nên ta chọn một VTCP của

∆

uur r
∆ ⊥ Oz hay u∆ ⊥ k . ( 2 )

uur uur r


u
: ∆ =  ud ; k  = ( 1; − 2;0 ) .

x = 1+ t

∆ :  y = 1 − 2t
z = 2
Vậy
.




Oxyz viết phương trình đường thẳng ∆ qua A ( 1;1;2) , nằm

Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ
trong

( α ) : x + 2y − z − 1= 0, đồng thời tạo với trục Oz góc nhỏ nhất.

 x = 5+ 2t

 y = 2+ t

A.  z = 1+ t .

 x = 1+ 5t


 y = 1+ t

B.  z = 2 + 2t .

 x = 1+ 2t

 y = 1+ 5t

C.  z = 2+ t .

 x = 1+ t

 y = 1+ 2t

D.  z = 2+ 5t .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Mai. Facebook: Mai Nguyen
Chọn D

r
u
Gọi VTCP của ∆ là = ( a; b; c )
r
α
n
VTPT của ( ) là = ( 1;2; − 1)

r r

Do u ⊥ n

với

a2 + b2 + c2 ≠ 0 .

r
u
nên a + 2b − c = 0 ⇔ c = a + 2b . Từ đó = ( a; b; a + 2b ) .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 22 Mã đề


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.

Đề

r
Trục Oz có VTCP là u = ( 0;0;1) .
Gọi

∂

là góc tạo bởi

cos ∂ =

∆

a + 2b
a + b + ( a + 2b )
2

2

t 2 + 4t + 4
y= 2
2t + 4t + 5 .

Ta đặt

Oz .

và trục

2

=

a
+2
b

t+2

2

a

a
2 ÷ + 4 + 5
b
b

t 2 + 4t + 4
=
=
2t 2 + 4t + 5
2t 2 + 4t + 5
.

Ta đi tìm Min, Max của biểu thức này.

t 2 + 4t + 4
y= 2
⇔ ( 2 y − 1) t 2 + ( 4 y − 4 ) t + 5 y − 4 = 0
. (1)
2t + 4t + 5
+ TH1: Nếu

+ TH1: Nếu

y=

1
2

thì

y≠

1
2

thì (1) là phương trình bậc hai.Có

t=−

3
4.

Để phương trình có nghiệm thì

Ta có

∂

Suy ra

min, khi và chỉ khi

∆ ' = − 6 y2 + 5y .

∆ ' = − 6 y2 + 5 y ≥ 0 ⇔ 0 ≤ y ≤

cos∂

max. Khi đó

t=

5
6.

1
2

a 1
=
b 2 . Từ đó chọn a = 1; b = 2 ⇒ c = 5 .

r
Vậy u = ( 1;2;5 ) . Chọn D.
Câu 32. Cho

A ( 1;4;2) , B( − 1;2;4) ,d :

x− 1 y+ 2 z
=
=
−1
1 2 . Viết phương trình đường thẳng

d sao cho d ( B, ∆ )

là nhỏ nhất.

 x = 1+ t


 y = 4− t

A.  z = 2 − 3t .

 x = 1+ t

 y = − 1+ 4t

B.  z = − 3+ 2t .

 x = 15+ t

 y = 18+ 4t

C.  z = − 19− 2t .

∆ qua A , cắt

 x = 1+ 15t

 y = 4 + 18t

D.  z = 2− 19t .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Mai. Facebook: Mai Nguyen
Chọn D
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 23 Mã đề

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.

d

đi qua

Gọi
Kẻ
.

( P)

r
M ( 1; − 2;0 ) và có một VTCP là u = ( −1;1;2 ) .
là mặt phẳng chứa

BK ⊥ ∆

Khi đó

Đề

và

BH ⊥ ( P) .

A và d .
Ta có

BK ≥ BH . Khi đó d ( B, ∆ ) = BK

đạt GTNN khi

K≡H

∆ qua A, H .

Lập phương trình mặt phẳng

( P)

chứa

A và d .

uur r uuuur
uur
nP =  u; AM  = ( 10; − 2;6 ) . Chọn nP = ( 5; − 1;3) .
Suy ra phương trình
Ta tìm toạ độ điểm

( P ) : 5 x − y + 3z − 7 = 0 .

H

là hình chiếu vuông góc của

B lên ( P) .

 x = − 1 + 5t

BH :  y = 2 − t
 z = 4 + 3t .
Phương trình đường thẳng

Gọi

H ( − 1 + 5t;2 − t ;4 + 3t ) . Cho H ∈ ( P )

ta được :

5 ( − 1 + 5t ) − ( 2 − t ) + 3 ( 4 + 3t ) − 7 = 0 ⇔ t =

Toạ độ điểm

H

là

2
35 .

 − 5 68 146 
H ; ; ÷
 7 35 35  .

∆

 x = 1 + 15t

∆ :  y = 4 + 18t
 z = 2 − 19t .
qua A, H là


Khi đó phương trình đường thẳng


Câu 33. Cho

A ( 1;4;2 ) , B ( − 1;2;4 ) , d :

d sao cho d ( B, a )
 x = 1+ t

 y = 4 − 4t

A.  z = 2 − 3t .

x−1 y + 2 z
=
=
−1
1
2 . Viết phương trình đường thẳng a đi qua

A , cắt

là lớn nhất.

 x = 1+ t

 y = − 1 + 4t

B.  z = − 3 + 2t .

 x = 15 + t

 y = 18 + 4t

C.  z = − 19 − 2t .

 x = 1 + 15t

 y = 4 + 18t

D.  z = 2 − 19t .

Lời giải
Tác giả : Trần Thị Kim Oanh, FB: Oanh Trần

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 24 Mã đề


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC.

Đề

Chọn A

uuur
r
C ( 1; − 2;0 ) ∈ d , AC = ( 0; − 6; − 2 ) , u = ( − 1;1;2 )

là vecto chi phương của d nên vecto pháp tuyến

ur  r 1 uuur 
p =  n, − AC  = ( − 5;1; − 3)
của mp(A,d) là
 2 
r  1 uuur ur 
uuur
⇒ n =  − AB, p  = ( − 2;8;6 )
AB = ( −2; −2;2 )
 2

Gọi H là hình chiếu của B lên mặt phẳng (A,d), K là hình chiếu của H lên a, vậy d(B,a)=BK,
Dễ thấy BK lớn nhất khi K trùng A, khi đó BK=AB. Tại vị trí này,a nằm trong mp(A,d) và

1r
− n = ( 1; − 4; − 3)
vuông góc với AB nên vecto chỉ phương của a là 2
. Phương trình đường thẳng
 x = 1+ t

 y = 4 − 4t


cần tìm là:  z = 2 − 3t

Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ

∆:

x+1 y−1 z
=
=
2
− 1 2 . Gọi

trị nhỏ nhất.

 x = 1 − 4t

 y = − 2t

A.  z = 2 − 3t

Oxyz , cho 2 điểm A ( 1;5;0 ) , B ( 3;3;6 )

d là đường thẳng qua B
 x = 1 − 2t

 y = − 3t

B.  z = 2 − 4t .

và cắt

∆

tại điểm

 x = −2 + t

 y = −3

C.  z = − 4 + 2t .

và đường thẳng

C

sao cho

S ABC

 x = 3 + 10t

 y = 3 − 3t

D.  z = 6 + 11t .

Lời giải
Tác giả : Trần Thị Kim Oanh, FB: Oanh Trần

Chọn D

Ta thấy được

S ABC

Ta có phương trình

nhỏ nhất khi

d

đi qua hình chiếu H của A lên

mp ( B, ∆ ) .

mp( B, ∆ ) là 5x + 2 y − 4 z + 3 = 0

 21 8 
H  − 1; ; ÷
Hình chiếu của A lên mp ( B, ∆ ) là 
5 5
Vecto chi phương của

Phương trình

đạt giá

d

là

d

r 5 uuur
u = BH = ( 10; − 3;1)
là
2

 x = 3 + 10t

 y = 3 − 3t
 z = 6 + 11t


Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 25 Mã đề