DS c8 HE TOA DO TRONG KHONG GIAN

CHỦ ĐỀ 1. TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. LÝ THUYẾT
1. Hệ trục tọa độ trong không gian
Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy , Oz vuông góc với nhau từng đôi một
r r r
và chung một điểm gốc O. Gọi i, j , k là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục
Ox, Oy , Oz . Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không
gian.
rr rr r r
r2 r 2 r 2
Chú ý: i  j  k  1 và i. j  i.k  k . j  0 .
2. Tọa độ của vectơ
r
r
r r
r
a) Định nghĩa: u   x; y; z  � u  xi  y j  zk
r
r
b) Tính chất: Cho a  (a1 ; a2 ; a3 ), b  (b1 ; b2 ; b3 ), k ��
r r
 a �b  (a1 �b1 ; a2 �b2 ; a3 �b3 )
r
 ka  (ka1 ; ka2 ; ka3 )
�a1  b1
r r
�
a2  b2
 ab � �
�a  b
�3 3

r
r
r
r
 0  (0;0;0), i  (1;0;0), j  (0;1;0), k  (0;0;1)
r r r
r
r
r
 a cùng phương b (b �0)
 a  kb (k ��)
a1  kb1
�
a
a a
�
��
a2  kb2
� 1  2  3 , (b1 , b2 , b3 �0)
b1 b2 b3
�
a3  kb3
�
r r
rr
 a.b  a1.b1  a2 .b2  a3 .b3
 a  b � a1b1  a2b2  a3b3  0
r2
r
2

2
2
 a  a1  a2  a3
 a  a12  a22  a22
rr
a1b1  a2b2  a3b3
a.b
r r
r r r
 cos(a , b )  r r 
(với
a
, b �0 )
a .b
a12  a22  a32 . b12  b22  b32
3. Tọa độ của điểm
uuuu
r
r
r
r
a) Định nghĩa: M ( x; y; z ) � OM  x.i  y. j  z.k (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao
độ)
Chú ý:  M � Oxy  � z  0; M � Oyz  � x  0; M � Oxz  � y  0
 M �Ox � y  z  0; M �Oy � x  z  0; M �Oz � x  y  0 .
b) Tính chất: Cho A( xA ; y A ; z A ), B( xB ; yB ; z B )
uuu
r
 AB  ( xB  x A ; yB  y A ; z B  z A )
 AB  ( xB  xA ) 2  ( yB  y A ) 2  ( zB  z A ) 2

�x  x y  y B z A  z B �
;
 Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB : M � A B ; A
�
� 2
2
2 �
 Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC :
�x  x  x y  yB  yC z A  z B  zC �
G �A B C ; A
;
�
3
3
3
�
�
 Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD :
�x  x  x  xD y A  yB  yC  yD z A  z B  zC  zC �
G �A B C
;
;
�
�
4
4
4
�
4. Tích có hướng của hai vectơ
Trang

1/22


r
r
a) Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a  (a1 ; a2 ; a3 ) , b  (b1 ; b2 ; b3 ) .
r r
r
r
�
a
Tích có hướng của hai vectơ a và b, kí hiệu là �
�, b �, được xác định bởi
�a2 a3 a3 a1 a1 a2 �
r r
�
a, b �
;
;
�  a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1 
�
� �
�b2 b3 b3 b1 b1 b2 �
Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là
một số.
b) Tính chất:
r r
r
r r
r

 [ a , b ]  a;
[a , b ]  b
r r
r r
�  �
�
a
,
b
b
 �
� � �, a �
r
r r
r r
r r
r
r
�
�
�
�
�
i
,
j

k
;
j

,
k

i
;
k
�, i �
� j
� �
� �
r r
r r
r r
 [a, b]  a . b .sin  a , b  (Chương trình nâng cao)
r r
r r
r
 a, b cùng phương � [a, b]  0 (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)
c) Ứng dụng của tích có hướng: (Chương trình nâng cao)
r r
r r r
r
 Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a, b và c đồng phẳng  [a, b].c  0
uuu
r uuur
 Diện tích hình bình hành ABCD :
SY ABCD  �
AB, AD �
�
�

u
u
u
r
u
u
u
r
1
S ABC  �
AB, AC �
 Diện tích tam giác ABC :
�
�
2
uuu
r uuur uuur
B C D : VABCD. A ' B ' C ' D '  [ AB, AD]. AA�
 Thể tích khối hộp ABCDA����
r uuur uuur
1 uuu
VABCD  [ AB, AC ]. AD
 Thể tích tứ diện ABCD :
6
Chú ý:
– Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường
thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng.
– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác;
tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng –
không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.

r r
rr
a  br� a.b  0
r
r r r

a va�
b
cu�
n
g
ph�
�
ng
�
a
, b  0
r r r
r r r
a, b, c �
o�
ng pha�
ng �  a, b .c  0
5. Một vài thao tác sử dụng máy tính bỏ túi (Casio Fx570 Es Plus, Casio
Fx570 Vn Plus, Vinacal 570 Es Plus )
Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A  xA ; y A ; z A  , B  xB ; yB ; z B  , C  xC ; yC ; z C  , D  xD ; yD ; z D 
uuur
w 8 1 1 (nhập vectơ AB )
uuur
q 5 2 2 2 (nhập vectơ AC )

uuur
q 5 2 3 1 (nhập vectơ AD )
uuu
r uuur
C q53q54= (tính �
AB, AC �
�
�)
uuur uuur uuur
C q53q54q57q55= (tính [ AB, AC ]. AD )
uuu
r uuur uuur
Cqc(Abs) q53q54q57q55= (tính [ AB, AC ]. AD )
C1a6qc(Abs) q53q54q57q55=
1 uuur uuur uuur
(tính VABCD  [ AB, AC ]. AD
6

Trang
2/22


B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
r
r
r
r
r
Câu 1. Gọi  là góc giữa hai vectơ a và b , với a và b khác 0 , khi đó cos  bằng
rr

rr
rr
r r
a.b
a.b
a.b
ab
A. r r .
B. r r .
C. r r .
D. r r .
a.b
a
.
b
a.b
a.b
r
r
Câu 2. Gọi  là góc giữa hai vectơ a   1; 2;0  và b   2;0; 1 , khi đó cos  bằng

Câu 3.

Câu 4.
Câu 5.
Câu 6.

Câu 7.

A. 0.

B.

2
.
5

A.

B.

8.

C. 10.
D. 12.
rr r
Trong không gian Oxyz , gọi i, j , k là các vectơ đơn vị, khi đó với M  x; y; z  thì
uuuu
r
OM bằng
r r r
r r r
r r r
r r r
A.  xi  y j  zk .
B. xi  y j  zk .
C. x j  yi  zk .
D. xi  y j  zk .
r
r

Tích có hướng của hai vectơ a  (a1; a2 ; a3 ) , b  (b1 ; b2 ; b3 ) là một vectơ, kí hiệu
r r
�
�, được xác định bằng tọa độ
a, b �
�
6.

A.  a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  .

B.

 a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  .
D.
r
r
Cho các vectơ u   u1 ; u2 ; u3  và v   v1 ; v2 ; v3  ,
C.

Câu 8.

2
.
5

2
D.  .
5
r
r

r
Cho vectơ a   1;3; 4  , tìm vectơ b cùng phương với vectơ a
r
r
r
r
A. b   2; 6; 8  . B. b   2; 6;8  .
C. b   2;6;8  .
D. b   2; 6; 8  .
r
r
Tích vô hướng của hai vectơ a   2; 2;5  , b   0;1; 2  trong không gian bằng
A. 10.
B. 13.
C. 12.
D. 14.
Trong không gian cho hai điểm A  1; 2;3 , B  0;1;1 , độ dài đoạn AB bằng
C.

A. u1v1  u2 v2  u3v3  1 .

 a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  .
 a2b2  a3b3 ; a3b3  a1b1; a1b1  a2b2  .

rr
u.v  0 khi và chỉ khi
B.

u1  v1  u2  v2  u3  v3  0 .
C. u1v1  u2 v2  u3v3  0 .

Câu 9.

D.

u1v2  u2v3  u3v1  1 .
r
r
Cho vectơ a   1; 1; 2  , độ dài vectơ a là

B. 2.
C.  6 .
D. 4.
Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên trục Ox sao cho M không
trùng với gốc tọa độ, khi đó tọa độ điểm M có dạng
A. M  a;0;0  , a �0 . B. M  0; b;0  , b �0 . C. M  0;0; c  , c �0 . D. M  a;1;1 , a �0 .
A.

6.

Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên mặt phẳng  Oxy  sao cho M
không trùng với gốc tọa độ và không nằm trên hai trục Ox, Oy , khi đó tọa độ
điểm M là ( a, b, c �0 )
A.  0; b; a  .
B.  a; b;0  .
C.  0;0; c  .
D.  a;1;1
r
r
r
r

Câu 12. Trong không gian Oxyz , cho a   0;3; 4  và b  2 a , khi đó tọa độ vectơ b có
thể là
A.  0;3; 4  .

B.  4;0;3 .

C.  2;0;1 .
D.  8;0; 6  .
r r
r
r
�
u
Câu 13. Trong không gian Oxyz cho hai vectơ u và v , khi đó �
�, v �bằng
Trang
3/22


r r
r r
A. u . v .sin u , v .

rr
r r
rr
r r
C. u.v.cos u, v .
D. u.v.sin u, v .
r

r
r
Câu 14. Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a   1; 1; 2  , b   3;0; 1 , c   2;5;1 , vectơ
ur r r r
m  a  b  c có tọa độ là
A.  6;0; 6  .
B.  6;6;0  .
C.  6; 6;0  .
D.  0;6; 6  .

 

r r
r r
B. u . v .cos u , v .

 

 

 

Câu 15. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A  1;0; 3 , B  2; 4; 1 , C  2; 2;0  . Độ dài các
cạnh AB, AC , BC của tam giác ABC lần lượt là
A. 21, 13, 37 .
B. 11, 14, 37 .
C. 21, 14, 37 .
D. 21, 13, 35 .
Câu 16. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A  1;0; 3 , B  2; 4; 1 , C  2; 2;0  . Tọa độ
trọng tâm G của tam giác ABC là

�5 2 4 �
�5 2 4 �
�5
�
A. � ; ;  �.
B. � ; ; �.
C.  5; 2; 4  .
D. � ;1; 2 �.
�3 3 3 �
�3 3 3 �
�2
�
Câu 17. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A  1; 2;0  , B  1;1;3 , C  0; 2;5  . Để 4 điểm
A, B, C , D đồng phẳng thì tọa độ điểm D là
A. D  2;5;0  .
B. D  1; 2;3 .
C. D  1; 1;6  .
D. D  0;0; 2  .

r

r

r

Câu 18. Trong không gian Oxyz , cho ba vecto a  (1; 2;3),b  (2;0;1),c  (1;0;1) . Tìm

r

r

r

r

r

tọa độ của vectơ n  a  b  2c  3i
r
r
A. n   6; 2;6  .
B. n   6;2; 6  .

r
C. n   0; 2;6  .

r
D. n   6; 2;6  .

Câu 19. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(1;0; 2), B (2;1;3), C (3; 2; 4) . Tìm
tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
�2
�
�1 �
2; ;3 �.
A. G � ;1;3 �.
B. G  2;3;9  .
C. G  6;0; 24  .
D. G �
� 3 �

�3
�
Câu 20. Cho 3 điểm M  2;0;0  , N  0; 3;0  , P  0;0;4  . Nếu MNPQ là hình bình hành thì tọa
độ của điểm Q là
A. Q  2; 3; 4 
B. Q  2;3; 4 
C. Q  3; 4;2 
D. Q  2; 3; 4 
Câu 21. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm M  1;1;1 , N  2;3; 4  , P  7;7;5  . Để tứ
giác MNPQ là hình bình hành thì tọa độ điểm Q là
A. Q  6;5; 2  .
B. Q  6;5; 2  .
C. Q  6; 5; 2  .
D. Q  6; 5; 2  .
Câu 22. Cho 3 điểm A  1;2;0  , B  1;0; 1 , C  0; 1;2  . Tam giác ABC là
A. tam giác có ba góc nhọn.
B. tam giác cân đỉnh A .
C. tam giác vuông đỉnh A .
D. tam giác đều.
Câu 23. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A  1; 2; 2  , B  0;1;3  , C  3; 4;0  . Để tứ
giác ABCD là hình bình hành thì tọa độ điểm D là
A. D  4;5; 1 .
B. D  4;5; 1 .
C. D  4; 5; 1 .
D. D  4; 5;1 .
r
r
r r
r
r

Câu 24. Cho hai vectơ a và b tạo với nhau góc 600 và a  2; b  4 . Khi đó a  b bằng
A.

8 3  20.

B. 2 7.

C. 2 5.

D. 2 .

Câu 25. Cho điểm M  1; 2; 3  , khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  Oxy  bằng
A. 2.
B. 3 .
C. 1.
D. 3.

Câu 26. Cho điểm M  2;5; 0  , hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy là điểm

 2;5;0  .
A. M �

 0; 5;0  .
B. M �

 0;5;0  .
C. M �

 2; 0;0  .
D. M �

Trang
4/22


Câu 27. Cho điểm M  1; 2; 3  , hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng

Câu 28.

 Oxy  là điểm
 1; 2;0  .
 1;0; 3 .
 0; 2; 3 .
A. M �
B. M �
C. M �
Cho điểm M  2;5;1 , khoảng cách từ điểm M đến trục

 1; 2;3 .
D. M �
Ox bằng

A.

B. 5 .
C. 2.
D. 26 .
29 .
Câu 29. Cho hình chóp tam giác S . ABC với I là trọng tâm của đáy ABC . Đẳng thức
nào sau đây là đẳng thức đúng

uu
r uur uur
uu
r uur uur r
uu
r uur uur r
uu
r uur uur r
A. IA  IB  IC.
B. IA  IB  CI  0.
C. IA  BI  IC  0. D. IA  IB  IC  0.
�

�

�

Câu 30. Trong không gian Oxyz , cho 3 vectơ a   1;1;0  ; b   1;1;0  ; c   1;1;1 . Trong
các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:
uu
r
A. br  cr.
B. a  2.

ur
C. c  3.

D. ar  br.

Câu 31. Cho điểm M  3; 2; 1 , điểm đối xứng của M qua mặt phẳng  Oxy  là điểm

 3; 2;1 .
 3; 2; 1 .
 3; 2;1 .
 3; 2;0  .
A. M �
B. M �
C. M �
D. M �

 a; b; c  đối xứng của M qua trục Oy , khi đó
Câu 32. Cho điểm M  3; 2; 1 , điểm M �
a  b  c bằng
A. 6.
B. 4.
C. 0.
D. 2.
r
r
r r
Câu 33. Cho u   1;1;1 và v   0;1; m  . Để góc giữa hai vectơ u , v có số đo bằng 450 thì
m bằng
A. � 3 .
B. 2 � 3 .
C. 1 � 3 .
D. 3 .
Câu 34. Cho A  1; 2;0  , B  3;3; 2  , C  1; 2; 2  , D  3;3;1 . Thể tích của tứ diện ABCD bằng
A. 5.
B. 4.
C. 3.
D. 6.

Câu 35. Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD . Độ dài đường cao vẽ từ D của tứ
diện ABCD cho bởi công thức nào sau đây:
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
�
�
�
AB
,
AC
.
AD
AB, AC �
. AD
1
1 �
�
A. h  �
B.
�
.
h
.
uuu
r uuur
uuu
r uuur
3 �
3
�

AB
.
AC
AB
.
AC
�
�
uuu
r uuur uuur
uuur uuur uuur
�
�
�
AB
, AC �
. AD
AB
,
AC
.
AD
�
C.
D. h  �
�
�
.
h
..

uuu
r uuur
uuu
r uuur
�
�
AB
.
AC
AB. AC
�
�
Câu 36. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho bốn điểm
A  1; 2;0  , B  3;3; 2  , C  1; 2; 2  , D  3;3;1 . Độ dài đường cao của tứ diện ABCD hạ

từ đỉnh D xuống mặt phẳng  ABC  là
9
9
9
9
A.
.
B. .
C.
.
D.
.
7
14
7 2

2
Câu 37. Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có
A(1;0; 2), B( 2;1;3), C (3; 2; 4), D(6;9; 5) . Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD
� 18
�
� 14 �
3;3; �
A. G �9; ; 30 �. B. G  8;12; 4  .
C. G �
.
D. G  2;3;1 .
� 4
�
� 4�
Câu 38. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;1), B(2; 1; 2) . Điểm M trên trục Ox
và cách đều hai điểm A, B có tọa độ là
�1 1 3 �
�1
�
�3
�
� 1 3�
0; ; �.
A. M � ; ; �.
B. M � ;0;0 �.
C. M � ;0;0 �.
D. M �
�2 2 2 �
�2
�

�2
�
� 2 2�

Trang
5/22


Câu 39. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;1), B(3; 1; 2) . Điểm M trên trục Oz
và cách đều hai điểm A, B có tọa độ là
� 3�
�3 1 3 �
0;0; �.
A. M  0;0; 4  .
B. M  0;0; 4  .
C. M �
D. M � ; ; �.
�2 2 2 �
� 2�
Câu 40. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1; 2;3), B (0;3;1), C (4; 2; 2) . Cosin của góc
�
là
BAC
9
9
9
9
A.
.
B.

.
C. 
.
D. 
.
2 35
35
2 35
35
r
r
r
Câu 41. Tọa độ của vecto n vuông góc với hai vecto a  (2; 1; 2), b  (3; 2;1) là
r
r
r
r
A. n   3; 4;1 .
B. n   3; 4; 1 .
C. n   3; 4; 1 .
D. n   3; 4; 1 .
r
r
r r r r r
r
r
r
2 r
Câu 42. Cho a  2; b  5, góc giữa hai vectơ a và b bằng
, u  k a  b; v  a  2b. Để u

3
r
vuông góc với v thì k bằng
6
45
6
45
.
.
A.  .
B.
C.
D.  .
45
6 uu
45
6
r
r
r
Câu 43. Cho u   2; 1;1 , v   m;3; 1 , w   1; 2;1 . Với giá trị nào của m thì ba vectơ trên
đồng phẳng
3
3
8
8
A. .
B.  .
C. .
D.  .

8
8
3
3
r
r
r r
Câu 44. Cho hai vectơ a   1;log 3 5; m  , b   3;log 5 3; 4  . Với giá trị nào của m thì a  b
A. m  1; m  1 .
B. m  1 .
C. m  1 .
D. m  2; m  2 .
Câu 45. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2;5;3), B(3;7; 4), C ( x; y;6) . Giá trị của x, y
để ba điểm A, B, C thẳng hàng là
A. x  5; y  11 .
B. x  5; y  11 .
C. x  11; y  5 . D. x  11; y  5 .
Câu 46. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;0;0), B (0;0;1), C (2;1;1) . Tam giác ABC là
A. tam giác vuông tại A .
B. tam giác cân tại A .
C. tam giác vuông cân tại A .
D. Tam giác đều.
Câu 47. Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có A(1;0;0), B (0;0;1), C (2;1;1) . Tam giác
ABC có diện tích bằng
1
6
6
A. 6 .
B.
.

C.
.
D. .
2
3
2
Câu 48. Ba đỉnh của một hình bình hành có tọa độ là  1;1;1 ,  2;3; 4  ,  7;7;5  . Diện tích
của hình bình hành đó bằng
83
.
2
r
r
r
r r r
Câu 49. Cho 3 vecto a   1; 2;1 ; b   1;1; 2  và c   x;3x; x  2  . Tìm x để 3 vectơ a, b, c
đồng phẳng
A. 2.
B. 1.
C. 2.
D. 1.
r
�
�
Câu 50. Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a   3; 2; 4  , b   5;1;6  , c   3;0; 2  . Tìm
r r r
r
r
vectơ x sao cho vectơ x đồng thời vuông góc với a, b, c
A.  1;0;0  .

B.  0;0;1 .
C.  0;1;0  .
D.  0; 0;0  .
A. 2 83 .

B.

83 .

C. 83 .

D.

Câu 51. Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm B (1; 2; 3) , C (7; 4; 2) . Nếu E là điểm thỏa
uuu
r
uuu
r
mãn đẳng thức CE  2 EB thì tọa độ điểm E là
8 8�
8 8�
8�
1�
A. �
B. �
C. �
D. �
3; ;  �
.
3; ; �

.
3;3;  �
.
1; 2; �
.
�
�
�
�
3�
� 3�
� 3 3�
� 3 3�
�
Trang
6/22


Câu 52. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1; 2; 1) , B (2; 1;3) ,
C ( 2;3;3) . Điểm M  a; b; c  là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM , khi đó
P  a 2  b 2  c 2 có giá trị bằng
A. 43. .
B. 44. .
C. 42. .
D. 45.
Oxyz
A
(1;
2;
1) , B (2; 1;3) ,

Câu 53. Trong không gian với hệ trục tọa độ
cho ba điểm
C ( 2;3;3) . Tìm tọa độ điểm D là chân đường phân giác trong góc A của tam
giác ABC
A. D(0;1;3) .
B. D(0;3;1) .
C. D(0; 3;1) .
D. D(0;3; 1) .
Câu 54. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho các điểm A(1;3;5) , B(4;3;2) ,
C(0;2;1) . Tìm tọa độ điểm I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
8 5 8
5 8 8
5 8 8
8 8 5
A. I ( ; ; ) .
B. I ( ; ; ) .
C. I ( ; ; ).
D. I ( ; ; ) .
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
ur
r
r
Câu 55. Trong không gian Oxyz , cho 3 vectơ  a   1;1;0  , b   1;1;0  , c   1;1;1 . Cho hình
uuu
r r uuu
r r uuuu
r r

A���
B C thỏa mãn điều kiện OA  a, OB  b , OC '  c . Thể tích của hình
hộp OABC.O �
hộp nói trên bằng:
1
2
A.
B. 4
C.
D. 2
3
3
Câu 56. Trong không gian với hệ trục Oxyz cho tọa độ 4 điểm A  2; 1;1 , B  1;0;0  ,
C  3;1;0  , D  0;2;1 . Cho các mệnh đề sau:

Câu 57.

1) Độ dài AB  2 .
2) Tam giác BCD vuông tại B .
3) Thể tích của tứ diện ABCD bằng 6 .
Các mệnh đề đúng là:
A. 2).
B. 3).
C. 1); 3).
D. 2), 1)
r
r
r
Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ a   1,1, 0  ; b  (1,1, 0); c   1,1,1 . Trong các
mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:

r r
A.
B. r r r r
6
cos b, c 
.
a  b  c  0.
3
r r r
rr
A. a, b, c đồng phẳng.
D. a.b  1.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD , biết A(1;0;1) ,
B (1;1; 2) , C (1;1;0) , D(2; 1; 2) . Độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD bằng:
A. 2 .
B. 1 .
C. 13
D. 3 13
.
.
13
13
2
13
Cho hình chóp tam giác S . ABC với I là trọng tâm của đáy ABC . Đẳng thức
nào sau đây là đẳng thức đúng
uu
r 1 uur uur uuu
r
uu

r 1 uur uur uuu
r
A. SI  SA  SB  SC .
B. SI  SA  SB  SC .
2ur uur uuu
3ur uur uuu
uur u
r
uu
r u
r r
C. SI  SA  SB  SC.
D. SI  SA  SB  SC  0.
Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có
A(1;0;0), B(0;1;0), C (0;0;1), D( 2;1; 1) . Thể tích của tứ diện ABCD bằng
3
1
A. .
B. 3 .
C. 1.
D. .
2
2
0 �
�
�
Cho hình chóp S . ABC có SA  SB  a, SC  3a, ASB  CSB  60 , CSA  900 . Gọi G là
trọng tâm tam giác ABC . Khi đó khoảng cách SG bằng
a 15
a 5

a 7
A.
.
B.
.
C.
.
D. a 3 .
3
3
3

 

Câu 58.

Câu 59.



Câu 60.

Câu 61.







Trang
7/22


Câu 62. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A  2;5;1 , B  2; 6; 2  , C  1; 2; 1 và
uuur uuur
điểm M  m; m; m  , để MB  2 AC đạt giá trị nhỏ nhất thì m bằng
A. 2.
B. 3 .
C. 1.
D. 4.
Câu 63. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A  2;5;1 , B  2; 6; 2  , C  1; 2; 1 và

điểm M  m; m; m  , để MA2  MB 2  MC 2 đạt giá trị lớn nhất thì m bằng
A. 3.
B. 4.
C. 2.
D. 1.
Câu 64. Cho hình chóp S . ABCD biết A  2; 2;6  , B  3;1;8  , C  1;0;7  , D  1; 2;3  . Gọi H là
27
trung điểm của CD, SH   ABCD  . Để khối chóp S . ABCD có thể tích bằng
2
(đvtt) thì có hai điểm S1 , S 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tìm tọa độ trung
điểm I của SS
1 2
A. I  0; 1; 3 .
B. I  1;0;3
C. I  0;1;3 .
D. I  1;0; 3 .
Câu 65. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2; 1;7), B(4;5; 2) . Đường thẳng AB cắt

mặt phẳng (Oyz ) tại điểm M . Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào
1
1
2
A. .
B. 2 .
C. .
D. .
2
3
3
Oxyz
A
(2;1;

1),
B
(3;0;1),
C(2;
1;3) và D
Câu 66. Trong không gian
, cho tứ diện ABCD có
thuộc trục Oy . Biết VABCD  5 và có hai điểm D1  0; y1;0  , D2  0; y2 ;0  thỏa mãn
yêu cầu bài toán. Khi đó y1  y2 bằng
A. 0.
B. 1.
C. 2 .
D. 3 .
Oxyz
A

(

1;
2;4),
B
(3;0;
2),C(1;3;7) . Gọi
Câu 67. Trong không gian
, cho tam giác ABC có
uuur
D là chân đường phân giác trong của góc A . Tính độ dài OD .
207
203
201
205
B.
C.
D.
.
.
.
3
3
3
3
Câu 68. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC , biết A(1;1;1) ,
B (5;1; 2) , C (7;9;1) . Tính độ dài phân giác trong AD của góc A
A.

A. 2 74 .

B. 3 74 .
C. 2 74.
D. 3 74.
3
2
Câu 69. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho 4 điểm A(2; 4; 1) , B (1; 4; 1) , C (2; 4;3)
D(2; 2; 1) . Biết M  x; y; z  , để MA2  MB 2  MC 2  MD 2 đạt giá trị nhỏ nhất thì
x  y  z bằng
A.
B.
C.
D.
7.
8.
9.
6.
Câu 70. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(2;3;1) , B (1; 2;0) ,
C (1;1; 2) . H là trực tâm tam giác ABC , khi đó, độ dài đoạn OH bằng
870
870
870
870
B.
C.
D.
.
.
.
.
12

14
16
15
Câu 71. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A(3;1;0) , B nằm
trên mặt phẳng (Oxy ) và có hoành độ dương, C nằm trên trục Oz và H (2;1;1)
là trực tâm của tam giác ABC . Toạ độ các điểm B , C thỏa mãn yêu cầu bài
toán là:
�3  177 17  177 � � 3  177 �
A. B �
;
;0 �
,C �
0;0;
.
�
� 4
2
� �
4
�
�3  177 17  177 � � 3  177 �
B. B �
;
;0 �
,C �
0;0;
.
�
� 4
2

� �
4
�
A.

Trang
8/22


�3  177 17  177 � � 3  177 �
C. B �
;
;0 �
,C �
0;0;
.
�
� 4
2
� �
4
�
�3  177 17  177 � � 3  177 �
D. B �
;
;0 �
,C �
0;0;
.
�

� 4
2
� �
4
�
Câu 72. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình vuông ABCD , B (3;0;8) ,
D(5; 4;0) . Biết đỉnh A thuộc mặt phẳng ( Oxy ) và có tọa độ là những số
uuu
r uuu
r
nguyên, khi đó CA  CB bằng:
A. 5 10.
B. 6 10.
C. 10 6.
D. 10 5.
Câu 73. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC , biết A(5;3; 1) ,
B (2;3; 4) , C (3;1; 2) . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng:
A. 9  2 6.
B. 9  3 6.
C. 9  3 6.
D. 9  2 6.
Câu 74. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm
�
M  3;0;0  , N  m, n, 0  , P  0;0; p  . Biết MN  13, MON
 600 , thể tích tứ diện OMNP
bằng 3. Giá trị của biểu thức A  m  2n 2  p 2 bằng
A. 29.
B. 27.
C. 28.
D. 30.

Câu 75. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(2;3;1) , B (1; 2;0) ,
C (1;1; 2) . Gọi I  a; b; c  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tính giá
trị biểu thức P  15a  30b  75c
A. 48.
B. 50.
C. 52.
D. 46.

Trang
9/22


C. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN 8.1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A B A C A D A C A A B D A C C A A D A B
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
B D D C A A C A A D A B A C D A A B B D
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
A A B C A B D A A D A B B A B
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101102103104105106107108109110111112113114115116117118119

Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.
Câu 5.

II –HƯỚNG DẪN GIẢI
r
r
r
r
r
Gọi  là góc giữa hai vectơ a và b , với a và b khác 0 , khi đó cos  bằng
rr
rr
rr
r r
a.b
a.b
a.b
ab
A. r r .
B. r r .
C. r r .
D. r r .
a.b
a.b
a.b
a.b
r
r
Gọi  là góc giữa hai vectơ a   1; 2;0  và b   2;0; 1 , khi đó cos  bằng

2
2
2
A. 0.
B. .
C.
.
D.  .
5
5
5
r
r
r
Cho vectơ a   1;3; 4  , tìm vectơ b cùng phương với vectơ a
r
r
r
r
A. b   2; 6; 8  . B. b   2; 6;8  .
C. b   2;6;8  .
D. b   2; 6; 8  .
r
r
Tích vô hướng của hai vectơ a   2; 2;5  , b   0;1; 2  trong không gian bằng
A. 10.
B. 13.
C. 12.
D. 14.
Trong không gian cho hai điểm A  1; 2;3 , B  0;1;1 , độ dài đoạn AB bằng

A.

C. 10.
D. 12.
rr r
Câu 6. Trong không gian Oxyz , gọi i, j , k là các vectơ đơn vị, khi đó với M  x; y; z  thì
uuuu
r
OM bằng
r r r
r r r
r r r
r r r
A.  xi  y j  zk .
B. xi  y j  zk .
C. x j  yi  zk .
D. xi  y j  zk .
r
r
Câu 7. Tích có hướng của hai vectơ a  (a1; a2 ; a3 ) , b  (b1 ; b2 ; b3 ) là một vectơ, kí hiệu
r r
�
a, b �
�
�, được xác định bằng tọa độ
A.  a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  .
B.  a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  .
6.

B.

8.

 a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  .
D.  a2b2  a3b3 ; a3b3  a1b1 ; a1b1  a2b2  .
r
r
rr
Cho các vectơ u   u1 ; u2 ; u3  và v   v1 ; v2 ; v3  , u.v  0 khi và chỉ khi
C.

Câu 8.

A. u1v1  u2 v2  u3v3  1 .

B.

u1  v1  u2  v2  u3  v3  0 .

Trang
10/22


C. u1v1  u2 v2  u3v3  0 .

D.

u1v2  u2v3  u3v1  1 .
r
r

Câu 9. Cho vectơ a   1; 1; 2  , độ dài vectơ a là
B. 2.
C.  6 .
D. 4.
Câu 10.
Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên trục Ox sao cho M không
trùng với gốc tọa độ, khi đó tọa độ điểm M có dạng
A. M  a;0;0  , a �0 . B. M  0; b;0  , b �0 . C. M  0;0; c  , c �0 . D. M  a;1;1 , a �0 .
A.

6.

Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên mặt phẳng  Oxy  sao cho
M không trùng với gốc tọa độ và không nằm trên hai trục Ox, Oy , khi đó tọa
độ điểm M là ( a, b, c �0 )
A.  0; b; a  .
B.  a; b;0  .
C.  0;0; c  .
D.  a;1;1
r
r
r
r
Câu 12.
Trong không gian Oxyz , cho a   0;3; 4  và b  2 a , khi đó tọa độ vectơ b
Câu 11.

có thể là
A.  0;3; 4  .

B.  4;0;3 .

C.  2;0;1 .
D.  8;0; 6  .
r
r
r
r
�
u
,
v
Câu 13.
Trong không gian Oxyz cho hai vectơ u và v , khi đó �
� �bằng
r r
r r
r r
r r
rr
r r
rr
r r
A. u . v .sin u , v .
B. u . v .cos u , v .
C. u.v.cos u, v .
D. u.v.sin u, v .
r
r
r

Câu 14.
Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a   1; 1; 2  , b   3;0; 1 , c   2;5;1 ,
ur r r r
vectơ m  a  b  c có tọa độ là
A.  6;0; 6  .
B.  6;6;0  .
C.  6; 6;0  .
D.  0;6; 6  .

 

 

 

 

Câu 15.
Trong không gian Oxyz cho ba điểm A  1;0; 3 , B  2; 4; 1 , C  2; 2;0  . Độ dài
các cạnh AB, AC , BC của tam giác ABC lần lượt là
A. 21, 13, 37 .
B. 11, 14, 37 .
C. 21, 14, 37 .
D. 21, 13, 35 .
Câu 16.
Trong không gian Oxyz cho ba điểm A  1;0; 3 , B  2; 4; 1 , C  2; 2;0  . Tọa độ
trọng tâm G của tam giác ABC là
�5 2 4 �
�5 2 4 �
�5

�
A. � ; ;  �.
B. � ; ; �.
C.  5; 2; 4  .
D. � ;1; 2 �.
�3 3 3 �
�3 3 3 �
�2
�
Trong không gian Oxyz cho ba điểm A  1; 2;0  , B  1;1;3 , C  0; 2;5  . Để 4
điểm A, B, C , D đồng phẳng thì tọa độ điểm D là
A. D  2;5;0  .
B. D  1; 2;3 .
C. D  1; 1;6  .
D. D  0;0; 2  .

Câu 17.

Hướng dẫn giải
uuu
r uuur uuur
AB, AC �
. AD  0
Cách 1:Tính �
�
�
Cách 2: Lập phương trình (ABC) và thế toạ độ
trình
r D vào phương
r

r tìm được.
Câu 18.
Trong không gian Oxyz , cho ba vecto a  (1; 2;3),b  (2; 0;1),c  (1; 0;1) .

r

r

r

r

r

Tìm tọa độ của vectơ n  a  b  2c  3i
r
r
r
A. n   6; 2;6  .
B. n   6;2; 6  .
C. n   0; 2;6  .

r
D. n   6; 2;6  .

Câu 19.
Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(1;0; 2), B(2;1;3), C (3; 2; 4) .
Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
�2
�

�1 �
2; ;3 �.
A. G � ;1;3 �.
B. G  2;3;9  .
C. G  6;0; 24  .
D. G �
� 3 �
�3
�
Trang
11/22


Cho 3 điểm M  2;0;0  , N  0; 3;0  , P  0;0;4  . Nếu MNPQ là hình bình hành thì
tọa độ của điểm Q là
A. Q  2; 3; 4 
B. Q  2;3; 4 
C. Q  3; 4;2 
D. Q  2; 3; 4 

Câu 20.

Hướng dẫn giải
�x2
uuuu
r uuu
r
�
Gọi Q ( x; y; z ) , MNPQ là hình bình hành thì MN  QP � � y  3
�z  4  0

�
Câu 21.
Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm M  1;1;1 , N  2;3; 4  , P  7;7;5  . Để
tứ giác MNPQ là hình bình hành thì tọa độ điểm Q là
A. Q  6;5; 2  .
B. Q  6;5; 2  .
C. Q  6; 5; 2  .
D. Q  6; 5; 2  .
Hướng dẫn giải
Điểm Q  x; y; z 
uuuu
r
uuu
r
MN   1; 2;3 , QP   7  x;7  y;5  z 
uuuu
r uuu
r
Vì MNPQ là hình bình hành nên MN  QP � Q  6;5; 2 

Câu 22.
Cho 3 điểm A  1;2;0  , B  1;0; 1 , C  0; 1;2  . Tam giác ABC là
A. tam giác có ba góc nhọn.
B. tam giác cân đỉnh A .
C. tam giác vuông đỉnh A .
D. tam giác đều.
Hướng dẫn giải
uuu
r
uuur

uuu
r uuur
AB  (0; 2; 1); AC  ( 1; 3;2) . Ta thấy AB. AC �0 � ABC không vuông.
uuur uuur
AB �AC � ABC không cân.
Câu 23.
Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A  1; 2; 2  , B  0;1;3 , C  3; 4;0  .
Để tứ giác ABCD là hình bình hành thì tọa độ điểm D là
A. D  4;5; 1 .
B. D  4;5; 1 .
C. D  4; 5; 1 .
D. D  4; 5;1 .
Hướng dẫn giải
Điểm D  x; y; z 
uuu
r
uuur
AB   1; 1;1 , DC   3  x; 4  y;  z 
uuur uuur
Vì ABCD là hình bình hành nên AB  DC � D  4;5; 1
r
r
r r
r
r
Câu 24.
Cho hai vectơ a và b tạo với nhau góc 600 và a  2; b  4 . Khi đó a  b
bằng
A. 8 3  20.

B. 2 7.

C. 2 5.
D. 2 .
Hướng dẫn giải
r r2 r2 r2
r r
r r
r r
Ta có a  b  a  b  2 a b .cos a, b  4  16  8  28 � a  b  2 7.

 

Câu 25.
Cho điểm M  1; 2; 3 , khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  Oxy  bằng
A. 2.
B. 3 .
C. 1.
D. 3.
Hướng dẫn giải
Với M  a; b; c  � d  M ,  Oxy    c
Câu 26.
Cho điểm M  2;5; 0  , hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy là
điểm
 2;5;0  .
 0; 5;0  .
 0;5;0  .
 2; 0;0  .
A. M �
B. M �

C. M �
D. M �
Hướng dẫn giải
Trang
12/22


Với M  a; b; c  � hình chiếu vuông góc của M lên trục Oy là M 1  0; b;0 
Cho điểm M  1; 2; 3 , hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng

Câu 27.

 Oxy  là điểm
 1; 2;0  .
A. M �

 1;0; 3 .
B. M �

 0; 2; 3 .
C. M �

 1; 2;3 .
D. M �

Hướng dẫn giải
Với M  a; b; c  � hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng  Oxy 

là

M 1  a; b;0 
Cho điểm M  2;5;1 , khoảng cách từ điểm M đến trục Ox bằng

Câu 28.
A.

29 .

B.

5.

C. 2.

D.

26 .

Hướng dẫn giải
Với M  a; b; c  � d  M , Ox   b 2  c 2
Câu 29.
Cho hình chóp tam giác S . ABC với I là trọng tâm của đáy ABC . Đẳng
thức nào sau đây là đẳng thức đúng
uu
r uur uur
uu
r uur uur r
uu
r uur uur r
uu

r uur uur r
A. IA  IB  IC.
B. IA  IB  CI  0.
C. IA  BI  IC  0. D. IA  IB  IC  0.
Câu 30.

�

�

�

Trong không gian Oxyz , cho 3 vectơ a   1;1;0  ; b   1;1;0  ; c   1;1;1 .

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:
uu
r
ur
A. br  cr.
B. a  2.
C. c  3.
rr
Vì b.c  2 �0.

D. ar  br.

Hướng dẫn giải

Cho điểm M  3; 2; 1 , điểm đối xứng của M qua mặt phẳng  Oxy  là điểm
 3; 2;1 .

 3; 2; 1 .
 3; 2;1 .
 3; 2;0  .
A. M �
B. M �
C. M �
D. M �
Hướng dẫn giải
Với M  a; b; c  � điểm đối xứng của M qua mặt phẳng  Oxy  là M  a; b; c 

Câu 31.

 a; b; c  đối xứng của M qua trục Oy , khi đó
Cho điểm M  3; 2; 1 , điểm M �
a  b  c bằng
A. 6.
B. 4.
C. 0.
D. 2.
Hướng dẫn giải
 a; b; c 
Với M  a; b; c  � điểm đối xứng của M qua trục Oy là M �

Câu 32.

� M�
 3; 2;1 � a  b  c  0.
r
r
r r

Câu 33.
Cho u   1;1;1 và v   0;1; m  . Để góc giữa hai vectơ u , v có số đo bằng 450
thì m bằng
A. � 3 .
B. 2 � 3 .
C. 1 � 3 .
D. 3 .
Hướng dẫn giải
m �1
�
1.0  1.1  1.m
1
�
cos  

� 2  m  1  3 m 2  1 � � 2
2
3  m  1  2  m  1
2
3. m 2  1
�
� m  2� 3

Câu 34.
Cho A  1; 2;0  , B  3;3; 2  , C  1; 2; 2  , D  3;3;1 . Thể tích của tứ diện ABCD
bằng
A. 5.
B. 4.
C. 3.
D. 6.

Hướng dẫn giải
uuu
r
uuur
uuur
Tính AB   2;5; 2  , AC   2; 4; 2  , AD   2;5;1
Trang
13/22


1 uuur uuur uuur
�
AB, AC �
. AD  3
�
6�
Sử dụng Casio
uuur
w 8 1 1 (nhập vectơ AB )
uuur
q 5 2 2 2 (nhập vectơ AC )
uuur
q 5 2 3 1 (nhập vectơ AD )
C1a6qc(abs) q53q54q57q55= (tính V )
Câu 35.
Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD . Độ dài đường cao vẽ từ D của
tứ diện ABCD cho bởi công thức nào sau đây:
uuu
r uuur uuur
uuur uuur uuur

�
�
�
AB
,
AC
.
AD
AB, AC �
. AD
1 �
�
A. h  1 �
B.
�
.
h
.
uuu
r uuur
uuu
r uuur
3 �
�
3
AB
.
AC
AB
.

AC
�
�
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
�
�
�
AB, AC �
. AD
AB
,
AC
.
AD
�
C.
D. h  �
�
�
.
h
..
uuu
r uuur
uuu
r uuur
�
�
AB

.
AC
AB. AC
�
�
Hướng dẫn giải
uuu
r uuur uuur
�
�
AB
. AD
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u

u
r
1 1
1
� , AC �
� �
�
h
.
AB
.
AC
AB
,
AC
.
AD
Vì VABCD  h. �
nên
u
u
u
r
u
u
u
r
� 6�
�
3 2�

�
�
AB
.
AC
�
�
Câu 36.
Trong không gian tọa độ Oxyz , cho bốn điểm
A  1; 2;0  , B  3;3; 2  , C  1; 2; 2  , D  3;3;1 . Độ dài đường cao của tứ diện ABCD hạ
V

từ đỉnh D xuống mặt phẳng  ABC  là
9
9
9
9
A.
.
B. .
C.
.
D.
.
7
14
7 2
2
Hướng dẫn giải
uuu

r
uuur
uuur
Tính AB  2;5; 2  , AC  2; 4; 2  , AD  2;5;1
1 uuur uuur uuur
V �
AB, AC �
. AD  3
�
6�
r uuur
1
1 uuu
h  d  D,  ABC  
V  B.h , với B  SABC  �
AB
, AC �
� 7 2 ,
3
2�
3V
3.3
9
�h


B 7 2 7 2
Câu 37.
Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có
A(1;0; 2), B( 2;1;3), C (3; 2; 4), D(6;9; 5) . Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD

� 18
�
� 14 �
3;3; �
A. G �9; ; 30 �. B. G  8;12; 4  .
C. G �
.
D. G  2;3;1 .
� 4
�
� 4�
Câu 38.
Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;1), B(2; 1; 2) . Điểm M trên trục
Ox và cách đều hai điểm A, B có tọa độ là
�1 1 3 �
�1
�
�3
�
� 1 3�
0; ; �.
A. M � ; ; �.
B. M � ;0;0 �.
C. M � ;0;0 �.
D. M �
�2 2 2 �
�2
�
�2
�

� 2 2�
Hướng dẫn giải
M �Ox � M  a;0;0 
M cách đều hai điểm A, B nên MA2  MB 2 �  1  a   22  12   2  a   22  12
3
� 2a  3 � a 
2
Câu 39.
Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;1), B(3; 1; 2) . Điểm M trên trục
Oz và cách đều hai điểm A, B có tọa độ là
2

2

Trang
14/22


� 3�
�3 1 3 �
0;0; �.
C. M �
D. M � ; ; �.
�2 2 2 �
� 2�
40.
Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1; 2;3), B(0;3;1), C (4; 2; 2) . Cosin của
�
góc BAC
là

9
9
9
9
A.
.
B.
.
C. 
.
D. 
.
2 35
35
2 35
35
r
r
r
41.
Tọa độ của vecto n vuông góc với hai vecto a  (2; 1; 2), b  (3; 2;1) là
r
r
r
r
A. n   3; 4;1 .
B. n   3; 4; 1 .
C. n   3; 4; 1 .
D. n   3; 4; 1 .
r

r
r r r r r
r
r
2 r
42.
Cho a  2; b  5, góc giữa hai vectơ a và b bằng
, u  ka  b; v  a  2b.
3
r
r
Để u vuông góc với v thì k bằng
6
45
6
45
.
.
A.  .
B.
C.
D.  .
45
6
45
6
Hướng dẫn giải
rr
r r r r
r r

2
u.v  ka  b a  2b  4k  50   2k  1 a b cos
3
 6k  45
r
r
uu
r
43.
Cho u   2; 1;1 , v   m;3; 1 , w   1; 2;1 . Với giá trị nào của m thì ba vectơ
trên đồng phẳng
3
3
8
8
A. .
B.  .
C. .
D.  .
8
8
3
3
Hướng dẫn giải
r r
r r uu
r
�  2; m  2; m  6  , �
�
u

,
v
u
,
v
.w
Ta có: �
� �
� �  3m  8
r r uu
r
r r uu
r
8
�
u
,
v
.w
u , v, w đồng phẳng � �
� � 0� m3
r
r
r r
44.
Cho hai vectơ a   1;log 3 5; m  , b   3;log 5 3; 4  . Với giá trị nào của m thì a  b
A. m  1; m  1 .
B. m  1 .
C. m  1 .
D. m  2; m  2 .

45.
Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2;5;3), B(3;7; 4), C ( x; y;6) . Giá trị của
x, y để ba điểm A, B, C thẳng hàng là
A. x  5; y  11 .
B. x  5; y  11 .
C. x  11; y  5 . D. x  11; y  5 .
Hướng dẫn giải
uuu
r
uuur
AB   1; 2;1 , AC   x  2; y  5;3
uuur uuur
x2 y5 3
A, B, C thẳng hàng � AB, AC cùng phương �

 � x  5; y  11
1
2
1
Oxyz
A
(1;0;0),
B
(0;0;1),
C
(2;1;1)
46.
Trong không gian
cho ba điểm
. Tam giác

ABC là
A. tam giác vuông tại A .
B. tam giác cân tại A .
C. tam giác vuông cân tại A .
D. Tam giác đều.
Hướng dẫn giải
uuu
r
uuu
r
uuu
r
BA   1;0; 1 , CA   1; 1; 1 , CB   2; 1;0 
uuu
r uuu
r
BA.CA  0 � tam giác vuông tại A , AB �AC .
47.
Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có A(1;0; 0), B (0;0;1), C (2;1;1) . Tam
giác ABC có diện tích bằng
1
6
6
A. 6 .
B.
.
C.
.
D. .
2

3
2
Hướng dẫn giải
A. M  0;0; 4  .

Câu

Câu

Câu



Câu

Câu
Câu

Câu

Câu



B. M  0;0; 4  .



Trang
15/22

uuu
r
uuur
r uuur
1 uuu
6
AB   1;0;1 , AC   1;1;1 . S ABC  �
AB
. AC �

�
�
2
2
Câu 48.
Ba đỉnh của một hình bình hành có tọa độ là  1;1;1 ,  2;3; 4  ,  7;7;5  . Diện
tích của hình bình hành đó bằng
83
A. 2 83 .
B. 83 .
C. 83 .
D.
.
2
Hướng dẫn giải
Gọi 3 đỉnh theo thứ tự là A, B, C
uuu
r

uuur
AB   1; 2;3 , AC   6;6; 4 
uuu
r uuur
2
2
2
�
S hbh  �
AB
� , AC �  10   14   6   2 83
r
r
r
Câu 49.
Cho 3 vecto a   1; 2;1 ; b   1;1; 2  và c   x;3x; x  2  . Tìm x để 3 vectơ
r r r
a, b, c đồng phẳng
A. 2.
B. 1.
C. 2.
D. 1.
Hướng dẫn giải
u
ruur r
r r r
a, b �
.c  0 � x  2.
a, b, c đồng phẳng thì �
� �

r
�
�
Câu 50.
Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a   3; 2; 4  , b   5;1;6  , c   3;0; 2  .
r r r
r
r
Tìm vectơ x sao cho vectơ x đồng thời vuông góc với a, b, c
A.  1;0;0  .
B.  0;0;1 .
C.  0;1;0  .
D.  0; 0;0  .
Hướng dẫn giải
r
rr rr rr
Dễ thấy chỉ có x  (0;0;0) thỏa mãn x.a  x.b  x.c  0.
Câu 51.
Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm B (1; 2; 3) , C (7; 4; 2) . Nếu E là điểm
uuu
r
uuu
r
thỏa mãn đẳng thức CE  2 EB thì tọa độ điểm E là
8 8�
8 8�
8�
1�
A. �
B. �

C. �
D. �
3; ;  �
.
3; ; �
.
3;3;  �
.
1; 2; �
.
�
�
�
�
3�
� 3�
� 3 3�
� 3 3�
�
Hướng dẫn giải
�
�x  3
uuu
r
uuu
r �
� 8
E ( x; y; z ) , từ CE  2 EB � �y  .
� 3
8

�
z
�
3
�
Câu 52.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1; 2; 1) ,
B (2; 1;3) , C ( 2;3;3) . Điểm M  a; b; c  là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM ,
khi đó P  a 2  b 2  c 2 có giá trị bằng
A. 43. .
B. 44. .
C. 42. .
D. 45.
Hướng dẫn giải
M ( x; y; z ) , ABCM là hình bình hành thì
�x  1  2  2
uuuu
r uuur �
AM  BC � �y  2  3  1 � M ( 3;6; 1) � P  44. .
�z  1  3  3
�
Câu 53.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1; 2; 1) , B (2; 1;3)
, C ( 2;3;3) . Tìm tọa độ điểm D là chân đường phân giác trong góc A của tam
giác ABC
A. D(0;1;3) .
B. D(0;3;1) .
C. D(0; 3;1) .
D. D(0;3; 1) .
Trang

16/22


Hướng dẫn giải
Ta có AB  26, AC  26 � tam giác ABC cân ở A nên D là trung điểm BC
� D(0;1;3).
Câu 54.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho các điểm A(1;3;5) , B(4;3;2) ,
C(0;2;1) . Tìm tọa độ điểm I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
8 5 8
5 8 8
5 8 8
8 8 5
A. I ( ; ; ) .
B. I ( ; ; ) .
C. I ( ; ; ).
D. I ( ; ; ) .
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
Hướng dẫn giải
Ta có: AB  BC  CA  3 2  ABC đều. Do đó tâm I của đường tròn ngoại
5 8 8�
tiếp ABC là trọng tâm của nó. Kết luận: I �
 ; ; �.
�
� 3 3 3�
ur
r

r
Câu 55.
Trong không gian Oxyz , cho 3 vectơ  a   1;1;0  , b   1;1;0  , c   1;1;1 . Cho
uuu
r r uuu
r r uuuu
r r
A���
B C thỏa mãn điều kiện OA  a, OB  b , OC '  c . Thể tích của
hình hộp OABC.O�
hình hộp nói trên bằng:
1
2
A.
B. 4
C.
D. 2
3
3
Hướng dẫn giải
uuu
r r
uuu
r r
uuuu
r r
OA  a , � A(1;1;0), OB  b � B(1;1;0), OC '  c � C '(1;1;1)
uuu
r uuu
r uuuur

uuu
r uuur
uuuu
r
uuuu
r
�
OA
,
OB
OO '
AB  OC � C (2;0;0) � CC '  (1;1;1)  OO ' � VOABC .O ' A ' B ' C '  �
�
�
Câu 56.
Trong không gian với hệ trục Oxyz cho tọa độ 4 điểm A  2; 1;1 , B  1;0;0  ,
C  3;1;0  , D  0;2;1 . Cho các mệnh đề sau:

1) Độ dài AB  2 .
2) Tam giác BCD vuông tại B .
3) Thể tích của tứ diện ABCD bằng 6 .
Các mệnh đề đúng là:
A. 2).
B. 3).
C. 1); 3).
D. 2), 1)
r
r
r
Câu 57.

Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ a   1,1, 0  ; b  (1,1, 0); c   1,1,1 . Trong
các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:
r r
A.
B. r r r r
6
cos b, c 
.
a  b  c  0.
3
r r r
rr
A. a, b, c đồng phẳng.
D. a.b  1.
Hướng dẫn giải
rr
r r
b.c
cos(b, c)  r r
b.c

 

Câu 58.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD , biết A(1;0;1) ,
B (1;1; 2) , C (1;1;0) , D(2; 1; 2) . Độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD bằng:
A. 2 .
B. 1 .
C. 13

D. 3 13
.
.
13
13
2
13
Hướng dẫn giải
uuu
r uuur uuur
�
AB, AC �
. AD
1
�
�

.
Sử dụng công thức h 
uuu
r uuur
13
AB. AC

Câu 59.
Cho hình chóp tam giác S . ABC với I là trọng tâm của đáy ABC . Đẳng
thức nào sau đây là đẳng thức đúng
uu
r 1 uur uur uuu
r

uu
r 1 uur uur uuu
r
A. SI  SA  SB  SC .
B. SI  SA  SB  SC .
2
3









Trang
17/22


uur uur uur uuu
r
C. SI  SA  SB  SC.

uu
r uur uur uuu
r r
D. SI  SA  SB  SC  0.
Hướng dẫn giải

uu
r uur uur
SI  SA  AI �
uu
r uur uur �
r uur uur uur uur uur uur
� uu
SI  SB  BI �� 3SI  SA  SB  SB  AI  BI  CI
uu
r uuu
r uur �
SI  SC  CI �
uur uur uur r uu
r 1 uur uur uuu
r
Vì I là trọng tâm tam giác ABC � AI  BI  CI  0 � SI  SA  SB  SC .
3
Oxyz
Câu 60.
Trong không gian
, cho tứ diện ABCD có
A(1;0;0), B(0;1;0), C (0;0;1), D( 2;1; 1) . Thể tích của tứ diện ABCD bằng
3
1
A. .
B. 3 .
C. 1.
D. .
2
2

Hướng dẫn giải
1 uuur uuur �uuur
 AB,  AC �
. AD
Thể tích tứ diện: VABCD  �
6�
�  600 , CSA
�  900 . Gọi G
Câu 61.
Cho hình chóp S . ABC có SA  SB  a, SC  3a, �
ASB  CSB
là trọng tâm tam giác ABC . Khi đó khoảng cách SG bằng
a 15
a 5
a 7
A.
.
B.
.
C.
.
D. a 3 .
3
3
3
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức tổng quát: Cho hình chóp S . ABC có SA  a, SB  b, SC  c và
�   , CSA
�   . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, khi đó
có �

ASB   , BSC









1 2
a  b 2  c 2  2ab cos   2ac cos   2bc
3
Chứng minh:
uuu
r 1 uur uur uuu
r
Ta có: SG  SA  SB  SC
3
uur uur uuu
r 2 uur 2 uur 2 uuu
r2
uur uur uur uuu
r uur uuu
r
SA  SB  SC  SA  SB  SC  2SA.SB  2SA.SC  2SB.SC
SG 









1 2
a  b 2  c 2  2ab cos   2ac cos   2bc 
3
a 15
Áp dụng công thức trên ta tính được SG 
3
Câu 62.
Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A  2;5;1 , B  2; 6; 2  , C  1; 2; 1 và
uuur uuur
điểm M  m; m; m  , để MB  2 AC đạt giá trị nhỏ nhất thì m bằng
Khi đó SG 

A. 2.

C. 1.
D. 4.
Hướng dẫn giải
uuur
uuur
AC  1; 3; 2  , MB  2  m;  6  m; 2  m 
uuur uuur
2
2
MB  2 AC  m2  m 2   m  6   3m 2  12m  36  3  m  2   24

uuur uuur
Để MB  2 AC nhỏ nhất thì m  2
Câu 63.

B. 3 .

Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A  2;5;1 , B  2; 6; 2  , C  1; 2; 1 và

điểm M  m; m; m  , để MA2  MB 2  MC 2 đạt giá trị lớn nhất thì m bằng
A. 3.
B. 4.
C. 2.
D. 1.
Hướng dẫn giải
uuur
uuur
uuuu
r
MA   2  m;5  m;1  m  , MB   2  m; 6  m; 2  m  , MC   1  m;2  m; 1  m 

Trang
18/22


MA2  MB 2  MC 2  3m2  24m  20  28  3  m  4  �28
2

Để MA2  MB 2  MC 2 đạt giá trị lớn nhất thì m  4
Câu 64.
Cho hình chóp S . ABCD biết A  2; 2;6  , B  3;1;8  , C  1;0;7  , D  1; 2;3 . Gọi H

là trung điểm của CD, SH   ABCD  . Để khối chóp S . ABCD có thể tích bằng
27
(đvtt) thì có hai điểm S1 , S 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tìm tọa độ trung
2
điểm I của SS
1 2
A. I  0; 1; 3 .
B. I  1;0;3
C. I  0;1;3 .
D. I  1;0; 3 .
Hướng dẫn giải
uuu
r
uuur
r uuur
1 uuu
3 3
Ta có AB   1; 1; 2  , AC   1; 2;1 � S ABC  �
AB
, AC �

�
�
2
uuur
uuu
r
uuur
uuu

r2
DC   2; 2; 4  , AB   1; 1; 2  � DC  2. AB � ABCD là hình thang và
S ABCD  3S ABC 

9 3
2

1
Vì VS . ABCD  SH .S ABCD � SH  3 3
3
Lại có H là trung điểm của CD � H  0;1;5 
uuur
uuur
uuu
r uuur
�
AB
Gọi S  a; b; c  � SH    a;1  b;5  c  � SH  k �
� , AC � k  3;3;3    3k ;3k ;3k 
Suy ra 3 3  9k 2  9k 2  9k 2 � k  �1
uuur
+) Với k  1 � SH   3;3;3 � S  3; 2; 2 
uuur
+) Với k  1 � SH   3; 3; 3 � S  3; 4;8

Suy ra I  0;1;3
Câu 65.
Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2; 1;7), B(4;5; 2) . Đường thẳng
AB cắt mặt phẳng (Oyz ) tại điểm M . Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số
nào

1
1
2
A. .
B. 2 .
C. .
D. .
2
3
3
Hướng dẫn giải
Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oyz ) tại điểm M � M (0; y; z )
uuur
uuur
� MA  (2; 1  y;7  z ), MB  (4;5  y; 2  z )
�
2  k .4
�
uuur
uuur
1
1  y  k  5  y  � k 
Từ MA  k MB ta có hệ �
2
�
7

z

k


2

z


�

Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(2;1; 1), B(3;0;1), C(2; 1;3) và
D thuộc trục Oy . Biết VABCD  5 và có hai điểm D1  0; y1;0  , D2  0; y2 ;0  thỏa mãn
yêu cầu bài toán. Khi đó y1  y2 bằng
A. 0.
B. 1.
C. 2 .
D. 3 .
Hướng dẫn giải
D �Oy � D(0; y;0)
uuu
r
uuur
uuur
Ta có: AB   1; 1;2  , AD   2; y  1;1 , AC   0; 2; 4 
uuur uuur
uuur uuur uuur
�  0; 4; 2  � �
��
AB
.
AC
AB. AC �

. AD  4 y  2
�
�
�
�
1
VABCD  5 � 4 y  2  5 � y  7; y  8 � D1  0; 7;0  , D2  0;8;0  � y1  y2  1
6

Câu 66.

Trang
19/22


Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(1; 2; 4), B(3;0; 2), C(1;3;7) .
uuur
Gọi D là chân đường phân giác trong của góc A . Tính độ dài OD .

Câu 67.

A.

207
.
3

Gọi D  x; y; z 

B.

203
3

201
.
3
Hướng dẫn giải
C.

D.

205
.
3

DB AB 2 14


2
DC AC
14
Vì D nằm giữa B, C (phân giác trong) nên
� 5
�
3  x  2  1  x 
�x  3
uuur
uuur
�

�
DB  2 DC � �
 y  2  3  y 
� �y  2
�
�z  4
2  z  2  7  z 
�
�
�
u
u
u
r
205
�5
�
Suy ra D � ; 2; 4 �� OD 
3
�3
�
Câu 68.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC , biết A(1;1;1) ,
B (5;1; 2) , C (7;9;1) . Tính độ dài phân giác trong AD của góc A
A. 2 74 .
3

B. 3 74 .
C. 2 74.
D. 3 74.

2
Hướng dẫn giải
D( x; y; z ) là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC .
uuur
uuur
DB AB 1
17 11
2 74
Ta có

 � DC  2 DB � D( ; ; 1) � AD 
.
DC AC 2
3 3
3
Câu 69.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho 4 điểm A(2; 4; 1) , B (1; 4; 1) ,
C (2; 4;3) D(2; 2; 1) . Biết M  x; y; z  , để MA2  MB 2  MC 2  MD 2 đạt giá trị nhỏ
nhất thì x  y  z bằng
A.
B.
C.
D.
7.
8.
9.
6.
Hướng dẫn giải
�7 14 �
Gọi G là trọng tâm của ABCD ta có: G � ; ;0 �

.
�3 3 �
Ta có: MA2  MB 2  MC 2  MD 2  4MG 2  GA2  GB 2  GC 2  GD 2
�7 14 �
 GA2  GB 2  GC 2  GD 2 . Dấu bằng xảy ra khi M �G � ; ;0 �� x  y  z  7 .
�3 3 �
Câu 70.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm
A(2;3;1) , B (1; 2;0) , C (1;1; 2) . H là trực tâm tam giác ABC , khi đó, độ dài đoạn
OH bằng
870
870
870
870
A.
B.
C.
D.
.
.
.
.
12
14
16
15
Hướng dẫn giải
H ( x; y; z ) là trực tâm của ABC  BH  AC , CH  AB, H �( ABC )
uuur uuur
�BH . AC  0

r
�
29
1
�uuur uuu
� 2
2 29 1 �
870
��
CH . AB  0
� �x  ; y  ; z    H �
.
; ;  �� OH 
�
15
3
r uuur uuur
� 15
15 15 3 �
15
�
�uuu
�
�
AB, AC �
. AH  0
��

Trang
20/22

Câu 71.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A(3;1;0) , B
nằm trên mặt phẳng (Oxy ) và có hoành độ dương, C nằm trên trục Oz và
H (2;1;1) là trực tâm của tam giác ABC . Toạ độ các điểm B , C thỏa mãn yêu
cầu bài toán là:
�3  177 17  177 � � 3  177 �
A. B �
;
;0 �
,C �
0;0;
.
�
� 4
2
� �
4
�
�3  177 17  177 � � 3  177 �
B. B �
;
;0 �
,C �
0;0;
.
�
� 4
2

� �
4
�
�3  177 17  177 � � 3  177 �
C. B �
;
;0 �
,C �
0;0;
.
�
� 4
2
� �
4
�
�3  177 17  177 � � 3  177 �
D. B �
;
;0 �
,C �
0;0;
.
�
� 4
2
� �
4
�
Hướng dẫn giải

Giả sử B ( x; y;0) �(Oxy ), C (0;0; z ) �Oz .
uuur uuur
uuur uuur
�AH .BC  0
�AH  BC
r
�
r
�uuur uuu
�uuur uuu
CH . AB  0
 �
CH  AB
H là trực tâm của tam giác ABC  �
r uuur uuur
�uuu
�uuur uuur uuur
AB
,
AC
,
AH
�
o�
n
gpha�
n
g
AB, AH �
. AC  0

��
�
�
�
�x  z  0
�
3  177
17  177
3  177
2x  y  7  0
 �
 x
;y 
;z 
4
2
4
�
3x  3 y  yz  z  0
�
�3  177 17  177 � � 3  177 �
 B�
;
;0 �
,C �
0;0;
.
�
� 4
2

� �
4
�
Câu 72.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình vuông ABCD , B (3;0;8) ,
D(5; 4;0) . Biết đỉnh A thuộc mặt phẳng ( Oxy ) và có tọa độ là những số
uuu
r uuu
r
nguyên, khi đó CA  CB bằng:
A. 5 10.

B. 6 10.

C. 10 6.
D. 10 5.
Hướng dẫn giải
I
(

1;

2; 4) , BD  12 và điểm A thuộc mặt phẳng (Oxy )
Ta có trung điểm BD là
nên A(a; b;0) .
�AB 2  AD 2
�
(a  3) 2  b 2  82  (a  5) 2  (b  4) 2
�
�

2 �
�
ABCD là hình vuông
� 2 �1
� �
(a  1) 2  (b  2)2  42  36
�AI  � BD � �
�2
�
�
� 17
a
�
b  4  2a
a

1
�
�
� 5
��
��
� A(1; 2; 0) hoặc
hoặc �
b2
14
( a  1) 2  (6  2a ) 2  20
�
�
�

b
�
5
17 14 �
�
A� ;
;0 �(loại). Với A(1; 2;0)  C (3; 6;8) .
�5 5
�
Câu 73.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC , biết A(5;3; 1) ,
B (2;3; 4) , C (3;1; 2) . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng:
A. 9  2 6.
B. 9  3 6.
C. 9  3 6.
D. 9  2 6.
Hướng dẫn giải
2
2
2
Ta có AC  BC  9  9  AB � tam giác ABC vuông tại C .

Trang
21/22


1
CA.CB
S ABC
3.3 2

2
r



 93 6
Suy ra:
1
p
3
2

3

3
 AB  BC  CA
2
Câu 74.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm
�
M  3;0;0  , N  m, n, 0  , P  0;0; p  . Biết MN  13, MON
 600 , thể tích tứ diện OMNP
bằng 3. Giá trị của biểu thức A  m  2n 2  p 2 bằng
A. 29.
B. 27.
C. 28.
Hướng dẫn giải
uuuu
r
uuur

uuuu
r uuur
OM   3;0;0  , ON   m; n;0  � OM .ON  3m
uuuu
r uuur
uuuu
r uuur uuuu
r uuur
OM .ON
1
m
1
0
OM .ON  OM . ON cos 60 � uuuu

r uuur  �
OM . ON 2
m2  n2 2
MN 

 m  3

2

D. 30.

 n 2  13

Suy ra m  2; n  �2 3
uuuu

r uuur uuu
r
1
�
�
OM
,
ON
.
OP

6
3
p
�
V

6 3p  3 � p  � 3
�
�
6
Vậy A  2  2.12  3  29.
Câu 75.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(2;3;1) , B (1; 2;0) ,
C (1;1; 2) . Gọi I  a; b; c  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tính giá
trị biểu thức P  15a  30b  75c
A. 48.
B. 50.
C. 52.
D. 46.

Hướng dẫn giải
I ( x; y; z ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  AI  BI  CI , I �( ABC )
�AI 2  BI 2
� 2
61
1
14 61 1 �
� 14
�
��
CI  BI 2
� �x  ; y  ; z   � I � ; ;  �� P  50.
30
3
15 30 3 �
r uuur uur
� 15
�
�uuu
�
�
AB
,
AC
AI

0
�
��

Trang
22/22