9 ôn tập chương 3 hình học tiết 1

CHUYÊN ĐỀ GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN

BÀI 16. ÔN TẬP CHƯƠNG III (TIẾT 1)
Bài 1. Cho nửa đường tròn (O, R), đường kính AB. Kẻ 2 tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn.
Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại M cắt Ax, By tại C, D. MA cắt OC tại E, MB cắt OD tại F.
a) Chứng minh rằng: Tứ giác OEMF là hình chữ nhật
b) Chứng minh rằng: AC, BD không đổi.
c) Cho BD = R 3 . Tính AM.
Giải

a) Ta có: CM, CA là 2 tiếp tuyến của đường tròn (O) (gt)
=> CM = CA
Mà OM = OA

(t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)
(= R)

=> OC là trung trực của AM (dấu hiệu nhận biết trung trực đoạn thẳng)
=> OC ⊥ AM

=> 𝑂𝐸𝑀 = 900

Chứng minh tương tự: 𝑂𝐹𝑀 = 900
Xét đường tròn (O) có: 𝐴𝑀𝐵 = 900

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tứ giác OEMF có:
𝐸𝑀𝐹 = 900

(cmt)

𝑂𝐸𝑀 = 900

(cmt)

𝑂𝐹𝑀 = 900

(cmt)

=> Tứ giác OEMF là hình chữ nhật

(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật).

1 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa –
Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!


b) Ta có: 𝐶𝑂𝐷 = 900

(tứ giác OEMF là hình chữ nhật)

=> ∆ COD vuông tại O
Mà OM ⊥ CD (CD là tiếp tuyến của đường tròn (O) )
=> CM.MD = MO2

(hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Mà CM = CA ; MD = BD

(cmt)

MO = R
=> CA. BD = R2 không đổi.
c) ∆ OBD vuông tại B.
BF ⊥ OD
1

=>


𝐵𝐹 2
1
𝐵𝐹 2

1

=

=

 BF2 =
 BF =

(cmt)

𝐵𝑂 2
1
𝑅2

+

+

1

(hệ thức lượng trong tam giác vuông)

𝐵𝐷 2

1

=

3𝑅 2

4
3𝑅 2

3𝑅 2
4
𝑅 3
2

=> MB = 2BF = 𝑅 3
∆ MAB vuông tại M

(F là trung điểm MB)

(𝐴𝑀𝐵 = 900 )

=> AM2 + MB2 = AB2

(Định lý Py-ta-go)

 AM2 = (2R)2 – (𝑅 3)2 = R2
 AM = R
Vậy AM = R.
Bài 2. Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O . Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau
tại H. Kẻ đường kính AA’. Gọi I là trung điểm BC.
a) Chứng minh rằng: tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh rằng: H, I, A’ thẳng hàng
c) Chứng minh rằng: DH. DA = DB. DC
d) Cho B, C cố định, A di động trên cung lớn BC. Tìm vị trí của A để SAEF max.
Giải

2 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa –
Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!


a) Ta có: 𝐵𝐹𝐶 = 900

(CF ⊥ AB)

𝐵𝐸𝐶 = 900

(BE ⊥ AC)

=> 𝐵𝐹𝐶 = 𝐵𝐸𝐶 (= 900 )
Xét tứ giác BFEC có:
𝐵𝐹𝐶 = 𝐵𝐸𝐶

(cmt)

Mà F, E là 2 đỉnh kề nhau.
=> Tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp.
b) Xét đường tròn (O) có: 𝐴𝐶𝐴′ = 900

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> A’C ⊥ AC
Mà BH ⊥ AC

(gt)

=> BH // A’C
Chứng minh tương tự: CH // A’B
Xét tứ giác BHCA’ có:
CH // A’B

(cmt)

BH // A’C

(cmt)

=> Tứ giác BHCA’ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
=> BC, HA’ cắt nhau tại trung điểm.
Mà I là trung điểm BC.
=> I là trung điểm HA’
=> H, I, A’ thẳng hàng.

c) Ta có: 𝐷𝐴𝐶 + 𝐴𝐶𝐷 = 900

(∆ ADC vuông tại D)

𝐸𝐵𝐶 + 𝐸𝐶𝐵 = 900

(∆ BEC vuông tại E)

3 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa –
Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!


=> 𝐷𝐴𝐶 = 𝐷𝐵𝐻

(cùng phụ 𝐴𝐶𝐵 )

Xét ∆ DBH và ∆ DAC có:
𝐵𝐷𝐻 = 𝐴𝐷𝐶 = 900
𝐷𝐵𝐻 = 𝐷𝐴𝐶

(cmt)

=> ∆ DBH ∽ ∆ DAC
=>

𝐷𝐵
𝐷𝐴

𝐷𝐻

=

(g.g)

(định nghĩa 2 tam giác đồng dạng)

𝐷𝐶

=> DA. DH = DB. DC

(đpcm)

d) Ta có: 𝐵𝐶𝐸 + 𝐵𝐹𝐸 = 1800
Mà 𝐴𝐹𝐸 + 𝐵𝐹𝐸 = 1800

(tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp)
(2 góc kề bù)

=> 𝐴𝐹𝐸 = 𝐴𝐶𝐵
Xét ∆ AEF và ∆ ABC có:
𝐵𝐴𝐶 chung
𝐴𝐹𝐸 = 𝐴𝐶𝐵

(cmt)

=> ∆ AEF ∽ ∆ ABC (g.g)
=>

𝑆𝐴𝐸𝐹

𝐴𝐸

= ( )2

𝑆𝐴𝐵𝐶

𝐴𝐵

 𝑆𝐴𝐸𝐹 = (
𝐵𝐴𝐶 =

1
2

𝐴𝐸 2
)
𝐴𝐵

. 𝑆𝐴𝐵𝐶 = cos2A . 𝑆𝐴𝐵𝐶

𝑠đ 𝑐𝑢𝑛𝑔 𝐵𝐶

không đổi.

=> cos2 A không đổi.
𝑆𝐴𝐸𝐹 max

 𝑆𝐴𝐵𝐶 lớn nhất.

1

𝑆𝐴𝐵𝐶 = 2 𝐴𝐷. 𝐵𝐶
Mà BC không đổi
SABC max  AD max

 A là điểm chính giữa cung BC.

4 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa –
Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!