3 vị trí tương đối của hai đường thẳng tiết 1

VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƢỜNG THẲNG (TIẾT 1).
"Cácthầytoáncóthểlàm video vềtoán 10 nângcaophầnlƣợnggiác dc ko ạ"

CHUYÊN ĐỀ: PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
họcsinhcógửinguyệnvọngđến page

MÔN TOÁN: LỚP 10

THẦY GIÁO: NGUYỄN CÔNG CHÍNH

I/ Kiến thức cần nhớ
1. Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng
*) Cho hai đường thẳng có phương trình tổng quát như sau:
1 : a1 x  b1 y  c1  0  a12  b12  0 
 2 : a2 x  b2 y  c2  0  a2 2  b2 2  0 

a1 x  b1 y  c1  0
Ta xét nghiệm của hệ phương trình: 
a2 x  b2 y  c2  0
+ Hệ có một nghiệm  x0 ; y0  duy nhất  1 cắt  2 tại M  x0 ; y0 
+ Hệ vô nghiệm (No_solution)  1 / /  2
+ Hệ có vô số nghiệm (Infinite sol)  1   2
*) Minh họa hình vẽ:

1   2  M  x0 ; y0 

1 / /  2

1   2

a1 b1


a2 b2

a1 b1 c1
 
a2 b2 c2

a1 b1 c1
 
a2 b2 c2

(Giả sử a2b2c2  0 )
2. Hình chiếu vuông góc của một điểm trên đƣờng thẳng
Tìm H là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng d

1

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Cách 1: + Lập phương trình đường thẳng d ' qua A và vuông góc với d .
+ H  d  d '. Tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình  d  d ' .
Cách 2: + Gọi H  d có tọa độ theo tham số t hoặc theo 1 ẩn x; y
+ Do AH  d  AH .ud  0  Tìm ra t  H  x; y 
3. Điểm đối xứng qua đƣờng thẳng
Tìm A ' là điểm đối xứng với A qua đường thẳng d
+ Tìm hình chiếu vuông góc của A trên d là điểm H
+ Sử dụng công thức trung điểm: H 

A  A'

 A '  2 H  A.
2

4. Tìm đƣờng thẳng d ' đối xứng với d qua điểm I cho trƣớc
Cách 1: + Nếu I  d  d '  d
+ Nếu I  d  d '/ / d  d ' : ax  by  c '  0
+ Lấy điểm A  d rồi tìm B đối xứng với A qua I  B  d '.
Thay B và d ' tìm được c '.
Cách 2: Lấy M  x; y  bất kì thuộc đường thẳng d . Gọi M '  x '; y ' đối xứng với M qua I .

 x  x '  2 xI
 x  2 xI  x '

Áp dụng công thức trung điểm ta có: 
 y  y '  2 yI
 y  2 xI  y '
Thế  x; y  vào d ta thu được phương trình d '.
II/ Các dạng bài tập
Dạng 1: Xét vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng
Bài 1: Cho đường thẳng d có phương trình: x  y  1  0 . Xét vị trí tương đối của d với mỗ đường thẳng sau:
a) 1 : 2 x  y  4  0

b) 2 : x  y  1  0

c) 3 : 2 x  2 y  2  0

Giải:
a) Ta có:

1 1 1



 d cắt 1  M  x0 ; y0  là nghiệm của hệ phương trình:
2 1 4

x  y 1  0
 x  y  1  x  1



2 x  y  4  0
2 x  y  4
y  2
Vậy d  1  M 1;2 .

2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


b) Cách 1: Ta có:

1 1 1


 d / / 2
1 1 1

Cách 2: Giao điểm của d và  2 là nghiệm của hệ phương trình:

x  y 1  0
 x  y  1

 hệ phương trình vô nghiệm

 x  y 1  0
x  y  1
 d  2    d / / 2

c) Cách 1: Ta có:

1 1 1

  d  3
2 2 2

Cách 2: Giao điểm của d và  2 là nghiệm của hệ phương trình:

x  y 1  0
x  y 1  0
 x  y  1


 hệ phương trình có vô số nghiệm

2 x  2 y  2  0
x  y 1  0
 x  y  1

 d và  3 có vô số điểm chung  d  3 .

Bài 2: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

d : 4 x  10 y  1  0
a)  1
d 2 : x  y  2  0

 :12 x  6 y  10  0
b)  1
 2 : 2 x  y  5  0

d3 : 8 x  10 y  12  0

c) 
 x  6  5t
d
:

4

 y  6  4t


Giải:
a)

4 10 1

  d1 cắt d 2
1
1

2

Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình:

3

x
4 x  10 y  1  0
4 x  10  1 

 3 1
2


 d1  d 2   ;  

 2 2
x  y  2  0
 x  y  2
y   1


2
b)

12 6 10

  1 / /  2
2 1 5

c) ud4   5;  4   nd4   4;5 
qua A  6;6 
d4 
 PTTQ : 4  x  6   5  y  6   0  4 x  5 y  6  0
nd4   4;5 
8 10 12
 
 d3  d 4
4 5
6
Bài 3: Xét vị trí tương đối và tìm giao điểm nếu có của các đường thẳng sau:

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


 x  1  5t
 x  6  5t '
và d ' 
a) d 
 y  2  4t
 y  2  4t '
 x  1  4t
và d2 : 2 x  4 y  10  0
b) d1 
 y  2  2t
 x  2  t
x y 3
và  2 : 

c) 1 
1
2
 y  2  2t
Giải:
x 1 y  2

 4  x  1  5  y  2   4 x  5 y  6  0
5
4
x6 y2
d ':

 4  x  6   5  y  2   4 x  5 y  14  0
5
4
4 5 6
Do  
 d / /d '
4 5 14
x 1 y  2
b) d1 :

 2  x  1  4  y  2   2 x  4 y  10  0
4
2
2 4 10
Do  
 d1  d 2
2 4 10

a) d :

 x  2  t
1

c) Giải hệ phương trình:    y  2  2t    2  t   2  2t  3
 2
2 x  y  3

 4  2t  2t  1  5  4t  t 

5
4

 3 9
 1   2  M   ;  .
 4 2
*) Tổng quát:

 x  x0  at
 x '  x0 ' a ' t '
1 : PTTS : 
;  2 : PTTS : 
 y  y0  bt
 y '  y0 ' b ' t '

 1
x  x '
t 


Giải hệ: 

y  y '
t ' 
 2

  t; t '  duy nhất  1   2
  t; t ' không tồn tại  1 / /  2
  t; t '  R  1   2

4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


3 : ax  by  c  0

Tương tự cho 
 x  x0  at . Thế 1 và  3 .
1 :  y  y  bt
0



Bài 4: Biện luận theo tham số m vị trí tương đối của 2 đường thẳng?
1 : mx  y  2  0 ; 2 : x  my  m  1  0.

Giải:

mx  y  2  0

Cách 1: Xét hệ phương trình 
 x  my  m  1  0
+ TH1:

a b
m 1
  
 m  0  m2  1  m  1. Khi đo 1  2
a' b'
1 m

+ TH2:

a b c
m 1
2
    
a' b' c'
1 m m 1

m  1

 m  m  1  2  m  1. Khi đó 1 / /  2 .
 m  1  2m


+ TH3:

a b c
m 1

2
    
a' b' c'
1 m m 1

m  1
m  1


 m  1. Khi đó 1   2 .
2m  m  1 m  1
Cách 2:
D

m 1
 m.m  1.1  m 2  1
1 m

Dx 

2 1
 2m  11  m   2m  1  m   m  1
1 m m

Dy 

m 2
 m 1  m    2  .1  m 2  m  2    m  1 m  2 
1 1 m

D  0
 m 1 
 Hệ phương trình vô nghiệm  1 / /  2
 Dx  0 ; Dy  0
D  0
 m  1  
 Hệ phương trình có vô số nghiệm  1   2
 Dx  Dy  0
+ Hệ phương trình có nghiệm  x; y  : D  0  m  1  1   2 .
Bài 5: Với giá trị nào của tham số m thì 2 đường thẳng vuông góc?

5

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


 : mx  y  8  0
a)  1
 2 : x  y  m  0

d1 : 2 x  4 y  1  0

b) 

 x  1  mt
d 2 :  y  3   m  1 t




Giải:
 1   2 có thể cắt hoặc không.

 1  2  n1  n2  n1.n2  0
a) n1   m;1 ; n2  1;  1
1   2  n1 .n2  0  1.m  1.  1  0  m  1  0  m  1
b) nd1   2;  4 
ud2   m;   m  1   nd2   m  1; m 
d1  d 2  nd1 .nd2  0  2.  m  1  4.m  0  2m  2  0  m  1.
Bài 6: Tìm m để hai đường thẳng sau trùng nhau?

d1 : 3x  4 y  10  0
a) 
2
d 2 :  2m  1 x  m y  10  0
 x  2  mt
 x  2  2t
b) 1 : 
; 2 : 
6  1  2m  t
 y  3t
Giải:
a) nd1   3; 4  ; nd2   2m  1; m 2 
3
4 10
 2  1
2m  1 m 10
 2m  1  3  m  2
 2


m2
m  4
m  4
d1  d 2 

b) u1   2;  3 ; M  2;0   1
u2   m;1  2m 
Để 1   2  u1 , u2 cùng phương và M   2

3
2
 m  1  2m
2  4m  3m
2  m
m  2




m  2  tm 
 2  mt  2
 mt  4
 2t  4  t  2  
6  1  2m t  0
 1  2m t  6
3t  6
t  2 t  2  t duy nhat 











6

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Vậy m  2.
Bài 7: Tìm m để các cặp đường thẳng sau song song?

d1 : mx   m  1 y  2m  0
a) 

d 2 : 2 x  y  1  0

 x  8   m  1 t
và 2 : mx  2 y  14  0
b) 1 
y

10

t




 x  1  mt '
 x  m  2t
và  4 
c) 3 
2
y  m t '

 y  1   m  1 t
Giải:
a) nd1   m; m  1 ; nd2   2;1
d1 / / d 2 

 2m  2  m
m  2
m m  1 2m




m2
2
1
1
 4m   m
m  0

Vậy m  2 thì d1 / / d 2 .

b) u1     m  1 ;1  n1  1; m  1 ; M  8;10   1 ; n2   m; 2 
n , n cung phuong
1 / /  2   1 2
 M   2
m  1

m.  m  1  2.1  0
m  m  2  0
m  1
 m  2


 

8m  2.10  14  0
 m  2
3
8m  6  0

m



4
2

Vậy m  1 hoặc m  2 thì 1 / /  2 .

c) u3   2; m 2  1 ; M  m;1   3 ; u4   m;1
 2 m2  1

m  1
 m3  m  2  0
u , u cung phuong


4
3 / /  4   3
 m  1  mt '  m  1  mt '
1  m  t '

 M   4
1  m  t '


m  1
m  1


 1  1  1.t '  t '  0  m  1  tm 
1  1  t '
t '  0


Vậy m  1 thì 3 / /  4 .

7

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!

Bài 8: Tìm m để các cặp đường thẳng sau cắt nhau?
 : 2 x  3my  10  0
a)  1
 2 : mx  4 y  1  0

d1 : 2 x  3 y  4  0

b)   x  2  3t
d 2  y  1  4mt
 

 x  2  2t
 x  1  2mt '
c) d3 : 
; d4 : 
 y  1  mt
y  3 t'

Giải:
a) n1   2;  3m  ; n2   m; 4 
1   2 

2 3m
8

 3m2  8  m2 
 dung m 
m
4
3

Vậy m  R thì 1   2 .
b) nd1   2;  3 ; ud2   3;  4m   nd2   4m;  3
d1  d 2 

Vậy m 

2
3
1

 4m  2  m 
4m 3
2

1
thì d1  d 2 .
2

c) ud3   2; m  ; ud4   2m;  1   2m;1
d3  d 4 

2
m
  2m2  2  m2  1  m  1
2m 1

Vậy m  1 thì d3  d4 .

8

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!