21 tìm điểm thuộc elip thỏa mãn điều kiện cho trước tiết 1

TÌM ĐIỂM THUỘC ELIP THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƢỚC – TIẾT 1.
"Cácthầytoáncóthểlàm video vềtoán 10 nângcaophầnlƣợnggiác dc ko ạ"

CHUYÊN ĐỀ: PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
họcsinhcógửinguyệnvọngđến page

MÔN TOÁN: LỚP 10

THẦY GIÁO: NGUYỄN CÔNG CHÍNH

I/ Nhắc lại kiến thức
*) Để giải quyết tốt các bài toán liên quan tới Elip (đặc biệt là tìm điểm và viết phương trình chính tắc) ta cần
nắm chắc kiến thức cơ bản sau:
- Định nghĩa:  E   M | MF1  MF2  2a
- Phương trình chính tắc:  E  :

x2 y 2

1
a 2 b2

- Các thông số cơ bản:


+ Độ dài:  a 2  b2  c 2


a  b  0 
;

a  c  0 



Trục lớn: A1 A2  2a



Trục nhỏ: B1B2  2b



Tiêu cự: F1F2  2c

+ Tâm sai: e 

c
1
a

+ Diện tích hình Elip: S E   ab  dvdt 
+ Đường chuẩn: x  

a
e

 x  a
+ Hình chữ nhật cơ sở giới hạn bởi: 
 y  b

 Diện tích hình chữ nhật bằng 4ab  dvdt  ; Chu vi hình chữ nhật bằng 4  a  b 

+ M  x0 ; y0    E  
MF1  a 

x0 2 y0 2

 1 ; MF1  MF2  2a ; Chu vi tam giác MF1F2 bằng 2  a  c 
a 2 b2

cx0
cx
 a  ex0 ; MF2  a  0  a  ex0 ; F1MF2  900  OM  c
a
a

+ M  a sin t; b cos t 

1

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


*) Phƣơng pháp:
+ Khi gặp bài toán “Tìm điểm M   E  thỏa mãn điều kiện (*) cho trước, về cơ bản ta cần thiết lập hai phương
trình mà dữ kiện M   E  luôn cho ta một phương trình đầu tiên, kết hợp với dữ kiện cố định a 2  b2  c2 khi
cần thiết. Nếu cần trong một số bài toán ta có thể tham số hóa M   E  theo một ẩn.
VD: M   E   M  a sin t; b cos t  ( t : tham số)
+ Đề bài thường kết hợp hai dạng tìm điểm M và viết phương trình chính tắc của  E  nên ta cần cắt nghĩa
chính xác dữ kiện đề bài cho dựa trên các kiến thức cơ bản đã học liên quan đến Elip.
+ Cần biến đổi thành thạo để giải phương trình, hệ phương trình nhanh chóng, loại nghiệm a, b, c  0 hay dựa
vào điều kiện để kết luận điểm M có tọa độ phù hợp yêu cầu bài toán.

+ Cần nhớ một số tính chất hình học của các hình hay gặp (hình vuông, hình chữ nhật, hình tròn, tam giác, tứ
giác,…) để cắt nghĩa dữ kiện chính xác hơn.
II/ Các bài tập quan trọng
Dạng 1: Tìm điểm M thuộc  E  biết MF1 ; MF2
Bài 1: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho Elip  E  :

x2 y 2

 1. Gọi F1 , F2 là hai tiêu điểm của  E  ; A, B   E  sao
25 16

cho AF1  BF2  8. Tính AF2  BF1 ?
Giải:

 E  có

a  5 ; b  4  c  52  42  3

 AF1  AF2  2a  10
A, B   E   
 BF1  BF2  2a  10
 AF1  AF2  BF1  BF2  10  10
  AF1  BF2    AF2  BF1   20

 AF2  BF1  20   AF1  BF2   20  8  12

Vậy AF2  BF1  12.

x2 y 2


 1. Gọi F1 , F2 là hai tiêu điểm của  E  trong đó F1 có
9
5
hoành độ âm. Tìm tọa độ điểm M   E  sao cho MF1  2MF2 ?
Bài 2: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho  E  :

Giải:

 E  có

a 2  9  a  3 ; b2  5  b  5

 c2  9  5  4  c  2  e 

2

c 2

a 3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


 MF1  MF2  2a  6 3MF2  6
MF  2

 2

 MF1  2MF2
MF1  2MF2

MF1  4

cx
2
3
 MF1  4
Từ 
 a  0  4  3  .x0  4  x0 
a
3
2

 M  x0 ; y0    E 
2

3
2
2
 
x
y
y2
15
15
2
Mà 0  0  1     0  1  y0 2   y0  
9
4
9
5

4
2
 3 15 
3
15 
Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán: M1  ;
;
M
;



 .
2
2 4 
2
4





x2 y 2

 1. Gọi F1 , F2 là hai tiêu điểm của  E  và F1 có hoành độ
8
4
âm. Tìm điểm M   E  sao cho MF1  MF2  2?
Bài 3: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho  E  :

Giải:

 E  có

2

c
2
2
a  8  a  2 2
 c2  8  4  4  c  2  e  

 2
a 2 2
2

b  4  b  2

 MF1  MF2  2
  a  ex0    a  ex0   2

 M  x0 ; y0    E 
1
1
 2ex0  2  ex0  1  x0  
 2
e
2
2

Thay x0  2 vào  E  ta được:

2 y0 2

 1  y0 2  3  y0   3
8 4

Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán: M1
Bài 4: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho Elip  E  :





2;  3 ; M 2





2; 3 .

x2 y 2
1
1
8

 1. Tìm điểm M   E  sao cho:



?
25 9
MF1 MF2 F1 F2
Giải:

2

c 4
a  25  a  5
E
có
 c 2  25  9  16  c  4  e  
  2
a 5

b  9  b  3

F1F2  2c  2.4  8

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


c
4

 MF1  a  a x0  5  5 x0

c

4

Gọi M  x0 ; y0    E    MF2  a  x0  5  x0
a
5

 MF1  MF2  2a  10


Theo yêu cầu bài toán:

1
1
8
8


 1
MF1 MF2 F1F2 8

MF1  MF2
10
1
1
4 
4 
MF1  MF2

 5  x0  .  5  x0 
5 

5 

16 x0 2
4 
4 

  5  x0  5  x0   10  25 
 10
5 
5 
25




 x0 2 

15.25
5 15
3
 x0  
 y0   .
16
4
4

Vậy có 4 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
 5 15 3 
 5 15 3 
 5 15 3 

 5 15 3 
M1 
;  ; M 2 
;  ; M 3 
;   ; M 4 
;   .
4
4
4
 4 4
 4
 4
 4

Bài 5: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho Elip  E  : 4 x 2  9 y 2  36 có hai tiêu điểm F1 , F2 ( F1 có hoành độ âm).
Tìm điểm M   E  sao cho MF12  2MF2 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó?
Giải:

a 2  9  a  3
x2 y 2
 E  : 4 x  9 y  36    1   2
9
4
b  4  b  2
2

2

 c2  a 2  b2  9  4  5  c  5  e 

c
5

a
3


 MF  a  ex
0
 1
Gọi M  x0 ; y0    E    MF2  a  ex0
 2
2
 x0  y0  1 *
 9
4

Từ *  0 

x0 2
 1  0  x0 2  9  3  x0  3
9

Khi đó ta xét biểu thức:

4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!

P  MF12  2MF2 2   3  ex0   2  3  ex0   3a 2  2aex0  3e2 x0 2
2

2

2

 5 2
5
5 2
 3.3  2.3.
x0  3. 
 x0  27  2 5 x0  x0
3
3
 3 
5 
6
81 
 .  x0 2 
x0  
3 
5
5
2

Xét hàm số y  f  x0   x0 2 

6
81

x0 
 3  x0  3
5
5

 3 108 
Đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh I 
;
 , a  0  bề lõm hướng lên trên
 5 5 
Bảng biến thiên:

3

x

3
5

3

y  f  x0 
108
5

 min f  x0  

108
5 108
 min P  .

 36
5
3 5

Dấu “=” xảy ra khi x0 

3
16
4
, thay vào  E   y0 2   y0  
5
5
5

4 
 3 4 
 3
Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán: M1 
;
;
 ; M2 
.
5
 5 5
 5
Dạng 2: Tìm điểm M   E  biết yếu tố về góc

x2 y 2
 1. Tìm M   E  sao cho F1MF2  900 ( F1 , F2 là các
Bài 1: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho Elip  E  : 

25 9
tiêu điểm)?
Giải:

 E  có

a  5 ; b  3  c  52  32  4

x0 2 y0 2

 1 1
Gọi M  x0 ; y0    E  
25 9

5

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


F1MF2  900  MF1F2 vuông tại M  OM 

1
F1F2  c
2

 OM  4  x0 2  y0 2  4  x0 2  y0 2  16  2 
 x0 2  y0 2  16
 y0 2  16  x0 2



Từ 1 ,  2  ta có hệ phương trình:  x 2 y 2
  x 2 16  x 2
0
0
0
0

1

1


9
9
 25
 25

 y 2  16  x0 2
2
2
 y0  16  x0
 0
 2
  2 175
2
9 x0  400  25 x0  225
 x0 
16

 2 175

 x0  16
5 7
9

 x0  
; y0  
4
4
 y 2  81
 0 16
5 7 9
 5 7 9
 5 7 9
5 7 9
Vậy có 4 điểm M thỏa mãn: M1 
;  ; M 2  
;  ; M 3  
;   ; M 4 
;   .
4 4
4
4
4
 4 4


 4

Bài 2: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho Elip  E  :

x2 y 2

 1. Tìm M   E  sao cho MF1F2  600 ( F1 , F2 là hai
9
5

tiêu điểm)?
Giải:

 E  có


 F1  2;0 
a 3; b 5 c 2
; F1F2  2c  4
F
2;0



2


2

 MF1  3  3 x0

2

M  x0 ; y0    E    MF2  3  x0

3

2
2
 x0
y
 0  1 1

5
 9
MF1F2  600. Áp dụng định lý cosin ta được:

MF2 2  MF12  F1F2 2  2.MF1.F1F2 .cos 600
2

2

2  
2 
2  1


  3  x0    3  x0   42  2.  3  x0  .4.
3  
3 
3  2


4
4

8
 9  4 x0  x0 2  9  4 x0  x0 2  16  12  x0
9
9
3

6

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!




16
3
x0  4  x0   thay vào (1) ta được:
3
4
2

 3
2
 
 4   y0  1  y 2  75  y   5 5
0
0
9
5
16
4

 3 5 5
 3 5 5
Vậy có 2 điểm M thỏa mãn: M1   ;
;
M

  ; 
 .
2
 4 4 
4
4





Bài 3: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho Elip  E  :
tiêu điểm của  E  )?

x2 y 2

 1. Tìm M   E  sao cho F1MF2  1200 ( F1 , F2 là 2
100 25

Giải:

 E  có

a 2  100  a  10

3

 c 2  75  c  5 3  e 
; F1F2  10 3
 2
2
b

25

b

5




 MF1  10 

Gọi M  x0 ; y0    E   
 MF  10 
2



3
x0
2
3
x0

2

Áp dụng định lý cosin trong MF1F2 ta có:

F1 F2 2  MF12  MF2 2  2MF1.MF2 .cos F1MF2
2

2



3  
3 
3 
3 
 10 3  10 
x0   10 
x0   2. 10 
x0 
10

x0  .cos1200

2
2
2
2

 





3
3
3
 300  100  10 3x0  x0 2  100  10 3x0  x0 2  100  x0 2
4
4
4
3
 x0 2  0  x0 2  0  x0  0
4





2

Mà M   E  

x0 2 y0 2
y2
02

1
 0  1  y0 2  25  y0  5
100 25
100 25

Vậy có 2 điểm M thỏa mãn: M1  0;5 ; M 2  0; 5 .

7

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!