4 giới hạn dãy số dạng chứa lũy thừa mũ

BÀI GIẢNG: GIỚI HẠN DÃY SỐ DẠNG CHỨA LŨY THỪA – MŨ
CHUYÊN ĐỀ: GIỚI HẠN
"Cácthầytoáncóthểlàm video vềtoán 10 nângcaophầnlượnggiác dc ko ạ"

MÔN TOÁN: LỚP 11

họcsinhcógửinguyệnvọngđến page

THẦY GIÁO: NGUYỄN CÔNG CHÍNH – GV TUYENSINH247.COM
A. PHƯƠNG PHÁP VÀ KINH NGHIỆM GIẢI NHANH
I. Giới hạn dãy số chứa lũy thừa
1. Phương pháp làm bài
*) Giới hạn đặc biệt và quy tắc
lim

c
0
nk

k 

*

, c  const 

lim n k    k 

lim n   ; lim 3 n  

lim

nk
0
qn

*



 q  1

Nếu lim un  a  a  0  và lim vn   thì lim un vn    a  0  hay   a  0 
2. Kinh nghiệm giải nhanh
L  lim  an  bn 1  cn  2  ...  d 

a. Giải nhanh bằng phương pháp nhìn dấu hạng tử bậc cao nhất của đa thức đơn giản:
 a  0  L  
 a  0  L  

Tương tự áp dụng cho lim P  n  ; lim 3 P  n  ;...
b. Kiểm tra kết quả bằng máy tính cầm tay
+ Ta nhập nguyên công thức dãy số trong lim
+ CALC X  1010 hoặc nhỏ hơn.
+ Ấn bằng ''  '' : 10duong   ;  10duong  
c. Sử dụng phương pháp vô cùng lớn
Phương pháp giải tổng quát thầy Nguyễn Công Chính khuyên dùng đã được kiểm nghiệm hiệu quả đặc biệt
trong những bài phức tạp
*) Cơ sở phương pháp:
L  lim  an  bn 1  cn  2  ...  d   lim  an 

Ta chỉ giữ lại vô cùng lớn bậc cao nhất của đa thức, gạch bỏ hết các vô cùng lớn bậc thấp hơn vì không đáng kể.

Từ đó dễ dàng kết luận giới hạn.

1

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


II. Giới hạn dãy số chứa mũ
1. Phương pháp làm bài
P  n
A.a n  B.b n
*) L  lim
 lim
Q  n
C.c n  D.d n

+ Với dạng vô định   ta chia cả tử và mẫu cho q n với q là cơ số lớn nhất. Hoặc đặt a n , c n ra ngoài làm

thừa số chung với a, c lần lượt là cơ số lớn nhất của tử và mẫu.
*) L  lim P  n   lim  A.a n  B.b n 

+ Ta đặt a n với a là cơ số lớn nhất ra ngoài làm thừa số chung.
+ Áp dụng các giới hạn đặc biệt đã học:
lim q n  0

 q  1 ; lim q

*) L  lim

A.a n  B.bn

A.a n
A 

lim
 lim  q n 
n
n
n
C.c  D.d
C.c
C 

Với q 

n

   q  1

a
( a, c là 2 cơ số có giá trị tuyệt đối lớn nhất)
c

Nếu q  1  L  0 ; q  1  L   ; q  1  L 

A
C

Chú ý: Dãy số un  q n với q  1 không tồn tại giới hạn.
2. Kinh nghiệm giải nhanh
a. Sử dụng phương pháp nhẩm nhan vô cùng lớn ta có:

*) L  lim  A.a n  B.b n   lim  A.a n  với a là cơ số có giá trị tuyệt đối lớn nhất.

b. Kiểm tra kết quả bằng máy tính cầm tay
+ Ta nhập nguyên công thức dãy số trong lim
+ CALC X  102
+ Ấn bằng ''  '' : 10duong   ;  10duong  .
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
1. Bài tập tự luyện
Bài 1: Tìm các giới hạn sau:
a. lim  3n 4  n 2  7 n  11

2



b. lim n n  2n2  3 n



Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


d. lim 3 8n6  n 4  1

c. lim 4n3  n 2  n  2

Giải:
 
1 7 11  
a. lim  3n 4  n 2  7n  11  lim  n 4 .  3  2  3  4    

n n n 
 

lim n4  

Vì:  
1 7 11 
lim  3  n2  n3  n4   3  0

 
*) Phương pháp vô cùng lớn: L

 3n   
4

*) Sử dụng máy tính cầm tay:

  1
3 
b. lim n n  2n2  3 n  lim n2 . 
2
   
n3  
  n





lim n 2  


Vì:   1
3 
2
  2  0
lim 
3
n
n

 
*) Phương pháp vô cùng lớn: L

 2n   
2


1 1 2
1 1 2

c. lim 4n3  n2  n  2  lim n3  4   2  3   lim n n . 4   2  3   
n n n 
n n n 


lim n n  

Vì: 
1 1 2
lim 4   2  3  2  0

n n n

*) Phương pháp vô cùng lớn: L





4n3  


1 1
1 1 

d. lim 3 8n6  n4  1  lim 3 n6 .  8  2  6   lim n2 . 3 8  2  6   
n n 
n n 



lim n 2  

Vì 
1 1
lim 3 8  2  6  2  0
n n


3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!




*) Phương pháp vô cùng lớn: L

3



8n6  2n2  

Bài 2: Tìm các giới hạn sau:
a. lim  n100  n99  ...  n  1

b. lim 2.3n  n 2  n  2

c. lim



4

n2020  1  5 n2025  2



Giải:


1
1
1 

a. lim  n100  n99  ...  n  1  lim  n100 .  1   ...  99  100    
n
n
n 



lim n100  

Vì:  
1
1
1 
lim  1  n  ...  n99  n100   1  0

 
*) Phương pháp vô cùng lớn: L

 n   
100



n2 n 2 
n2 n 2 
b. lim 2.3n  n2  n  2  lim 3n.  2  n  n  n   lim  3n . 2  n  n  n   

3 3 3 
3 3 3 



 

lim 3n  

Vì 
2
lim 2  n  n  2  2  0

3n 3n 3n
*) Phương pháp vô cùng lớn: L

c. lim



4





2.3n  


1 

2 


n2020  1  5 n2025  2  lim  4 n2020 . 1  2020   5 n2025 .  1  2025  
n  
 n 






1
2 
 lim  n505 . 4 1  2020  n405 . 5 1  2025   
n
n 

  505
1 
lim  n . 4 1  2020   
n
 

Vì: 
2 
  405 5
lim

n

.

1


  
 
n 2025 
 

Bài 3: Tìm các giới hạn sau:
a. lim  5n  3n1 

 

b. lim  4n  2n 

c. lim

n.2n  1
n2

Giải:

4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


a. lim  5  3

n 1

n

n
 n
 3  
  lim 5  3.3   lim 5 . 1  3.  5    
 
 
n

n

lim  5n   

n
Vì:  
3 
lim
1

3.
 
    1  3.0  1  0
 5  

 
*) Phương pháp vô cùng lớn: L

 5   
n

*) Sử dụng máy tính cầm tay:

n

1  
n 

b. lim  4   2   lim  4  . 1      
  2  



n

n

Vì lim  4 n  không tồn tại
Vậy giới hạn đề bài không tồn tại.
*) Phương pháp vô cùng lớn: L

 4      lim
n

 2n 1 
n.2n  1
 lim   2   

c. lim
n2
 n n 
*) Sử dụng máy tính cầm tay:

Bài 4: Tìm các giới hạn sau:

2n1  1
a. lim n
3 2

2n.  2  3n  2 n 
4.3n  7n1  1
b. lim
c. lim n1
2.5n  7n
3 .  3  6.4n 

3
d. lim

n

 2   2n  2  1
2

22 n 1.  6n  1

4

2

Giải:
a. lim

2n1  1
3n  2

Chia cả tử và mẫu cho 3n :

5

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


n

n

 2 1
2.     
n 1
n
2 1
2.2  1
2.0  0
3
3
L  lim n
 lim n

    n 
0
3 2
3 2
1  2.0
1
1  2.  
3
Phương pháp nhẩm nhanh vô cùng lớn:
2n 1  1
2.2n  1
L  lim n
 lim n
L
3 2
3 2

n

2.2n
2
 2.    0
n
3
3

Sử dụng máy tính cầm tay:

b. lim

4.3n  7n1  1
2.5n  7n

Chia cả tử và mẫu cho 7 n :
n

n

3
1
4.    7   
n
n 1
4.3  7  1
7
 7   4.0  7  0  7
L  lim
 lim  
n
n
n
2.5  7
2.0  1
5
2.    1
7
Phương pháp nhẩm nhanh vô cùng lớn: L

c. lim

2n.  2  3n  2 n 
3n 1.  3  6.4n 

7.7n
7
7n

2.2n  6n  1
 lim n
3  2.12n

Chia cả tử và mẫu cho 12n :
n

n

n

1 1  1 
2.        
n
n
2.2  6  1
2.0  0  0
6
2
12
L  lim n
 lim    n    
0

n
3  2.12
02
1
  2
4
n

Phương pháp nhẩm nhanh vô cùng lớn: L

6

6n
1 1
 .   0
n
2.12
2 2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


3
d. lim

n

 2   2n  2  1
2

22 n 1.  6n  1

4

2

3
 lim

n

2

 2  .  4.2n  1
2

2.4n.  6n  1

4

2

4

2

 3n  2 
 4.2n  1 
 3n  2   4.2n  1 
9 .  n  .16n. 


 n  .

n
3 
2n 


 3   2

 lim

lim
2
2
n
n
 6 1 
 6 1 
2.4n.36n.  n 
2.  n 
 6 
 6 

4

n

2

4

2 
1 

2
2
1  n  .  4  n 
1  0 . 4  0

3  
2 

 lim

 128
2
1

2.
1

0


2. 1  n 
 6 
Sử dụng phương pháp vô cùng lớn:

3

L  lim

n

 2   2n  2  1
2

22 n 1.  6n  1

2

4

3
 lim

n

 2  .  4.2n  1
2

2.4n.  6n  1

2

4

L

9n.44.16n

 128
2.4n.36n

2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Tính giới hạn L  lim 3n 2  2 n 1 
A. L  3

B. L  1

C. L  

D. L  

Giải:
Phương pháp nhẩm nhanh vô cùng lớn: L 3n2  
Chọn C.
Câu 2: Tính giới hạn L  lim 1  2n 2  n 4 
A. L  1

B. L  1

C. L  

D. L  

Giải:
Phương pháp nhẩm nhanh vô cùng lớn: L

 n   
4

Chọn D.
2
3
Câu 3: Tính giới hạn L  lim  2n  1 1  n2   2n5 



A. L  8

B. L  8

C. L  

D. L  

Giải:
Phương pháp nhẩm nhanh vô cùng lớn: L

7

 2n 3 .  n2 2   8n7  



Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Chọn C.
Câu 4: Tính giới hạn: L  lim 1  n 



99

 n  2   n  3  4  n 
98

96




C. L  

B. L  8

A. L  8

97

D. L  

Giải:
Phương pháp nhẩm nhanh vô cùng lớn: L

 n 99 .n98 .n97  n 96   n390  



Chọn D.

Câu 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

a

thuộc khoảng

 10;10 

để giới hạn

L  lim 5n  3  a 2  2 n3   
A. 19

B. 16

C. 5

D. 10
Giải:

Phương pháp nhẩm nhanh vô cùng lớn:

 3  a 2  2  n3     3  a 2  2   0  a 2  2  0


 a   2 a 10;10 ; a


 a  9;...; 2
 a  2

L

Vậy có tất cả 16 giá trị thỏa mãn.
Chọn B.

2  5n 2
Câu 6: Tính giới hạn L  lim n
3  2.5n
A. L  

25
2

B. L 

5
2

C. L  

D. L  

5
2

Giải:
Phương pháp nhẩm nhanh vô cùng lớn: L

5n 2
25


n
2.5
2

Chọn A.
Câu 7: Tính giới hạn L  lim
A. L  10

6n  2.5 n1
3n  5n

B. L  2

C. L  0

D. L  

Giải:

8

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


n

Phương pháp nhẩm nhanh vô cùng lớn: L

6n  6 

    
5n  5 

Chọn D.
Câu 8: Tính giới hạn L  lim

3n  4.2 n1  3
3.2 n  4 n
C. L  

B. L  1

A. L  0

D. L  

Giải:
n

Phương pháp nhẩm nhanh vô cùng lớn: L

3n  3 
  0
4n  4 

Chọn A.
Câu 9: Tính giới hạn

 3
L  lim

A. L  4

 2n  2
5.2n 1  4n
n

C. L  

B. L  0

D. L  

Giải:
Phương pháp nhẩm nhanh vô cùng lớn: L

 3 

n

4n

n

 3
    0
 4

Chọn B.
Câu 10: Tính giới hạn

A. L  

 5
L  lim

 4n
5.3n  4n
n

B. L  

C. L  1

D. Không tồn tại

Giải:
Phương pháp nhẩm nhanh vô cùng lớn: L

 5
4n

n

n

 5
     ???
 4

 Không tồn tại giới hạn.

Chọn D.
n
Câu 11: Tìm giới hạn L  lim 3 n  5 



A. L  3

C. L  

B. L  3  5

D. L  

Giải:
Phương pháp nhẩm nhanh vô cùng lớn: L

9

 3   
n

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Chọn C.



Câu 12: Tính giới hạn L  lim  1  3


A. L  



n

 2 

C. L  1  3  

B. Không tồn tại

D. L  

Giải:
Phương pháp nhẩm nhanh vô cùng lớn: L

    
n

Chọn D.
Câu 13: Tính giới hạn L  lim
A. L  2

B. L 

n2  22 n1
3n  4n

1
3

C. L  

D. L  

Giải:
Phương pháp nhẩm nhanh vô cùng lớn: L

 2.4n 
 n 2
 4 

Chọn A.
Câu 14: Tính giới hạn L  lim 3 2 2 n  n  2
A. L  4

C. L  

B. L  3 4

D. L  

Giải:
Phương pháp nhẩm nhanh vô cùng lớn: L

 4   
3

n

Chọn D.
Câu 15: Tìm tất cả số giá trị a nguyên thuộc  0; 2020  để L  lim
A. 2007

B. 2008

C. 2010

4n  2n 1
1

n
na
3 4
1024

D. 2016

Giải:
Phương pháp nhẩm nhanh vô cùng lớn:
L

4n
1
1
 a 
 2a  1024  a  10
na

4
2 1024

Kết hợp a   0; 2020  ; a 

 a  10;11;...; 2019

Vậy có tất cả 2010 giá trị a thỏa mãn

10

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Chọn C.

 

 5 n  2n1

2n 2  3  a 5
a

Câu 16: Biết rằng giới hạn L  lim
tối giản. Tính
 2

 c với a, b, c  ;
n


1
 n

n

1
b
b
 5.2  5

2
2
2
S  a b c .
A. 26

 

C. 21

B. 30

D. 31
Giải:

Phương pháp nhẩm nhanh vô cùng lớn:

L

 5

 5

n


n 1

2n 2
1
5

2
2
2
n
5
5

a  1

 b  5  S  a 2  b 2  c 2  12  52  22  30
c  2

Chọn B.
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tìm các giới hạn sau:



a. lim  n3  2n5  3n  2 

b. lim 2n2  3n n  2 n5  3 2n4

c. lim 4 4n 4  n6  n  2

d. lim 3 27n3  8n5  n  1



Bài 2: Tìm các giới hạn sau:
a. lim 3  n  1 .  3  n   n25
10

15

b. lim 5n  2  2n  3

c. lim



3

1  27n2004  5 2  32n2005



Bài 3: Tìm các giới hạn sau:
a. lim  n  2  42 n 



b. lim  2 3




2 n 1



 

n 1

5

n
n 1
 c. lim 3  2

n.3n

Bài 4: Tìm các giới hạn sau:
a.

 2 
lim

3

n 2
3 1
n

2020n  2.2022n
c. lim
1011n 1.  3  2n 

11

2.  4   5n 2  23n
n

b. lim

6n   7 

2
d. lim
3

n2
n

n

 1 .  32 n  2 

 2  6n1  5

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!