1 thi online luyện tập giới hạn của dãy số có lời giải chi tiết

THI ONLINE – GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
CHUYÊN ĐỀ: GIỚI HẠN
MÔN TOÁN LỚP 11

BIÊN SOẠN: BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM

MỤC TIÊU ĐỀ THI:
1
1
1


- Sử dụng giới hạn của hàm số có giới hạn 0  lim  0, lim
 0, lim 3  0,...  để tính giới hạn của một số
n
n
n


hàm khác.

- Nắm vững lí thuyết về giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực.
Cấu trúc đề thi:
20 câu hỏi trắc nghiệm bao gồm 4 cấp độ:
NB
6

Câu 1 (NB) Cho u n 
A.

1

.
5

TH
6

VD
6

VD cao
2

1  4n
. Khi đó lim u n bằng?
5n
4
B.  .
5

C.

4
.
5

1
D.  .
5

C.

4
.
5

3
D.  .
4

C.

3
.
4

3
D.  .
4

C.

3
.
5

D. .

n 2  3n
Câu 2 (NB) Cho u n 
. Khi đó lim u n bằng?

1  4n 2
1
B.  .
4

A. 1.
Câu 3 (NB) Cho u n 
A. 0.

n 2  3n
. Khi đó lim u n bằng?
1  4n 3
1
B.  .
4

3n  5n
Câu 4 (NB) Cho u n 
. Khi đó lim u n bằng?
5n
A. 0.

B. 1.

Câu 5 (NB) Trong các giới hạn sau giới hạn nào bằng -1?

1 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


A. lim

2n 2  3
.
2n 3  4

B. lim

2n 2  3
.
2n 2  1

C. lim

2n 2  3
.
2n 2  1

D. lim

2n 3  3
.
2n 2  1

Câu 6 (NB) Dãy số nào dưới đây có giới hạn bằng  ?
A. u n 

n 2  2n
.
5n  5n 2

B. u n 

Câu 7 (TH) Giới hạn lim

1 n2
.
5n  5

B.

2
.
3
3

2  25n 5

5
.
2

2n 4  n 2  1

B.



bằng?

C. 2.

2.



D.

1
.
2



n 2  n  n bằng?

1
B.  .
2

Câu 12 (TH) Giới hạn lim

D. 1.

C. 1.

2n 2  n  4

A. 1.
Câu 11 (TH) Giới hạn lim

3
D.  .
2

C. 5.

B.

Câu 10 (TH) Giới hạn lim

D. .

C. 0.



n 2  n  1  n 2  1 bằng?
1
B.  .
2

Câu 13 (VD) Cho dãy số (u n ) với u n 

A. 0.

bằng?

n 2  3n  5  9n 2  3
bằng?
2n  1

5
.
2

A. 0.

1 n2
.
5n  5

2

B. 1.

Câu 9 (TH) Giới hạn lim

A. .

D. u n 

1
D.  .
3

C. 1.

 2  5n   n  1
Câu 8 (TH) Giới hạn lim

A.

1  2n
.
5n  5n 2

2n 1  3.5n  5
bằng?
3.2n  9.5n

A. 1.

A. 4.

C. u n 

B.

1
.
2

C. 

1
.
2

1
1

1
1


 ... 
1.2 2.3 3.4
n. n 1
C. 1.



D.

1
.
2

. Khi đó lim u n bằng?

D. 2.

2 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Câu 14 (VD) Cho dãy số (u n ) với u n 

A.

1
.

2

B.

1
1
1
1


 ... 
1.3 3.5 5.7
2n 1 . 2n
 1

1
.
4



. Khi đó lim u n bằng?

C. 1.

D. 2.

1
1 
1


Câu 15 (VD) Cho dãy số (u n ) với u n  1  2 . 1  2 ... 1  2  . Khi đó lim u n bằng?
 2  3   n 

A.

4
.
3

B.

1
.
2

Câu 16 (VD) Cho dãy số (u n ) với u n 
A. .

C. 1.

 2n 1 1 3n  . Khi đó
3

B. 1.

n 3  5n 1

C. .

D. 2.

lim u n bằng?

D.

2
.
5

u 1  2

Câu 17 (VD) Cho dãy số (u n ) xác định bởi 
. Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?
un 1
 u n 1  2 ,  n  1

A. Dãy (u n ) là dãy giảm tới 1 khi n   .

B. Dãy (u n ) là dãy tăng tới 1 khi n   .

C. Không tồn tại giới hạn của dãy (u n ) .

D. Cả 3 đáp án trên đều sai.

1

u 1  2
Câu 18 (VD) Cho dãy số (u n ) xác định bởi 
. Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?

 u n 1  1 ,  n  1
2  un

A. Dãy (u n ) là dãy giảm tới 1 khi n   .

B. Dãy (u n ) là dãy tăng tới 1 khi n   .

C. Không tồn tại giới hạn của dãy (u n ) .

D. Cả 3 đáp án trên đều sai.


u 1  1
Câu 19 (VDC) Cho dãy số (u n ) xác định bởi 
. Đặt
u

u
u

1
u

2
u

3

1,
n


1






n
n
n
n

 n 1
n
1
. Tính lim v n bằng?
vn  
i 1 u i  2
A. .

B. 0.

C.

1
.
2

D. 1.

3 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


1

u 1  2
n
1

Câu 20 (VDC) Cho dãy số (u n ) xác định bởi 
.
Đặt
. Khẳng định
v


n
2
2
u
u

4u

u
i

1
 u 

n
n
n
i
,  n  1
n 1


2
nào sau đây đúng?
A. Không tồn tại giới hạn của v n .

B. v n có giới hạn hữu hạn là  .

C. v n có giới hạn hữu hạn và lim v n  0.

D. v n có giới hạn hữu hạn và lim v n  6.

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
THỰC HIỆN : BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM
1. B
11. B

2. B
12. B

3. A
13. C

4. B

14. A

5. B
15. B

6. B
16. A

7. D
17. A

8. C
18. B

9. D
19. C

10. B
20. D

Câu 1
Phương pháp:
Chia cả tử mẫu của phân thức cho n.
Cách giải:
1
4
1  4n
4
4
n

lim u n  lim
 lim

 .
5n
5
5
5

Chọn B.
Câu 2
Phương pháp:
Chia cả tử mẫu của phân thức cho n 2 .
Cách giải:

3
n  3n
n  1  1.
lim u n  lim
 lim
2
1
1  4n
4
 4 4
2
n
2

1

Chọn B.
Câu 3
Phương pháp:
4 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Chia cả tử mẫu của phân thức cho n 3 .
Cách giải:

1 3

n 2  3n
n n 2  0  0.
lim u n  lim

lim
1
1  4n 3
 4 4
3
n
Chọn A.
Câu 4
Phương pháp:
Chia cả tử mẫu của phân thức cho 5n .
Cách giải:
n

3

  1 1
n
n
3 5
5
lim u n  lim
 lim  
  1.
n
5
1
1
Chọn B.
Câu 5
Phương pháp:
Chia cả tử mẫu của phân thức cho bậc cao nhất của tử và mẫu.
Cách giải:

2 3
 3
2n  3
n
n  0  0.
lim
 lim
3
4
2n  4
2  3 2
n

3
2 2
2n 2  3
n  2  1.
lim
 lim
2
1
2n  1
2  2 2
n
3
2 2
2n 2  3
n  2  1.
lim 2
 lim
1
2n  1
2 2 2
n
3
2 3
2n 3  3
n  .
lim 2
 lim
2 1
2n  1


n n3
2

Chọn B.
Câu 6.
5 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Phương pháp:
Chia cả tử mẫu của phân thức cho n 2 .
Cách giải:

2
n  2n
n  1.
lim
 lim
2
5
5n  5n
5 5
n
1
1
2
1 n2
n
lim
 lim
 .

5 5
5n  5
 2
n n
1 2

2
1  2n
n
n  0  0.
lim
 lim
2
5
5n  5n
5 5
n
1
1
2
1 n2
lim
 lim n
 .
5 5
5n  5

n n2
2

1

Chọn B.
Câu 7
Phương pháp:
Chia cả tử mẫu của phân thức cho 5n .
Cách giải:
n

n

2
1
2.    3  5.  
2n 1  3.5n  5
2.2n  3.5n  5
5
 5   3   1 .
lim
 lim
 lim  
n
n
n
n
n
3.2  9.5
3.2  9.5
9
3

2
3.    9
5
Chọn D.
Câu 8
Phương pháp:
Chia cả tử mẫu của phân thức cho n 5 .
Cách giải:

2

(2  5n)3 (n  1) 2
.
  5
3
2
3
2
(2  5n) (n  1)
n

n
n
lim
 lim
 lim 
2
2  25n 5
2  25n 5
n5

n5

3

2

 1
. 1  
3 2
 n   ( 5) .1  5 .
25
 25

6 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Chọn C.
Câu 9
Phương pháp:
- Nhân liên hợp,
- Chia cả tử mẫu của phân thức cho n 2 .
Cách giải:
Cách 1:

n 2  3n  5  9n 2  3
lim
 lim
2n  1
 lim





(n 2  3n  5)  (9n 2  3)





n 2  3n  5  9n 2  3 .(2n  1)

3 8
 2
n
n
 lim

3 5
3
 1  2  9  2
n n
n




n 2  3n  5  9n 2  3 .

8 


1
 2  
n


 lim



n 2  3n  5  9n 2  3





n 2  3n  5  9n 2  3 .(2n  1)



8n 2  3n  8



n 2  3n  5  9n 2  3 .(2n  1)

8
 1.
4.2

Cách 2: Chia cả tử và mẫu cho n.

n 2  3n  5  9n 2  3
lim
 lim
2n  1

1

3 5
3
 2  9 2
n n
n  lim 1  3  1
1
2
2
n

Chọn D.
Câu 10
Phương pháp:
Chia cả tử mẫu của phân thức cho n 2 .
Cách giải:

1 4
 2
2n  n  4
n

n  2  2.
lim
 lim
4
2
1 1
2
2n  n  1
2 2  4
n n
2

2

Chọn B.
Câu 11
Phương pháp:
7 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


- Nhân liên hợp,
- Chia cả tử mẫu của phân thức cho n.
Cách giải:

lim



n n n
2






 lim

n2  n  n .

n2  n  n

n n n
2

  lim n

2

 n  n2

n n n
2

n

 lim

n n n
2

1
1
1

 .
2
2
1
1 1
n

 lim

Chọn B.
Câu 12
Phương pháp:
- Nhân liên hợp,
- Chia cả tử mẫu của phân thức cho n.
Cách giải:

lim



n2  n 1  n2


 1   lim

n2  n 1  n2 1

 lim

n2  n 1  n2 1

 lim

n2  n 1  n2 1



n2  n 1  n2 1



n2  n 1  n2 1
n
n2  n 1  n2 1

 lim

1
1

2
1 1
1
1  2  1 2
n n

n

Chọn B.
Chú ý và sai lầm: Nhiều học sinh có lời giải như sau:

1 1
1
lim n 2  n  1  n 2  1  lim n  1   2  1  2
n n
n

ta không định nghĩa giới hạn .0  0






  n 1  1  0 , đây là 1 lời giải sai. Lưu ý rằng chúng


Câu 13
Phương pháp:
- Rút gọn biểu thức, rồi tính giới hạn.
Cách giải:

8 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


un 

1
1
1
1
2 1 3  2 4  3
n 1 n


 ... 



 ... 
1.2 2.3 3.4
n.  n  1 1.2
2.3
3.4
n.  n  1

1 1 1 1 1
1
1
1
 1       ....  
 1
2 2 3 3 4
n n 1
n 1
1 


 lim u n  lim 1 
  1.
 n 1 
Chọn C.
Câu 14
Phương pháp:
- Rút gọn biểu thức, rồi tính giới hạn.
Cách giải:

un 

 2n  1   2n  1 
1
1
1
1
1  3 1 5  3 7  5


 ... 
 . 


 ... 

1.3 3.5 5.7
 2n  1 .  2n  1 2  1.3 3.5 5.7
 2n  1 .  2n  1 

1  1 1 1 1 1
1
1  1 
1 
 . 1       ... 

  . 1 

2  3 3 5 5 7
2n  1 2n  1  2  2n  1 
1
1  1
 lim u n  lim 1 
 .
2  2n  1  2
Chọn A.
Câu 15
Phương pháp:
- Rút gọn biểu thức, rồi tính giới hạn.
Cách giải:
2
2
2
1
1 
1   22  1   32  1   n 2  1   2  1 3  1 ...  n  1

u n  1  2  . 1  2  ... 1  2    2  .  2  ...  2  
22.32...n 2
 2  3   n   2  3   n 



1.3 .  2.4  .  3.5 .  4.6  ...  n  1 .  n  1
2

2

2 .3 ...n

2



n 1
2n

1
n 1
1
 lim u n  lim
 lim n  .
2n
2
2
1

Chọn B.
Câu 16
Phương pháp:

- Chia cả tử mẫu của phân thức cho n 2 .
Cách giải:
9 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


6n 2  n  1
1 1
6   2
2
2n  11  3n 

6n  n  1
n
n n  .
lim u n  lim
 lim
 lim
lim
3 3
3 3
3
1 5 1
n  5n  1
n  5n  1
n  5n  1
3
3
 
6
n3 n5 n6

n
2

Chọn A.
3

Chú ý và sai lầm: Khi chia cả tử và mẫu cho n 2 thì dưới mẫu ta có

n 3  5n  1 3 n 3  5n  1

, nhiều học sinh
n2
n6

nhầm lẫn không cho n2 vào trong căn bậc ba mà chỉ thực hiện phép chia

3

n 3  5n  1
n2

Câu 17.
Phương pháp:
- Tính u2 , u3 ,... , từ đó dự đoán công thức tổng quát của dãy số.
- Rút ra nhận xét.
Cách giải:

2  1 3 21  1
  1
2

2
2
3
1
5 22  1
u3  2
  2
2
4
2
5
1
9 23  1
4
u4 
  3
2
8
2
u2 

Chứng minh bằng quy nạp: u n 1 

2n  1
, n  1; 2;... (*) :
2n

u1  1 2  1 21  1
* Với n  1 : u 2 


 1 : (*) đúng
2
2
2
* Giả sử (*) đúng với n  k 1 , tức là u k 

u k 1 

2k  1
ta chứng minh (*) đúng với n  k , tức là cần chứng minh
2k

2k 1  1
2k 1

2k  1
2k  1  2k

1
k
k
uk 1
2.2k  1 2k 1  1
2
2



 k 1
Ta có : u k 1 

2
2
2
2k 1
2
Theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh được (*).

10 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Như vậy, công thức tổng quát của dãy (u n ) là: u n 
Từ (*) ta có u n 1  u n  1 

2n 1  1
1
 1  n 1 , n  1; 2;... (*)
n 1
2
2

1 
1  1
1
 1  n 1   n  n 1  0 n  1, 2,...   u n  là dãy giảm và
n
2  2  2 2

1 

lim u n  lim 1  n 1   1  (u n ) là dãy giảm tới 1 khi n  

 2 

Chọn A.
Câu 18
Phương pháp:
- Tính u2 , u3 ,... , từ đó dự đoán công thức tổng quát của dãy số.
- Rút ra nhận xét.
Cách giải:

1

u 1  2
(u n ) : 
 u n 1  1 , (n  1)
2  un

1

1 2
2
 
1 3 3 2 1
2
2 2
1
1 3
3
u3 
  
2 4 4 3 1

2
3 3
u2 



Chứng minh bằng quy nạp: u n 

n
, n  1;2;... (*)
n 1

* Với n  1,n  2 : (*) đúng
* Giả sử (*) đúng với n  k , tức là u k 

u k 1 

k
, ta chứng minh (*) đúng với n  k 1 , tức là cần chứng minh
k 1

k 1
k2

Ta có: u k 1 

1
1
1
k 1




2k  2  k k  2
2  uk 2  k
k 1
k 1

Theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh được (*) đúng với mọi n = 1, 2, …
Như vậy, công thức tổng quát của dãy (u n ) là: u n 

n
, n  1;2;... (*)
n 1

11 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Từ (*) ta có u n 1  u n 

lim u n  lim

n 1
n
n 2  2n  1  n 2  2n
1



  u n  là dãy tăng và

n  2 n 1
 n  2  n  1
 n  2  n  1

n
1
 lim
 1  (u n ) là dãy tăng tới 1 khi n  
1
n 1
1
n

Chọn B.
Câu 19
Phương pháp:
- Biến đổi, rút gọn biểu thức vn rồi tính giới hạn.
Cách giải:

u 2  1.2.3.4  1  5, u n  0, n  1; 2;...
Ta có:

u n 1  u n  u n  1 u n  2  u n  3  1 


u

2
n

 3u n   2  u n2  3u n   1 
2

u

2
n

u

2
n

 3u n  u n2  3u n  2   1

 3u n  1  u n2  3u n  1
2

 u n 1  1  u n2  3u n  2   u n  1 u n  2 



1
u n 1  1



1

 u n  1 u n  2 



1
1

un 1 un  2

1
1
1


u n  2 u n  1 u n 1  1
n

Do đó: v n  
i 1

n
 1
1
1 
1
1
1
1
 



 

u i  2 i 1  u i  1 u i 1  1  u1  1 u n 1  1 2 u n 1  1

Xét hiệu u n 1  u n  u n2  3u n  1  u n   u n  1  0   u n  là dãy tăng.
2

Giả sử lim u n 1  lim u n  a  0  a  a 2  3a  1  a 2  2a  1  0  a  1  ktm   lim u n  
 lim v n 

1
1
1
1

 0  .
2 u n 1  1 2
2

Chọn C.
Câu 20
Phương pháp:
- Biến đổi, rút gọn biểu thức vn rồi tính giới hạn.
Cách giải:
12 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


u 2n  4u n  u n
u n2  4u n  u n
u n2  u n

 un 

 0   u n  là dãy tăng.
Xét u n 1  u n 
2
2
2

Giả sử lim u n  a thì a  0 và a 

a 2  4a  a
 a  a 2  4a  a 2  a 2  4a  a  0 (vô lý).
2

Suy ra lim u n  

u 2n 1  4u n 1  u n 1
un 
 2u n  u n 1  u n2 1  4u n 1
2
 4u 2n  4u n u n 1  u n2 1  u n2 1  4u n 1  u n2   u n  1 u n 1


1
1
1
1




2
u n  u n  1 u n 1 u n 1 u n

Do đó

 1
1
1 1 1   1 1 
1  1 1 1
1






...


 6





 2  
2
2
u1  u1 u 2   u 2 u 3 
un

i 1 u i
 u n 1 u n  u1 u1 u n

1 
 lim v n  lim  6    6  0  6.
un 

n

vn  

Chọn D.

13 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!