10 khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (cấp 1 và 2)

KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU (cấp 1 và 2).
CHUYÊN ĐỀ 2: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
"Cácthầytoáncóthểlàm video vềtoán
10 nângcaophầnlượnggiác
dc ko ạ"
MÔN TOÁN:
LỚP 11
họcsinhcógửinguyệnvọngđến page

THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ

I. Lý thuyết
*) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau (đường thẳng vừa không song song vừa không cắt nhau) a
và b
+) Cấp độ 1: 1 trong 2 đường thẳng a, b chính là đường cao hình chóp

 Dạng: Từ chân đường cao của hình chóp, ta dựng đường vuông góc
xuống đường kia.
Ví dụ: Cho hình chóp SABCD, đáy là hình vuông cạnh a, SC tạo với đáy một góc 45o
a) Tính d(SA, SB)
b) Tính d(SA, DI). Biết I  BC : BI = 2IC
Hướng dẫn giải:
a) d(SA, BD) = ?
+) Dựng: AO  BD  AO  d  SA, BD 
 AO  BD
+) Chứng minh: 
 AO  SA

 AO là đường vuông góc chung của SA và BD
 AO  d  SA, BD 
+) Tính:

ABCD là hình vuông  AC  2  AO 

a 2
2

b) d(SA, DI) = ?
+) Dựng: AH  DI  AH  d  SA, DI 
 AH  DI
) Chung minh : 
 AH  d  SA, DI 
 AH  SA

+) Tính:

1

TruycậptrangđểhọcToán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốtnhất!


1
a2
SAID   AD  CD 
2
2
1
a2
SAID   AH  ID 
2
2

1
a2
    CD 2  IC 2 
2
2
2
1
a 10 a
  AH 

2
3
2
3a
 AH 
10
+) Cấp độ 2: d(a; b) = ?
- Bước 1: Tìm (P) chứa b, sao cho  P   a
- Bước 2:  P   a   H   Dựng từ H 1 đoạn HK vuông góc với b  HK = d(a; b)
VD1: Cho hình chóp SABC có mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SAC) cùng vuông góc với đáy.
SA =
a 3 . Đáy là tam giác đều cạnh a. I là trung điểm của AB. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CI.
Hướng dẫn giải:
d(SB; CI) = ?
+) Dựng:

SB   SAB 
CI  SA
 CI   SAB    I 


CI  AB

Từ I kẻ IH  SB  IH  d  SB; CI 

 IH  SB
) Chung minh : 
 IH  d  SB; CI 
 IH  CI  CI   SAB  
+) Tính: BHI đồng dạng với BAS (g.g)

IH SA
IH a 3
a a 3 a 3



 IH  

a
IB SB
2a
2 2a
4
2
a 3
 d  SB; CI  
4


VD2: Cho hình chóp đều SABCD, đáy tâm O, cạnh a. SC 

a 6
. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AC và
2

SD.

2

TruycậptrangđểhọcToán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốtnhất!


Hướng dẫn giải:
d(AC; SD) = ?
+) Dựng:

SD   SBD 
 AC  BD
 AC   SBD   O

 AC  SO
Từ O kẻ OH  SD  OH  d  AC ; SD 

OH  SD
)Chung minh : 
 OH  d  AC; SD 
OH  AC  AC   SBD  
+) Tính BD  a 2  OD 

1
a 2
BD 
2
2

+) Xét  v SCO : SO2  SC 2  OC 2 
+) Xét  v SOD :

3a 2 a 2
  a 2  SO  a
2
2

1
1
1
1
1
3
a


 2  2  2  OH 
2
2
2
a
OH
SO OD

a
a
3
2

VD3: (D-2014) Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông cân tại A. Tam giác SBC là tam giác đều cạnh
a. Mặt phẳng (SBC) vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa SA và BC
Hướng dẫn giải:

)  SBC    ABC   AB
SH  AB  SH   ABC 
) d  SA; BC   ?
SA   SAH   BC
 BC  SH
 BC   SAH   H 

 BC  AH
HK  SA  d  SA; BC   HK

+) Xét tam giác đều SBC  SH 

a 3
2

+) Do AH là trung tuyến của tam giác vuông ABC

3

TruycậptrangđểhọcToán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốtnhất!

1
a
BC  AH 
2
2
1
1
1
1
1
13
a 3
)


 2  2  2  HK 
2
2
2
3a
a
HK
SH
AH
3a
13
4
4

 AH 

VD4: (A-2010) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a. M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD.
CN cắt DM tại H, SH vuông góc với đáy, SH = a 3 . Tính khoẳng cách giữa hai đường thẳng DM và SC.
Hướng dẫn giải:
d(DM; SC) = ?
CND  DMA  c.g .c 
 ADM  DCN
ADM  MDC  90  CH  DM
 SC   SCH   DM  H   HK  SC  HK  d  DM ; SC 

Tính:
2

5a 2
a 5
a
+) Xét  v DCN : CN  DN  DC     a 2 
 CN 
4
2
2
2

HC.CN  CD 2  HC 

2

2

CD 2
a2
2a


CN
a 5
5
2

+) Xét  v SHC :
1
1
1
1
1
19
2a 3


 2 2 
 HK 
2
2
2
2
4a
HK
SH

HC
3a
12a
19
5

4

TruycậptrangđểhọcToán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốtnhất!