Tiểu luận Hình không gian chuyên đề - Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP
&
HÌNH KHÔNG GIAN
Chuyên đề:
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
GV hướng dẫn: Ngô Hải Dương
Người thực hiện: Nhóm 2.
GVHD: Ngô Hải Dương
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Năm học: 2014 - 2015
MỤC LỤC
Phần 1: DANH SÁCH NHÓM 2 3
I. Lý thuyết 4
3.Phương pháp:
II. Bài tập 9
III. DẠng bài tẬp liên quan 27
Nhóm 2 2
GVHD: Ngô Hải Dương
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Phần 1: DANH SÁCH NHÓM 2
1. Từ Thị Hồng Linh (nhóm trưởng)
2. Hoàng Nữ Khánh Huyền
3. Trần Phương Hà
4. Ngô Thị Minh Hạnh
5. Trần Hải Yến
6. Hà Thị Khánh Huyền
7. Trần Thị Thanh Tâm
8. Hà Thị Huyền Trang
Nhóm 2 3
GVHD: Ngô Hải Dương

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
I. LÝ THUYẾT
1. ĐỊNH NGHĨA:
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Nếu đường thẳng ∆ cắt cả a và b lần lượt tại
M và N, đồng thời vuông góc với cả a và b thì đường thẳng ∆ được gọi là đường vuông
góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b. Độ dài đoạn MN được gọi là khoảng
cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.
2. Cách tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b:
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Khi đó có
duy nhất một mặt phẳng (P) chứa b và song song với
a. Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua a và vuông góc với a.
Mặt phẳng (Q) cắt b tại N và cắt (P) theo giao tuyến
a’. Gọi ∆ là đường thẳng đi qua N và vuông góc với
(P) thì ∆ nằm trong (Q) và cắt a tại M. Như vậy ∆
cùng vuông góc với cả a và B nên ∆ chính là đường
vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và
b, còn độ dài đoạn MN được gọi là khoảng cách giữa
hai đường thẳng chéo nhau a và b.
Nhận xét:
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong
hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn lại.
( )
( )
( , ) ( , )
( )
b
d a b d a
a song song
α
α

α
⊂
⇒ =
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt
phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
( )
( )
( )
( ) ( )
,b
( , ) ( , )
( )
a
d a b d
song song
β
α β
α
α
β
⊂ ⊂
⇒ =
3. Phương pháp:
1. Nếu a
⊥
b thì ta dựng đoạn vuông góc chung của
a và b như sau:
- Dựng mặt phẳng (α) chứa b và vuông góc với a.
- Tìm giao điểm O= a (α)
- Dựng OH

⊥
b
- Đoạn OH chính là đoạn vuông góc chung của a và b.
Nhóm 2 4
GVHD: Ngô Hải Dương
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Ví dụ : Minh Hạnh
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA
⊥
mp(ABCD) và SA= a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
1, SB và AD;
2, BD và SC;
Giải:
1) Ta có DA
⊥
mp(SAB) tại A. Gọi AH là đường
cao của tam giác vuông SAB thì AH là đường
vuông góc chung của SB và AD.
Vậy d(SB;AD) = AH.
Vì tam giác SAB vuông cân nên
1 2
2 2
a
AH SB
= =
2) Ta có BD
⊥
mp(SAC) tại tâm O của hình
vuông ABCD. Kẻ OK
⊥

SK (K
∈
SC) thì OK là
đường vuông góc chung của BD và SC.
Như vậy d (BD;SC) =
1
2
OK AI
=
(ở đó AI là
đường cao của tam giác vuông SAC), mặt khác
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 6
2 3
a
AI
AI AS AC a a
= + = + ⇒ =

Vậy
6
( ; )
6
a
d BD SC =
.
Nhóm 2 5
GVHD: Ngô Hải Dương
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
2. Nếu a, b không vuông góc với nhau thì có thể dựng đoạn vuông góc chung của

a và b theo hai cách sau:
Cách 1:
- Dựng mặt phẳng (α) chứa b và song song với a.
- Dựng hình chiếu A’ của một điểm A
∈
(α)
trên(α).
- Trong (α) dựng đường thẳng a’ đi qua A’ và
song song với a cắt b tại M, từ M dựng đường thẳng
song song với AA’ cắt a tại N. Đoạn MN chính là
đoạn vuông góc chung của a và b.

Ví dụ 1:Phương Hà
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh bằng a. SA vuông góc với đáy góc tạo
bởi SC và (SAB) là
°
30
. Gọi E,F là trung điểm của BC và SD. Tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng chéo nhau DE và CF.
Giải:

Vì



⊥
⊥
SACB
ABCB

⇒⊥⇒
)(SABCB
BCS
ˆ
=
°
30

330cot. aBCSB =°=⇒
2aSA
=⇒
Từ C dựng CI song song với DE ta có CI = DE =
2
a
. Ta có mặt phẳng (CFI) chứa CF
và song song với DE.
Nhóm 2 6
GVHD: Ngô Hải Dương
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Ta có d(DE,CF)= d(DE,(CFI))= d(D,(CFI))= d(H,(CFI)) với H là chân đường cao
hạ từ F lên AD
Dựng
22
)/(
.
)(
HFHK
HFHK
HRdFCIHR
FKHR

CIHK
CFIH
+
==⇒⊥⇒



⊥
⊥
Ta có
13
3
2
3
2
3
.
.
.
2
1
.
2
1
2
2
a
aa
aa
CI

HICD
HKHICDCIHK
=






+
==⇒=
Ta có FH =
a
aa
aa
HR
a
31
313
13
3
2
2
13
3
.
2
2
2
2

2
2
=








+








=⇒
Nhận xét : Trong bài toán này ta đã tạo ra khối chóp FHCI để quy về bài toán cơ
bản là : Tính khoảng cách từ chân đường cao H đến mặt bên (FCI). Việc làm này giúp
bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều.

Ví dụ 2: Hoàng.Khánh Huyền
(A-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tai B, AB=BC=2a, hai
mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm
của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N, góc giữa hai mặt phẳng
(SBC) và (ABC) bằng 60

0
. Tính
( , )d AB SN
Giải:
+ Gọi I là trung điểm của BC.
Do MN//BC nên N là trung điểm của AC. Do đó, IN//AB hay
( , ) ( ,( ))d AB SN d AB SNI
=
+ Trong mp(ABC) kẻ
,( ) (*)AJ IN J IN
⊥ ∈
Trong mp(SAJ) kẻ
,( ) (1)AH SJ H SJ
⊥ ∈
Nhóm 2 7
GVHD: Ngô Hải Dương
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
+ Theo giải thiết ta có:
( ) ( )
( ) (**)
( ) ( )
SAB ABC
SA ABC SA IN
SAC ABC
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥


Từ (*), (**) ta có:
( ) (2)IN SAJ IN AH
⊥ ⇒ ⊥
. Từ (1), (2) ta có:
( ) ( , )AH SIN d AB SN AH
⊥ ⇒ =
.
+ Ta có:
·
0 0
(( ),( )) 60 .tan 60 2 3SBC ABC SBA SA AB a= = ⇒ = =
;
AJ BI a
= =
.
+ Xét tam giác vuông SAJ có:
2 2 2 2
1 1 1 13 12
.
13
12
AH a
AH SA AJ a
= + = ⇒ =
.
Vậy
. 156
( , )
13
a

d AB SN AH
= =
Cách 2:
- Dựng mặt phẳng (α) vuông góc với a tại O, (α)
cắt b tai I.
- Dựng hình chiếu vuông góc b’ của b trên (α).
- Trong (α) dựng OH
⊥
b tại H.
- Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại
B.
- Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a
tại A.
Đoạn AB chính là đoạn vuông góc chung của a và b.
Ví dụ : Huyền Trang
Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF không cùng thuộc
một mặt phẳng và AB = a, AD = AF = a . AC vuông
góc với BF. Tính khoảng cách giữa AC và BF.
Vẽ AK
⊥
BF . Từ K kẻ KH
⊥
AC (1)
Ta có :
BF
⊥
(AKC)
⇒
BF
⊥

KH (2)
Từ (1) và (2) suy ra HK là đường vuông góc chung của
AC và BF.(theo định nghĩa)
∆ABF vuông tại A
⇒
AK = = =
Ta có : AC
⊥
(BHK)
⇒
AC
⊥
BH
∆ABC vuông tại B
⇒
AB
2
= AH.AC

⇒
AH = =
Nhóm 2 8
GVHD: Ngô Hải Dương
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
∆AHK vuông tại H
⇒
HK
2
= AK
2

– AH
2
= - =
⇒
d(AC,BF) = HK =
II. BÀI TẬP
Bài 1: (ĐH khối B năm 2002) –Hà.Khánh Huyền
Cho hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
cạnh a. Tìm khoảng cách giữa hai đường
thẳng A
1
B và B
1
D.
Giải :
Ta có AB
1

⊥
A
1
B (vì BAA
1

B
1
là hình vuông)
A
1
B
⊥
AD (vì AD
⊥
(BAA
1
B
1
))
⇒
A
1
B
⊥
(B
1
AD)
⇒
A
1
B
⊥
B
1
D (1)

Vì DD
1

⊥
(A
1
B
1
C
1
D
1
)
⇒
DD
1

⊥
A
1
C
1
Do A
1
B
1
C
1
D
1

là hình vuông nên A
1
C
1

⊥
B
1
D
1
Từ đó A
1
C
1

⊥
(B
1
DD
1
)
⇒
A
1
C
1

⊥
B
1

D (2)
Từ (1) và (2) suy ra : B
1
D
⊥
(A
1
BC
1
) (3)
Bây giờ ta tìm giao điểm của B
1
D với (A
1
BC
1
) . Gọi H là giao điểm của AB
1
và A
1
B.
Trong mặt chéo (B
1
A
1
DA) rõ ràng : HC
1

∩
B

1
D = G.
Do B
1
H = HA =
1
2
C
1
D
⇒
GH =
1
2
GC
1

⇒
G là trọng tâm của tam giác A
1
BC
1
.
Vì A
1
BC
1
là tam giác đều nên GH
⊥
A

1
B , còn GH
⊥
B
1
D vì B
1
D
⊥
(A
1
B
1
C
1
).
Như thế GH là đường vuông góc chung của A
1
B và B
1
D nên nó chính là khoảng cách
giữa A
1
B và B
1
D.
Nhóm 2 9
GVHD: Ngô Hải Dương
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Ta có :

1 1 1
1 1 2. 3 6 6
( , )
3 3 6 6 6
a a a
GH C H d A B B D
= = = ⇒ =
Nhóm 2 10
GVHD: Ngô Hải Dương
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Bài 2: (A_2010) – Thanh Tâm
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của AB và AD, H là giao điểm của CN và DM,
( ), 3SH ABCD SH a
⊥ =
. Tính
( , )d DM SC
Giải:
+ Trong mp(SCH) kẻ
(1), (K SC)HK SC
⊥ ∈
.
+ Mặt khác,
( )
(*)
( )
SH ABCD
SH DM
DM ABCD
⊥


⇒ ⊥

⊂

Xét hai tam giác vuông AMD và DNC có AM=DN, AD=DC
AMD DNC
⇒ ∆ = ∆
.
Từ đó ta có:
=
=
⇒
+ = 90
⇒
= 90 hay DM
⊥
CN (**)
+ = 90
Từ (*), (**) suy ra:
( ) (2)DM SCH DM HK
⊥ ⇒ ⊥
.
Từ (1), (2) suy ra: HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC.
+ Ta có:
HCD DCN
∆ ∆
:
2 2
2 2

2 3
3
CD a a
HC
CN
CD DN
⇒ = = =
−
.
Xét tam giác vuông SHC ta có:
2 2 2 2
1 1 1 5 15
5
3
a
HK
HK HC HS a
= + = ⇒ =
Vậy
15
( , )
5
a
d DM SC HK
= =
Nhóm 2 11
GVHD: Ngô Hải Dương
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Bài 3:(ĐH khối B năm 2007) Hà.Khánh Huyền
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a. Gọi E là điểm đối xứng của D

qua trung điểm của SA. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AE và BC. Tìm khoảng
cách giữa hai đường thẳng MN, AC theo a.
Giải :
Gọi P là trung điểm của AB .Khi đó MP // AB (1)
Ta có SE // DA và SE = DA
⇒
SE // BC
Có SE = BC
⇒
SEBC là hình bình hành
⇒
EB // SC (2)
Vậy từ (1) , (2)
⇒
MP // SC
Lại có PN // AC nên (MNP) // (SAC)
⇒
d(MN, AC) = d((MNP),(SAC)) = d(H,(SAC)) = OH =
1 2
4 4
a
BD
=

(với H, O lần lượt là giao điểm của BD với NP và AC).
Nhóm 2 12
GVHD: Ngô Hải Dương
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Bài 4 (Đề thi tuyển sinh ĐH khối A – 2006) Hà.K.Huyền
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Gọi M , N lần lượt là trung

điểm của AB và CD. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN.
Giải :
Ta có : BC // MN
⇒
MN // (A’BC)
⇒
d(MN,A’C) = d(MN,(A’BC)) = d(M,(A’BC)) (1)
Ta có :
AI A'B ( AB' A'B = I)
⊥ ∩
Lại có
BC (BAA'B') BC AI
⊥ ⇒ ⊥
Từ đó
AI (A'BC)
⊥
.Vì thế nếu kẻ
MH // AI (H A'B)
∈
thì
MH (A'BC)
⊥
và
1 2
d(M,(A'BC)) = MH = AI =
2 4
a
(2)
Từ (1) , (2) suy ra d(MN,A’C)=
Bài 5: Hoàng.K.Huyền

Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD là tam
giác đều, (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính
( , )d SA BD
Giải:
Qua A kẻ đường thẳng d song song với
BD. Gọi O là giao điểm của AC và BD;
I, M lần lượt là trung điểm của AD và
OD; N là giao điểm của d và IM.
+ Ta có:
( , ) (( , ), )
( ,( , ))
d SA BD d SA d BD
d M SA d
= =
=
+ Trong mp(SMN) kẻ
(1), (H SN)MH SN
⊥ ∈
Nhóm 2 13
GVHD: Ngô Hải Dương
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Theo giả thiết:
( ) (*)
( ) ( )
SI AD
SI ABCD SI d
SAD ABCD
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥


⊥

Mặt khác ta có:
/ /
(**)
/ /
d BD
BD AO d MN
AO MN


⊥ ⇒ ⊥



. Từ (*), (**) suy ra:
( ) (2)d SMN d MH
⊥ ⇒ ⊥
. Từ (1),
(2) suy ra:
( , )MH SA d
⊥
.
+ Xét tam giác SMN có:
1 1 .
. .
2 2
SMN
SI MN

S MH SN SI MN MH
SN
= = ⇒ =
với
2 2
3 2 10
, ,
2 2 4
a a a
SI MN AO SN SI IN
= = = = − =
. Do đó,
. 15
5
SI MN a
MH
SN
= =
. Vậy
15
( , )
5
a
d SA BD
=
Bài 6 : Thanh Tâm
Cho tứ diện S.ABC có SA, SB, SC đôi
một vuông góc và SA=SB=SC=a. Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của AB và
SA. Dựng đường vuông góc chung và

tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
SM và CN.
Giải:
Cách 1:
Dựng đường thẳng đi qua N và song
song với SM, cắt AB tại E.
Ta có:
( )
( )
NE song song SM
SM song song CNE
NE CNE


⇒

⊂


nên
( ) ( )
( )
, ,SM CN d SM CNE
d
=
.
Trong
( )
SAB
kẻ

SF NE
⊥
, ta có:
( )
NE SF
NE CSF
NE CS





⊥
⇒ ⊥
⊥
Mà
( )
NE CNE
⊂
nên
( ) ( )
CNE CSF
⊥
.
Trong
( )
CSF
, kẻ
SH CF
⊥

⇒
( )
SH CNE
⊥
. Vậy H là hình chiếu vuông góc của S trên
( )
CNE
.
Từ H kẻ đường thẳng song song với SM cắt CN tại K, từ K kẻ đường thẳng song song
với SH cắt SM tại I thì IK là đoạn vuông góc chung của SN và CN.
Mặt khác:
IK SH
=
. Tính SH=?
Nhóm 2 14
GVHD: Ngô Hải Dương
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Ta có:
( ) ( )
2 2 2 2
1 2
. .
4 4
1 1 1
2 4 4
a
AM AB SA SB a a
SF EM
= = + = + =
= =

Trong tam giác vuông CSF, ta có:
2
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 9
2
4
SH SC SF a a
a
= + + = + =
 
 ÷
 
Suy ra:
3
a
SH
=
.
Vậy
( )
,
3
a
SM CN IK SHd
= = =
.
Cách 2:
Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của SB và CA,
E là giao điểm của NP và SM.
Khi đó: NQ song song với CS. (1)

Mà CS
⊥

( )
SAB
(2).
Từ (1), (2) suy ra NQ
⊥
( )
SAB
⇒
NQ
⊥
SM.
Lại có SM
⊥
NP nên SM
⊥
( )
NPQ
.
Ta có: SM
( )
NPQ
∩
tại E , từ E dựng hình bình
hành CSEH.
Ta có:
( )
( )

(hbh CSEH)CH song song SE
CH NPQ
SE NPQ


⇒ ⊥

⊥


Vì vậy, NH là hình chiếu của NC trên
( )
NPQ
.
Kẻ EF
⊥
NH tại F , từ F kẻ đường thẳng song song với SM cắt CN tại I, từ I kẻ
đường thẳng song song với EF cắt SM tại K thì IK chính là đoạn vuông góc chung của
CN và SM.
Mặt khác ta có: IK=EF. Tính EF=?
Trong tam giác EHN vuông tại E có đường cao EF, có:
2
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 8 9
EF
4
EH EN CS a a a
AB
= + = + = + =
 

 ÷
 
Suy ra:
EF
3
a
=
.
Vậy
( )
,
3
EF
a
CN SM IKd
= =
=
.
Nhóm 2 15
GVHD: Ngô Hải Dương
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Bài 7: Hồng Linh
Cho hai tia chéo nhau Ax và By hợp với nhau một góc 60°, nhận AB=a làm đoạn
vuông góc chung. Trên By lấy C với BC=a. Gọi D là hình chiếu vuông góc của C trên
Ax. Tính d(AC,BD).
- Dựng Ay’// By → AB

⊥
(y’Ax)
- Dựng CH

⊥
Ay’ →ABCH là hình vuông cạnh a và CH
⊥
(y’Ax).
- Dựng hình bình hành BDEC. Ta có:
BD//CE→BD//(ACE)
d(BD,AC)=d(D,(ACE))
- Dựng DK
⊥
Ay’→DK
⊥
(AHC)→DK
⊥
AC
Gọi DK
∩
AE=J
- Dựng KM
⊥
AC→AC
⊥
(MKD)→DM
⊥
AC
Vậy suy ra (MKD)
⊥
(ACE) theo giao tuyến MJ
- Dựng DL
⊥
MJ→DL

⊥
(ACE)→DL
⊥
(ACE)
→DL=d(D,(ACE))
• Tính DL:
Ta có: AD
⊥
(CDH)
→ AD
⊥
DH→∆ADH vuông tại D
→AD= (Vì =60 ) = =
DK=AD.sin60 = =
Nhóm 2 16
GVHD: Ngô Hải Dương
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
AK=AD.cos60 = =
• Dựng IL’//DK
Lại có I là trung điểm DH
→IL’ là đường trung bình của HDK
→IL’= =
L’H=IL’.cot30 = . =
AL’=AH - L’H=a - =
Áp dụng định lí Talet cho ∆AIL’ có JK//IL’:
= = = →JK= .IL’= =
Ta có KM//HO( cùng vuông góc với AC)
→ = = = → MK= = = =
Mà S
DMJ

=S
DKM
– S
MJK
= DK.MK - JK.MK
= (DK – JK).MK
= ( - ). =
Mà S
DMJ
= DL.MJ → DL= =
MJ= = =
→DL= . = =
Nhóm 2 17
GVHD: Ngô Hải Dương
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Bài 8 Hồng Linh
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. Tính
khoảng cách giữa A’B và B’C.
Theo giả thuyết ta suy ra :
- ∆A’B’C’ là tam giác đều cạnh a.
- CC’
⊥
( A’B’C’)
Gọi I, J lần lượt là tâm của hai hình vuông A’ABB’và BB’C’C.
M là trung điểm A’C’.
Ta có: JM là đường trung bình của ∆C’A’B
→JM= và JM//A’B
→A’B//(B’JM)
⊃
B’C (*)

Gọi N là trung điểm của B’C’. Ta có:
A’N
⊥
(BB’C’C) → A’N
⊥
B’C (1)
Gọi L là trung điểm BB’. Ta có NL là đường trung
bình của ∆BB’C’
→NL//BC’
Mặt khác BC’
⊥
B’C → NL
⊥
B’C (2)
Lại có NL A’N=N (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra (A’NL)
⊥
B’C
⊂
(MB’J)
Nhóm 2 18
GVHD: Ngô Hải Dương
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
→ (A’NL)
⊥
(MB’J) theo giao tuyến KG (**) (G=A’N B’M→ G là trọng tâm ∆
đều A’B’C’)
Từ (*),(**) suy ra d(A’,KG)=d(A’B,B’C)
Từ A’ kẻ A’H
⊥

KG
Ta có:
- A’N là đường trung tuyến của ∆ đều A’NL → A’N =
- NL là đường trung bình của ∆B’DC’→NL=
- A’L=
= =
- G là trọng tâm ∆ đều A’B’C’→ GN= A’N=
Trong ∆ vuông GNK ta có: GK= = =
∆A’HG ∆KNG(g.g)
→ = →A’H= . KN →A’H= = d(A’B,B’C)
Bài 9.Hồng Linh
Cho hình lập phương ABCD.A”B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N là trung điểm BC và DD’.
Tính khoảng cách của hai đường thẳng BD và MN.
Nhóm 2 19
GVHD: Ngô Hải Dương
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Gọi I là giao điểm của AD’ và A’D →I là trung điểm A’D
Lại có N là trung điểm DD’
→ NI là đường trung bình ∆A’D’D
→ NI= A’D’
Mặt khác : MB = BC
BC, A’D’ song song và bằng nhau
→ MBIN là hình bình hành
→ MN//BI (1)
Gọi K là trung điểm CD
Ta có : MK//BD (MK đường trung bình ∆DBC) (2)
Từ (1),(2) suy ra (MNK)//(A’BD)
Gọi O, J lần lượt là giao điểm của AC với BD và KM
Từ A, J lần lượt kẻ hai đường thẳng vuông góc với A’O cắt A’O tao H và H’.
DB

⊥
(AOH)
→DB
⊥
AH
Lại có AH
⊥
A’O và A’O DB=O →AH
⊥
(A’DB)→A
là chân hình chiếu vuông góc của A lên (A’DB).
→ d(A,(A’BD))= AH
Nhóm 2 20
GVHD: Ngô Hải Dương
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Chứng minh tương tự ta có H’ là chân hình chiếu vuông góc của J lên (A’DB).
→ d(J,(A’BD))= JH’
∆AOH ∆JOH’(g.g)
→ =
Ta có: d(BD,MN)=d((MNK),(A’BD))=d(J,(A’BD))
AJ (A’BD)=O nên
= = =
Do đó: d(BD,MN)= AH = d(A,(A’BD))
Áp dụng hệ thức lượng vào ∆ vuông A’AO có AH
⊥
A’O
= + = + =
→AH=
→JH’ = = =d(BD,MN)
Nhóm 2 21

GVHD: Ngô Hải Dương
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Bài 10. Hồng Linh
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AC và AD. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng DM
và D’N.
Trong mp(ABCD) vẽ hình chữ nhật DMIJ.
DM//IJ
⊂
(D’JN)→ DM//(D’JN)
⊃
D’N→ d(DM,D’N)=d(DM,(D’JN))=d(D,
(D’JN))
Dựng DH
⊥
D’J(1)
Ta có:
IJ
⊥
(D’JD) →JI
⊥
DH(2)
Và D’J JI=J (3)
Từ (1)(2)(3) suy ra DH
⊥
(D’JN)
→H là hình chiếu vuông góc của D lên (D’JN)
→ d(D,(D’JN))=DH
Dựng hình chữ nhật HKPD ta có PK
⊥

D’N và DM suy ra PK là đoạn vuông góc
chung của hai đường thẳng đó.
Tính DH:
Áp dụng hệ thức lượng cho ∆ D’JD vuông tại D:
= + = + =
Nhóm 2 22
GVHD: Ngô Hải Dương
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Bài 11: (Trần Yến)Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAD cạnh a nằm trong hai
mặt phẳng vuông góc với nhau. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
a) AD và SB b) SA và BD
Giải:
a) Gọi I là hình chiếu của S lên (ABCD)
M là trung điểm của BC
Ta có
=> AD ⊥ (SIM)
Lại có => BM ⊥ (SIM)
=>SM là hình chiếu của SB trên (SIM)
Từ I dựng IH ⊥SM => IH là khoảng cách giữa SB và AD
Dựng hình chữ nhật HKIP => KP là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng SB và
AD
d(AD,SB) = IH
Xét ∆SIM vuông tại I có:
= +
ó = +
Nhóm 2 23
GVHD: Ngô Hải Dương
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
ó = ó IH =
b)

Gọi O là tâm của đáy (ABCD)
E là giao điểm của đường thẳng song song với DB cùng và đường thẳng song song với
AC
L và J là trung điểm của EA và DO
Ta có BD//AE ( theo cách dựng) => BD // (SEA)
Lại có IL // SL ( L và J là trung điểm của EA và DO)
Dựng IH ⊥ SL => IH ⊥ (SEA)
Dựng JR // IH => JR ⊥ (SEA)
Suy ra d(BD, SA) = d(BD, (SEA)) = d(J, (SEA)) = JR
Dựng hình chữ nhật RKPJ => KP là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SA và
BD
Ta có JR = 2 IH
Xét ∆SIL vuông tại I
= +
ó = +
ó IH = => JR =
Nhóm 2 24
GVHD: Ngô Hải Dương
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Bài 12: (Trần Yến) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi
cạnh 2a, cạnh bên AA’= a , BD= 2a, AD’⊥ BA’. Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng AD’ và BA’
Giải:
Gọi I là tâm của đáy ABCD
E là giao điểm của D’I và B’B
Dễ thấy
A’B // AE ( A’AEB là hình bình hành ) mà AE (ADE) => A’B // (ADE)
Ta có
=> AI ⊥ (BDD’B’) => (AD’E) ⊥ ( BDD’B’)
Dựng BH⊥ D’E => BH ⊥ (AD’E)

Suy ra d(A’B,AD’) = d( A’B, (AD’E)) = d(B, (AD’E)) = BH
Dựng hình chữ nhật BHKP => KP là đoạn vuông góc chung của 2
đường thẳng A’B và AD’
Xét ∆IBE vuông tại B
= +
ó = + ó BH =
Nhóm 2 25