Một Số Định Lí Về Điểm Bất Động Trong Không Gian Metric Riêng Và Ứng Dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGÔ THƯỢNG THỦY

MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
TRONG KHÔNG GIAN METRIC RIÊNG
VÀ ỨNG DỤNG

THÁI NGUYÊN, 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGÔ THƯỢNG THỦY

MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
TRONG KHÔNG GIAN METRIC RIÊNG
VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 8460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. HÀ TRẦN PHƯƠNG

THÁI NGUYÊN, 2019


Xác nhận

Xác nhận

của trưởng khoa chuyên môn

của người hướng dẫn Khoa học

PGS. TS. Hà Trần Phương


Mục lục

Lời mở đầu

1

Bảng kí hiệu

3

Chương 1. Không gian metric riêng

4

1.1

Định nghĩa và ví dụ về không gian metric riêng . . . . . . . . . .

4

1.2

Sự hội tụ trong không gian metric riêng . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Metric riêng Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4

Một số tính chất cơ bản của không gian metric riêng . . . . . . . 16

Chương 2. Một số định lí về điểm bất động trong không gian metric
riêng

20

2.1

Định lí điểm bất động cho ánh xạ giãn . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2

Định lí điểm bất động cho ánh xạ co đơn trị . . . . . . . . . . . . 28

2.3

Sự tồn tại nghiệm chung của các phương trình tích phân kiểu
Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Kết luận

41

Tài liệu tham khảo

41


1

Lời mở đầu
Các định lý điểm bất động đóng vai trò khá quan trọng trong lý thuyết tối
ưu. Những kết quả đầu tiên được biết đến đó là nguyên lý ánh xạ co Banach
trên lớp các không gian metric đầy đủ. Về sau có rất nhiều tác giả mở rộng
nguyên lý này với các điều kiện khác nhau của không gian và ánh xạ. Vào năm
1994, S. Matthews (xem [8]) là người đầu tiên đưa ra giới thiệu khái niệm không
gian metric riêng. Đây là lớp không gian mở rộng tự nhiên từ không gian metric
thông thường, có vai trò khá quan trọng và có một số ứng dụng trong việc phát
triển toán lý thuyết, đặc biệt là các định lý điểm bất động. Trong một số năm
trở lại đây, một số nhà Toán học đã nghiên cứu về không gian metric riêng và
tính chất của nó, đồng thời tổng quát hóa và mở rộng được một số kết quả của
S. Matthews.
Để tìm hiểu, nghiên cứu nhằm làm rõ hơn về các vấn đề liên quan đến khái

niệm, tính chất và một số định lí điểm bất động trong không gian metric riêng,
tôi đã thực hiện nghiên cứu luận văn của mình với tên gọi là: "Một số định lí về
điểm bất động trong không gian metric riêng và ứng dụng".
Các nghiên cứu trong luận văn này được chia ra thành 2 chương:
• Chương 1: Không gian metric riêng: Trong chương này, tôi trình bày lại
một số kiến thức cần phải nắm vững khi nghiên cứu về lí thuyết điểm bất động.
Đây hầu hết là những những định nghĩa, tính chất... khá cơ bản, chẳng hạn như:
không gian metric riêng, dãy Cauchy, dãy 0-Cauchy, sự hội tụ trong không gian
metric riêng. Ngoài ra, tôi còn nghiên cứu về metric riêng Hausdorff và đưa một
số ví dụ minh họa. Trong phần cuối của chương, tôi có trình bày một số tính
chất cơ bản của không gian metric riêng để phục vụ cho các nội dung có trong
Chương 2.


2

• Chương 2: Một số định lí về điểm bất động trong không gian metric riêng.
Đây là phần trọng tâm của luận văn, tôi có trình bày chủ yếu về các kiến thức
xoay quanh khái niệm điểm bất động trong không gian metric riêng cho một số
các ánh xạ: ánh xạ giãn, ánh xạ co đơn trị .... Ngoài việc trình bày một cách có
hệ thống các kiến thức, tôi đã đưa ra các ví dụ và bài tập nhằm giảm bớt tính
trừu tượng của các khái niệm cũng như các định lí, mệnh đề đã được đề cập.
Phần cuối cùng của chương, tôi có trình bày một ứng dụng của định lí điểm
bất động trong không gian metric riêng, đó là sự tồn tại nghiệm chung của các
phương trình tích phân kiểu Volterra.
Tôi đã cố gắng chọn lọc, sắp xếp để nội dung luận văn được ngắn gọn và
phù hợp hơn, nhưng do thời gian và khuôn khổ của luận văn Thạc sĩ, nên chắc
rằng trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những thiếu sót nhất định.
Chính vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến từ phía các thầy cô
giảng viên, các nhà nghiên cứu và các anh chị học viên Cao học để luận văn

được hoàn thiện hơn.
Trong quá trình thực hiện luận văn này, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn,
giúp đỡ tận tình của thầy giáo Hà Trần Phương. Tôi xin chân thành gửi lời cảm
ơn sâu sắc đến thầy. Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới Ban chủ nhiệm
khoa Toán - Tin, các thầy cô giáo và anh chị học viên lớp Cao học Toán K11A
trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã quan tâm, giúp đỡ, tạo mọi
điều kiện để tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 4 năm 2019
Học viên Cao học

Ngô Thượng Thủy


3

Bảng kí hiệu
Trong toàn luận văn này, ta dùng một số kí hiệu sau
N

tập hợp các số tự nhiên

R

tập hợp các số số thực

R+

tập hợp các số thực không âm

∪

phép hợp

∩

phép giao

×

tích Descartes

∅

tập hợp rỗng

id

ánh xạ đồng nhất

A

bao đóng của tập hợp A

Bp (x, ε)

hình cầu mở tâm tại x, bán kính ε

[a, b]

đoạn đóng của tập số thực với các đầu mút a, b và a < b


4

Chương 1

Không gian metric riêng
Trong chương này, chúng tôi sẽ nhắc lại định nghĩa, đưa ra một số ví dụ
cụ thể và tập trung nghiên cứu một số tính chất cơ bản của không gian metric
riêng. Đây là các kiến thức nền tảng, là cơ sở cho việc trình bày các nội dung
trọng tâm trong Chương 2 của luận văn. Nội dung trong chương được trích dẫn
chủ yếu từ các nguồn tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [4], [6] và [8].

1.1

Định nghĩa và ví dụ về không gian metric riêng

Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một tập hợp khác rỗng, một metric riêng trên X
là một hàm số
p : X × X −→ R+
sao cho với mọi x, y, z ∈ X ta có
(P1)

p(x, x) = p(y, y) = p(x, y) nếu và chỉ nếu x = y;

(P2)

p(x, x)

(P3)

p(x, y) = p(y, x);

(P4)

p(x, z)

p(x, y);

p(x, y) + p(y, z) − p(y, y).

Khi đó, cặp (X, p) được gọi là một không gian metric riêng.
Ví dụ 1.1.2. Cho X = R+ và p : X × X −→ R+ là một hàm số xác định bởi
p(x, y) = max {x, y} , với mọi x, y ∈ X. Khi đó, (X, p) là một không gian metric


5

riêng. Thật vậy, rõ ràng p thỏa mãn Điều kiện (P1), (P2), (P3) của Định nghĩa
1.1.1 nên ta chỉ cần chứng minh p thỏa mãn Điều kiện (P4). Rõ ràng vai trò
của x, z như nhau nên không giảm tính tổng quát, ta có thể giả sử x

z. Ta có

đánh giá
p(x, z)

p(x, y) + p(y, z) − p(y, y)

⇔ max {x, z}
⇔z

max {x, y} + max {y, z} − max {y, y}

max {x, y} + max {y, z} − y.

⇔ (max {x, y} − y) + (max {y, z} − z)

0.

Bất đẳng thức cuối luôn thỏa mãn nên p thỏa mãn điều kiện (P4). Do đó (X, p)
là một không gian metric riêng.
Ví dụ 1.1.3. Cho X = {[a, b] | a, b ∈ R, a

b} và p : X × X −→ R+ là hàm số

cho bởi p ([a, b], [c, d]) = max {b, d} − min {a, c}. Dễ thấy p thỏa mãn các Điều
kiện (P1), (P2), (P3) của Định nghĩa 1.1.1. Đặt x = [a, b], y = [c, d], z = [e, g].
Vì vai trò của x, z như nhau nên không giảm tính tổng quát, ta chỉ xét 3 trường
hợp sau:
Trường hợp 1: a
p(x, z)
⇔g−a

b
g. Ta có đánh giá

p(x, y) + p(y, z) − p(y, y)
max {b, d} − min {a, c} + max {d, g} − min {c, e} − d + c

⇔ (max {d, g} − g) + (a − min {a, c}) + (max {b, d} − d) + (c − min {c, e})

0.

Bất đẳng thức cuối thỏa mãn.
Trường hợp 2: a

e
g.

Tương tự như trường hợp 1, ta cũng có p(x, z)
Trường hợp 3: a
p(x, z)
⇔b−a

e

g

p(x, y) + p(y, z) − p(y, y).

b. Ta có đánh giá

p(x, y) + p(y, z) − p(y, y)
max {b, d} − min {a, c} + max {d, g} − min {c, e} − d + c

⇔ (max {b, d} − b) + (a − min {a, c}) + (max {d, g} − d) + (c − min {c, e})

0.

Bất đẳng thức cuối thỏa mãn. Vậy p thỏa mãn Điều kiện (P4) nên p là một
metric riêng trên X, hay (X, p) là một không gian metric riêng.


6

Nhận xét 1.1.4.
1. Một không gian metric luôn là một không gian metric riêng. Thật vậy,
giả sử (X, p) là một không gian metric. Khi đó, rõ ràng (X, p) thỏa mãn các
Điều kiện (P1), (P2), (P3) của Định nghĩa 1.1.1. Theo tiên đề tam giác ta có
p(x, z)

p(x, y) + p(y, z)
= p(x, y) + p(y, z) − 0
p(x, y) + p(y, z) − p(y, y).

Vậy (X, p) thỏa mãn Điều kiện (P4) nên nó là một không gian metric riêng.
2. Từ Định nghĩa 1.1.1, ta nhận thấy rằng nếu p(x, y) = 0 thì từ Điều kiện
(P1), (P2), ta suy ra được x = y. Tuy nhiên điều ngược lại nhìn chung không
còn đúng; nghĩa là nếu x = y thì p(x, y) chưa chắc đã bằng 0. Thật vậy, chẳng
hạn trong Ví dụ 1.1.2 ta thấy p(x, x) = x không nhất thiết phải bằng 0.
3. Cho (X, p) là một không gian metric riêng. Khi đó hàm ps : X×X −→ R+
xác định bởi
ps (x, y) = 2p(x, y) − p(x, x) − p(y, y)
với mọi x, y ∈ X là một metric trên X. Thật vậy, ta kiểm tra được
• ps (x, y) = 0 ⇔ 2p(x, y) − p(x, x) − p(y, y) = 0 ⇔ x = y.

• ps (x, y) = 2p(x, y) − p(x, x) − p(y, y) = 2p(y, x) − p(y, y) − p(x, x) = ps (y, x).
Mặt khác, ta có đánh giá
ps (x, y) + ps (y, z) = [2p(x, y) − p(x, x) − p(y, y)] + [2p(y, z) − p(y, y) − p(z, z)]
= 2 [p(x, y) + p(y, z) − p(y, y)] − p(x, x) − p(z, z)
2p(x, z) − p(x, x) − p(z, z) = ps (x, z).
Vậy ps thỏa mãn 3 tiên đề của metric nên ps là một metric trên X.
Định nghĩa 1.1.5. Cho (X, p) là một không gian metric riêng, x ∈ X và ε > 0.
Ta gọi tập hợp Bp (x, ε) = {y ∈ X | p(x, y) < p(x, x) + ε} là một p-hình cầu mở
tâm tại x, bán kính ε.


7

1.2

Sự hội tụ trong không gian metric riêng

Định nghĩa 1.2.1. Cho (X, p) là một không gian metric riêng. Ta có các định
nghĩa sau:
1. Một dãy {xn } trong X hội tụ về một điểm x ∈ X nếu và chỉ nếu
lim p(x, xn ) = p(x, x);

n→∞

nghĩa là với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi n

n0 ta có

|p(x, xn ) − p(x, x)| < ε.
Ta gọi x là giới hạn của dãy {xn } , kí hiệu là xn → x.

2. Một dãy {xn } trong X được gọi là dãy Cauchy nếu giới hạn lim p(xn , xm )
n,m→∞

tồn tại và nhận giá trị hữu hạn; nghĩa là

lim p(xn , xm ) = a, a hữu hạn

n,m→∞

khi và chỉ khi với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi m, n

n0 ta có

|p(xn , xm ) − a| < ε.
3. (X, p) được gọi là không gian metric riêng đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy {xn }
trong X hội tụ về một điểm x ∈ X
p(x, x) = lim p(xn , xm ),
n,m→∞

nghĩa là với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi n

n0 ta có

|p(xn , xm ) − p(x, x)| < ε.
Mệnh đề 1.2.2. (xem [6]) Cho (X, p) là một không gian metric riêng, khi đó
các khẳng định sau là đúng:
(i) Nếu {xn } là một dãy hội tụ trong X thì {xn } là một dãy Cauchy.
(ii) Nếu {xn } là một dãy trong X hội tụ về x và y thì x = y.
(iii) Nếu {xn } và {yn } là các dãy trong X hội tụ lần lượt về x và y thì
lim p(xn , yn ) = p(x, y).

n→∞


8

Chứng minh.
(i) Giả sử {xn } là một dãy trong X hội tụ về x. Khi đó
p(x, x) = lim p(x, xm ) = lim p(xn , xn ).
n→∞

n→∞

Với n, m ∈ N ta có đánh giá
p(x, x) + p(x, xm ) − p(x, x),

p(xn , xm )
p(x, x)

p(x, xn ) + p(xn , xm ) + p(xm , x) − p(xn , xn ) − p(xm , xm ).

Trong các đánh giá trên, cho n, m → ∞ ta được
p(x, x)

lim p(xn , xm )

n,m→∞

p(x, x).

Suy ra lim p(xn , xm ) = p(x, x) hay {xn } là một dãy Cauchy trong X.
n,m→∞

(ii) Giả sử {xn } là một dãy trong X hội tụ về x và y. Từ Định nghĩa 1.2.1 ta có
p(x, x) = lim p(x, xn ) = lim p(xn , xn ),
n→∞

n→∞

p(y, y) = lim p(y, xn ) = lim p(xn , xn ).
n→∞

n→∞

Suy ra p(x, x) = p(y, y). Trong đánh giá
p(x, y)
cho n → ∞ ta được p(x, y)
p(xn , xn )

p(x, xn ) + p(xn , y) − p(xn , xn ),
p(x, x). Tương tự, trong đánh giá

p(xn , x) + p(x, y) + p(y, xn ) − p(x, x) − p(y, y),

cho cho n → ∞ ta được p(x, x)

p(x, y). Dẫn tới p(x, x) = p(y, y) = p(x, y)

hay x = y.
(iii) Giả sử {xn } và {yn } là các dãy trong X hội tụ lần lượt về x và y. Từ Định

nghĩa 1.2.1 ta có
p(x, x) = lim p(x, xn ) = lim p(xn , xn ),
n→∞

n→∞

p(y, y) = lim p(y, yn ) = lim p(yn , yn ).
n→∞

n→∞


9

Với mỗi n ∈ N ta có đánh giá
p(xn , yn )
p(x, y)

p(xn , x) + p(x, y) + p(y, yn ) − p(x, x) − p(y, y),
p(x, xn ) + p(xn , yn ) + p(yn , y) − p(xn , xn ) − p(yn , yn ).

Trong hai đánh giá trên, cho n → ∞ và thu gọn ta có
lim p(xn , yn )

p(x, y)

n→∞

và

p(x, y)

lim p(xn , yn ).

n→∞

Vậy lim p(xn , yn ) = p(x, y).
n→∞

Định lí 1.2.3. (xem [3]) Dãy {xn } là dãy Cauchy trong không gian metric riêng
(X, p) nếu và chỉ nếu nó là một dãy Cauchy trong không gian metric (X, ps ).
Chứng minh. Giả sử {xn } là một dãy Cauchy trong không gian metric riêng
(X, p), ta có
ps (xn , xm ) =2p(xn , xm ) − p(xn , xn ) − p(xm , xm )
= [p(xn , xm ) − p(xn , xn )] + [p(xn , xm ) − p(xm , xm )] .
Chú ý rằng, do {xn } là dãy Cauchy trong không gian metric riêng (X, p) nên
với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi n, m ∈ N mà n, m
|p(xn , xm ) − p(xn , xn )| <

ε
2

và

n0 ta có

ε
|p(xn , xm ) − p(xm , xm )| < .
2

Suy ra ps (xn , xm ) < ε nên {xn } là dãy Cauchy trong không gian metric (X, ps ).
Ngược lại, giả sử {xn } là một dãy Cauchy trong không gian metric (X, ps ).
Khi đó, với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N, sao cho với mọi n, m

n0 ta có

ps (xn , xm ) < ε. Ta có đánh giá
p(xn , xm )

p(xn , xk ) + p(xk , xm ) − p(xk , xk )
p(xn , xk ) + p(xk , xl ) + p(xl , xm ) − p(xl , xl ) − p(xk , xk ).

Suy ra
p(xn , xm ) − p(xk , xl )

[(p(xn , xk ) − p(xk , xk )] + [p(xl , xm ) − p(xl , xl )] < ε.

Vậy {xn } là dãy Cauchy trong không gian metric riêng (X, p).


10

Định lí 1.2.4. (xem [4]) Không gian metric riêng (X, p) là không gian metric
riêng đầy đủ nếu và chỉ nếu không gian metric (X, ps ) là không gian đầy đủ.
Hơn nữa, lim ps (xn , x) = 0 nếu và chỉ nếu
n→∞

p(x, x) = lim p(xn , x) = lim p(xn , xm ).
n→∞

n,m→∞

Chứng minh. Giả sử (X, p) là không gian metric riêng đầy đủ và {xn } là một
dãy Cauchy trong không gian metric (X, ps ). Theo Định lí 1.2.4 thì {xn } là một
dãy Cauchy trong không gian metric riêng (X, p). Vì (X, p) là không gian đầy
đủ nên dãy {xn } hội tụ về x ∈ X, tức là
p(x, x) = lim p(xn , x) = lim p(xn , xn ).
n→∞

n→∞

Theo định nghĩa của ps ta có
ps (xn , x) = 2p(xn , x) − p(xn , xn ) − p(x, x).

(1.1)

Trong Đẳng thức (1.1) cho n → ∞ ta nhận được lim ps (xn , x) = 0, hay dãy
n→∞

{xn } hội tụ về x trong không gian metric (X, ps ). Vậy (X, ps ) là không gian
metric đầy đủ.
Ngược lại, giả sử (X, ps ) là không gian metric đầy đủ và {xn } là dãy Cauchy
trong không gian metric riêng (X, p). Theo Định lí 1.2.3 thì dãy {xn } là dãy
Cauchy trong không gian metric (X, ps ). Vì (X, ps ) là không gian đầy đủ nên
dãy {xn } hội tụ về x ∈ X hay lim ps (xn , x) = 0. Khi đó, với mọi ε > 0, tồn tại
n→∞

n0 ∈ N, sao cho với mọi n

n0 ta có

ps (xn , x) < ε ⇒ |2p(xn , x) − p(xn , xn ) − p(x, x)| < ε.
⇒ |[p(xn , x) − p(xn , xn )] + [p(xn , x) − p(x, x)]| < ε.
Từ đây suy ra
|p(xn , x) − p(xn , xn )| < ε

và

|p(xn , x) − p(x, x)| < ε.

Dẫn tới
lim p(xn , x) = lim p(xn , xn ) = p(x, x).

n→∞

n→∞

Do đó {xn } hội tụ về x ∈ X, hay (X, p) là không gian metric riêng đầy đủ.


11

Định nghĩa 1.2.5. Cho (X, p) là một không gian metric riêng. Một ánh xạ
f : X −→ X được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu với mỗi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao
cho f (Bp (x, δ)) ⊆ Bp (f (x), ε).
Ánh xạ f được gọi là liên tục trên A ⊆ X nếu f liên tục tại mọi x ∈ A.
Nếu f liên tục trên X thì ta nói f là ánh xạ liên tục.
Định lý 1.2.6. (xem [4]) Cho (X, p) là một không gian metric riêng, một ánh
xạ f : X −→ X liên tục và {xn } là một dãy trong X. Khi đó, nếu dãy {xn } hội
tụ về x ∈ X thì dãy {f (xn )} hội tụ về f (x).

Chứng minh. Với mọi ε > 0, ta cần chỉ ra |p(f (xn ), f (x)) − p(f (x), f (x))| < ε.
Thật vậy, vì f liên tục tại x nên tồn tại δ > 0 sao cho
f (Bp (x, δ)) ⊂ Bp (f (x), ε).
Vì xn → x nên tồn tại n0 ∈ N∗ sao cho |p(xn , x) − p(x, x)| < δ, tức là ta có
xn ∈ Bp (x, δ), với mọi n

n0 . Suy ra f (xn ) ∈ Bp (f (x), ε), với mọi n

n0 . Điều

này dẫn tới
p(f (xn ), f (x)) − p(f (x), f (x)) < ε.
Vậy {f (xn )} hội tụ về f (x).
Định nghĩa 1.2.7. Một dãy {xn } trong không gian metric riêng (X, p) được
gọi là dãy 0-Cauchy nếu

lim p(xn , xm ) = 0. Không gian metric riêng (X, p)

n,m→∞

được gọi là không gian 0-đầy đủ nếu mọi dãy 0-Cauchy trong X hội tụ về một
điểm x ∈ X sao cho p(x, x) = 0.
Chú ý 1.2.8.
1. Mọi dãy 0-Cauchy trong không gian metric riêng (X, p) đều là dãy Cauchy.
Tuy nhiên điều ngược lại không còn đúng, chẳng hạn xét X = {a, b} và hàm p
cho bởi

1
p(x, y) =
2

nếu x = y

.

nếu x = y

Khi đó, rõ ràng dãy {xn } cho bởi xn = a với mọi n ∈ N là dãy Cauchy hội tụ về
a, nhưng không là dãy 0-Cauchy.


12

2. Mọi không gian metric riêng đầy đủ đều là không gian metric 0-đầy đủ.
Tuy nhiên điều ngược lại không còn đúng, tức là một không gian metric riêng
0-đầy đủ thì chưa chắc đã là không gian đầy đủ. Chẳng hạn, không gian metric
(Q ∩ [0, ∞) , p), trong đó Q là tập hợp các số hữu tỉ và metric riêng p cho bởi
p(x, y) = max {x, y} , với mọi x, y > 0 là một ví dụ về không gian metric riêng
0-đầy đủ nhưng không là không gian metric riêng đầy đủ.
Định lí dưới đây là điều kiện cần và đủ để một không gian metric riêng là
một không gian metric.
Định lí 1.2.9. (xem [4]) Không gian metric riêng (X, p) là không gian metric
nếu và chỉ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều là dãy 0-Cauchy.
Chứng minh. Rõ ràng nếu (X, p) là không gian metric thì mọi dãy Cauchy trong
X đều là dãy 0-Cauchy. Ngược lại, giả sử mọi dãy Cauchy trong X đều là dãy
0-Cauchy. Khi đó, với mỗi a ∈ X, a là hằng số, xét dãy {xn } cho bởi xn = a
với mọi n ∈ N. Thế thì, rõ ràng {xn } là một dãy Cauchy trong X nên nó là dãy
0-Cauchy. Theo định nghĩa ta có
lim p(xn , xm ) = p(a, a) = 0,

n,m→∞

hay p(x, x) = 0, với mọi x ∈ X. Suy ra p(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y và
p(x, y)

p(x, z) + p(y, z), với mọi x, y, z ∈ X. Hơn nữa, ta có p(x, y) = p(y, x)

với mọi x, y ∈ X. Vậy (X, p) là một không gian metric.

1.3

Metric riêng Hausdorff
Kí hiệu CB p (X) là tập hợp tất cả các tập khác rỗng, đóng và bị chặn của

không gian metric riêng (X, p). Chú ý rằng tính đóng được tạo nên từ (X, τp )
(τp là tôpô được sinh bởi p) và tính bị chặn được xác định như sau: tập con A
bị chặn trong không gian (X, p) nếu tồn tại x0 ∈ X và M

0 sao cho với mọi

a ∈ A ta có a ∈ Bp (x0 , M ), nghĩa là p(x0 , a) < p(a, a) + M, với mọi a ∈ A. Với
A, B ∈ CB p (X) và x ∈ X, ta kí hiệu


13

p(x, A) = inf p(x, a),
a∈A

δp (A, B) = sup p(a, B),

a∈A

δp (B, A) = sup p(b, A),
b∈B

Hp (A, B) = max {δp (A, B), δp (B, A)} .
Ta kiểm tra được rằng từ điều kiện p(x, A) = 0 suy ra ps (x, A) = 0, trong đó
ps (x, A) = inf ps (x, a).
a∈A

Chú ý 1.3.1. Cho (X, p) là một không gian metric riêng và A là một tập khác
rỗng trong (X, p). Khi đó, a ∈ A nếu và chỉ nếu p(a, A) = p(a, a), trong đó A
là bao đóng của A. Thật vậy, do A là tập đóng trong không gian metric riêng
(X, p) nên A = A. Ta có
a ∈ A ⇔ Bp (a, ε) ∩ A = ∅ với mọi ε > 0
⇔ tồn tại x ∈ A : p(a, x) < ε + p(a, a) với mọi ε > 0
⇔ tồn tại x ∈ A : p(a, x) − p(a, a) < ε với mọi ε > 0
⇔ inf {p(a, x) − p(a, a)} = 0
x∈A

⇔ inf p(a, x) − p(a, a) = 0
x∈A

⇔ p(a, A) = p(a, a).
Tiếp theo, ta đi nghiên cứu một số tính chất quan trọng của ánh xạ
δp : CB p (X) × CB p (X) −→ [0, ∞).
Mệnh đề 1.3.2. (xem [3]) Cho (X, p) là một không gian metric riêng. Khi đó,
với mọi A, B, C ∈ CB p (X), ta có
(i) δp (A, A) = sup p(a, a);
a∈A

(ii) δp (A, A)

δp (A, B);

(iii) δp (A, B) = 0 suy ra A ⊆ B;


14

(iv) δp (A, B)

δp (A, C) + δp (C, B) − inf p(c, c).
c∈C

Chứng minh. (i) Vì A là tập đóng nên A = A. Theo Chú ý 1.3.1, tồn tại a ∈ A
sao cho p(a, A) = p(a, a). Do vậy δp (A, A) = sup p(a, A) = sup p(a, a).
a∈A

(ii) Lấy a ∈ A, ta có p(a, a)

a∈A

p(a, b) với mọi b ∈ B. Do đó

p(a, a)

p(a, B)

Theo (i), suy ra δp (A, A) = sup p(a, a)

δp (A, B).

δp (A, B).

a∈A

(iii) Giả sử δp (A, B) = 0, dẫn tới p(a, B) = 0 với mọi a ∈ A. Từ (i) và (ii) suy
ra p(a, a)

δp (A, B) = 0 với mọi a ∈ A. Do đó p(a, a) = 0 hay p(a, B) = p(a, a)

với mọi a ∈ A. Theo Chú ý 1.3.1 ta có a ∈ B = B. Vậy A ⊆ B.
(iv) Lấy a ∈ A, b ∈ B và c ∈ C, ta có
p(a, b)

p(a, c) + p(c, b) − p(c, c),

p(a, B)

p(a, c) + p(c, B) − p(c, c),

suy ra

p(a, B) + p(c, c)

p(a, c) + δp (C, B).

Vì c là phần tử bất kì của C nên
p(a, B) + inf p(c, c)

c∈C

p(a, C) + δp (C, B).

Chú ý rằng, do a là phần tử bất kì của A nên ta nhận được
δp (A, B)

δp (A, C) + δp (C, B) − inf p(c, c).
c∈C

Mệnh đề 1.3.3. (xem [3]) Cho (X, p) là một không gian metric riêng. Khi đó,
với mọi A, B, C ∈ CB p (X), ta có
(H1 ) Hp (A, A) = Hp (A, B),
(H2 ) Hp (A, B) = Hp (B, A),
(H3 ) Hp (A, B)

Hp (A, C) + Hp (C, B) − inf p(c, c),
c∈C


15

Chứng minh. Theo (ii) của Mệnh đề 1.3.2, ta có
Hp (A, A) = δp (A, A)

δp (A, B)

Hp (A, B).

Theo định nghĩa, ta có (H2 ). Từ Tính chất (iv) trong Mệnh đề 1.3.2 ta có

Hp (A, B) = max {δp (A, B), δp (B, A)}
max δp (A, C) + δp (C, B) − inf p(c, c), δp (B, C) + δp (C, A) − inf p(c, c)
c∈C

c∈C

= max {δp (A, C) + δp (C, B), δp (B, C) + δp (C, A)} − inf p(c, c)
c∈C

max {δp (A, C), δp (C, A)} + max {δp (C, B), δp (B, C)} − inf p(c, c)
c∈C

= Hp (A, C) + Hp (C, B) − inf p(c, c).
c∈C

Mệnh đề 1.3.4. (xem [3]) Cho (X, p) là một không gian metric riêng. Với
A, B ∈ CB p (X), nếu Hp (A, B) = 0 thì A = B.
Chứng minh. Giả sử Hp (A, B) = 0, từ định nghĩa của Hp suy ra
δp (A, B) = δp (B, A) = 0.
Sử dụng (iii) trong Mệnh đề 1.3.2 ta được A ⊆ B và A ⊆ B. Vậy A = B.
Nhận xét 1.3.5. Điều ngược lại của Mệnh đề 1.3.4 nhìn chung không còn
đúng. Chẳng hạn, xét X = [0, 1] với metric riêng p : X × X −→ R+ xác định bởi
p(x, y) = max {x, y} . Ta sẽ chỉ ra Hp (X, X) = 0. Thật vậy, theo (i) của Mệnh
đề 1.3.2 ta có
Hp (X, X) = δp (X, X) = sup {x} = 1 = 0.
0 x 1

Theo Mệnh đề 1.3.3 và Mệnh đề 1.3.4, ta gọi ánh xạ
Hp : CB p (X) × CB p (X) −→ [0, +∞)
là một metric riêng Hausdorff sinh bởi metric riêng p. Rõ ràng, mọi metric

Hausdorff luôn là metric riêng Hausdorff. Tuy nhiên, theo Nhận xét 1.3.2 thì
điều ngược lại không đúng.


16

1.4

Một số tính chất cơ bản của không gian metric riêng

Mệnh đề 1.4.1. (xem [6]) Cho (X, p) là một không gian metric riêng. Khi đó,
hàm d : X × X → R+ xác định bởi

0
d(x, y) =
p(x, y)

nếu x = y
nếu x = y

là một metric trên X thỏa mãn τps ⊆ τd . Hơn nữa, (X, d) là không gian metric
riêng đầy đủ nếu và chỉ nếu (X, p) là không gian 0-đầy đủ.
Chứng minh. Rõ ràng d(x, y) = 0 nếu và chỉ nếu x = y và d(x, y) = d(y, x) với
mọi x, y ∈ X. Lấy x, y, z ∈ X, chú ý rằng ta đã có
d(x, y)

p(x, y)

p(x, z) + p(y, z) − p(z, z).

+ Nếu x = y và x = z thì
d(x, y)

p(z, z) + d(z, y) − p(z, z) = d(z, y) = d(x, y).

+ Nếu x = y và y = z thì d(x, y)
+ Nếu x = y thì d(x, y) = 0

d(x, z) + p(y, y) − p(y, y) = d(x, y).

d(x, z) + d(z, y).

Do vậy (X, d) là một không gian metric. Giả sử (X, p) là không gian 0-đầy
đủ và {xn } là một dãy Cauchy trong (X, d). Không giảm tính tổng quát, ta
có thể giả sử xn = xm với mọi n = m. Do đó d(xn , xm ) = p(xn , xm ) với mọi
n, m

1. Vậy {xn } là một dãy Cauchy trong (X, p). Vì (X, p) là không gian

0-đầy đủ nên lim p(xn , x∗ ) = 0 với x∗ ∈ X. Chú ý rằng x∗ = xn với mọi n nên
n→∞

lim d(xn , x∗ ) = 0 và do đó (X, d) là không gian metric đầy đủ.

n→∞

Ngược lại, giả sử (X, d) là không gian metric đầy đủ và {xn } là một dãy
0-Cauchy trong (X, p). Không giảm tính tổng quát, ta có thể giả sử xn = xm
với mọi n = m. Do đó p(xn , xm ) = d(xn , xm ) với mọi n, m

1. Vậy {xn } là một

dãy Cauchy trong (X, d). Vì (X, d) là không gian đầy đủ nên tồn tại x∗ ∈ X sao
cho lim d(xn , x∗ ) = 0. Suy ra lim p(xn , x∗ ) = 0 hay (X, p) là không gian 0-đầy
n→∞

đủ.

n→∞


17

Từ bổ đề này, ta có kết quả sau đây:
Bổ đề 1.4.2. (xem [6]) Cho (X, p) là một không gian metric riêng, T : X −→ X
là một ánh xạ, d là metric được xây dựng trong Mệnh đề 1.4.1 và x, y ∈ X. Kí
hiệu
Md (x, y) = max d(x, y), d(x, T x), d(y, T y),

1
[d(x, T y) + d(y, T x)] ,
2

Mp (x, y) = max p(x, y), p(x, T x), p(y, T y),

1
[p(x, T y) + p(y, T x)] .
2

Thế thì Md (x, y) = Mp (x, y) với mọi x, y ∈ X, x = y.

Chứng minh. Trước tiên, ta chỉ ra Mp (x, y)

Md (x, y) với mọi x, y ∈ X, x = y.

Thật vậy, ta xét các trường hợp sau:
• Nếu Mp (x, y) = p(x, y) thì Mp (x, y) = d(x, y)

Md (x, y).

• Nếu Mp (x, y) = p(x, T x) thì Mp (x, y) = p(x, x)
khi x = T x và Mp (x, y) = d(x, T x)

d(x, y)

Md (x, y)

Md (x, y) khi x = T x. Tương tự, nếu

Mp (x, y) = p(y, T y) thì Mp (x, y) Md (x, y).
1
• Giả sử Mp (x, y) = [p(x, T y) + ác ánh xạ f và g được gọi là tương thích yếu nếu chúng giao hoán tại các
điểm trùng của chúng, nghĩa là nếu với x ∈ X, f x = gx thì f gx = gf x.
3. Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động chung của f và g nếu x = f x = gx.
Bổ đề 2.1.4. (xem [10]) Cho (X, p) là một không gian metric riêng và {xn } là
một dãy trong X. Nếu tồn tại một số k ∈ (0, 1) sao cho
p(xn+1 , xn )

kp(xn , xn−1 ), n = 1, 2...

(2.1)

thì {xn } là một dãy Cauchy trong X.
Chứng minh. Từ điều kiện (2.1), ta có đánh giá
p(xn+1 , xn )

kp(xn , xn−1 )

k 2 p(xn−1 , xn−2 )

Chú ý rằng max {p(xn , xn ), p(xn+1 , xn+1 )}

...

k n p(x1 , x0 ).

p(xn , xn+1 ) nên suy ra

max {p(xn , xn ), p(xn+1 , xn+1 )}

k n p(x1 , x0 ).

Do đó
ps (xn , xn+1 ) = 2p(xn , xn+1 ) − p(xn , xn ) − p(xn+1 , xn+1 )
2p(xn , xn+1 ) + p(xn , xn ) + p(xn+1 , xn+1 )
4k n p(x1 , x0 ).


22

Mặt khác, ta có

ps (xn , xn+l )

ps (xn , xn+1 ) + ps (xn+1 , xn+2 ) + ... + ps (xn+l−1 , xn+l )
4k n p(x1 , x0 ) + 4k n+1 p(x1 , x0 ) + ... + 4k n+l−1 p(x1 , x0 )
4k n
p(x1 , x0 ) −→ 0, n → ∞.
1−k

Suy ra lim ps (xn , xn+l ) = 0 nên {xn } là dãy Cauchy trong không gian metric
n→∞

(X, ps ). Theo Định lí 1.2.3, {xn } là dãy Cauchy trong không gian metric riêng
(X, p).
Định lý 2.1.5. (xem [10]) Cho (X, p) là một không gian metric riêng đầy đủ và
ánh xạ T : X −→ X là một toàn ánh. Giả sử tồn tại a1 , a2 , a3

0, a1 +a2 +a3 > 1

sao cho
p(T x, T y)

a1 p(x, y) + a2 p(x, T x) + a3 p(y, T y),

(2.2)

với mọi x, y ∈ X, x = y. Khi đó, T có ít nhất một điểm bất động. Hơn nữa, nếu
a1 > 1 thì T có duy nhất một điểm bất động.
Chứng minh. Lấy x0 ∈ X. Vì T là toàn ánh nên tồn tại x1 ∈ X sao cho T x1 = x0 .
Cứ tiếp tục như vậy, ta nhận được một dãy {xn } ∈ X sao cho
xn−1 = T xn ,

n = 1, 2....

Nếu tồn tại chỉ số n0 nào đó sao cho xn0 −1 = xn0 thì T xn0 = xn0 . Suy ra
xn0 là điểm bất động của T. Xét trường hợp xn−1 = xn với mọi n = 1, 2.... Từ
Điều kiện (2.2) ta có
p(xn−1 , xn ) = p(T xn , T xn+1 )
a1 p(xn , xn+1 ) + a2 p(xn , T xn ) + a3 p(xn+1 , T xn+1 )
= a1 p(xn , xn+1 ) + a2 p(xn , xn−1 ) + a3 p(xn+1 , xn ).
Suy ra
(1 − a2 )p(xn−1 , xn )

(a1 + a3 )p(xn+1 , xn ).

Trong bất đẳng thức trên, nếu a1 + a3 = 0 thì theo giả thiết suy ra a2 > 1, điều
này vô lý. Suy ra a1 + a3 = 0 và 1 − a2 > 0. Do đó, ta nhận được
p(xn+1 , xn )

hp(xn−1 , xn ),

(2.3)


23

trong đó h =

1−a2
a1 +a3

< 1. Theo Bổ đề 2.1.4, ta có {xn } là dãy Cauchy trong

X. Mặt khác, do (X, p) là không gian đầy đủ nên theo Định lí 1.2.4, (X, ps ) là
không gian đầy đủ và do đó dãy {xn } hội tụ trong không gian metric (X, ps ).
Suy ra, tồn tại z ∈ X sao cho
lim ps (xn , z) = 0.

n→∞

Do tính chất toàn ánh của ánh xạ T, tồn tại u ∈ X sao cho z = T u. Theo Định
lí 1.2.5, ta có
p(z, z) = lim p(xn , z) = lim p(xn , xm ).
n→∞

n,m→∞

Vì {xn } là dãy Cauchy trong không gian metric (X, ps ) nên
lim ps (xn , xm ) = 0.

n,m→∞

Mặt khác, do đánh giá max {p(xn , xn ), p(xn+1 , xn+1 )}

p(xn , xn+1 ) nên từ (2.3)

ta có
max {p(xn , xn ), p(xn+1 , xn+1 )}

hn p(x1 , x0 ).

Do đó lim p(xn , xn ) = 0. Theo định nghĩa của ps , ta có
n→∞

lim p(xn , xm ) = 0.

n,m→∞

Suy ra
p(z, z) = lim p(xn , z) = lim p(xn , xm ) = 0.
n→∞

n,m→∞

Để kết thúc chứng minh, ta sẽ chỉ ra u = z. Thật vậy, từ Điều kiện (2.2) ta có
p(xn , z) = p(T xn+1 , T u)

a1 p(xn+1 , u) + a2 p(xn+1 , xn ) + a3 p(u, T u).

Trong đánh giá trên, cho n → ∞ ta được 0 = p(z, z)

(a1 + a3 )p(u, z). Suy ra

p(u, z) = 0 hay u = z = T u. Vậy z là một điểm bất động của T.
Giả sử a1 > 1 và T có hai điểm bất động là z, z ∗ . Để kết thúc chứng minh,
ta sẽ chỉ ra z = z ∗ . Thật vậy, ta có
p(z, z ∗ ) = p(T z, T z ∗ )

a1 p(z, z ∗ ) + a2 p(z, T z) + a3 p(z ∗ , T z ∗ )
= a1 p(z, z ∗ ) + a2 p(z, z) + a3 p(z ∗ , z ∗ )
= a1 p(z, z ∗ ).

Suy ra (1 − a1 )p(z, z ∗ )
được chứng minh.

0. Vì 1 − a1 < 0 nên p(z, z ∗ ) = 0 hay z = z ∗ . Định lí


24

Trong Định lí 2.1.5, chọn a2 = a3 = 0 và a1 = λ ta được kết quả sau đây:
Hệ quả 2.1.6. (xem [10]) Cho (X, p) là một không gian metric riêng đầy đủ,
T : X −→ X là một toàn ánh. Giả sử tồn tại một hằng số λ > 1 sao cho
p(T x, T y)

λp(x, y), với mọi x, y ∈ X.

(2.4)

Khi đó, T có duy nhất một điểm bất động.
Chứng minh. Trong Định lí 2.1.5, bằng cách đặt a2 = a3 = 0 và a1 = λ, suy ra
T có một điểm bất động z ∈ X. Giả sử, tồn tại một điểm w = z cũng là điểm
bất động của T. Từ Điều kiện (2.4) ta có
p(z, w) = p(T z, T w)
Suy ra (1 − λ)p(z, w)

λp(z, w).

0, kéo theo p(z, w) = 0 hay z = w. Vậy z là điểm bất

động duy nhất của T.

Hệ quả 2.1.7. (xem [10]) Cho (X, p) là một không gian metric riêng đầy đủ và
ánh xạ T : X −→ X là một toàn ánh. Giả sử tồn tại một số nguyên dương n và
một hằng số λ > 1 sao cho
p(T n x, T n y)

λp(x, y), với mọi x, y ∈ X.

(2.5)

Khi đó, T có duy nhất một điểm bất động.
Chứng minh. Theo Hệ quả 2.1.6, suy ra T n có duy nhất một điểm bất động
z ∈ X. Chú ý rằng T n (T z) = T (T n z) = T z nên T z cũng là điểm bất động của
T n . Suy ra T z = z, hay z là điểm bất động của T. Vậy điểm bất động của T
cũng là điểm bất động của T n hay T có duy nhất một điểm bất động.
Hệ quả 2.1.8. (xem [10]) Cho (X, p) là một không gian metric riêng đầy đủ và
T : X −→ X là một toàn ánh liên tục. Giả sử tồn tại một hằng số λ > 1 sao
cho với mọi x, y ∈ X
p(T x, T y)

λu, với u ∈ {p(x, y), p(x, T x), p(y, T y)} .

Khi đó, T có một điểm bất động.

(2.6)


25

Chứng minh. Tương tự như trong Định lí 1.2.4, ta nhận được dãy {xn } sao
cho xn−1 = T xn . Không giảm tính tổng quát, ta có thể giả sử xn−1 = xn , với

n = 1, 2.... Từ Điều kiện (2.6) ta có
p(xn−1 , xn ) = p(T xn , T xn+1 )

λun ,

trong đó un = {p(xn , xn+1 ), p(xn , xn−1 )} . Ta xét 2 khả năng sau:
Nếu un = p(xn , xn−1 ) thì p(xn−1 , xn )

λp(xn , xn−1 ), suy ra p(xn−1 , xn ) = 0

hay xn−1 = xn , mâu thuẫn.
Nếu un = p(xn , xn+1 ) thì p(xn−1 , xn )

λp(xn , xn+1 ). Theo Bổ đề 2.1.4, dãy

{xn } là một dãy Cauchy trong X. Vì (X, p) là không gian đầy đủ nên dãy {xn }
hội tụ về một điểm z ∈ X. Mặt khác, do T là toàn ánh liên tục nên suy ra z là
điểm bất động của T.
Tiếp theo, ta sẽ tìm hiểu một định lí về điểm bất động chung của hai ánh
xạ tương thích yếu trong không gian metric riêng.
Định lý 2.1.9. (xem [10]) Cho (X, p) là một không gian metric riêng, các ánh
xạ S, T : X −→ X là tương thích yếu thỏa mãn T (X) ⊆ S(X). Giả sử tồn tại
một hằng số λ > 1 sao cho
p(Sx, Sy)

λp(T x, T y), với mọi x, y ∈ X.

(2.7)

Khi đó, nếu một trong các không gian con T (X) hoặc S(X) là không gian đầy

đủ thì S và T có duy nhất một điểm bất động chung trong X.
Chứng minh. Lấy x0 ∈ X bất kì, vì T (X) ⊆ S(X) nên ta có thể chọn được x1
sao cho y1 = Sx1 = T x0 . Trong trường hợp tổng quát, ta có thể chọn được xn+1
sao cho yn+1 = Sxn+1 = T xn . Từ Điều kiện (2.7) ta có
1
p(Sxn , Sxn+1 )
λ
1
1
= p(T xn−1 , T xn ) = p(yn , yn+1 ).
λ
λ

p(yn+1 , yn+2 ) = p(T xn , T xn+1 )

(2.8)

Do đó, theo Bổ đề 2.1.4, {yn } là một dãy Cauchy. Mặt khác, do T (X) ⊆ S(X)
và T (X) hoặc S(X) là không gian con đầy đủ của X nên suy ra (S(X), ps ) là