ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Tích Phân Hàm Ẩn
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 1
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Tích Phân Hàm Ẩn
MỤC LỤC
MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN THƯỜNG GẶP ............................................................. 3
DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP ................................. 3
DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN .......................................................................................... 17
TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 1: ............................................................................ 17
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2:............................................................................. 23
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3 .............................................................................. 25
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5 .............................................................................. 33
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4 :............................................................................ 35
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4 .............................................................................. 39
DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN ..................................................................................... 40
DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 ..................................................... 51
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 2
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Tích Phân Hàm Ẩn
MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN THƯỜNG GẶP
DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP
1) Quy tắc: Nếu u u x và v v x thì uv uv uv .
- Nếu f x .g x h x thì f x .g x h x dx.
Câu 1. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên khoảng 0; thỏa mãn điều kiện f 1 3 và
x 4 f x f x 1, x 0. Giá trị của f 2 bằng
A. 6.
B. 5.
C. 3.
D. 2.
Lời giải
Chọn B
+)Từ giả thiết, ta có x 4 f x f x 1 xf x f x 4 x 1
xf x 4 x 1 xf x 4 x 1 dx xf x 2 x 2 x C.
+) Lại có f 1 3 C 0 f x 2 x 1 f 2 5.
Câu 2. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên khoảng 1; và thỏa mãn đẳng thức
2 f x x 2 1 f x
A. f 0 2 3.
x3 2 x2 x
x2 3
với mọi x 1; . Giá trị của f 0 bằng
B. f 0 e 3.
C. f 0 3.
Lời giải
D. f 0 1 3.
Chọn A
+) Từ giả thiết, ta có
2
x x 1
x3 2 x2 x
2 f x x 1 x 1 f x
2
x 3
x2 3
2 f x x 1
x
x 1
x
x 1
f
x
f x
f x
2
x 1
x2 3 x 1
x2 3
x 1 x 1
2 f x x 1 f x
2
x 1
x
x 1
x
x 1
. f x 2
. f x 2
dx
. f x x2 3 C
x 1
x 1
x 1
x 3
x 3
có * thỏa mãn với mọi x 1; nên thay x 1 vào * ta có C 2.
x 1
Suy ra
. f x x 2 3 2. Do đó f 0 2 3.
x 1
*
+) Lại
2
Câu 3. (SỞ LẠNG SƠN 2019) Cho hàm số f x thỏa mãn f ' x f x . f '' x 4 x 3 2 x với
mọi x và f 0 0 . Giá trị của f 2 1 bằng
A.
5
.
2
B.
9
.
2
C.
16
.
15
D.
8
.
15
Lời giải
Chọn C
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 3
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Tích Phân Hàm Ẩn
2
Ta có: f ' x f x . f '' x f x . f ' x ' . Từ giả thiết ta có: f x . f ' x ' 4 x 3 2 x
Suy ra: f x . f ' x 4 x 3 2 x dx x 4 x 2 C . Với f 0 0 C 0
Nên ta có: f x . f ' x x 4 x 2
1
Suy ra:
1
f x . f ' x dx x
0
4
2
x dx
f 2 x
0
2
1
0
8
16
f 2 1 .
15
15
Câu 4. (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Cho hàm số f x thỏa mãn
2
xf x 1 x 2 1 f x . f x với mọi x dương. Biết f 1 f 1 1 . Giá trị f 2 2 bằng
A. f 2 2 2 ln 2 2 .
B. f 2 2 2ln 2 2 .
C. f 2 2 ln 2 1 .
D.
f 2 2 ln 2 1 .
Lời giải
Chọn B
2
Ta có: xf x 1 x 2 1 f x . f " x ; x 0
2
2
1
x 2 . f ' x 1 x 2 1 f x . f " x f ' x 2 1 f x . f " x
x
2
'
1
1
f ' x f x . f " x 1 2 f x . f ' x 1 2
x
x
'
1
1
Do đó: f x . f ' x .dx 1 2 .dx f x . f ' x x c1.
x
x
Vì f 1 f ' 1 1 1 2 c1 c1 1.
1
1
Nên f x . f ' x .dx x 1.dx f x .d f x x 1 .dx
x
x
2
f x x2
1 1
ln x x c2 . Vì f 1 1 1 c2 c2 1.
2
2
2 2
2
2
f x x
Vậy
ln x x 1 f 2 2 2 ln 2 2 .
2
2
Câu 5. (THPT NÔNG CỐNG 2 LẦN 4 NĂM 2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên
1
0;1 thỏa mãn 3 f x x. f ( x) x 2018 x 0;1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của f x dx .
0
A.
1
.
2018.2020
B.
1
.
2019.2020
C.
1
.
2020.2021
D.
1
.
2019.2021
Lời giải
Chọn D
x 2021
Xét hàm số: g x x . f x
trên 0;1 .
2021
Ta có: g x 3 x 2 f x x 3 f x x 2020 x 2 . 3 f x x. f ( x) x 2018 0 x 0;1 .
3
Do đó g x là hàm số không giảm trên 0;1 , suy ra g x g 0 x 0;1
x2021
x 2018
0, x 0;1 f x
0, x 0;1 .
Hay x . f x
2021
2021
3
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 4
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Vậy:
1
1
f x dx
0
0
Tích Phân Hàm Ẩn
1
x 2018
dx
.
2021
2019.2021
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f x
x 2018
.
2021
u uv uv
2) Quy tắc: Nếu u u x và v v x thì
với v 0.
v2
v
f x
f x
h x dx.
- Nếu
h x thì
g x
g x
1 u
Hệ quả: Nếu u u x thì 2 với u 0 .
u
u
1
1
g x thì
- Nếu
g x dx
f x
f
x
Câu 6. (ĐỀ THTP QUỐC GIA NĂM 2018 – MÃ ĐỀ 101) Cho hàm số f x thỏa mãn f 2
2
9
2
và f x 2 x f x , x . Giá trị của f 1 bằng
35
2
19
2
A. .
B. .
C. .
D. .
36
3
36
15
Lời giải
Chọn B
1
f x
2
1
+)Ta có f x 2 x f x
2x
2 xdx
2 x
2
f x
f x
f x
1
x2 C .
f x
2
1
1
1
2
+) Lại có f 2 C
x 2 f 1 .
9
2
f x
2
3
Câu 7. (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên
khoảng 0; thỏa mãn x 2 f x f x 0 và f x 0 , x 0; . Tính f 2 biết f 1 e .
A. f 2 e2 .
C. f 2 2e2 .
B. f 2 3 e .
D. f 2 e .
Lời giải
Chọn D
Ta có f x 0 , x 0; f x 0 không có nghiệm trên khoảng 0;
f x 0 không có nghiệm trên khoảng 1; 2 f 1 . f 2 0 , x 1; 2 .
Mà f 1 e 0 nên f 2 0 .
Do đó x 2 f x f x 0
f x
1
.
x2
f x
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 5
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Tích Phân Hàm Ẩn
2
2
2
f x
1
1
d
x
d
x
ln f x
1 x 2
1 f x
1
x1
2
Suy ra
1
1
1 ln f 2 ln f 1 ln f 2 ln e
2
2
1
1
1
ln f 2 1 ln f 2 f 2 e 2 e .
2
2
2
1
Câu 8. Cho hàm số f x thỏa mãn f 1 và f x xf x với mọi x . Giá trị f 2 bằng
3
2
3
16
3
A. .
B. .
C.
.
D.
.
3
2
3
16
Lời giải
Chọn B
1
f x
1
x3
2
2
2
x
x
x
dx
C .
+) Từ giả thiết, ta có 2
f x
f x
3
f x
1
10
1
x3 10
1
2
3
+) Lại có f 1 C
f 2 .
3
3
3
2
f x
f 2 3
Câu 9. (QUỲNH LƯU LẦN 1) Cho hàm số f x thỏa mãn các điều kiện f 1 2 ,
2
2
f x 0, x 0 và x 2 1 f ' x f x x 2 1 với mọi x 0 . Giá trị của f 2 bằng
2
2
5
5
A. .
B. .
C. .
D.
.
5
5
2
2
Lời giải
Chọn D
2
f ' x
2
x2 1
2
2
Ta có x 1 f ' x f x x 1
x 1; 2 (*)
2
2
f x
x 2 1
Lấy tích phân 2 vế (*) trên 1; 2 ta được
1
2 1
1 2
x2
1 f x 2 dx 1 x 2 1 2 dx f x 1 1 1 2 dx
x
x
1
2 d x
2
1
1
1
1
1
x
2
1 1
f 2 f 1 1
f 2 2
1
x
x x
x
2
f ' x
2
x2 1
1
1
2 1
5
f 2 .
5 2
2
f 2 2
Câu 10. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2 và thỏa mãn f 1
1
và
2
2
3
f x xf x 2 x x
2
f x , x 1; 2. Giá trị của tích phân xf x dx bằng
2
1
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 6
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
4
A. ln .
3
3
B. ln .
4
Tích Phân Hàm Ẩn
C. ln 3.
D. 0.
Lời giải
Chọn B
+) Từ giả thiết, ta có f x xf x 2 x 3 x 2 f 2 x
f x xf x
xf x
2
2x 1
1
1
1
2 x 1 dx
x 2 x C.
2 x 1
xf x
xf x
xf x
2
2
1
1
1
+) Lại có f 1 C 0 xf x
xf x dx
dx
2
x x 1
x
x
1
1
1
2
1
x 1 2
3
1
dx ln
ln .
x 1 x
x 1
4
1
Câu 11. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 đồng thời thỏa mãn f 0 9 và
2
9 f x f x x 9 . Tính T f 1 f 0 .
A. T 2 9ln 2 .
B. T 9 .
C. T
1
9 ln 2 .
2
D. T 2 9ln 2 .
Lời giải
Chọn C
2
2
Ta có 9 f x f x x 9 9 f x 1 f x x
f x 1
1
.
9
f x x
2
f x 1
1
1
x
dx dx
C .
9
f x x 9
f ' x x
1
9
9
Do f 0 9 nên C suy ra f x x
f x
x
9
x 1
x 1
Lấy nguyên hàm hai vế
1
2
1
1
x2
9
x dx 9ln x 1 9 ln 2 .
Vậy T f 1 f 0
x 1
2 0
2
0
1
Câu 12. Cho hàm số f x 0 thỏa mãn điều kiện f x 2 x 3 f 2 x và f 0 . Biết rằng
2
a
a
tổng f 1 f 2 f 3 ... f 2017 f 2018 với a , b và
là phân số tối giản.
b
b
Mệnh đề nào sau đây đúng?
a
a
A. 1 .
B.
1.
C. a b 1010 .
D. b a 3029 .
b
b
Lời giải
Chọn D
f x
Ta có f x 2 x 3 f 2 x 2
2x 3
f x
f x
f
2
x
dx 2 x 3 dx
1
1
x 2 3 x C . Vì f 0 C 2 .
2
f x
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 7
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Vậy f x
1
x 1 x 2
Tích Phân Hàm Ẩn
1
1
.
x 2 x 1
Do đó f 1 f 2 f 3 ... f 2017 f 2018
1
1
1009
.
2020 2
2020
Vậy a 1009 ; b 2020 . Do đó b a 3029 .
Câu 13. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2 thỏa mãn f 1 2 và
2
f x x 1 f x 2 xf 2 x , x 1;2. Giá trị của
f x dx bằng
1
A. 1 ln 2.
B. 1 ln 2.
1
ln 2.
2
C.
D.
1
ln 2.
2
Lời giải
Chọn D
+) Từ giả thiết, ta có f x x 1 f x 2 xf 2 x
f x x 1 f x
f 2 x
2x
x 1
x 1
x 1
2 xdx
x 2 C.
2x
f x
f x
f x
2
2
1 1
1 1
+) Lại có f 1 2 C 0 f x 2 f x dx 2 dx
x x
x x
1
1
2 12 1
ln x
ln 2.
1 x1 2
Câu 14. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 0
1
và
3
2
f x f x f x với mọi x 0;1 . Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y f x , trục hoành và hai đường thẳng x 0; x 1.
4
B. ln .
3
A. ln 2.
3
D. ln .
4
C. ln12.
Lời giải
Chọn B
2
+) Ta có f x f x f x
e f x e f x
e
x
x
f x
+) Lại có f 0
ln 2
+) Do đó S
0
x
2
f x f x
f x
2
1
ex f x ex f x
f x
2
ex
e x
ex
x
e x dx e x C .
e
f
x
f
x
1
ex
ex
C 2
ex 2 f x
.
3
f x
2 ex
ln 2
ex
4
dx ln 2 e x
ln 4 ln 3 ln .
x
0
2e
3
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 8
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Tích Phân Hàm Ẩn
Câu 15. Cho hàm số f x xác định và có đạo hàm liên tục trên khoảng 0; thỏa mãn f 1 2
và x f x x f x 1, x 0. Giá trị của f e bằng
A. e 2 e.
B. e 2 1.
C. e 2 e.
D. e 2 1.
Lời giải
Chọn B
+) Từ giả thiết, ta có x f x x f x 1 xf x f x x 2 1
xf x f x x 2 1 xf x x f x x 2 1 f x
1
2
2
1 2
2
2
x
x
x
x
x
x
f x
1
x C.
x
x
+) Lại có f 1 2 C 0
f x
x
x
1
f x x2 1 f e e 2 1.
x
Câu 16. (PHAN ĐÌNH TÙNG HÀ TĨNH) Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên \ 0 ,
2
biết x. f x 1, x 0; f 1 2 và x. f x 1 x. f x f x 0 với x \ 0. Tính
e
f x dx.
1
A.
1
2.
e
1
B. 2 .
e
1
C. .
e
D.
1
1.
e
Lời giải
Chọn A
2
2
Ta có x. f x 1 x. f x f x 0 x. f x 1 x. f x f x
x. f x f x
1 (do x. f x 1, x 0 ).
2
x. f x 1
1
1
1
xC
x. f x 1
x. f x 1
1
Do f 1 2 nên
C 1 1 C 1 C 0 .
f 1 1
1
1 x
1 1
Do đó
x x 2 . f x x 1 f x
2
2
x. f x 1
x
x
x
e
Suy ra
1
e
e
1
1 1
1
f x dx 2 dx ln x 2.
x
x
x
1 e
1
Câu 17. (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN 1 NĂM 2019) Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng
3
(1; ) và thỏa mãn xf ( x) 2 f ( x) ln x x f ( x) , x (1; ) ; biết f
thuộc khoảng nào dưới đây?
25
27
A. 12; .
B. 13; .
2
2
23
C. ;12 .
2
e 3e . Giá trị
3
f (2)
29
D. 14; .
2
Lời giải
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 9
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Tích Phân Hàm Ẩn
Chọn C
Vì x (1; ) nên ta có
x 2 f ( x ) 2 xf ( x )
f ( x)
4
x f ( x) 2 xf ( x) ln x x xf ( x)
ln x 1 3
4
x
x
f ( x)
f ( x)
f ( x)
f ( x)
2 ln x 1 3 2 ln xdx 1 3 dx
x
x
x
x
f ( x ) ln x
f ( x)
f ( x)
3 dx x 3 dx C
2
x
x
x
x2 x C
f ( x) ln x
f ( x) ln x
xC
.
x C f ( x)
x2
x2
ln x
x3
.
Theo bài ra f 3 e 3e C 0 f ( x) =
ln x
8
23
Do đó f (2) =
;12 .
ln 2 2
2
Câu 18. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên khoảng 0;1 và f x 0 , x 0;1 . Biết rằng
3
1
f a, f
và x xf x 2 f x 4 , x 0;1 . Tính tích phân
2 b
2
3
I
6
sin 2 x.cos x 2sin 2 x
dx theo a và b .
f 2 sin x
3a b
.
4ab
A. I
3b a
B. I 4ab .
3b a
C. I 4ab .
3a b
D. I
.
4ab
Lời giải
Chọn D
x 0;1 ta có:
x xf x 2 f x 4 x 4 2 f x xf x x 2 4 x 2 xf x x2 f x
2
x 2 4 x x2
x 2 4 x 2 xf x x f x
2
2
.
f x
f 2 x
f x f x
3
Tính I
6
3
2
sin x.cos x 2sin 2 x
sin 2 x.cos x 4sin x.cos x
d
x
dx
f 2 sin x
f 2 sin x
6
Đặt t sin x dt cos xdx , đổi cận x
1
3
t , x t
.
6
2
3
2
2
3
2
Ta có I
1
2
t 2 4t
t2
d
t
f 2 t
f t
3
2
1
2
3
2
3
f
2
2
1
2 3 1 3a b .
4ab
1 4b 4a
f
2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 10
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Tích Phân Hàm Ẩn
Câu 19. (NAM TIỀN HẢI THÁI BÌNH LẦN 1) Cho hàm số f x 0 có đạo hàm liên tục trên
2
f x
2
0, 3 , đồng thời thỏa mãn f 0 0 ; f 0 1 và f x . f x cos x f x .Tính
T f
3
A. T
3
.
4
B. T
3
.
4
C. T
3
.
2
D. T
1
.
2
Lời giải
Chọn D
2
2
f x . f x f x
f x
2
1
Ta có f x . f x
f x
2
f x
cos2 x
cos x
f 0 0
f x
f x
1
tan
x
C
nên C 0 .
.
Vì
cos2 x
f x
f 0 1
f x
Do đó
f x
f x
3
tan x . Suy ra
d f x
0
f x
3
3
d (cos x )
tan x.dx
ln f x 03 ln cos x 03
cos x
0
0
1
1
ln f ln f 0 ln ln1 f .
2
3
3 2
u
3) Quy tắc: Nếu u u x thì u
với u 0.
2 u
- Nếu f x h x thì f x h x dx.
Câu 20. Cho hàm số f x đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn
1
f x 2 f x , x 0;1 và f 0 1. Giá trị của tích phân
f x dx bằng
0
A.
8
.
3
B. 7.
C.
1
.
3
D.
7
.
3
Lời giải
Chọn D
+) Từ giả thiết, ta có
f x 2 f x
f x
2 f x
1
f x 1
1
f x dx
f x x C
1
2
2
+) Lại có f 0 1 C 1 f x x 1 f x dx x 1 dx
0
0
1
7
3 1
x 1 .
0 3
3
Câu 21. Cho hàm số f x đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 0 1 và
2
1
f x 16 x 2 . f x 0 với mọi x 0;1 . Giá trị của tích phân I f x dx bằng
0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 11
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A.
28
.
15
B.
8
.
15
Tích Phân Hàm Ẩn
2
C. .
3
4
.
3
D.
Lời giải
Chọn A
2
+)
Từ
giả
thiết,
f x 2x
ta
f x
f x 16 x . f x
4 x2
4 f x
2
có
f x 2 xdx
f x
2
2 f x
2x
f x x 2 C.
2
1
1
0
0
2
+) Lại có f 0 1 C 1 f x x 2 1 I f x dx x 2 1 dx
28
.
15
Câu 22. Cho hàm số y f x 0 xác định, có đạo hàm trên đoạn 0;1 và thỏa mãn:
x
1
g x 1 2018 f t dt , g x f 2 x . Tính
0
A.
1011
.
2
B.
g x dx .
0
1009
.
2
2019
.
2
C.
D. 505 .
Lời giải
Chọn A
x
Ta có g x 1 2018 f t dt g x 2018 f x 2018 g x
0
g x
g x
2
t
2018
0
g x
g x
t
dx 2018 dx 2
g x
0
t
0
t
2018 x 0
1
1
1011
1009 2
.
g t 1 2018t (do g 0 1 ) g t 1009t 1 g t dt
t t
2
2
0
0
Câu 23. Cho hàm số f x đồng biến và có đạo hàm lên tục trên đoạn 1; 4 thỏa mãn f 1 1 và
2
f x xf x 4 f x , x 1; 4 . Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y f x , trục hoành và hai đường thẳng x 1, x 4.
A. 4 2ln 2.
B. 4 2ln 2.
C. 4 ln 2.
D. 4 ln 2.
Lời giải
Chọn B
2
+) Ta có f x xf x 4 f x
f x xf x
2 xf x
xf x
f x xf x
4 f x
2
f x xf x
1
4 xf x
xf x
x f x xf x 1
1
1
x
x
x
2 xf x
2 xf x
2
1
x
1
xf x
x
1
dx xf x 2 x C.
x
+) Lại có f 1 1 C 1 xf x 2
2
x 1 f x
2
x 1
x
.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 12
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
4
+) Do đó S
2
x 1
x
1
Tích Phân Hàm Ẩn
2
4
4
4
4
4 1
dx 4
dx 4 x 8 x ln x 4 2ln 2.
1
1
1
x x
1
Câu 24. Cho hàm số f liên tục, f x 1 , f 0 0 và thỏa f x x 2 1 2 x f x 1 . Tính
f
3 .
A. 0 .
B. 3 .
C. 7 .
D. 9 .
Lời giải
Chọn B
Ta có f x x 2 1 2 x f x 1
f x
3
f x 1
0
f
3
dx
3 1
0
2x
x2 1
dx
f 0 1 1
f
f x
f x 1
f x 1
3
2x
x2 1
3
x2 1
0
0
f x 1
3
1
0
3 1 2 f 3 3 .
Câu 25. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 4 , đồng biến trên đoạn 1; 4 và thỏa
4
2
3
x
2
x
.
f
x
x
1;
4
mãn đẳng thức
f x ,
. Biết rằng f 1 , tính I f x dx ?
2
1
A. I
1186
.
45
B. I
1174
.
45
C. I
1222
.
45
D. I
1201
.
45
Lời giải
Chọn A
2
Ta có x 2 x. f x f x x . 1 2 f x f x
Suy ra
f x
1 2 f x
dx x dx C
df x
1 2 f x
f x
1 2 f x
x , x 1; 4 .
dx x dx C
2
2 32 4
x 1
3
3
2 32
3
4
1 2 f x x C . Mà f 1 C . Vậy f x
.
3
2
3
2
4
1186
Vậy I f x dx
.
45
1
Câu 26. (LÝ NHÂN TÔNG) Cho hàm số f x liên tục không âm trên 0; , thỏa mãn
2
f x . f x cos x 1 f 2 x với mọi x 0; và f 0 3 . Giá trị của f bằng
2
2
A. 2 .
B. 1 .
C. 2 2 .
D. 0 .
Lời giải
Chọn C
2 f x. f x
Với x 0; ta có f x . f x cos x 1 f 2 x
cos x * .
2
2 1 f 2 x
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 13
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Tích Phân Hàm Ẩn
Suy ra 1 f 2 x sin x C .
Ta có f 0 3 C 2 , dẫn đến f x
sin x 2
2
1 . Vậy f 2 2 .
2
4) Quy tắc: Nếu u u x thì eu u.eu ;
- Nếu e f x
g x thì e g x dx.
f x
Câu 27. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 0 1 và
1
f x x 2 1
f x .e
2 x, x 0;1 . Giá trị của f x dx bằng
0
A.
4
.
3
4
C. .
3
B. 2.
D. 2.
Lời giải
Chọn A
+) Ta có f x .e f x x
e
f x
2
1
2 x f x .e f x 2 xe x
2
2 xe x 1dx e
f x
ex
2
1
1
1
e f x
2 xe
x 2 1
C.
+) Lại có f 0 1 C 0 e f x e x
2
1
f x x 2 1.
1
1
1 4
f x dx x 2 1 dx x3 x .
3
0 3
0
+) Do vậy
2
0
Câu 28. (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Cho f x có đạo hàm trên
và thỏa mãn 3 f x .e f
3
x x 2 1
2x
0 với mọi x . Biết f 0 1 , tính tích phân
f x
2
7
x. f x dx .
I
0
9
.
2
A. I
45
.
8
B. I
C. I
11
.
2
D. I
15
.
4
Lời giải
Chọn B
f3 x
Ta
3 f x .e
có
ef
3
x
f 3 x x 2 1
e e
x 2 1
f 3 x
3
2
e
2x
2x
f
x
3
.
2
0
x2 1 2 3 f 2 x . f x .e f x 2 x.e x 1
f x
f x
e
ex
2
1
C * .
Thế x 0 vào * ta được e e C C 0 .
Do đó e f
3
x
7
Vậy I
0
ex
2
1
f 3 x x2 1 f x 3 x2 1 .
1
x x 1dx
2
3
2
7
0
2
1 x 1
x 1 d x 1 .
4
2
3
2
1
3
2
7
4
3
3
x2 1
8
7
3
2
x 1
0
0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 14
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Tích Phân Hàm Ẩn
3
45
. 16 1
.
8
8
Câu 29. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn f 0 0 và
f x 1 e f x 1 e x , x . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục
hoành và hai đường thẳng x 1, x 3.
A. 4.
B. 2.
C. 8.
D. 5.
Lời giải
Chọn A
+) Ta có f x 1 e f x 1 e x f x f x e f x 1 e x f x e f x 1 e x
f x
f x e x e x C.
+) Lại có f 0 0 C 0 f x e
f x
x ex .
Xét hàm số g t t et với t . g t 1 et 0, t nên g t đồng biến trên .
3
3
1
2
f x
Suy ra f x e x e x f x x. Do đó S xdx x 2 4.
1
1
Câu 30. (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Cho hàm số y f ( x) liên tục và có đạo hàm trên thỏa
mãn 3 f 2 ( x). f '( x) 4 xe f
3
1 4089
4
2
( x ) 2 x x 1
1 f (0). Biết rằng I
(4 x 1) f ( x )dx
0
giản. Tính T a 3b
A. T 6123.
B. T 12279.
C. T 6125.
a
là phân số tối
b
D. T 12273.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
3
3
2
2
3
2
3 f 2 ( x). f '( x) 4 xe f ( x ) 2 x x 1 1 f (0) ( f 3 ( x)) ' e f ( x ) e f ( x ) (4 x 1).e2 x x 1 e2 x x 1
3
3
2
2
f 3 x x e f x x 2 x 2 1 .e2 x 1 e f x x e2 x 1 C
Mà f 0 1 C 0 f 3 x x 2 x 2 1
f 3 ( x) 2 x 2 x 1 f ( x) 3 2 x 2 x 1
1 4089
4
I
(4 x 1) f ( x )dx
0
12285
.
4
u
5) Quy tắc: Nếu u u x nhận giá trị dương trên K thì ln u
trên K .
u
- Nếu ln f x g x thì ln f x g x dx.
Câu 31. Cho hàm số y f x có đạo hàm và liên tục trên đoạn 1;1 , thỏa mãn f x 0, x
và f ' x 2 f x 0 . Biết f 1 1 , tính f 1 .
A. f 1 e2 .
B. f 1 e3 .
C. f 1 e4 .
D. f 1 3 .
Lời giải
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 15
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Tích Phân Hàm Ẩn
Chọn C
Biến đổi:
f ' x 2 f x 0
ln
f 1
f 1
4
f ' x
f x
f 1
f 1
1
2
f ' x
f x
1
1
1
dx 2dx
1
df x
f x
4 ln f x 11 4
1
e 4 f 1 f 1 .e 4 e 4 .
Câu 32. Cho hàm số f x nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên 0; thỏa mãn điều kiện
f 1 1 và f x f x 3x 1, x 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. 1 f 5 2.
B. 2 f 5 3.
C. 4 f 5 5.
D. 3 f 5 4.
Lời giải
Chọn D
+) Từ giải thiết, ta có f x f x 3 x 1
f x
f x
1
1
ln f x
3x 1
3x 1
1
2
dx ln f x
3x 1 C .
3
3x 1
4
4
2 3x 1 4
+) Lại có f 1 1 C ln f x
f 5 e 3 3, 79.
3
3
ln f x
Câu 33. Cho hàm số f x đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 0 0 và
1
f x 2 x 1 f x , x . Giá trị của
2xf x dx bằng
0
A. e 2.
B. e 1.
C. e 2.
D. e.
Lời giải
Chọn A
1 f x
2
x
2 x ln 1 f x 2 x
+) Từ giải thiết, ta có
1 f x
1 f x
f x
ln 1 f x 2 xdx ln 1 f x x 2 C .
2
2
+) Lại có f 0 0 C 0 ln 1 f x x 2 1 f x e x f x e x 1.
1
1
1
2
2 1
+) Vậy 2 xf x dx 2 x e x 1 dx e x x 2 e 2.
0
0
0
0
Câu 34. Cho hàm số f x đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2 thỏa mãn điều kiện
1
f x , x 1;2 . Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi
x
đồ thị của hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng x 1, x 2 quay quanh trục hoành.
f 1 1 và f x
A. 7 .
B.
7
.
3
C.
5
.
3
D. 3 .
Lời giải
Chọn B
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 16
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
+) Từ giả thiết, ta có f x
Tích Phân Hàm Ẩn
f x 1
1
1
f x
ln f x
x
f x x
x
1
ln f x dx ln f x ln x C.
x
2
2
+) Lại có f 1 1 C 0 f x x V f 2 x dx x 2 dx
1
1
x 3 2 7
.
3 1
3
Câu 35. (-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019) Cho hàm số f x thỏa mãn
f x 2 x. f x e x f x với f x 0,x và f 0 1 . Khi đó f 1 bằng
B. e e 2 .
A. e 1.
D. ee 1 .
C. e 1 .
Lời giải
Chọn B
Từ giả thiết: f x 2 x. f x e x f x , ta có
f x f x ex 2x
f x
f x
f x
f x
e x 2 x (vì f x 0, x )
dx e x 2 x dx ln f x e x x 2 C .
Mà f 0 1 nên C 1 . Khi đó, ta được: ln f x e x x 2 1 .
Thế x 1 , ta có: ln f 1 e 2 f 1 ee 2 .
DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 1:
b
b
Cho u '( x ). f u ( x) .dx , tính
a
b
f ( x ).dx . Hoặc cho
a
a
b
f ( x ).dx , tính u '( x ). f u ( x) .dx .
a
Đối với loại bài tập này chúng ta sẽ đổi biến t u ( x) và lưu ý cho học sinh tích phân của hàm số thì
không phụ thuộc vào biến số.
4
2
Câu 36. Cho f x dx 16 . Tính
0
A. 16 .
f 2 x dx
0
C. 32 .
B. 4 .
D. 8 .
Lời giải
Chọn D
2
1
f 2 x dx . Đặt 2x t dx 2 dt . Khi x 0 thì t 0 ; khi
Xét tích phân
x 2 thì t 4 .
0
2
Do đó
4
f 2 x dx
0
2
4
1
1
1
f t dt f x dx .16 8 .
20
20
2
4
Câu 37. Cho f x dx 2 . Tính I
1
1
f
x dx bằng
x
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 17
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A. I 1 .
B. I 2 .
Tích Phân Hàm Ẩn
C. I 4 .
D. I
1
.
2
Lời giải
Chọn C
Đặt t x dt
f
4
I
x dx
x
1
1
2 x
dx ; đổi cận: x 1 t 1 , x 4 t 2
2
1
2
f t 2dt 2 f t dt 2.2 4 .
1
16
Câu 38. Cho hàm số f x liên tục trên thỏa mãn
f
dx 6 và
x
2
x
f sin x cos xdx 3 . Tính
C. I 9 .
D. I 2 .
1
0
4
tích phân I f x dx .
0
B. I 6 .
A. I 2 .
Lời giải
Chọn B
16
Xét I
1
f
x dx 6 , đặt
x
x t
dx
dt
2 x
4
4
Đổi cận: x 1 t 1 ; x 16 t 4 nên I 2 f t dt 6 f t dt
1
1
6
3.
2
2
J f sin x cos xdx 3 , đặt sin x u cos xdx du
0
1
Đổi cận: x 0 u 0 ; x u 1 J f u du 3
2
0
4
1
4
Vậy I f x dx f x dx f x dx 3 3 6 .
0
0
1
1
Câu 39. Cho hàm số f x liên tục trên thỏa
2
f 2 x dx 2 và f 6 x dx 14 . Tính
0
0
2
f 5 x 2 dx .
2
A. 30 .
B. 32 .
C. 34 .
D. 36 .
Lời giải
Chọn B
1
+ Xét
f 2 x dx 2 . Đặt u 2x du 2dx ; x 0 u 0 ;
x 1 u 2 .
0
1
2
2
1
Nên 2 f 2 x dx f u du f u du 4 .
20
0
0
2
+ Xét
f 6 x dx 14 . Đặt v 6 x dv 6dx ; x 0 v 0 ;
x 2 v 12 .
0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 18
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
2
12
Nên 14 f 6 x dx
0
Tích Phân Hàm Ẩn
12
1
f v dv f v dv 84 .
6 0
0
0
2
2
f 5 x 2 dx f 5 x 2 dx f 5 x 2 dx .
+ Xét
2
2
0
0
* Tính I1
f 5 x 2 dx .
2
Đặt t 5 x 2 .Khi 2 x 0 , t 5x 2 dt 5dx ; x 2 t 12 ; x 0 t 2 .
2
12
2
1
1
1
I1
f t dt f t dt f t dt 84 4 16 .
5 12
5 0
0
5
2
* Tính I1 f 5 x 2 dx .
0
Đặt t 5 x 2 .Khi 0 x 2 , t 5x 2 dt 5dx ; x 2 t 12 ; x 0 t 2 .
I2
12
12
2
1
1
1
f
t
d
t
f
t
d
t
f t dt 84 4 16 .
52
5 0
0
5
2
f 5 x 2 dx 32 .
Vậy
2
2
Hoặc: Do hàm f 5 x 2 là hàm số chẵn nên
0
f 5 x 2 dx 2 f 5 x 2 dx 2.16 32 .
2
2
2
Câu 40. (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi) Cho I f x dx 2 . Giá trị của
1
2
sin x. f
J
3cos x 1
3cos x 1
0
dx bằng
4
B. .
3
A. 2.
C.
4
.
3
D. 2 .
Lời giải
Chọn C
3sin x
dx .
2 3cos x 1
Đổi cận: x 0 t 2 ; x t 1 .
2
1
2
2
2
2
2
2
4
Khi đó: J f t dt f t dt f x dx .2 .
3
3
31
3
3
2
1
Đặt t 3cos x 1 dt
Câu 41. Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 1; 4 và thỏa mãn f x
ln x . Tính tích
f 2 x 1
x
x
4
phân I f x dx .
3
A. I 3 2 ln 2 2 .
B. I 2ln 2 2 .
C. I ln 2 2 .
D. I 2ln 2 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 19
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Tích Phân Hàm Ẩn
Lời giải
Chọn B
4
Ta có
1
4 f 2 x 1
4 f 2 x 1
4
ln x
ln x
f x dx
dx
dx
dx .
x
x
x
x
1
1
1
dx .
f 2 x 1
4
Xét K
x
1
Đặt 2 x 1 t x
4
3
3
dx
t 1
dt . K f t dt f x dx .
2
x
1
1
4
4
ln x
ln 2 x
2
dx ln xd ln x
Xét M
2ln 2 .
x
2 1
1
1
4
Do đó
4
3
f x dx f x dx 2ln 2 2 f x dx 2 ln 2 2 .
1
3
1
2
1
Câu 42. Cho
f 2 x 1 dx 12 và
0
3
f sin 2 x sin 2 xdx 3 . Tính
0
0
A. 26 .
f x dx .
C. 27 .
B. 22 .
D. 15 .
Lời giải
Chọn C
3
3
3
3
1
t 1 1
Đặt 2 x 1 t 12 f t d
f t dt f x dx f x dx 24 .
21
2 21
1
1
2
Ta có
2
f sin x sin 2 xdx f sin x .2sin x cos xdx 2 sin x. f sin x d sin x
2
2
0
2
2
2
0
1
0
1
f sin 2 x d sin 2 x f u du f x dx 3
0
0
3
1
0
3
f x dx f x dx f x dx 3 24 27 .
0
0
1
3
Câu 43. Cho hàm số y f x liên tục trên và thỏa mãn f 4 x f x . Biết
xf x dx 5 .
1
3
Tính I f x dx .
1
A. I
5
.
2
B. I
7
.
2
C. I
9
.
2
D. I
11
.
2
Lời giải
Chọn A
Cách 1: Dùng tính chất để tính nhanh
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 20
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Tích Phân Hàm Ẩn
Cho hàm số f x liên tục trên a; b và thỏa mãn điều kiện f a b x f x , x a; b . Khi đó
b
b
xf x dx
a
ab
f x dx
2 a
Chứng minh:
Đặt t a b x dx dt , với x a; b . Đổi cận: khi x a t b ; khi x b t b
b
Ta có
b
a
xf x dx xf a b x dx a b t f t dt
a
a
b
b
b
b
b
b
a b t f t dt a b f t dt tf t dt a b f x dx xf x dx
a
a
b
a
b
b
2 xf x dx a b f x dx
a
a
b
xf x dx
a
a
a
ab
f x dx .
2 a
Áp dụng tính chất trên với a 1 , b 3 .
f x liên tục trên a; b và thỏa mãn f 1 3 x f x .
3
3
3
1 3
5
Khi đó xf x dx
f x dx f x dx .
4 1
2
1
1
Cách 2: Đổi biến trực tiếp:
Đặt t 4 x , với x 1;3 .
3
Ta có
3
3
3
3
xf x dx xf 4 x dx 4 t f t dt 4 f t dt t. f t dt
1
1
3
1
3
5 4 f t dt 5 f t dt
1
1
1
1
5
.
2
Câu 44. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 1;3 thỏa mãn f 4 x f x , x 1;3 và
3
3
xf x dx 2 . Giá trị
f x dx
1
1
bằng
B. 1 .
A. 2 .
C. 2 .
D. 1 .
Lời giải
Chọn B
3
Xét I xf ( x)dx (1).
1
Đặt x 4 t , ta có dx dt ; x 1 t 3 , x 3 t 1 .
3
3
3
Suy ra I 4 t f (4 t )dt 4 t f (t )dt , hay I 4 x f ( x )dx (2).
1
1
1
3
3
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được 2 I 4 f ( x)dx f ( x )dx
1
1
I
1 .
2
Câu 45. (HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN) Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa mãn
4
e2
tan x. f cos x dx 2
2
0
và
e
f ln 2 x
x ln x
dx 2 . Tính
2
1
4
f 2x
x
dx .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 21
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A. 0 .
B. 1 .
C. 4 .
Tích Phân Hàm Ẩn
D. 8 .
Lời giải
Chọn D
4
4
2
1 f cos x
* I1 tan x. f cos x dx
.sin2xdx .
2
2
cos
x
0
0
2
Đặt cos 2 x t sin 2 xdx dt .
Đổi cận
x
0
t
1
4
1
2
1
2
1 f t
dt
2 1 t
Khi đó I1
.
e2
* I2
e
f ln 2 x
x ln x
Đặt ln 2 x t
dx 1
e2
2 e
f ln 2 x 2 ln x
.
dx .
ln 2 x
x
2 ln x
dx dt .
x
Đổi cận
x
t
e2
4
e
1
4
1 f t
Khi đó I 2
dt
21 t
.
2
f 2x
1
* Tính I
dx . Đặt 2x t dx dt .
2
x
1
4
Đổi cận
1
4
1
2
x
t
4
Khi đó I
f t
t
1
2
1
dt
1
2
f t
t
4
dt
1
f t
t
2
4
dt 4 4 8 .
.
Câu 46. (CHUYÊN KHTN) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên thỏa mãn
3
8
2
tan x. f (cos x)dx
0
1
A. 4
f (3 x)
dx 6 . Tính tích phân
x
2
1
2
B. 6
f ( x2 )
dx
x
C. 7
D. 10
Lời giải
Chọn C
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 22
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Tích Phân Hàm Ẩn
+) Đặt t 3 x t 3 x 3t 2 dt dx
Đổi cận:
8
2
2
2
f ( 3 x)
f (t)
f (t)
f (t)
Khi đó
dx 3 3t 2 dt 3
dt 6
dt 2
t
x
t
t
1
1
1
1
+) Đặt t cos 2 x dt 2cos x sin xdx dt 2cos 2 x tan xdx tan xdx
1
dt
2t
Đổi cận:
3
1
4
1
1 f (t)
f (t)
Khi đó tan x. f (cos x )dx
dt 6
dt 12
21 t
t
1
0
2
4
dx
dx 1 dt
+) Đặt t x 2 dt 2 xdx dt 2 x 2
x
x 2 t
Đổi cận:
2
Khi đó
1
2
2
1
4
4
2
1 f (t)
1 f (t)
1 f (t)
2 12
f (x2 )
dx
dt
dt
dt
7
x
21 t
21 t
21 t
2
4
Câu 47. Cho hàm số f x liên tục trên R và
1
f tan x dx 4;
0
A. I 6 .
0
x2 f x
x2 1
1
dx 2 . Tính I f x dx .
C. I 3 .
B. I 2 .
0
D. I 1 .
Lời giải
Chọn A
4
Từ
1
f t anx dx 4 ; Ta đặt t tan x ta được
1
Từ
t
0
0
x2 f x
2
x 1
0
1
dx 2
1
x
0
1
f x dx 2
2
1 1 f x
2
x 1
f t
2
1
dt 4
1
f x
1
d x 2 f x dx
0
0
x2 1
dx 2
f x
dx 2 4 6 .
x2 1
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2:
0
0
b
Tính
f x dx
, biết hàm số f x thỏa mãn : A. f x B. u . f u C. f a b x g x .
a
Đối với loại bài tập này, trước khi lấy tích phân hai về ta cần chú ý rằng :
+ Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số A, B, C .
b
+ Nếu f x liên tục trên a; b thì
b
f a b x dx f x dx
a
u a a
+ Với
thì
u b b
u a b
+ Với
thì
u b a
b
f x dx
a
b
a
a
b
1
g x dx .
A B C a
b
f x dx
1
g x dx .
A B C a
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 23
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Tích Phân Hàm Ẩn
+ Học sinh có thể nhớ công thức hoặc thực hiện hai lần đổi biến khác nhau như dạng 1.
6
Câu 48. Cho hàm số f x liên tục trên 0;1 thỏa mãn f x 6 x f x
. Tính
3x 1
2
A. 2 .
3
C. 1 .
B. 4 .
1
f x dx
0
D. 6 .
Lời giải
Chọn B
Cách 1: (Dùng công thức)
Biến đổi f x 6 x 2 f x 3
6
6
f x 2.3x 2 . f x 3
với A 1 , B 2 .
3x 1
3x 1
1
1
6
1
dx 4 .
0
1 2 0 3 x 1
Cách 2: (Dùng công thức biến đổi – nếu không nhớ công thức)
1
1
1
6
1
Từ f x 6 x 2 f x 3
f x dx 2 3x 2 f x3 dx 6
dx
3x 1
3
x
1
0
0
0
f x dx
Áp dụng công thức ta có:
Đặt u x 3 du 3 x 2 dx ; Với x 0 u 0 và x 1 u 1.
1
1
1
Khi đó 3 x f x dx f u du f x dx thay vào * , ta được:
2
3
0
1
0
0
0
1
1
1
f x dx 2 f x dx 6
0
0
1
1
1
dx f x dx 6
dx 4 .
3x 1
3
x
1
0
0
Câu 49. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên 0; 2 và thỏa mãn điều kiện f x f 2 x 2 x . Tính giá
2
trị của tích phân I f x dx .
0
1
B. I .
2
A. I 4 .
4
C. I .
3
D. I 2 .
Lời giải
Chọn D
Cách 1:(Dùng công thức)
2
2
2
1
x2
Với f x f 2 x 2 x ta có A 1 ; B 1 , suy ra: I f x dx
2
x
dx
2.
1 1 0
2 0
0
Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)
2
2
2
Từ f x f 2 x 2 x f x dx f 2 x dx 2 xdx 4 (*)
0
0
0
Đặt u 2 x du dx ; Với x 0 u 2 và x 2 u 0 .
2
Suy ra
0
2
f 2 x dx
0
2
2
f u du f x dx .
0
2
Thay vào (*), ta được 2 f x dx 4 f x dx 2 .
0
0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 24
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Tích Phân Hàm Ẩn
Câu 50. Xét hàm số f x liên tục trên 1;2 và thỏa mãn f x 2 xf x 2 2 3 f 1 x 4 x 3 . Tính
2
giá trị của tích phân I
f x dx .
1
A. I 5 .
5
.
2
B. I
C. I 3 .
D. I 15 .
Lời giải
Chọn C
Cách 1: (Dùng công thức – Dạng 2)
Với: f x 2 x f x 2 2 3 f 1 x 4 x 3 . Ta có:
u 1 1
. Khi đó áp dụng công thức có:
A 1; B 1; C 3 và u x 2 2 thỏa mãn
u 2 2
2
2
2
1
x4
3
I f x
x
4
dx
3.
1 1 3 1
5 1
1
Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)
Từ f x 2 xf x 2 2 3 f 1 x 4 x 3 .
2
2
2
2
f x dx 2 x. f x 2 2 dx 3 f 1 x dx 4 x 3dx
1
1
1
*
1
+) Đặt u x 2 2 du 2 xdx ; với x 1 u 1 và x 2 u 2 .
2
Khi đó
2 x. f x
2
2
2 dx
1
2
f u du f x dx 1
1
1
+) Đặt t 1 x dt dx ; Với x 1 t 2 và x 2 t 1 .
2
Khi đó
2
2
f 1 x dx f t dt f x dx 2
1
1
1
2
2
Thay 1 , 2 vào * ta được: 5 f x dx 15 f x dx 3 .
1
1
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3
Phương pháp:
Lần lượt đặt t u x và t v x để giải hệ phương trình hai ẩn (trong đó có ẩn f x ) để suy ra hàm
số f x (nếu u x x thì chỉ cần đặt một lần t v x ).
Các kết quả đặc biệt:
x b
xc
A.g
B.g
a
a (*)
Cho A. f ax b B. f ax c g x với A2 B2 ) khi đó f x
A2 B 2
A.g x B.g x
+ Hệ quả 1 của (*): A. f x B. f x g x f x
A2 B 2
g x
+ Hệ quả 2 của (*): A. f x B. f x g x f x
với g x là hàm số chẵn.
A B
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 25
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông