120 câu TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN VDC (CÓ GIẢI CHI TIẾT )

GIẢI CHI TIẾT TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO
Vấn đề 1. Tính tích phân theo định nghĩa
Câu 1. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa 2 f  x   3 f 1 x   1  x 2 . Giá trị của tích phân
1


0

f '  x  dx bằng

A. 0.

1
.
2

B.

C. 1.

D.

3
.
2

Lời giải
1

Ta có


0

1

f   x  dx  f  x   f 1  f 0.
0


2
 f 0   
2 f 0  3 f 1  1

5
Từ 2 f  x   3 f 1  x   1  x 2 
 
 
.
2 f 1  3 f 0  0 
3

 f 1 
5

1
3 2
Vậy I   f '  x  dx  f 1  f 0    1.
5 5
0

Đáp án C
Câu 2. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa mãn f 0  f 1  1. Biết rằng
1

e

x

0

 f  x   f   x  dx  ae  b. Tính Q  a 2018  b 2018 .



B. Q  2 .

A. Q  2 2017  1 .
1

Ta có


0

1

C. Q  0 .
Lời giải

e x  f  x   f   x  dx   e x f  x  dx  e x f  x 

/

0

1
0

 ef 1  f 0 

D. Q  2 2017 1 .
f  0 f 11



e 1.


a  1
2018
Suy ra 

 Q  a 2018  b 2018  12018  1  2.


b  1

Đáp án B

Câu 3. Cho các hàm số y  f  x , y  g  x  có đạo hàm liên tục trên 0;2 và thỏa mãn
2


0

2


0

f '  x  g  x  dx  2,

2

/
Tính tích phân I    f  x  g  x  dx .

f  x  g '  x  dx  3.

0

A. I  1.

C. I  5.
Lời giải

B. I  1.
2

D. I  6.

2

/
Ta có I    f  x  g  x  dx    f '  x  g  x   f  x  g '  x  dx
0

0

2

2

0

0

  f '  x  g  x  dx   f  x  g '  x  dx  2  3  5.

Đáp án C
Câu 4. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên 0; và thỏa
1

A. f     .
4
2
x2

Từ



0

1 1
B. f    .
4 2

x2


0

1
f t  dt  x .sin  x  . Tính f   .
 4 
1

C. f    1.
4
Lời giải

f t  dt  x .sin  x  , đạo hàm hai vế ta được 2 xf  x 2   sin  x    x cos  x .

Cho x 

1
2

Đáp án C

1

1





1



 f    1.
ta được 2. . f    sin  cos  1 
 4 
2 4
2 2
2

www.mathvn.com

1

www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/

1



D. f    1  .
4

2


Câu 5. Cho hàm số f  x  liên tục trên a;  với a  0 và thỏa
A. f 4   2.
x

Từ


a

B. f 4   4.

f t 
dt  6  2 x , đạo hàm hai vế ta được
t2

x


a

f t 
dt  6  2 x với mọi x  a. Tính f 4.
t2

C. f 4   8.
Lời giải
f x 

1


x2

x

D. f 4  16.

.

Suy ra f  x   x x 
 f  4   4 4  8.
Đáp án C
Vấn đề 2. Kỹ thuật đổi biến
2017

Câu 6. Cho



f  x  dx  2 . Tính tích phân I 

0

A. I  1.

e 2017 1



0

B. I  2.

Đặt t  ln  x 2  1, suy ra dt 
 x  0  t  0
Đổi cận: 
2017
 x  e


Khi đó I 

1
2

2017


0

1
2

2017


0

.

1
f  x  dx  .2  1.
2

Đáp án A
Câu 7. Cho hàm số f  x  liên tục trên  và
A. I  2.

9



f

 x  dx  4,
x

1

B. I  6.
f

9

 Xét



 x  dx  4. Đặt t 


2

3



f sin x  cos xdx  2. Tính tích phân I   f  x  dx .

0

0

C. I  4.
Lời giải

x  t 2  x,

x

1

D. I  5.

C. I  4.
Lời giải

2 xd x
xdx

dt

 2
 .
x 2 1
x 1
2

1  t  2017

f t  d t 

x
. f  ln  x 2  1 dx .

x 2  1 

D. I  10.

suy ra 2 tdt  dx .

9 f
 x  1  t  1
 x  dx  2 3 f t 2dt  3 f t dt  2.
Đổi cận 
. Suy ra 4  
 
 

 x  9  t  3

 Xét


2



x

1

1

f sin x  cos xdx  2. Đặt u  sin x , suy ra du  cos xdx .

0

Đổi cận

1


x 0u0



.




x   u 1


2



2

1

0

0

Suy ra 2   f sin x  cos xdx   f t  dt .

3

1

3

0

0

1

Vậy I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  4.
Đáp án C
Câu 8. Cho hàm số f  x  liên tục trên  và
A. I  6.
Xét


4


0

B. I  2.


4


0

f  tan x  dx  4,

1


0

1
x 2 f x 
d

x

2.
Tính
tích
phân
I

 f  x  dx .
x 2 1
0

C. I  3.
Lời giải

f tan x  dx  4.

Đặt t  tan x , suy ra dt 
www.mathvn.com

1
dt
dx  tan 2 x  1 dx 
 dx 
.
2
cos x
1 t 2

2

www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/

D. I  1.


Đổi cận:

x  0  t  0



.



x   t 1


4



4

1

Khi đó 4   f tan x  dx  
0

1

1

0

0

Từ đó suy ra I   f  x  dx  

0

1
f t 
f x 
d
t

dx .
2

t 1
x 2 1
0

f x 
x f x 
dx   2
dx  4  2  6.
2

x 1
x 1
0
1

2

Đáp án A
Câu 9. Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn
2

I 
1
4

f 2 x 
dx .
x

A. I  1.

B. I  2.


4


0

tan x . f cos x  dx  1,

2

e2


e

f ln 2 x 
x ln x

C. I  3.
Lời giải

dx  1. Tính tích phân

D. I  4.


4

● Xét A   tan x . f cos2 x  dx  1 . Đặt t  cos 2 x.
0

dt
2t

Suy ra dt  2 sin x cos xdx  2 cos 2 x tan xdx  2 t.tan xdx 
 tan xdx   .
 x  0 
t  1

1.
 x   
t 

4
2


Đổi cận: 

1

Khi đó

1
1
1
2
f t 
f t 
f x 
f x 
1
1
1
1 A  
dt  
dt  
dx 


dx  2.
2 1 t
2 1 t
2 1 x
x
1

f ln 2 x 

e2

● Xét B  

x ln x

e

Suy ra du 

2

2

2

dx  1. Đặt u  ln 2 x.

2 ln x
2 ln 2 x
2u

dx
du
dx 
dx 
dx 


.
x
x ln x
x ln x
x ln x 2u

 x  e 
u 1
Đổi cận: 
.
2

 x  e 
u  4

4
4
4
f u 
f x 
f x 
1
1

Khi đó 1  B  
du  
dx 

dx  2.
2 1 u
2 1 x
x
1
2

● Xét tích phân cần tính I  
1
2

Đặt

Khi

f 2 x 
dx .
x



dx  1 dv
1
1

v 


2 . Đổi cận: 
 x  
v  2 x , suy ra 
4
2.



v

v  4
x 


 x  2 
2

4
4
1
4
f v 
f x 
f x 
f x 
dv  
dx  
dx  
dx  2  2  4.

đó I  
v
x
x
x
1
1
1
1
2

2

2

Đáp án D

1
 2




1
x 

Câu 10. Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên  ;2 , thỏa f  x   f    x 2 
2

I 

1
2

f x 
dx .
x 2 1
3
2

A. I  .
www.mathvn.com

5
2

C. I  .

B. I  2.
3

www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/

1
 2. Tính tích phân
x2

D. I  3.


Lời giải

1
t


1


x  
t  2


2

.


1

x  2 
t 


2



1
t

Đặt x  , suy ra dx   2 dt . Đổi cận:

 1
1
 1 


f  
2 f  
2 f  
 t   1 
 t 
 x 
Khi đó I  
. 2  dt   2
dt   2
dx .
 t 
1
t 1
x 1
1
1
2

1
2
2
t2
 1 

 
1
2

1
2
2 f  
2 f x   f  
2 x 
2
 x 
f x 
 x 
x2
dx  
dx
Suy ra 2 I   2 dx   2 dx  
2
2
x 1
x 1
x 1
x 1
1
1
1
1
1
2

2

2

2



x 1
1
1
dx   1  2  dx   x  





x
x2
x
1

2

2

2


1

2

2
1
2

2

3
 3 
I  .
2

2

Đáp án A
Câu 11. Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa f  x   f x   2  2 cos 2 x với mọi x   .
Tính I 

3
2



3

2

f x d x .

A. I  6 .

Đặt t  x 
 dx  dt . Đổi cận:


3
2

Khi đó I    f t  dt 
3
2

Suy ra 2 I 

C. I  2 .
Lời giải

B. I  0 .

3
2





3
2

3
2



3

2


3
3


x 
t


2
2

.


3

3


x



t




2
2



f t  dt 

 f t   f t  dt 



3
2





3
2

D. I  6 .

3
2



3

2

f x  dx .

2  2 cos 2 t dt 

3
2





3
2

CASIO

2 cos t dt  12 
 I  6.

Đáp án D
Câu 12. Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên  , thỏa f  x 5  4 x  3  2 x  1 với mọi x  . Tích phân

8



2

f  x  dx

bằng

A. 2.

B. 10.

C.

32
.
3

D. 72.

Lời giải


 x  2  t  1
Đặt x  t 5  4t  3, suy ra dx  5t 4  4  dt. Đổi cận 
.
8

Khi đó



2

1

1

1

1



x  8  t  1

f  x  dx   f t 5  4 t  35t 4  4  dt   2 t  15t 4  4  dt  10.

Đáp án B
Câu 13. Cho các hàm số f  x , g  x  liên tục trên 0;1, thỏa m. f  x   n. f 1  x   g  x  với m, n là số thực khác 0
1

và


0

1

f  x  dx   g  x  dx  1.

A. m  n  0.
www.mathvn.com

Tính m  n.

0

1
2

B. m  n  .

C. m  n  1.
4

www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/

D. m  n  2.


Lời giải
Từ giả thiết m. f  x   n. f 1 x   g  x  , lấy tích phân hai vế ta được
1


0

1

Suy ra m  n  f 1  x  dx  1 (do
0

1

Xét tích phân


0

1

Khi đó


0

f 1  x  dx .

1


0

1

m. f  x   n. f 1  x dx  g ( x )dx




0

1

f  x  dx   g  x  dx  1 ) . 1
0

x  0  t  1

Đặt t  1  x , suy ra dt  dx . Đổi cận: 
.

0

1

1

1

0

0



x  1  t  0

f 1  x  dx   f t  dt   f t  dt   f  x  dx  1.

 2

Từ 1 và 2, suy ra m  n  1 .
Đáp án C
Câu 14. Cho hàm số f  x  xác định và liên tục trên 0;1, thỏa mãn f '  x   f ' 1 x  với mọi x  0;1. Biết rằng
1

f 0  1, f 1  41. Tính tích phân I   f  x  dx .
0

A. I  41.

B. I  21.

 f  x    f 1 x   C .
Ta có f '  x   f ' 1  x  

C. I  41.
Lời giải

D. I  42.

f 0 1, f 1 41.
Suy ra f 0    f 1  C 
  
 C  42.
 f  x   f 1 x   42
Suy ra f  x    f 1 x   42 

1

1

0

0


   f  x   f 1  x  dx   42dx  42.
1

1

0

0

1

Vì f '  x   f ' 1  x  
  f  x  dx   f 1  x  dx .
Từ 1 và 2, suy ra

1


0

 2

1

f  x  dx   f 1  x  dx  21.
0

Đáp án B
2

Câu 15. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và thỏa mãn f 3  x   f  x   x với mọi x  . Tính I   f  x  dx .
0

A.

4
I  .
5

B.

4
I .
5

C.

5
I  .
4

D.

Lời giải
Đặt u  f  x  , ta thu được u3  u  x. Suy ra 3u 2  1 du  dx .

 x  0  u  0
5
Từ u 3  u  x , ta đổi cận 
. Khi đó I   u 3u 2  1 du  .
1

 x  2  u  1

0

4

Đáp án D
Cách khác. Nếu bài toán cho f  x  có đạo hàm liên tục thì ta làm như sau:

 f 3 0   f 0   0  f 0   0

.
 *
3





 f 2   f 2   2  f 2   1
f 3  x   f  x   x , ta có f '  x . f 3  x   f '  x . f  x   x . f '  x .

Từ giả thiết f 3  x   f  x   x 


Cũng từ giả thiết

2

Lấy tích phân hai vế


0

2

 f '  x . f 3  x   f '  x . f  x  dx  x . f '  x  dx



0

  f  x  4  f  x  2  2
2
2
2

5
*

 
   xf  x   f  x  dx 

  
  f  x  dx  .


4
2
4
0
 0

0
0

Vấn đề 3. Kỹ thuật tích phân từng phần
www.mathvn.com

5

www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/

5
I .
4


3

A. I  1.

3



Câu 16. Cho hàm số f  x  thỏa mãn

x . f   x .e f  x dx  8 và f 3  ln 3 . Tính I   e f  x  dx .

0

0

B. I  11.



u  x
Đặt 

dv  f   x .e


f x 


du  dx
 
. Khi đó


dx v  e f x 

3

3

0

0

C. I  8  ln 3.
Lời giải
3

 x. f   x .e

f x 

dx  x .e f x 

0

3
0

D. I  8  ln 3.
3

  e f  x  dx .

0

Suy ra 8  3.e f 3   e f x dx 
  e f  x dx  9  8  1.
Đáp án A
 
Câu 17. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên 0;  , thỏa mãn
 2 

2


0


2



f '  x  cos 2 xdx  10 và f 0  3. Tích phân

0

f  x  sin 2 xdx bằng

B. I  7.

A. I  13.

2

D. I  13.

u  cos 2 x
du   sin 2 xdx

f '  x  cos 2 xdx  10 , đặt 
 
.
2

dv  f '  x  cos xdx v  f  x 




Xét

C. I  7.
Lời giải

0


2


2



2

Khi đó 10   f '  x  cos xdx  cos xf  x    f  x  sin 2 xdx
2

2

0

0


2


2

0

0

0

 10   f 0   f  x  sin 2 xdx 
  f  x  sin 2 xdx  10  f 0  13.

Đáp án D
Câu 18. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa mãn
1

x
0

3

2


1

f  x  1 dx  3

và f 1  4. Tích phân

f '  x 2  dx bằng
1
2

B.  .

A. 1.

C.

1
.
2

D. 1.

Lời giải
2

Ta có

1



t  x 1
f  x 1 dx  3 
  f  t  dt  3

1

1

Xét


0

0

1

hay


0

f  x  dx  3.

1
1
u  x
du  dx


1
1
tf
'
t
d
t

xf '  x  dx . Đặt 

.







v  f  x 
2 0
2 0


dv  f '  x  dx 

1
1
 1
1
1
1
1
tx2
x 3 f '  x 2  dx 
  tf ' t  dt   xf  x   f  x  dx    4  3  .
2 0
2
2
2
0
0



t x
x 3 f '  x 2  dx 

2

1

Khi đó


0

Đáp án C
Câu 19. Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên 0;2. Biết f 0  1 và
f  x  f 2  x   e 2 x

A. I  

14
.
3

2

4 x

2

với mọi x  0;2. Tính tích phân I  

f x 

0

B. I  

Từ giả thiết f  x  f 2  x   e 2 x
www.mathvn.com

 x 3  3x 2  f ' x 

2

4 x

32
.
5

x 2

 f 2   1.

C. I  

16
.
3

Lời giải

6

www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/

dx .

D. I  

16
.
5


2

Ta có I  

 x 3  3x 2  f '  x 
f x 

0



u  x 3  3x 2
du  3 x 2  6 x  dx





.
f ' x   





dv 
dx v  ln f  x 




f x 



dx . Đặt

f 21

2

2

2

Khi đó I   x 3  3 x 2  ln f  x    3 x 2  6 x  ln f  x  dx   3  x 2  2 x  ln f  x  dx  3J .
0

0

2

0

0

Ta có J    x 2  2 x  ln f  x  dx 

x  2 t

 2  t 

0

2

2

0

 2 2  t  ln f 2  t  d 2  t 


2

2
  2  x   2 2  x  ln f 2  x  d 2  x     x 2  2 x  ln f 2  x  dx .


2

0

2

2

2

0

0

Suy ra 2 J    x 2  2 x  ln f  x  dx    x 2  2 x  ln f 2  x  dx    x 2  2 x  ln f  x  f 2  x  dx
0

2

   x 2  2 x  ln e 2 x

2

4 x

0

Vậy

2

dx    x 2  2 x 2 x 2  4 x  dx 
0

32
16


J  .
15
15

16
I  3 J   .
5

Đáp án D





2


2 cot x
Câu 20. Cho biểu thức S  ln 1   2  sin 2 x  e dx , với số thực m  0. Chọn khẳng định đúng trong các


n
 4 m2


khẳng định sau.
A. S  5.

B. S  9.

  

 
C. S  2 cot 
  2 ln sin
.
 4  m 2 
 4  m 2 

2



Ta có



Xét






2  sin 2 x  e 2 cot x dx  2

4 m2



2


2


Lời giải

e 2 cot x dx 

4 m 2


2



sin 2 xe 2 cot x dx 

4 m2




2



 sin 2 x .e 2 cot x



4 m2

2


2




1

sin 2 xe 2 cot x dx .



4 m2

e 2 cot x d sin 2 x   sin 2 x .e 2 cot x

4 m 2

2

  
  
  2 ln 
.

 4  m 2 
 4  m 2 

D. S  2 tan 


2



4 m2




2





2
sin 2 x  2
 sin

 2 cot x
dx
e
x 

4 m2

e 2 cot x dx . 2

4 m2

Từ 1 và 2, suy ra I  sin 2 x.e 2 cot x


2



4 m2

 1  sin 2



2 cot

2
.e 4 m .
2
4m



2 cot
  



 
2 

 S  ln sin 2
.e 4 m   2 cot 
 2 ln sin
.
2
2




4  m 
 4  m 2 

4 m



Đáp án C
Vấn đề 4. Tính a, b, c trong tích phân
2

Câu 21. Biết

 ln 9  x  dx  a ln 5  b ln 2  c với
2

a, b, c  . Tính P  a  b  c .

1

A. P  13.

B. P  18.


2 x

C. P  26.
Lời giải


u  ln 9  x 2  du 
dx
Đặt 

9 x2 .
dv  dx



www.mathvn.com


v  x  3

7

www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/

D. P  34.


2

Khi đó I   x  3 ln 9  x 2   2 
2

1

x  x  3

1

9 x2

2

3 
dx  5 ln 5  4 ln 8  2  1 
 dx

3  x 
1



a5

2


 5 ln 5 12 ln 2  2  x  3 ln 3  x   5 ln 5  6 ln 2  2 

b
  6  P  13.

1



c  2

Đáp án A
Nhận xét. Ở đây chọn v  x  3 thay bởi x để rút gọn cho 9  x 2 , giảm thiểu biến đổi.

 x 3  2 x  ex 3 2 x
1
1
e 
dx  
. ln  p 

  e.2 x
m e ln n 
e   

1



Câu 22. Biết

0

P  m  n  p.

A. P  5.

0

Tính A  
0

2x
dx .
  e.2 x

Khi đó A 
1
4

Đáp án C
Câu 23. Biết


2



 2 e

A

0

1
 A.
4

 e



1
dt .
e ln 2


1
  2e
1
e 
ln

ln 1 
.



e ln 2
 e
e ln 2
e   

m  4

1
e 

ln 1 



n  2  P  m  n  p  7.

e ln 2  e   
 p  1

x 2  2 x  cos x  cos x  1  sin x
x  cos x

0

A.

 2 e

1
dt
1
.

ln t
e.ln 2  e t
e.ln 2

Vậy I  

1

D. P  8.

Đặt t    e.2 x 
 dt  e. ln 2.2 x dx 
 2 x dx 

 x  0  t    e
.

 x  1  t    2 e

Đổi cận:

C. P  7.
Lời giải

B. P  6.

1
x
 3
 x 3  2 x  ex 3 2 x
 dx  1 x 4
 x  2
d
x

x

x 

  e.2
  e.2 
4

0

1

Ta có I  
1

với m, n, p là các số nguyên dương. Tính tổng

5
P .
4

dx  a 2  b  ln

3
2

B. P  .

c
với a, b, c là các số hữu tỉ. Tính P  ac 3  b.


C. P  2.

D. P  3.

Lời giải

2

Ta có I  

 x 2  2 x cos x  cos2 x   1 sin x 
x  cos x

0


2


0

 x  cos x 

2

x  cos x


2

dx  
0


2

dx

2

d  x  cos x 
1  sin x
dx    x  cos x  dx  
x  cos x
x  cos x
0
0

1

  x 2  sin x  ln x  cos x 
 2



2
0

1
 1
2
  2  1  ln   2  1  ln
8
2 8



1


a


8



 b  1 

 P  ac 3  b  2.



c 2






Đáp án C

ln 8

Câu 24. Biết



ln 3

1

e

2x

A. P   1.

www.mathvn.com

1 b
dx  1  ln  a a  b với a, b    . Tính P  a  b.
2 a
1  e
x

B. P  1.

C. P  3.
Lời giải
8

www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/

D. P  5.


Ta có I 

ln 8

1



e

ln 3
ln 8





e x dx  e x

ln 8



1  e

ln 8

x

ln 8



ln 3





e 2 x  1  e x dx 

ln 8



e 2 x  1dx 

ln 3

ln 8



e x dx .

ln 3

 2 2  3.

ln 3

ln 3



2x

dx 

e 2 x  1dx. Đặt t  e 2 x  1  t 2  e 2 x  1 , suy ra 2 tdt  2 e 2 x dx  dx 

ln 3

 x  ln 3  t  2
Đổi cận: 
.

td t
td t
 2
.
e2x
t 1

 x  ln 8  t  3


ln 8

Khi đó

3

e 2 x  1dx  



2

ln 3

3


3


t 2 dt
1  1  dt  t  1 ln t 1   1  1 ln 3 .
dt

  t 2 1  2 t  1  2
t 2 1
2 2
2

a  2

 P  a  b  5.
b  3

Vậy I  1  ln  2 2  3 
 
1
2

3
2

Đáp án D
2

Câu 25. Biết

dx

  x  1

x  x x 1

1

A. P  12 .

1

với a, b, c   . Tính P  a  b  c .
C. P  24 .
Lời giải

B. P  18 .

2

Ta có I  

 a  b c

x  x  1



x 1  x

2

dx
x 1  x





x  x  1

1





x 1  x

dx .



2

1
1 
 dx 


 2du 
 2 x  1 2 x 

Đặt u  x  1  x , suy ra du  

 x  2  u  3  2
Đổi cận 
. Khi đó I  2
 x  1  u  2  1


3 2



2 1

du
2

u2
u

3 2
2 1

D. P  46 .

x  x 1
x  x  1

dx .


1
1 
 2 


 3  2
2  1

a  32


 3 2
2 1


 2 


32

12

2


 P  46.

b  12 


 3  2
2 1 



c  2

Đáp án D

4

Câu 26. Biết 
0

A. P  10.

sin 4 x
cos 2 x  1  sin 2 x  1

dx 

a 2 b 6 c
6

với a, b, c  . Tính P  a  b  c .

B. P  12.


4

Ta có I  
0

C. P  14.
Lời giải

4

sin 4 x
cos 2 x  1  sin 2 x  1

2 sin 2 x cos 2 x

dx  2 
0

D. P  36.

3  cos 2 x  3  cos 2 x

x  0  t  1

.


x  t0



4


dx .


Đặt t  cos 2 x 
 dt  2 sin 2 xdx. Đổi cận: 
0

Khi đó I   2 
1



1

t
3  t  3t

1 2
2
3
3
 3  t  
3  t  

3

2  3

Đáp án D
4

Câu 27. Biết


1

1
0

dt  2 



0

t
3 t  3t

dt 

1
2


1



3  t  3  t dt

0

a  16


16 2 12 6  8



b  12  P  36.

6



c  8

1
x ex

dx  a  e b  e c với a, b, c  . Tính P  a  b  c .
2x
4x
xe

A. P  5.

www.mathvn.com

B. P  4.

C. P  3.
9

www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/

D. P  3.


Lời giải
1
x ex

dx  
4x
x e2x
1

4



Ta có

1

4



e  2 x 
2e x 

4

x

2

dx

4
 1

1
14
1 1
dx   
 x  dx   x  x   1  4   1  e 1  e 4

 2 x e 


e
e
e


x
1
1

ex  2 x
2e x

1

2

x

e 2 x  4 x  4e x x
dx  
4 xe 2 x
1

4

a  1





 P  a  b  c  4.
b  1 




c


4



Đáp án B

2 x

2



Câu 28. Biết

2 x

0

A. P  1.

dx  a  b 2  c với a, b, c  . Tính P  a  b  c .

B. P  2.

 
 2 




 x  0 
u 
2

2 Khi đó
Đổi cận 
.
I  4



u 
 x  2 
4
4


C. P  3.
Lời giải

D. P  4.

Đặt x  2 cos u với u   0;  . Suy ra x  4 cos2 u 
 dx  4 sin 2udu.


2

 16 

4


2


2


2

4

4

u
cos 2 .cos udu  8  1  cos u .cos udu  8  cos udu  4  1  cos 2u  du
2



4

 8 sin u


2


4

 4 x  2.sin 2u 


2

4

Đáp án C
e

Câu 29. Biết I  
1

A. P  8.
Ta có


u
2 cos
2  2 cos u
2 .sin u.cos udu
sin 2udu  8 
u
2  2 cos u
 sin
4
2

ln 2 x  ln x

1
b
dx  
a e  2 2
ln x  x  1

 ln x  x  1

3

1

Đặt t 

3

với a, b   . Tính P  b  a.

B. P  6.

ln 2 x  ln x

e


a 1




   4 2  6 

 P  3.
b  4 


c  6



e

dx  
1

C. P  6.
Lời giải

D. P  10.

ln x  1
ln x
.
dx .
ln x  x  1  ln x  x  12

 ln x  1 
ln x  1

ln x

 dt  
dx  
dx .
2
 ln x  x  1
ln x  x  1
ln x  x  1
/


2
 x  1  t  1
e 2

1
2
Đổi cận: 
. Khi đó I    tdt   t 2

2
2
1
 x  e  t 
2
e 2


2

e 2
1
2

1
2
 
.
8 e  2 2

Đáp án B
Câu 30. Biết


6

x cos x





1 x 2  x


6

dx  a 

A. P  37.


6

Ta có I  



6

2
3

b
c

với a, b, c là các số nguyên. Tính P  a  b  c .

B. P  35.
x cos x
1 x 2  x

www.mathvn.com


6

dx   x cos x


6



C. P  35.
Lời giải




6

1  x 2  x dx   x


6



D. P  41.



1  x 2  x cos xdx .

10

www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/




6

Lại có I  



6

  t



6



x t

x cos x
1 x  x
2


6

dx 


6







6

1  t  t cos tdt   x
2




6


6



t  cos t 

1  t   t
2




6

d t   

t cos t
1 t 2  t


6

dt



1  x 2  x cos xdx .


6


6


6

Suy ra 2 I   x  1  x 2  x  cos xdx   x  1  x 2  x  cos xdx  2  x 2 cos xdx



6




6


 I   x 2 cos xdx .



6




6

Tích phân từng phần hai lần ta được I  2 


6

2
3

36 3

a  2



 b  36 
 P  a  b  c  35.

c  3

Đáp án C

Vấn đề 5. Tính tích phân hàm phân nhánh

2

khi x  0
x  1
Câu 31. Cho hàm số f  x    2 x
. Tính tích phân I   f  x  dx .

khi x  0

e
1
2
3e 1
7e 2  1
9e 2 1
A. I 
.
B. I 
.
C. I 
.

2e 2
2e 2
2e 2

D. I 

11e 2  11
.
2e 2

Lời giải
0

2

0

2

1

0

1

0

Ta có I   f  x  dx   f  x  dx   e 2 x dx    x  1 dx 
Đáp án C

9 e 2 1
.
2e 2

1
Câu 32. Cho hàm số f  x  xác định trên  \   , thỏa f   x  

f 1  f 3 bằng

A. ln15.
Ta có f   x  

 2 

B. 2  ln15.

2
, f 0   1
2 x 1

và f 1  2. Giá trị của biểu thức

C. 3  ln15.
Lời giải

2
2 x 1





ln 1  2 x   C1

2


 f x   
dx  ln 2 x 1  C  


2 x 1

ln 2 x 1  C 2




 ln 1  2.0  C1  1  C1  1.
 f 0  1 

D. 4  ln15.

1
2
.
1
;x 
2
;x 

 ln 2.1 1  C 2  2  C 2  2.
 f 1  2 

Do đó


ln 1  2 x   1 khi x  1
 f 1  ln 3  1

2 

f  x   


1  f 3  ln 5  2

ln 2 x 1  2 khi x 
2



 f 1  f 3  3  ln 5  ln 3  3  ln15.

Đáp án C

Câu 33. Cho hàm số f  x  xác định trên \ 2;1, thỏa mãn f   x  
Giá trị biểu thức f 4  f 1  f 4 bằng
A.

1

1
ln 20  .
3
3

www.mathvn.com

B.

1
1
ln 2  .
3
3

1
x  x 2
2

C. ln 80  1.
11

www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/

1
3

, f 3  f 3  0 và f 0  .
D.

1 8
ln  1.
3 5


Lời giải

1
1 1
1 
Ta có f   x   2
 



x  x  2 3  x 1 x  2 
1

 ln 1  x   ln x  2  C1 ; x  2




3



1
1


 f x    2
dx  
;2  x  1.
  ln 1  x  ln  x  2  C 2

x  x 2
3



 1  ln  x 1 ln  x  2  C
;x 1

3




3
1
1
1
1
1
 f 0  
  ln 1  0   ln 0  2   C 2  
 C 2  ln 2  .
3
3
3

3
3
1 1
 f 3 f 3  0 
 C1  C 3  ln .
3 10
1 5 1
1 1
1
1
Ta có f 4   f 1 f 4   ln  ln 2  ln  C 2  C1  C 3  ln 2  .
3 2 3
3 2
3
3

Đáp án B
Câu 34. Cho hàm số f  x  xác định trên 0; \ e , thỏa mãn f   x  
1

trị biểu thức f    f e 3  bằng
e 
A. 3 ln 2  1.
B. 2 ln 2.
Ta có f   x  

1
1
, f  2   ln 6
 e 

x ln x  1

C. 3 ln 2  1.
Lời giải

và f e 2   3. Giá

D. ln 2  3.

1
x  ln x  1


ln 1  ln x   C1 khi x  0; e 
d ln x 1
1
dx  
 ln ln x 1  C  
.


x ln x 1
ln x 1

ln ln x 1  C 2 khi x  e ; 
1

1
 ln 1  ln 2   C1  ln 6  C1  ln 2.
 f  2   ln 6 


e 

e 

 f x   

 f e 2   3 
 ln ln e 2  1  C 2  3  C 2  3.




ln 1  ln x   ln 2 khi x  0; e 
f

Do đó f  x   
 



ln ln x 1  3 khi x  e;   f

1

 f    f e 3   3 ln 2  1.
 e 

1
   ln 2  ln 2

e 

e 3   ln 2  3

Đáp án C
Câu 35. Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số y 
 
11 
F 0  1, F    0 , tính giá trị biểu thức P  F    F 
.
 12 
 12 

B. P  2  3.

A. P  0.

1
1  sin 2 x

 
 4

C. P  1.
Lời giải

D. Không tồn tại P .

 



Với x thuộc vào mỗi khoảng   k ;  k , k   ta có
F x   

 4

4

dx
dx
dx
1



 tan  x    C .
2





1  sin 2 x
2
4
sin x  cos x 
2 cos 2  x  

4

    
  1

  3
 0
1
3 F 01
3
  ;  nên F 0  F    tan  x      
 F    
.






 12  2
12
2
4 12
2
2
2
12  4 4 
11  1

11  1
11   5 
 

1
3 F  0
3
  ;  nên F    F    tan  x   11   
 F 
 
.
 ;
 12  2

 12  2

4  12
2
2
2
12  4 4 

 0; 

www.mathvn.com




với x   \   k , k  . Biết

12

www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/

 
11 
Vậy P  F    F    1.
 12 
 12 
Đáp án C

Vấn đề 6. Tính tích phân dựa vào tính chất
0

2

2

1

Câu 36. Cho hàm số f  x  là hàm số lẻ, liên tục trên  4;4 . Biết rằng  f  x  dx  2 và  f  2 x  dx  4. Tính tích
phân

4

I   f  x  dx .
0

A.

I  10.

I  6.

B.

C. I  6.
Lời giải

Do f  x  là hàm lẻ nên f x    f  x .
 Xét

0

A   f x  dx  2.

Đặt

t   x 
 d t  dx .

2

Khi đó
 Xét

0

2

2

0

2

 x  2  t  2
.

 x  0  t  0

A   f t dt   f t  dt   f  x  dx .
0

2

2

B   f 2 x  dx   f 2 x  dx .
1

Khi đó

Đổi cận:

I  10.

D.

Đặt

u  2 x 

 d u  2dx .

 x  1  u  2
.

 x  2  u  4

Đổi cận:

1

4

4

4

1
1
B    f u du    f  x dx 
  f  x  dx  2 B  2.4  8.
2 2
2 2
2
4

2

4

0

0

2

I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  2  8  6.

Vậy

Đáp án B
2

3

1

1

Câu 37. Cho hàm số f  x  là hàm số chẵn, liên tục trên 1;6 . Biết rằng  f  x dx  8 và  f 2 x dx  3. Tính tích
phân

6

I   f  x  dx .
1

A.

I  2.

I  5.

B.

C. I  11.
Lời giải

3

3

1

1

D.

I  14.

Vì f  x  là hàm số chẵn nên  f 2 x dx   f 2 x dx  3.
Xét

3

K   f 2 x dx  3.

Đặt

t  2 x 

 d t  2dx .

Đổi cận:

1

Khi đó

K

6

6

6

 x  1  t  2
.

 x  3  t  6

1
1
f t dt   f  x dx 
  f  x dx  2 K  6.
2 2
2 2
2

6

2

6

1

1

2

I   f  x dx   f  x  dx   f  x dx  8  6  14.

Vậy

Đáp án D
Câu 38. Cho hàm số f  x  liên tục trên 3;7 , thỏa mãn f  x   f 10  x  với mọi
phân

x  3;7 

7

và  f  x dx  4. Tính tích
3

7

I   xf  x  dx .
3

A.

I  20.

Đặt

B.

t  3  7   x 
 dt  dx .

Khi đó

3

C. I  60.
Lời giải

Đổi cận
7


x 7  t 3


.




x  3  t  7

7

I   10  t  f 10  t dt   10  t  f 10  t dt   10  x  f 10  x dx
7

3

f  x  f 10  x  7

7

3

3



I  40.

 10  x  f  x dx  10 

www.mathvn.com

3

7

7

3

3

f  x dx   xf  x  dx  10  f  x dx  I .

13

www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/

D.

I  80.


Suy ra

7

2 I  10  f  x dx  10.4  40 
 I  20.
3

Đáp án A
Câu 39. Cho hàm số

I  0.

Đặt



I  


y  f x 

Vì

0

bằng
B.

x  t 
 dx  dt .

Khi đó



là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn ;  , thỏa mãn  f  x dx  2018. Giá trị của

f x 
I 
dx
2018 x  1



tích phân
A.

y  f x 

I

Đổi cận

1
.
2018

C.


x    t  


.



 x    t  

I  2018.

D.

I  4036.

Lời giải

f t 
f t 
2018t f t 
2018 x f x 
d
t

d
t

d
t

 2018t  1  1  2018t
 1  2018 x dx.
2018t  1









2018 x f  x 

dx .
2018 x  1



là hàm số chẵn trên đoạn ;   nên f x   f  x  
I  

f x 
2018 x f  x 
d
x

 2018 x  1 dx   f  x dx  2  f  x dx  2.2018  I  2018.
2018 x  1



0




2I  

Vậy





Đáp án C


x sin 2018 x
a
dx 
2018
sin x  cos x
b

Câu 40. Biết 

2018

0

A.

P  6.

B.


I 

Gọi

0

Đặt

Suy ra

a, b  .

Tính

P  8.

x sin 2018 x
dx
sin x  cos 2018 x

P  2a  b.

C. P  10.
Lời giải

D.

P  12.

2018

t    x 
 dt  dx .

Khi đó

với

0

I  




2I  
0

Đổi cận


x 0t 


.



x    t  0



  t sin 2018   t 
  t  sin 2018 t
  x sin 2018 x
dt  

dt  
dx .
2018
2018
2018
sin   t   cos   t 
sin t  cos t
sin 2018 x  cos 2018 x
0
0
2018

  x sin 2018 x
x sin 2018 x
 sin 2018 x
d
x

 sin 2018 x  cos2018 x dx   sin 2018 x  cos2018 x dx
sin 2018 x  cos2018 x
0
0









2


sin 2018 x
 
sin 2018 x
sin 2018 x

I  
dx   
dx  
dx  .
2018
2018
2018
2018
2018
2018
2 0 sin
x  cos x
2  0 sin x  cos x
sin
x  cos x 



2

x u
2

Đặt

I

Vậy



ta suy ra 

2


2



sin 2018 x
cos2018 u
cos 2018 x
dx  
du  
dx .
2018
2018
2018
2018
2018
sin x  cos x

sin u  cos u
sin x  cos2018 x

0
2


2

a  2

2
dx 

 

 P  8.

b  4
2 0
4

Đáp án B

Vấn đề 7. Kỹ thuật phương trình hàm
  
 2 2 

Câu 41. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  ;  và thỏa mãn 2 f  x   f x   cos x. Tính tích phân


2

I   f  x  dx .



2

A. I  2.

3
2

2
3

C. I  .

B. I  .

Lời giải
Từ giả thiết, thay x bằng  x ta được 2 f x   f  x   cos x.
www.mathvn.com

14

www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/

D. I  2.

4 f  x   2 f x   2 cos x
2 f  x   f x   cos x 
1


 f  x   cos x .
Do đó ta có hệ 

2 f x   f  x   cos x 
3
f
x

2
f

x

cos
x








2

Khi đó I  



2


2

1
1
f  x  dx   cos xdx  sin x
3 
3



2



2

2
 .
3

2

Đáp án B
Câu 42. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên 2;2  và thỏa mãn 2 f  x   3 f x  
2

1
.
4  x2

Tính tích phân

I   f  x  dx .
2

A. I  


.
10

B. I  


.
20

C. I 


.
20

D. I 


.
10

Lời giải
Từ giả thiết, thay x bằng  x ta được 2 f x   3 f  x  

1
.
4  x2



2 f  x   3 f x   1 2
4 f  x   6 f x   2 2


1
4x
4x

Do đó ta có hệ 
 

 f x  
.



1
3
5 4  x 2 
2 f x   3 f  x  
9 f  x   6 f x  
4  x2
4  x2


2

Khi đó I   f  x  dx 
2

1
1

dx  .
2

5 2 4  x
20
2

Đáp án C
Câu 43. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên 0;1 và thỏa mãn x 2 f  x   f 1  x   2 x  x 4 . Tính tích phân
1

I   f  x  dx .

0

1
2

3
5

A. I  .

2
3

B. I  .

C. I  .

4
3

D. I  .

Lời giải
Từ giả thiết, thay x bằng 1  x ta được 1  x  f 1  x   f  x   2 1  x   1  x 4
  x 2  2 x  1 f 1  x   f  x   1  2 x  6 x 2  4 x 3  x 4 .
1
2
4
4
2

 f 1 x   2 x  x  x f  x  . Thay vào 1 ta được
Ta có x f  x   f 1 x   2 x  x 
2

 x 2  2 x  1  2 x  x 4  x 2 f  x   f  x   1  2 x  6 x 2  4 x 3  x 4
 1  x 2  2 x 3  x 4  f  x   x 6  2 x 5  2 x 3  2 x 2  1
 1  x 2  2 x 3  x 4  f  x   1  x 2 1  x 2  2 x 3  x 4 

 f x   1 x 2 .
1



1

1

Vậy I   f  x  dx   1  x 2  dx   x  x 3   .

3 0 3
0
0
Đáp án C
1

2

2
f x 
1 

1
dx .
Câu 44. Cho hàm số f  x  liên tục trên  ;2 và thỏa mãn f  x   2 f    3x. Tính tích phân I  

 2

1
2



x 

3
2

A. I  .

B. I  .

Từ giả thiết, thay x bằng

1
x

5
2

C. I  .
Lời giải

www.mathvn.com

1
3
ta được f    2 f  x   .
x
x

15

www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/

1
2

7
2

D. I  .

x


Do đó ta có hệ
2

Khi đó I  
1
2




f







f




 

 f  x   2 f  1   3 x

 x 
2


 f  x    x.


 1 



x
3
1
6

   2 f  x  
4 f  x   2 f   



 x 


x
x
x


1
 x   2 f    3 x
x

2
f x 
2

 2

dx    2 1 dx    x 

x
 x




x
1

2
1
2

3
 .
2

2

Đáp án B

1
1
Cách khác. Từ f  x   2 f    3x 
 f  x   3 x  2 f  .

x

2

Khi đó I  
1
2

1
f  
 x 

2

Xét J  

x

1
2

Đổi cận:



2 

f x 
dx   3  2
x

1 

2 



dx . Đặt t 


 x  1  t  2
2

.

1
x

2

t


2


1
x

x

 1 
 1 

f   

2
2 f  
 x 
 x  
dx .
 dx  3 dx  2 
x 
x
1
1

2
2


, suy ra dt  

1
1
dx  t 2 dx 
 dx   2 dt .
2
x
t

1
2

2
2

f t 
f x 
 1
Khi đó J   tf t  2  dt  
dt  
dx  I .
2

2

2

1
2

1
2

 t 

1
2

t

1
2

x

3
2

 I   dx  .
Vậy I  3 dx  2 I 

Câu 45. Cho hàm số f  x  liên tục trên 0;1 và thỏa mãn 2 f  x   3 f 1 x   1  x 2 . Tính tích phân
1

I   f  x  dx .
0

A.
B.
C.


.
20

.
16


. D. .
4
6

Lời giải
Từ giả thiết, thay x bằng 1  x ta được 2 f 1  x   3 f  x   2 x  x 2 .

2 f  x   3 f 1  x   1  x 2
4 f  x   6 f 1  x   2 1  x 2


 
Do đó ta có hệ 
2 f 1  x   3 f  x   2 x  x 2
9 f  x   6 f 1  x   3 2 x  x 2



 f x  

Vậy I 

3 2 x  x 2  2 1 x 2
.
5





1

3 2 x  x 2  2 1  x 2 dx  .
5 0
20
1

Đáp án A
1
Cách khác. Từ 2 f  x   3 f 1  x   1  x 2 
 f  x    1  x 2  3 f 1  x  .
1

Khi đó I  
0

1

1
1

1
f  x  dx    1  x 2 dx  3 f 1  x  dx  .
2  0

0

2



 dt  dx .
Xét J   f 1  x  dx . Đặt t  1 x 
0

www.mathvn.com

16

www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/


x  0  t  1

Đổi cận: 
. Khi đó J   f t  dt   f t  dt   f  x  dx  I .
0

Vậy

1

1



x  1  t  0
1
0
1
1

1 
1

I    1  x 2 dx  3I  

 I   1  x 2 dx  .
2  0
5 0
20


0

Vấn đề 8. Kỹ thuật biến đổi
Câu 46. Cho hàm số f  x  thỏa f  x  f   x   3x 5  6 x 2 . Biết rằng f 0  2, tính f 2 2.
A. f 2 2  64.
B. f 2 2  81.
C. f 2 2  100.
D. f 2 2  144.
Lời giải
f 2 x  x 6
Từ giả thiết ta có  f  x . f   x  dx   3 x 5  6 x 2  dx 

 2x 3 C.
2

2

f 2 0
 C  C  2.
2
 f 2 2  26  4.23  4  100.
Suy ra f 2  x   x 6  4 x 3  4 

Thay x  0 vào hai vế, ta được

Đáp án C
Câu 47. Cho hàm số f  x  có đạo hàm f '  x  liên tục và nhận giá trị không âm trên 1; , thỏa f 1  0,
với mọi x  1; . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 1  f   4  0.
B. 0  f  4  1.
C. 1  f  4  2.
Lời giải
Từ giả thiết suy ra e f x  f   x   2 x 1 (do f '  x  không âm trên 1; )
e

2 f x 

.  f   x   4 x 2  4 x  1


 e

2

f x 

D. 2  f  4  3.

f x
f   x  dx   2 x 1 dx  e    x 2  x  C .

Thay x  1 vào hai vế, ta được e f 1  12 1  C  C  1.
Suy ra e f x   x 2  x  1  f  x   ln  x 2  x  1  f   x  

2 x 1
7

 f  4   .
x  x 1
13
2

Đáp án B
2
Câu 48. Cho hàm số f  x  thỏa mãn  f   x   f  x . f   x   15 x 4  12 x với mọi x   và f 0  f  0  1. Giá trị
của f 2 1 bằng
A.

5
.
2

B.

9
.
2

C. 8.

D. 10.

Lời giải
Nhận thấy được  f   x   f  x . f   x    f  x . f   x   .

2

Do đó giả thiết tương đương với  f  x . f   x    15 x 4  12 x .
f  0 f 0 1.
Suy ra f  x . f   x    15 x 4  12 x  dx  3x 5  6 x 2  C 
C  1


 f  x . f   x   3 x 5  6 x 2  1


  f  x . f   x  dx   3 x 5  6 x 2  1 dx 

f 2 x 
2



x6
 2 x 3  x  C '.
2

f 0 
1
C ' C '  .
2
2
 f 2 1  8.
Vậy f 2  x   x 6  4 x 3  2 x 1 

Thay x  0 vào hai vế ta được

2

Đáp án C
Câu 49. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;2  và thỏa mãn f  x   0, x  1;2. Biết rằng
2
2
f  x 

và
f
x
d
x

10



 f  x  dx  ln 2. Tính f 2.
1
1
A. f 2  20.
B. f 2  10.
C. f 2  10.
D. f 2  20.
www.mathvn.com

17

www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/


Lời giải
2

2



Ta có

1

2

Lại có

1

f   x  dx  10  f  x   10  f 2   f 1  10.

1


1

f x 
f x 

dx  ln 2  ln f  x 

 ln f 2  ln f 1  ln 2  ln

2
1

2

 ln 2  ln  f  x 

1

 ln 2

(do f  x   0, x  1;2  )

f 2 
f 2 
 ln 2 
 2. 2
f 1
f 1

Từ 1 và 2 , suy ra f 2  20.
Đáp án B
Câu 50. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên 1;1 , thỏa mãn f  x   0, x   và f '  x   2 f  x   0 . Biết
rằng f 1  1 , giá trị của f 1 bằng
A. e 2 .

B. e 3 .
C. e 4 .
D. 3.
Lời giải
f 'x 
 2 (do f  x   0 )
Ta có f '  x   2 f  x   0  f '  x   2 f  x  
f x 
f ' x 


dx   2dx  ln f  x   2 x  C (do f  x   0 ) .
f x 
 f  x   e 2 x 2 
 f 1  e 4 .
Mà f 1  1  C  2  ln f  x   2 x  2 
Đáp án C
Câu 51. Cho hàm số f  x  xác định và liên tục trên  đồng thời thỏa mãn




f  x   0, x  



x 2

 f '  x   e f  x , x   .




1

f 0  


2



Tính giá trị của f ln 2.
1
4

f 'x 

f 2 x 

C. f ln 2  ln 2  .

B. f ln 2   .

Ta có f '  x   e x f 2  x  



1
2

1
3

A. f ln 2  .

f 'x 

f 2 x 

dx   e x dx  

1
2

D. f ln 2  ln 2 2  .

Lời giải
 e x (do f  x   0 )

1
1
 e x  C  f  x   x
.
f x 
e C
1

f 0
1
2


C  1.
0
e C
1
1
1
1
Vậy f  x   x

 f ln 2   ln 2

 .
e 1
e  1 2 1 3

Thay x  0 ta được f 0 

Đáp án B
Câu 52. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên 0; , biết f '  x   2 x  3 f 2  x   0, f  x   0 với mọi
x0

1
6

và f 1  . Tính P  1  f 1  f 2  ...  f 2018.

A. P 

1009

.
2020

B. P 

Ta có f '  x   2 x  3 f 2  x   0 



f ' x 

f 2 x 

2019
.
2020

f ' x 

f 2 x 

dx   2 x  3 dx  

www.mathvn.com

C. P 

3029
.
2020

Lời giải
 2 x  3 (do f  x   0 )

1
1
 x 2  3 x  C 
 f x   2
.
f x 
x  3x C
18

www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/

D. P 

4039
.
2020


1
6

1
1
1
1
1

 C  2 
 f x   2


.
6 12  3.1  C
x  3x  2 x  1 x  2
1 1 1 1 
 1
1  3029
P  1          ...  


.
 2 3   3 4 
 2019 2020  2020

Mà f 1  
 
Suy ra

Đáp án C
Câu 53. Cho hàm số f  x  liên tục trên 0; 3  , thỏa mãn f  x   1, f 0  0 và f   x  x 2  1  2 x f  x   1. Giá
trị của f  3  bằng
A. 0.

B. 3.

Từ giả thiết suy ra
 2

f x 

2 f x  1

f x 

2x



f x 1

 x 2  1

x 2 1

C. 7.
Lời giải
f x 
2x
dx  
dx
f x 1
x 2 1




D. 9.

/

dx  2 

2 x 1
2

dx  2 f  x   1  2 x 2  1  C

Mà f 0  0  C  0  f  x   x 2 
 f  3   3.

Đáp án B
2
Câu 54. Cho hàm số f  x  có đạo hàm và liên tục trên 1;4 , đồng biến trên 1;4 , thoản mãn x  2 xf  x    f   x 
4

3
2

với mọi x  1;4 . Biết rằng f 1  , tính tích phân I   f  x  dx .
A.

1186
I
.
45

B.

1

1187
I
.
45

C. I 

9
2

1188
.
45

D. I  .

Lời giải
Nhận xét: Do f  x  đồng biến trên 1;4  nên f '  x   0, x  1;4  .

Từ giả thiết ta có x 1  2 f  x    f   x  
 f '  x   x . 1  2 f  x , x  1;4 
2 f x 
2 f x 
2


 x 


dx   x dx  1  2 f  x   x x  C .
3
2 1 2 f x 
2 1  2 f x 
2

2

 x x  4  1



3
4
2
8
7
3
3
Mà f 1   C  
 f x  
 x3  x x 
2
3
2
9
9
18
2

4


  f  x  dx 
1

1186
.
45

Đáp án A

 
 2 

 
 2 

Câu 55. Cho hàm số f  x  liên tục, không âm trên 0;  , thỏa f  x . f '  x   cos x 1  f 2  x  với mọi x   0;  và
 
f 0   3. Giá trị của f   bằng
 2 

A. 0.

B. 1.

Từ giả thiết ta có




2 f  x . f   x 

 
 cos x , x  0; 
 2 
2 1  f x 

C. 2.
Lời giải

D. 2 2.

2

2 f  x . f   x 
dx   cos xdx  1  f 2  x   sin x  C .
2 1  f 2 x 

 
 2 

2
 f  x   sin x  2 1  sin 2 x  4 sin x  3, x   0; 
Mà f 0  3  C  2 



 f    2 2.

 2 

Đáp án D

www.mathvn.com

19

www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/


Câu 56. Cho hàm số f  x  liên tục, không âm trên 0;3, thỏa f  x . f   x   2 x f 2  x   1 với mọi x  0;3 và
f 0   0. Giá trị của f 3 bằng
A. 0.

B. 1.

Từ giả thiết ta có



2 f  x . f   x 
2 1 f 2 x 

C. 3.
Lời giải

D. 3 11.

 2 x , x  0;3

2 f  x . f   x 
dx   2 xdx  1  f 2  x   x 2  C .
2 1 f 2 x 

Mà f 0   0  C  1 
 f x  

 f 3  3 11.

 x 2  1

2

 1  x 4  2 x 2 , x  0;3

Đáp án D
Câu 57. Cho hàm số f  x  có đạo hàm không âm trên 0;1, thỏa mãn f  x   0 với mọi x  0;1 và
 f  x  .  f '  x  . x 2  1  1   f  x  .

 



4

2

3

Biết f 0  2, hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

đây.
A.

3
 f 1  2.
2

5
2

B. 2  f 1  .

C.

5
 f 1  3.
2

7
2

D. 3  f 1  .

Lời giải
2
 f  x  . f '  x 
2
3

1
2


Từ giả thiết ta có  f  x  . f '  x . x  1  1   f  x  

3
2
x 1
1   f  x 
1



0

1
 f  x  . f '  x 


dx  
3
0
1   f  x 
2

3
2
  1   f  x 
3

1
0







1 d 1   f  x 
1


2
dx   

3 0 2 1   f  x  3
x 2 1
0



1

 ln x  x 2  1



1

3

1
x 1
2

dx

  f 1  2,605.
f 0  2

0

Đáp án C
Câu 58. Cho hàm số f  x  liên tục trên \ 0;1, thỏa mãn x  x  1. f   x   f  x   x 2  x với mọi x  \ 0;1
và f 1  2 ln 2. Biết f 2  a  b ln 3 với a, b   , tính P  a 2  b 2 .
1
2

3
4

A. P  .

B. P  .

C. P 

13

.
4

Lời giải
x
1
x
f  x  
f x  
, x  \ 0; 1.
Từ giả thiết ta có
2
x 1
x

1
 x  1

Nhận thấy


x
1
x 
 .
f x 
f  x    f  x .
2
x 1
x  1 


 x  1

Do đó giả thiết tương đương với


x 
x
 f  x .
 
, x  \ 0; 1.


x  1
x 1

Suy ra f  x .


x
x
 dx  x  ln x  1  C .

dx   1 

 x  1
x 1
x 1

Mà f 1  2 ln 2  C  1 

 f  x .
Cho x  2 ta được
Đáp án D
www.mathvn.com

x
 x  ln x  1  1.
x 1


a  3
2
3 3

2  P  9.
f 2 .  2  ln 3  1  f 2    ln 3 
 

3
2 2
2
b   3

2

20

www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/

9

2

D. P  .


 f   x  2  f   x 



Câu 59. Cho hàm số f  x  có đạo hàm xác định, liên tục trên 0;1, thỏa mãn f 0  1 và 
với

 f   x   0

mọi x  0;1. Đặt P  f 1  f 0 , khẳng định nào sau đây đúng?

A. 2  P  1.

B. 1  P  0.

C. 0  P  1.
Lời giải

D. 1  P  2.

1

Nhận thấy P  f 1  f 0   f   x  dx nên ta cần tìm f   x .
Từ giả thiết ta có

0

f   x 

 f   x 



 1 


f   x 

 f   x 


1
Mà f  0  1  C  1 
 f  x   
.
x 1
1

1

0

0

Vậy P   f   x  dx  

2

2

dx   1dx  

1
1
 x C  f  x   
.

f x 
x C

1
dx   ln 2  0, 69.
x 1

Đáp án B
Câu 60. Cho hai hàm số f  x  và g  x  có đạo hàm liên tục trên 0;2, thỏa mãn f ' 0. f ' 2  0 và
2

g  x . f '  x   x  x  2 e x . Tính tích phân I   f  x . g '  x  dx .
0

A. I  4.

B. I  4.

C. I  e  2.
Lời giải

D. I  2  e.


 f ' 0   0
.

 f ' 2   0



2 2  2  e x

g
2

0




f ' 2 

Do đó từ g  x . f '  x   x  x  2 e x , suy ra 
.

0 0  2  e x



g 0  
0


f ' 0 



Từ giả thiết f ' 0. f ' 2  0 



2

2

Tích phân từng phần ta được I   f  x . g  x    g  x . f   x  dx
0

2

2

0

0

0

 f 2. g 2   f 0 . g 0   x  x  2  e x dx   x  x  2  e x dx  4.

Đáp án B

x

 g  x   1  2018 f t  dt

. Tính
Câu 61. Cho hàm số f  x   0 xác định và có đạo hàm trên đoạn 0;1, thỏa mãn 
0

2
 g  x   f  x 

1

I 

g  x dx .

A. I 

1009
.
2

0

C. I 

B. I  505.

1011
.
2

Lời giải


 g '  x   2018 f  x 

 2018 f  x   2 f '  x . f  x 
Từ giả thiết, ta có 


 g '  x   2 f '  x . f  x 
 f  x   0  loaïi 
 2 f  x  1009  f '  x   0  
.
 f  x   1009 x  C
 f '  x   1009 
x

Thay ngược lại, ta được 1  2018  1009t  C  dt  1009 x  C 2
0

www.mathvn.com

21

www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/

D. I 

2019
.
2


1009 2
x
2
 1  2018 
t  Ct   1009 x  C   C 2  1.
 2
0

Suy ra f  x   1009 x  1 hoặc f  x   1009 x 1 (loại vì f  x   0 x  0;1 ) .
1

1

1

0

0

0

Khi đó I   g  x dx   f  x  dx   1009 x  1 dx 

1011
.
2

Đáp án C

 f 1  g 1  4

Câu 62. Cho hai hàm f  x  và g  x  có đạo hàm trên 1;4 , thỏa mãn  g  x   xf   x  với mọi x  1;4 . Tính tích

 f  x   xg   x 

4

phân I    f  x   g  x  dx.
1

A. I  3 ln 2.

B. I  4 ln 2.

Từ giả thiết ta có f  x   g  x   x. f   x   x. g   x 

C. I  6 ln 2.
Lời giải

D. I  8 ln 2.

  f  x   x . f   x    g  x   x . g   x   0   x . f  x     x . g  x    0
C

 x. f  x   x. g x   C  f x   g  x   .
x
4
4
4
Mà f 1  g 1  4  C  4 
 I    f  x   g  x  dx   dx  8 ln 2.
1

1

x

Đáp án A
Câu 63. Cho hai hàm f  x  và g  x  có đạo hàm trên 1;2, thỏa mãn f 1  g 1  0 và

2


x


g  x   2017 x   x  1 f   x 

2


x

1


, x  1;2 .
 3

x

2

g   x   f  x   2018 x



 x 1

 x

x 1
g x 
f  x  dx .
 x  1

x

Tính tích phân I   
1

A.

1
I .
2

3
2

C. I  .

B. I  1.

D. I  2.

Lời giải

Từ giả thiết ta có

Suy ra





 x  1
1

g x 
f   x   2017


 x  12  
x

, x  1;2 .



x
1

g   x   2 f  x   2018

 x 1
x



 1
   x  1


 x
    x  1
x
1

g x  
g   x   
f   x   2 f  x   1  

g  x   
f  x   1

2






x 1
x
 x 1
  x
  x  1
  x



 x  1
x
g x 
f x   x C.
x 1
x

2

2
 x


x 1
1
g  x 
f  x  dx    x  1 dx  .
 x  1

x
2

1

Mà f 1  g 1  0  C  1 
I   
1

Đáp án A

 f 3  x . f  x   1
1
Câu 64. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên 0;3, thỏa mãn 
với mọi x  0;3 và f 0  .
 f  x   1
2

3

Tính tích phân I  
0

www.mathvn.com

xf '  x 

1  f 3  x  2 . f 2  x 



dx .

22

www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/


1
2

A. I  .

3
2

Từ giả thiết

f 3 x . f  x 1

xf '  x 

3

Tích phân I  
0

3

Tính J  
0

1  f  x 





3

2

dx  
0

1  f  x  .


3
3

1
x

1

xd 



d x  1  J .

1  f  x  0 0 1  f  x 
1  f  x 
2

0

t 3 x

D. I  .

Lời giải

 f 3  x . f  x   1

x 3

 f 3  2.

1
 f 0 
2


2
Ta có 1  f 3  x  . f 2  x 

5
2

C. I  .

B. I  1.

3

3

1
1
1
1
dx   
dt  
dt  
dx .
1  f x 
1

f
3

t

1

f
3

t
1

f




3  x 
3
0
0
3

Suy ra 2 J  
0

3

1
1
dx  
dx
1 f x 
1


f
3 x

0

f 3 x . f  x 1 3



3

 1.dx  3  J  2 . Vậy
0

1
I .
2

Đáp án A
Câu 65. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn af b   bf a   1 với mọi a, b  0;1. Tính tích
1

phân I   f  x  dx .
0

1
A. I  .
2


2

1
4

B. I  .

C. I  .


4

D. I  .

Lời giải

 
Đặt a  sin x , b  cos x với x   0;  .
 2 

Từ giả thiết, suy ra sin xf cos x   cos xf sin x   1

2


2


2

0

0

0


  sin xf cos x  dx   cos xf sin x  dx   1dx 


.
2

1

 
0
1
 2
t  cos x
 sin xf cos x  dx   f t  dt  f  x  dx


1


1
0
. Do đó 1   f  x  dx  .

Ta có  0

4
0
1
1
 2
t  sin x
 cos xf sin x  dx   f t  dt   f  x  dx
 0
0
0

Đáp án D

Vấn đề 9. Kỹ thuật đạo hàm đúng
Câu 66. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên 0;1, thoả mãn 3 f  x   xf   x   x 2018 với mọi x  0;1. Tính
1

I   f  x  dx .
0

A. I 

1
.
2018  2021

B. I 

1
.
2019  2020

C. I 

1
.
2019  2021

Lời giải
Từ giả thiết 3 f  x   xf   x   x 2018 , nhân hai vế cho x 2 ta được

3 x 2 f  x   x 3 f   x   x 2020 
  x 3 f  x    x 2020 .

Suy ra x 3 f  x    x 2020 dx 

x 2021
C.
2021

Thay x  0 vào hai vế ta được C  0 
 f x  
1

Vậy


0

1

f  x  dx  

www.mathvn.com

0

x 2018
.
2021

1

1
1
1
1
x 2018 dx 
.
x 2019 
.
2021
2021 2019
2021

2019
0
23

www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/

D. I 

1
.
2018 2019


Đáp án C
Nhận xét: Ý tưởng nhân hai vế cho x 2 là để thu được đạo hàm đúng dạng uv  '  u ' v  uv '.
Câu 67. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên 0;4 , thỏa mãn f  x   f   x   e x 2 x  1 với mọi x  0;4 .
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. e 4 f 4   f 0 

26
.
3

B. e 4 f 4  f 0  3e.

C. e 4 f 4  f 0   e 4 1.

D. e 4 f 4  f 0  3.

Lời giải
Nhân hai vế cho e để thu được đạo hàm đúng, ta được
/
e x f  x   e x f '  x   2 x  1  e x f  x   2 x  1.

x

1
3

Suy ra e x f  x    2 x  1dx  2 x  1 2 x  1  C .
Vậy e 4 f 4   f 0 

26
.
3

Đáp án A
Câu 68. Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên  , thỏa mãn f '  x  2018 f  x   2018 x 2017 e 2018 x với mọi x   và
f 0  2018. Tính giá trị f 1.
A. f 1  2018e 2018 .
B. f 1  2017e 2018 .
C. f 1  2018e 2018 .
D. f 1  2019e 2018 .
Lời giải
Nhân hai vế cho e 2018x để thu được đạo hàm đúng, ta được
f   x  e 2018 x  2018 f  x  e 2018 x  2018 x 2017   f  x  e 2018 x    2018 x 2017 .

Suy ra f  x  e 2018 x   2018 x 2017 dx  x 2018  C .

Thay x  0 vào hai vế ta được C  2018 
 f  x    x 2018  2018 e 2018 x .

Vậy f 1  2019e 2018 .
Đáp án D

Câu 69. Cho hàm số f  x  có đạo hàm và liên tục trên  , thỏa mãn f   x   xf  x   2 xe  x và f 0  2. Tính
f 1.
2

1
e

A. f 1  e.

2
e

B. f 1  .

C. f 1  .

2
e

D. f 1   .

Lời giải
Nhân hai vế cho e

x2
2

để thu được đạo hàm đúng, ta được
f x e

x2

Suy ra e 2 f  x    2 xe



x2
2

dx   2 e



x2
2

x2
2

 f  x  xe

x2
2

 2 xe



x2
2

x2
 x2


  e 2 f  x   2 xe 2 .



C.

Thay x  0 vào hai vế ta được C  0 
 f  x   2 e  x .
2

2
e

Vậy f 1  2e 1   .
Đáp án D

 

Câu 70. Cho hàm số f  x  liên tục và có đạo hàm trên 0; , thỏa mãn hệ thức f  x   tan xf   x   3 . Biết
 2
cos x


x



rằng 3 f    f    a 3  b ln 3 trong đó a, b  . Tính giá trị của biểu thức P  a  b.
3
6
4
9

A. P   .

2
9

7
9

B. P   .

C. P  .
Lời giải

www.mathvn.com

24

www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/

D. P 

14

.
9


Từ giả thiết, ta có cos xf  x   sin xf   x  

x
x
  sin xf  x   
.
cos 2 x
cos 2 x

x
dx  x tan x  ln cos x  C .
cos 2 x
 2

3    
x  

f    . 3  ln 2 
 3 f    . 3  2 ln 2  2C .

 3  3
3
2 3 3

Suy ra sin xf  x   
 Với

1  





3

 

1

1

 Với x  
 f    .
 ln 3  ln 2  C 
 f    . 3  ln 3  2 ln 2  2C .
 6  9
6
2  6  6 3
2

3 f   
 3 

Suy ra

Đáp án A


5


   5
a
4


f     3  ln 3 

P  ab   .
9 

 6  9
9


b  1

Vấn đề 10. Kỹ thuật đưa về bình phương loại 1
Câu 71. Cho hàm số f  x 

2


2

 

liên tục trên 0;  , thỏa
 2 



  f
0

2


 
2
. Tính tích phân
 x   2 2 f  x  sin  x   dx 


4 

2

I   f  x  dx .
0


4

B. I  .

A. I  0.


2

D. I  .

C. I  1.
Lời giải

Ta có


2

 2 sin

2

0



 x    dx   2   .


4
2

Do đó giả thiết tương đương với


2



  f

2

0


2




 
 x   2 2 f  x  sin  x    2 sin 2  x   dx  0


4



4 





 
 

   f  x   2 sin  x   dx  0  f  x   2 sin  x    0, x   0;  .




 2 




4
4
0
2





2
2




Suy ra f  x   2 sin  x   
 I   f  x  dx  2  sin  x   dx  0.




4
4
0
0

Đáp án A
Câu 72. Cho hàm số f  x  liên tục trên 0;1 thỏa

1


0

1
 2
2
 f  x   2 ln 2  dx  2   f  x  ln  x  1 dx . Tích phân
e 

0

1

I   f  x  dx .
0

e

4

e
2

4
e

A. I  ln .

2
e

C. I  ln .

B. I  ln .

D. I  ln .

Lời giải
Bằng phương pháp tích phân từng phần ta tính được
1

 ln
0

1

Do đó giả thiết tương đương với

2

2
e

  f  x  ln 1  x  dx  0 
2

0

1

Suy ra


0

1

f  x  dx   ln 1  x  dx  ln
0

1

2
e

 x  1 dx  2 ln 2   2 ln 2 dx.
0

f  x   ln 1  x , x  0;1.

4
.
e

Đáp án B
www.mathvn.com

25

www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/