Luận án tiến sĩ toán học một số dạng của định lý ritt và ứng dụng vào vấn đề duy nhất

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHẠM NGỌC HOA

MỘT SỐ DẠNG CỦA ĐỊNH LÝ RITT
VÀ ỨNG DỤNG VÀO VẤN ĐỀ DUY NHẤT

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHẠM NGỌC HOA

MỘT SỐ DẠNG CỦA ĐỊNH LÝ RITT
VÀ ỨNG DỤNG VÀO VẤN ĐỀ DUY NHẤT
Ngành: Tốn Giải tích
Mã số: 9 46 01 02

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: 1. TS. Vũ Hồi An
2. GS.TSKH Hà Huy Khối

THÁI NGUN - NĂM 2018

✐

▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥
❚ỉ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ✤➙② ❧➔ ❝ỉ♥❣ tr➻♥❤ ự ừ tổ ữợ sỹ ữợ
ừ ❍✉② ❑❤♦→✐ ✈➔ ❚❙ ❱ô ❍♦➔✐ ❆♥✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ t
ợ t ữủ sỹ t tr ừ ỗ t ữ
t q ừ ợ ữ tứ ữủ ❝æ♥❣ ❜è tr♦♥❣
❜➜t ❦ý ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❝õ❛ ❛✐ ❦❤→❝✳
❚→❝ ❣✐↔
P❤↕♠ ◆❣å❝ ❍♦❛


✐✐

▲í✐ ❝↔♠ ì♥
▲✉➟♥ →♥ ✤÷đ❝ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ t↕✐ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ t❤✉ë❝ tr÷í♥❣
✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ✲ ✣↕✐ ồ ữợ sỹ ữợ t t
❦❤➢❝ ❝õ❛ ●❙✳ ❚❙❑❍✳ ❍➔ ❍✉② ❑❤♦→✐ ✈➔ ❚❙✳ ❱ô ❍♦➔✐ ❆♥✳ ❈→❝ t❤➛②
✤➣ tr✉②➲♥ ❝❤♦ t→❝ ❣✐↔ ❦✐➳♥ t❤ù❝✱ ❦✐♥❤ ♥❣❤✐➺♠ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ sü s❛② ♠➯ ♥❣❤✐➯♥
❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝✳ ❱ỵ✐ t➜♠ ❧á♥❣ tr✐ ➙♥ s➙✉ s➢❝✱ t→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥
❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ✈➔ s➙✉ s➢❝ ♥❤➜t ✤è✐ ✈ỵ✐ ❤❛✐ t❤➛②✳
❚→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❝↔♠ ì♥ ❇❛♥ ●✐→♠ ✤è❝ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ❇❛♥ ✣➔♦ t↕♦
✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ❇❛♥ ●✐→♠ ❤✐➺✉ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠✲ ✣↕✐ ❤å❝
❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ❝→❝ P❤á♥❣ ❇❛♥ ❝❤ù❝ ♥➠♥❣✱ P❤á♥❣ ✣➔♦ t↕♦✱ ❇❛♥ ❝❤õ ♥❤✐➺♠
❦❤♦❛ ❚♦→♥ ❝ò♥❣ t♦➔♥ t❤➸ ❣✐→♦ ✈✐➯♥ tr♦♥❣ ❦❤♦❛✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ tê ●✐↔✐ t➼❝❤ ✤➣
t↕♦ ♠å✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤✉➟♥ ❧đ✐ ❣✐ó♣ ✤ï t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ♥❣❤✐➯♥
❝ù✉ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ →♥✳
❚→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❇❛♥ ●✐→♠ ❤✐➺✉ tr÷í♥❣ ❈❛♦ ✤➥♥❣ ❍↔✐
❉÷ì♥❣✱ P❤á♥❣ ❇❛♥ ❝❤ù❝ ♥➠♥❣✱ P❤á♥❣ ✣➔♦ t↕♦✱ ❝→❝ ❣✐↔♥❣ ✈✐➯♥ tr♦♥❣ ❑❤♦❛
❚ü ◆❤✐➯♥ ✤➣ t↕♦ ♠å✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤✉➟♥ ❧đ✐ ❣✐ó♣ ✤ï t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤

❤å❝ t➟♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ →♥✳
❚→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❝→❝ t❤➛②✱ ❝ỉ✱ ❜↕♥ ❜➧ tr♦♥❣ ❝→❝ ❙❡♠✐♥❛r
t↕✐ ❇ë ♠ỉ♥ ❚♦→♥ ●✐↔✐ t➼❝❤ ✈➔ ❚♦→♥ ù♥❣ ❞ư♥❣ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠✲
✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤➠♥❣ ▲♦♥❣ ✈➔ ❚r÷í♥❣ ❈❛♦ ✤➥♥❣
❍↔✐ ❉÷ì♥❣ ✤➣ ❧✉ỉ♥ ❣✐ó♣ ✤ï✱ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥ t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝✳
❚→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ tỵ✐ ♥❤ú♥❣ ữớ t tr
t ỗ ũ ❝♦♥ tr❛✐✱ ♥❤ú♥❣ ♥❣÷í✐ ✤➣ ❝❤à✉ ♥❤✐➲✉ ❦❤â ❦❤➠♥✱
✈➜t ✈↔ ✈➔ ❞➔♥❤ ❤➳t t➻♥❤ ❝↔♠ ②➯✉ t❤÷ì♥❣✱ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥✱ ❝❤✐❛ s➫✱ ❦❤➼❝❤ ❧➺ ✤➸
t→❝ ❣✐↔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ✤÷đ❝ ❧✉➟♥ →♥✳
❚→❝ ❣✐↔
P❤↕♠ ◆❣å❝ ❍♦❛


✐✐✐

▼ư❝ ❧ư❝
▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✐
▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✐✐
▼ö❝ ❧ö❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✐✐✐
▼ð ✤➛✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶
❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❍❛✐ ✤à♥❤ ỵ ừ tt t ố ợ ✤❛
t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾
✶✳✶✳ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ❜ê trñ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾
✶✳✷✳ ỵ ừ tt ố ợ tự ❦✐➸✉ ❋❡r♠❛t✲❲❛r✐♥❣ ❝õ❛
❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
ỵ tự ừ tt ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ✤è✐ ✈ỵ✐ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐
♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

ữỡ ỵ tự ừ tt ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ✤❛
t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ tr➯♥ ♠ët tr÷í♥❣ ❦❤ỉ♥❣✲❆❝s✐♠❡t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✽

✷✳✶✳ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ❜ê trñ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
ỵ tự ừ tt ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥
tr➯♥ ♠ët tr÷í♥❣ ❦❤ỉ♥❣✲❆❝s✐♠❡t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
ỵ tự ừ tt ✈➔ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥
♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ tr➯♥ ♠ët tr÷í♥❣ ❦❤ỉ♥❣✲❆❝s✐♠❡t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✹

❈❤÷ì♥❣ ✸✳ ✣à♥❤ ỵ tự ừ tt t ✤è✐ ✈ỵ✐
t➼❝❤ q✲s❛✐ ♣❤➙♥✱ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ ♠ët
tr÷í♥❣ ❦❤ỉ♥❣✲❆❝s✐♠❡t✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✼
✸✳✶✳ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ❜ê trñ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
ỵ tự ❝õ❛ ❘✐tt ✈➔ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ✤è✐ ✈ỵ✐ t➼❝❤ q✲s❛✐ ♣❤➙♥
❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ ♠ët tr÷í♥❣ ❦❤ỉ♥❣✲❆❝s✐♠❡t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
ỵ tự ừ tt ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥
✈➔ ✤❛ t❤ù❝ s❛✐ ♣❤➙♥ tr➯♥ ♠ët tr÷í♥❣ ❦❤ỉ♥❣✲❆❝s✐♠❡t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✺

❑➳t ❧✉➟♥ ✈➔ ❦✐➳♥ ♥❣❤à ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✸
❉❛♥❤ ♠ư❝ ❝ỉ♥❣ tr➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✹
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✺





ỵ ồ t
ỵ ỡ ừ ỵ tt số t r ồ số n 2
t ữợ t ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❝â ❞↕♥❣
mk
1
n = pm

1 ...pk , ✈ỵ✐ k ≥ 1,

ð ✤â ❝→❝ t❤ø❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè p1 , ..., pk ✤æ✐ ♠ët ♣❤➙♥ ❜✐➺t ✈➔ ❝→❝ sè ♠ơ t÷ì♥❣
ù♥❣ m1 ≥ 1, ..., mk ≥ 1 ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ♠ët ❝→❝❤ ❞✉② ♥❤➜t t❤❡♦ n. ❘✐tt
ữớ t tữỡ tỹ ỵ ố ợ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝✳
✣➸ ♠æ t↔ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❘✐tt✱ t❛ ❦➼ ❤✐➺✉ M(C) ✭t÷ì♥❣ ù♥❣✱ A(C)✮ ❧➔ t➟♣
❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✭t÷ì♥❣ ù♥❣✱ ♥❣✉②➯♥✮ tr➯♥ C ✈➔ ❦➼ ❤✐➺✉ L(C) ❧➔ t➟♣ ❝→❝
✤❛ t❤ù❝ ❜➟❝ 1✳ ✣➦t E, F ❧➔ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ M(C)✱ ❦❤✐ ✤â ♠ët
❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ F (z) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ữủ tr Eì F t
ý t t tû F (z) = f ◦ g(z) ✈ỵ✐ f (z) ∈ E ✈➔ g(z) ∈ F ✤➲✉
❦➨♦ t❤❡♦ ❤♦➦❝ f ❧➔ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❤♦➦❝ g ❧➔ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ◆➠♠ ✶✾✷✷✱ tt
ự ỵ s

ỵ ỵ tự t ừ tt F t ❦❤→❝

ré♥❣ ❝õ❛ C[z] \ L(C). ◆➳✉ ♠ët ✤❛ t❤ù❝ F (z) ❝â ❤❛✐ ❝→❝❤ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❦❤→❝
♥❤❛✉ t❤➔♥❤ ❝→❝ ✤❛ tự ổ t ữủ tr Fì F

F = ϕ1 ◦ ϕ2 ◦ · · · ϕr = ψ1 ◦ ψ2 ◦ · · · ψs ,
t❤➻ r = s, ✈➔ ❜➟❝ ❝õ❛ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ψ ❧➔ ❜➡♥❣ ✈ỵ✐ ❜➟❝ ❝õ❛ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ϕ ♥➳✉
❦❤ỉ♥❣ t➼♥❤ ✤➳♥ t❤ù tü ①✉➜t ❤✐➺♥ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣✳
❈ơ♥❣ tr♦♥❣ ❬✹✻❪✱ ❘✐tt ✤➣ ự ỵ s

ỵ ỵ tự ❤❛✐ ❝õ❛ ❘✐tt✮✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ a, b, c, d ∈ C[x]\

C t❤ä❛ ♠➣♥ a◦b = c◦d ✈➔ gcd(deg(a); deg(c)) = gcd(deg(b); deg(d)) = 1.
õ tỗ t t✉②➳♥ t➼♥❤ lj ∈ C[x] s❛♦ ❝❤♦ (l1 ◦ a ◦ l2 , l2−1 ◦ b ◦
l3 , l1 ◦ c ◦ l2 , l4−1 ◦ d ◦ l3 ) ❝â ♠ët tr♦♥❣ ❝→❝ ❞↕♥❣

(Fn , Fm , Fm , Fn ) ❤♦➦❝

✷

(xn , xs h(xn ), xs h(x)n , xn ),
ð ✤â m, n > 0 ❧➔ ♥❣✉②➯♥ tè ❝ò♥❣ ♥❤❛✉✱ s > 0 ♥❣✉②➯♥ tè ❝ị♥❣ ♥❤❛✉ ✈ỵ✐ n, ✈➔
h ∈ C[x]\xC[x], lj−1 ❧➔ ❤➔♠ ♥❣÷đ❝ ❝õ❛ lj ✱ Fn , Fm ❧➔ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ❈❤❡❜②❝❤❡✈✳
Ð ✤➙②✱ ♣❤➨♣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ F (z) = f ◦ g(z) ❝❤➼♥❤ ❧➔ ♣❤➨♣ ❤ñ♣ t❤➔♥❤
F (z) = f (g(z))✳ ❉♦ ✤â✱ t❛ t❤➜② r ỵ tự ừ tt ổ t
❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ a(b) = c(d)✱ ð ✤â a, b, c, d ❧➔ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝
✈➔ ❜➟❝ ❝õ❛ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ❧➔ ♥❣✉②➯♥ tè ❝ị♥❣ ♥❤❛✉✳ ❘ã r➔♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
✤❛ t❤ù❝ ✤÷đ❝ ❘✐tt ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❧➔ tr÷í♥❣ ❤đ♣ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠
P (f ) = Q(g), ð ✤â P, Q ❧➔ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ✈➔ f, g ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✳
P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ P (f ) = Q(g) ✤➣ ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❜ð✐ ♥❤✐➲✉ t→❝ ❣✐↔
♥❤÷ ❚↕ ❚❤à ❍♦➔✐ ❆♥✲◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◆❣å❝ ❉✐➺♣ ❬✸❪✱ ❍✳❋✉❥✐♠♦t♦ ❬✶✾❪✱ ❍➔ ❍✉②
❑❤♦→✐✲❈✳❈✳❨❛♥❣ P
ỵ r ữỡ tr ❤➔♠ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ♠➟t t❤✐➳t ✤➳♥ ✈➜♥ ✤➲ ①→❝ ✤à♥❤
❞✉② t ố ợ ởt ự ử ừ ỵ t❤✉②➳t ♣❤➙♥ ❜è
❣✐→ trà✳ ❱➜♥ ✤➲ ①→❝ ✤à♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ✤➣ ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❧➛♥ ✤➛✉ t✐➯♥ ❜ð✐
❘✳◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛✳ ◆➠♠ ✶✾✷✻✱ ự ữủ r ợ
f ✈➔ g tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ♣❤ù❝ C✱ ♥➳✉ ❝❤ó♥❣ ❝â ❝❤✉♥❣
♥❤❛✉ ↔♥❤ ♥❣÷đ❝ ✭❦❤ỉ♥❣ t➼♥❤ ❜ë✐✮ ❝õ❛ ✺ ✤✐➸♠ t t f = g
ỵ ♥➳✉ ❝❤ó♥❣ ❝â ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ ↔♥❤ ♥❣÷đ❝ ✭❝â t➼♥❤ ❜ë✐✮ ❝õ❛ ✹

af + b
✭a, b, c, d ❧➔ ❝→❝ sè ♣❤ù❝ ♥➔♦ ✤â s❛♦ ❝❤♦
cf + d
ad − bc = 0 ỵ ỗ tứ ỵ ỵ
t ữủ ự tử ợ ữợ
ự ừ ②➳✉ ✈➔ ✤➣ ❝â r➜t ♥❤✐➲✉ ❦➳t q✉↔ s➙✉ s➢❝ ❝õ❛ ●✳❉❡t❤❧♦❢❢✱ ✣é ✣ù❝

❚❤→✐✱ ▼✳ ❙❤✐r♦s❛❦✐✱ ❍✳❳✳❨✐✱ P✳❈✳❍✉✲❈✳❈✳❨❛♥❣✱ ❍➔ ❍✉② ❑❤♦→✐✱ ❍➔ ❍✉②
❑❤♦→✐✲❱ô ❍♦➔✐ ❆♥✱ ❍➔ ❍✉② ❑❤♦→✐✲❱ô ❍♦➔✐ ❆♥✲▲➯ ◗✉❛♥❣ ◆✐♥❤✱ ❚↕ ❚❤à
❍♦➔✐ ❆♥✱ ❚↕ ❚❤à ❍♦➔✐ ❆♥✲❍➔ ❚r➛♥ P❤÷ì♥❣✱ ▲✳▲❛❤✐r✐✱ ❚r➛♥ ❱➠♥ ❚➜♥✱ ❙➽
✣ù❝ ◗✉❛♥❣✱ ❆✳❊s❝❛ss✉t✱ ❍✳❋✉❥✐♠♦t♦✱✳✳✳
✤✐➸♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t t❤➻ g =

❚✐➳♣ t❤❡♦✱ sü ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤÷đ❝ ♠ð rở s ởt ừ ỵ tt
t ✤â ❧➔ ①❡♠ ①➨t t➟♣ ①→❝ ✤à♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ tự
ữớ t ữợ ữợ ự
❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠ët ❦➳t q✉↔ ♥ê✐ t✐➳♥❣ r➡♥❣ ♠ët ❤➔♠
♣❤➙♥ ❤➻♥❤ f tr➯♥ tr÷í♥❣ sè ♣❤ù❝ C ❦❤ỉ♥❣ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà ✵ ✈➔ ✤↕♦ ❤➔♠ ❜➟❝ k
❝õ❛ f ✱ ✈ỵ✐ k ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✱ ❦❤ỉ♥❣ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà ✶ t❤➻ f ❧➔ ❤➔♠ ❤➡♥❣✳
❍❛②♠❛♥ ❝ơ♥❣ ✤÷❛ r❛ ❣✐↔ t❤✉②➳t s❛✉✳

●✐↔n t❤✉②➳t ❍❛②♠❛♥✳ ❬✷✶❪

◆➳✉ ♠ët ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥ f t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉
❦✐➺♥ f (z)f (z) = 1 ✈ỵ✐ n ❧➔ sè ữỡ ợ ồ z C t f ❧➔


✸

❤➔♠ ❤➡♥❣✳
●✐↔ t❤✉②➳t ♥➔② ✤➣ ✤÷đ❝ ❝❤➼♥❤ ❍❛②♠❛♥ ❦✐➸♠ tr❛ ợ n > 1 ữủ
tr ợ n ≥ 1✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ♥➔② ✈➔ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ q t
ởt ữợ ự ữủ ồ ❧➔ sü ❧ü❛ ❝❤å♥ ❝õ❛ ❍❛②♠❛♥✳ ❈ỉ♥❣ tr➻♥❤
q✉❛♥ trå♥❣ t❤ó❝ ữợ ự tở
ổ ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ✤è✐ ✈ỵ✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈➔ ✤ì♥ t❤ù❝
✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ♥â ❝â ❞↕♥❣ f n f ✳ ❍❛✐ ỉ♥❣ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝ r➡♥❣✱ ✈ỵ✐ f
✈➔ g ❧➔ ❤❛✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣✱ n ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥✱ n ≥ 11 ♥➳✉ f n f

✈➔ g n g ❝ò♥❣ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà ♣❤ù❝ a t➼♥❤ ❝↔ ❜ë✐ t❤➻ ❤♦➦❝ f, g s❛✐ ❦❤→❝ ♥❤❛✉
♠ët ❝➠♥ ❜➟❝ n + 1 ❝õ❛ ✤ì♥ ✈à✱ ❤♦➦❝ f, g ✤÷đ❝ t➼♥❤ t❤❡♦ ❝→❝ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝
❝õ❛ ❤➔♠ ♠ơ ✈ỵ✐ ❝→❝ ❤➺ sè t❤ä❛ ♠➣♥ ♠ët ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ♥➔♦ ✤â✳ ❚ø ✤â✱ ❝→❝
❦➳t q✉↔ t✐➳♣ t❤❡♦ ✤➣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❞ü❛ tr➯♥ ①❡♠ ①➨t ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥
❞↕♥❣ (f n )(k) , [f n (f − 1)](k) ✭❇❤♦♦s♥✉r♠❛t❤ ✲ ❉②❛✈❛♥❛❧ ❬✶✵❪✱ ❋❛♥❣ ❬✶✽❪✮ ✈➔
❝â ❞↕♥❣ [f n (af m + b)](k) , [f n (f − 1)m ](k) ✭①❡♠ ❩❤❛♥❣ ✈➔ ▲✐♥✱ ❬✺✹❪✮✱ ✈➔ ❝â
❞↕♥❣ (f )( ) P (f ),✭ ①❡♠ ❑✳ ❇♦✉ss❛❢✲ ❆✳ ❊s❝❛ss✉t✲ ❏✳ ❖❥❡❞❛❬✶✶❪✮✳ ◆➠♠ ✶✾✾✼✱
t❤❛② ✈➻ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ✤↕♦ ❤➔♠ ❜➟❝ n✱ ■✳ ▲❛❤✐r✐ ❬✸✻❪ ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝
tr÷í♥❣ ❤đ♣ tê♥❣ q✉→t ❤ì♥ ❝õ❛ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ❦❤æ♥❣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝õ❛
❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà ✶ t➼♥❤ ❝↔ ❜ë✐✳ ữợ ự
▼✳ ▲✳ ❋❛♥❣ ❬✶✼❪ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✱ ♥➳✉ n ≥ 13,
✈➔ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❤❛✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ f ✈➔ g, ♠➔ f (n) (f − 1)2 f ✈➔
g (n) (g − 1)2 g ♥❤➟♥ ❣✐→ trà ✶ t➼♥❤ ❝↔ ❜ë✐✱ t❤➻ f = g. ❱➔♦ ❝✉è✐ ♥❤ú♥❣ ♥➠♠
❝õ❛ t❤➟♣ ❦✛ ♥➔②✱ ✈➜♥ ✤➲ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà ❝ô♥❣ ữủ t ố ợ tự
s ừ ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥ ✈➔ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✳ ▲❛✐♥❡ ✈➔ ❨❛♥❣ ❬✸✼❪
✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➜♥ ✤➲ ♣❤➙♥ ❜è ❣✐→ trà ❝õ❛ t➼❝❤ s❛✐ ♣❤➙♥ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❝→❝ ❤➔♠
♥❣✉②➯♥✳ ❳✳ ❈✳✲◗✐✱ ▲✳✲❩✳ ❨❛♥❣ ✈➔ ❑✳ ▲✐✉ ❬✹✺❪ ①❡♠ ①➨t ❝→❝ t➼❝❤ s❛✐ ♣❤➙♥ ✈➔
✈✐ ♣❤➙♥ ❝â ❞↕♥❣ f (z)(n) f (z + c), ✈➔ ✤➣ ❝❤➾ r❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➸ f = tg ✱ ✈ỵ✐ f
✈➔ g ❧➔ ❤❛✐ ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥ s✐➯✉ ✈✐➺t ❝â ❜➟❝ ❤ú✉ ❤↕♥✳
◆➠♠ ✷✵✵✼✱ ①✉➜t ♣❤→t tø ✣à♥❤ ỵ tự ừ tt P õ ỵ
tữ t ữủ ừ t t ố ợ t❤ù❝✳ ➷♥❣ ✤➣ t➻♠
✤÷đ❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤♦ ❤❛✐ ✤❛ t❤ù❝ f1 , f2 ✈➔ ❤❛✐ t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t K1 , K2 t❤ä❛ ♠➣♥
f1−1 (K1 ) = f2−1 (K2 ). ❑➳t q✉↔ ❝õ❛ ❋✳P❛❝❦♦✈✐❝❤ ✤÷đ❝ ✣✐♥❤ ❚✐➳♥ ❈÷í♥❣ ♠ð
rë♥❣ tr♦♥❣ ❬✶✸❪✱ ❬✶✹❪✳ ứ ỵ tt tự t q ừ P
õ tr ú tổ õ t

t ỵ ❘✐tt t❤ù ❤❛✐ ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ ①❡♠ ❧➔ ❦➳t q✉↔ ✤➛✉ t✐➯♥

✈➲ ✈➜♥ ✤➲ ①→❝ ✤à♥❤ ❤➔♠ tø ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ P (f ) = Q(g)✱ tø ✤â s✐♥❤ r❛
❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝❤♦ ❱➜♥ ✤➲ ①→❝ ✤à♥❤ ✤❛ t❤ù❝ t❤æ♥❣ q✉❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ↔♥❤ ♥❣÷đ❝

❝õ❛ t➟♣ ❤đ♣ ✤✐➸♠✳

❚ø ♥❤➟♥ ①➨t ♥➔② ✈➔ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ✭①❡♠ ❬✸❪✱ ❬✸✺❪✱


✹

❬✹✹❪✮ ♥➯✉ tr➯♥✱ ✈➜♥ ✤➲ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤÷đ❝ ✤➦t r❛ tü ♥❤✐➯♥ ♥❤÷ s❛✉✳
❳❡♠ ①➨t sü t÷ì♥❣ tü ❤❛✐ ✤à♥❤ ỵ tt ố ợ
tự ♣❤➙♥✱ ✤❛ t❤ù❝ s❛✐ ♣❤➙♥✱ ✤❛ t❤ù❝ q ✲s❛✐ ♣❤➙♥✳
❳❡♠ ①➨t ❱➜♥ ✤➲ ①→❝ ✤à♥❤ ❤➔♠✱ ❱➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ✤è✐ ✈ỵ✐ ❤➔♠
♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈➔ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥✱ ✤❛ tự s tự q s ữợ
õ ở ừ ỵ tt
ứ õ ú tổ ồ t ởt số ừ ỵ tt ự ❞ö♥❣
✈➔♦ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t✧ ✤➸ ❣✐↔✐ q✉②➳t ❝→❝ ✈➜♥ ự tr ỗ
tớ õ ú t t q ự ử ừ ỵ t❤✉②➳t
◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛✳

❱➜♥ ✤➲ ✶✳
❱➜♥ ✤➲ ✷✳

✷✳ ▼ö❝ t✐➯✉ ❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥

✷✳✶✳ t ởt số ỵ tữỡ tỹ ỵ ừ tt ố ợ
tự ✈✐ ♣❤➙♥✱ ✤❛ t❤ù❝ s❛✐ ♣❤➙♥✱ ✤❛ t❤ù❝ q ✲s❛✐ ♣❤➙♥ tr♦♥❣
tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♣❤ù❝ ✈➔ p✲❛❞✐❝✳
✷✳✷✳ ❚✐➳♣ ❝➟♥ ❱➜♥ ✤➲ ①→❝ ✤à♥❤ ❤➔♠✱ ❱➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ✤è✐ ✈ỵ✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥
❤➻♥❤✱ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥✱ ✤❛ t❤ù❝ s❛✐ ♣❤➙♥✱ ✤❛ tự q s tr trữớ
ủ ự p ữợ õ ở ừ ỵ tt

ố tữủ ♣❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉

❱➜♥ ✤➲ ①→❝ ✤à♥❤ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈➔ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥✱ ✤❛ t❤ù❝ s❛✐ ♣❤➙♥✱
✤❛ t❤ù❝ q s tr trữớ ủ ự p ữợ õ ở ừ
ỵ tt
t ừ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈➔ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥✱ ✤❛ t❤ù❝ s❛✐
♣❤➙♥✱ ✤❛ t❤ù❝ q ✲s❛✐ ♣❤➙♥ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♣❤ù❝ p ữợ õ ở ừ
ỵ tt

Pữỡ ổ ử ự

ỷ ử ỵ tữỡ tỹ ừ ú ũ ợ
ờ r ừ ỵ tt ố tr ✤➸ ❣✐↔✐ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠✳
❈→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ♥➔② tữỡ tỹ ữ ữỡ tr tr ỵ
tt tự
ỷ ử ỵ t ①→❝ ✤à♥❤ ❤➔♠✱ ❜➔✐ t♦→♥
❞✉② ♥❤➜t ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠✳ ◆❤í ✤â ✈➔ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠
♥â✐ tr➯♥ ✤➸ ✤÷❛ r❛ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✈➲ ❱➜♥ ✤➲ ①→❝ ✤à♥❤ ❤➔♠ ✈➔ ❱➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t✳

✺✳ Þ ♥❣❤➽❛ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥
▲✉➟♥ →♥ ✤➣ ✤÷❛ r❛ ♠ët ❝→❝❤ t✐➳♣ ❝➟♥ ♠ỵ✐ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❱➜♥ ✤➲ ①→❝ ✤à♥❤✱ ❱➜♥


✺

✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠✱ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ✈➔ ✤❛ t❤ù❝ s❛✐ ♣❤➙♥✳ ✣â ❧➔✱ ①❡♠
①➨t ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ ữợ õ ở ừ ỵ tt ớ õ tt
ữủ t q ợ õ rở t ự ử ừ ỵ tt

trú t q ừ

ỗ õ ữỡ ũ ợ t t
t
ữỡ ợ tỹ ỵ ❝õ❛ ❘✐tt ✈➔ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ✤è✐ ✈ỵ✐
✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✧✳ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ♥❣❤✐➯♥
❝ù✉ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ✤è✐ ✈ỵ✐ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣
❝õ❛ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ✤÷đ❝ ✈✐➳t ❞ü❛ tr➯♥ ❝→❝ ❜➔✐ ❜→♦ ❬✺❪✱ ❬✼❪✱ ❬✷✾❪✳ ự
t ỗ ữợ s
ữợ t t q tữỡ tỹ ỵ tt ố ợ

ữợ t t ữỡ tr ũ t q
ữợ
ữ t t tr ỵ tự t ❝õ❛ ❘✐tt ✤➣ ❝❤ù♥❣ tä r➡♥❣✿ ❜➜t
❦ý ❤❛✐ sü ♣❤➙♥ t ừ ởt tự trữợ t t❤ù❝ ❦❤ỉ♥❣
♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤÷đ❝ s➩ ❝❤ù❛ ❝ị♥❣ ♠ët sè ✤❛ t❤ù❝ ♥❤÷ ♥❤❛✉ ✈➔ ❜➟❝ ❝õ❛ ❝→❝ ✤❛
t❤ù❝ tr♦♥❣ ♠é✐ ❝→❝❤ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❧➔ ♥❤÷ ♥❤❛✉ ♥➳✉ ❦❤ỉ♥❣ t➼♥❤ ✤➳♥ t❤ù tü ❝õ❛
❝❤ó♥❣ tr♦♥❣ ❝→❝❤ ♣❤➙♥ t➼❝❤✳ ❚ø ✤â✱ ♠ư❝ t✐➯✉ t❤ù ♥❤➜t ❝õ❛ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❧➔✿
❚❤✐➳t ❧➟♣ ❦➳t q✉↔ tữỡ tỹ ỵ tự t ừ tt ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✳
❚✉② ♥❤✐➯♥✱ t❛ t❤➜② r➡♥❣✱ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝õ❛ ❤❛✐ ỵ ừ tt tr
ữớ ữ ổ tữỡ tỹ ữủ ỵ ộ ❘✐tt
✤➣ ❞ị♥❣ ✤➳♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✧❤ú✉ ❤↕♥✧ ❦❤ỉ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ tr♦♥❣ ❝❤ù♥❣
♠✐♥❤ ❝õ❛ ỉ♥❣✳ ❑❤➢❝ ♣❤ư❝ ❦❤â ❦❤➠♥ trữợ t ú tổ tt
ỵ ỵ ởt ỵ tt tự ố
ợ ữỡ tr P (f1 , f2 ) = Q(g1 , g2 ), ð ✤â P, Q ❧➔ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ❤❛✐
❜✐➳♥ ❦✐➸✉ ❨✐ ✈➔ f1 , f2 , g1 , g2 ú ỵ r➡♥❣✱ ❦➳t q✉↔ ♥➔②
✤➣ ✤÷đ❝ ♣❤→t ❜✐➸✉ ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ tr♦♥❣ ❬✷❪ ✈➔ ❬✸✷❪✱ t✉② ♥❤✐➯♥ ð ✤➙② ❝❤ó♥❣
tỉ✐ ♥❤➻♥ t q ữợ õ ở ừ ỵ tt t❤ù ❤❛✐ ✈➔ ✤÷❛ r❛ ♠ët
❝→❝❤ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❦❤→❝✳ ◆❤í ử ỵ q ú
tổ ự ữủ ỵ ởt t q tữỡ tỹ ỵ

tt tự t ố ợ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✳ ❚r♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❝á♥ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝
ù♥❣ ❞ư♥❣ ừ ỵ õ ỵ ỵ
ỵ t t q✉↔ ♠ỵ✐ ✈➲ Bi − U RSM ❝❤♦ ❝→❝ ❤➔♠
ỵ r t ố ợ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ❞↕♥❣ (P (f ))(k) ✱ ð ✤â
P ❧➔ ✤❛ t❤ù❝ ✈➔ f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✱ ❧➔ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤â✳ ❑❤â ❦❤➠♥ ð ✤➙②
❧➔ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ tê♥❣ q✉→t ❤✐➺♥ ❝❤÷❛ ❝â ♠ët ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ tèt ❣✐ú❛ ❤➔♠




trữ ừ f ợ ❤➔♠ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ (P (f ))(k) ✳
❱➻ ✈➟②✱ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ✤➣ ①➨t ♠ët sè tr÷í♥❣ ❤đ♣ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥
♥➔②✳ ✣â ❧➔ ❝→❝ ❞↕♥❣✿ [f n (f −1)m ](k) ✈ỵ✐ f ❧➔ ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥ ✭①❡♠ ❬✺✹❪✮✱ (f n )(k)
✈ỵ✐ f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✭①❡♠ ❬✶✵❪✮✳ ❈❤ó♥❣ tỉ✐ ✤➣ ❣✐↔♠ ❜ỵt ❦❤â ❦❤➠♥ ♥➔②
✤è✐ ✈ỵ✐ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ❞↕♥❣ (P d (f ))(k) . ❚ø õ ũ tữỡ
tỹ ừ ỵ t❤ù ❤❛✐ ✭❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✺✮ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ✣à♥❤ ỵ
õ ởt t q t t ố ợ tự
ữỡ ợ tỹ ỵ tự ừ tt ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t
❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ tr➯♥ ♠ët tr÷í♥❣ ❦❤ỉ♥❣✲❆❝s✐♠❡t✧✳ ❚r♦♥❣
❈❤÷ì♥❣ ✷✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❱➜♥ ✤➲ ✷✿ ❱➜♥ ✤➲ ①→❝ ✤à♥❤✱ ❱➜♥ ✤➲ ❞✉②
♥❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈➔ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥✱ ✤❛ t❤ù❝ s❛✐ ♣❤➙♥✱ ✤❛ t❤ù❝
q ✲s❛✐ ♣❤➙♥ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ p✲❛❞✐❝ ữợ õ ở ừ ỵ tt tự
ở ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❈❤÷ì♥❣ ✷ ✤÷đ❝ ✈✐➳t ❞ü❛ tr➯♥ ❝→❝ ❜➔✐ ❜→♦ ❬✹❪✱ ❬✺❪✱ ❬✼❪✳
◆❤÷ ✤➣ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ð tr➯♥✱ ✈➜♥ ✤➲ ①→❝ ✤à♥❤ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈➔ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉②
♥❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝ơ♥❣ ✤➣ ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ❝â ❝→❝ ❦➳t q✉↔
t❤ó ✈à tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ p✲❛❞✐❝✳ ❚r♦♥❣ ❬✸✶❪✱ ❑❤♦→✐✱ ❆♥ ✈➔ ▲❛✐ ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ❞↕♥❣ (f n )(k) ✈➔ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❦➳t q✉↔✿ ♥➳✉ (f n )(k) ✈➔ (g n )(k)
♥❤➟♥ ❝❤✉♥❣ ❣✐→ trà ✶ ❝â t➼♥❤ ❜ë✐ ✈ỵ✐ f, g ❧➔ ❤❛✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣
tr➯♥ ♠ët tr÷í♥❣ ❦❤ỉ♥❣✲❆❝s✐♠❡t ✈➔ n, k ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥
n ≥ 3k + 8 t❤➻ f ✈➔ g s❛✐ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ♠ët ❝➠♥ ❜➟❝ n ❝õ❛ ✤ì♥ ✈à✳ ❚ø ✤â✱ ❜➔✐

t♦→♥ t❤ù ♥❤➜t ✤➦t r❛ tr♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✷ ❧➔✿ t❤❛② ✈➻ ①➨t ❝→❝ ❤➔♠ f, g ✱ ❝❤ó♥❣
tỉ✐ ①❡♠ ①➨t ❝→❝ t♦→♥ tû ✈✐ ♣❤➙♥ ❞↕♥❣ (P n (f ))(k) ✈➔ (Qn (g))(k) ♥❤➟♥ ❝ò♥❣
♠ët ❣✐→ trà✱ ð ✤â P, Q ❧➔ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ❦✐➸✉ ❋❡r♠❛t✲❲❛r✐♥❣✳ ❚ø ✤â✱ ú
tổ tt ữủ ỵ ỵ ❧➔ ♠ët ❦➳t q✉↔ ✈➲ ✈➜♥ ✤➲ ①→❝
✤à♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ ♠ët tr÷í♥❣ ❦❤ỉ♥❣✲❆❝s✐♠❡t ✈➔ ✤❛ t❤ù❝
✈✐ ừ õ ú ỵ r n 3k + 5 tr ỵ
tốt ỡ ❦✐➺♥ t÷ì♥❣ ù♥❣ n ≥ 3k + 8 tr♦♥❣ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❑❤♦→✐✲❆♥✲▲❛✐
✭①❡♠ ❬✸✶❪✮✳
❚r♦♥❣ ❬✹✾❪ ❨❛♥❣ ✤➣ ✤➦t r❛ ✈➜♥ ✤➲ s❛✉✿ ❧✐➺✉ ✤➥♥❣ t❤ù❝ f −1 (S) = g −1 (S)
✈ỵ✐ S = {−1, 1} ✤è✐ ✈ỵ✐ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ❝ò♥❣ ❜➟❝ f, g s➩ ❦➨♦ t❤❡♦ f = g ❤❛②
❧➔ f = −g ❄ ❈➙✉ ❤ä✐ ♥➔② ❝ô♥❣ ✤➣ ✤÷đ❝ ❣✐↔✐ ✤→♣ tr♦♥❣ ❬✹✷❪✱ ❬✹✸❪✳ ❚ø ✤â✱
❝➙✉ ❤ä✐ t❤ù ❤❛✐ ✤➦t r❛ tr♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✷ ❧➔✿ ❝❤♦ S, T ❧➔ ❝→❝ t➟♣ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠
❝õ❛ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ P (z), Q(z) t÷ì♥❣ ù♥❣ t❤➻ t❛ ❝â t❤➸ ❦➳t ❧✉➟♥ ❣➻ ✈➲ f, g ♥➳✉
Ef (S) = Eg (T )❄✳ ỵ ũ q ✤➣ ❣✐↔✐
✤→♣ ❝❤♦ ❝➙✉ ❤ä✐ ✤➦t r❛ ✈➔ ❣â♣ ♣❤➛♥ tr↔ ❧í✐ ❈➙✉ ❤ä✐ ❝õ❛ ❈✳❈✳❨❛♥❣ tr♦♥❣
❬✸✽❪✱ ❈➙✉ ❤ä✐ ❝õ❛ ❋✳P❛❦♦✈✐❝❤ tr♦♥❣ ❬✹✹❪ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ p✲❛❞✐❝✳ ❚r♦♥❣
❈❤÷ì♥❣ ✷ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ❝ơ♥❣ t❤✐➳t ❧➟♣ ✤÷đ❝ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❧➔ ✣à♥❤ ỵ ởt
ỵ tt tự ởt tỡ p ỵ
t q ❝❤♦ ❱➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ p✲❛❞✐❝✳




ữỡ õ t ồ ỵ tự ừ ❘✐tt ✈➔ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ✤è✐
✈ỵ✐ t➼❝❤ q✲s❛✐ ♣❤➙♥✱ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ ♠ët tr÷í♥❣
❦❤ỉ♥❣✲❆❝s✐♠❡t✧✳ ❚r♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✸ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❱➜♥ ✤➲ ữợ õ
ở ỵ tự ừ tt ở ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❈❤÷ì♥❣ ✸ ✤÷đ❝ ✈✐➳t ❞ü❛ tr➯♥
❝→❝ ❜➔✐ ❜→♦ ❬✻❪✱ ❬✷✷❪✳
❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♣❤ù❝✱ ❝❤õ ✤➲ ♥➔② ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❣➛♥ ✤➙② ✈➔ ✤❛♥❣
✤÷đ❝ t✐➳♣ tư❝ ❜ð✐ ❈✳❨✳❋❛♥❣✲▼✳▲✳❋❛♥❣ ✭❬✶✼❪✮✱ ■✳▲❛❤✐r✐ ✭❬✸✻❪✮✱ ▲❛✐♥❡✲❨❛♥❣

✭❬✸✼❪✮✱ ▲✐✉✲❈❛♦ ✭❬✸✾❪✮✱ ❳✳❈✳◗✐✱ ▲✳❩✳❨❛♥❣✲❑✳▲✐✉ ✭❬✹✺❪✮✱ ❈✳❈✳❨❛♥❣ ✭❬✺✵❪✮✱
❍✳❳✳❨✐ ✭❬✺✷❪✮✱✳✳✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♠ỵ✐ ❝❤➾ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ❧ỵ♣ ❤➔♠ ♣❤➙♥
❤➻♥❤ ❝â ❜➟❝ ❤ú✉ ❤↕♥ ✤è✐ ✈ỵ✐ t➼❝❤ s❛✐ ♣❤➙♥ ❤♦➦❝ ❜➟❝ ❦❤ỉ♥❣ ✤è✐ ✈ỵ✐ t➼❝❤ q ✲s❛✐
♣❤➙♥✳
❘➜t ♥❤✐➲✉ ❦➳t q✉↔ t❤ó ✈à ❝ơ♥❣ ✤➣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ố ợ
tr ởt trữớ ổst ❬✾❪✱ ❬✶✻❪✱ ❬✷✼❪✱ ❬✷✽❪✱ ❬✸✵❪✱ ❬✹✶❪✮✳
❑✳❇♦✉ss❛❢✱ ❆✳ ❊s❝❛ss✉t✱ ❏✳ ❖❥❡❞❛ ✭❬✶✶❪✮ ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t
✤è✐ ✈ỵ✐ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ p✲❛❞✐❝ ♠➔ f P (f ), g P (g) ❝ò♥❣ ♥❤➟♥ ♠ët ❤➔♠
♥❤ä✳ ❚r♦♥❣ ❬✾❪✱ ❏✳✲P✳ ❇❡③✐✈✐♥✱ ❑✳ ❇♦✉ss❛❢ ✈➔ ❆✳ ❊s❝❛ss✉t✱ ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
❝→❝ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ✤↕♦ ❤➔♠ ♠ët ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ p✲❛❞✐❝✳
▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ữỡ tt t q ố ợ ❱➜♥ ✤➲ ❞✉②
♥❤➜t ❝õ❛ t➼❝❤ q ✲s❛✐ ♣❤➙♥ ❞↕♥❣ f n f m (qz + c)✱ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ✈➔ q ✲s❛✐
♣❤➙♥ ❞↕♥❣ (f nm (z)f nd (qz + c))(k) . ❱ô ❍♦➔✐ ❆♥✲P❤↕♠ ◆❣å❝ ❍♦❛ ❬✹❪✱ ❱ô
❍♦➔✐ ❆♥✲P❤↕♠ ◆❣å❝ ❍♦❛✲❍➔ ❍✉② ❑❤♦→✐ ❬✻❪✱ ❱ô ❍♦➔✐ ❆♥✲❍➔ ❍✉②
õ t q t ữợ ự ú ỵ r t q s
tự ✈✐ ♣❤➙♥ ♥➯✉ tr➯♥ ❝❤÷❛ ✤÷đ❝ ✤➲ ❝➟♣ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ủ ự
ỵ ộ ố ỳ ❤➔♠ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ f ✈➔
❤➔♠ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ f (qz + c) ❝â t❤➸ ❦❤ỉ♥❣ t❤✐➳t ❧➟♣ ✤÷đ❝
tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♣❤ù❝✳ ◆â ❝❤➾ t❤✐➳t ❧➟♣ ✤÷đ❝ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ p✲❛❞✐❝ ❞♦
t➼♥❤ ❝❤➜t ✤➦❝ ❜✐➺t ❝õ❛ ❝❤✉➞♥ p✲❛❞✐❝✳ ❉ò♥❣ ❇ê ✤➲ ✸✳✶✳✷✱ ✸✳✶✳✻ ✭❝→❝ ừ
ỵ tự p✲❛❞✐❝✮ ✈➔ ❝→❝ ❇ê ✤➲ ❦ÿ t❤✉➟t
❦❤→❝ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ t❤✉ ữủ ỵ ỵ
ỵ ởt t q ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ t➼❝❤ q ✲s❛✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠
♣❤➙♥ ❤➻♥❤ p ỵ ởt t q ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛
t➼❝❤ q ✲s❛✐ ♣❤➙♥✱ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ p✲❛❞✐❝✳
❈→❝ ❦➳t q✉↔ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ →♥ ✤÷đ❝ ❜→♦ ❝→♦ t↕✐ ❍ë✐ t❤↔♦ q✉è❝ t➳ ✈➲ ❣✐↔✐
t➼❝❤ ♣❤ù❝ ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❧➛♥ t❤ù ✷✵ t↕✐ ❍➔ ◆ë✐ ♥❣➔② ✷✾✴✵✼✲✸✴✵✽✴✷✵✶✷❀ ❍ë✐
♥❣❤à ❚♦→♥ ❤å❝ ♣❤è✐ ❤ñ♣ ❱✐➺t✲P❤→♣✱ ❍✉➳ ✷✵✲✷✹✴✵✽✴✷✵✶✷❀ ✣↕✐ ❤ë✐ ❚♦→♥ ❤å❝
❱✐➺t ◆❛♠ ❧➛♥ t❤ù ✽✱ ◆❤❛ ❚r❛♥❣ ✶✵✲✶✹✴✵✽✴✷✵✶✸❀ ❍ë✐ ♥❣❤à ✣↕✐ sè✲ ❍➻♥❤ ❤å❝✲
❚♦♣♦✱ ❇✉æ♥ ▼❛ ❚❤✉ët ♥❣➔② ✷✻✲✸✵✴✶✵✴✷✵✶✻❀ ❈→❝ ❙❡♠✐♥❛r ❝õ❛ ❇ë ♠æ♥ ●✐↔✐

t➼❝❤✱ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ✲ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥❀ ❈→❝


✽

❙❡♠✐♥❛r ❝õ❛ ♥❤â♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t↕✐ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤➠♥❣ ▲♦♥❣ ✈➔ tr÷í♥❣
❈❛♦ ✤➥♥❣ ❍↔✐ ❉÷ì♥❣✳




ữỡ
ỵ ừ tt
t ố ợ tự ừ

r ữỡ ✶ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛
t ỵ ừ tt ũ ủ ợ
ố trữợ t ú tổ tt ỵ ữ ởt
ỵ tự ừ tt ứ õ ú tổ ữủ ỵ
ỵ ỵ ởt ỵ tự t ừ tt
ỵ ởt t q ố ợ ✤➲ Bi − U RSM ✳
❚✐➳♣ t❤❡♦✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ t❤✐➳t ỵ ởt t q t➟♣
①→❝ ✤à♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ✤è✐ ✈ỵ✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✳ ❚ø õ ũ ờ ởt
tữỡ tỹ ừ ỵ ❝❤➼♥❤ t❤ù ❤❛✐✮ ✈➔ ❞ị♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ✭t÷ì♥❣
tü ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♠➔ ❘✐tt ①❡♠ ①➨t✮ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ỵ
ởt t q t ❝❤♦ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥✳

✶✳✶✳ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ t q ờ trủ
rữợ t ú tổ ỵ ỡ ũ ợ
t q✉↔ ❜ê trđ ❞ị♥❣ tr♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ✭①❡♠ ❬✶❪✮✳

●✐↔ sû f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ C✳ ❱ỵ✐ ♠é✐ a ∈ C✱ t❛ ✤à♥❤
♥❣❤➽❛ ❤➔♠ νfa : C → N ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

νfa (z) =

0
d

♥➳✉ f (z) = a
♥➳✉ f (z) = a ✈ỵ✐ ❜ë✐ d

,

✈➔ ✤➦t νf∞ = ν 01 . ❚❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❤➔♠ ν af : C → N ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ν af (z) =
f


✶✵
0
min νfa (z), 1 , ✈➔ ✤➦t ν ∞
f = ν 1 . ✣➦t
f

r

1
N (r,
)=
f −a

νfa (z) − νfa (0))

(
|z|≤t

0

dx
− νfa (0) log r;
x

1
N (r, f ) = N (r, ).
f
r

N (r,

1
)=
f −a

ν af (z) − ν af (0))

(
0

|z|≤t

dx

− ν af (0) log r;
x

1
N (r, f ) = N (r, ).
f
sỷ m số ữỡ ợ ộ a ∈ C ∪ {∞} , t❛ ①→❝ ✤à♥❤ ❤➔♠
a
tø C ∪ {∞} ✤➳♥ N ❝❤♦ ❜ð✐
νf,m)
a
νf,m)
(z)

=

0
νfa (z)

♥➳✉ νfa (z) > m
♥➳✉ νfa (z) ≤ m

.

∞
= ν 01 m) . ❳→❝ ✤à♥❤ ❤➔♠ ν af,m) : C ∪ {∞} → N ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
✣➦t νf,m)
f,

ν af,m) (z)

a
0
(z), 1 , ✈➔ ✤➦t ν ∞
= min νf,m)
f,m) = ν 1 ,m) .
f

❚❛ ❝ô♥❣ ❝â ❝→❝ ❤➔♠ ✤➳♠ Nm) (r,
①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

1
1
f −a ), Nm) (r, f ), N m) (r, f ), N m) (r, f −a )

r

1
Nm) (r,
)=
f −a

(

a
a
νf,m)
(z) − νf,m)
(0))

|z|≤t

0

dx
a
− νf,m)
(0) log r;
x

1
Nm) (r, f ) = Nm) (r, ).
f
r

1
N m) (r,
)=
f −a

(
0

ν af,m) (z) − ν af,m) (0))

|z|≤t

dx
− ν af,m) (0) log r;
x

1
N m) (r, f ) = N m) (r, ).
f
a
❚÷ì♥❣ tü t❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ νf,(m
①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
a
νf,(m
(z)

=

0
νfa (z)

♥➳✉ νfa (z) < m
♥➳✉ νfa (z) ≥ m

,


✶✶
∞
✈➔ ✤➦t νf,(m
= ν 01 ,(m . ❚❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❤➔♠ ν af,(m : C ∪ {∞} → N ①→❝ ✤à♥❤
f

❜ð✐

ν af,(m (z)

0
= min ν af,(m (z), 1 , ✈➔ ✤➦t ν ∞
f,(m = ν 1 ,(m .
f

❚❛ ❝ô♥❣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t÷ì♥❣ tü ❝→❝ ❤➔♠ ✤➳♠

N(m (r,

1
1
), N(m (r, f ), N (m (r, f ), N (m (r,
).
f −a
f −a

❚❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛

1 2π +
log |f (reiθ )|dθ,
m(r, f ) =
2π 0
T (r, f ) = N (r, f ) + m(r, f ).
❚❛ ❝â ❝→❝ ❇ê ✤➲ s❛✉ ✭①❡♠ tr

ờ ỵ ỡ tự ❈❤♦ f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝

❤➡♥❣ tr➯♥ C ✈➔ a1 , a2 , . . . , aq ❧➔ ❝→❝ ✤✐➸♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t tr♦♥❣ C ∪ {∞}✳ ❑❤✐ ✤â

q

(q − 2)T (r, f ) ≤

N1 (r,
i=1

1
) + S(r, f )
f − ai

tr♦♥❣ ✤â S(r, f ) = 0(Tf (r)) ✈ỵ✐ ♠å✐ r trø r❛ ♠ët t➟♣ ❝â ✤ë ✤♦ ▲❡❜❡s❣✉❡
❤ú✉ ❤↕♥✳

❍➺ q✉↔ ✶✳✶✳✷✳ ❈❤♦ f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ C ✈➔ a1, a2, . . . , aq

❧➔ ❝→❝ ✤✐➸♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t tr♦♥❣ C ∪ {∞}✳ ●✐↔ sû f − ai ❦❤æ♥❣ ❝â ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠
❤♦➦❝ f − ai ❝â ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❜ë✐ ➼t ♥❤➜t mi ✱ i = 1, . . . , q ✳ ❑❤✐ ✤â
q

1−
i=1

1
mi

≤ 2.

❚❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ s❛✉✳
▼ët ✤❛ t❤ù❝ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ P (z) ∈ C[z] ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤❛ t❤ù❝ ❞✉② ♥❤➜t ❝❤♦

❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ C ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠å✐ ❝➦♣ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ f, g ❦❤→❝ ❤➡♥❣
tr➯♥ C t❤ä❛ ♠➣♥ P (f ) = P (g), t❛ ❝â f = g.
❚÷ì♥❣ tü✱ ✤❛ t❤ù❝ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ P (z) ∈ C[z] ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤❛ t❤ù❝ ❞✉② ♥❤➜t
♠↕♥❤ ❝❤♦ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✱ ♥➳✉ ✈ỵ✐ ❜➜t ❦ý ❝➦♣ f, g ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥
❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ C ✈➔ ❤➡♥❣ sè c = 0 t❤ä❛ ♠➣♥ P (f ) = cP (g), t❛ ❝â

f = g.
✣❛ t❤ù❝ ❞✉② t tữỡ ự t ố ợ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤
✈✐➳t t➢t ❧➔ U P M ✭t÷ì♥❣ ù♥❣✱ SU P M ✮✳




ỵ M(C) trữớ tr C✳ ❱ỵ✐ f ∈ M(C) ✈➔
S ⊂ C ∪ {∞}✱ t❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛

(z, νfa (z)) : z ∈ C .

Ef (S) =
a∈S

◆➳✉ tr♦♥❣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ tr➯♥✱ t❛ t❤❛② νfa (z) ❜ð✐ ν af (z) ✭❦❤æ♥❣ t➼♥❤ ❜ë✐✮ t❤➻
t❛ ❦➼ ❤✐➺✉ t➟♣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❧➔ E f (S)✭↔♥❤ ♥❣÷đ❝ ❝õ❛ S ✮✳
●✐↔ sû m ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ❤♦➦❝ ∞, t❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛
a
(z, νf,m)
(z)) : z ∈ C .

Ef,m) (S) =
aS

ú ỵ r m = t Ef,) (S) = Ef (S) ✈➔ ♥➳✉ m = 1, t❤➻

Ef,1) (S) ⊂ E f (S).
●✐↔ sû F ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ M(C). ❍❛✐ ❤➔♠ f, g ❝õ❛ F ❣å✐ ❧➔ ♥❤➟♥
S t➼♥❤ ❜ë✐✱ ✭♥❤➟♥ S ❈▼ ✮✱ ♥➳✉ Ef (S) = Eg (S) ✈➔ ♥❤➟♥ S ❦❤æ♥❣ t➼♥❤ ❜ë✐✱
✭♥❤➟♥ S ■▼✮✱ ♥➳✉ E f (S) = E g (S).
❈❤♦ t➟♣ S ⊂ C ∪ {∞}✳ ◆➳✉ Ef (S) = Eg (S) ❦➨♦ t❤❡♦ f = g ✈ỵ✐ ❤❛✐ ❤➔♠
♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✭t÷ì♥❣ ù♥❣✱ ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥✮ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ f, g t❤➻ S ❣å✐ ❧➔ t➟♣ ①→❝
✤à♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ✤è✐ ✈ỵ✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✭t÷ì♥❣ ù♥❣✱ ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥✮ ✈✐➳t t➢t
❧➔ U RSM ✭t÷ì♥❣ ù♥❣✱ U RSE ✮✳
▼ët t➟♣ S ⊂ C ∪ {∞} ❣å✐ ❧➔ t➟♣ ①→❝ ✤à♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ✤è✐ ✈ỵ✐
tữỡ ự ổ t ở ỵ ❤✐➺✉ U RSM − IM ✭t÷ì♥❣
ù♥❣✱ U RSE − IM ✮✱ ♥➳✉ E f (S) = E g (S) ❦➨♦ t❤❡♦ f = g ✳
▼ët t➟♣ S ⊂ C ∪ {∞} ❣å✐ ❧➔ U RSMm) ✭ t÷ì♥❣ ù♥❣✱ U RSEm) ✮ ♥➳✉
✈ỵ✐ ❜➜t ❦➻ ❤❛✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✭❤➔♠ ♥❣✉②➯♥✮ f, g t❤♦↔ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥
Ef,m) (S) = Eg,m) (S) ❦➨♦ t❤❡♦ f = g.
❍❛✐ t➟♣ S1 , S2 ⊂ C ∪ {∞} ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ Bi − U RSM tữỡ ự Bi
U RSE ợ t ❤❛✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✭t÷ì♥❣ ù♥❣✱ ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥✮ f, g
t❤♦↔ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ Ef (Si ) = Eg (Si ), i = 1, 2 ❦➨♦ t❤❡♦ f = g.
❚❛ ❝â ❝→❝ ❦➳t q✉↔ s❛✉✳

❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✸✳ ❬✷✹❪ ✭❇ê ✤➲ ✤↕♦ ❤➔♠ ▲♦❣❛r✐t ✮ ❈❤♦ f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝
❤➡♥❣ tr➯♥ C . ❑❤✐ ✤â ✈ỵ✐ ♠é✐ sè ♥❣✉②➯♥ k, ✈➔ ♠å✐ r < p t❛ ❝â
(k)

ν r, f f

≤

1
rk ✱

✣➦❝ ❜✐➺t

m r,

f (k)
f

≤ S(r, f ).


✶✸

❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✹✳ ❬✷✹❪ ❈❤♦ f ✈➔ g ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ C✳

◆➳✉ Ef (1) = Eg (1) t❤➻ ♠ët tr♦♥❣ ❜❛ ❤➺ t❤ù❝ s❛✉ ❧➔ ✤ó♥❣✿
✶✳ T (r, f ) ≤ N2 (r, f ) + N2 (r, f1 ) + N2 (r, g) + N2 (r, g1 ) + S(r, f ) + S(r, g),
t tự tữỡ tỹ r ố ợ T (r, g);
✷✳ f g ≡ 1;
✸✳ f ≡ g.

❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✺✳ ❬✷✹❪ ❈❤♦ f ✈➔ g ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ C✳

◆➳✉ E f (1) = E g (1)✱ t❤➻ ♠ët tr♦♥❣ ❜❛ tr÷í♥❣ ❤đ♣ s❛✉ ✤➙② ❧➔ ✤ó♥❣✿
✶✳
1
1
T (r, f ) ≤N2 (r, f ) + N2 r,

+ N2 (r, g) + N2 r,
f
g
1
+ 2 N1 (r, f ) + N1 r,
f
1
+ N1 (r, g) + N2 r,
+ S(r, f ) + S(r, g),
g
❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tữỡ tỹ r ố ợ T (r, g);
f g ≡ ✶❀
✸✳ f ≡ g.

❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✻✳ ❬✹✽❪ ❈❤♦ xd−q
Di (x1 , x2 , . . . , xN +1 ) ✈ỵ✐ 1 ≤ i ≤ N + 1 ❧➔ ❝→❝
i
i

✤❛ t❤ù❝ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ❜➟❝ d ①→❝ ✤à♥❤ ❝→❝ s✐➯✉ ♠➦t ❝â ✈à tr➼ tê♥❣ q✉→t tr♦♥❣
P N (C)✳ sỷ tỗ t ữớ f tứ C ✈➔♦ PN (C) ✈ỵ✐ ❜✐➸✉
❞✐➵♥ rót ❣å♥ ❧➔ f˜ = (f1 : · · · : fN +1 )s❛♦ ❝❤♦ ↔♥❤ ❝õ❛ ♥â ♥➡♠ tr♦♥❣ ✤÷í♥❣
❝♦♥❣ ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
N +1

N +1
i
xd−q
Di (x1 , x2 , . . . , xN +1 )
i

2

= 0, d ≥ N +

i=1

qi .
i=1

❑❤✐ ✤â ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝
d−qN +1

1
xd−q
D1 (x1 , x2 , . . . , xN +1 ), . . . , xN
1

DN +1 (x1 , x2 , . . . , xN +1 )

♣❤ö t❤✉ë❝ t✉②➳♥ t➼♥❤ tr➯♥ ↔♥❤ ❝õ❛ f ✳

❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✼✳ ❬✹✵❪ ❈❤♦ d, n ∈ N∗, d ≥ n2, ai, i = 1, ..., n + 1, ❧➔ ❝→❝ ❤➡♥❣

sè ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣ t❤✉ë❝ C, ✈➔ f1 , ..., fn+1 tr C, ổ
d
ỗ t ❦❤æ♥❣ ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ a1 f1d + a2 f2d + ... + an+1 fn+1
= 0.
õ tỗ t ♠ët ♣❤➙♥ ❤♦↕❝❤ ❝õ❛ ❝→❝ ❝❤➾ sè✱ {1, ..., n + 1} = ∪Iv , t❤ä❛
♠➣♥

✐✳ ▼é✐ Iv ✤➲✉ ❝❤ù❛ ➼t ♥❤➜t 2 ❝❤➾ sè❀
✐✐✳ ❱ỵ✐ j, i ∈ Iv ; t❛ ❝â fi = cij fj , ð ✤â cij ❧➔ ❤➡♥❣ sè ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣✳




ỵ ừ tt ố ợ t❤ù❝ ❦✐➸✉
❋❡r♠❛t✲❲❛r✐♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤
❳➨t ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ❤❛✐ ❜✐➳♥ ❦✐➸✉ ❋❡r♠❛t✲❲❛r✐♥❣ ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤
❜ð✐

P (z1 , z2 ) = cz1n + dz1n−m z2m + ez2n , Q(z1 , z2 ) = uz1n + vz1n−m z2m + tz2n .
❈❤♦ f1 , f2 , g1 , g2 ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥✳ ❚r♦♥❣ ♠ư❝ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ①➨t ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ ❤➔♠ P (f1 , f2 ) = Q(g1 , g2 ) ữợ õ ở ỵ tự ừ tt
rữợ t ú tổ õ ờ s

ờ ✶✳✷✳✶✳ ❬✷❪ ❈❤♦ n, n1, n2, . . . , nq

∈ N∗ , a1 , a2 , . . . , aq ❧➔ ❝→❝ ✤✐➸♠
q n
i
♣❤➙♥ ❜✐➺t ❝õ❛ C✱ c ∈ C✱ c = 0 ✈➔ q > 2 +
. ❑❤✐ ✤â ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
i=1 n
❤➔♠
(f − a1 )n1 (f − a2 )n2 . . . (f − aq )nq = cg n ,

✭✶✳✶✮

(f − a1 )n1 (f − a2 )n2 . . . (f − aq )nq g n = c

✭✶✳✷✮

❦❤æ♥❣ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ (f, g)✳
✣à♥❤ ỵ s ởt t q tữỡ tỹ ỵ tự ừ tt ú ỵ
r t q ✤÷đ❝ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ tr♦♥❣ ❑❤♦→✐✲❆♥✲◆✐♥❤ ❬✸✷❪ ✈➔ tr♦♥❣
❬✷❪✳ ❚✉② ú tổ t q ữợ õ ở ỵ tự
ừ tt ữ r ởt ự

ỵ n, m ∈ N∗, n ≥ 2m + 9, ✈➔ c, d, e, u, v, t ∈ C ❧➔

❝→❝ ❤➡♥❣ sè ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣✳ ●✐↔ sû ❤♦➦❝ m ≥ 2✱ (m, n) = 1 ❤♦➦❝ m ≥ 4;
f1 , f2 , g1 , g2 ổ ỗ t ổ ff21 ✈➔ gg12 ❧➔ ❝→❝
❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥

cf1n + df1n−m f2m + ef2n = ug1n + vg1n−m g2m + tg2n .
❑❤✐ ✤â t❛ ❝â

g1 = hf1 , g2 = lf2 ,

✈ỵ✐ h, l ❧➔ ❝→❝ ❤➡♥❣ sè t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✿

hn =

c n−m m d n e
, h
l = , l = .
u
v
t

✭✶✳✸✮


✶✺

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚ø ✭✶✳✸✮ t❛ ❝â

cf1n + df1n−m f2m + ef2n − ug1n − vg1n−m g2m − tg2n = 0,

✭✶✳✹✮

ef2n + f1n−m (cf1m + df2m ) − tg2n − g1n−m (ug1m + vg2m ) = 0.



õ

nm
m
m
n
(uxm
(cxm
ú ỵ r exn1 , xn−m
4 + vx3 ) ❧➔ ❝→❝ ✤❛
2 + dx1 ), −tx3 , −x4
2
t❤ù❝ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ❜➟❝ n ð ✈à tr➼ tê♥❣ q✉→t✳ ❱➻ n ≥ 2m + 9 ờ
tỗ t số C1 , C2 , C3 , (C1 , C2 , C3 ) = (0, 0, 0), s❛♦ ❝❤♦

C1 ef2n + C2 tg2n + C3 f1n−m (cf1m + df2m ) = 0.

✭✶✳✻✮

❚❛ s➩ ❝❤ù♥❣ tä r➡♥❣ C1 , C2 = 0, C3 = 0.
rữợ t t sỷ r C1 , C2 , C3 = 0. ❑❤✐ ✤â✱ t❛ t❤➜② r➡♥❣ ❝→❝ ✤❛
m
n
n
t❤ù❝ t❤✉➛♥ ♥❤➜t x1n−m (cxm
1 + dx2 ), ex2 , tx3 ❧➔ ð ✈à tr➼ tê♥❣ q✉→t✳ ❉♦ ❝â
n 2m + 9 ờ tỗ t↕✐ ❝→❝ ❤➡♥❣ sè α, β, (α, β) = (0, 0),
s❛♦ ❝❤♦

αf1n−m (cf1m + df2m ) + βef2n = 0.

f1
❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❤➡♥❣✱ ✤✐➲✉ ♥➔② ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ ❣✐↔ t❤✐➳t✳ ❱➟②✱
f2
❝â ♠ët tr♦♥❣ ❝→❝ ❤➡♥❣ sè C1 , C2 , C3 ❜➡♥❣ ❦❤æ♥❣✳ ❚❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣
C3 = 0.
❚❤➟t ✈➟②✱ ❣✐↔ sû r➡♥❣ C2 = 0. ❚❤➳ t❤➻ tø ✭✶✳✻✮ t❛ ❝â

❚ø ✤➙② s✉② r❛

C1 ef2n + C3 f1n−m (cf1m + df2m ) = 0.
f1
❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❤➡♥❣✱ ✤✐➲✉ ♥➔② tr→✐ ✈ỵ✐ ❣✐↔ t❤✐➳t✳
f2

❇➙② ❣✐í✱ ❣✐↔ sû C1 = 0. ❚ø ✭✶✳✻✮ t❛ ❝â
❙✉② r❛

C2 tg2n + C3 f1n−m (cf1m + df2m ) = 0.
r

cC3

f1
f2

nm

f1
f2

m

+

g2
d
= C2
c
f2

n

.

ú ỵ r ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ z m + dc = 0 ❝â m ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t d1 , d2 , ..., dm .
✣➦t f =

f1
g2
, ϕ = , t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝
f2
f2

f n−m (f − d1 )...(f − dm ) = γϕn , γ = 0.

✭✶✳✽✮


✶✻

❚ø ✤➙② s✉② r❛ f ❦❤→❝ ❤➡♥❣ ✈➔ ϕ ❝ô♥❣ ❦❤→❝ ❤➡♥❣✳
❳➨t tr÷í♥❣ ❤đ♣ m ≥ 2✱ (m, n) = 1✳ ❚❤➳ t❤➻ tø ✭✶✳✻✮ t❛ t❤➜② r➡♥❣ sè ❜ë✐
❝õ❛ ♠é✐ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ f ✈➔ f − di ❧➔ ♠ët ❜ë✐ ❝õ❛ n. ❉♦ n ≥ 2m + 9
✈➔ ❍➺ q✉↔ ✶✳✶✳✷ t❛ s✉② r❛ r➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✽✮ ❦❤æ♥❣ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥
❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣✱ ✤✐➲✉ ♥➔② ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ ❣✐↔ t❤✐➳t✳

n−m
1
+ m
i=1 , →♣ ❞ư♥❣ ❇ê ✤➲
n
n

✶✳✷✳✶ ❝❤♦ ✭✶✳✽✮ ✈ỵ✐ q = m + 1, n = n, n1 = n − m, n2 = n3 = ... = nm = 1
t❛ ❝ơ♥❣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ♠ët ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ ❣✐↔ t❤✐➳t✳
❱➟② C3 = 0. ❚ø ✭✶✳✻✮ t❛ ❝â

❳➨t tr÷í♥❣ ❤đ♣ m ≥ 4. ❉♦ m + 1 > 2 +

✭✶✳✾✮

C1 ef2n + C2 tg2n = 0.
❙✉② r❛✱

g2
❧➔ ♠ët ❤➡♥❣ sè ❦❤→❝ ❦❤ỉ♥❣✳ ✣➦t
f2
g2
= l,
f2

✭✶✳✶✵✮

t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝

e 1+

C1 n
f + f1n−m (cf1m + df2m ) − g1n−m (ug1m + vg2m ) = 0.
C2 2

−ug1n + f1n−m (cf1m + df2m ) + e 1 +

C1 n−m
f2
− vlm g1n−m f2m = 0.
C2
✭✶✳✶✶✮

C1
= 0.
C2
C1
●✐↔ sû ♣❤↔♥ ❝❤ù♥❣ r➡♥❣ 1 +
= 0. ❘ã r➔♥❣ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝
C2
C1 n−m
m
m
−uxn1 , x2n−m (cxm
x3 − vlm xn−m
2 + dx3 ), x3 e 1 +
1
C2
❚❛ s➩ ❝❤ù♥❣ tä r➡♥❣ 1 +

❝â ✈à tr➼ tê♥❣ q✉→t✳ ❉♦ n 2m + 9 ờ tỗ t ❝→❝ ❤➡♥❣ sè
C1 , C2 , (C1 , C2 ) = (0, 0), s❛♦ ❝❤♦

C2 ug1n + C1 f1n−m (cf1m + df2m ) = 0.
❱➻ g1 ❧➔ ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥ ❦❤æ♥❣ ỗ t 0

0, C2 = 0. õ t ❝â

C1 f1n−m (cf1m + df2m ) = −C2 ug1n , C1 c

f1
f2

n

f1
❦❤→❝ ❤➡♥❣ sè ♥➯♥ C1 =
f2

+ C1 d

f1
f2

n−m

= −C2 u

g1
f2

n

.


✶✼

f1
f2

C1 c

n−m

f1
f2

m

+

d
g1
= −C2 u
c
f2

n

.

✭✶✳✶✷✮

❉♦ ✭✶✳✶✷✮ ❧➔ t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ ✭✶✳✼✮ ♥➯♥ ❧➟♣ ❧✉➟♥ t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤
C1 = 0, t ữủ ởt t ợ tt
t ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝ 1 +

C1
= 0, ♥➯♥ tø ✭✶✳✽✮ ✈➔ ✭✶✳✾✮ t❛ ❝â
C2

tg2n = ef2n ✈➔ g2 ❂❧❢2 ✈ỵ✐ e = tln .
g2

t ự ỵ ✶✳✷✳✷✱ t❛ ❝➛♥ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ tä r➡♥❣
f1
♠ët ❤➡♥❣ sè✳
❱➻ tg2n = ef2n , ♥➯♥ tø ✭✶✳✹✮ t❛ ❝â
c n d n−m u n v n−m
g1
f1
f + f
= g + g
, ✈ỵ✐f = , g = .
e
e
t
t
f2
g2
✣➸ ✤ì♥ ❣✐↔♥✱ ✤➦t h1 =

✭✶✳✶✸✮

g
ct
dt

✈➔ α =
= 0; β =
= 0. ❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â
f
eu
ve

u m n ct
v
dt
f (h1 − ) = − (hn−m
− ),
1
t
eu
t
ve
f

m

(hn1

v hn−m
−β
v n−m
m
.
− α) = − (h1 − β), f = − 1 n
u

u h1 − α

✭✶✳✶✹✮

●✐↔ sû r➡♥❣ h1 ❦❤æ♥❣ ❧➔ ❤➡♥❣✳ ❚ø ✭✶✳✶✸✮ ✈➔ ✭✶✳✶✹✮ t❛ ❝â

T (r, f ) = T (r, g) + S(r, f ), S(r, f ) = S(r, g),
n
T (r, h1 ) + S(r, f ), S(r, f ) = S(r, h1 ).
m
✣➦t S(r) = S(r, f ) = S(r, g) = S(r, h1 ). ❚❛ ①➨t ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤đ♣ s❛✉ ✤➙②✳
❚r÷í♥❣ ❤đ♣ ✶✳ m ≥ 2, (m, n) = 1. ◆➳✉ hn1 − α ✈➔ hn−m
− β ❦❤æ♥❣ ❝â ❦❤æ♥❣
1
n
✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ t❤➻ ♠å✐ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ h1 − α ✤➲✉ ❝â ❜ë✐ ≥ m. ❚❤➳ t❤➻
T (r, f ) =

N1 (r,

1
1
1
N
(r,
)
≤
).
hn1 − α
m

hn1 − α

❉♦ ❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✶ t❛ ❝â

T (r, hn1 ) ≤ N1 (r, hn1 ) + N1 (r,

1
1
)
+
N
(r,
) + S(r).
1
hn1
hn1 − α




ỵ ởt từ n ❝õ❛ ✤ì♥ ✈à✱ t❛ ❝â

1
1
1
1
N1 (r, n
) ≤ N (r, n
)≤
h1 − α

m
h1 − α
m

n

N (r,
j=1

1
n
)
≤
T (r, h1 ).
h1 − ζ j α
m

❚ø ✤➙②✱ ❦➨♦ t❤❡♦

nT (r, h1 ) ≤ 2T (r, h1 ) +

n
n
T (r, h1 ) + S(r), (n − 2 − )T (r, h1 ) ≤ S(r),
m
m

s✉② r❛
✭✶✳✶✺✮

n(m − 1) ≤ 2m,

✤✐➲✉ ♥➔② ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ n ≥ 2m + 9.
◆➳✉ hn1 − α ✈➔ hn−m
− β õ ổ t tỗ t z0 s
1
nm
n
h1 (z0 ) = α ✈➔ h1 (z0 ) = β. ❚ø ✭✶✳✶✹✮ t❛ ❝â

αf m ((

u
h1 n−m
h1 n
) − 1) = −β ((
)
− 1).
h1 (z0 )
v h1 (z0 )

❱➻ (m, n) = 1 ♥➯♥ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ z n − 1 = 0 ✈➔ z n−m − 1 = 0 ❝â ❝→❝
♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ❦❤→❝ z = 1. ✣➦t ri , i = 1, ..., 2n − m − 2 ❧➔ t➜t ❝↔ ❝→❝
♥❣❤✐➺♠ ✤â✳ ❑❤✐ ✤â ♠å✐ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛
t❤➳✱ ❞♦ ❍➺ q✉↔ ✶✳✶✳✷ t❛ ❝â

(1 −

h1
− ri ✤➲✉ ❝â ❜ë✐ ≥ m. ❱➻

h1 (z0 )

1
m2 + 3m − 2
)(2n − m − 2) ≤ 2, tù❝ ❧➔, n ≤
,
m
2(m − 1)

✭✶✳✶✻✮

✤✐➲✉ ♥➔② ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ n ≥ 2m + 9.
rữớ ủ m 4. ú ỵ r ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ z n − α = 0 ❝â n ♥❣❤✐➺♠
✤ì♥✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ z n−m − β = 0 ❝â n − m ♥❣❤✐➺♠ ✤ì♥✳ ❉♦ ✤â z n − α =
0, z n−m − β = 0 ❝â ♥❤✐➲✉ ♥❤➜t n − m ♥❣❤✐➺♠ ✤ì♥ ❝❤✉♥❣✳ ❱➻ t❤➳✱ ❝â ➼t ♥❤➜t
m ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ z n − α = 0 ❦❤ỉ♥❣ ♣❤↔✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ z n−m − β = 0✱ ❣å✐ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ✤â ❧➔ r1 , r2 , ..., rm . ❚❤➳ t❤➻✱ ♠é✐ ❦❤æ♥❣
✤✐➸♠ ❝õ❛ h1 − rj , j = 1, ..., m, ❝â ❜ë✐ ➼t ♥❤➜t ❧➔ m. ❚❤❡♦ ❍➺ q✉↔ ✶✳✶✳✷ t❛
1
❝â m(1 − m
) ≤ 2. ❙✉② r❛ m ≤ 3✱ ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ ❣✐↔ t❤✐➳t✳
❱➟② h1 ❧➔ ❤➔♠ ❤➡♥❣✳
❉♦ g = h1 f, g2 = lf2 ♥➯♥ t❛ ❝â g1 = hf1 ✳ ❚ø ✭✶✳✹✮ ✈➔ ❞♦
❦❤→❝ ❤➡♥❣ ♥➯♥ t❛ ❝â

g1 = hf1 , g2 = lf2 ,

f 1 g1
✱
❧➔ ❝→❝ ❤➔♠

f 2 g2




ợ h, l số ữủ ❜ð✐

hn =

c n−m m d n e
, h
l = , l = .
u
v
t

ỵ ữủ ự
ờ s❛✉ ✤➣ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ tr♦♥❣ ❬✷❪ ✈➔ ❬✸✷❪✳

❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✸✳ ❬✷❪ ❈❤♦ n, m ∈ N∗, c, d, e, u, v, t ∈ C ❧➔ ❝→❝ ❤➡♥❣ sè ❦❤→❝

❦❤æ♥❣ ✈➔ n ≥ 2m + 4✱ ✈➔ ❤♦➦❝ m ≥ 2✱ (n, m) = 1, ❤♦➦❝ m ≥ 4. ●✐↔ sû
r➡♥❣ (f, g) ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

cf n + df n−m + e = ug n + vg n−m + t.

✭✶✳✶✼✮

c
d

❑❤✐ ✤â t = e tỗ t số ự ổ h tọ hn = , hn−m =
u
v
s❛♦ ❝❤♦ g = hf.
❇➙② ❣✐í✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ①❡♠ ①➨t sü ♣❤➙♥ t➼❝❤ t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ tr ỵ tự
t ừ tt ố ợ ởt ợ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ❦✐➸✉ ❋❡r♠❛t✲❲❛r✐♥❣ ❝❤♦ ❤➔♠
♣❤➙♥ ❤➻♥❤✳ ▲ỵ♣ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ♥➔② ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❧➦♣ ❝→❝ ✤❛ tự
rữợ t t ồ ởt F ổ t ữủ ố ợ
ởt ợ P tự ổ tỗ t ởt sỹ t ❝â ❞↕♥❣

F = P ◦ f,
ð ✤â P ∈ P ❝â ❜➟❝ ❧ỵ♥ ❤ì♥ ✶ ✈➔ f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✳ ❚❛ ❝â ❤➺ q✉↔ s❛✉✳

❍➺ q✉↔ ✶✳✷✳✹✳ ❱ỵ✐ ♠å✐ ❤➔♠
♣❤➙♥ ❤➻♥❤ f ✱ t❛ ✤➲✉ ❝â f n ❧➔ ổ
n
nm
t ữủ ố ợ P = {z + dz
+ e}, ð ✤â d, e ❧➔ ❝→❝ ❤➡♥❣ sè ♣❤ù❝ ❦❤→❝
❦❤ỉ♥❣ ✈➔ n, m ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ n ≥ m + 4.

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ sỷ ự r tỗ t D P ✈➔ g ∈ M(C) s❛♦
❝❤♦
f n = D ◦ g, f n = g n + dg n−m + e.
❑❤✐ ✤â✱ ❧➟♣ ❧✉➟♥ t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ tr♦♥❣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❇ê t ữủ
ởt t ợ n m + 4✳
❈❤♦ ai , bi , i = 1, 2, · · · , r ✈➔ pj , qj , j = 1, 2, · · · , s ❧➔ ❝→❝ ❤➡♥❣ sè ❦❤→❝
❦❤æ♥❣✳ ✣➦t

P = {Ri = z n + ai z n−m + bi , i = 1, 2, ..., r};

Q = {Dj = z n + pj z n−m + qj , j = 1, 2, ..., s}.
t q tữỡ tỹ ỵ t❤ù ♥❤➜t ❝õ❛ ❘✐tt ❝❤♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✳




ỵ n, m số ❞÷ì♥❣✱ t❤ä❛ ♠➣♥ n ≥ 2m + 4

✈➔ ❤♦➦❝ m ≥ 2✱ (n, m) = 1, ❤♦➦❝ m ≥ 4. ●✐↔ sû f ✈➔ g ❧➔ ❤❛✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥
❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ s❛♦ ❝❤♦ f ✭t÷ì♥❣ ù♥❣✱ ❣✮ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤÷đ❝ tr➯♥ Q
✭t÷ì♥❣ ù♥❣✱ tr➯♥ P ✮✳ ❑❤✐ ✤â✱ ♥➳✉ t❛ ❝â

Rr ◦ Rr−1 ◦ · · · ◦ R1 ◦ f = Ds ◦ Ds−1 ◦ · · · ◦ D1 ◦ g,
t❤➻ r = s ✈➔ f = lg ợ l ởt số
ú ỵ r➡♥❣ t➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ ❦❤æ♥❣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤÷đ❝
tr➯♥ P, Q ❧➔ ✈ỉ ❤↕♥ ✭①❡♠ ❍➺ q✉↔ ✶✳✷✳✹✮✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû

Rr ◦ Rr−1 ◦ · · · ◦ R1 ◦ f = Ds ◦ Ds−1 ◦ · · · ◦ D1 ◦ g.

✭✶✳✶✽✮

❑❤æ♥❣ ❣✐↔♠ tê♥❣ q✉→t✱ ❣✐↔ sû r➡♥❣ r ≤ s.
✣➸ ✤ì♥ ❣✐↔♥✱ t❛ ✤➦t

ψ = Rr−1 ◦ · · · ◦ R1 ◦ f, ϕ = Ds−1 ◦ · · · ◦ D1 ◦ g.
❚❤➳ t❤➻✱ t❛ ❝â

ψ n + ar ψ n−m + br = ϕn + ps ϕn−m + qs .

✭✶✳✶✾✮

⑩♣ ❞ö♥❣ ❇ê t s r tỗ t sè ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣ h
s❛♦ ❝❤♦ ψ = hϕ, tù❝ ❧➔

Rr−1 ◦ · · · ◦ R1 ◦ f = hDs−1 ◦ · · · ◦ D1 ◦ g.
❚✐➳♣ tư❝ ♥❤÷ t t r tỗ t số t ❦❤æ♥❣ s❛♦ ❝❤♦

R1 ◦ f = tDs−r+1 ◦ · · · ◦ D1 ◦ g.

✭✶✳✷✵✮

❚÷ì♥❣ tü ♥❤÷ tr➯♥✱ tø ❇ê s r tỗ t số l ❦❤→❝
❦❤æ♥❣ s❛♦ ❝❤♦

f = lDs−r ◦ · · · ◦ D1 ◦ g.

◆➳✉ r < s t❤➻ f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤÷đ❝ tr➯♥ Q, ✤✐➲✉ ♥➔② ❧➔ ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐
❣✐↔ t❤✐➳t✳ ❱➟② t❤➻ r = s ✈➔ f = lg.

ỵ tự ừ tt ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ✤è✐
✈ỵ✐ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠
rữợ t t ữ r ự ử ừ ờ
ỵ Y(ai ,bi ,m,n) (x) = xn + ai xn−m + bi , (i = 1, 2), ð ✤â n, m ∈ N∗ , n >