Luận án tiến sĩ toán học đa thức ma trận sự phân bố giá trị riêng, các định lý biểu diễn dương và một số vấn đề liên quan
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (628.51 KB, 90 trang )
èấ ặ
è
ấổặ á
ầ
ẻ
ầè ầ
ẫ ặ ặ
èấ ặ ậ ẩ ặ
èấỹ
ỹặ
ờ ộặ
ặ ẻ
è ậ ẻ ặ ỗ ổặ ẫ ặ
ặ ặ èốặ ậợ èầ ặ
ỡặ ỹặ ạ ặ ắẳẵ
èấ ặ
è
ấổặ á
ầ
ẻ
ầè ầ
ẫ ặ ặ
èấ ặ ậ ẩ ặ
èấỹ
ỹặ
ờ ộặ
ặ ẻ
è ậ ẻ ặ ỗ ổặ ẫ ặ
íũề ề ề
ậ ỉ íụỉ ì
ì
ẳẵẳ
ẩ
ề
ữề ẵ
ẩ ậ èậ ẩ ẹ è ụề ậ ề
èệ
ẩ
ề
ữề ắ
ề
ề
ữề
ỉ
èậ ề èể ề
ẻ ữề èể ề
ẩ
èậ ũ
èệ
ề
ạ ẻ ữề ề é ẹ ể
è ể ề
ẩ
ũề
ỡặ ỹặ ạ ặ ắẳẵ
ề ề
ữ ẻ ÷Ø Ỉ Đ
Ä
Đ Ĩ Ị
ÄÙ Ị Ị Ị Ý
Ĩ Ị ỉ ề ỉ èệ ề
ẫí ặ ề
ì
ề
ề
èậ ũ
ề èệứề Ú Ì˺ Ị ÌỨỊ À º Ì Ü Ị
Đ Ĩ Ị Ý Ð
Ị ØỊ Ị ịỊ
Ù
Ø º
ÕÙ ØƯĨỊ ÄÙ Ị Ị Ð ỉệề ỉ
á
ề ỉ
ểễ ễì
ề
Ø Ị
Ị
ØƯ
º
Ìź Ì Ơ Ø ư
Ì˺ Äị
Ị
Ị ÌỊ
Ị
Ì
Ì À
øỊ
Ä
Đ Ị
ÄÙ Ị Ị Ị Ý
Ĩ Ị Ø Ị ØƯĨỊ ÕÙ ØỊ
Ø Ơ Ú Ị ịỊ
ỉ ể èể ềá
èệ ề
ẫí ặ ề
ì
ề
ề
Ì ơỊ ×ú Äị
Ị ÌỊ Ú Ì ơỊ ×ú Ị
ÌỨỊ À º ÌƯ
Ø ịỊ¸ Ø Ü Ị Ý Ø Ð Ị
Ị × Ù ×
ơỊ Ì ơỊ ×ú Äị
Ị ÌỊ º
Ì Ý
û Ĩ Ø Ò ØøÒ Ú
Ò
ÒØ Ø Ò Ò
Ù Ð Ñ Ò ịỊ
Ùº Ì Ý Ø Ĩ
Ĩ Ø Đ Ø Đ ØƯ Ị
Ø Ơ Ú Ị ịỊ
ẹ á ỉ ề ỉ ữề ề ề
Ị Ư Ø Ị ịĐ
Ø
º Ì Ý ÐÙ Ị Ị Ú ịỊ¸
Ơ
Ø Ị
Ø ơỊ
ØƯĨỊ Ị ịỊ
ể
ỉ ễá é ẹ ữ
Ø Ý Ð
óÙ Đ Ý Đ Ị Ú
Ị Ơ
Ú Ø º
Ì ÜỊ ÝØ Ð Ị
Ị × Ù ×
ơỊ Ì ơỊ ×ú Ị ÌỨỊ À º Ì í é ề ề ũềá
ự
éữá
ễ
ỉ ể ì Ø ÕÙ ØỊ Ị ịỊ
Ù
Ø º Å
Ø Ý
Ị
ØƯĨỊ
Ị
¸ Ị Ị Ø Ý Ú Ị Ø
Ị ÜÙÝịỊ ØƯ Ĩ
Ĩ
Ú Ø º
Ø Ĩ Ĩ Ø Ý Ø
Ơ Ø ØƯ Ị Ø Ị Ư Ø Ị óÙ
Úó Ĩ
Ð Ị
Ù
× Ị º
Ì Ü Ị
Đ Ị Ì ơỊ ×ú À Å Ị ÌĨ Ịº
Đ Ị Ị Úø Ị
ù
Úó
Ú Ị ó Ð ịỊ ÕÙ Ị ơỊ Ị Ð
õỊ
Ị Ú
Ị
Ù Ø Ĩ ÐÙ Ị Ư Ø
ØĨ Ị Đ Đ Ịº
Ù
Ì ÜỊ
Ð
Đ Ị
Ị Ø ề
ụề
ề
ẹ ữ èệ ề
ẫí ặ ềá
ẩ ề
ểỉ ểì
ỉ Ĩ óÙ ÷Ị Ø Ø Ị Ø ư Ø
Ø ễ ỉ ỉệ ề
ữỉá
ỉ ĩề
é
ẹ ề ơỊ
Ị
Ị ÷Đ Ã Ĩ ÌĨ Ị
Ị
Ø Ý
Ĩ¸
Ĩ ØƯĨỊ
à Ĩ
Ø Ĩ Ư Đ Ø Đ ỉệ ề
ỉ ễ ỉ ề ỉ ữềá
ẹ Ú Ư Ø
ÙÝịỊ Ị ÷Ơº óÙ
Ị Ý
Ờ
Ị Ð
ư Ơ Ø ØƯ ưỊ Ị Ø Ịº
Ì ÜỊ
Ð
Đ Ị ơỊ
Ị
Đ ÷Ù ÌƯ Ị
Ĩ Ị Ë Ơ Đ À Ì Ý¸ È Ị
Ì
Ị
Ø Ĩ óÙ ÷Ị Ø Ø Ị Ø
Ĩ Ø
º Ì
Ị Ü Ị
Ð
Đ Ị ơỊ
Ị
Ị ÷Đ Ã Ĩ Ì Ị ịỊ Ú
Ị
Ị Ị ÷Ơ
ÐÙ ề ề
á ề ũềá
ì
ề ÷
ư Ø
Ø
Ị Ø Ơ ØỨỊ Ị ịỊ
Ù Ø ÌƯ Ị
ÉÙÝ
Ỉ Ịº
Ì Ü Ị
Đ Ị
Ị Ị ịỊ
Ù × ề ỉ èệ ề
ũềá
ì
ễ
ỉ ỉệểề ế ỉệứề
ỉ ễ Ị
Ì
ÉÙÝ Ỉ
ịỊ
Ùº
Ị
ÐÙ Ị
Ị
ÜỊ
Ð
Ị ơỊ
øỊ
ịỊ Ị Ị ể ặ ề ề
ỉ ề
é ề ề
á ề òÒ Ø º À Ð
Ø Ò Ø Ò Ú Ị
ư Ø ÝịỊ Ø Đ
Ø ễ ề ũề
ĩ ề
ữỉá ỉ ĩ Ị
Ð
Ị × Ù ×
ơỊ Ị
Đđ Ø Ị ÝịÙ
ĐøỊ º
Đ Ị × Ý × Ị
Ĩ
Ị Ị ØøỊ ÝịÙ Ú
Ị
Đđ Ị
Ĩ
ĨỊº ÌøỊ Ø
Ị
Ĩ Ð
Đđ ÐÙ Ị
Đ ØƯ Ø Đ
ĨỊº
Ù
Ị ¸ Ø Ü Ị Ị ØøỊ
Đ
Đ Ị Ị Ú
ĨỊ
ơỊ ịỊ
øỊ ÝịỊ
Đº
÷Ø ơỊ
Ị Ú
ĨỊ Ø
и
Ơ ¸ Ị Ú ịỊ Đº
Ị ÝịÙ
ĐøỊ º
øÒ ÐÙ Ò Ð Ò
é
ề ẹ
ữ
ẵ
ẵ ỉ ì ụỉ ế
ề
ẵẵ
ậ ễ
ẵắ
ề
ỉể ề ỉ
ẵắẵ
ẵắắ
ẵ
ữẹ
ẵ
ỉì
ỉể ề ỉ
é
ỉể ề ỉ
é
ử
ỉ
ề é
ừề
ề
ể
ỉ
ẵ
ẵ
º º º º º º º º º º º º º
½
ØĨ Ị Đ Đ Ị º º º º º º º º º º º º º
ắ
ề
ể
ỉ
ắ
ẵắ
ỉể ề ẹ ẹ ề º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ắ
ẵ
èựề ĩ
ì Ø
Ị
Ĩ
Ị
º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ỉ
ề é
ẵắ
ệỉ ề º º º º º º º º º º º
õỊ
Ú
Ù
Ừ Ú
ơỊ º º º º º º º º º º º º º º º º
ØĨ Ị Ø
ÀøỊ
Ø
Đ ØƯ Ị º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¾
Ø
¿¾
Đ ØƯ Ị Ú Ø ÙỊ Ị
Ø
Ị
Ù Ị Đ ØƯ Ị º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¾ Ë Ơ Ị
ØƯ Ư ũề
ỉ
ẹ ỉệ ề
ắẵ
ề ẹ ỉệ ề
ề é
ắắ
í
ể
ắ
ẹ ỉ
ệỉ ẹ ỉ ì
ẵ
ề é
ỉ
ẵẵ
ẵ
ẵ
ề
ẵắ
ề é
ậể ì ề
ề
ề ìỉệÔểẹạ
ỉ
í
º º º º º º º º º º º º º º
Đ ØƯ Ị º º º º º º º º º º º º º º º º
Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¿
¿
¿
¿
¿
Ị Ð
õỊ
Ị
Ĩ
Ø
Đ ØƯ Ị
¿º½
Ị Đ ỉệ ề
ề é ẩỉ ề ệạẻ ì é ì
º º º º º º º º º º º º º º º º º
¿º¾
Ị Đ ØƯ Ị
Ị Ð
¿º¿
Ị Đ ØƯ Ị
Ị Ð À Ị ÐĐ ề
ềìểềạẩể
º º º º º º º º º
¼
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¿
¿º¿º½
Ị Đ ØƯ ề
ề é ề éẹ ề ỉệũề nạ
ắ
ề ẹ ØƯ Ị
Ị Ð À Ị ÐĐ Ị ØƯịỊ
¿º¿º¿
Ị øỊ
Å Ø Ø Ù Ø ØĨ Ị ØøĐ õỊ
Ị
Ĩ
Ø
Đ ØƯ Ị
Ị
ØƯịỊ Đ Ø
÷Ị Ð
ĨĐƠ
Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ị Đ
Ị ØỊ
ỉ
ể
ữề é á
ểẹễ
ỉ
ốè ặ
è é ÷Ù Ø Đ
º º º º º º º
Ð ịỊ ÕÙ Ị ơỊ ÄÙ Ị Ị
½
Ị Đ
R
R+
C
N
K
Rn
Cn
Mt (R)
Mt (C)
St (R)
X
Xα
C[z]
R[X]
R(X)
Mt (R[X])
St (R[X])
AT
A 0
A≻0
||A||
A2
ÌƯ
Ị
ì ỉ
è ễ
ễ
ì ỉ
èệ
ữ
ề
ì ễ
ề
ẹ
è ễ
ì ỉ ề ũề
R
ẻ
ẻ
ẻ
ể
C
ề
ềỉ
n
ú
ề
ềễ
n
óÙ
Ị
Đ ØƯ Ị ÚÙ Ị
Ơ t Ú
Ơ Ị Ø ØƯịỊ R
Ị
Đ ØƯ Ị ÚÙ Ị
Ơ t Ú
Ơ Ị Ø ØƯịỊ C
Ị
Đ ØƯ Ị
n
ơỊ (X1 , ..., Xn )
X1α1 ...Xnαn , α
Ü Ị
Ơ t ØƯĨỊ Mt (R)
= (α1 , ..., αn ) ∈ Nn
Ỵ Ị
Ø
Đ Ø ơỊ z
ữì ễ
ẻ ề
ỉ
n ụề X = (X1 , ..., Xn )
ữì ỉ
èệ ề
Ø
Ị
Ú Ị
Ø
R[X]
Ỵ Ị
Đ ØƯ Ị
Ơ t Ú
Ơ Ị Ø ØƯịỊ R[X]
Ỵ Ị
Đ ØƯ Ị
Ü Ị
Ơ t ØƯĨỊ Mt (R[X])
Å ØƯ Ị
ÙÝưỊ Ú
Đ ØƯ Ị A ∈ Mt (R[X])
Å ØƯ Ò A Ò Ü
Ò
Ò
Å ØÖ Ò A Ü
Ị
Ị
Ù Ị ØĨ Ị Ø
Đ ØƯ Ị A
Ì Ơ Ơ Ø Ø
Ø Ị øỊ Ơ
Ị
Ù Ị
Ơ Ị Ø ØƯĨỊ Đ Ø Ú Ò
Ó Ó ÒA
Å
Ù
Ø
n
Ã
÷Ù K[X] := K[X1 , · · · , Xn ] Ð Ú Ị
Kº Ã
÷Ù Mt (K), Mt (K[X]) ÐÒ Ð Ø Ð Ú Ò
Đ ØƯ
ØƯĨỊ K Ú K[X]º Å Đ ØƯ Ị A ∈ Mt (K[X])
Ð
Ø
Đ ØƯ Ị¸
Úø Ị
Ø ử ử ừề
ề ẹ
ữ ì ỉệũề Mt (K) ề ì
ụề X1 , Ã Ã Ã , Xn
ữ ì ØƯĨỊ
Ị ÚÙ Ị
Ơ t Ú
Ơ Ị Ø
Đ Ø Đ ØƯ Ị
Ø
Ĩ
Đ Ø
Ø
Ø
n Ò X1 , · · · , Xn Ú
d
Aα X α ,
A=
|α|=0
ØƯĨỊ
¸ α = (α1 , · · · , αn ) ∈ Nn ¸ |α| := α1 + · · · + αn ¸ X α := X1α1 · · · Xnαn ¸ Aα ∈ Mt (K)¸
dÐ
Ĩ Ị Ø
Ị Ø
ØƯĨỊ Aº Ĩ ¸ ư Ø Ị Ị Ø
ØƯĨỊ ØĨ Ị
ÄÙ Ị Ị¸ Đ Đ ØƯ Ị ØƯĨỊ Mt (K[X])
é ẹ ỉ
ỉ
ẹ ỉệ ề
ỉ
ễ
ểề
ữỉ ề
ẵ
ề Ò òÒ
Ù
ùÒ
ÄÙ Ò Ò Ð
Ø
Đ ØƯ Ị¸ Ú
Ú Đ ØƯ ề
ì
ụềá
ề ỉ ế ề ỉ ẹ ụề
ØĨ Ị
Ị Ùº Ĩ ¸ ư Ø Ù Ị ỉ ữề
á
ề ỉ ỉ
ỉệứề
í
ỉể Ị Ð ịỊ ÕÙ Ị ØƯĨỊ
Ơ Ị Ư ịỊ
× Ùº
Ø
Đ ØƯ Ị Đ Ø ơỊ
ÌƯĨỊ Ơ Ị Ị Ý
Ị Ø
ơỊ¸ Ø
Ð Ü Ø
Ø
ØỊ
Ý Đ Ø × Ú Ị ó Ð ịỊ ÕÙ Ị ơỊ
Đ ØƯ Ị
Ị
Ø
Đ ØƯ Ò Ñ Ø
P (z) = Ad z d + · Ã Ã + A1 z + A0 ,
ỉệểề
áz é
ụề ì Ú Ai ∈ Mt (C), ∀i = 0, ..., dº
Ñ Ư Ị Ø Ị ịỊ
Ø
ØƯ Ị λIt − A
It Ð Đ ØƯ Ị Ị Ú ỉệểề Mt (C)
é ẹ ỉ
ặụ Ad = 0á ỉ ứ P (z)
Ð Đ Ø
Ø
Đ ØƯ Ị ĐĨỊ
º
Ỉ Ø Ị Ø Đ Ø Ú
Ø
Ð Đ Ø
ØƯ Ư ịỊ
P (z)¸ Ú
Ú
ØƯ Ư ịỊ λº
Ø
Ø
Đ ØƯ Ị Đ Ø ơỊ Ð ×
Đ Ø Đ ØƯ Ị A ∈ Mt (C)¸ ØƯĨỊ
Đ ØƯ Ị
dº Ã
Ad = It ¸ P (z)
Ị x ∈ Ct Ú λ ∈ C × Ĩ
Ĩ P (λ)x = 0¸ Ø ø λ
x
Ð Đ Ø Ú
Ø Ư ịỊ
P (z) ỉ
ặ íá ẹ
ỉệ ệ ũề
P (z) Ð Đ Ø Ị
÷Ù
Ì Ơ Ơ
ØƯ Ư ũề
P (z)
ỉ
ẹ ỉệ ề P (z)
ẵ
ữẹ
Ø
σ(P (z)) Ú
Ị
Ị
ØƯ Ị
Ø(P (z))º
Ð Ơ
Ø ịĐ Ư Ị ØƯĨỊ
A ∈ Mt (C)¸ Ø ø Đ
ØƯ
ØƯ Ị Aº Ĩ
Ø ưỊ
ØƯ Ư ịỊ
Đ Ø Đ ØƯ
ØƯ Ị
Ơ P (z) = zIt − A¸
Ø
ØƯ Ị
Đ ØƯ Ị
Ư ịỊ
Ø
Đ ØƯ Ị P (z) Ð Đ Ø
ØƯ Ư ịỊ
Đ
ØƯ Ư ịỊ
Ø
Đ ØƯ Ị Ð Đ Ø
Ị ÷Đ Đ Ư Ị
Ịº
ØĨ Ị
ØƯ Ư ịỊ
Ø
´ÈĨÐÝỊĨĐ Ð
ỊÚ ÐÙ ÈƯĨ Ð Đ ¹ È ẩà é ỉứẹ ẹ ỉ
t
ề x C ì ể
Ĩ P (λ)x = 0º ÌƯĨỊ ØƯ Ị
Ơd=1
ØƯ Ư ịỊ λ Ú Đ Ø Ú
Ø
Ị Ø
ØĨ Ị
ØƯ Ư ịỊ Ø Ị ÕÙ Ø
Ax = λBx.
À ỊỊ
¸ Ị A1 = It Ø ø
ØĨ Ị
Ị Ø
ØƯ Ư ịỊ
Ù Ị
Ax = λx.
ØĨ Ị
ØƯ Ư ịỊ
Ơ d = 2º
´ÉÙ
Ư Ø
ỊÚ ÐÙ ÈƯĨ Ð Đ ¹ É Èµ Ø
Ị
Ị Ú
ØƯ
Ị
Ø
Đ ØƯ Ị Đ Ø ơỊ
Ị óÙ Ị
Ị ØƯĨỊ
ÐúỊ Ú
ề ễ
ề ỉệứề
ễ ềá é ỉ íụỉ ữ ỉ ề á
ỉ ỉ ẽ ề ệạểễ á
é ỉ íụỉ ệề á
ỉự
ì á
ỉẹ ế Ị ØƯ Ị
Ø
Đ ØƯ Ị Ð
Ư Ư ề ề ề
ỉ é ữ ú
ì ỉíụề ØùỊ Ú Ð Ø ÙÝ Đ ØƯ Ị ó
Ơ Úó Ị
Ị Ị óÙº À
Ị ØỊ
Ù Ø ịỊ
Ú Ý
Ị Ø Úó
Ø
Đ ØƯ Ị Ð
ệ ị ệá ề
ề
ểéé ệ ẵ ề ẹ ẵ
ề
ìỉ ệ ắ ề ẹ ẵ º
óÙ Ơ Ø ØƯ ưỊ Ð Ø ÙÝ
Ø
Đ ØƯ Ị Ø Ị ÕÙ Ð
Ø ÙÝ
÷ ỨỊ º
Ị Ø
Ø ư Ơ
Ø
Đ ØƯ Ị
Ị ịỊ
Ù ÷ Ơ
Ị ØỊ
Ú Ơ Ị ´
Ð Ị ề ẵà
ữì
ề áỉ
é ữ
ề
d
Ai
i=0
i
d
dt
u(t) = 0.
ẻ ữ
ỉứẹ Ị ÷Đ
Ĩ ÷ Ị u(t) = x0 eλ0 t á x0 , 0
ỉể ề
ỉệ ệ ũề ạ Ú
Ø Ư ịỊ
Ø
Đ ØƯ Ịº
Ð ƠÚ
t¸ ØƯ
Ø ơƠ
Ị ơỊ
ịỊ
Ị
¸
ØĨ Ị
ØƯ Ư ịỊ É È
Ị óÙ Ị
Ị Ú Ĩ Ĩ
Ú
Ø Ù Øº
Å Ø Ø Ị ÕÙ Ị Úó Ị Ị Ị
Ị
É È
ØỊ
Ý ØƯĨỊ
Ù Ị ×
Ĩ
Ư á
ề
ìỉ ệ ấể ẹ ề ẵ á ẹ ệé ề á ềệể è ìì ệ ½ ℄ Ú
Ị Ú ËÙ
℄
Ư Ị Ị Ø Ù Ø ØĨ Ị ư
ØĨ Ị É Èº
Ú
ØĨ Ị È È¸
Ú Ị ịỊ
Ù Úó
Ị
Ĩ
ØƯ Ư ịỊ
Ø
Đ ØƯ Ị
Ø Ð Ơ Ø Ĩ
Ù Ị
÷ ×
Ø
Đ ØƯ Ị
Ĩ
Ị
Ị Ị
ề ỉệứề
ẹ è ìì ệ ắắ èí ề ũềá
ắ
Ú ÷
ØùỊ
ØƯ Ư ịỊ
Ø
Đ ØƯ Ị ´Ø Đ
ù ØùỊ
ØƯ Ư ịỊ
Đ ØƯ Ị
Ú
Ị Ú ØøĐ Ị ÷Đ
Ø
Đ Ø ơỊµ Ð Đ Ø
ØĨ Ị
º
Đ ØƠ
Ị
Ơ Ơ Ð Ơ ư ØùỊ
ØƯ Ư ịỊ Ị Ý
Ư
Ë ẹểề
ề ẩ ệểỉỉ ắ ề ề á
÷
ØùỊ
Ơ
Ø
Đ ØƯ Ị ØƯĨỊ ¾½℄
ÙỊ
Ơ Ø Ị Ø Ị Úó Ơ ¸ Ø
Ð ¸
ûƯ
Ị
Ø ư ưÜ
Ị
Ị Đ Ø Đ óỊ
Đ Ø Ơ Ị Ơ
ØƯ
Ư ịỊ
º Ỵø Ø ơ Ú ÷
ØøĐ
Ị
Ĩ
ØƯ Ư ịỊ
Ø
Đ ØƯ Ị Đ Ø ơỊ Ð Đ Ø Ú ÷
Ð ĐƯ Ø
Ị ú º
ØĨ Ị Ù Ø ịỊ Đ
Ị Ø Ø Ơ ØỨỊ Ị ịỊ
Ù ØƯĨỊ ÄÙ Ị Ị Ị × Ùº
Ĩ P (z) = Ad z d + · · · + A1 z + A0 Ð Đ Ø
Ø
Đ ØƯ Ịº
ûƯ
× m
Ø Ø × Ĩ
Ĩ
m ≤ |λ| ≤ M, ∀ λ ∈ σ(P (z)),
ØĨ Ị ½º
Ú M
Ø
Ð
ûƯ
Ị
Ø Ø
Ĩ
ØƯ Ư ịỊ
P (z)º
ÌƯĨỊ ØƯ Ị
Ơ t = 1¸ Ø
Ð ỉệ ề
ễ
ỉ
ẹ ỉ ụề
ữ ì Ơ
¸
ØĨ Ị Ị Ý
Ị ịỊ
Ù
Ị óÙ Ị ØĨ Ị
¸
Ø ư ư Ư
Ý
ụỉ ế
í ẵá á ề ìỉệÔ
ểẹ í ẵá á ểí éá
éé ấ ẹ ề ¾ ℄¸
ØØ
Ú
ĨÚ Ð ℄¸ ººº
1
Đ Ø
ØƯ Ư ịỊ
z
ØƯ Ư ũề
P (z) ể á ỉệểề
ề ẳá ềụ A0 Ð Đ Ø Đ ØƯ Ị ×ÙÝ ơỊ Ø ø ¼ Ð Đ Ø
ÄÙ Ị Ị Ị Ý
Ò Ø ÐÙ Ò Ü Ø Ò Ò
Ø
Ñ ỉệ ề
ữ ì Ad A0
ề ×ÙÝ
ơỊ¸ ư Ø
ØøĐ Đ Ø
Ị ØƯịỊ Ú Đ Ø
Ị
Ĩ
ØƯ Ư ịỊ λº
ư
Ư Ị Ị Ad é ẹ ỉ ẹ ỉệ ề ìí
ụềá ỉ ứ
ỉ
zdP
ỉệ Ư ịỊ
Ø
Đ ØƯ Ị P (z)
ÌƯĨỊ ØƯ ề
ễ t > 1á ữ
ỉứẹ
Ò
Ó
Ø Ó
Ù Ò ´ØÓ Ò Ø à
ẹ ỉệ ề ữ ì
ỉ
ữề ỉệứề
í ỉệểề
ể
ẹ è ìì ệ ¾¾℄º Å
ù
ùỊ Ù Ø ịỊ
ề ỉ ỉệểề ề ề é
ếíụỉ
ỉể ề ẵá
ệ
ỊĐ
Ø Ø
Ĩ
ØƯ Ư ịỊ
Ø
ẹ ỉệ ềá ỉ
ìể ì ề
ề
ệ
ẹ è ìì ệ
ắ
ỉ
ẹ ỉệ ề ề óÙ ơỊ
ÌƯĨỊ Ơ Ị Ị Ý
Ị Ø ØỊ
Ý Đ Ø × Ú Ị ó Ð ịỊ ÕÙ Ị ơỊ
Ø
Đ ØƯ Ị
×
ơỊ Ð Ị ề ẵ èệ
ỉ ũềá ĩ ỉ ỉệ ề
ễ t = 1¸ Ø
Ð Ü Ø
Ø
×
ơỊ Ð Ị
Ị Đ Øº
Ĩ f ∈ R[X] := R[X1 , ..., Xn ], G = {g1 , ..., gm } ⊆ R[X]º Ã
n
R[X]2 =
i=1
fi2 |fi ∈ R[X], n ∈ N ,
¿
÷Ù
Ơ
Ø Ị
Ø Ơ
øỊ Ơ
Ị
Ø
ØƯĨỊ R[X]
KG = {x ∈ Rn |g1(x) ≥ 0, ..., gm(x) ≥ 0},
Ø ƠỊ
×
Ị
Ị ØƯĨỊ Rn Ü
Ị
G
m
MG = {t0 +
Đ ÙỊ
Ị
Ị
Ø Ị
Ị
i=1
Ø ØƯịỊ R[X]
TG = {
Ø óỊ Ø
ti gi |ti ∈
G
σ=(σ1 ,...,σm )∈{0,1}m
Ø ØƯịỊ R[X]
MG ⊆ TG ¸ Ú
R[X]2 , i = 0, ..., m},
σm
tσ g1σ1 ...gm
|tσ ∈
Gº
G = ∅ Ø
K∅ = Rn , M∅ = T∅ =
õ Ø Ý Ị f ∈ TG ´ Ý MG ) Ø ø f ≥ 0 ØƯịỊ KG º Ĩ
Ð
óÙ Ị
Ð
óÙ Ị Ý
Ị
Ị Ì
Ð ¸
f ≥ 0 ØƯịỊ KG =⇒ f ∈ TG ´
Ỉ
ỉệ é é
ề á
ề
í ề é
ử ừề
ề
ềá ắàá
Ø
×
Ị
ÐÙ Ị Ú Ị
Ị Ø ỉ ề
ề à
èệểề ỉệ
ề
ễ
ề
áẹ ỉ
ỉ ề ũề
ỉệ
í MG )?
ữỉá G = á ỉ
ể
ề í
ỉệ ề
ễ
ỉ ẩ ệìề ẹ
ì
á
ỉể ề
R[X]
ữ
k
2
R(X) =
i=1
R[X]2 ?
ệ
é ệỉ ẵ àá
ỷ ệ ệ ề
ỉệũề
ỷ
èể ề
ữỉ
ì
ụề
f ậ á ỉ
ẵ ẳẳá é ệỉ
ệ ẹ ỉ ề ì
ẹ ắ
ỉể ề
ỉ ẵ ỉệểề
ề ì
ề í
ễ ỉ ử ề ì
ỉể ề ỉ ẵ
À Ð Ừ
Ø
R[X]2 .
Ø
Đ Ø Ị Ð
õỊ
Ị ẩểì ỉ ìỉ éé ềì ỉịàá
ẹ ặ
ỉề ỉ ìỉ éé ềì ỉịà èệểề ẹ ỉ ì ỉ é ÷Ù ´
Ị
Ø Ù Ø Ị
ÙỊ Ð ÈĨ× ỉ ìỉ éé ềì ỉị ể á ỉệểề ỉể Ị
Ị Ø
Ị Ø Ù Ø Ị ÈĨ× Ø Ú×Ø ÐÐ ềì ỉị ề é
ử ừề
f 0 ỉệũề Rn =⇒ f ∈
Ù ØƯ Ð
Ị ØƯĨỊ
Ø ơ
Ø
Ø ơ
¸ ØƯĨỊ
R[X]2 },
fi
gi
Ĩ f ∈ R[X]º Ã
÷Ù R(X) Ð ØƯ
Ị
Ø
2
|k ∈ N, fi , gi ∈ R[X], gi = 0, i = 1, · · · , k .
Ò
ặụ f 0 ỉệũề Rn á
ìí ệ
í
ề f∈
R(X)2
Ø
Å Ø × Ú Ị ó Ð ịỊ ÕÙ Ị ơỊ Ú ÷
õỊ Ø Ị Ø Ị øỊ ễ
ề
ỉ
á ễ
à
ỉể ề ỉ ẵ
é ệỉ
ề ỉ ỉệứề
í ỉệểề
ẵắẵ
ỉ
ẻ ÷
Ị ịỊ
Ù
Ị Ð
Ù
Ø
Ú
ØĨ Ị Đ Đ Ịº
õỊ
Ø ư
Ị
Ị¸
Ị Ú ØƯ ÕÙ Ị ØƯ ề ỉệểề
ỉể ề
ỉể ề ỉ
ỉ
é
ỉể ề ỉứẹ
ẳẵà
f = inf f (x),
x∈KG
Ú f ∈ R[X]¸ G Ú KG Ü
Ị Ị
ØƯịỊ
Ð
ØĨ Ị Ø
Ù
Ø
ØĨ Ị Ø
Ù
Ø
Ị ÙỊ
× Ø
¸ ÕÙÝ Ĩ
Ù Ø ịỊ Ơ Ị Đ Ø
Ø ỉỉ
ặ ìỉ ệể
ỷệ
ỉệểề ỉệ Ò
Ô
Ô Ò Ø
Ø Ò Ø ề
ứề ễ
ề
ìì ệệ ắ é Ị
Ù Ø ịỊ
¿ ℄ ư Ø Ð Ơ Đ Ø Ý
Ò Ð
Ø
º Ë Ù Ý
Ị Ø Đ Ị
ØƯĨỊ Ú ÷
ÕÙÝ
ØĨ Ị Ø
Ø
Ị
ØƯịỊº ÌƯĨỊ ØƯ Ị
Ị Ư Ị Ù
º
Ơ G = ∅, KG = Rn ¸
ØĨ Ị
Ị óÙ Ị Ị ịỊ
Ù ÕÙ Ị Ø Đ Ø
ÐúỊ Ú
Ị Ü
Ị Ú Ð Ø ÙÝ ØĨ Ị Ø º Ë ĨƯ ½℄ Ð Ị
ÙÐ
ư
Ø Đ Ø
Ø
Ị óÙ ơỊ
Ị Ư Ị
ØùỊ
Ị Ị Đ Đ Ị
Ư Ị Ù
Ị Ü
Ò
Ò Ò Ø Ò Ò Ð
Ø
Ò Đ
Ø ư Ú
Ø
º ÌƯĨỊ Ị Ð
Đ Ø
Ø
Ị óÙ ơỊ¸
Ơ Ị
ÕÙ
× Ø
Ị Ý
ÈÙØ Ị Ư
Ị
Ø ơỊ
ØƯ Ø
Ù
Đ Ø
ØĨ Ị Ø
Ù
Ư
Ị Úó Ị
Ị
ề é
ử ừề
ề
ỉ
ĩ ẹá
ề
ềá ắ à
ẳẵà
ỉ ử ụỉ é
ề
f = inf f (x) = sup{λ|λ ≤ f (x), x ∈ KG }
x∈KG
= sup{λ|f (x) − λ ≥ 0, x ∈ KG }
= sup{λ|f (x) − λ > 0, x ∈ KG }.
ặ ỉ ụá ữ
ỉứẹ f
íửề × Ị ØøĐ ×ÙƠƯ ĐÙĐ
× λ × Ĩ
Ĩ f − λ
Ị
Đ´ Ĩ
Ị µ ØƯịỊ KG º ư
ÕÙÝ
ØĨ Ị
Ị ݸ Đ Ø ØƯĨỊ Ị Ị
Ø Ị Ð
Ø Ý Ø ơ óÙ ÷Ị
Ị Đ
Đ Ø ú ữề ề ể
ề
ề ềá ỉệểề
ỉ ề ứề Ơ
Ị ¸ ư
Ø ư Ø ơƠ
Ị Ị
×
Ị ÉÙÝ Ĩ
Ị Ü
ề ậ ẩà
ẻ
ỉ ề
á ẹ ỉ ỉệểề ề ề
ư Ị Ð Ị
óÙ ÷Ị f − λ ≥ 0 ØƯịỊ KG Ð Ü Ø
Ị
õỊ f − λ
m
f − λ = t0 +
ØƯĨỊ
ti ∈
R[X] º Ì
Ð ¸ Ị
2
Ð Ị
óÙ
ti gi ,
i=1
÷Ị f −λ ≥ 0 ØƯịỊ KG Ø
Ò
f −λ ∈ MG º
ú ề í
ề ụề ữ
ĩ ỉ
ỉể ề
ẳắà
f sos,G = sup{λ|f − λ ∈ MG }.
Ê Ư Ị ¸ ÒôÙ f − λ ∈ MG Ø ø f − λ ≥ 0 ØƯịỊ KG º Ĩ
f sos,G ≤ f ∗ º À Ị Ị
Đ Ø Ị Ð
õỊ
Ị
Ĩ
Ø
f − λ ØƯịỊ KG Ø ø f sos,G = f ∗ º
¸ Ị Ø
Ị
Ị ơỊ Đ Ø ÉÙÝ Ĩ
Ị Ü
Ị ¸
Úø
Ị
ÌÙÝ Ị ịỊ Ú ÷
ØøĐ f sos,G
õỊ
f − λº ư Ị Ị
Đ Ø
Ø
Ị
Ị
Ø
ti ØƯĨỊ
ÉÙÝ Ĩ
Ị Ü
ề á
ề ỉ ĩ ỉ
ì Ò ÙÝòÒ k Ú
2k ≥ max{deg(f ), deg(g1 ), . . . , deg(gm )}.
Ø
ØĨ Ị
m
fksos,G = sup{λ|f − λ = t0 +
fksos,G
Ã
i=1
ti gi , ti ∈
ØùỊ ÕÙ Đ ỉ ẫí ể
ề
ẳà
R[X]2 , deg(t0 ), deg(ti gi ) ≤ 2k}.
Ü
Ị ºÀ ỊỊ
¸
sos,G
≤ f sos,G ≤ f ∗
fksos,G ≤ fk+1
Ú
lim fksos,G = f sos,G º
k→∞
Ì ơƠ Ø Ĩ
Ị Ø
ÕÙÝ
ØĨ Ị Đ Đ Ịº
Ø ÷Ù Ú ØƯ
Ị Ð
õỊ
Ị ØƯĨỊ Ú ÷
Ị Ø Ị Ø
ØĨ Ị Đ Đ Ị
Ơ Ø Ị × Ùº
n
Ĩ K Ð Đ Ø Ø Ơ
ĨỊ Ị ØƯĨỊ R º Ĩ L : R[X1 , ..., Xn ] →
R Ð Đ Ø Ơ ơĐ Đ ØÙÝơỊ ØùỊ º À Ð ÷Ù
Ø Ị Ø Đ ỉ
ể ểệ é
ề à
ỉệểề K ì ể
ể Đ f ∈ R[X1 , ..., Xn ]¸
ØĨ Ị Đ ẹ ề ề ẵà
L(f ) =
f dà?
K
é ề ẵ á ắẳà
àá
ỉ ử ề ì
ề é ẵ é ề
ệ ẹ ỉ
á ắẳà
ỉệểề K ì ể
ể
ú
ữề
ề
ú ữề
ề Ú
ỊØ
Đ f ∈ R[X1 , ..., Xn ] Ø
L(f ) =
f dµ
K
Ð L(f ) ≥ 0 Ú
Đ
f ≥ 0 ỉệũề K
ểì ỉ ềỉ
ẹ ỉ
ể
ể
ề
ểệ é
ề à
Ú
ỊỊ Ĩ
Ị × Ùº
Ø Ơ Ø Ơ
ĨỊ
ØƯĨỊ Ú Ị
Ø
Ị ØƯĨỊ Rn
R[X]¸ Đ Ø Ị
Ị K = KG ¸ Ú G Ð Đ Ø Ø Ơ
ĨỊ
ØĨ Ị Đ Đ Ị
Ơ Ø
ØĨ Ị Đ Đ Ị ề ắà
ể G = {g1 , ..., gm } R[X] KG , TG
ể ểệ é
ề à
ỉệũề ặụ L(f ) ≥ 0, ∀ f ∈ TG Ø ø
Ø Ị Ø Đ Ø
KG × Ĩ
Ĩ
L(f ) =
Ù
Ị Ị ú Ị
ØƯĨỊ
f dµ
KG
Ú
Đ
f ∈ R[X]
Ý
Ị
Ư Ị Ú f ∈ TG Ø ø f ≥ 0 ØƯịỊ KG º Ĩ
ØĨ Ị Đ Đ Ị Ị ¾ Ý Ị
ØĨ Ị ẹ ẹ ề ề ẵ èí ề ũềá ềụ
Ị Ø
Đ Ø Ị Ð
õỊ
Ị ØƯịỊ
KG Ø ø
ØĨ Ị ØƯịỊ Ø Ị
Ị Ú Ị Ù ´ÕÙ
Ị Ð é ề à ặ
ỉ ử
ĩ ẹ ỉ ịĐ Úó Ị
Ị
Ị Ð
õỊ
Ị ư
ÕÙÝ
ØĨ Ị Đ Đ Ị
ØƯĨỊ
Ø Ð ữ ắ á ẵ
ề
ì
ề é
ử ừề
ề
ể
ỉ
Ị Ị
Ị óÙ × ÕÙ Ị Ø Đ
ØĨ Ị
ệ ề ẵ à ậỉ ề é ẵ à ắ á
ệ
ử ừề
ẹ
ể
ỉ
ề ỉ ề ề á
ề ẹá ề
ề à ỉệũề ẹ ỉ ỉ ễ ề
ề ẻ ữ
ỉứẹ
ề é
ử õỊ
Ị
Ị Đ ÙØ
÷Ị Ú Ị Ị
ÕÙ Ị Ø Đ
ề ú ề
ặ ẹ ẵ ẵá
ậ
ẹÔ
ề
ậ
ẹÔ
ề
ề
ỉ
ì
ề
ỉ ỉ
ữ
ỉứẹ é
Ĩ
ØĨ Ị Đ Đ Ị Ị
Ị
Øù
и
Ư Đ Ø
Ị Ð
õỊ
Ị ØƯịỊ Ø Ơ
ĨĐƠ
غ
Ø ư¸
Ị Ư Ị Ỉ f > 0 ØƯịỊ KG Ú KG Ð Ø Ơ
ĨĐƠ
Ø Ø ø f ∈ TG º
Å ỉ ỉệ ề
ễ
ẵ á ử ừề
ữỉ
ề é ậ
ẹÔ
ề
ệ ỉệ
ỉ
ề ỉệũề ẹ ỉ
ữề é á
ểẹễ
ỉ
ẻ ữ
ệ ẹ ỉ
ề ìể ỉ
ể
ú ữề
ì ẹ ỉ
ỉ
R[X]
é
ú ÷Ị ư Đ Ĩ
Ø
Ị ØƯịỊ KG Ø Ù
Ú Ĩ MG
TG º Å Ø óÙ ÷Ị Ị Ø ơ
ÈÙØ Ị Ư ¿ ℄
Ư Ị Đ ẵ á
MG ặ
é á ẹ ỉ Đ ÙỊ
M ØƯĨỊ Ú Ị
Đ ÙỊ
× Đ Ø Ị Ø Ị Ø × Ø Ị ịỊ k ∈ N × Ĩ
Ĩ k−(X12 +...+Xn2) ∈ M º
Ị Ð
õỊ
Ị
ÈÙØ Ị Ư
¸ Ị f > 0 ØƯịỊ KG Ø ø f ∈ MG º
Ơ
Ø
Ị
× Ù
À Ị ÐĐ Ị
× MG
× Đ Øº Ã
Ị Ú KG
Ư ề á MG
ì ẹ ỉ ỉ ứ TG
ì ẹ ỉ ề ề á TG
ì ẹ ỉ Ø Ị
ĨĐƠ
غ À Ị Ị ¸ Ị f
Ị ÷Đ ØƯĨỊ KG Ø ø
Ị Ð
ậ
ẹÔ
ề ẩỉ ề ệ
ỉ ử
ề
ề ề ể á ậ
ệ ệ ắá
ệ Đ Ø Ø ịÙ
Ù Ị À ×× Ị ö
Đ Ĩ
Ĩ
Ø
Ị Đ ´Ø
Ð
ề ữẹà ỉệũề KG ỉ
ể TG ỉ
MG à
ú ữề KG
ểẹễ
ỉ ỉ ề ề á MG
ì ẹ ỉà
ề
ề á
ử ừề
ỉ
ề ´
Ị е ØƯịỊ Đ Ø Ø Ơ
ĨỊ
Ị
ĨĐƠ
Ø ØƯĨỊ Rn
Ị Ị óÙº ÌƯĨỊ ØƯ Ị
Ơ KG
Ị
ĨĐƠ
ظ ậ
ể ệ ắẳẳ á ẳà
ề
ề
ỉệ ỉ ữẹ
Ị ØƯĨỊ
Ị Ư Ị
× f ∈ R[X]
Ị ØƯịỊ KG ¸ Ú f
û
KG Ú ØĨ Ị
óÙ
Ị ºÃ
¸ Ị f > 0 ØƯịỊ KG Ø ø f TG
ặ
é
ệ ề áỉ ễ
ễ
R (f, KG ) := {y ∈ R|∃xk ∈ KG , xk → ∞(k → ∞), f (xk ) → y}
Ð Ø Ơ
ØƯ Ø ÷Đ
Ị
fº
È ÐÝ ¿ ℄
ÕÙ × Ù Ý¸ õỊ
Ø
Ị ØƯịỊ Rn+ \ {0}¸ ØƯĨỊ
Rn+ = {(x1 , · · · , xn ) ∈ Rn : xi ≥ 0}
Ø
Ø ÙỊ Ị غ Ỉ f > 0 ØƯịỊ Rn+ \ {0} Ø ø Ø Ị Ø Đ Ø × Ø Ị ịỊ N
Ĩf Ð Đ Ø
Ð Ị× Ĩ
Ĩ
Ø
N
n
Xi
f
ỉ ỉ
ữì
ề
ú
ề
i=1
ặ ẹ ẵ á ấ ÞỊ
Ư Đ Ø Ị Ð
õỊ
Ị
õỊ Ø Ị Ø Ị
øỊ Ơ
Ị
Ĩ
Ø
Ø ÙỊ Ị Ø
Ị ØƯịỊ Rn \ {0}º Ị Ð Ê ÞỊ
Ị Ư Ị
Ĩf Ð Đ Ø
Ø
Ø ÙÒ Ò Ø
Ò Ú f (x) > 0, x Rn \ {0}
áỉ ềỉ
ẹ ỉ ì Ø Ị ịỊ N
Ð Ị× Ĩ
Ĩ
n
i=1
Ì Ị ÕÙ Ø
Ĩ ÕÙ
Ð
õỊ
Ị ØƯịỊ Đ
Ị×ĨỊ Ú ÈĨÚ ½¼℄
Đ Ø Ị Ð
õỊ
Ĩ
n
Ø
Ĩ
ỉệểề R
ẵắắ
ề ề
N
Xi2
R[X]2
f
ấ ịề
á ẩỉ ề ệ ẻ × Ð ×
Ù ¼℄
Ư Đ Ø Ị
n
ØØ ƠỊ
×
Ị
Ị ØƯĨỊ R ề íá ề ẹ ắẳẵ á
ụỉ ễ ề é ẩ éí
ề é ẩỉ ề ệạẻ ì é ×
Ù ư
Ư
Ø
Ị ØƯịỊ Đ Ø Ø Ơ
ĨỊ Ị
×
Ị
Ị
Ị Ð
õỊ
Ị Ị Ý
Ị Ø ØỊ
Ý ØƯĨỊ
Ë Ù Ý
Ị Ø
ó
Ơ Đ Ø × Ú Ị ó Ð ịỊ ÕÙ Ị ơỊ ØƯ Ị
Ơ t > 1¸ Ü Ø
õỊ
Ø
Đ ØƯ Ị Ü
Ị
Ị ´Ø Ị Ị á ề ĩ
ề
ề à ỉệũề ẹ ỉ
n
ữ St (R[X]) Ð Ø Ơ Ơ
Ø
Đ ØƯ Ị
Ü Ị
Ơ t ØƯĨỊ
Ø Ơ
ĨỊ
R º Ã
Mt (R[X])º Ỵ Đ F ∈ St (R[X]) Ú G = {G1 , ..., Gm } St (R[X])á
ữ
KG := {x ∈ Rn |Gi (x)
Ø ƠỊ
×
Ị
Ị ØƯĨỊ Rn Ü
Ò
0, i = 1, ..., m},
Gº
ݸ Ú Đ
Ø
Đ ØƯ Ị G ∈ St (R[X]) Ú Ú Đ x ∈ Rn ¸ G(x) 0
Ị
t T
Ị ¸ Ø
Ð Ú Đ v ∈ R , v G(x)v ≥ 0º
ư
÷Ù
Ĩ Đ ØƯ Ò G(x) Ð Ò Ü
Ò
Ã
÷Ù G(x) ≻ 0
Ð Đ ØƯ Ị G(x) Ð Ü
Ị
Ị ¸ Ø
Ð Ú Ñ v ∈
t
T
R \ {0}, v G(x)v > 0.
Ã
÷Ù
MG := {
ATij Gi Aij |Gi ∈ G ∪ {It }, Aij ∈ Mt (R[X])},
i,j
Đ
ÙỊ
Ị
Ị
Ø ØƯịỊ Mt (R[X])
G
è úề ỉ
ỉ ề
ề ỉ
G ì
ữ
TG èệểề ØƯ Ị
Ơ G = ∅¸
Ơ
Ø Ị
Ù Ị
Ị Ị Ơ Ị Ø
Ị AT A¸
t R[X] := M∅ = T∅ Ð Ø Ơ
A ∈ Mt (R[X])¸ Ú Ị Ð Đ ÙỊ
Ị Ị Ø ØƯĨỊ Mt (R[X])º
ØƯĨỊ
Ê Ư Ị ¸ Ị F ∈ TG Ĩ
MG Ø ø F 0 ØƯịỊ KG º Ỵ Ị ó
ùỊ Ø ơƠ Ø Ĩ
Ị Ø
ÕÙ Ị Ø Đ ØƯĨỊ ÄÙ Ị Ị Ị × Ù
× F ≻ 0 ØƯịỊ KG º
Ĩ F ∈ St (R[X]), G = {G1 , ..., Gm } ⊆ St (R[X])º
Ỵ
óÙ ÷Ị Ị Ĩ Ø ø F ∈ TG Ĩ
F ∈ MG .
ØĨ Ị ¾º
Ä ịỊ ÕÙ Ị ơỊ
ØĨ Ị Ị ݸ Ë
Ư Ư Ú ÀĨÐ
℄
Ư Đ Ø Ị Đ ØƯ Ị
Ø
Đ ØƯ Ị Ü
õỊ
Ø
Đ ØƯ Ị Ü
Ị
Ị ØƯịỊ ∆n
Ị Ị
Ị
Ị ØƯịỊ KG Đ MG
× Đ Ø
Ĩ Ị Ð È ÐÝ Ú
Ị Ð ÈÙØ Ị Ư ØƯĨỊ
∆n = {(x1 , ..., xn ) ∈ Rn |xi ≥ 0,
n
xi = 1}º
i=1
ĐƠƯ §
℄
Ư
Ị Đ ØƯ Ị
Ĩ Ị Ð ÃƯ Ú Ị ¹ËØ Ị Ð
ĐƠƯ §
Ú
Ð Ư ℄
Ị ịỊ
Ù
ØĨ Ị Đ Đ Ị
Ĩ
Ø
ØĨ Ị Ø Ú
Ư Đ Ø Ị Đ ØƯ Ị
Ĩ Ị Ð ậ
ẹÔ
ề ũ
ề èệứề ắ
ệ ẹ ỉ ề Đ ØƯ Ị
Ĩ Ị Ð
õỊ
Ị
ÃƯ Ú ề ạậỉ ề é á ậ
ể ệá ậ
ệ ệá
ỉ
Ĩ
ÕÙ Ị Ý
Ị Ø ØỊ
Ý ØƯĨỊ Å
½º
Ị ½º
Ị Đ ØƯ Ị
Ĩ Ị Ð
õỊ
Ị
È ÐÝ ¿ ℄ Ị Đ Ø Ú ØƯ ÕÙ
ØƯĨỊ Ð Ø ÙÝ óÙ
ưỊº ÀÙ
ØĨ Ị óÙ
ưỊ ØÙÝơỊ ØùỊ óÙ Ị
Ø Ị Ø
Đ ØƯ Ịº Ê Ø Ị óÙ ØƯĨỊ ×
ØĨ Ị Ị Ý
Ø ư
Ị Ø
Đ ØƯ Ị Ð ØÙÝơỊ ØùỊ º Ê
Ị¸ Đ Ø Ø Ị Ø
Đ ØƯ Ị ØÙÝơỊ ØùỊ
Å ØƯ Ü ÁỊ ÕÙ Ð ØÝ ¹ ÄÅÁµ
Ị
L(X) := A0 + A1 X1 + ... + An Xn ≻ 0,
ØƯĨỊ
Ĩ ØƯ
Ị ØƯ Ị
ơỊ
ỉ
ề ệ
ẳ à
X = (X1 , ..., Xn ) Ð n ơỊ Ø
Ú A0 , A1 , ..., An ∈ Sn (R) Ð
Ñ ỉệ ề
ĩ ề
T
ỉ ề ỉ
ẳ à
ỷ Ư L(x) Ü
Ị
Ị ¸ Ø
Ð ¸ v L(x)v > 0, ∀ v ∈
Rn \ {0}º Ã
¸ Đ óỊ Ü
Ị
ÄÅÁ Ð
G := {x ∈ Rn |L(x) ≻ 0}.
Ị Ð
õỊ
Ị
È ÐÝ
Ĩ
Ø
Đ ØƯ Ị
℄
Ị
Ị Ư Ị
Ð Đ Ø
Ø
Đ ØƯ Ị
Ü Ị Ø ÙỊ Ị Ø
dº Ỉ F ≻ 0 ØƯịỊ △n Ø ø Ø Ị Ø
Ị ịỊ N × Ĩ
Ĩ
(X1 + · · · + Xn )N F =
Aα X ,
ì F
ì ỉ
||N +d
ỉệểề
á A é
ẹ ØƯ Ị Ị Ü
Ị Ị ݸ
Ø ư Ü Đ
Ø ØƯĨỊ
Å
ù
ùỊ Ø ơƠ Ø Ĩ
Ị Đ ØƯ Ị
Ĩ
Ị Ð
À Ị ÐĐ Ịº
Ị Ø
õỊ
Ỉ Ĩ Å
Ð
¸
Ị Đ
Ð ịỊ ÕÙ ề ụề ề ềá è é ữ ỉ
Ị Ø ØỊ
Ý ØƯĨỊ
ÌƯĨỊ
Ị ½
ØƯĨỊ ÄÙ Ị Ị Đ Ë
À Ð Ừ Ú Đ Ø ×
Ị
Ị Đ ØƯ Ị
ể ẹ ỉ
ẹ ú ẹ é ũề ữ
ề
ề á X α = X1α1 ...Xnαn º ư Ư
Ĩ
Ë
Ư Ư Ú ÀĨÐ
℄º
ØƯĨỊ ÄÙ Ị Ị Ð
ÕÙÝ
Ị
ÈÙØ Ị ệạẻ ì é ì
á
ề ú
ề
ỉể ề ắá
ệ
ềìểềạẩể
ữá ẹ á
ề ì
Ị ØỊ
Ø
Đ
Ĩ Ú Ã ÐÙ Ị¸ Ị
ÙỊ
ùÒ
ÄÙ Ò Ò
Ò º
Ò Ø
ÙÒ
ễ ề ề
ề ữẹ ụỉ ế
ề
ì
ề
ễ ề
ề ữẹ
ỉ
ẹ ỉ ụềá
ỉể ề ỉ ẵ
Ð
õỊ
Ị ¸
ØĨ Ị Đ Đ Ị Ú
ØĨ Ị Ø
Ù
Ø
á
ì
ề é
ử ừề
ề
ề
ề ỉ
ệ ụỉ ÕÙ
ØùỊ
Ị
Ø
Đ ØƯ Ị Ú Ø ÙỊ Ị ỉ
ề
èệểề
ề ắ
ề ỉ
ệ ẹ ỉì
ề
Ĩ
ØƯ Ư ịỊ
Ø
Đ ØƯ Ịº
Ø ư¸
Ị Ø
Ư Đ Ø×
Ị Đ ØƯ Ị
Ĩ Ị é ề ìỉệÔ
ểẹạ í
ề
é ắẵắá ắẵá ắẵ µº Å Ø ×
Ị Đ ØƯ Ị
Ĩ
Ị Ð
Ị
Ù
Ý
Ị
Ị
Ø
Ư ØƯĨỊ
Ị é ắắắá ắắ á ắắ á ắắ á ắắẵẳá ắắẵắá ắắẵ á ắắẵ á ắắẵ
ề á ỉệểề
ắá
ề ỉ ỉệứề
í ề ìể ì ề
Ị
Ø
ØƯĨỊ
Ị Ị ÝÚ
Ị
Ư
À
Đ è ìì ệ ắắ ỉệũề
ề ự
ễ Ị
ĐóĐ ØùỊ ØĨ Ịº
ÌƯĨỊ
Ị ¿
Ị Ø Ị ịỊ
Ù
Ị Ð
õỊ
Đ ØƯ Ịº
Ø ư¸
Ị Ø
Ư
Ị Đ ØƯ Ị
Ĩ
ề é
ẩỉ ề ệạẻ ì é ì
á ấ ịề
á
ềìểềạẩể ề éẹ ề ấ ũề
Ĩ Ị Ð À Ị ÐĐ Ị¸
Ị Ø
Ư Đ Ø Ø Ø
ư ØøĐ
Đ ØƯ Ị ĩ
ề
ề ỉệũề ẹ ỉ
ữề
ểẹễ
ỉá é ỉệểề Rn
ẵẳ
ề
ể
ử ừề
ề
ề ẹ
ừề
ể ẹ Ø
Ø
ØƯ Ị
Ø
ÕÙ
ùỊ
ÄÙ Ị Ị
Ị Ơ ẹ ẵ
ể
ểỉ
ã
ề ỉ
ề
ỉệểề
ỉ ể èể ề
úề èệề ạè í ặ íũề éề á èệ
ề á ẵắạẵ ằẳ ằắẳẵ
ề
ể ẵắá ẳá ỉ úề
ẫí ặ
ềá ứề
ã ỉ ể ế
Øơ Ì
Ø ÁỊØ ƯỊ Ø ĨỊ Ð ĨỊ Ư Ị
ĨỊ Å ØƯ Ü Ị ÐÝ× × Ị
Ø ểềì à á èệ ề
í è ềá
ặ ề á ẵ ạẵ ằẳ ằắẳẵ
ã ỉ ể ế
ỉụ ậỉệ ề ạ ỉ ắẳẵ á èệ
ẵ ạắắằẳ ằắẳẵ
ề
èể ể á ậ ề
áặ
ễễé ạ
ỉ
ềá
ã ỉ ể ÕÙ
Øơ Ì
Ø ÁỊØ ƯỊ Ø ĨỊ Ð ĨỊ Ư Ị
ĨỊ Å ØƯ Ü Ị ÐÝ× × Ị
ƠƠÐ
ạ
ỉ ểềì
ắẳẵ à á èệ ề
ậ ềì á ặ ềểá ặ ỉ
ềá ắắạắ ằẳ ằắẳẵ
ã ậ ẹ ề ệ ể èể ềá èệ
ã
èể ề
ẵ ằẳ ằắẳẵ
ề
ẻ ữỉ ặ ẹ éề ỉ
ẫí ặ
ềá
¸ ÌƯ
Ị
øỊ
Ị
Ì
øỊ
Ị ¸Ø
Ị Ø Ị Ä ịỊ Ð
¸ ẵ ạ
ề ẵẵ ề ẹ ắẳẵ
è
è
ẵẵ
ứề
ề ẵ
ỉ ì ụỉ ế
ề
èệểề
ề Ị Ý
Ị Ø ØỊ
Ý Đ Ø × ÕÙ
Ù Ị
Ĩ
Ị
Ị
Ð
ÄÙ Ị Ịº Ë Ơ Ị
Ị ÷Đ
Ø
Đ ỉ ụề ề
ề é
í ẵá
ẹ ỉì
ề é
ề
íá ề é
ề ìỉệÔ
ểẹạ í
á ểệểéé ệí
ỉệứề
í ỉệểề
ẵẵ
ề ỉ ì ỉệứề
íẹ ỉì
ề ề ỳ
ề ỉệểề ứề
ì ỉ
á
ỉệự
ề ỉ
ề ỉệứề
ậ
ẹÔ
ề
á á á ẹễệ Đ
á
ệì éé ắ ỉệểề
ẵắ í
Ị Ø
Ị ØỊ
ÝĐ Ø×
Ị Ð
õỊ
Ị
Ĩ
Ø
º Å Ø ×
Ị Ð
õỊ
Ị
Ĩ
Ø
Đ ØƯ Ị
Ị Ø
ØỊ
Ý ØƯĨỊ Å
½º º Ị
Ị
Ị Ð
õỊ
Ị ØƯĨỊ
ØĨ Ị Ø
Ù
Ø
Ú
ØĨ Ị Đ Đ Ị ×
Ị Ø ØỊ
Ý ØƯĨỊ
ẵ
ề
ề ỉ
ệ ẹ ỉ ì ÕÙ Đ Úó Đ Ð ịỊ ÷
ØùỊ
Ị
Ø
Đ ØƯ Ị
Ú Ø ÙỊ Ị Ø
Ị º
½º½ Ë Ơ
Ị
Ị
÷Đ
Ø
Đ Ø
ơỊ
ØĨ Ị ØøĐ Ị ÷Đ
Ø
Đ Ø ơỊ Ð Đ Ø ØƯĨỊ Ị ề
ỉể ề
ề
ì èí ề ũề ữ
ỉứẹ
ùỊ Ü
Ị ÷Đ
Ø
Đ Ø ơỊ
Ị Ơ
Ð
Ị Ĩ
Ị õ Ị º Ĩ ¸ ỉ í ứ ỉứẹ ề ữẹ
ỉ
á
ề Ø ØøĐ Đ óỊ
Ị ÷Đ
Ị º
Ú
ỉ
ữ ì ỉ
á ỉ
ề ỉ ề
ề ì í
ề é
ề ìỉệÔ
ểẹạ í
ề é ẵẵẵ
ề ìỉệÔểẹạ
í á
ề ẵá
d
á
ểệểéé ệí à
ể f (z) Ð Ñ Ø
f (z) = ad z d + ad−1 z d−1 + · · · + a1 z + a0 , ai ∈ R, ∀i = 0, ..., d.
ẵắ
ỉ
× Ư Ị
ad ≥ ad−1 ≥ · · · ≥ a0 ≥ 0, Ú ad > 0.
a0
≤ |z| ≤ 1º
÷Đ
f (z) Ø ø
2ad
Ỉ z ∈ C Ð Đ ỉ ề
ế
í
ú
ữề ì ễ ỉ
ỉ
ữì áỉ
ề é ẵẵắ
é ẹ ỉ
ỉ
ề ìỉệÔ
ểẹạ
0id1
áẹ
ề é
ề ìỉệÔểẹạ í á ề ắá à
ể f (z) = ad z d +ad−1 z d−1 +· · ·+a1 z +a0
Ø
Ú ai , i = 0, ..., d, Ð
ì ỉ
ề
ữ
:= min
ề ắì
ề
ữẹ z ∈ C
ai
ai+1
f (z) Ø
ai
ai+1
, β := max
0≤i≤d−1
.
Đ Ị
α ≤ |z| .
ỉ ửề
ì
ỉ
ề é ẵẵ
áẹ
ề
M = max
èệểề ỉệ ề
ề ỉ ề ề
ữ ế ẵẵ
ễ
íá
ữẹ
á
ề é
ề ẵá ẵá à
ỉ
d
d
ể f (z) =
ai z i Ð Đ Ø
dº
Ơ
Ø
f (z)
|ad | > |ai |, ∀i = 0, ..., d − 1á ỉ ứ M < 1
ẹ ỉ ữ ế ì
á è ểệ ẹ ắắà
íá
ề
ề
ữẹ
ữẹ
ai z i é ẹ ỉ
ỉ
i=0
ỉ
ề ắá ẵá ậ
ỉ ểề ¾ ℄µ
Ị Ð Ị
d
Ĩ f (z) =
º
Ị
f (z) Ị Đ ØƯĨỊ
Ĩ f (z) =
Ø
d
÷Đ
i=0
g(z) = |ad |z d − |ad−1 |z d−1 − · · · − |a1 |z − |a0 |.
Ø
f (z) Ø
Đ Ị
r |z| R.
ẵ
ễ
á
d ặụ
ỳ {z C| |z| < 2}º
ai z i Ð Đ Ø
Ú
Ị
Ơ
Ị ¸
aj
, j = 0, 1, ..., d 1 .
ad
r Rỉ
áẹ
ỉ
ữẹ
i=0
h(z) = |ad |z d + |ad−1 |z d−1 + · · · + |a1 |z − |a0 |,
Ã
Ò
f (z) Ị Đ ØƯĨỊ ú
{z ∈ C| |z| ≤ 1 + M},
|ad | > |ai |, ∀i = 0, ..., d−1, Ø ø Đ
Ị Ð ½º½º
Ù
Ý
û Ư Đ Ø ú ØƯ Ị
Ø
Ơ
Ì
Ơ Ị
Ị Ø
Ø Ị ØƯịỊ
Ị ÷Đ
Ø
Ị
Ị Ð ẵẵ
íá
ì
ề ỉ
ẹ ỉì
d
ể f (z) =
á è ểệ ẹ ắà
0id1
áẹ
ề
ữẹ
ỉ
ai z i é ẹ ỉ
ỉ
ề
ễ
í ú ì
d
ữ
i=0
M := max
ụỉ ế
f (z) Ị Đ ØƯĨỊ
ai
.
ad
ú
K(0, r1 ) = {z ∈ C| |z| r1 },
ỉệểề
á r1 é ề
ữẹ
ề é ềề
ỉ
ễ
ề ØỊ
z d+1 − (1 + M)z d + M = 0.
ễ
ề
ề é ẵẵ
ể
ữ ế ẵẵ
ỉ
(1 z)f (z)á
M := max
áẹ
ề
ữẹ
ỉ
ai z i é ẹ ỉ
ề
ữ ế ì
ỉ
ễ
d
ữ
ỉ
ễ
d
á
ễé ỉ ỉ
ề
i=0
i=0,...,d
d
ể f (z) =
á è ểệ ẹ à
ề Ø Ò
ad−i − ad−i−1
, a−1 := 0.
ad
f (z) Ò Đ ØƯĨỊ
ú
K(0, r2 ) = {z ∈ C| |z| ≤ r2 },
ỉệểề
á r2 é ề
ữẹ
ề é ềề
ỉ
ễ
ề ỉệứề
z d+2 (1 + M )z d+1 + M = 0.
À÷ ÕÙ ì
ữ ế ẵẵ
ẹ
ề
ữẹ
í é ẹ ỉ ụỉ ế ỉ
á è ểệ ẹ à
ỉ
ề ỉ
ề é ẵẵ
ể f (z) =
f (z) Ị Đ ØƯĨỊ
d
ai z i Ð Ñ Ø
i=0
ú
K(0, r3 ) = {z ∈ C| |z| r3 },
ỉệểề
ìể
á r3 = 1 + M M
Ị ØƯịỊ × Ù Ý
Ị
Ù
ݺ
Ü
ÂĨÝ éạ
ề ề
éé ạấ
ỉệểề ữ ế ẵẵ
ẹ ề ắ ØƯĨỊ Ị óÙ ØƯ
½
Ị
ề é ẵẵ
d
ểí éá
éé á ấ
ẹ ềá ắ à
áẹ
ề
ữ ế ẵẵẵẳ ắ à
a0 = 0
ữ
1
ề
ữẹ
f (z) ỉ
ề é ẵẵ
ể
ữ ế ẵẵẵẵ ắ à
d
ữ
a1
+
a0
ỉ
è
ề
ề
.
ỉ
ẹ ỉ
ề
ỉ
ễ
ỉ
ễ
ai
.
a0
1
a1
a0
(1 z)f (z) ỉ
.
2
+ 4
ữ ế ì
ể f (z) = ad z d + ad−1 z d−1 + · · · + a1 z + a0 é ẹ ỉ
i=1,...,d
áẹ
ề ỉ ì
2
:= max
Ã
Đ Ị
1+
Ị
+ 4α
Ĩ f (z) = ad z d + ad−1 z d−1 + · · · + a1 z + a0 Ð Đ Ø
|z| ≥
Ơ
2
ad−1
ad
g(z) = z d f ( z1 )á
i=2,...,d
áẹ
ễ
ai
.
ad
i=0,...,d2
:= max
ỉ
ữẹ
ễ ề
ề é ẵẵ
ể
ỉ
ể ề ữẹ
ỉ
ề ì Ùº
dÚ
ai z i Ð Đ Ø
i=0
max
f (z) Ø
Đ Ị
1
ad−1
|z| ≤
+
1+
2
ad
d
Ĩ f (z) =
÷Ù
α :=
Ã
º
ad−i − ad−i−1
, a−1 := 0.
ad
÷Đ
f (z) Ø
Đ Ị
1
ad − ad−1
|z| ≤
+
1+
2
ad
Ị Ø ¸ Ơ Ị ữ ế ẵẵẵẵ
ể
ể
ỉ
ề ì
1
ỉ
ẵ
ad − ad−1
ad
2
+ 4γ
g(z) = z d f ( 1z )¸
.
Ị Ø Ị
Ị
Đ Ø
ữ ế ẵẵẵắ
a0 = 0
ữ
ể f (z) = ad z d + ad−1 z d−1 + · · · + a1 z + a0 Ð Ñ Ø
γ ′ := max
i=1,...,d
áẹ
ề
ữẹ
f (z) ỉ
ễ
ề
ề é ẵẵ
ể
ữ ế ẵẵẵ ắ à
d
:=
áẹ
ề
ữẹ
d
ỉ
1
a0 a1
a0
(z ad1 )f (z) ỉ
.
2
+ 4
ữ ế ì Ùº
Ó f (z) = z d + ad−1 z d−1 + · · · + a1 z + a0 Ð Đ Ø
÷Ù
Đ Ị
a0 − a1
+
a0
1+
Ơ
ai − ai+1
, ad+1 := 0.
a0
2
|z| ≥
Ø
Ø
Ô
max |ad−1 ai − ai−1 |, a−1 := 0.
i=0,...,d−1
f (z) ỉ
ẹ ề
1
|z| (1 + 1 + 4).
2
ề
ẹ ỉ
ì
ữ ế ẵẵẵ
d
ỉ
ỉ
:=
áẹ
ề
ữẹ
ề
ĩ Ø
Ø
ĐĨỊ
Ø
Ị
Ị ¸Ø Ị
Ĩ f (z) = ad z d + ad−1 z d−1 + · · · + a1 z + a0 é ẹ ỉ
ắ à
ữ
á
max
i=0,...,d1
f (z) Ø
Ø
Ị
Ơ
ad−1 ai − ai−1 ad
, a−1 := 0.
a2d
Đ Ị
√
1
|z| ≤ (1 + 1 + 4δ ′ ).
2
Ì
Ị
Ị Ø ¸ ễ ề ữ ế ẵẵẵ
ể
ể
ỉ
ề ì
ữ ế ẵẵẵ
a0 = 0
ểẹ ỉ
ỉ
ễ
ữ
:= max
i=1,...,d
áẹ
ề
ữẹ
f (z) ỉ
ỉ
g(z) = z d f ( 1z )¸
Ị Ø Ị
Ị
f (z) = ad z d + ad−1 z d−1 + · · · + a1 z + a0
a1 ai − a0 ai+1
, ad+1 := 0.
a20
Đ Ị
|z| ≥
1+
√
½
2
.
1 + 4δ”
Đ Ø
d
ề é ì
í ỉệểề
ỉỉ
ể é
ề é ẵẵ
ể
ề ỉ ẹ ỉ
ề é ẵẵẵ
ỉỉạ ể éá á è ểệ ẹ ẵà
d1
ad1 z
+ Ã Ã Ã + a1 z + a0
d
ữ
A :=
áẹ
ề
ữẹ
f (z) ỉ
max
i=0,...,d1
ề ØƯịỊ Ø Ø
Ĩ Đ Ø
Ø
Ơ
Ị ×Ĩ Ú
Ị ØƯịỊ
f (z) = ad z d +
ai
.
ad
Đ Ị
|a0 |
≤ |z| ≤ 1 + x0 A,
2|ad |(1 + A)d−1 (Ad + 1)
ØƯĨỊ
¸ x0 Ð Đ Ø Ị
ÌƯĨỊ ØƯ Ị
Ø
Ø ư ề
ữẹ
ễ
ễ
ỉứẹ ề
ề ì í
ề ỉệứề x = 1
ữẹ x0 (0, 1)
ề é ẵẵẵ
ỉỉạ ể éá á è ểệ ẹ ắà
d1
ữ
ad1 z
+ Ã Ã Ã + a1 z + a0
d
A :=
áẹ
ề
ữẹ
f (z) Ø
º
max
i=0,...,d−1
1
(Ax+1)d
Ơ
Ị Đ ØƯĨỊ (0, 1)º
1
Ị ØỊ x = 1 − (Ax+1)
d¸
Ĩ Đ Ø
Ø
Ơ
Ị
f (z) = ad z d +
ai
.
ad
Đ Ị
|a0 |
1
A.
≤ |z| < 1 + 1 −
d−1
2|ad |(1 + A) (Ad + 1)
(1 + A)d
Ì
Ị Ø
Ị Ð ½º½º½
· · · + a1 z + a0
Ị Ð
Ù
ݸ
º
¸Đ
Ị
Ĩ Đ Ø
´ ¿ ¸ Ì ểệ ẹ ắắà
d
ữ
M :=
ề ỉ
ữẹ
f (z) ỉ
ềì
ỉ
ễ
i=1,...,d
ẹ ề
ề é ẵẵẵ ỉ
ụỉ ế ì
ẵ
ữẹ
ỉ
f (z) = ad z d + ad−1 z d−1 +
max |ai |, M ′ := max |ai |.
i=0,...,d−1
|a0 |
M
< |z| < 1 +
.
′
|a0 | + M
|ad |
Ì Ị ÕÙ Ø
Ĩ
Ý
ĨỊ
