Giải vị trí tương đối góc dạng 1 đến 3

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

TOÁN TỔNG HỢP VỀ PP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
DẠNG 1: XÉT VTTĐ GIỮA 2 MP

( Q ) : x − 2 y + 2 z − 5 = 0 . Xét mặt phẳng
Câu 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng
( Q ) : mx − y + z − m = 0 , là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để ( Q ) vuông góc với ( P ) .
A. m = −4 .
B. m = 4 .
C. m = −1 .
D. m = 1 .
Hướng dẫn giải
Chọn A
uuur
n( P ) = ( 1; −2; 2 )
P)
(
Ta có véctơ pháp tuyến của mặt phẳng
là uuur
.
( Q ) là n( Q ) = ( m; −1;1) .
Ta có véctơ pháp tuyến của mặt phẳng
uuur uuur
n( P ) .n( Q ) = 0 ⇔ m + 2 + 2 = 0 ⇔ m = −4
P)
Q)
(
(

Để mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng
thì
.
( α ) : x + 2 y − z − 1 = 0 và ( β ) : 2 x + 4 y − mz − 2 = 0 .
Câu 2: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng
( α ) và ( β ) song song với nhau.
Tìm m để
A. m = −2 .
B. Không tồn tại m .
C. m = 1 .
D. m = 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn B
ur
α)
n1 = ( 1; 2; −1)
(
Mặt phẳng
có một VTPT là uu
.
r
( β ) có một VTPT là n2 = ( 2; 4; −m ) .
Mặt phẳng
2 4 −m −2
α ) // ( β ) ⇔ 1 = 2 = −1 ≠ −1 ⇔ m ∈ ∅
(
Ta có
.
2

Câu 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai mặt phẳng (α ) : 2 x + m y − 2 z + 1 = 0 và
( β ) : m 2 x − y + ( m 2 − 2 ) z + 2 = 0 (α )
.
vuông góc ( β ) khi
m =1
m= 3
m= 2
m =2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn D

(α)
(β)

→

nα ( 2; m2 ; −2 )

có VTPT

.

→

nβ ( m 2 ; −1; m 2 − 2 )

có VTPT

→

→

( α ) ⊥ ( β ) ⇔ nα . nβ

.

= 0 ⇔ 2m 2 − m 2 − 2m 2 + 4 = 0 ⇔ m 2 = 4 ⇔ m = 2

.
Oxyz
(
α
)
:
x
+
y
+
z
−
1
=

0
Câu 4: Trong không gian
cho mặt phẳng
. Trong các mặt phẳng sau tìm mặt
phẳng vuông góc với mặt phẳng (α ) ?
A. 2 x − y − z + 1 = 0 .
C. x − y − z + 1 = 0 .

B. 2 x + 2 y + 2 z − 1 = 0 .
D. 2 x − y + z + 1 = 0 .

Hướng dẫn giải
Chọn A

(α)
Mặt phẳng

có VTPT là

r
n( α ) = ( 1;1;1)

.

Trang 1/55 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 1

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

r r
( α ) khi và chỉ khi n( α ) .n( β ) = 0 .
vuông góc với mặt phẳng
r r
r
n( β ) = ( 2; − 1; − 1)
n( α ) .n( β ) = 0
β ) : 2x − y − z + 1 = 0
(
Nhận thấy mặt phẳng
có VTPT
thì
.
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B ′C ′D′ có A trùng với
B ( a;0; 0 ) D ( 0; a;0 ) A′ ( 0;0; b )
gốc tọa độ. Cho
,
,
với a > 0 , b > 0 . Gọi M là trung điểm của
a
( A′BD ) vuông góc với ( BDM ) .
cạnh CC ′ . Xác định tỉ số b để
a
a
a 1

a
= −1
=2
=
=1
A. b
B. b
C. b 2
D. b
Hướng dẫn giải
Chọn D
Mặt phẳng

(β)

( A′BD ) :

x y z
+ + = 1 ⇔ bx + by + az − ab = 0
a a b
.

Ta có:ur
n = ( b;b; a)
( A′BD ) .
Nên 1
là vectơ pháp tuyến của
uuuu
r 
b

b

uuur
M a;a; ÷
BM =  0; a; ÷
′
C ( a ; a ;0 ) C = ( a; a; b )
2  . Khi đó BD = ( −a; a;0 ) ,
2.


Dễ thấy
,
nên
uuur uuuu
r
uu
r
 BD , BM  =  ab ; ab ; − a 2 ÷

  2 2
n
 nên 2 = ( b ; b ; − 2a ) là vectơ pháp tuyến của ( BDM ) .
a
ur uu
r
⇔ a = b ⇔ =1
2
2
A′BD )

BDM )
(
(
n
⊥
n
⇒
2
b
−
2
a
=
0
2
b
Do
vuông góc với
nên 1
.
( P ) : x + ( m + 1) y − 2 z + m = 0 và
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng
( Q ) :2 x − y + 3 = 0 , với m là tham số thực. Để ( P ) và ( Q ) vuông góc với nhau thì giá trị thực
của m bằng bao nhiêu?
A. m = −1 .
B. m = −5 .
C. m = 1 .
D. m = 3 .
Hướng dẫn giải
Chọn C

ur
P)
n1 = ( 1; m + 1; − 2 )
(
Mặt phẳng
có véc tơ pháp tuyến là uu
.
r
( Q ) có véc tơ pháp tuyến là n2 = ( 2; − 1;0 ) .
Mặt phẳng
ur uu
r
ur uu
r
P)
Q)
(
(
n
⊥
n
⇔
n
.
n
1
2
1
2 =0
Để

và
vuông góc với nhau thì ta có
⇔ 1.2 + ( m + 1) . ( −1) + ( −2 ) .0 = 0

⇔ 1− m = 0 ⇔ m = 1 .

Trang 2/55 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 2


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

( P ) : 2 x + my + 3z − 5 = 0 và ( Q ) : nx − 8 y − 6 z + 2 = 0
Câu 7: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng
( P ) và ( Q ) song song.
. Tìm giá trị của các tham số m , n để
A. m = 4, n = 3 .
B. m =- 4, n = 4 .
C. m = 4, n =- 4 .
D. m = −4, n = 3 .
Hướng dẫn giải
Chọn C

2 m
3 −5

=
=
≠
Mặt phẳng
và
song song khi và chỉ khi n −8 −6 2 ⇔ m = 4, n = −4 .
( P ) : 2 x + 2 y − z = 0 và
Câu 8: Trong hệ trục tọa độ Oxyz , điều kiện của m để hai mặt phẳng
( Q ) : x + y + mz + 1 = 0 cắt nhau là
1
1
1
m=−
m≠−
m≠
2.
2.
2.
A.
B.
C.
D. m ≠ −1 .
Hướng dẫn giải
Chọn B
uur
P)
nP = ( 2; 2; −1)
(
( Q ) có vectơ pháp tuyến
Mặt

có vectơ pháp tuyến
, Mặt phẳng
uur phẳng
nQ = ( 1;1; m )
( P ) và ( Q ) cắt nhau khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến không
. Hai mặt phẳng
−1
⇔m≠
2 .
cùng phương

( P)

( Q)

( P ) : 2 x − 3 y + z − 4 = 0 ; ( Q ) : 5x − 3 y − 2 z − 7 = 0
Câu 9: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng
( P ) & ( Q ) là
Vị trí tương đối của
A. Cắt nhưng không vuông góc.
B. Vuông góc.
C. Trùng nhau.
D. Song song.
Hướng dẫn giải
Chọn
A
r
r
r
r

n( P ) = ( 2; −3;1) ; n( Q ) = ( 5; −3; −2 ) ⇒ n( P ) ≠ k .n ( Q ) ( k ≠ 0 )
.
r r
n( P ) .n( Q ) ≠ 0 . Vậy vị trí tương đối của ( P ) & ( Q ) là cắt nhưng không vuông góc.
( P ) : x − 3 y + 2 z − 3 = 0 . Xét mặt
Câu 10: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng
( Q ) : 2 x − 6 y + mz − m = 0 , m là tham số thực. Tìm m để ( P ) song song với ( Q ) .
phẳng
A. m = 2 .
B. m = 4 .
C. m = −6 .
D. m = −10 .
Hướng dẫn giải
Chọn B
r
r
n
(
P
)
(
Q
)
( P ) = (1; −3; 2) n ( Q ) = (2; 6; m)
VTPT của
và
lần lượt là:
,
.
r

r
n = k n( Q )
⇔m=4
( P ) // ( Q ) ⇔  ( P)
3
≠
km


Để
.
( P ) : 2 x + 4 y + 3z − 5 = 0 và
Câu 11: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng
( Q ) : mx − ny − 6 z + 2 = 0 . Giá trị của m , n sao cho ( P ) song song với ( Q ) là:
A. m = 4 ; n = −8
B. m = n = 4
C. m = −4 ; n = 8
D. m = n = −4
Hướng dẫn giải
Chọn C
Trang 3/55 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 3


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

( P)

( Q)

Hình học tọa độ Oxyz

m − n −6
2
=
=
≠
4
3
−5 .
khi và chỉ khi: 2

song song với
m
 2 = −2

 m = −4
 − n = −2 ⇔ 
n = 8 .
Do đó:  4

DẠNG 2: XÉT VTTĐ GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG
Câu 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng

 x = 3 + 4t

d 2 :  y = 5 + 6t ( t ∈ ¡

 z = 7 + 8t


d1 :

x −1 y + 2 z − 3
=
=
2
3
4 và

)

. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
d ≡ d2
A. và chéo nhau.
B. 1
.
d ⊥ d2
d / /d2
C. 1
.
D. 1
.
Hướng dẫn giải
Chọn D

d1

d1

qua

d2

M 1 ( 1; −2;3)

→

có VTCP là

u1 ( 2;3; 4 )

.

→

M ( 3;5;7 )
u ( 4;6;8 )
qua 2
có VTCP là 2
.
→ →
→


u1; u2  = 0
⇔ d1 / / d 2
 → →

→


 u ;M M ≠ 0
  1 1 2 
Ta có:  
.

d2

x −1 y − 3 z − 7
x − 6 y + 2 z +1
=
=
d′ :
=
=
.
2
4
1 và
3
1
−2 Xác định vị trí tương
Câu 13: Cho 2 đường thẳng
đối của hai đường thẳng d và d ′ .
A. d vuông góc với d ′ .
B. d song song với d ′ .
C. d và d ′ chéo nhau.
D. d và d ′ cắt nhau.

Hướng dẫn giải
Chọn D
uur
d qua A ( 1;3; 7 ) có VTCP ad = ( 2; 4;1) .
uur
d ′ qua B ( 6; − 2; − 1) có VTCP ad ′ = ( 3;1; −2 ) .
uu
r
uur
a
a
Dễ dàng nhận thấy d và d ′ không cùng phương với nhau.
uuu
r uu
r uur
AB.  ad ; ad ′  = 0
Lại có
.
uu
r uur
a
′
Nên d và d cùng nằm trên một mặt phẳng, Mà d .ad ′ = 8 ≠ 0 .
Do đó d và d ′ cắt nhau.
d:

Trang 4/55 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />

Trang 4


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng có phương trình
x −1 y − 3 z −1
d′ :
=
=
1
−2
1 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
và
A. d và d ′ chéo nhau.
B. d trùng d ′ .
C. d song song d ′
D. d cắt d ′ .
Lời giải
Chọn A
r
M ( 1; 2; 0 )
u1 = ( −1; 2;3)
d1
Đường thẳng
qua
và có một véctơ chỉ phương
.

r
N ( 1;3;1)
u2 = ( 1; −2;1)
d
Đường thẳng 2 qua
và
có một véctơ chỉ phương
.
u
u
u
u
r
u
u
u
u
r
r
r r
r r
u , u = ( 8; 4;0 ) ≠ 0 MN = ( 0;1;1) ⇒ [ u1 , u2 ] .MN = 4 ≠ 0
Ta có: [ 1 2 ]
,
′
Nên suy ra d và d chéo nhau.

Câu 15: Cho hai đường thẳng
đúng?

 x = 1 + 2t

d1 :  y = 2 + 3t
 z = 3 + 4t


d1 cắt d 2 .
d
d
C. 1 và 2 chéo nhau.

và

 x = 3 + 4t ′

d 2 :  y = 5 + 6t ′
 z = 7 + 8t ′


A.

B.

d:

x −1 y − 2 z
=
=
−1
2

3

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào

d1 Pd 2 .
d

D. 1 trùng
Hướng dẫn giải

d2

.

Chọn D

r
d
u
= (2; 3; 4) .
A
(1;
2;
3)
1
Ta có
đi qua điểm
và có VTCP là 1
r
d 2 đi qua điểm B (3; 5; 7) và có VTCP là u2 = (4; 6; 8) .

r
r
n2 = 2n1

A ∈ d2
d ≡ d2 .
Vì 
nên 1

x = 1+ t

d : y = 2 + t
z = 3 − t


Câu 16: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng
sau đây đúng?
A. Hai đường thẳng d và d ′ chéo nhau.
B. Hai đường thẳng d và d ′ song song với nhau.
C. Hai đường thẳng d và d ′ cắt nhau.
D. Hai đường thẳng d và d ′ trùng nhau.
Lời giải
Chọn B
ur

và

 x = 1 + 2t ′

d ′ :  y = −1 + 2t ′

 z = 2 − 2t ′


. Mệnh đề nào

u = ( 1;1; −1) .
Đường thẳng d có VTCP u1u
r
u
= 2;2; −2 ) .
Đường thẳng d ′ có VTCP 2 (

uu
r
uu
r
u
=
2.
u
1 nên đường thẳng d và d ′ song song hoặc trùng nhau.
Ta có 2

Trang 5/55 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 5

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

M ( 1; 2;3)

thuộc đường thẳng d , thay tọa độ điểm M vào phương trình đường
1 = 1 + 2t ′

d ′ : 2 = −1 + 2t ′
3 = 2 − 2t ′

thẳng d ′ , ta có
vô nghiệm, vậy M không thuộc đường thẳng d ′ nên 2 đường
thẳng song song nhau.
x = t
x = 0


d1 :  y = −t
d2 :  y = 2
z = 1
z = t′


Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Cho hai đường thẳng
và
.
Khẳng định nào sau đây đúng?
Chọn điểm

A.
C.

d1 ≡ d 2 .

d1 và d 2 chéo nhau.
d
d
D. 1 và 2 cắt nhau.
B.

d1 ⁄⁄ d 2 .

Hướng dẫn giải
Chọn B
r
r
r
r
u1 = ( 1; −1;0 )
u2 = ( 0;0;1) ⇒ u1
u
Ta có
và
và 2 không cùng phương.

⇒ d1 và d 2 chéo nhau hoặc cắt nhau (1).
Xét hệ phương trình.
t = 0


−t = 2 ⇒
1 = t ′


vô nghiệm. Vậy

d1 và d 2 chéo nhau.
x = 1− t

d1 :  y = 1 + t ( t ∈ ¡
 z = 1 + 3t


)

Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng
,
 x = −1 + 3t ′

d 2 :  y = −2 + 2t ′ ( t ′ ∈ ¡ )
 z = −1 − t ′

. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
d1 ≡ d 2
d
d
A.
.
B. 1 cắt 2 .

d // d 2
d
d
C. 1
.
D. 1 và 2 chéo nhau.
Hướng dẫn giải
Chọn B
1 − t = −1 + 3t ′
t = −1

1 + t = −2 + 2t ′ ⇔ 
t ′ = 1
1 + 3t = −1 − t ′
d
d
Xét hệ phương trình 
. Vậy 1 cắt 2 .
x −1 y − 7 z
d1 :
=
=
2
1
4 và
Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng
x +1 y − 2 z − 2
d2 :
=
=

1
2
−1 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

d1 và d 2 trùng nhau.
d
d
C. 1 và 2 chéo nhau.
A.

d1 và d 2 song song với nhau.
d
d
D. 1 và 2 vuông góc với nhau và cắt
B.

nhau.
Trang 6/55 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 6


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

Hướng dẫn giải
Chọn C

x −1 y − 7 z
ur
=
=
u1 = ( 2;1; 4 )
2
1
4
Đường thẳng
có VTCP
.
x +1 y − 2 z − 2
uu
r
d2 :
=
=
u
1
2
−1 có VTCP 2 = ( 1; 2; −1) .
Đường thẳng
ur
uur
u
u
Ta thấy 1 và 2 không cùng phương nên đáp án B, C sai.
 x = 1 + 2t
 x = −1 + s



d1 :  y = 7 + t d 2 :  y = 2 + 2s
 z = 4t
z = 2 − s


Phương trình tham số của
,
.
 1
t = 3
1
+
2
t
=
−
1
+
s
2
t
−
s
=
−
2






 8
7 + t = 2 + 2s ⇔ t − 2s = −5 ⇔ s =
3
4t = 2 − s
 4t = 2 − s



8
 1
4. 3 ≠ 2 − 3
d
d

Xét hệ
hệ vô nghiệm. Suy ra 1 và 2 chéo
nhau.
 x = 6 + 3t
( d ) :  y = 8 + 4t
 z = 11 + 6t

Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
 x = 7 + 4t ′
( d ′) :  y = 10 + 6t ′
 z = 6 + t′

và

.
A. Chéo nhau.
B. Cắt nhau.
C. Trùng nhau.
D. Song song.
Hướng dẫn giải
Chọn B
uu
r
ud = ( 3; 4; 6 )
d)
M ( 6; 8; 11)
(
Ta có đường thẳng
đi qua
và có vectơ chỉ phương
.
uur
u = ( 4; 6; 1)
d′
N 7; 10; 6 )
Đường thẳng ( ) đi qua (
và có vectơ chỉ phương d ′
.
uu
r uur
r
uuuu
r
u , u ′  = ( −32; 21; 2 ) ≠ 0

MN = ( 1; 2; − 5)
Khi đó  d d 
và
.
uu
r uur uuuu
r
u , u ′  .MN = −32 + 42 − 10 = 0
d
d′
Do đó  d d 
. Vậy ( ) và ( ) cắt nhau.
d1 :

M ( 2; −1; −6 )
Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm
và hai đường thẳng
x −1 y −1 z + 1
x + 2 y +1 z − 2
d1 :
=
=
d2 :
=
=
2
−1
1 ,
3
1

2 . Đường thẳng đi qua điểm M và cắt cả hai
d d
đường thẳng 1 , 2 tại hai điểm A , B . Độ dài đoạn thẳng AB bằng
A. 12 .
B. 38 .
C. 2 10 .
D. 8 .
Lời giải
Chọn B
x −1 y −1 z + 1
d1 :
=
=
2
−1
1 nên A ( 1 + 2t;1 − t; −1 + t ) .
Vì A thuộc
Trang 7/55 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 7


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

x + 2 y +1 z − 2
=

=
3
1
2 nên B ( −2 + 3t ′; −1 + t ′; 2 + 2t ′ ) .
Vì B thuộc
uuur
uuur
MA = ( 2t − 1; 2 − t;5 + t ) MB = ( −4 + 3t ′; t ′;8 + 2t ′ )
Suy ra
,
.
A
B
M
Ta có, , ,
thẳng hàng khi và chỉ khi
 2t − 1
2−t
=0

′
′
−
4
+
3
t
t

 2 − t

5+t
⇔
=0
8 + 2t ′
(1)
5tt ′ − 4t − 7t ′ + 8 = 0
 t′

5+t
⇔  −3tt ′ − 8t − t ′ + 16 = 0
(2)
2t − 1
uuur uuur
r

=0

 MA; MB  = 0
− 4 + 3t ′
 8 + 2t ′
 −tt ′ + 20t + 17t ′ − 14 = 0 (3)


d2 :

Từ (1) và (2):
t 2 − 3t + 2 = 0
5tt ′ − 4t − 7t ′ + 8 = 0
t = 1, t ′ = 2
⇔

⇔


t ′ = −2t + 4
t ′ = −2t + 4
t = 2, t ′ = 0 .
Thay vào (3) ta được t = 1 , t ′ = 2 thỏa mãn.

A ( 3;0;0 ) B ( 4;1;6 )
Với t = 1 , t ′ = 2 ta được
,
suy ra AB = 38 .
x −1 y − 3 z − 7
x − 6 y + 2 z +1
d:
=
=
d′ :
=
=
.
2
4
1 và
3
1
−2 Xác định vị trí tương
Câu 22: Cho 2 đường thẳng
đối của hai đường thẳng d và d ′ .
A. d và d ′ cắt nhau.

B. d song song với d ′ .
C. d và d ′ chéo nhau.
D. d vuông góc với d ′ .
Hướng dẫn giải
Chọn A
uur
d qua A ( 1;3;7 ) có VTCP ad = ( 2; 4;1) .
uur
d ′ qua B ( 6; − 2; − 1) có VTCP ad ′ = ( 3;1; −2 ) .
uu
r
uur
a
a
Dễ dàng nhận thấy d và d ′ không cùng phương với nhau.
uuu
r uu
r uur
AB.  ad ; ad ′  = 0
Lại có
.
uu
r uur
a
Nên d và d ′ cùng nằm trên một mặt phẳng, Mà d .ad ′ = 8 ≠ 0 .
Do đó d và d ′ cắt nhau.
x −1 y − 3 z − 7
x − 6 y + 2 z +1
d:
=

=
d′:
=
=
2
4
1 và
3
1
−2 . Xác định vị trí tương
Câu 23: Cho 2 đường thẳng
đối của hai đường thẳng d và d ′ .
A. d song song với d ′ .
B. d vuông góc với d ′ .
C. d và d ′ cắt nhau.
D. d và d ′ chéo nhau.
Hướng dẫn giải
Chọn C
uu
r
VTCP
a
A
1;3;7
(
)
d = ( 2; 4;1)
d qua
có
.

uur
d ′ qua B ( 6; − 2; − 1) có VTCP ad ′ = ( 3;1; −2 ) .
uu
r
uur
a
a
d
Dễ dàng nhận thấy
và d ′ không cùng phương với nhau.
Trang 8/55 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 8


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lại có

uuu
r uur uur
AB.  ad ; ad ′  = 0

Hình học tọa độ Oxyz

.

uu
r uur

a
′
d
d
d
Nên và
cùng nằm trên một mặt phẳng, Mà .ad ′ = 8 ≠ 0 .
Do đó d và d ′ cắt nhau.
 x = 1 + 2t
 x = 3 + 4t


d1 :  y = 2 + 3t ; d 2 :  y = 5 + 6t .
 z = 3 + 4t
 z = 7 + 8t


Câu 24: Cho 2 đường thẳng
Nhận xét nào sau đây đúng?
d ≡ d2 .
d // d 2 .
A. 1
B. 1

C.

d1 , d 2 chéo nhau.

d ⊥ d2 .

D. 1
Hướng dẫn giải

Chọn A
uur 1 uur
ud1 = ud2 ⇒ d1 // d 2
A ( 3;5;7 ) ∈ d 2
A ( 3;5;7 ) ∈ d1
2
Ta có
. Lại có
. Mặt khác với t = 1 thì
. Vậy

d1 ≡ d 2 .

Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng
x + 2 y −1 z +1
d2 :
=
=
−4
−2
4 . Xét các khẳng định sau:

d1 :

x −1 y + 3 z − 4
=
=

2
1
−2 và

d1 và d 2 chéo nhau.
d
d
2- Đường thẳng 1 và 2 vuông góc với nhau.
1- Đường thẳng

386
3- Khoảng cách giữa 2 đường thẳng nay bằng 3 .
Hỏi có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định trên?
A. 3.
B. 1.
C. 0.
D. 2.
Hướng dẫn giải
Chọn B
ur
uu
r
u1 = ( 2;1; −2 ) , u2 = ( −4; −2; 4 )
d
,
d
1
2
Đường thẳng
có vectơ chỉ phương lần lượt là:

. Chọn
M ( 1; −3; 4 ) ∈ d1 ; N ( −2;1; −1) ∈ d 2
. Ta có:
uu
r
ur
u2 = −2u1
⇒ d1 / / d 2

 M ∉ d2
. Suy ra khẳng định 1, 2 sai.
uuuu
r ur
MN ∧ u1
386
d ( d1 , d 2 ) =
=
ur
3
u1
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng này là:
suy ra 3 đúng.
Vậy trong các khẳng định trên có 1 khẳng định đúng.
d
d'
Câu 26: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng ( ) và ( ) có phương trình lần lượt là
 x = 4t
( d ') :  y = 1 + 6t ; t ∈ ¡
x − 2 y + 4 1− z
=

=
 z = −1 + 4t
( d) :
d

2
3
−2 và
. Vị trí tương đối của hai đường thẳng ( ) và

( d ') là:
d
d'
A. ( ) và ( )

trùng nhau.

B.

( d)

và

( d ')

chéo nhau.

Trang 9/55 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:

Facebook: />
Trang 9


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
C.

( d)

và

( d ')

song song với nhau.

Hình học tọa độ Oxyz

D. (
Hướng dẫn giải

Chọn C

d)

và

( d ')

cắt nhau.

r

d
Đường thẳng ( ) có véc tơ chỉ phương là u = (2;3;2)
M (2; −4;1) .

và đường thẳng

( d ) đi qua điểm

r

d'
Đường thẳng ( ) có véc tơ chỉ phương là u ' = (4;6;4)
M '(0;1; −1) .

và đường thẳng

( d ') đi qua điểm

r
r
u
=
(2;3;2)
u
Ta có hai véc tơ
và ' = (4;6;4) cùng phương và M (2; −4;1) không nằm trên đường
( d ') .
d

d'
Nên ( ) và ( ) song song với nhau.
x +1 y −1 z
=
=
( d) :
Oxyz
1
1
2 và
Câu 27: Trong không gian
, cho hai đường thẳng
x −1 x + 2 z −1
=
=
( d ′) :
1
1
2 . Khi đó vị trí tương đối của d và d ’ là.
A. Cắt nhau.
B. Trùng nhau.
C. Song song.
D. Chéo nhau.
Hướng dẫn giải
Chọn C
uu
r
uur
u
=

1;1;
2
u
= ( 1;1; 2 )
(
)
d
Ta có vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng d và d ’ lần lượt là
; d'
.
−1 − 1 1 + 2 0 − 1
uu
r uur
=
=
u
=
u
M
(
−
1;1;0)
∈
d
d ' . Lại có điểm
1
2
Vậy d
. Thay tọa độ M vào d ’ ta có 1
(loại). Vậy M (−1;1;0) ∉ d ' Do đó 2 đường thẳng song song.

x −1 y − 2 z − 3
d1 :
=
=
2
3
4 và
Câu 28: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng
x = 1+ t

d 2 :  y = 2 + 2t
 z = 3 − 2t

. Kết luận gì về vị trí tương đối hai đường thẳng nêu trên?
A. Vuông góc nhưng không cắt nhau.
B. Cắt nhau nhưng không vuông góc.
C. Vừa cắt nhau vừa vuông góc.
D. Không vuông góc và không cắt nhau.
Hướng dẫn giải
Chọn C
M 1; 2; 3 , N 0; 0; 5
d1
d
Chọn r
và 2 .
r là hai điểm lần rlượtr thuộc đường thẳng
u d = ( 2;3; 4 )
u d = ( 1; 2; −2 )
d ⊥ d2 .
Ta có 1

và 2
nên u d1 .u d2 = 0 nên 1
r r uuuu
r
u d1 ; u d1  MN = 0
d
d

Mặt khác, ta có 
nên 1 cắt 2 .
Vậy hai đường thẳng vừa vuông góc, vừa cắt nhau.
x −1 y − 3 z + 5
d:
=
=
m
1
m ( m ≠ 0 ) cắt
Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng

(

)

(

)

x = 5 + t


∆ :  y = 3 + 2t
z = 3 − t


đường thẳng
. Giá trị m là
A. Một số nguyên dương.

B. Một số hữu tỉ dương.

Trang 10/55 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 10


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
C. Một số nguyên âm.

Hình học tọa độ Oxyz

D. Một số hữu tỉ âm.
Hướng dẫn giải

Chọn B
1 + mt ′ = t + 5
t ′ = 2t
( 2m − 1) t = 4




⇒ 2mt + 1 = t + 5 ⇔ 
3 + t ′ = 2t + 3

 −5 + mt ′ = −t + 3
2mt − 5 = −t + 3
( 2m + 1) t = 8


Ta có hệ giao điểm như sau:
Hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện là:
4
8 
1
=
m ≠ ± ÷
2m − 1 2m + 1 
2
3
⇔m=
2
x −1 y − 2 z − 3
d1 :
=
=
2
3
4 và
Câu 30: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng

x = 1+ t

d 2 :  y = 2 + 2t
 z = 3 − 2t

. Kết luận gì về vị trí tương đối hai đường thẳng nêu trên?
A. Cắt nhau nhưng không vuông góc.
B. Không vuông góc và không cắt nhau.
C. Vừa cắt nhau vừa vuông góc.
D. Vuông góc nhưng không cắt nhau.
Hướng dẫn giải
Chọn C
M ( 1; 2;3 ) , N ( 0;0;5 )
d
d
Chọn
là hai điểm lần lượt thuộc đường thẳng 1 và 2 .
r
r
r r
u d1 = ( 2;3; 4 )
u d2 = ( 1; 2; −2 )
d ⊥ d2
u
Ta có
và
nên d1 .u d2 = 0 nên 1
r r uuur
u d1 ; u d1  MN = 0
d

d

Mặt khác, ta có 
nên 1 cắt 2 .
Vậy hai đường thẳng vừa vuông góc, vừa cắt nhau.
x y −1 z −1
d1 : =
=
1
−1
2
Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng
và
x −1 y z − 3
d2 :
= =
−2
2
−4 . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

d1 và d 2 song song.
d
d
C. 1 và 2 cắt nhau.

d1 và d 2 chéo nhau.
d
d
D. 1 và 2 trùng nhau.

A.

B.

Hướng dẫn giải
Chọn D

ur

uu
r

u = ( 1; −1; 2 ) , u2 = ( −2; 2; −4 )
d ,d
Đường thẳng 1 2 có vectơ chỉ phương lần lượt là 1
.

1 −1 2
=
=
d ,d
Ta có −2 2 −4 nên 1 2 song song hoặc trùng nhau.
M ( 0;1;1) ∈ d1
M 0;1;1) ∈ d 2
d
Đáp án
lúc này M thỏa phương trình của 2 , suy ra (
. Vậy

d1 ≡ d 2 .

Câu 32: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

d1

x − 3 y + 3 z −1
=
=
1
1 và d 2 :
: −2

 x = 5 + 2t

 y = 1− t
z = 5 − t


. bằng

Trang 11/55 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 11


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A. d1 và d 2 chéo nhau.
C. d1 cắt d 2 .

Hình học tọa độ Oxyz
B.

d1 ≡ d 2

.

d // d 2
D. 1
.
Hướng dẫn giải

Chọn Dr
r
r
r
u d1 = ( −2; 1; 1) u d2 = ( 2; − 1; − 1)
u
d1 = −u d 2
Ta có:
;
. Ta thấy
M ( 5; 1; 5 ) ∈ d 2
M ( 5; 1; 5 ) ∉ d1
Mặt khác
và
.
d1 // d2
Nên

.
m
Câu 33: Tìm
để hai đường thẳng sau cắt nhau:
x
 = 1 + mt
 x = 1 − t'


d : y =t
d ':  y = 2 + 2t '
 z = −1 + 2t
 z = 3 − t'


và
.
A. m = 0 .
B. m = −1 .
C. m = 2 .
D. m = 1 .
Hướng dẫn giải
Chọn A
1 + mt = 1 − t '
 1 + mt = 1 − t '

1 + mt = 1 − t '
m = 0





t = 2 + 2t '
⇔
t =2
⇔ t =2 ⇒m=0
 t = 2 + 2t ' ⇔ 
 −1 + 2t = 3 − t '
−1 + 2(2 + 2t ') = 3 − t '

t ' = 0
t'= 0



Ta có 
.
′
x = 3 + t
x = t


d 2 :  y = −2 − t ′
d1 :  y = 1 − t
z = 2
 z = 5 − 2t


Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho
và

. Xác định vị trí
tương đối của hai đường thẳng này.
A. Song song.
B. Cắt nhau.
C. Chéo nhau.
D. Trùng nhau.
Hướng dẫn giải
Chọn C
ur
uu
r
ur ur
d1 có u1 ( 1; − 1; − 2 ) , d 2 có u2 ( 1; − 1; 0 ) ⇒ u1 ≠ u1 suy ra loại đáp án A và.D.
t = 3 + t '

1 − t = −2 − t '

5 − 2t = 2
Xét hệ phương trình 

Vậy

( 1)
( 2)
t − t ′ = 3
1, 2 ) ⇒ 
(
( 3) . Từ
 −t + t ′ = −3 hệ vô nghiệm.

d1 và d 2 chéo nhau.
∆1 :

x − 2 y −1 z −1
x +1 y +1 z
=
=
∆2 :
=
=
1
3
−1 và
3
2
1.

Câu 35: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng
Khẳng định nào sau đây đúng?
∆
∆
∆
∆
A. 1 và 2 song song.
B. 1 và 2 cắt nhau.
∆
∆
∆
∆
C. 1 và 2 trùng nhau.

D. 1 và 2 chéo nhau.
Hướng dẫn giải
Chọn B
ur
u1 = ( 1;3; −1)
A ( 2;1;1)
∆1
Đường thẳng
có vectơ chỉ phương uu
và đi qua điểm
.
r
u = ( 3; 2;1)
B ( −1; −1;0 )
∆
Đường thẳng 2 có vectơ chỉ phương 2
và đi qua điểm
.
ur uu
r
uuu
r
r
⇒ u1 , u2  = ( 5; −4; −7 ) ≠ 0 AB = ( −3; −2; −1)
;
.
Trang 12/55 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />

Trang 12


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

ur uu
r uuur
⇒ u1 , u2  . AB = 0
Vậy

∆1

và

∆2

Hình học tọa độ Oxyz

.

cắt nhau.

Câu 36: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng

d1 :

x −1 y + 3 z + 3
=
=
1

−2
−3 và

 x = 3t

d 2 :  y = −1 + 2t , ( t ∈ ¡ )
z = 0

. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

d1 cắt và không vuông góc với d 2 .
d
d
C. 1 cắt và vuông góc với 2 .

d1 chéo d 2 .
d
d
D. 1 song song 2 .

A.

B.

Hướng dẫn giải
Chọn A

Xét hệ phương trình

t ′ + 1 = 3t


−2t ′ − 3 = −1 + 2t
 ′
−3t − 3 = 0

( 1)
( 2)
( 3) .

t ′ = −1
( 1) ( 2 ) ta được: t = 0 . Thay vào ( 3) đúng. Vậy d1 cắt d 2 .
Từ ur và
u1 = ( 1; −2; −3)
d
Có
là vectơ chỉ phương của đường thẳng 1 .
uu
r
u2 = ( 3; 2;0 )
d
là vectơ chỉ phương của đường thẳng 2 .
ur uu
r
d
⇒ u1 ×u2 = 3 − 4 + 0 = −1 ⇒ d1
không vuông góc với 2 .
Câu 37: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng.
 x = −3 + 2t

( ∆1 ) :  y = 1 − t

x+4 y+2 z−4
∆2 ) :
=
=
 z = −1 + 4t
(

3
2
−1 .
và
Khẳng định nào sau đây đúng?
(∆ ) (∆ )
( ∆ ) ( ∆ 2 ) chéo nhau và vuông góc
A. 1 và 2 song song với nhau.
B. 1 và
nhau.
(∆ )
(∆ )
(∆ )
(∆ )
C. 1 cắt và không vuông góc với 2 .
D. 1 cắt và vuông góc với 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn D
 x = −4 + 3t ′
( ∆ 2 ) :  y = −2 + 2t ′
z = 4 − t′

Phương trình tham số của

. ur
uu
r
∆1 )
∆2 )
u1 = ( 2; −1; 4 )
u2 = ( 3; 2; −1)
(
(
Vectơ
và
lần lượt là
và
.
ur chỉ
uu
r phương của
u .u = 2.3 + ( −1) .2 + 4. ( −1) = 0
( ∆ ) ⊥ ( ∆2 ) .
Do 1 2
nên 1

Trang 13/55 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 13


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

−3 + 2t = −4 + 3t ′
2t − 3t ′ = −1
t = 1


1 − t = −2 + 2t ′ ⇔ t + 2t ′ = 3 ⇔ 
t ′ = 1
−1 + 4t = 4 − t ′
4t + t ′ = 5



Xét hệ phương trình
(∆ )
(∆ )
Vậy 1 cắt và vuông góc với 2 .

.
 x = −3 + 2t

∆1 :  y = 1 − t
 z = −1 + 4t


Câu 38: Trong không gian với hệ tọa trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng
x+4 y+2 z−4
∆2 :

=
=
3
2
−1 . Khẳng định nào sau đây đúng?

∆1 cắt và vuông góc với ∆ 2 .
∆
∆
C. 1 cắt và không vuông góc với 2 .

và

∆1 và ∆ 2 song song với nhau.
∆
∆
D. 1 và 2 chéo nhau và vuông góc

A.

B.

nhau.
Hướng dẫn giải
Chọn A

Phương trình tham số của

 x = −4 + 3t ′


∆ 2 :  y = −2 + 2t ′
 z = 4 − t′


.ur
u1 = ( 2; −1; 4 )

∆1 và ∆ 2 lần lượt là
Vectơ
ur chỉ
uu
r phương của
u .u = 2.3 + ( −1) .2 + 4. ( −1) = 0
∆ ⊥ ∆2 .
Do 1 2
nên 1

Xét hệ phương trình

∆

và

uu
r
u2 = ( 3; 2; −1)

−3 + 2t = −4 + 3t ′
2t − 3t ′ = −1
t = 1



1 − t = −2 + 2t ′ ⇔ t + 2t ′ = 3 ⇔ 
t ′ = 1
−1 + 4t = 4 − t ′
4t + t ′ = 5



∆

.

.

Vậy 1 cắt và vuông góc với 2 .
Câu 39: Tìm m để hai đường thẳng sau cắt nhau:
 x = 1 + mt
 x = 1 − t'


d : y =t
d ':  y = 2 + 2t '
 z = −1 + 2t
 z = 3 − t'


và
.
m

=
−
1
m
=
2
A.
.
B.
.
C. m = 1 .
D. m = 0 .
Hướng dẫn giải
Chọn D
1 + mt = 1 − t '
 1 + mt = 1 − t '

1 + mt = 1 − t '
m = 0




t = 2 + 2t '
⇔
t=2
⇔t =2 ⇒m=0
 t = 2 + 2t ' ⇔ 
−1 + 2t = 3 − t '
−1 + 2(2 + 2t ') = 3 − t '


t ' = 0
t'= 0



Ta có 
.
x −1 y − 2 z − 3
d1 :
=
=
1
−2
1 và
Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
 x = 1 + kt

d2 :  y = t
.
 z = −1 + 2t
d
d .

Tìm giá trị của k để 1 cắt 2 .
Trang 14/55 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 14

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A. k = 0 .

B. k = −1 .

Hình học tọa độ Oxyz
k =−

C.
Hướng dẫn giải

Chọn A
 M ∈ d1 ⇒ M ( 1 + m; 2 − 2m;3 + m )

M
=
d
∩
d
⇒
 M ∈ d 2 ( *)
1
2
Giả sử
 m = 0 ( 1)
→ k = 0
( 2 ) , ( 3) ⇒ 
t = 2

.

1
2.

D. k = 1 .

1 + m = 1 + kt ( 1)

( *)

→  2 − 2m = t ( 2 )

3 + m = −1 + 2t ( 3 ) .

( d) :

x −1 y +1 z − 5
=
=
2
3
1

Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng
và
x −1 y + 2 z + 1
=
=
( d ') :

3
2
2 . Vị trí tương đối của hai đường thẳng ( d ) và ( d ' ) là:
A. Trùng nhau.
B. Song song với nhau.
C. Chéo nhau.
D. Cắt nhau.
Hướng dẫn giải
Chọn C
r
r
u = ( 2;3;1) , ( d ' )
v = ( 3; 2; 2 )
d
Đường
có vectơ chỉ phương
.
r r thẳng có vectơ chỉ phương
Vì u , v không cùng phương nên d cắt d ' hoặc d chéo d ' .
 x −1 y +1 z − 5
 2 = 3 = 1

 x −1 = y + 2 = z +1
2
2 .
Xét hệ  3
Vì hệ vô nghiệm nên d chéo d ' .
x = 1+ t
 x = 1 + 2t ′



d : y = 2 + t
d ′ :  y = −1 + 2t ′
z = 3 − t
 z = 2 − 2t ′


Câu 42: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng
và
. Mệnh đề nào
sau đây đúng?
A. Hai đường thẳng d và d ′ trùng nhau.
B. Hai đường thẳng d và d ′ chéo nhau.
C. Hai đường thẳng d và d ′ song song với nhau. D. Hai đường thẳng d và d ′ cắt nhau.
Hướng dẫn giải
Chọn C
ur
Câu

41:

u = ( 1;1; −1) .
Đường thẳng d có VTCP u1u
r
u
= 2; 2; −2 ) .
Đường thẳng d ′ có VTCP 2 (

uu
r

uu
r
u
=
2.
u
2
1 nên đường thẳng d và d ′ song song hoặc trùng nhau.
Ta có
M ( 1; 2;3)

thuộc đường thẳng d , thay tọa độ điểm M vào phương trình đường
1 = 1 + 2t ′

d ′ : 2 = −1 + 2t ′
3 = 2 − 2t ′

thẳng d ′ , ta có
vô nghiệm, vậy M không thuộc đường thẳng d ′ nên 2 đường
thẳng song song nhau.
Chọn điểm

Trang 15/55 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 15


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

 x = 2 + at

d :  y = 1 − bt
z = 2 − t


 x = 2 + 3t ′

d ′ :  y = 3 − t′
 z = t′


Câu 43: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng
và
. Giá trị của a và
b sao cho d và d ′ song song với nhau là
a = −2 ;
A. a = 3 ; b = 2
B. a = −3 ; b = −1
C. a = 3 ; b = 1
D.
b = −1
Hướng dẫn giải
Chọn B
ur
u1 = ( a; − b; − 1)
d

Đường
, Đường thẳng d ′ có véctơ chỉ phương
uu
r thẳng có véctơ chỉ phương là
u = ( 3; − 1;1)
là 2
.
a = 3k

⇔  −b = − k
a = −3
ur
uu
r
⇒

 −1 = k
b = −1
Ta có d và d ′ song song với nhau khi u1 cùng phương với u2
 x = 1 + mt
x = 1− t′


d :y = t
d ′ :  y = 2 + 2t ′
 z = −1 + 2t
z = 3 − t′


Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng

và
.
Hai đường thẳng cắt nhau khi.
A. m = 5 .
B. m = 0 .
C. m = 1 .
D. m = −1 .
Hướng dẫn giải
Chọn
B
uu
r
uur
ud = ( m;1; 2 ) , ud ′ = ( −1; 2; −1) , A ( 1;0; −1) ∈ d , B ( 1;2;3) ∈ d ′
.
uu
r uur
uu
r uur uuu
r
uuur
ud ; ud ′  = ( −5; −2 + m; 2 m+ 1) AB = ( 0; 2; 4 )
ud ; ud ′  . AB = 10m



,
. Ta có 
.
′

d , d cùng nằm trong mặt phẳng nên m = 0 .
ìï x =- 1 + 2t
ïï
d
:
2 í y =1+ t
x y - 1 z +2
ïï
d1 : =
=
ïïî z = 3
Oxyz
2
- 1
1 và
Câu 45: Trong không gian
, cho hai đường thẳng
. Mệnh
đề nào dưới đây đúng?

d1 , d 2 cắt nhau.
d ,d
C. 1 2 song song.

d1 , d 2 vuông góc.
d ,d
D. 1 2 chéo nhau.

A.

B.

Hướng dẫn giải
Chọn D

ur

uu
r

ur

uu
r

a = ( 2; - 1;1) d 2
a = ( 2;1;0) Þ a1 ¹ k a2
d
d ,d
Ta có 1 : có VTCP 1
; : có VTCP 2
suy ra 1 2 cắt
ìï 0 =- 1 + 2t
ïï
d2 : í 1 =1+ t
ïï
ïïî - 2 = 3
M ( 0;1; - 2) Î d1
nhau hoặc chéo nhau. Lấy
thế vào

hệ vô nghiệm.

Vậy

d1 , d 2 chéo nhau.

x −1 y −1 z − 2
=
=
1
2
−3 và mặt phẳng ( α ) : x + y + z − 4 = 0. Trong các khẳng
Câu 46: Cho đường thẳng
định sau, khẳng định nào đúng?
d:

Trang 16/55 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 16


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A.

d ⊂ (α)

.

B.

d ⊥ (α)

.

Hình học tọa độ Oxyz

d // ( α )
C.
.
Hướng dẫn giải

(α) .
D. d cắt

Chọn A

x = t +1
x −1 y −1 z − 2

d:
=
=
⇒ d :  y = 2t + 1
1
2
−3
 z = −3t + 1


Ta có
.
x = t +1
 y = 2t + 1


 z = −3t + 1
( α ) bằng số nghiệm của hệ  x + y + z − 4 = 0 .
Số giao điểm của d và
d ⊂ (α ) .
Thay vào thấy đúng với mọi t . Vậy
.
d:

x y −1 z + 2
=
=
2
−1
1 và

Câu 47: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng thẳng
 x = −1 + 2t

d ′ :  y = 1+ t
z = 3

. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
A. d và d ′ chéo nhau.
B. d song song với d ′ .

A ( 0;1; −2 )
C. d trùng với d ′ .
D. d cắt d ′ tại điểm
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Làm bằng phương pháp tự luận :
r
M
0;1;
−
2
u
= ( 2; − 1;1)
(
)
Đường thẳng d đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương r
.
N ( −1;1;3)
v = ( 2;1;0 )
Đường thẳng d ′ đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
.
r r
r
r
u
u
u

u
r
uuuu
r
⇒ u, v  = ( −1; 2; 4 ) MN = ( −1;0;5) ⇒ u , v  .MN = 21 ≠ 0 ⇒ d
,
và d ′ chéo nhau.
Làm bằng
r phương pháp rtrắc nghiệm :
u = ( 2; − 1;1)
v = ( 2;1;0 )
Ta có :
và
không cùng phương ⇒ Đáp án B, C loại.
A ( 0;1; −2 )
Điểm
không thuộc đường thẳng d ′ ⇒ Đáp án D loại.
 x = 1 + at
 x = 1 − t′


d1 :  y = t
d 2 :  y = 2 + 2t ′
 z = −1 + 2t
 z = 3 − t′


Câu 48: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng
;
; (t; t ′ ∈ ¡ ) . Tìm

a để hai đường thẳng d1 và d 2 cắt nhau?
A. a = 2 .
B. a = 1 .
C. a = −1 .
D. a = 0 .
Hướng dẫn giải
Chọn D
1 + at = 1 − t ′

t = 2 + 2t ′
−1 + 2t = 3 − t ′
Xét hệ phương trình 
. Ta tìm a để hệ có nghiệm duy nhất.

Trang 17/55 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 17


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

t = 2

′
Từ phương trình thứ hai và thứ ba của hệ suy ra t = 0 thế vào phương trình thứ nhất của hệ,
ta được 1 + 2a = 1 . Do đó để hệ có nghiệm duy nhất thì a = 0 .

x − 2 y z +1
x−7 y−2 z
d1 :
=
=
d2 :
=
=
4
−6 −8 và
−6
9
12 Vị trí tương đối
Câu 49: – 2017] Cho hai đường thẳng

d

d

giữa 1 và 2 là:
A. Cắt nhau.

B. Chéo nhau.
C. Song song.
Hướng dẫn giải

Chọn C

D. Trùng nhau.
ur

u1 = ( 4; −6; −8 )
M 2; 0; −1)
d
Đường thẳng 1 đi qua điểm 1 (
và có vectơ chỉ phương uu
.
r
u = ( −6;9;12 )
M 7; 2;0 )
d
Đường thẳng 2 đi qua điểm 2 (
và có vectơ chỉ phương 2
.

ur uu
r
r
uuuuuur
ur uuuuuur
r
u1 , u2  = 0


M
M
=
5;
2;1
⇒

u
,
M
M
≠
0
(
)
d ,d

 1 1 2
Nên 
và 1 2
nên 1 2 song song.
Cách khác:
ur
u
= ( 4; −6; −8 ) = 2 ( 2; −3; −4 )
d
Đường thẳng 1 có vectơ chỉ phương u1u
.
r
d 2 có vectơ chỉ phương u2 = ( −6;9;12 ) = −3 ( 2; −3; −4 ) .
Đường u
thẳng
r uu
r
Suy ra u1 , u2 cùng phương.
M 2; 0; −1) ∈ d1
M ∉ d 2 nên d1 / / d 2 .

Gọi 1 (
Do
x − 3 y −1 z + 2
d1 :
=
=
2
1
3 và
Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
x + 1 y + 5 z −1
d2 :
=
=
4
2
6 . Xét vị trí tương đối giữa d1 và d 2 .
d
d
d
d
A. 1 cắt 2 .
B. 1 song song với 2 .
d
d
d
d
C. 1 trùng 2 .
D. 1 chéo 2 .
Hướng dẫn giải

Chọn B
ur
M 1 ( 3;1; −2 )
u1 = ( 2;1;3)
d1
qua
và có VTCP uu
r
M 2 ( −1; −5;1)
u2 = ( 4; 2; 6 )
d2
qua ur
và có VTCP
uu
r
M ∉ d2
d
d
u
u
1
Dễ thấy
cùng phương với 2 và 1
nên suy ra 1 song song với 2 .
 x = 4 + 4t

∆2 : y = 3 − t
x −8 y + 2 z −3
∆1 :
=

=
 z = 2 + 2t

2
4
m − 1 và
Câu 51: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
. Giá trị
∆
∆
của m để 1 và 2 cắt nhau là
25
25
m=
m=−
8 .
8 .
A.
B. m = 3 .
C. m = −3 .
D.
Hướng dẫn giải
Chọn A
ur
M 1 ( 8; − 2;3)
u1 = ( 2; 4; m − 1)
∆1
qua
và có véctơ chỉ phươngur
.

M ( 4;3; 2 )
u = ( 4; − 1; 2 )
∆2
qua 2
và có véctơ chỉ phương 1
.
Trang 18/55 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 18


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

Ta có:
ur ur
uuuuuur
u1 , u1  = ( m + 7; 4m − 8; − 18 ) M M = ( −4;5; − 1)



; 1 2
.
ur ur uuuuuur
u , u  .M M = 16m − 50
  1 1 1 2
.

ur ur uuuuuur
25
⇔
m
=


u
,
u
.
M
M
=
0
∆
∆
⇔ 16m − 50 = 0
8 .
 1 và 2 cắt nhau khi  1 1  1 2
Câu 52: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng ( p ) và (q ) có phương trình lần
 x = −1 + t

x y + 1 z − 6  y = 6 − 7t (t ∈ R)
=
=

−2
4 ,  z = 2 + 4t
lượt là 1

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
(
p
)
(
q
)
A.
song song với
.
B. ( p) cắt (q ) .
C. ( p ) trùng (q ) .

D. ( p ) chéo ( q) .
Hướng dẫn giải

Chọn B

uur
uur
( p) có VTCP: u p = (1; −2; 4) ; (q) có VTCP u p = (1; −7; 4) .
uuuu
r
MN
= (−1;7; −4) .
M
(0;
−
1;6)
∈

(
p
)
N
(
−
1;6;
2)
∈
(
q
)
Chọn
;
suy ra:
uur uur
r
uu
r uur uuuu
r
u , u  = (20;0; −5) ≠ 0
u , u  MN = 0
Ta có:  p p 
và  p p 
suy ra ( p ) cắt (q ) .
[THPT CHUYÊN VINH-2017] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường
x − 2 y + 2 z +1
x y−4 z−2
d:
=

=
d′ : =
=
−3
1
−2 và
6
−2
4 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
thẳng
′
A. d //d .
B. d ≡ d ′ .
C. d và d ′ chéo nhau.
D. d và d ′ cắt nhau.
Hướng dẫn giải
Chọn B
r
M ( 2; −2; −1)
u = ( −3;1; −2 )
d
Đường thẳng qua điểm
và có VTCP
.
r
N ( 0; 4; 2 )
u ′ = ( 6; −2; 4 )
Đường thẳng d ′ qua điểm
và có VTCP
.

uuuu
r r
r
uuuu
r
r
r r
 MN , u  = ( −15; −13;16 ) ≠ 0
MN = ( −2;6;3)
u , u ′] = 0
[

Ta có:
. Suy ra
và 
.
Vậy d và d ′ cắt nhau.
 x = 1 + 2t

d1 :  y = −2 − 3t
 z = 5 + 4t

Câu 53: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , vị trí tương đối của hai đường thẳng
và
 x = 7 + 3t '

d 2 :  y = −2 + 2t '
 z = 1 − 2t '

là:

A. Cắt nhau.
B. Trùng nhau.
C. Song song.
D. Chéo nhau.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Trang 19/55 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 19


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

ur
uu
r
u1 ( 2; −3; 4 ) , u2 ( 3; 2; −2 )
A 1; −2;5 ) ∈ d1
d ,d
Gọi
lần lượt là vectơ chỉ phương của 1 2 và (
,
uuu
r
B ( 7; −2;1) ∈ d 2
AB ( 6;0; −4 )

. Suy ra:
.
ur uu
r uuu
r
u , u  . AB = −64 ≠ 0
d ,d
Khi đó:  1 2 
. Vậy hai đường thẳng 1 2 chéo nhau.
x −1 y − 2 z − 3
d1 :
=
=
2
3
4 và
Câu 54: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng
x = 1+ t

d 2 :  y = 2 + 2t
 z = 3 − 2t

. Kết luận gì về vị trí tương đối của hai đường thẳng nêu trên?
A. Vừa cắt nhau vừa vuông góc.
B. Vuông góc nhưng không cắt nhau.
C. Cắt nhau nhưng không vuông góc.
D. Không vuông góc và không cắt nhau.
Hướng dẫn giải
Chọn A
M ( 1; 2;3) ∈ d1

N ( 0;0;5 ) ∈ d 2
Chọn uur
vàuur
.
uur uur
ud1 = ( 2;3; 4 )
ud2 = ( 1; 2; −2 )
ud1 .ud2 = 0 ⇒ d1 ⊥ d 2
Ta có
và
suy ra
.

uur uur uuuu
r
ud , ud  .MN = 0
d ,d
Mặt khác  1 2 
nên 1 2 cắt nhau → chọn C .

 x = 2 + 3t

d :  y = −3 + t
 z = 4 − 2t


Câu 55: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng
và
x − 4 y +1 z
d ':

=
=
3
1
−2 . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng thuộc mặt
phẳng chứa d và d ' , đồng thời cách đều hai đường thẳng đó.
x −3 y +2 z −2
x+3 y+2 z+2
=
=
=
=
1
−2 .
1
−2 .
A. 3
B. 3
x+3 y −2 z +2
x −3 y −2 z −2
=
=
=
=
1
−2 .
1
−2 .
C. 3
D. 3

Lời giải
Chọn A
Ta nhận thấy đường thẳng ∆ cần tìm và d , d ' cùng thuộc mặt phẳng.
Ta có: ∆ cách đều d , d ' nên ∆ nằm giữa d , d ' .
Do đó: Gọi A(2; −3;4) ∈ d ; B(4; −1;0) ∈ d ' .

⇒ Trung điểm AB là I (3; −2;2) sẽ thuộc đường thẳng ∆ cần tìm.
Ta thế I (3; −2;2) lần lượt vào các đáp án nhận thấy đáp án A thỏa.

 x = 1 + 2t
∆ :y = 2−t
 z = −3
Câu 56: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
và đường thẳng
 x = 3 + 2t ′
∆′ :  y = 1 − t ′
 z = −3
. Vị trí tương đối của ∆ và ∆′ là
A. ∆ cắt ∆′ .
B. ∆ và ∆′ chéo nhau.
C. ∆ // ∆′ .
D. ∆ ≡ ∆′ .
Trang 20/55 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 20


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

Hướng dẫn giải
Chọn D
Thấy ngay hai vectơ chỉ phương của ∆ và ∆′ cùng phương do đó ∆ và ∆′ song song hoặc
trùng nhau.
1 + 2t = 3 + 2t ′

′
Lại có hệ phương trình 2 − t = 1 − t
vô số nghiệm suy ra ∆ ≡ ∆′ .
 x = 2t

d 2 :  y = 1 + 4t
x −1 y z − 3
d1 :
= =
 z = 2 + 6t

1
2
3 và
Câu 57: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho
. Khẳng
định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hai đường thẳng
B. Hai đường thẳng

d1 , d 2 song song với nhau.

d1 d 2
,

trùng nhau.

d1 , d 2 chéo nhau.
d d
D. Hai đường thẳng 1 , 2 cắt nhau.
C. Hai đường thẳng

Hướng dẫn giải
Chọn A
x = 1+ s

x − 1 y z − 3 ⇔  y = 2s
d1 :
= =
 z = 3 + 3s

1
2
3
Ta có:
.
1 + s = 2t
 s − 2t = −1


⇔  2 s = 1 + 4t
⇔ 2 s − 4t = 1

3 + 3s = 2 + 6t
3s − 6t = −1
d ,d


Xét hệ phương trình
vô nghiệm nên 1 2 song song hoặc
chéo nhau.

Ngoài ra, ta thấy 2 vectơ chỉ phương tỉ lệ với nhau nên
Câu

58:

d1 Pd2 .

Oxyz

( d) :

x −1 y +1 z − 5
=
=
2
3
1

Trong không gian
cho hai đường thẳng
x −1 y + 2 z +1

=
=
( d ') :
3
2
2 . Vị trí tương đối của hai đường thẳng ( d ) và ( d ' ) là:
A. Trùng nhau.
B. Song song với nhau.
C. Chéo nhau.
D. Cắt nhau.
Hướng dẫn giải
Chọn C
r
r
u
=
2;3;1
,
d
'
v
= ( 3; 2; 2 )
(
)
(
)
d
Đường
có vectơ chỉ phương
.

r r thẳng có vectơ chỉ phương
Vì u, v không cùng phương nên d cắt d ' hoặc d chéo d ' .
 x −1 y +1 z − 5
 2 = 3 = 1

 x −1 = y + 2 = z +1
2
2 .
Xét hệ  3
Vì hệ vô nghiệm nên d chéo d ' .

Trang 21/55 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 21

và


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

Câu 59: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng
x +1 y + 5 z −1
d2 :
=
=
4

2
6 . Xét vị trí tương đối giữa d1 và d 2 .
A.

d1

C.

d1 chéo d 2 .

trùng

d2

.

B.

d1

d1 :

x − 3 y −1 z + 2
=
=
2
1
3 và

song song với

d

D. 1 cắt
Hướng dẫn giải

d2

.

d2 .

Chọn B
ur
M 1 ( 3;1; −2 )
u1 = ( 2;1;3)
d1
qua
và có VTCP uu
.
r
d 2 qua M 2 ( −1; −5;1) và có VTCP u2 = ( 4; 2;6 ) .
ur
uur
M ∉ d 2 nên suy ra d1 song song với d 2 .
u1
u2
Dễ thấy
cùng phương với và 1
x = 1 + t

 x = 2t ′


d :  y = 2 − t d ′ :  y = 1 + t′
z = t
z = 2 + t′


Câu 60: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng
,
. Đường thẳng ∆ cắt
d , d ′ lần lượt tại các điểm A , B thỏa mãn độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất. Phương trình
đường thẳng ∆ là
x y − 3 z +1
x − 2 y −1 z −1
=
=
=
=
−1
−3 .
1
3 .
A. 2
B. −2
x −1 y − 2 z
x−4 y z−2
=
=
=

=
1
3.
−1
3 .
C. −2
D. −2
Lời giải
Chọn B
∆ ∩ d = A ( 1 + t ; 2 − t ; t ) ∆ ∩ d = B ( 2t ′;1 + t ′; 2 + t ′ )
,
.
1
uuu
rr

2t ′ − t − 1 − t ′ − t + 1 + t ′ − t + 2 = 0 ⇔ 2t ′ − 3t = −2 ⇔ t ′ = 2
 AB.u = 0
⇔
r ur
 uuu
6t ′ − 2t = 1
t = 1
4t ′ − 2t − 2 + t ′ + t − 1 + t ′ − t + 2 = 0
 AB.u ′ = 0
.
uuu
r 
1 3
AB =  −1; ; ÷

A ( 2;1;1)
2 2

Suy ra
,
AB ngắn nhất suy ra AB là đoạn vuông góc chung của , .
d d′
có vectơ chỉ phương r
Vậy đi qua
.
uuur
∆
A ( 2;1;1)
u = 2 AB = ( −2;1;3) ⇒ ∆ : x − 2 = y − 1 = z − 1
−2
1
3
Câu 61: Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho bốn đường thẳng:
,
Oxyz
x − 3 y +1 z +1
=
=
( d1 ) :
1
−2
1
,
,

. Số đường thẳng trong
x y z −1
x −1 y +1 z −1
x y −1 z
=
=
=
( d2 ) : = =
( d3 ) :
( d4 ) : =
1 −2
1
2
1
1
1
−1 −1
không gian cắt cả bốn đường thẳng trên là:
A.

0

.

B.

2

.

C. Vô số.

D. .
1

Trang 22/55 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 22


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

Lời giải
Chọn A

Ta có

( d1 )

song song

Hai đường thẳng
Gọi

( d1 )

( d2 )
,

, phương trình mặt phẳng chứa hai
là

( d2 )

( P ) : x + y + z −1 = 0

A = ( d 3 ) ∩ ( P ) ⇒ A ( 1; −1;1)

B = ( d 4 ) ∩ ( P ) ⇒ B ( 0;1; 0 )

,

,

.

( A ∉ ( d1 ) , A ∉ ( d 2 ) )

( B ∉( d ) , B ∉( d ) )
1

.

.

2

Mà uuur
cùng phương với véc-tơ chỉ phương của hai đường thẳng
,
nên
AB = ( −1; 2; −1)
( d1 ) ( d 2 )
không tồn tại đường thẳng nào đồng thời cắt cả bốn đường thẳng trên.

DẠNG 3: XÉT VTTĐ GIỮA ĐT VÀ MP
Câu 62: Trong không gian với hệ tọa độ

, tìm tất cả các giá trị của tham số
để đường thẳng :
m
d
Oxyz
song song với mặt phẳng
:
x −1 y +1 z − 2
( P ) 2 x + y − m2 z + m = 0
=
=
1
−1
1
A.
B. Không có giá trị nào của
m
m = −1

C.
D.
m =1
m ∈ { −1;1}
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đường thẳng :
có một vectơ chỉ phương uu
và đi qua điểm
r
d x −1 y +1 z − 2
ud = ( 1; − 1; 1)
=
=
1
−1
1
.
M ( 1; − 1; 2 )
Mặt phẳng
:
có một vectơ pháp tuyến uur
.
nP = ( 2; 1; − m 2 )
( P ) 2 x + y − m2 z + m = 0
Để đường thẳng

d

song song với mặt phẳng

( P)

thì :

.
uur uu
r
2
nP .ud = 0 ⇔ 1.2 + ( −1) .1 + 1. ( −m 2 ) = 0 ⇔ 1 − m = 0 ⇔ m = ±1
Trang 23/55 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 23


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Với

m =1

ta có phương trình mặt phẳng

M ( 1; − 1; 2 ) ∈ ( P )
Với

m = −1

nên

d

nằm trong

( P)

nên

song song với

d

Câu 63: Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

2x + y − z + 1 = 0

:

( P)

( P)

2x + y − z −1 = 0

C.

x −1 y −1 1 − z

d1 :
=
=
2
2
1
x −1 y −1 z −1
d2 :
=
=
4
−3
1

Chọn A
Mặt phẳng

( P)

, cho mặt phẳng

.

B.

.

D.

.

.

có VTPT là uur
và đường thẳng
có VTCP là r
.
d1
nP = ( 3; − 4; 2 )
u = ( 2; 2;1)

x −1 y −1 z −1
d2 :
=
=
4
−3
1
x −1 y −1 z −1
d4 :
=
=
3
−4
2

( P)

. Trong các

.

x −1 y −1 z −1
d4 :
=
=
3
−4
2
Hướng dẫn giải

( P ) : 3x − 4 y + 2 z − 2016 = 0

đường thẳng sau đường thẳng song song với mặt phẳng

Chọn B
Mặt phẳng

( P)

x −1 y −1 1− z
d3 :
=
=
3
5
4

Oxyz

C.

và

. Khi đó . và
.

( P ) : 3x − 4 y + 2 z − 2016 = 0

. Vậy
đúng.
r uur
x −1 y −1 1− z
⇒ u.nP = 0
d1 :
=
=
2
2
1
Câu 64: Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng

A.

M ( 1; − 1; 2 ) ∈ d

.

đường thẳng sau đường thẳng song song với mặt phẳng
A.

. Khi đó

.

ta có phương trình mặt phẳng

M ( 1; − 1; 2 ) ∉ ( P )

( P)

:

Hình học tọa độ Oxyz

.

B.

.

D.

( P)

. Trong các

.

x −1 y −1 1− z

d1 :
=
=
2
2
1

x −1 y −1 1− z
d3 :
=
=
3
5
4
Hướng dẫn giải

.
.

có VTPT là r
và đường thẳng
có VTCP là r
.
d1
nP = ( 3; −4;2 )
u = ( 2;2;1)

. Vậy
rr
⇒ u .nP = 0

đúng.
x −1 y −1 1 − z
d1 :
=
=
2
2
1
Câu 65: Trong không gian
, cho mặt phẳng
, ( và là các tham số) và
m
n
Oxyz
P
:
x
+
my
+
nz
−
3
=
0
( )
đường thẳng

( d)

x+3 y−2 z +3
=
=
( d) :
2
1
2

. Tất cả các gí trị của

m

và

n

để

( P)

vuông góc với

:

Trang 24/55 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 24

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A.

B.

m = −2

n = 1

Chọn C
+ Mặt phẳng

( P)

+ Đường thẳng

Hình học tọa độ Oxyz
C.

m = 2

n = 1

D.

1

m =

2

n = 1
Hướng dẫn giải

 m = 12

 n = 11

có véc tơ pháp tuyến là r
.
n = ( 1; m; n )

( d)

có véc tơ chỉ phương là r
.
u = ( 2;1; 2 )

+ Yêu cầu của bài toán tương đương với r và r cùng phương
.
⇒ 1 m n
1

n
u
= =
m =
2 1 2 ⇔
2

n = 1
Câu 66: Trong không gian
, cho điểm
, đường thẳng
và mặt
Oxyz
x −1 y +1 z − 2
A ( 1; 2; −1)
d:
=
=
2
1
−1
phẳng
. Điểm
thuộc mặt phẳng
thỏa mãn đường thẳng
B
AB
( P) : x + y + 2z +1 = 0
( P)
vuông góc và cắt đường thẳng
A.

( 0;3; −2 )

.

B.

d

. Tọa độ điểm

( 6; −7; 0 )

B

là

.

C.

( 3; −2; −1)

.

D.

( −3;8; −3)

.

Lời giải
Chọn A
Đường thẳng

d

có một VTCP là uu
.
r
ud = ( 2;1; −1)

Gọi

.
uuuu
r
⇒
M = AB ∩ d ⇒ M ( 1 + 2t ; −1 + t; 2 − t )
AM = ( 2t ; t − 3;3 − t )
uuuu
r
uuuur r
AB ⊥ d ⇔ AM .u = 0 ⇔ 4t + t − 3 − 3 + t = 0 ⇔ t = 1 ⇒ AM = ( 2; −2; 2 ) = 2 ( 1; −1;1)

Đường thẳng

AB

đi qua điểm

x = 1+ t

⇒ AB :  y = 2 − t ( t ∈ ¡
 z = −1 + t


Ta có:

B = AB ∩ ( P )

⇒ B ( 0;3; −2 )

A ( 1; 2; −1)

, có một VTCP là r
u = ( 1; −1;1)

.

)

nên tọa độ của

B

là nghiệm của hệ

x = 1+ t
t = −1
y = 2−t
x = 0


⇔



 z = −1 + t
y = 3
 x + y + 2 z + 1 = 0
 z = −2

.

Trang 25/55 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 25