Giải vị trí tương đối góc 4 đến 8

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

TOÁN TỔNG HỢP VỀ PP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
DẠNG 4: XÉT VTTĐ GIỮA MP VÀ MC
Câu 131: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu

( S ) : x2 + y 2 + z 2 = 1

và mặt phẳng

( P ) : x − y − z = 0 . Hỏi khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
A. Mặt phẳng

( P)

cắt mặt cầu

( S)

theo giao tuyến là một đường tròn.
P
S
B. Mặt phẳng ( ) tiếp xúc với mặt cầu ( ) .
P
S
C. Mặt phẳng ( ) không cắt mặt cầu ( ) .
P
S
D. Mặt phẳng ( ) cắt mặt cầu ( ) theo giao tuyến là một đường elip.

Hướng dẫn giải
Chọn A
S
I 0; 0;0 )
P
S
Mặt cầu ( ) có tâm (
và có tâm bán kính là R = 1 . Nên mặt phẳng ( ) cắt mặt cầu ( )
theo giao tuyến là một đường tròn.
S : x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 25
Câu 132: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( ) (
và mặt
2

2

2

α : 2x + y − 2z + m = 0
α
S
phẳng ( )
. Tìm các giá trị của m để ( ) và ( ) không có điểm chung.
A. m ≤ −9 hoặc m ≥ 21 .
B. m < −9 hoặc m > 21 .
C. −9 < m < 21 .
D. −9 ≤ m ≤ 21 .
Hướng dẫn giải
Chọn B
 I ( −1; 2;3)

( S ) : 

−2 + 2 − 6 + m m − 6
=
3
3 .
 Ta có
.
α
S
d I, α > R
 Để ( ) và ( ) không có điểm chung khi và chỉ khi ( ( ) )
.
 m > 21
⇔
m − 6 > 15
 m < −9 .
 Thay vào ta được

R = 5

d ( I,( α ) ) =

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 2 z − 3 = 0 . Hỏi
Câu 133: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu
( S) ?
trong các mặt phẳng sau, đâu là mặt phẳng không có điểm chung với mặt cầu
( α ) : 2 x + 2 y − z + 10 = 0 .
( α ) : x − 2 y + 2z −1 = 0 .

A. 4
B. 1
( α ) : 2x − y + 2z + 4 = 0 .
( α ) : x − 2 y + 2z − 3 = 0 .
C. 2
D. 3
Hướng dẫn giải
Chọn C
( S ) có tâm I ( 1; −2;1) và bán kính R = 3 .
( α ) ( i = 1, 2,3, 4 ) và so sánh với R .
Lần lượt tính khoảng cách từ I đến i
( α ) ( S ) không có điểm chung khi và chỉ khi d ( I , ( α i ) ) > R .
Ta có i và
10
d ( I , ( α2 ) ) = > R
3
Ta có
.
Trang 1/28 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 1


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

( S ) : ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 25 và mặt

Câu 134: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu
2

2

2

( α ) : 2 x + y − 2 z + m = 0 . Tìm các giá trị của m để ( α ) và ( S ) không có điểm chung.
phẳng
A. m < −9 hoặc m > 21 .
B. −9 < m < 21 .
C. −9 ≤ m ≤ 21 .
D. m ≤ −9 hoặc m ≥ 21 .
Hướng dẫn giải
Chọn A
( S ) có tâm I ( −1;2;3) và bán kính R = 5 .
−2 + 2 − 6 + m
 m > 21
⇔ d ( I,( α ) ) > R ⇔
> 5 ⇔ m − 6 > 15 ⇔ 
3
 m < −9 .
YCBT
Oxyz )
P : x + y − 2z − 6 = 0
Câu 135: Trong không gian với hệ tọa độ (
, cho mặt phẳng ( )
và mặt phẳng
′
( P ) : − x − y + 2 z + 2 = 0 . Xác định tập hợp tâm các mặt cầu tiếp xúc với ( P ) và tiếp xúc với

( P′ ) .
A. Tập hợp là hai mặt phẳng có phương trình x + y − 2 z ± 8 = 0 .
B. Tập hợp là mặt phẳng có phương trình

( P ) : x + y − 2z + 8 = 0 .

C. Tập hợp là mặt phẳng có phương trình x + y − 2 z − 8 = 0 .
D. Tập hợp là mặt phẳng có phương trình x + y − 2 z − 4 = 0 .
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta thấy

( P ) P( P′ ) . Chọn

M ( 0; 0; −3) ∈ ( P )

,

N ( 0;0; −1) ∈ ( P′ )

.

Tâm mặt cầu tiếp xúc với 2 mặt phẳng trên nằm trên mặt phẳng (
P′
Q
và ( ) . Phương trình mặt phẳng ( ) có dạng x + y − 2 z +d = 0 .
d ( M ;( Q) ) = d ( N,( Q) )
⇒

6+d

=

Q)

song song và cách đều

2+d

( P)

6
6 ⇔ d = −4 . Vậy Phương trình mặt phẳng ( Q ) là x + y − 2 z − 4 = 0 .
CÁCH 2:
I x, y, z )
P P P′
Gọi (
là tâm mặt cầu. Để ý ( ) ( ) nên I thuộc phần không gian giới hạn bởi 2 mp
( P ) và ( P ') , đồng thời cách đều ( P ) và ( P ') . Khi đó ta có:
 x + y − 2z − 6 = − x − y + 2z + 2
d ( I , ( P ) ) = d ( I , ( P ') ) ⇔ x + y − 2 z − 6 = − x − y + 2 z + 2 ⇔ 
 x + y − 2 z − 6 = x + y − 2z − 2
2 x + 2 y − 4 z − 8 = 0
⇔
⇔ x + y − 2z − 4 = 0
 −6 = −2 (vo ly )
.
x − 3 y −1 z − 1
∆
:

=
=
( S ) có tâm thuộc đường thẳng
2
−1
−2 đồng thời tiếp xúc
Câu 136: Có bao nhiêu mặt cầu

với hai mặt phẳng
A. 0 .

( α1 ) : 2 x + 2 y + z − 6 = 0
B. Vô số.

và

( α2 ) : x − 2 y + 2z = 0

C. 2 .
Hướng dẫn giải

D. 1 .

Chọn B
Trang 2/28 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 2

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

 x = 3 + 2t

∆ :  y = 1− t
 z = 1 − 2t


Phương trình tham số của đường thẳng
⇒ I ( 3 + 2t;1 − t;1 − 2t )
Gọi tâm I ∈ ∆
( S ) đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng ( α1 ) và ( α 2 ) nên ta có
Vì mặt cầu
d ( I , ( α1 ) ) = d ( I , ( α 2 ) )

2 ( 3 + 2t ) + 2 ( 1 − t ) + 1 − 2t − 6

3 + 2t − 2 ( 1 − t ) + 2 ( 1 − 2t )

3 3
=
2 + 2 +1
2 + 2 +1
3 3 (luôn đúng).
( P ) : x − y + 2 z + 1 = 0 và
Câu 137: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho các mặt phẳng
( Q ) : 2 x + y + z − 1 = 0 . Gọi ( S ) là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành đồng thời ( S ) cắt mặt phẳng

( P ) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2 và ( S ) cắt mặt phẳng ( Q ) theo giao
( S ) thoả yêu
tuyến là một đường tròn có bán kính r . Xác định r sao cho chỉ đúng một mặt cầu
cầu?
3
7
r=
r=
2.
2.
A.
B. r = 3 .
C.
D. r = 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn C
( S ) , ta có:
Gọi I , R lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu
R 2 = d 2 ( I ; ( P ) ) + 22 = d 2 ( I ; ( Q ) ) + r 2
I ( x; 0; 0 )
. Gọi
Ta có

⇔

2

2

2

1

=

2

2

1

⇔

2

x 2 + 2x + 1 − 4x2 + 4x −1
 x + 1   2x −1 
2
+ 4 − r2 = 0

÷ −
÷ +4−r =0 ⇔
6
 6   6 
2
−3 x + 6 x
−1 2
⇔
+ 4 − r2 = 0 ⇔
x + x + 4 − r2 = 0

6
2
Bài toán trờ thành tìm r > 0 đề phương trình có duy nhất 1 nghiệm, tức là
∆ = 0 ⇔ 1+ 2( 4 − r2 ) = 0 ⇔ r =

3
2.

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z = 0 . Mặt phẳng ( Oxy ) cắt
Câu 138: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu
( S ) theo giao tuyến là một đường tròn. Đường tròn giao tuyến ấy có bán kính r bằng:
mặt cầu
A. r = 4 .
B. r = 2 .
C. r = 5 .
D. r = 6 .
Hướng dẫn giải
Chọn C
I ( 1; 2;3)
Mặt cầu có bán kính R = 1 + 4 + 9 = 14 và tâm
.
( Oxy ) là d = 3 .
Khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng
2
2
Bán kính đường tròn giao tuyến là r = R − d = 5 .

Trang 3/28 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:

Facebook: />
Trang 3


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

( S ) : x2 + y 2 + z 2 − 2x − 4 y − 6z + 5 = 0

Câu 139: Cho mặt cầu
định nào sau đây đúng?
A.
B.
C.
D.

và mặt phẳng

(α) : x+ y

+z=0

. Khẳng

( α ) tiếp xúc với ( S ) .

( α ) và ( S )
(α)
(α)

không có điểm chung.

đi qua tâm của
cắt

( S)

( S) .

theo một đường tròn và không đi qua tâm của mặt cầu
Hướng dẫn giải

( S) .

Chọn B
 I ( 1; 2;3)
 R = 3

( S) :

;

d ( I,( P) ) = 2 3 > R

.
( S ) : x + y + z − 2x − 4 y − 6z + 5 = 0

( α ) : x − 2 y + 2 z − 12 = 0 .
Câu 140: Cho mặt cầu

và mặt phẳng
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
( α ) cắt ( S ) theo đường tròn có bán kính là 2 2 . B. ( α ) và ( S ) tiếp xúc nhau.
A.
( α ) cắt ( S ) theo đường tròn có bán kính là 2 . D. ( α ) không cắt ( S ) .
C.
Hướng dẫn giải
Chọn A
( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z + 5 = 0 ⇒ I = ( 1; 2;3) , R = 12 + 22 + 32 − 5 = 3 .
Mặt cầu
1.1 − 2.2 + 2.3
d=
=1
2
2
2
1
+
−
2
+
2
α
(
)
(
)
Khoảng cách từ I đến
là:
.

( S ) cắt mặt phẳng ( α ) theo đường tròn có bán kính là
Thấy rằng d < R nên mặt cầu
2

r = R2 − d 2 = 2 2 .
Câu 141: - 2017] Cho mặt phẳng

2

2

( P ) : 2 x + 2 y − 2 z + 15 = 0

và mặt cầu

Khoảng cách nhỏ nhất từ một điểm thuộc mặt phẳng

3
A. 2 .

B.

3.

( P)

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 y − 2 z − 1 = 0.

đến một điểm thuộc mặt cầu

3
C. 3 .
Hướng dẫn giải

( S)

3 3
D. 2 .

Chọn D

.
Trang 4/28 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 4

là:


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Mặt cầu

( S)

có tâm

I ( 0;1;1)

Hình học tọa độ Oxyz

( P ) và A là
và bán kính R = 3 . Gọi H là hình chiếu của I trên

( S ) . Khoảng cách nhỏ nhất từ một điểm thuộc mặt phẳng ( P ) đến một
giao điểm của IH với
( S)
điểm thuộc mặt cầu

là đoạn AH .

AH = d ( I , ( P ) ) − R =

Câu 142: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,

( x − 2)

2

+ ( y − 1) + ( z − 1) = 1
2

2

và mặt phẳng

3 3
2 .

( S)

cho mặt cầu

( P ) : 2 x + y − 2 z + m = 0.

có phương trình

Tìm giá trị không âm của

( S)

P
và mặt phẳng ( ) tiếp xúc với nhau.
B. m = 1 .
C. m = 2 .
Hướng dẫn giải

tham số m để mặt cầu
A. m = 5 .

D. m = 0 .

Chọn D
Mặt cầu

( S)

Để mặt cầu

có tâm

( S)

I ( 2;1;1)

và mặt phẳng

d  I ; ( P )  = R ⇔

và bán kính R = 1 .

( P)

tiếp xúc với nhau thì :

m + 3 = 3
m = 0
2.2 + 1 − 2 + m
⇔
=1 ⇔ m +3 = 3 ⇔ 
 m + 3 = −3 .  m = −6 .
3

Vì m không âm nên m = 0 là giá trị cần tìm.

(

) (

) (

2

)

2

2

x − 3 + y + 2 + z − 1 = 100
Câu 143: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S) :
và mp ( P ) :
2x − 2y − z+ 9 = 0 , mp ( P ) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn (C ) có tâm và
bán kính là:
J ( 1; −2; −3) ,r = 64
A.
.
J ( −1;2;3) ,r = 64
C.
.

J ( 1; −2; −3) ,r = 8
.
J ( −1;2;3) ,r = 8
D.
.

B.

Câu 144: - 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các mặt phẳng

( P1 ) : x − 2 y − 2 z + 2 = 0 ,

( P2 ) : x − 2 y + 2 z − 8 = 0 , ( P3 ) : 2 x + y − 2 z − 3 = 0 , ( P4 ) : 2 x + 2 y − z + 1 = 0 . Cặp mặt phẳng tiếp
xúc với mặt cầu tâm
P
P
A. ( 1 ) và ( 3 ) .

I ( 1; −1;1)

và bán kính R = 1 là:
P
P
P
P
B. ( 2 ) và ( 4 ) .
C. ( 1 ) và ( 2 ) .
Hướng dẫn giải

D.

( P2 )

và

( P3 ) .

Chọn C

d ( I , ( P1 ) ) =

1+ 2 − 2 + 2
12 + ( −2 ) + ( −2 )
2

2

= 1 = R d ( I , ( P2 ) ) =

;

1+ 2 + 2 − 2
12 + ( −2 ) + 22
2

=1= R

.

( S ) : ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + 2 ) = 4 và điểm
Câu 145: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu
2

2

2

A ( 1;1; −1)

( S)
. Ba mặt phẳng thay đổi đi qua A và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu
( C1 ) , ( C2 ) , ( C3 ) . Tính tổng diện tích của ba hình tròn
theo ba giao tuyến là các đường tròn
( C1 ) , ( C2 ) , ( C3 ) .

Trang 5/28 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 5


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
B. 3π .

A. 11π .

Hình học tọa độ Oxyz

C. 4π .
Hướng dẫn giải

D. 12π .

Chọn A

( S ) : ( x − 1)
Mặt cầu

2

+ ( y − 1) + ( z + 2 ) = 4
2

2

có tâm

I ( 1;1; −2 )

và bán kính R = 2 .

Cách 1: (cụ thể hóa)

( S ) theo ba
Xét ba mặt phẳng thay đổi đi qua A và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu
giao tuyến là các đường tròn
Gọi

r1 , r2 , r3

( C1 ) , ( C2 ) , ( C3 )

lần lượt là

( P1 ) : x = 1, ( P2 ) : y = 1, ( P3 ) : z = −1 .

lần lượt là bán kính của các đường tròn giao tuyến của mặt cầu

( S)

với ba mặt

( P ) , ( P2 ) , ( P3 ) .
phẳng 1
( P ) , ( P2 ) đi qua tâm I ( 1;1; −2 ) nên r1 = r2 = R = 2 ; IA ⊥ ( P3 ) nên
Vì 1
r3 = R 2 − d 2 ( I , ( P3 ) ) = R 2 − IA2 = 4 − 1 = 3
Tổng diện tích của ba hình tròn
Cách 2 :

( C1 ) , ( C2 ) , ( C3 )

2
2
2
là S1 + S2 + S3 = π .r1 + π .r2 + π .r3 = 11π .

( P ) , ( Q ) , ( R ) . Gọi P ,
Gọi ba mặt phẳng đi qua A và đôi một vuông góc với nhau lần lượt là
Q , R lần lượt là hình chiếu của I lên mặt phẳng ( P ) , ( Q ) , ( R ) . Suy ra P , Q , R lần lượt là

tâm của các đường tròn giao tuyến
cầu

( C1 ) , ( C2 ) , ( C3 )

của các mặt phẳng

( P) , ( Q) , ( R)

và mặt

( S) .

Dựng hình hộp chữ nhật ACDR.BPIQ như hình vẽ.
2
2
2
2
2
2
Ta có IA = IB + AB = IP + IQ + IR .
Gọi

r1 , r2 , r3

phẳng

lần lượt là bán kính của các đường tròn giao tuyến của mặt cầu

( S)

với ba mặt

( P) , ( Q) , ( R) .

(

)

2

(

)

2

(

r12 + r22 + r32 = R 2 − d  I , ( P )  + R 2 − d  I , ( Q )  + R 2 − d  I , ( R ) 
Ta có

)

2

Trang 6/28 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 6


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

= 3R 2 − ( IP 2 + IQ 2 + IR 2 )
= 3R 2 − IA2
= 3.22 − 1 = 11

Suy ra tổng diện tích của ba hình tròn

( C1 ) , ( C2 ) , ( C3 )

2
2
2
là π .r1 + π .r2 + π .r3 = 11π .

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 y + 2 z − 1 = 0 . Mặt phẳng nào sau
Câu 146: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu
đây tiếp xúc với mặt cầu
A. 2 x + y − 2 z + 1 = 0 .

( S) ?
B. x + 2 y + 2 z − 1 = 0 .
D. 2 x − 2 y − z − 2 = 0 .

C. 2 x − y − 2 z + 1 = 0 .

Hướng dẫn giải
Chọn A
Mặt cầu

( S)

có tâm

I ( 1;1; −1)

R = 12 + 12 + ( −1) + 1 = 2
2

, bán kính

d ( I ;( P ) ) =

2.1 + 1 − 2. ( −1) + 1

22 + 12 + ( −2 )
( P ) :2 x + y − 2 z + 1 = 0 thì
Với
( P ) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) .
Vậy mặt phẳng

2

.

=2= R.

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 4 z − 16 = 0 và mặt
Câu 147: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt cầu
( P ) : x + 2 y − 2 z − 2 = 0 . Mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến là một đường
phẳng
tròn có bán kính là:

A. r = 2 2 .
B. r = 4 .
C. r = 2 3 .
D. r = 6 .
Hướng dẫn giải
Chọn B
( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 4 z − 16 = 0 có tâm I ( 1; −2;2 ) bán kính R = 5 .
Mặt cầu
1− 4 − 4 − 2
d=
=3
I ( 1; −2;2 )
P) : x + 2 y − 2z − 2 = 0
(
1+ 4 + 4
Khoảng cách từ
đến mặt phẳng
là
.
( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính là:
Mặt phẳng
Trang 7/28 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 7


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

r = R2 − d 2 = 4 .

( S ) : x + ( y − 4 ) + z = 5 . Tìm tọa độ
Câu 148: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu
điểm A thuộc trục Oy , biết rằng ba mặt phẳng phân biệt qua A có các vectơ pháp tuyến lần lượt
2

2

2

là các vectơ đơn vị của các trục tọa độ cắt mặt cầu theo thiết diện là ba hình tròn có tổng diện tích
là 11π .
 A ( 0; 6;0 )
 A ( 0; 2;0 )
 A ( 0; 2; 0 )
 A ( 0; 0;0 )




A ( 0; 0;0 )
A ( 0;8;0 )
A ( 0;6; 0 )
A ( 0;8;0 )







A.
.
B.
.
C.
.
D. 
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Mặt cầu ( S ) có tâm I (0; 4; 0) bán kính R = 5
Gọi A(0; a; 0) . Ba mặt phẳng theo giả thiết đi qua A có pt lần lượt là
(α1 ) : x = 0

(α 2 ) : z = 0
(α 3 ) : y − a = 0
d ( I ; α1 ) = d ( I ; α 2 ) = 0
(α );(α 2 )
Vì
nên mặt cầu ( S ) cắt 1
theo giao tuyến là đường tròn lớn có
2
bán kính R = 5 . Diện tích hai hình tròn đó là S1 + S 2 = 2π R = 10π .

(α )
S =π
Suy ra mặt cầu ( S ) cắt 3 theo giao tuyến là 1 đường tròn có diện tích tương ứng 3

.
S3
r3 =
=1
π
Bán kính đường tròn đó là:
d ( I , α 3 ) = 4 − a = IH

IH 2 + r32 = R 2 ⇒ IH = 4 − a = 2
Ta có:
 a = 2  A(0; 2;0)
 a = 6 ⇒  A(0;6;0)


Câu 149: Trong các phương trình sau, phương trình mặt phẳng nào tiếp xúc với mặt cầu

( S ) : ( x − 1)

2

+ ( y + 3) + ( z − 2 ) = 49
2

A. x + 2 y + 2 z − 7 = 0 .

C. 2 x + 3 y + 6 z – 5 = 0 .

2

tại điểm

M ( 7; − 1; 5 )

?

B. 6 x + 2 y + 3z – 55 = 0 .

D. 6 x – 2 y – 2 z – 50 = 0 .
Hướng dẫn giải

Chọn B
( S ) có tâm I ( 1; – 3; 2 ) .
P
S
M ( 7; − 1; 5 )
P
Gọi ( ) tiếp xúc với mặt cầu ( ) tại
thì ( ) có vectơ pháp tuyến

uuur
IM = ( 6; 2;3)

( P ) đi qua M .
P
Phương trình của ( ) là 6 x + 2 y + 3 z – 55 = 0 .
và

Trang 8/28 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:

Facebook: />
Trang 8


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) ,
Câu 150: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm
trong đó
1 2 3
+ + = 7.
a > 0 , b > 0 , c > 0 và a b c
Biết mặt phẳng

( S ) : ( x − 1)

2

+ ( y − 2 ) + ( z − 3) =
2

2
.
A. 9

2

1

.
B. 6

( ABC )

tiếp xúc với mặt cầu

72
.
7 Thể tích của khối tứ diện OABC là
3
5
.
.
C. 8
D. 6
Hướng dẫn giải

Chọn A
Cách 1: Ta có
Mặt cầu

( S)

( ABC ) :

có tâm

x y z
+ + = 1.

a b c

I ( 1;2;3)

và bán kính

R=

72
.
7

( S ) ⇔ d ( I ; ( ABC ) )
Mặt phẳng

( ABC )

tiếp xúc với

1 2 3
+ + −1
72
a b c
=R⇔
=
.
7
1 1 1
+ +
a 2 b2 c 2

1 2 3
1
1 1 7
+ + =7⇒ 2 + 2 + 2 = .
a
b
c
2
Mà a b c
Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có
2

( 1 + 2 + 3 )  a12 + b12 + c12 ÷ ≥  1a + b2 + 3c ÷
1 2 3
1 = 1 = 1

⇔  a b c ⇔ a = 2, b = 1, c =
1 2 3
 + + =7
a b c
Dấu " = " xảy ra
2

2

2

= 72 ⇒

1 1 1 7
+ + ≥ .
a 2 b2 c 2 2

2
,
3
khi đó

VOABC =

1
2
abc = .
6
9

72
x y z
I (1; 2;3), R =
+ + = 1,
S
7 .
a b c
Cách 2: Ta có
mặt cầu ( ) có tâm
1 2 3
+ + −1
72
a b c

⇔ d ( I ,( P) ) = R ⇔
=
7
1
1 1
+ 2+ 2
2
( ABC ) tiếp xúc với mặt cầu ( S )
a b c
Ta có

( ABC ) :

⇔

7 −1
1 1 1
+ +
a 2 b2 c 2

=

72
1 1 1 7
1 1 1
7
⇔ 2 + 2 + 2 = ⇔ 2 + 2 + 2 = 7−
7
a b c
2

a b c
2

Trang 9/28 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 9


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz


a = 2

⇔ b = 1
2
2
2

2
1
1 1 1 2 3 7 ⇔  1 − 1  +  1 − 1 +  1 − 3  = 0
c =
⇔ 2+ 2+ 2 = + + −

÷ 
÷ 

÷
a 2 b  c 2
3

a
b
c
a b c 2
1
2
⇒ VOABC = abc = .
6
9
1
1 1 7
+ 2+ 2 =
2
b
c
2.
Cách 3: Giống Cách 2 khi đến a
Đến đây ta có thể tìm a, b, c bằng bất đẳng thức như sau:
Ta có
2

2

1
1
1 1 1 7

 1 2 3  1
 1 1 1
7 =  + + ÷ = 1. + 2. + 3. ÷ ≤ ( 12 + 22 + 32 )  2 + 2 + 2 ÷ ⇒ 2 + 2 + 2 ≥
b
c
2
a b c  a
a b c  a b c
1 1 1
1
1 1 7
a =b =c
+ 2+ 2 = ⇒
2
b
c
2
Mà a
Dấu “=” của BĐT xảy ra 1 2 3 , kết hợp với giả thiết
2

1 2 3
2
1
2
+ + =7
c=
VOABC = abc = .
a b c
3 . Vậy:

6
9
ta được a = 2 , b = 1 ,

a = 2

⇔ b = 1

2
1
2
c = ⇒ VOABC = abc = .
3

6
9
Ta có
Cách 4: Mặt cầu

( S)

có tâm

I ( 1;2;3)

và bán kính

R=

72

.
7

x y z
+ + =1
a b c
Phương trình mặt phẳng
.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
M  ; ; ÷∈ ( ABC )
+ + = 7 ⇔ 7 + 7 + 7 =1
7 7 7
a b c
Ta có: a b c
nên
( ABC ) :

1 2 3
M ; ; ÷
 7 7 7  vào phương trình mặt cầu ( S ) ta thấy đúng nên M ∈ ( S ) .
Thay tọa độ
Suy ra: ( ABC ) tiếp xúc với ( S ) thì M là tiếp điểm.

uuu
r  6 12 18  r
1 2 3
M ; ; ÷
MI =  ; ; ÷ → n = ( 1;2;3)

 7 7 7  , có VTPT là
7 7 7 
Do đó: ( ABC ) qua
x y z
x + 2 y + 3z − 2 = 0 ⇔ + + = 1 ⇒ a = 2
2
2 1 2
c=
( ABC ) có phương trình:
3
3.
, b = 1,
Trang 10/28 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 10


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

1
2
V = abc =
6
9
Vậy

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 8 x + 10 y − 6 z + 49 = 0 và hai mặt phẳng
Câu 151: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu
( P ) : x − y − z = 0 , ( Q ) : 2 x + 3z + 2 = 0 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Mặt cầu

( S)

và mặt phẳng

( P)

cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn.

B. Mặt cầu

( S)

và mặt phẳng

( P)

tiếp xúc với nhau.

C. Mặt cầu

( S)

và mặt phẳng

( Q)

cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn.

D. Mặt cầu

( S)

và mặt phẳng

( Q)

tiếp xúc với nhau.
Hướng dẫn giải

Chọn D
Mặt cầu

( S)

có tâm là

I ( 4; − 5; 3)

.Suy ra khẳng định đúng là: mặt cầu

d I ,( P) ) = 3 3 d ( I ,( Q) ) = 1
và bán kính là R = 1 , ta có (
,

( S)

và mặt phẳng

( Q)

tiếp xúc nhau.

( S ) : ( x + 3) + y 2 + ( z − 1) = 10 . Mặt phẳng
Câu 152: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu
2

nào trong các mặt phẳng dưới đây cắt mặt cầu
bằng 3 ?
A.

( P1 ) : x + 2 y − 2 z − 4 = 0 .

C.

( P1 ) : x + 2 y − 2 z − 8 = 0 .

Chọn B
Mặt cầu

( S)

có tâm

I ( −3; 0;1)

( S)

2

theo giao tuyến là đường tròn có bán kính

B.

( P1 ) : x + 2 y − 2 z + 8 = 0 .

( P ) : x + 2 y − 2z − 2 = 0 .
D. 1
Hướng dẫn giải
, bán kính R = 10 .

d I ; ( P ) ) = 10 − 9 = 1
Do đường tròn giao tuyến có bán kính bằng 3 nên (
.
d I , ( P1 ) ) = 1
( P ) : x + 2 y − 2z + 8 = 0 .
Có (
nên mặt phẳng cần tìm là 1
( S ) và mặt phẳng ( P ) lần lượt có phương
Câu 153: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
2
2
2
trình x + y + z − 2 x + 2 y − 2 z − 6 = 0, 2 x + 2 y + z + 2m = 0 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m

( P ) tiếp xúc với ( S ) ?

để
A. 0 .
B. 2 .

C. 1 .
Hướng dẫn giải

D. 4 .

Chọn B
( S ) có tâm là I ( 1; −1;1) và bán kính R = 3 .
( S ) tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) nên ta có:
Do mặt cầu
2 − 2 + 1 + 2m
m = 4
d ( I,( P) ) = R ⇔
= 3 ⇔ 2m + 1 = 9 ⇔ 
22 + 22 + 12
 m = −5 .
Trang 11/28 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 11


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

 Chú ý: Ta có thể nhận xét nhanh vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu để thấy rằng do
( P ) không đổi nên chỉ có 2 mặt phẳng thỏa mãn điều kiện tiếp xúc.
phương của
( P ) : 2 x + 2 y + z − m 2 − 3m = 0 và mặt cầu
Câu 154: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt phẳng

( S ) : ( x − 1)

2

+ ( y + 1) + ( z − 1) = 9
2

tiếp xúc với mặt cầu

2

( P)
. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng

( S) .
B. m = −2; m = 5 .
D. m = 4; m = −7 .

A. Không tồn tại giá trị của m .
C. m = 2; m = −5 .

Hướng dẫn giải
Chọn C

I ( 1; −1;1) , R = 3
có tâm và bán kính lần lượt là
.
( P ) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) khi và chỉ khi d ( I ; ( P ) ) = R .
Mặt phẳng
 m 2 + 3m − 1 = 9
2.1 + 2. ( −1) + 1 − m 2 − 3m
 m=2
⇔
⇔
⇔
=3

2
2
⇔ − m − 3m + 1 = 9
 m = −5
22 + 22 + 11
 m + 3m − 1 = −9

( S ) : ( x − 1)

Câu 155:

2

+ ( y + 1) + ( z − 1) = 9
2

Trong không gian

2

Oxyz , cho bốn điểm A ( 2;1;0 ) ; B ( 1; −1;3 ) ; C ( 3; −2; 2 ) và

.
D ( −1; 2; 2 )

. Hỏi có

( ABC ) , ( BCD ) , ( CDA) , ( DAB ) .
bao nhiêu mặt cầu tiếp xúc với tất cả bốn mặt phẳng
A. 6 .
B. 7 .
C. 8 .
D. vô số.
Hướng dẫn giải
Chọn D
uuur uuur uuur
 AB, AC  . AD = 0


nên bốn điểm A ; B ; C ; D đồng phẳng. Vậy có vô số mặt cầu thỏa
Ta có
mãn yêu cầu bài toán.
S : x2 + y 2 + z 2 − 2x − 2 z = 0
Câu 156: Trong hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( )
và mặt phẳng
P
:

4
x
+
3
y
+
m
=
0
( )
. Xét các mệnh đề sau:
P
S
(I): ( ) cắt ( ) theo một đường tròn khi và chỉ khi −4 − 5 2 < m < −4 + 5 2 .
P
S
(II): ( ) là tiếp diện của ( ) khi và chỉ khi m = −4 ± 5 2 .
P
S
(III): Nếu m > π thì ( ) và ( ) không có điểm chung.
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là
A. 0 .
B. 1 .
C. 3 .
D. 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn C

 I ( 1; 0;1)

( S) :


R = 2 .

Ta có
+

( P)

cắt

( S)

khi và chỉ khi

d ( I,( P) ) =

4+m
42 + 32

=

m+4
< 2
5
⇔ −4 − 5 2 < m < −4 + 5 2

Trang 12/28 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 12


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
⇒( I)

Hình học tọa độ Oxyz

đúng.
d ( I ,( P) ) =

P
S
+ ( ) tiếp diện ( ) khi và chỉ khi
⇒ ( II )
đúng.
P
S
+ Nếu m > π > −4 + 5 2 nên ( ) không cắt ( )
⇒ ( III )
đúng.

 m = −4 − 5 2
m+4
⇔

=
 m = −4 + 5 2 .

42 + 32
5 = 2

4+m

Oxy )
Câu 157: Trong không gian Oxyz , giá trị dương của m sao cho mặt phẳng (
tiếp xúc với mặt cầu

( x − 3)

2

+ y 2 + ( z − 2 ) = m2 + 1
2

B. m = 3

A. m = 5
Chọn B

( S ) : ( x − 3)
Mặt cầu
( S)

là

tiếp xúc với

2

C. m = 3
Hướng dẫn giải

+ y 2 + ( z − 2 ) = m2 + 1
2

⇔ d ( I , ( Oxy ) ) = R

( Oxy )

có tâm

I ( 3;0; 2 )

D. m = 5

2
, bán kính R = m + 1 .

⇔ 2 = m2 + 1 ⇔ m 2 = 3 ⇔ m = 3 (do m dương).
Câu 158: Mặt phẳng cắt mặt cầu
A. 2 x + 3 y − z + 10 = 0 .

( S ) : x2 + y2 + z 2 − 2x + 2 y + 6z −1 = 0

có phương trình là:
B. 2 x + 3 y − z + 12 = 0 .
D. 2 x + 3 y − z − 16 = 0 .

C. 2 x + 3 y − z − 18 = 0 .

Hướng dẫn giải
Chọn D
( S ) có tâm I ( 1; − 1; − 3) và bán kính R = 12 + 12 + 32 + 1 = 14 .

d ( I, ( P) ) =
d ( I , ( P) ) =

2.1 + 3 ( −1) + 3 − 16
22 + 32 + 12

= 14 = R nên loại đáp án.A.

2.1 + 3 ( −1) + 3 + 12
22 + 32 + 12

= 14 = R nên loại đáp án.

B.

d ( I, ( P) ) =

2.1 + 3 ( −1) + 3 − 18
2 + 3 +1
2

2

2

=

16
>R
14
nên loại đáp án.

C.
Câu 159: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng

( S) : x
( S)

2

+ y + z − 6x + 4 y − 2z − 2 = 0
2

2

với mặt phẳng

A. 2 .

. Gọi

I ( a, b, c )

( P ) : 2x + 2 y − z + 8 = 0

và mặt cầu

là tâm đường tròn giao tuyến của mặt cầu

( P ) . Giá trị của tổng
B. −1 .

S = a + b + c bằng
C. −2 .
Hướng dẫn giải

D. 1 .

Trang 13/28 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 13


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Chọn B

( P ) có một véc tơ pháp tuyến là
Mặt phẳng
Mặt cầu

( S) : x

I ′ ( 3; −2;1)

2

Hình học tọa độ Oxyz

r
n = ( 2; 2; −1)

.

+ y + z − 6 x + 4 y − 2 z − 2 = 0 ⇔ ( x − 3) + ( y + 2 ) + ( z − 1) = 16
2

2

2

2

2

có tâm

và bán kính R = 4 .

d ( I ′, ( P ) ) =

2.3 + 2 ( −2 ) − 1 + 8
22 + 22 + ( −1)

= 3< R

( S) .
cắt mặt cầu
I ′ ( 3; −2;1)
( P ) khi đó ∆ có một véc
Gọi ∆ là đường thẳng đi qua
và vuông góc với mặt phẳng
Ta có

tơ chỉ phương là

2

nên mặt phẳng

( P)

 x = 3 + 2t

∆ :  y = −2 + 2t
z = 1− t


r
u = ( 2; 2; −1)

, phương trình đường thẳng
.

I = d ∩ ( P)
Gọi I là tâm đường tròn giao tuyến khi đó
. Thay phương trình đường thẳng ∆ vào

( P ) ta được: 2 ( 3 + 2t ) + 2 ( −2 + 2t ) − ( 1 − t ) + 8 = 0 ⇔ t = −1 .
phương trình mặt phẳng
I ( 1; −4; 2 ) ⇒ S = a + b + c = 1 − 4 + 2 = −1
Với t = −1 thì
.
Câu 160: Cho mặt phẳng

( P) : 2x + y − 2z − 5 = 0

đường tròn giao tuyến

( C)

( S ) : ( x − 1) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z + 1) 2 = 9

theo

có bán kính r . Tính r .

B. 2 2 .

A. 8 .

cắt mặt cầu

2 2

D. 3 .

C. 2 .
Hướng dẫn giải

Chọn B
Mặt cầu

( S ) có tâm I ( 1; −2; −1) , bán kính

R = 3 ; d ( I;( P) ) = 1 .

2
2
Vậy r = R − d = 2 2 .

S
Câu 161: Trong hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( ) tâm O ( O là gốc tọa độ), bán kính r = 1 và mặt phẳng

( P ) : 2 x + 2 y + z − 3 = 0 . Kết luận nào sau đây đúng?
A.

( S)

và

( P)

có 2 điểm chung.

B.

( S)

và

( P)

cắt nhau theo một đường tròn bán kính bằng 1.

C.

( P)

là tiếp diện của mặt cầu.
S
P
D. ( ) và ( ) không có điểm chung.
Hướng dẫn giải
Chọn C

d O, ( P ) )
P
Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng ( ) là (
tiếp diện của mặt cầu.

=

−3

4 + 4 + 2 = 1 = r nên ( P ) là

Trang 14/28 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 14


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 162: Trong không gian với hệ tọa độ
( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 4 x − 10 z + 4 = 0
tròn có bán kính bằng
A. r = 5 .
Chọn D

Hình học tọa độ Oxyz

( Oxyz )

P : x − y + 4z − 4 = 0
, cho mặt phẳng ( )
và mặt cầu
P
S
. Mặt phẳng ( ) cắt mặt cầu ( ) theo giao tuyến là đường

B. r = 2 .

C. r = 3 .

Hướng dẫn giải

D.

7.

I 2;0;5 )
có tâm (
và bán kính R = 5 .
I 2;0;5 )
P : x − y + 4z − 4 = 0
Khoảng cách từ tâm (
đến mặt phẳng ( )
là
2 − 0 + 4.5 − 4
d = d ( I ,( P) ) =
= 18
2
12 + ( −1) + 42
.
P
S
Vậy mặt phẳng ( ) cắt mặt cầu ( ) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính

Mặt cầu

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 4 x − 10 z + 4 = 0

r = R 2 − d 2 = 25 − 18 = 7 .

( P ) : x + 2 y − z + 3 = 0 cắt mặt cầu
Câu 163: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng
( S ) : x 2 + y 2 + z 2 = 5 theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích là:
7π
9π
15π
11π
A. 4 .
B. 4 .
C. 4 .
D. 4 .
Hướng dẫn giải
Chọn D
( S ) : x 2 + y 2 + z 2 = 5 có tâm O ( 0; 0 ) và bán kính R = 5 .
Mặt cầu
3
11
d ( O; ( P ) ) =
r = R2 − d 2 =
2 , suy ra bán kính đường tròn giao tuyến là
2 .
Ta có
11π
S = π r2 =
4 .
Do đó, diện tích của đường tròn giao tuyến là
Câu 164: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 6 x − 4 y − 12 z = 0

và mặt phẳng

( P ) : 2 x + y − z − 2 = 0 . Tính diện tích thiết diện của mặt cầu ( S )
A. S = 25π .

( P)
cắt bởi mặt phẳng
B. S = 36π .
C. S = 49π .
D. S = 50π .
Hướng dẫn giải

Chọn C
( S ) có tâm I ( 3; 2;6 ) bán kính R = 7 .
2.3 + 2 − 6 − 2
d ( I;( P) ) =
=0
2
2
2
( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo thiết diện là
2
+
1
+
1
Ta có:
. Nên mặt phẳng
đường tròn lớn đi qua tâm mặt cầu và có bán kính bằng bán kính mặt cầu.
2

Vậy diện tích thiết diện là: S = π R = 49π .

( S ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 2 ) = 9 và mặt
Câu 165: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu
( P ) : 2 x − y − 2 z + 1 = 0 . Biết ( P ) cắt ( S ) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r .
phẳng
Tính r .
2

2

2

Trang 15/28 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 15


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
B. r = 3 .

A. r = 2 2 .

Hình học tọa độ Oxyz
D. r = 3 .

C. r = 2 .
Hướng dẫn giải

Chọn A
Ta có

( S)

Khi đó

có tâm

I ( 1; 2; 2 )

và bán kính R = 3 ;

r = R2 − d 2 ( I , ( P ) ) = 2 2

d ( I,( P) ) =

2 − 2 − 4 +1
4 +1+ 4

=1

.

.

( P ) : 2 x + y − 2 z + m = 0 và mặt cầu
Câu 166: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z − 2 = 0 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để mặt phẳng ( P )

( S ) theo giao tuyến là đường tròn ( T ) có chu vi bằng 4π 3 .
cắt mặt cầu
A. 2 .
B. 1 .
C. 3 .
D. 4 .
Hướng dẫn giải
Chọn A
( S ) có tâm I ( 1; −2;3) và bán kính R = 4 .
( P) .
Gọi H là hình chiếu của I lên
2.1 − 2 − 2.3 + m
m−6
IH = d ( I , ( P ) ) =
=
2
3
22 + 12 + ( −2 )
Khi đó
.
4π 3
r=
=2 3
T)
(
4
π
3
2π
Đường tròn

có chu vi là
nên có bán kính là
.
( P)

( S)

(T)

có chu vi bằng 4π 3
m − 6 = 6
 m = 12
m−6
⇔
⇔
⇔
=
16
−
12
⇔ m−6 = 6
⇔ IH = R 2 − r 2
 m − 6 = −6
m = 0 .
3
Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
( S ) : x2 + y 2 + z 2 + 2 x − 2 y + 4 z − 3 = 0 và mặt phẳng
Câu 167: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu
cắt mặt cầu

theo giao tuyến là đường tròn

( P ) : 2 x − 2 y + z = 0 . Mặt phẳng ( P )

cắt khối cầu

( S)

theo thiết diện là một hình tròn. Tính diện

của hình tròn đó.
A. 5π

B. 25π

C. 2 5π
Hướng dẫn giải

D. 10π

Chọn A
( S ) có tâm I ( −1;1; −2 ) và bán kính R = 3 .
2. ( −1) − 2.1 + ( −2 )
d=
=2
2
2
2
2
+

−
2
+
1
( )
( P ) là
Khoảng cách từ I đến
.
2
2
Bán kính của hình tròn thiết diện là r = R − d = 5 .
Do đó diện tích của hình tròn thiết diện là 5π .

S : x2 + y 2 + z 2 − 2x + 4 y − 2 z − 3 = 0
Câu 168: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu ( )
. Hỏi
trong các mặt phẳng sau, đâu là mặt phẳng không có điểm chung với mặt cầu ( S ) ?
Trang 16/28 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 16


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A.

( α2 ) : 2x − y + 2z + 4 = 0 .

C.

( α3 ) : x − 2 y + 2z − 3 = 0 .

Hình học tọa độ Oxyz
B.

( α 4 ) : 2 x + 2 y − z + 10 = 0 .

α : x − 2 y + 2z −1 = 0
D. ( 1 )
.
Hướng dẫn giải

Chọn A
( S ) có tâm I ( 1; −2;1) và bán kính R = 3 .
α ( i = 1, 2,3, 4 )
Lần lượt tính khoảng cách từ I đến ( i )
và so sánh với R .
α
( S ) không có điểm chung khi và chỉ khi d ( I , ( α i ) ) > R .
Ta có ( i ) và
10
d ( I ,( α2 ) ) = > R
3
Ta có
.
DẠNG 5: XÉT VTTĐ GIỮA ĐT VÀ MC
Câu 169: Trong

( S) : x

không
2

gian

với

hệ

tọa

độ Oxyz ,

cho

A ( 0;1; −1) , B ( −2;3;1)

và

mặt

cầu

( S ) có bao nhiêu điểm chung?
. Đường thẳng AB và mặt cầu
B. 0
C. 1
D. 2
Hướng dẫn giải

+ y + z + 2x − 4 y = 0
2

2

A. Vô số
Chọn D

 x = −t

AB :  y = 1 + t
 z = −1 + t

Ta có phương trình đường thẳng
.
( S ) có tâm I ( −1; 2;0 ) và bán kính R = 5 .
Mặt cầu

( S ) nên đường thẳng AB
Nhận xét I ∈ AB do đó đường thẳng AB đi qua tâm I của mặt cầu
luôn cắt mặt cầu

( S)

tại hai điểm phân biệt.

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 4 x − 6 y + m = 0 và đường thẳng ∆
Câu 170: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu
( α ) : x + 2 y − 2 z − 4 = 0 và ( β ) : 2 x − 2 y − z + 1 = 0 . Đường

là giao tuyến của hai mặt phẳng
( S ) tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB = 8 khi:
thẳng ∆ cắt mặt cầu
A. m = 5 .
B. m = 12 .
C. m = −12 .
D. m = −10 .
Hướng dẫn giải
Chọn C
( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 4 x − 6 y + m = 0 là phương trình mặt cầu ⇔ m < 13 .
Phương trình
( S ) có tọa độ tâm I ( −2;3;0 ) bán kính R = 13 − m .
Khi đó
M ( x; y; z )
Gọi
là điểm bất kỳ thuộc ∆ .
 x + 2 y − 2z − 4 = 0

⇒ Tọa độ M thỏa mãn hệ:  2 x − 2 y − z + 1 = 0 .

Trang 17/28 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 17


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

 x − 2 z = 4 − 2t  x = −2 + 3t


Đặt y = t ta có: 2 x − z = −1 + 2t  z = −3 + 2t ⇒ ∆ có phương
trình tham số:
r
⇒ ∆ đi qua điểm N ( −2;0; − 3) và có vectơ chỉ phương u ( 2;1; 2 ) .

 x = −2 + 2t

t
y =
 z = −3 + 2t


.

B

C
A

I

( C ) là đường tròn
cắt ∆ tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 8 .Gọi
2
2
2

2
lớn chứa đường thẳng ∆ . Khi đó IC = R − AC = 13 − m − 4 = −m − 3 .
r
r
r
uur




⇒
IN
,
u
=
9
IN
,
u
u
=3
IN = ( 0; − 3; −3) 


 = ( −3; −6;6 )
,
,
.
uur r
 IN , u 



d ( I, ∆) =
=3
r
u
.
( S ) cắt ∆ tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 8 .
Vậy mặt cầu
Giả sử mặt cầu

( S)

⇔ −m − 3 = 9 ⇔ m = −12 .

Câu 171: Cho mặt cầu

( S) : x

2

+ y + z − 2x + 4z + 1 = 0
2

2

và đường thẳng

 x = −1 + 2t


d : y = 0
(t ∈¡
 z = m + 2t


)
. Biết có

( S ) tại hai điểm phân biệt A, B và các mặt phẳng tiếp diện
hai giá trị thực của tham số để m cắt
( S ) tại A và tại B luôn vuông góc với nhau. Tích của hai giá trị đó bằng
của
A. 12 .
B. 14 .
C. 10 .
D. 16 .
Hướng dẫn giải
Chọn A
 x = −1 + 2t
y = 0


 z = m + 2t
 x2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 z + 1 = 0
d ∩ ( S ) = { A; B} ⇒
Vì
Tọa độ A, B là nghiệm của hệ 
⇒ ( −1 + 2t ) + ( m + 2t ) − 2 ( −1 + 2t ) + 4 ( m + 2t ) + 1 = 0
2

2

⇔ 8t 2 + 4mt + m 2 + 4m + 4 = 0 (*)

( S ) tại hai điểm phân biệt A, B nên PT
Theo giả thiết: Có hai giá trị thực của tham số để m cắt

( *) phải có
Điều kiện:

2 nghiệm phân biệt t1 , t2 .
∆′ = m 2 + 8m + 8 < 0 (**)

Trang 18/28 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 18


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

m

t1 + t2 = − 2

2
t .t = m + 4m + 4

1 2
8
Theo Viet, ta có 
(1)
A ( −1 + 2t1 ;0; m + 2t1 ) B ( −1 + 2t2 ; 0; m + 2t2 )
( S ) có: tâm I ( 1; 0; −2 ) .
Giả sử
,
. Mặt cầu
uu
r
uur
IA
=
2
t
−
2;0;
2
t
+
m
+
2
IB = ( 2t2 − 2;0; 2t2 + m + 2 )
(
)
1
1
⇒

;
( S ) tại A và tại B luôn vuông góc với nhau
Theo giả thiết: Mặt phẳng tiếp diện của
uur uur
uur uur
⇒ IA ⊥ IB ⇔ IA.IB = 0 ⇔ ( 2t1 − 2 ) ( 2t2 − 2 ) + ( 2t1 + m + 2 ) ( 2t2 + m + 2 ) = 0
⇔ 8t1t2 + 2m ( t1 + t 2 ) + ( m + 2 ) + 4 = 0 (2)
2

m 2 + 4m + 4 − m 2 + ( m + 2 ) + 4 = 0 ⇔ m 2 + 8m + 12 = 0
⇒
Từ (1) và (2)
2

 m1 = −2

⇔  m2 = −6 : TM ( **)
Vậy

m1.m2 = 12

.

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 y − 2 z = 0 và đường
Câu 172: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu
 x = mt

d :  y = m 2t
 z = mt


thẳng
với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d

tiếp xúc với mặt cầu
A. m = 1 .

( S) .
B. m = −2 .

 m = −2

C.  m = 0 .
Hướng dẫn giải

D. m = 0 .

Chọn B

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 y − 2 z = 0 ⇔ ( x − 1) 2 + ( y − 1) 2 + ( z − 1) 2 = 3 .
Dựa vào phương trình tham số của đường thẳng d ta thấy vectơ chỉ phương của d là
r
u = ( m; m 2 ; m )
O ( 0;0; 0 )
và đi qua điểm
.
( S ) ⇔ d( I ;d ) = R với I ( 1;1;1) và R = 3 là tâm và bán kính
Đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu
uur r
OI , u  = m2 − m;0; m − m2
S)

(

mặt cầu
. Ta có 
.
uur r
2
2
2
OI , u 
m2 − m ) + ( m − m2 )
(


2 ( m2 − m )
⇔
=
R
⇔
= 3
r
⇔
=3
u
m2 + m4 + m2
m 4 + 2m2

(

)

m = 0
⇔
 m = −2 .
⇔ 2m 4 − 4m3 + 2m 2 = 3m 4 + 6m 2 ⇔ m4 + 4m3 + 4m2 = 0
r
u = ( 0;0;0 )
m
=
0
m
=
0
Loại đáp án
vì khi
thì
không thể là vectơ chỉ phương của d .
Trang 19/28 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 19


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

Vậy m = −2 .

1 3 
M ;
;0 ÷
2
2
S ) : x2 + y 2 + z 2 = 8
(
Oxyz


Câu 173: Trong không gian
, cho điểm
và mặt cầu
. Đường
( S ) tại hai điểm A, B phân biệt. Tính diện tích
thẳng d thay đổi, đi qua điểm M , cắt mặt cầu
lớn nhất S của tam giác OAB .
A. S = 7.

C. S = 2 7.
Hướng dẫn giải

B. S = 4.

Chọn A
Cách 1: Mặt cầu

( S)

có tâm

O ( 0;0;0 )

D. S = 2 2.

và bán kính R = 2 2 .

2

2
1  3
OM =  ÷ + 
÷ =1
 2  2 
Có
nên M nằm trong mặt cầu

2
2
Khi đó diện tích AOB lớn nhất khi OM ⊥ AB. Khi đó AB = 2 R − OM = 2 7 và

1
S AOB = OM . AB = 7
2
Cách 2: gọi H là hình chiếu của O xuống đường thẳng d, đặt

OH = x ( 0 < x ≤ 1)

Khi đó

1
S AOB = OH . AB = x 8 − x 2
AB = 2 R − OH = 2 8 − x và
2
.
2

Khảo sát hàm số

2

2

f ( x ) = x 8 − x2

trên

( 0;1] thu được giá trị lớn nhất của hàm số là

7 Đạt

được tại x = 1
DẠNG 6: GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Câu 174: Trong không gian Oxyz ,
( Q) : 2x − 2 y + 7 = 0 .
π
π
A. 6 .
B. 3 .
Chọn C

r
r
n( P ) = ( 8; −4; −8 ) ; n( Q ) =

(

góc

2; − 2; 0

giữa

hai

mặt

π
C. 4 .
Hướng dẫn giải

).

( P ) & ( Q ) ta có
Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng
π
α=
4.
Vậy

phẳng

( P ) : 8 x − 4 y − 8 z − 11 = 0 ;
π
D. 2 .

r r
n( P ) .n( Q )
12 2
2
cos α = r
=
=
r
24
2
n ( P ) . n( Q )

.

( P ) : x + 2 y − 2 z + 3 = 0 , mặt phẳng
Câu 175: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
Trang 20/28 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 20


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

( Q ) : x − 3 y + 5 z − 2 = 0 . Cosin của góc giữa hai mặt phẳng ( P ) , ( Q )
−5
A. 7 .

35
7 .

B.

C.

−

là
5
D. 7 .

35
7 .

Hướng dẫn giải
Chọn B

( P)

Ta có véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
uur
( Q ) là nQ = ( 1; −3;5) .

là

uur
nP = ( 1; 2; −2 )

, véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng

( P ) , ( Q ) ta có
Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng
uur uur
nP .nQ
1.1 + 2. ( −3) − 2.5
15
cos α = uur uur =
35
2
2
2
2
2
2 =
=
nP nQ
1 + 2 + ( −2 ) 1 + ( −3) + 5
3 35
7 .

(

) (

(

)

) (

)

A −1; 3;0 B 1; 3;0 C 0;0; 3
Câu 176: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm
,
,
MAB
ABC
(
) và (
) vuông góc với nhau. Tính góc giữa
và điểm M ∈ Oz sao cho hai mặt phẳng
( MAB ) và ( OAB ) .
hai mặt phẳng
A. 30° .
B. 45° .
C. 60° .
D. 15° .
Hướng dẫn giải
Chọn B
uuur
uuur

AB = ( 2; 0; 0 ) , AC = 1; − 3; 3
Ta có:
.
uuuuur uuu
r uuur
n
= AB ∧ AC = 0; − 2 3; −2 3
Suy ra: ( ABC )
uuuu
r
AM = 1; − 3; z
M ∈ Oz ⇒ M ( 0;0; z )
và
uuuuur uuur uuuu
r
n( MAB ) = AB ∧ AM = 0; − 2 z; − 2 3
Mặt khác:
uuuuur uuuuur
n( ABC ) .n( MAB ) = 0 ⇔ z = − 3
MAB ) ⊥ ( ABC )
(
Vì:
nên
uuuuur uuur uuuu
r
n( MAB ) = AB ∧ AM = 0; 2 3; − 2 3
Vậy:
.
uuu
r

uuur
uuuuur uuu
r uuur
OA = −1; 3;0 , OB 1; 3;0 ⇒ n( OAB ) = OA ∧ OB = 0; 0; − 2 3
Ta có:
uuuuur uuuuur
n( MAB ) .n( OAB )
2
cos (·MAB ) , ( OAB ) = uuuuur uuuuur =
⇒ (·MAB ) , ( OAB ) = 45°
2
n( MAB ) . n( OAB )
.
H ( 2; − 1; − 2 )
Câu 177: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm
là hình chiếu vuông góc của

(

)

(

)

(

)

(

)

(

(

(

)

)

)

(

)

(

)

( P ) , số đo góc giữa mặt ( P ) và mặt phẳng ( Q ) : x − y − 11 = 0
gốc tọa độ O xuống mặt phẳng
bằng bao nhiêu?
Trang 21/28 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />

Trang 21


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A. 90°

B. 60°

Chọn C
H ( 2; − 1; − 2 )

( P)
Do đó
( Q)

Hình học tọa độ Oxyz

C. 45°
Hướng dẫn giải

D. 30°

( P ) nên OH ⊥ ( P ) .
là hình chiếu vuông góc của O xuống mặt
→

có vectơ pháp tuyến là

n ( P) = ( 2; − 1; − 2 )

.

→

có vectơ pháp tuyến là

cos ( ( P ) , ( Q ) )
Suy ra

n ( Q) = ( 1; − 1; 0 )

→
→
= cos  n ( P ) , n ( Q) ÷



=

→

→

→

→

.

n ( P) . n ( Q)

n ( P) . n ( Q ) =

2.1 − 1. ( −1) − 2.0
4 + 1 + 4. 1 + 1 + 0

( ( P ) , ( Q ) ) = 45° .

=

2
2 .

Câu 178: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a , AD = 2a .

( ABCD ) và SA = a 3 . Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng
Biết SA vuông góc với mặt phẳng
( SBC )
A.

và

( SCD )

10
4 .

bằng

10

B. 10 .

10
C. 6 .
Hướng dẫn giải

10
D. 5 .

Chọn A

Cho a = 1 . Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ. Ta có:

(

)

A ≡ O ( 0;0; 0 ) B ( 1;0;0 ) C ( 1;1; 0 ) D ( 0; 2;0 ) S 0;0; 3
,
,
,
,
.
ur
uur uuur
( SBC ) là: n1 =  SB, BC  = 3;0;1
VTPT của mặt phẳng
uu
r uuu
r uuur


n
=
SD
SCD
(
) là 2  , CD  = 3; 3; 2
VTPT của mặt phẳng
ur uu
r
n1.n2
5
10
cos ( ( SBC ) ; ( SCD ) ) = ur uu
=
r =
4
n1 . n2 2 10
Ta có:
.

(
(

)

)

Trang 22/28 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 22


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

( P) : x − 2y − z + 2 = 0 ,
Câu 179: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng
( Q ) : 2 x − y + z + 1 = 0 . Góc giữa ( P ) và ( Q ) là
A. 120° .
B. 90° .
C. 30° .
D. 60° .
Hướng dẫn giải
Chọn D
r
( P ) : x − 2 y − z + 2 = 0 có VTPT n( P ) = (1; −2; −1) .
r
( Q ) : 2 x − y + z + 1 = 0 có VTPT n(Q ) = (2; −1;1) . Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) .
r r
1.2 + (−2)(−1) + ( −1).1
1
cos ϕ = cos n( P ) ; n( Q ) =
= ⇒ ϕ = 60°
12 + (−2) 2 + (−1)2 22 + (−1) 2 + 12 2
.
( α ) : x − y + 2z −1 = 0 ,

Câu 180: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng
( β ) : x + 2 y − z + 2 = 0 . Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng ( α ) và ( β ) .
A. ϕ = 60° .
B. ϕ = 30° .
C. ϕ = 90° .
D. ϕ = 120° .

(

)

Hướng dẫn giải
Chọn A
r
r
n( α ) = ( 1; −1; 2 ) n( β ) = ( 1; 2; −1)
Ta có
;
.

r
α)
β)
n( α ) = ( 1; −1; 2 )
(
(
ϕ
Góc
giữa hai mặt phẳng
và

tính thông qua góc giữa hai véc tơ
;
r
n( β ) = ( 1; 2; −1)
.
r r
n( α ) .n ( β )
3 1
cos ϕ = r
= =
r
n( α ) . n( β ) 6 2 ⇒ ϕ = 60°
Vậy
.
DẠNG 7: GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
B ( 2; − 1; − 3) C ( −6; − 1; 3 )
Câu 181: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm
,
. Trong các tam
A ( a; b;0 )
giác ABC thỏa mãn các đường trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau, điểm
,
a+b
b > 0 sao cho góc A lớn nhất. Tính giá trị cos A .
A. 15 .

B.

−

31
3 .

C. 10 .
Hướng dẫn giải

D. −20 .

Chọn A

Trang 23/28 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 23


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

Gọi M , N lần lượt là trung điểm của cạnh AC , AB .
2
2
2
Gọi P = BM ∩ CN , ta có BM ⊥ CN nên BC = BP + CP .
Theo công thức tính đường trung tuyến, ta có

2
2

2
2
2
2
2
2
4 2 ( BA + BC ) − AC
4 2 ( CA + CB ) − AB
2

2

2
BP =  BM ÷ = .
CP =  CN ÷ = .
9
4
9
4
3

3

,
2

⇒ BC 2 =

AB 2 + AC 2 + 4 BC 2
⇒ AB 2 + AC 2 = 5BC 2

9
.

Góc A lớn nhất ⇔ cos A nhỏ nhất.

2
2
2
2
AB 2 + AC 2 − BC 2 5 ( AB + AC ) − ( AB + AC )
cos A =
=
2 AB. AC
10 AB. AC
Ta có
2 AB 2 + AC 2 2 2 AB. AC 4
= .
≥ .
=
5 AB. AC
5 AB. AC 5 , dấu " = " xảy ra ⇔ AB = AC .

A ( a; b;0 ) b > 0
B ( 2; − 1; − 3) C ( −6; − 1; 3)
Ta có
,
và
,
uuur
 AB = ( 2 − a; −1 − b; −3) ⇒ AB 2 = ( 2 − a ) 2 + ( b + 1) 2 + 9

⇒  uuur
2
2
2
 AC = ( −6 − a; −1 − b;3) ⇒ AC = ( a + 6 ) + ( b + 1) + 9
⇒ ( 2 − a ) + ( b + 1) + 9 = ( a + 6 ) + ( b + 1) + 9 ⇒ 4 − 4a = 12a + 36 ⇒ a = −2
.
uuur
2
2
2
BC = ( −8; 0;6 ) ⇒ BC = 8 + 6 = 100
Ta có
.
2
2
2
Khi đó từ AB + AC = 5BC và AB = AC
2

2

2

2

2
2
2
⇒ 2 ( 2 − a ) + ( b + 1) + 9  = 5.100 ⇒ 4 2 + ( b + 1) + 9 = 250



.

Kết hợp với b > 0 ta được b = 14 thỏa mãn.
a + b −2 + 14
=
= 15
4
cos A
5
Như vậy
.
Trang 24/28 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 24


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

d1 :

Câu 182: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho hai đường thẳng
x +1 y z − 3
d2 :
= =

−1 1
1 . Góc giữa hai đường thẳng đó bằng
A. 45° .
B. 90° .
C. 60° .
Hướng dẫn giải
Chọn B
r
u = ( 1; −1; 2 )
d
 Đường thẳng 1 có véctơ chỉ phương 1
.
r
u = ( −1;1;1)
d
 Đường thẳng 2 có véctơ chỉ phương 2
.
 Gọi α là góc giữa hai đường thẳng trên,ta có:

r r
cos α = cos ( u1; u2 ) =
Khi đó

1.( −1) + ( −1) .1 + 2.1
1 + ( −1) + 2 .
2

2

2

( −1)

2

+1 +1
2

2

=0
⇒

D. 30° .

( d· ; d ) = 90° .
1

Câu 183: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tính góc giữa hai đường thẳng
x +1 y z − 3
d2 :
= =
−1 1
1 .
A. 45° .

B. 30° .

x y +1 z −1
=

=
1
−1
2
và

C. 60° .
Hướng dẫn giải

2

d1 :

x y +1 z −1
=
=
1
−1
2 và

D. 90° .

Chọn D
r

r r
ud1 = ( 1; −1; 2 )
⇒ ud1 .ud2 = 1. ( −1) + ( −1) .1 + 2.1 = 0 ⇒ d1 ⊥ d 2 ⇒ d· 1, d 2 = 90°
r
u = ( −1;1;1)

Ta có:  d2
.

(

Câu 184: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
Tìm m để tam giác MNP vuông tại N .
A. m = 0 .

B. m = −4 .

M ( 2;3; − 1)

C. m = 2 .
Hướng dẫn giải

,

)

N ( −1;1;1)

và

P ( 1; m − 1; 2 )

.

D. m = −6 .

Chọn A
Ta có
uuuur
uuur
NM = ( 3; 2; − 2 ) NP = ( 2; m − 2;1)
,
.

uuuur uuur
Tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi NM .NP = 0
⇔ 3.2 + 2. ( m − 2 ) − 2.1 = 0 ⇔ m = 0
.
Vậy giá trị cần tìm của m là m = 0 .

 x = −1 − t

d1 :  y = 3 + 4t
 z = 3 + 3t


Câu 185: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng
x y +8 z +3
d2 : =
=
1
−4
−3 . Tính góc hợp bởi đường thẳng d1 và d 2 .
A. 30° .
B. 60° .
C. 0° .

D. 90° .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Trang 25/28 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 25

và