PHUONG TRINH VI PHAN CAP 1

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1


Bài toán dẫn về phương trình vi phân

Vận tốc nguội lạnh của một vật trong không khí tỷ lệ với hiệu giữa nhiệt độ của vật và nhiệt
0
độ không khí. Tìm quy luật giảm nhiệt của vật nếu nhiệt độ của không khí là 20 C và nhiệt
0
độ ban đầu của vật là 100 C.

Quy luật giảm nhiệt ⇔ sự thay đổi nhiệt độ theo thời gian
Gọi nhiệt độ của vật là hàm số T theo biến thời gian t

dT
0
= k [ T (t ) − 20] , T (0) = 100 C
dt

⇒ PTVP


BÀI TOÁN DẪN VỀ PTVP

Tìm pt đường cong đi qua điểm (1, 1) nếu với đoạn [1, x] bất kỳ, diện tích hình thang
cong giới hạn bởi đường cong này bằng tích 2 lần tọa độ điểm M(x,y) thuộc đường cong
(x>0, y>0)

x

M(x,y)

1

∫1

y(t)dt = 2 xy( x)

Đạo hàm 2 vế
1
Lưu ý:

x

y(1) = 1

y( x) = 2 y( x) + 2 xy'( x)
⇔ 2 xy'( x) + y( x) = 0


BÀI TOÁN DẪN VỀ PTVP

20cm

100m / s

v = 400m / s
0

Giả thiết: lực cản của tường tỷ lệ bình phương vận tốc.

Hỏi: thời gian viên đạn xuyên tường.


MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA

1. PTVP là phương trình mà hàm phải tìm nằm dưới dấu đạo hàm hoặc vi phân..
2. Cấp của ptvp là cấp cao nhất của đạo hàm của ẩn hàm.
3. Nếu ẩn hàm là hàm 1 biến ⇒ PTVP thường.
Nếu ẩn hàm là hàm nhiều biến ⇒ PTVP đạo hàm riêng.

4. Hệ PTVP là hệ gồm nhiều PTVP và nhiều ẩn hàm.


NGHIỆM CỦA PTVP
Xét ptvp thường cấp n: F(x,y,y’,…,y

(n)

)=0

(1)

1. Hàm số y = ϕ(x,c1,…,cn) thỏa mãn (1) với ci là các hằng số gọi là nghiệm tổng quát
của (1).
Nếu cho ci các giá trị cụ thể ta được nghiệm riêng của (1).

2. Hàm φ(x,c1,…,cn, y) = 0 thỏa mãn (1) gọi là tích phân tổng quát của (1) (y được
tìm ở dạng ẩn)
Nếu cho ci các giá trị cụ thể ta đươc tích phân riêng của (1).

NGHIỆM CỦA PTVP

3. Đồ thị của hàm nghiệm gọi là đường cong tích phân.
4. Hàm y = y(x) thỏa (1) nhưng không phải là nghiệm riêng được gọi là nghiệm
kỳ dị của (1).


Bài toán Cauchy cho ptvp cấp 1

Xét ptvp cấp 1:
Hoặc

F(x, y, y’) = 0

(1)

y’ = f(x, y)

(2)

(2) Gọi là pt đã giải ra được đối với đạo hàm.
Bài toán tìm hàm y thỏa (1) hoặc (2) với điều kiện ban đầu
y(x0) = y0
Gọi là bài toán Cauchy.


MỘT SỐ DẠNG PTVP CẤP 1

Phương trình tách biến

Phương trình đẳng cấp
Phương trình tuyến tính cấp 1
Phương trình vi phân toàn phần
Phương trình Bernoulli.


PHƯƠNG TRÌNH TÁCH BIẾN

Phương trình có thể tách y và x về 2 vế khác nhau gọi là phương trình tách biến.

f(y) dy = g(x) dx
Phương pháp giải: tích phân 2 vế
Nhận dạng: y’ = f(y)g(x)


2
3y y’ = 2x

Ví dụ

(1)

y(0) = 1 (2)

(1) ⇔ 3y2 dy = 2 xdx

⇔ ∫ 3y dy = ∫ 2 xdx
2

⇔ y3 = x2 + C

(3)

( tích phân tổng quát )

Thay x = 0, y = 1 vào TPTQ ⇒ C = 1
3
2
Vậy tích phân riêng là: y = x + 1

3

hay nghiệm của (1) và (2) là:

2

y= x +1


xy’ = y (1)

1. y = 0 là 1 nghiệm của pt
2. y ≠ 0: chia 2 vế cho xy (không xét TH x = 0)
dy dx
(1) ⇔
=
y x
⇔ ln y = ln x + c

⇔ ln y − ln x = c

y
c
⇔ =e
x

y
⇔ = C, C ≠ 0
x

y = 0 là trường hợp C = 0 trong nghiệm tổng quát.


2
y’ = 3x y, y(0) = 2

Hàm y = 0 không thỏa đk ban đầu nên không xét.

dy
dy
2
y' = 3 x y ⇔
= 3x dx ⇔ ∫ = ∫ 3 x2 dx
y
y
2

3

⇔ ln y = x + c

x3 + c

⇔ y=e

c x3

=ee

x3

⇔ y = Ce ,
x = 0, y = 2 ⇒ C = 2 ⇒ nghiệm :

C≠0
x3

y = 2e


Ví dụ

2
y’ – xy = 2xy

2
⇔ y’ = xy + 2xy = xy(y + 2) (1)

dy
1 1
1 

(1) ⇒
= xdx ⇒ ∫  −
dy = ∫ xdx
÷
y( y + 2)
2  y y+ 2 
y
⇒ ln
= x2 + c
y+ 2
y
x2
⇒
= Ce
y+ 2


DẠNG ĐƯA VỀ TÁCH BiẾN

y’ = f(ax + by + c)

Vd: y’ = (4x + y – 1)

Đặt: u = ax + by +c

u = 4 x + y − 1 ⇒ u' = 4 + y'

2

Pt trở thành

2

u'− 4 = u

du
⇒ 2
= dx
u +4

1
u
⇒ arctan = x + c
2
2
4x + y− 1
⇔ arctan
= 2x+ C
2


DẠNG ĐƯA VỀ TÁCH BiẾN

3 y − 3x − 1
y′ =
2 y − 2x
u = y− x
Đặt ẩn hàm mới:

Vd:

Pt trở thành:

3u − 1
u'+ 1 =
2u

u− 1
⇒ u' =
2u
udu dx
⇒
=
u− 1 2
x
⇒ u + ln u − 1 = + C
2


PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP

y

y′ = f  ÷
x
Vd:

Đổi biến:

xyy ' = x 2 − xy + y 2

y
u = ⇒ y = ux
x
Pt trở thành:

1− u
⇒ u'x =
u

y
u=
x

Hay: y = ux

x
y
⇒ y ' = −1+
y
x

⇒ y' = u'x + u

1
u ' x + u = −1+ u
u
⇒ u + ln|u-1| =− ln|x| + C

PT ĐƯA VỀ ĐẲNG CẤP

 ax + by + c 
y′ = f 
÷
 a1x + b1 y + c1 

a b
=0
a1 b1

Bước 1: giải hệ pt

đưa về tách biến

 ax + by + c = 0

a1x + b1 y + c1 = 0
Với cặp nghiệm (x0, y0), đặt :

Pt trở thành:

a b
≠0
a1 b1

X

Y′ = g  ÷
Y 

Bước 2: giải pt đẳng cấp và trả về x, y

x = X + x0
y = Y + y0


Ví dụ
Giải pt:

(2 x − 4 y + 6) + y'( x + y − 3) = 0

−2 x + 4 y − 6
⇒ y' =
x+ y− 3
 −2 x + 4 y − 6 = 0
x = 1
⇔

x+ y− 3 = 0
y = 2
Đổi biến: x = X + 1, y = Y + 2, pt trở thành

−2( X + 1) + 4(Y + 2) − 6
−2 X + 4Y
Y'=
⇔Y'=
X +1+ Y + 2 − 3
X+Y

−2 X + 4Y
Y'=
X+Y

Y
−2 + 4
X
⇒Y'=
Y
1+
X

Đổi biến: Y = UX ⇒ Y’ = U’X + U

2

−2 + 4U
−U + 3U − 2
U 'X +U =
⇒U 'X =
1+ U
1+ U
(U + 1)dU
− dX
⇒ 2
=
X
U − 3U + 2

(U + 1)dU
− dX
=
X
U 2 − 3U + 2
2

3

⇒ − ln(U − 1) + ln U − 2 = − ln | X | + c
3

(U − 2) C
⇒
=
2
X
(U − 1)
⇒ (Y − 2 X)3 = C (Y − X) 2
(trả về x, y)


(

f ( x, y ) = sin xy + ln x + y
∂f
f x′ ( x, y ) = ( x, y )
∂x

2

2

)

= y cos xy +

2x
2

x +y

2

∂f
2y
f y′ ( x, y ) = ( x, y ) = y cos xy +
∂y
x2 + y 2


PT VI PHÂN TOÀN PHẦN

Dạng:

 P ( x, y )dx + Q ( x, y )dy = 0
 ′
 Py = Qx′
U ( x, y ) = C

Tích phân tổng quát:

(x0, y0) là điểm mà P, Q xác định

Với U(x,y) cho bởi:

x

y

x0

y0

U ( x, y ) = ∫ P(t , y0 )dt + ∫ Q( x, t ) dt
hay

x

y

x0

y0

U ( x, y ) = ∫ P(t , y )dt + ∫ Q( x0 , t )dt


Ví dụ

Giải pt:

(3 x + 2 y )dx + (2 x − 9 y )dy = 0
Q(x,y)

P(x,y)

Py′ = 2 = Qx′
Chọn :

( x0 , y0 ) = (0,0)
x

y

x0

y0

U ( x, y ) = ∫ P(t , y0 )dt + ∫ Q( x, t ) dt
x

y

0

0

= ∫ (3t + 0)dt + ∫ (2 x − 9t )dt

x

y

0

0

U ( x, y ) = ∫ (3t + 0)dt + ∫ (2 x − 9t )dt
3 2
9 2
= x + 2 xy − y
2
2
Vậy tích phân tổng quát là

3 2
9 2
U ( x, y ) = x + 2 xy − y = C
2
2