tích phân có lời giải chi tiết

20 CÂU VDC TÍCH PHÂN
2

Câu 1.

Tích phân  min  x 2 , 3 x  2dx bằng
0

2
A.  .
3
e

Câu 2.

B.

1  ln x

1

  x  ln x  dx  ae  b

Biết

2

1

A. T  1 .
Câu 3.

11
.
6

C.

2
.
3

D.

17
.
6

với a, b   . Tính T  2a  b 2 .

B. T  4 .

C. T  2 .

Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn

D. T  3 .
1

 f ( x)dx  10, f (1)  cot1.

Tính tích phân

0

1

I    f ( x ) tan 2 x  f  ( x) tan x dx .
0

A. 1  ln(cos1) .

C. 9 .

B. 1 .

D. 1  cot1 .

3

Câu 4.

x2  2x  3
dx  a ln 2  b ln 3  c ln 5, ( a, b, c  ) . Tính S  2a  3b  8c .
2
(
x

1)
x


x

4


2

Biết rằng I  
A. S  9 .
1

Câu 5.

Biết

 ( x  5)
0

B. S  9 .

B. M  9 .

Tìm nguyên hàm I  
1  x 
A. . 

4  x2

C.

D. S  8 .

ax  b  0, x  [0;1]
dx
1
và 
. Tính M  2a  5b .

15( ax  b)( x  5) 120
5a  b  32

A. M  1 .
Câu 6.

C. S  8 .

2003

x 2002

 x  2

1  x 
 .

4  x2

1  x 
.


8008  x  2 

2002



2005

D. M  0 .

C. M  2 .

dx

2004

1  x 
B.
.

8012  x  2 

C.

1  x 
.

8012  x  2 

2003

C .

D.

2003

1  x 
.

8012  x  2 

1  x 

.

8016  x  2 

2003



2004

1  x 
.

8016  x  2 

C .

2004

C.



Link page: />Câu 11. Cho hàm số f  x  có đạo hàm cấp hai trên đoạn

0;1

đồng thời thỏa mãn các điều kiện

f   0   1; f   x   0 và  f   x   f   x  , x   0 ;1 . Giá trị của f  0   f 1 thuộc khoảng nào?
2

A. 1; 2  .

B.  1;0  .

Câu 12. Cho F  x    ax  bx  c 
2

C.  0;1 .

D.  2;  1 .

10 x 2  7 x  2
trên khoảng
2 x  1 là một nguyên hàm của hàm số f  x  
2x 1

1

 ;    . Tính S  a  b  c .
2


A. S  6 .

B. S  2 .

C. S  3 .

D. S  0 .

1
Câu 13. Gọi F  x  là một nguyên hàm trên  của hàm f  x   x 2e x   0  sao cho F    F  0   1 . Mệnh
 

đề nào dưới đây đúng?
A. 1    2 .

B.   2 .

C.   3 .

D. 0    1 .

Câu 20. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  . Biết f  4 x   f  x   4 x3  2 x, x   và f  0   2 . Tính
1

 f  x  dx .
0

A.

148
.
63

B.

146
.
63

C.

149
.
63

D.

145
.
63


Link page: />LỜI GIẢI CHI TIẾT

2

Câu 1.

Tích phân  min  x 2 , 3 x  2dx bằng
0

2
A.  .
3

B.

11
.
6

C.

2
.
3

D.

17
.
6

Lời giải

Chọn B
 x 1
Xét phương trình x 2  3x  2  0  
x  2
Bảng xét dấu

x

0

1



x2  3x  2

2



0

1

2

 3x 2
  x3 
11
  min x ,3x  2 dx    3x  2  dx   x dx  

 2x      .
 2
 0  3 1 6
0
0
1
2



e

Câu 2.

1



2

2

1  ln x

1

  x  ln x  dx  ae  b

Biết

2

2

1

A. T  1 .

với a, b   . Tính T  2a  b 2 .

B. T  4 .

C. T  2 .

D. T  3 .

Lời giải
Chọn D
Cách 1:
e

I 
1

1  ln x  x
dx
2
1  x  ln x  x
e

1  ln x

 x  ln x 

dx  

2

Đặt t  ln x  dt 

1
dx , x  e t
x

 e  t   1  e  t dt  1 dt  1  e  t dt
I 
dt  
 e t  e t
e  t 
e  t 
 
1

0

et  tet
t

1

2

0

t

t

t

1

2

t

0

t

1

0

t

2


Link page: /> u t

du  dt

t

1

e

Đặt dv 
1
d
t
v t
2
t


e t
e t







1
1
1



1
t
1
t
1
1
1
 I   t dt    t
 t
dt   t

0 

 e t 0
e t
e  t  e  t 0 e  1
e  1 ae  b
0
0

1

 a  b  1  T  2a  b 2  3

Vậy T  3.
Cách 2:
e

I 

1

e

1  ln x

 x  ln x 

Đặt t  1 
1

I

1
e


1

2

dx  
1

1  ln x
 ln x 
x 1 

x 


2

dx

2

ln x
1  ln x
 dt 
dx
x
x2
1

dt  1 
  
t2  t  1

1
e



1
 a  b  1 T  2a  b 2  3
e 1

Vậy T  3.
Câu 3.

Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn

1

 f ( x)dx  10, f (1)  cot1.
0

1

I    f ( x ) tan 2 x  f  ( x ) tan x dx .
0

A. 1  ln(cos1) .

C. 9 .

B. 1 .

Lời giải
Chọn C
1

I    f ( x ) tan 2 x  f  ( x ) tan x dx
0

1

1

0

0

   f ( x)  tan 2 x  1  f  ( x) tan x dx   f ( x)dx

D. 1  cot1 .

Tính tích phân


Link page: />1

1

   f ( x)  tan x   f  ( x) tan x dx   f ( x)dx


0
0
1

   f ( x ) tan x dx  10
0

  f ( x) tan x  0  10  f 1 tan1  10  1  10  9 .
1

3

Câu 4.

x2  2x  3
dx  a ln 2  b ln 3  c ln 5, (a, b, c  ) . Tính S  2a  3b  8c .
2
2 ( x  1)  x  x  4 

Biết rằng I  
A. S  9 .

B. S  9 .

C. S  8 .

D. S  8 .

Lời giải
Chọn A
3
3
3
d  x2  x  4
x2  2x  3
1 
dx
 2x 1
I 
dx    2

dx  

dx
 dx  
2
2
x  x  4 x 1 
x x4
x 1
2 ( x  1)  x  x  4 
2
2
2
3

3

3

 ln x 2  x  4  ln( x  1) 2   ln 2  ln 3  ln 5 .
2

Như vậy, a  1, b  1, c  1 .
Vậy S  2a  3b  8c  9 .
1

Câu 5.

Biết

 ( x  5)
0

ax  b  0, x  [0;1]
dx
1
và 
. Tính M  2a  5b .

15( ax  b)( x  5) 120
5a  b  32
B. M  9 .

A. M  1 .

C. M  2 .

D. M  0 .

Lời giải
Chọn A
1

dx
15(ax  b)
0
( x  5) 2
x5

Ta có 5a  b  32  b  5a  32 (1) , I  

t

ax  b
ax  b 2
5a  b
1
2t

t 
dx.  2tdt 
dx. 
dt
2
2
x5
x5
( x  5)
( x  5)
5a  b

Kho đó I 

2
5a  b

a b
6



b

5

dt
1  ab
b




6
5 
15 16 15 


Link page: />Mà I 

ab
b
2


6
5
15

1
nên
120

Thay 1 vào ta được:

6a  32
5a  32
2


6
5
15
 5 6a  32  6 5a  32  2 2  5(6a  32)  30a  184  8 3 (5a  32)
 5a  32  3
Như vậy a  7 và b  3
Vậy M  2a  5b  1 .
Câu 6.

Tìm nguyên hàm I  
2003

A.

1  x 
.

4  x2

C.

1  x 
.

8008  x  2 

x 2002

 x  2

1  x 
 .

4  x2
2002



2005

dx

2004

C.

1  x 
.

8012  x  2 

1  x 
.

8012  x  2 

D.

1  x 
.

8012  x  2 

2003

C .

2003

B.

Chọn D
x 2002

 x 
I 
dx   

2005
 x2
 x  2

Đặt t 

Biết

1
1
.
dx
x  2  x  2 2

1  t dt 1 2002 2003
1
1
.   t
 t  .dt 
. t 2003 
. t 2004  C
2 2 4
8012
8016

1  x 
I
.

8012  x  2 

Câu 7.

.

x
2.dx

 dt 
2
x2
 x  2

I   t 2002 .

e

2002

1  ln x

  x  ln x 
1

A. T  1 .

2

2003

dx 

1  x 

.

8016  x  2 

2004

C

1
với a ; b  . Tính T  2a  b2 .
ae  b
B. T  4 .

1  x 
.

8016  x  2 



1  x 
.

8016  x  2 

2003

Lời giải

2004



C .

2004

C.


Link page: />D. T  3 .

C. T  2 .

Lời giải
Chọn D
e

e

1  ln x

e

1  ln x
1
1
 ln x 
dx  
.
.dx  
.d 1 
Có 

2

2
2
2
x
x 

ln x 
 ln x 
1  x  ln x 
1
1 
1 

1 

x 
x 


e



1
1
1
 1

ln x
1 e 1

1
1
x 1
e

do đó a  b  1  T  3
Câu 8.

1

1

1

0

0

0

Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  0;1 , thỏa mãn  f  x  dx   xf  x  dx  1 và   f  x   dx  4 .
Giá trị của tích phân

  f  x   dx bằng:
3

B. 10 .

A. 2 .

2

D. 8 .

C. 1 .
Lời giải

Chọn B
Không giảm tính tổng quát chọn f  x   ax  b khi đó:
1


0

1

 ax 2

a
f  x  dx   ( ax  b) dx  
 bx    b ;
 2
0 2
0
1

a
 2  b  1
a  6


 f  x   6x  2
theo bài ra ta có: 
a
b
b


2

  1
 3 2
1

Mặt khác:   6 x  2  2 dx  4
0

1

1

Vậy:   f  x   dx    6 x  2  3dx 
3

0

0

1

 ax 3 bx 2 

a b
xf
x
d
x

x
(
ax

b
)
d
x





  
0
0
2 0 3 2
 3
1

1
4 1
 6 x  2  0  10
24

1



Link page: />1 4 3 2
x  x  1(C )
2
2

y

Tiếp tuyến của (C ) tại A qua A  1;0  , B  0;1 là (d ) : y  x  1
0

S



1

1 4 3 2
1
x  x  x dx  .
2
2
10




 1

 2021

cos 
 x   e x dx .
Câu 10. Tính tích phân I    x sin  x   
4
2

 2

0
1
B. I  .
2

A. I  1 .

C. I  1 .

D. I  0 .

Lời giải
Chọn D



 1


 2021

I    x sin  x   
cos 
 x   e x dx
4
2

 2

0 




1
1
 x

 
 sin x  cos x   sin x  e x dx    x sin x  x cos x  sin x  e x dx
2
20

0  2







1
1
1
 x sin x   x sin x  ' e x dx 
d  x sin x.e x  
x sin x.e x   0.



0
20
20
2


4

Câu 11. Tính tích phân I    tan 4 x  tan 3 x  tan 2 x  e3 x dx .
0

2 34
B. I  e .
3

A. I  0 .

1 34
C. I  e .

3

1 34
D. I   e .
3

Lời giải
Chọn C




4

4


4

I    tan x  tan x  tan x  e dx    tan x  tan x  e dx   tan 3 x.e3 x dx  A  B
4

3

2

0


4

A    tan 4 x  tan 2 x  e3 x dx
0

3x

0

4

2

3x

0


Link page: /> du  3e3 x dx
u  e3 x

Đặt 

1 3
2
2
dv  tan x(1  tan x)dx
v  tan xdx
3





4
1
1 3
 A  e3 x .tan 3 x   e3 x . tan 3 xdx  e 4  B
3
3
0
0
4

1 3
 I  A B  e 4 .
3
Câu 11. Cho hàm số f  x  có đạo hàm cấp hai trên đoạn

0;1

đồng thời thỏa mãn các điều kiện

f   0   1; f   x   0 và  f   x   f   x  , x   0 ;1 . Giá trị của f  0   f 1 thuộc khoảng nào?
2

A. 1; 2  .

B.  1;0  .

C.  0;1 .

D.  2;  1 .

Lời giải
Chọn C
Ta có  f   x    f   x  

f   x 

2

 f   x  

2

1 

f   x 
 f   x  

2

dx   dx .

2
1
   f   x   d  f   x   x  C 
 xC .
f  x

Mà f   0   1 

1
1
1
 C  C  1
 x 1  f  x 
.
1
f  x
x 1
0

1

1

0

Ta có f  0   f 1   f   x  dx  

dx
 ln 2   0;1
x 1

Câu 12. Cho F  x    ax 2  bx  c  2 x  1 là một nguyên hàm của hàm số f  x  

10 x 2  7 x  2
trên khoảng
2x 1

1

 ;    . Tính S  a  b  c .
2


A. S  6 .

B. S  2 .

C. S  3 .
Lời giải

Chọn B

D. S  0 .


Link page: />Ta có F   x   f  x    2ax  b  2 x  1 

ax 2  bx  c 10 x 2  7 x  2
1


, x   ;    .
2x 1
2x 1
2


2ax  b  2 x  1  ax 2  bx  c 10 x 2  7 x  2



,
2x 1

2x 1

1

x   ;    .
2


Đồng nhất hệ số ta có:

5a  10
a  2


2a  3b  7  b  1  S  2
b  c  2
c  3


1
Câu 13. Gọi F  x  là một nguyên hàm trên  của hàm f  x   x 2e x   0  sao cho F    F  0   1 . Mệnh
 

đề nào dưới đây đúng?
A. 1    2 .

B.   2 .

C.   3 .

D. 0    1 .

Lời giải
Chọn D
Ta có F  x    x 2 e x dx 

1

1

x d  e    x e   e


2

x

2



x

x

2 xdx  .






1  2 x 2
1  2 x 2

x 
xe x   e x dx  .
 x e   xd e    x e 



 




1  2 x 2 x 2 x 
x e  xe  2 e   C .
 




 

2
2 
1
1 1 1
F     2 e  2 e  2 e C  3 e C .

 

   
F 0 

1 2
. 2 C.

 

e2
1
Theo giả thiết F    F  0   3  1   3  e  2    3 e  2  0    1

 
1

Câu 14. Cho


0

dx
8
2
a b 
a   a, b  *  . Tính a  2b .
3
3
x  2  x 1

A. a  2b  1 .

B. a  2b  8 .

C. a  2b  7 .

D. a  2b  5 .


Link page: />Lời giải
Chọn B
1

Ta có: 
0



1

dx

x  2  x 1 0





1



1

2
x  2  x  1 dx   x  2dx   x  1dx  
3 
0
0



x2

 
3





1

3
x 1 
 0



2
8
2
3 3  2 2  2 2 1  2 3 
2 .
3
3
3

Do đó a  2; b  3  a  2b  2  2.3  8.
Vậy chọn đáp án B.
Câu 15.

Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên 1; 2 thoả mãn f  2   0,

2

1

2

f  x

5
3
1  x  12 dx  12  ln 2 . Tính tích phân

3
3
A.   2 ln .
4
2

B. ln

2

 f  x  dx .
1

2
.
3

C.

3
2
 2 ln .
4
3

D.

3
2
 2 ln .
4
3

Lời giải
Chọn A
2

Ta có: I  
1

f  x

 x  1

2

dx 

5
3
 ln .
12
2

u  f  x 
du  f   x  dx



Đặt 
1
1
1.

dv  x  1 2 dx v  
 
x 1 2


2

2

1
1
1
1
5
3


Khi đó I  f  x  .  
   
  f   x  dx   ln .

12
2
 x 1 2  1 1  x 1 2 
2

1
1
1
2  x  1
5
3

 1
 f  2 . 
   f 1 .  
 
f   x  dx   ln .
12
2
 2 1 2 
 1  1 2  1 2  x  1
2

 
1

x 1
5
3
f   x  dx   ln .

2  x  1
12
2

5

2

  f   x   dx = 12  ln 3
2

và


Link page: />2

x 1
5
2
f   x  dx    2 ln .
x  1
6
3
1 



Mặt khác
2
2

2
2
2 
4
4 
 x 1 

d
x

1

d
x

1



1  x  1 
1  x  1 
1  x  1  x  12 dx


2

2

4 
5

2

  x  4 ln x  1 
   4 ln .
x 1 1 3
3

Gọi a là số thực thỏa mãn
2
2
2


2
x 1 
x 1

2  x 1 



f
x

a
.
d
x
=
0


f
x

2
a
.
.
f
x

a











  dx = 0 .
1 
1 
x 1
x 1
 x  1  


2

2
2
2
 5
 5
5
   ln   2a.    2 ln   a 2 .   4 ln   0 .
3
3
3
 12
 6
3

a

1
.
2

Do đó
2

2

1 x 1 
1 x 1
1 x 1


1  f   x   2 . x  1  dx = 0  f   x   2 . x  1  0  f   x    2 . x  1 .
1 x 1
1 
2 
x
 f  x    .
dx   .  1 
 dx    ln x  1  C .
2 x 1
2  x 1
2

f  2   0  C  1  ln 3

 f x  

x
 ln x  1  1  ln 3 .
2

Do đó
2


1

2

3

3
 x

f  x  dx      ln x  1  1  ln 3  dx    2 ln .
2
4
2

1


Link page: />Câu 16. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;2 và thoả mãn f  x   f  2  x   3  x 2  2 x 
2

x 0;2 . Biết f  2  10 , tích phân I   xf   x dx bằng:
0

B. 24 .

A. 18 .

C. 8.
Lời giải

Chọn D
Cách 1: Ta có
f  x   f  2  x   3  x2  2 x  .
2

2

   f  x   f  2  x   dx   3  x 2  2 x  d x
0




0

2

2

0

0

2

0

0

2

 f  x  dx   f  2  x  d  2  x    4
 f  x  dx   f  t  d  t   4
2




0

0

f  x  dx   f  x  d  x    4
2

2

 2  f  x  dx  4 
0

2

2

 f  x  dx  2.
0

2

I   xf   x dx  xf  x  0   f  x dx  2 f  2    2   22
2

0

0

Cách 2:
2
Xét f  x   ax  bx  c,  a  0

f  2  4a  2b  c (1)
f  2  x   a  2  x   b  2  x   c  ax 2   4a  b  x  4a  2b  c
2

 f  x   f  2  x   ax2  bx  c  ax2   4a  b  x  4a  2b  c
 f  x   f  2  x   2ax2  4ax  4a  2b  2c  2

D. 22 .



Link page: />Câu

f  x  liên tục trên  thỏa mãn điều kiện f  0   2 2, f  x   0, x   và

18. Cho hàm số

f  x  . f   x    2 x  1 1  f 2  x  , x   . Tính giá trị f 1 .
A. 15 .

B. 2 6 .

C.

23 .

D.

26 .

Lời giải
Chọn B
Ta có f  x  . f '  x    2 x  1 1  f 2  x  , x  

f  x. f ' x



1 f 2  x
f  x. f ' x



1 f 2  x

 2x 1

dx    2 x  1 dx

 1  f 2  x   x2  x  C .
Vì f  0   2 2 nên C  3 .

 f  x 

x

2

 x  3  1  f 1  2 6 .
2


4

1

 1  tan x dx  a  b ln 2 với

Câu 19. Biết

a, b là các số hữu tỉ. Tính tỷ số

0

A.

1
.
2

B.

1
.
6

C.

1
.
4

a
.
b
D.

1
.
3

Lời giải
Chọn A




4

4



1
cos x
1 4  sin x  cos x    cos x  sin x 

dx  
dx  
dx
Ta có 
1  tan x
sin x  cos x
20
sin x  cos x
0
0


 4

4
4
d  sin x  cos x   1
1
1
1
   dx  
  x  ln sin x  cos x     ln 2 .

0
2 0
sin x  cos x  2
8
4
0




1

a  8
a 1

 
b 2
b  1

4


Link page: />Câu 20. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  . Biết f  4 x   f  x   4 x3  2 x, x   và f  0   2 . Tính
1

 f  x  dx .
0

A.

148
.
63

B.

146
.

63

C.

149
.
63

Lời giải
Chọn A
f  4 x   f  x   4 x 3  2 x (1)

Xét f  x  là đa thức bậc n .
Suy ra bậc của f  x  và f  4 x  là n .
TH1: n  4 . Giả sử n  4  f  x   ax 4  bx 3  cx 2  dx  e  a  0  .
 f  4 x   256 ax 4  64bx 3  16cx 2  4dx  e  a  0  .

Thay vào (1), đồng nhất hai vế  a  0 (loại).
TH2: n  2 bậc của vế trái nhỏ hơn vế phải  loại.
TH3: n  3  f  x   ax 3  bx 2  cx  d  a  0  .
 f  4 x   64 ax 3  16bx 2  4cx  d  a  0  .

(1)  64ax3  16bx2  4cx  d  ax3  bx 2  cx  d  4 x3  2 x, x  
4

a

64
a


a

4

63

16b  b

b  0
4 3 2


 f x 
x  xd .
63
3
 4c  c  2
c  2
 d  

3
d  

4 3 2
Mà f  0  2  d  2 . Vậy f  x  
x  x2 .
63

3

D.

145
.
63


Link page: />1


0

1

 x4 x2

148
f  x  dx     2 x  
.
 63 3
 0 63