Phương trình bậc nhất với sin và cos

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

PHẦN I: ĐỀ BÀI
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN
Có dạng: a sinx + b cosx = c (1)
Cách 1:
• Chia hai vế phương trình cho

a2 + b2 ta được:
a
b
c
sin x +
cos x =
(1) ⇔
a2 + b2
a2 + b2
a2 + b2
a
b
, cosα =
( α ∈ 0, 2π )
• Đặt: sinα =
2
2
2
2
a +b
a +b

c
phương trình trở thành: sinα .sin x + cosα .cos x =
a2 + b2
c
⇔ cos(x − α ) =
= cosβ (2)
2
2
a +b
• Điều kiện để phương trình có nghiệm là:
c
≤ 1 ⇔ a2 + b2 ≥ c2.
a2 + b2
• (2) ⇔ x = α ± β + k2π (k ∈ Z)
Lưu ý:
1

3
π
• sin x ± 3 cos x = 2  sin x −
cos x  = 2sin( x − )
2
3
2

 3

1
π
• 3 sin x ± cos x = 2  sin x ± cos x  = 2sin( x ± )

2
6
 2

1
π
 1

• sin x ± cos x = 2 
sin x ±
cos x  = 2 sin( x ± ) .
4
2
 2

Cách 2:
x π
a) Xét x = π + k2π ⇔ = + kπ có là nghiệm hay không?
2 2
x
b) Xét x ≠ π + k2π ⇔ cos ≠ 0.
2

x
2t
1− t2
Đặt: t = tan , thay sin x =
, cos x =
, ta được phương trình bậc hai theo t:
2

1+ t2
1+ t2

(b + c)t2 − 2at + c − b = 0 (3)
Vì x ≠ π + k2π ⇔ b + c ≠ 0, nên (3) có nghiệm khi:

∆ ' = a2 − (c2 − b2) ≥ 0 ⇔ a2 + b2 ≥ c2.
x
Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình: tan = t0.
2
Ghi chú:
Trang 1


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
1)
2)
3)

Lượng giác – ĐS và GT 11

Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.
Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm: a2 + b2 ≥ c2.
Bất đẳng thức B. C. S:

y = a.sin x + b.cos x ≤

a2 + b2 . sin2 x + cos2 x = a2 + b2

⇔ min y = − a2 + b2 vaømax y=

a2 + b2 ⇔

sin x cos x
a
=
⇔ tan x =
a
b
b

Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất theo sin x và cos x
A. sin 2 x + cos x − 1 = 0 .
B. sin 2 x − cos x = 0 .
C. 2 cos x + 3sin x = 1 .
D. 2 cos x + 3sin 3x = −1 .
Câu 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm:
A. 2 cos x − 3 = 0 .
B. 3sin 2 x − 10 = 0 .
2
C. cos x − cos x − 6 = 0 .
D. 3sin x + 4 cos x = 5 .
Câu 3: Phương trình nào sau đây vô nghiệm
1
A. sin x = .
B. 3 sin x − cos x = −3 .
3
C. 3 sin 2 x − cos 2 x = 2 .
D. 3sin x − 4cos x = 5 .
Câu 4: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:

1
A. cos x = .
B. 3 sin x + cos x = −1 .
3
C. 3 sin 2 x − cos 2 x = 2 .
D. 3sin x − 4 cos x = 6 .
Câu 5: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
A. 2sin x − cos x = 3 .
B. tan x = 1 .
C. 3 sin 2 x − cos 2 x = 2 .
D. 3sin x − 4cos x = 5 .
Câu 6: Phương trình nào sau đây vô nghiệm.
1
A. sin x = .
B. 3 sin x − cos x = −1 .
4
C. 3 sin 2 x − cos 2 x = 4 .
D. 3sin x − 4cos x = 5 .
Câu 7: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm?
1
1
A. 3 sin x = 2
B. cos 4 x =
4
2
C. 2sin x + 3cos x = 1
D. cot 2 x − cot x + 5 = 0
Câu 8: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A. 3 sin 2 x − cos 2 x = 2
B. 3sin x − 4 cos x = 5

C. sin x = cos

π
4

D.

3 sin x − cos x = −3

Câu 9: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
A. sin x − cos x = 3
B. cosx + 3sinx = −1
C. 3 sin 2 x − cos 2 x = 2
D. 2sinx + 3cosx = 1
Câu 10: Trong các phương trình phương trình nào có nghiệm:.
A. sin x + 2 cos x = 3 .
B. 2 sin x + cos x = 2 .
C. 2 sin x + cos x = −1 .
D. 3 sin x + cos x = 3 .
Câu 11: Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm:
Trang 2


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

A. sin x + cos x = 3 .
B. 2 sin x + cos x = 1 .
C. 2 sin x + cos x = −1 .

D. 3 sin x + cos x = 2 .
Câu 12: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm:
1
1
A. 3 sin x = 2 .
B. cos 4 x = .
4
2
2
2
sin
x
+
3cos
x
=
1
C.
.
D. cot x − cot x + 5 = 0 .
Câu 13: Phương trình nào dưới đây vô nghiệm?
A. cos 3x − 3 sin 3 x = 2 .
B. cos 3 x − 3 sin 3 x = −2 .
π
π
π


C. sin x = .
D. 3sin  x + ÷− 4 cos  x + ÷− 5 = 0 .

3
3
3


Câu 14: Nghiệm của phương trình cos x + sin x = 1 là:
π
π
A. x = k 2π ; x = + k 2π .
B. x = kπ ; x = − + k 2π .
2
2
π
π
C. x = + kπ ; x = k 2π .
D. x = + kπ ; x = kπ .
6
4
Câu 15: Nghiệm của phương trình cos x + sin x = −1 là:
π
π
A. x = π + k 2π ; x = − + k 2π .
B. x = π + k 2π ; x = + k 2π .
2
2
π
π
C. x = − + kπ ; x = k 2π .
D. x = + kπ ; x = kπ .
3

6
Câu 16: Nghiệm của phương trình sin x + 3 cos x =   2 là:
π
5π
π
3π
+ k 2π .
+ k 2π .
A. x = − + k 2π ; x =
B. x = − + k 2π ; x =
12
12
4
4
π
2π
π
5π
+ k 2π .
+ k 2π .
C. x = + k 2π ; x =
D. x = − + k 2π ; x = −
3
3
4
4
Câu 17: Nghiệm của phương trình sin x –  3 cos x = 0  là:

π
π

+ k 2π .
C. x = + kπ .
3
6
Câu 18: Phương trình lượng giác: cos x − 3 sin x = 0 có nghiệm là
π
π
A. x = + kπ .
B. Vô nghiệm.
C. x = − + kπ .
6
6
Câu 19: Số nghiệm của phương trình sin x + cos x = 1 trên khoảng ( 0; π ) là
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
Câu 20: Nghiệm của phương trình: sin x + cos x = 1 là :
A. x =

π
+ k 2π .
6

B. x =

 x = k 2π
B. 
.
 x = π + k 2π


2

A. x = k 2π .

C. x =

π
+ k 2π .
4

D. x =

π
+ kπ .
3

D. x =

π
+ kπ .
2

D. 3 .

π

 x = 4 + k 2π
D. 
.
 x = − π + k 2π


4

Câu 21: Nghiệm của phương trình sin x + 3 cos x = 2 là:
5π
5π
π
π
+ kπ .
+ k 2π .
A. x =
B.  x =
C. x = − + kπ .
D. x = + k 2π .
6
6
6
6
Câu 22: Phương trình 3 − 1 sin x − 3 + 1 cos x + 3 − 1 = 0 có các nghiệm là

(

)

Trang 3

(

)

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

π
π


 x = − 4 + k 2π
 x = − 2 + k 2π
,k ∈¢ .
,k ∈¢ .
A. 
B. 
 x = π + k 2π
 x = π + k 2π


6
3
π
π


 x = − 6 + k 2π
 x = − 8 + k 2π
,k ∈¢ .
,k ∈¢ .
C. 

D. 
 x = π + k 2π
 x = π + k 2π


9
12
Câu 23: Nghiệm của phương trình sin x + 3 cos x = 2 là
π
3π
π
5π
+ k 2π , k ∈ ¢ .
+ k 2π , k ∈ ¢ .
A. x = − + k 2π , x =
B. x = − + k 2π , x =
4
4
12
12
π
2π
π
5π
+ k 2π , k ∈ ¢ .
+ k 2π , k ∈ ¢ .
C. x = + k 2π , x =
D. x = − + k 2π , x = −
3
3

4
4
Câu 24: Nghiệm của phương trình sin 2 x − 3 cos 2 x = 0 là
π
π
π
π
A. x = + k , k ∈ ¢ .
B. x = + kπ , k ∈ ¢ .
C. x = + kπ , k ∈¢ .
D.
3
2
6
3
π
π
x = + k ,k ∈¢ .
6
2
Câu 25: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình: sin x + cos x = 1 .
 x = k 2π
,k ∈¢ .
A. x = k 2π , k ∈ ¢ .
B. 
 x = π + k 2π

2
π


x = + k 2π

π
4
,k ∈¢ .
C. x = + k 2π , k ∈ ¢ .
D. 
π
4
 x = − + k 2π

4
Câu 26: Phương trình: 3.sin 3x + cos 3x = −1 tương đương với phương trình nào sau đây:
π
1
π
π
π
1
π 1




A. sin  3x − ÷ = −
B. sin  3x + ÷ = −
C. sin  3x + ÷ = −
D. sin  3x + ÷ =
6
2

6
6
6
2
6 2




Câu 27: Phương trình

1
3
sin x −
cos x = 1 có nghiệm là
2
2

5π
5
+ k 2π , k ∈ ¢ .
B. x = π + kπ , k ∈ Z .
6
6
−π
π
+ k 2π , k ∈ Z .
C. x =
D. x = + k 2π , k ∈ Z .
6

6
Câu 28: Phương trình 3cos x + 2 | sin x |= 2 có nghiệm là:
π
π
π
π
A. x = + kπ .
B. x = + kπ .
C. x = + kπ .
D. x = + kπ .
8
6
4
2
m
Câu 29: Với giá trị nào của
thì phương trình (m + 1) sin x + cos x = 5 có nghiệm.
m ≥ 1
A. −3 ≤ m ≤ 1 .
B. 0 ≤ m ≤ 2 .
C. 
.
D. − 2 ≤ m ≤ 2 .
 m ≤ −3
Câu 30: Điều kiện để phương trình m sin x − 3cos x = 5 có nghiệm là :
A. x =

Trang 4

– Website chuyên đề thi tài liệu file word
A. m ≥ 4 .

B. −4 ≤ m ≤ 4 .

Lượng giác – ĐS và GT 11

 m ≤ −4
D. 
.
m ≥ 4

C. m ≥ 34 .

Câu 31: Với giá trị nào của m thì phương trình sin x + cos x = m có nghiệm:
A. − 2 ≤ m ≤ 2 .
B. m ≥ 2 .
C. −1 ≤ m ≤ 1 .
D. m ≤ 2 .
2
2
Câu 32: Cho phương trình: ( m + 2 ) cos x − 2m sin 2 x + 1 = 0 . Để phương trình có nghiệm thì giá trị
thích hợp của tham số m là
1
1
1
1
A. −1 ≤ m ≤ 1 .
B. − ≤ m ≤ .
C. − ≤ m ≤ .

D. | m |≥ 1 .
2
2
4
4
m
2
Câu 33: Tìm m để pt sin 2 x + cos x =
có nghiệm là
2
A. 1 − 3 ≤ m ≤ 1 + 3 .
B. 1 − 2 ≤ m ≤ 1 + 2 .
C. 1 − 5 ≤ m ≤ 1 + 5 .
D. 0 ≤ m ≤ 2 .
Câu 34: Điều kiện có nghiệm của pt a sin 5 x + b cos 5 x = c là
A. a 2 + b 2 < c 2 .
B. a 2 + b 2 ≤ c 2 .
C. a 2 + b 2 ≥ c 2 .
Câu 35: Điều kiện để phương trình m sin x + 8cos x = 10 vô nghiệm là
 m ≤ −6
A. m > 6 .
B. 
.
C. m < −6 .
m ≥ 6
Câu 36: Điều kiện để phương trình 12sin x + m cos x = 13 có nghiệm là
 m ≤ −5
A. m > 5 .
B. 
.

C. m < −5 .
m ≥ 5
Câu 37: Tìm điều kiện để phương trình m sin x + 12 cos x = −13 vô nghiệm.
 m ≤ −5
A. m > 5 .
B. 
.
C. m < −5 .
m ≥ 5
Câu 38: Tìm điều kiện để phương trình 6sin x − m cos x = 10 vô nghiệm.
 m ≤ −8
A. 
.
B. m > 8 .
C. m < −8 .
m ≥ 8
Câu 39: Tìm m để phương trình 5cos x − m sin x = m + 1 có nghiệm
A. m ≤ −13 .
B. m ≤ 12 .
C. m ≤ 24 .
Câu 40: Tìm điều kiện của m để phương trình 3sin x + m cos x = 5 vô nghiệm.
 m ≤ −4
A. 
.
B. m > 4 .
C. m < −4 .
m ≥ 4
Câu 41: Điều kiện để phương trình m.sin x − 3cos x = 5 có nghiệm là
A. m ≥ 4 .

B. −4 ≤ m ≤ 4 .

C. m ≥ 34 .

D. a 2 + b 2 > c 2 .
D. −6 < m < 6 .

D. −5 < m < 5 .

D. −5 < m < 5 .

D. −8 < m < 8 .
D. m ≥ 24 .
D. −4 < m < 4 .
 m ≤ −4
D. 
.
m ≥ 4

π π
Câu 42: Tìm m để phương trình 2 sinx + mcosx = 1 − m (1) có nghiệm x ∈  − ;  .

A. − 3 ≤ m ≤ 1
B. − 2 ≤ m ≤ 6
C. 1 ≤ m ≤ 3
Câu 43: Tìm m để phương trình msinx + 5cosx = m + 1 có nghiệm.
A. m ≤ 12
B. m ≤ 6
C. m ≤ 24
Câu 44: Điều kiện để phương trình m.sin x − 3cos x = 5 có nghiệm là :

 m ≤ −4
A. 
.
B. m ≥ 4 .
C. m ≥ 34 .
m ≥ 4
Trang 5



2 2 

D. − 1 ≤ m ≤ 3
D. m ≤ 3
D. −4 ≤ m ≤ 4 .


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

Câu 45: Để phương trình cos x + sin x = m có nghiệm, ta chọn:
A. −1 ≤ m ≤ 1 .
B. 0 ≤ m ≤ 2 .
C. m tùy ý.
Câu 46: Phương trình m cos 2 x + sin 2 x = m − 2 có nghiệm khi và chỉ khi




3

A. m ∈  −∞;  .
4






4

B. m ∈  −∞;  .
3



4
3




C. m ∈  ; +∞ ÷.

D. − 2 ≤ m ≤ 2 .

3
4




D. m ∈  ; +∞ ÷.

Câu 47: Cho phương trình 4sin x + ( m − 1) cos x = m . Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương
trình có nghiêm:
17
17
17
17
A. m < .
B. m ≤ − .
C. m ≥ .
D. m ≤ .
2
2
2
2
Câu 48: Phương trình 3sinx – 4cosx = m có nghiệm khi
A. −5 ≤ m ≤ 5
A. m  ≥ 5 hoặc m  ≤ –5
C. m  ≥ 5
D. m  ≤ –5
Câu 49: Cho phương trình lượng giác: 3sinx + ( m − 1) cosx = 5 . Định m để phương trình vô nghiệm.
A. −3 < m < 5
B. m ≥ 5
C. m ≤ −3 hay m ≥ 5
D. −3 ≤ m ≤ 5
Câu 50: Cho phương trình m sin x − 1 − 3m cos x = m − 2 . Tìm m để phương trình có nghiệm.

1
1
A. ≤ m ≤ 3
B. m ≤
3
3
m
C. Không có giá trị nào của
D. m ≥ 3
Câu 51: Tìm m để phương trình 2sin 2 x + m sin 2 x = 2 m vô nghiệm.
m ≤ 0
m < 0
4
4

A. 0 ≤ m ≤ .
B.
.
C. 0 < m < .
D. 
.
m ≥ 4
m > 4
3
3
3
3


Câu 52: Tìm m để phương trình m sin x + 5cos x = m + 1 có nghiệm:

A. m ≤ 12 .
B. m ≤ 6 .
C. m ≤ 24 .
D. m ≤ 3 .
π
π


Câu 53: Cho phương trình sin  x − ÷− 3 cos  x − ÷ = 2m . Tìm m để phương trình vô nghiệm.
3
3


A. ( −∞; −1] ∪ [ 1; +∞) .
B. ( −∞; −1) ∪ ( 1; +∞ ) .
C. [ −1;1] .
D. m ∈ ¡ .

Trang 6


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN
2
Câu 1: Giải phương trình 5sin 2 x − 6 cos x = 13 .
A. Vô nghiệm.
B. x = kπ , k ∈ ¢ .

C. x = π + k 2π , k ∈ ¢ .
D. x = k 2π , k ∈ ¢ .
Câu 2: Phương trình sin x + cos x = 2 sin 5 x có nghiệm là
π
π
π
π


x = 4 + k 2
 x = 12 + k 2
,k ∈¢ .
,k ∈¢ .
A. 
B. 
x = π + k π
x = π + k π


6
3
24
3
π
π
π
π


 x = 16 + k 2

 x = 18 + k 2
,k ∈¢ .
,k ∈¢ .
C. 
D. 
x = π + k π
x = π + k π


8
3
9
3
2
Câu 3: Phương trình 2sin x + 3 sin 2 x = 3 có nghiệm là
π
2π
4π
+ kπ , k ∈ ¢ .
+ kπ , k ∈ ¢ .
A. x = + kπ , k ∈ ¢ .
B. x =
C. x =
D.
3
3
3
5π
x=
+ kπ , k ∈ ¢ .

3
Câu 4: Phương trình sin 8 x − cos 6 x = 3 ( sin 6 x + cos8 x ) có các họ nghiệm là:

π
π
π



 x = 3 + kπ
 x = 5 + kπ
 x = 4 + kπ
A. 
.
B. 
.
C. 
.
D.
x = π + k π
x = π + k π
x = π + k π



12
7
6
2
7

2
3
Câu 5: Phương trình: 3sin 3 x + 3 cos 9 x = 1 + 4sin 3 x có các nghiệm là:
π
2π
π
2π
π
2π



x = − 6 + k 9
x = − 9 + k 9
 x = − 12 + k 9
A. 
.
B. 
.
C. 
.
D.
 x = 7π + k 2π
 x = 7π + k 2π
 x = 7π + k 2π



6
9

9
9
12
9
3
1
.Câu 6: Phương trình 8cos x =
có nghiệm là:
+
sin x cos x
π
π
π
π
π
π



 x = 16 + k 2
x = 8 + k 2
 x = 12 + k 2
A. 
.
B. 
.
C. 
.
D.
 x = π + kπ

 x = 4π + kπ
 x = π + kπ



3
3
6
Câu 7: Phương trình sin 4 x + cos7 x − 3(sin 7 x − cos4x) = 0 có nghiệm là
π
π

x = + k2

π
π
6
3
(k ∈ Z ) .
A. x = + k 2 , k ∈ ¢ .
B. 
5
π
π
6
3
x =
+ k2

66

11
Trang 7

π

 x = 8 + kπ

.
x = π + k π

9
3
π
2π

 x = − 54 + k 9

 x = π + k 2π

18
9

π
π

x = 9 + k 2
.

 x = 2π + kπ


3


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
C. x =

5π
π
+ k2 ,k ∈¢ .
66
11

Lượng giác – ĐS và GT 11

D. khác
2

x
x

Câu 8: Phương trình:  sin + cos ÷ + 3cosx = 2 có nghiệm là:
2
2

π
π


x
=

−
+
k
π
x
=
−
+ k 2π


6
6
( k ∈Z)
( k ∈Z)
A. 
B. 
 x = π + kπ
 x = π + k 2π


2
2
π
π
C. x = − + k 2π , k ∈ ¢
D. x = + kπ , k ∈ ¢
6
2
π
π

π


2
Câu 9: Phương trình: 2 3 sin  x − ÷cos  x − ÷+ 2 cos  x − ÷ = 3 + 1 có nghiệm là:
8
8
8



3π
5π
5π
3π




 x = 8 + kπ
 x = 4 + kπ
 x = 4 + kπ
 x = 8 + kπ
A. 
.
B. 
.
C. 
.
D. 

.
 x = 5π + kπ
 x = 5π + kπ
 x = 7π + kπ
 x = 5π + kπ




16
12
24
24
π
2π 


Câu 10: Phương trình: 4 sin x.sin  x + ÷.sin  x +
÷ + cos 3x = 1 có các nghiệm là:
3
3 


π
2π
π
π




π
x
=
+
k
x = + kπ
x = + k 2π




x
=
+
k
2
π
6
3
4
2
3
A. 
.
B. 
.
C. 
.
D. 
.


π
x = k π

 x = k 2π
x
=
k
π
x
=
k




3
4
3

Câu 11: Phương trình 2 2 ( sin x + cos x ) .cos x = 3 + cos 2 x có nghiệm là:
A. x =

π
+ kπ .
6

B. x = −

π

+ kπ .
6

π
+ k 2π .
3
π
2

C. x =

D. Vô nghiệm.

π
π


Câu 12: Phương trình 2 3 sin  x − ÷cos  x − ÷+ 2 cos  x − ÷ = 3 + 1 có nghiệm là:
8
8
8



3π
3π


 x = 8 + kπ
 x = 4 + kπ

,k ∈¢ .
,k ∈¢ .
A. 
B. 
5
π
5
π
x =
x =
+ kπ
+ kπ


12
24
5π
5π


 x = 4 + kπ
 x = 8 + kπ
,k ∈¢ .
,k ∈¢ .
C. 
D. 
 x = 5π + kπ
 x = 7π + kπ



16
24
1
1
2
+
=
Câu 13: Giải phương trình
sin 2 x cos 2 x s in4x
A. x = kπ , x =

π
+ kπ , k ∈ ¢ .
4

B. x = kπ , k ∈ ¢ .
D. x =

C. Vô nghiệm.
Hướng dẫn giải:
Trang 8

π
+ kπ , k ∈ ¢ .
4


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

Chọn C.
sin 2 x ≠ 0
⇔ sin 4 x ≠ 0 .
Điều kiện: 
cos 2 x ≠ 0
2
Phương trình đề bài ⇔ sin 2 x + cos 2 x = 1 . Suy ra: ( sin 2 x + cos 2 x ) = 1 ⇔ sin 4 x = 0 (loại)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Trang 9


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ TÍCH
Câu 1: Phương trình 1+ cosx + cos2x + cos3x − sin2x = 0 tương đương với phương trình.
A. cosx( cosx + cos3x) = 0 .
B. cosx( cosx − cos2x) = 0.

C. sinx( cosx − cos2x) = 0 .
D. cosx( cosx + cos2x) = 0 .
Câu 2: Phương trình sin 3 x − 4sin x.cos 2 x = 0 có các nghiệm là:
 x = k 2π
 x = kπ

A.
, k, n ∈ ¢ .

B. 
, k, n ∈ ¢ .
 x = ± π + nπ
 x = ± π + nπ
3
6


2π
π


x = k 3
x = k 2
C. 
, k, n ∈ ¢ .
D. 
, k, n ∈ ¢ .
 x = ± 2π + nπ
 x = ± π + nπ


4
3
 π 69π 
2
Câu 3: Số nghiệm thuộc  ;
÷ của phương trình 2 sin 3x ( 1 − 4 sin x ) = 0 là:
14 10 
A. 40 .

B. 34 .
C. 41 .
D. 46 .
2
Câu 4: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt ( 2sin x − cos x ) ( 1 + cos x ) = sin x là:
π
5π
π
A. x =
B. x =
C. x = π
D. x =
6
6
12
2
Câu 5:
[1D1-2] Nghiệm của pt cos x − sin x cos x = 0 là:

π
π
+ k π ; x = + kπ
4
2
π
C. x = + kπ
2

π
+ kπ

2
5π
7π
+ kπ ; x =
+ kπ
D. x =
6
6
Câu 6: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt 2sin x + 2 2 sin x cos x = 0 là:
3π
π
π
A. x =
B. x =
C. x =
D. x = π
4
4
3
A. x =

B. x =

Câu 7: Tìm số nghiệm trên khoảng (−π; π) của phương trình :
2(sinx + 1)(sin2 2x − 3sinx + 1) = sin4x.cosx
A. 1
B. 2
C. 3
2
2

Câu 8: Giải phương trình sin 2 x + cos 3 x = 1 .

D. 4

2π
,k ∈¢
5

A. x = k 2π, k ∈ ¢

B. x = k

C. x = π + kπ, k ∈ ¢

D. x = kπ ∨ x = k

π
,k ∈¢
5

Câu 9: Phương trình 4 cos x − 2 cos 2 x − cos 4 x = 1 có các nghiệm là:
π
π
π


x = + kπ
x = +k



,k ∈¢ .
2
4
2 ,k ∈¢ .
A.
B.


 x = k 2π
 x = kπ

Trang 10


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

π
2π
π
π


x = 3 = k 3
x = 6 + k 3
,k ∈¢ .
,k ∈¢ .
C. 
D. 

x = k π
x = k π


2
4
Câu 10: Phương trình 2sin x + cos x − sin 2 x − 1 = 0 có nghiệm là:
π
π


 x = 6 + kπ
 x = 6 + k 2π


5π
5π

+ kπ , k ∈ ¢ .
+ k 2π , k ∈ ¢ .
A.  x =
B.  x =
6
6


 x = kπ
 x = k 2π



π
π


 x = 6 + k 2π
 x = 6 + k 2π


π
π

C.  x = − + k 2π , k ∈ ¢ .
D.  x = − + k 2π , k ∈ ¢ .
6
6


x
=
k
2
π
x
=
k
π





Câu 11: Phương trình sin 3 x + cos 2 x = 1 + 2sin x cos 2 x tương đương với phương trình
sin x = 0
sin x = 0
sin x = 0
sin x = 0

A.
.
B. 
.
C. 
.
D. 
.
sin x = 1
sin x = − 1
sin
x
=
1
sin
x
=
−
1



2


2
2
Câu 12: Giải phương trình sin 2 x ( cot x + tan 2 x ) = 4 cos x .
A. x =
C. x =

π
2
π
2

+ kπ , x = ±

π
6
π

+ kπ , k ∈ ¢ .

B. x =

+ kπ , x = ± + k 2π , k ∈ ¢ .

D. x =

3

Câu 13: Giải phương trình cos x − sin x = cos 2 x .
3

π
π
+ kπ , x = + k π , k ∈ ¢ .
2
4
π
π
C. x = k 2π , x = + k 2π , x = + kπ , k ∈ ¢ .
2
4

Câu 14: Giải phương trình 1 + sin x + cos x + tan x = 0 .

C. x = π + k 2π , x =

π
4
π
4

2
π
2

π

+ kπ , x = ± + k 2π , k ∈ ¢ .
6
π

+ kπ , x = ± + kπ , k ∈ ¢ .
3

3

A. x = k 2π , x =

A. x = π + k 2π , x =

π

π
π
+ k 2π , x = + k 2π , k ∈ ¢ .
2
4
π
π
D. x = kπ , x = + kπ , x = + kπ , k ∈ ¢ .
2
4
B. x = k 2π , x =

+ kπ , k ∈ ¢ .

B. x = π + k 2π , x = −

+ k 2π , k ∈ ¢ .

D. x = π + k 2π , x = −

π
4
π
4

+ k 2π , k ∈ ¢ .
+ kπ , k ∈ ¢ .

Câu 15: Một họ nghiệm của phương trình cos x.sin 2 3 x − cos x = 0 là :
A. −

π
π
+k .
6
3

B.

π
π
+k .
6
3

C. k

π
.

2

D. k

π
4.

Câu 16: Phương trình 2sin x + cot x = 1 + 2sin 2 x tương đương với phương trình
 2sin x = −1
 2sin x = 1
A. 
.
B. 
.
sin x − cos x − 2sin x cos x = 0
sin x + cos x − 2sin x cos x = 0

Trang 11


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

 2sin x = −1
 2sin x = 1
C. 
.
D. 
.

sin x + cos x − 2sin x cos x = 0
sin x − cos x − 2sin x cos x = 0
3
3
5
5
Câu 17: Giải phương trình sin x + cos x = 2 ( sin x + cos x ) .
A. x =
C. x =

π
4
π
4

π

B. x =

+ k 2π , k ∈ ¢ .

D. x = − + k 2π , k ∈ ¢ .

+

4

C. x =

kπ

3
kπ

2

, k ∈¢ .

π

4

Câu 18: Giải phương trình tan x + tan 2 x = − sin 3 x.cos 2 x
A. x =

kπ

+ kπ , k ∈ ¢ .

kπ

π
+ k 2π , k ∈ ¢ .
2

, x = π + k 2π , k ∈ ¢ .

B. x =

, k ∈¢ .

D. x = k 2π , k ∈ ¢ .

3

3

,x =

π 2
π
2 x
2 x
Câu 19: Cho phương trình sin  − ÷tan x − cos = 0 (*) và x = − + kπ (1), x = π + k 2π (2),
2
4
2 4

x=

π
+ k 2π (3), với k ∈ ¢. Các họ nghiệm của phương trình (*) là:
2

A. (1) và (2).
B. (1) và (3).
C. (1), (2) và (3).
D. (2) và (3).
Câu 20: Phương trình 2 3 sin 5 x cos 3 x = sin 4 x + 2 3 sin 3 x cos 5 x có nghiệm là:
kπ
1

3 kπ
, x = ± arccos
+
, k ∈ ¢.
4
4
12
2

kπ
3 kπ
, x = ± arccos
+
, k ∈ ¢.
4
48 2
kπ
, k ∈ ¢.
C. Vô nghiệm.
D. x =
2
Câu 21: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin x + sin 2 x = cos x + 2 cos 2 x là :
π
2π
π
π
A. .
B.
C. .
D. .

.
6
3
4
3

A. x =

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất là x =

B. x =

π
.
4

Câu 22: Một nghiệm của phương trình lượng giác: sin 2 x + sin 2 2 x + sin 2 3x = 2 là.
A.

π
3

B.

π
12

C.

π

6

D.

π
.
8

Câu 23: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2 cos 2 x + cos x = sin x + sin 2 x là?

π
.
6

π
.
4

π
.
3

2π
.
3
Câu 24 Dùng máy tính thử vào phương trình, nghiệm nào thỏa phương trình và có giá trị nhỏ nhất thì
nhận.
Câu 25: Phương trình sin 3x + cos 2 x = 1 + 2 sin x cos 2 x tương đương với phương trình:
sin x = 0
sin x = 0

A. 
.
B. 
.
 sin x = 1
sin x = −1
 sin x = 0
sin x = 0

C.
C. 
1.
1.
sin x =
sin x = −
2
2


Câu 26: Phương trình sin 3x − 4 sin x.cos 2 x = 0 có các nghiệm là:
A. x =

B. x =

Trang 12

C. x =

D. x =

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

π

x = k 2
C. 
.
 x = ± π + nπ

4
2
cot
2
x
−
3cot
3
x
=
tan
2
x
Câu 27: Phương trình
có nghiệm là:
 x = k 2π
A. 
.
π
 x = ± + nπ

3


A. x = k

π
.
3

 x = kπ
B. 
.
π
 x = ± + nπ
6


B. x = kπ .

C. x = k 2π .

Lượng giác – ĐS và GT 11

2π

x
=
k

3

D. 
.
 x = ± 2π + nπ

3
D. Vô nghiệm.

Câu 28: Phương trình cos4 x − cos 2 x + 2sin 6 x = 0 có nghiệm là:

π
π
+k .
C. x = kπ .
D. x = k 2π .
4
2
Câu 29: Phương trình: 4 cos5 x.sin x − 4sin 5 x.cos x = sin 2 4 x có các nghiệm là:
π
π


 x = k 2π
 x = kπ
x = k 4
x = k 2

A. 
.
B. 
.

C.
.
D. 
.
π
3π
 x = + k 2π

π
π
π
π
x=
+ kπ


A. x =

π
+ kπ .
2

B. x =

x = +k
x = +k
4




8
2
4
2
2
Câu 30: Phương trình: ( sin x − sin 2 x ) ( sin x + sin 2 x ) = sin 3 x có các nghiệm là:
π
π


2π

x = k 3
x = k 6
x=k

3 .
A. 
.
B. 
.
C.
D.

x = k π
x = k π
 x = kπ


2

4
cos 2 x
Câu 31: Phương trình cos x + sin x =
có nghiệm là:
1 − sin 2 x
π
π
3π



 x = − 4 + k 2π
 x = 4 + k 2π
 x = 4 + kπ



π
π
π


A. x = + kπ
.
B. x = + kπ .
C.  x = − + k 2π .
D.




8
2
2

 x = kπ
 x = k 2π
π
x = k


2



1
1
= 2 cos 3 x +
Câu 32: Phương trình 2sin 3x −
có nghiệm là:
sin x
cos x
π
π
3π
+ kπ .
A. x = + kπ .
B. x = − + kπ .
C. x =
D.
4

4
4
Câu 33: Phương trình sin 2 3x − cos2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x có các nghiệm là:
π
π


π
x
=
k
x
=
k



x=k
12
9

6.
A. 
.
B. 
.
C.
D.

x = k π

x = k π
 x = kπ


4
2
sin x + sin 2 x + sin 3 x
= 3 có nghiệm là:
Câu 34: Phương trình
cos x + cos 2 x + cos 3 x

π
π
+k .
3
2
π
π
B. x = + k .
6
2
A. x =

Trang 13



3

 x = k 3π

 x = k 2π .


5π

 x = 4 + kπ

 x = 3π + kπ .

8

π
x = k
4


x=−

3π
+ kπ .
4

π

x = k 3 .

 x = k 2π


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

2π
π
+k .
3
2
π
7π
5π
+ k 2π , x =
+ k 2π , ( k ∈ ¢ ) .
D. x = + k 2π , x =
6
6
3
( 0;π )
Câu 35: Các
nghiệm
thuộc
khoảng
của
phương
trình:
tan x + sin x + tan x − sin x = 3tan x là:
π 5π
π 3π
π 5π
π

A. ,
.
B. ,
.
C. ,
.
D. .
8 8
4 4
6 6
6
2
2
sin
x
+
1
3cos
4
x
+
2sin
x
−
4
+
4
cos
x
=

3
)(
)
Câu 36: Phương trình (
có nghiệm là:
π
π
π
π




 x = − 6 + k 2π
 x = 6 + k 2π
 x = − 3 + k 2π
 x = 3 + k 2π




7π
5π
4π
2π



+ k 2π .
+ k 2π .

+ k 2π .
+ k 2π .
A. x =
B. x =
C. x =
D.  x =




6
6
3
3

 x = kπ
 x = k 2π

π
2π
x = k


x = k
2
3





1
Câu 37: Phương trình 2 tan x + cot 2 x = 2sin 2 x +
có nghiệm là:
sin 2 x
π
π
π
π
π
A. x = ± + k .
B. x = ± + kπ .
C. x = ± + kπ .
D. x = ± + kπ .
12
2
6
3
9
Câu 38: Phương trình: 5 ( sin x + cos x ) + sin 3 x − cos 3 x = 2 2 ( 2 + sin 2 x ) có các nghiệm là
π
π
A. x = + k 2π , k ∈ ¢ .
B. x = − + k 2π , k ∈ ¢ .
4
4
π
π
C. x = + k 2π , k ∈ ¢ .
D. x = − + k 2π , k ∈ ¢ .
2

2
2
2
2
Câu 39: Một nghiệm của phương trình cos x + cos 2 x + cos 3 x = 1 có nghiệm là
π
π
π
π
A. x = .
B. x = .
C. x = .
D. x = .
8
12
3
6
x 7
2
2 π
Câu 40: Phương trình: sin x.cos 4 x − sin 2 x = 4sin  − ÷− có nghiệm là
 4 2 2
π
π


 x = − 6 + kπ
 x = − 6 + k 2π
A. 
, k ∈¢ .

B. 
, k ∈¢ .
 x = 7π + kπ
 x = 7π + k 2π


6
6
π
π


 x = − 6 + k 2π
 x = − 6 + kπ
C. 
, k ∈¢ .
D. 
, k ∈¢ .
 x = π + k 2π
 x = π + kπ


6
6
2
2
2
2
Câu 41: Giải phương trình sin x + sin 3 x = cos x + cos 3x
π

π kπ
π kπ
,x = +
A. x = ± + k 2π , k ∈ ¢ .
B. x = − +
, k ∈¢ .
4
4 2
8 4
π kπ
π kπ
π kπ
π kπ
,x = +
,x = +
C. x = +
, k ∈¢ .
D. x = − +
, k ∈¢ .
4 2
8 4
4 2
4 2
C. x =

Trang 14


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

3

12
12
14
14
Câu 42: Phương trình: sin x + cos x = 2(sin x + cos x ) + cos2 x có nghiệm là

2

π
+ kπ , k ∈ ¢ .
4
π
C. x = + k 2π , k ∈ ¢ .
4
A. x =

B. x =

D. Vô nghiệm.

Câu 43: Giải phương trình 4 cot 2 x =
A. x =

π
4

+ k 2π .

B. x =

cos 2 x − sin 2 x
.
cos 6 x + sin 6 x

π
4

+ kπ .

( cos
Câu 44: Giải phương trình 8cot 2 x =
A. x = −

π
4

+ kπ .

π
π
+ k , k ∈¢ .
4
2

B. x = ±

Trang 15

π
4

+

2

C. x = ±

x − sin 2 x ) .sin 2 x

cos 6 x + sin 6 x
kπ
2

.

π
4

+ k 2π .

D. x =

π
4

+

kπ
2

.

.

C. x =

π
4

+ kπ .

D. x =

π
4

+

kπ
2

.


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG THƯỜNG GẶP
Câu 1:

Giải phương trình ( tan x + cot x ) − tan x − cot x = 2 .
2

±π
+ kπ , k ∈ ¢ .
4
π
π
C. x = + kπ , k ∈ ¢ .
D. x = + kπ , k ∈ ¢ .
6
4
10
10
6
6
sin x + cos x
sin x + cos x
Câu 2: Giải phương trình
.
=
4
4 cos 2 2 x + sin 2 2 x
B. x =

A. Cả 3 đáp án.

A. x = k 2π , x =
C. x =

π
2

π
2

+ k 2π , k ∈ ¢ .

B. x =

kπ
2

, k ∈¢ .

D. x = kπ , x =

+ kπ , k ∈ ¢ .

π
2

+ k 2π , k ∈ ¢ .

2

2
Câu 3: Cho phương trình: 4 cos x + cot x + 6 = 2 ( 2 cos x − cot x ) . Hỏi có bao nhiều nghiệm x
thuộc vào khoảng (0;2π ) ?
A. 3.
B. 2.
C. 1.
D. 0.
2
2
Câu 4: Cho phương trình: 4cos x + cot x + 6 = 2 3 ( 2cos x − cot x ) . Hỏi có bao nhiều nghiệm x thuộc
vào khoảng (0;2π ) ?
A. 3 .
B. 2 .
C. 1 .
D. đáp số khác.
Câu 5: Phương trình: sin 3x ( cos x − 2sin 3x ) + cos 3 x ( 1 + sin x − 2 cos 3 x ) = 0 có nghiệm là:

A. x =

π
+ kπ .
2

B. x =

π
π
+k .
4
2

4x
= cos 2 x .
3

 x = kπ

π
B.  x = ± + kπ .

4

5π
x = ±
+ kπ
4


C. x =

π
+ k 2π .
3

D. Vô nghiệm.

Câu 6: Giải phương trình cos


 x = k3π


π
A.  x = ± + k3π .

4

5π
x = ±
+ k3π
4


 x = k3π
C. 
.
 x = ± π + k3π
4


 x = k3π
D. 
 x = ± 5π + k3π
4


.
Câu 7: Giải phương trình
A. x =

π

12

.

1 + sin x
1 − sin x
4
 π
+
=
x ∈  0; ÷
1 − sin x
1 + sin x
3 với
 2 .
B. x =
2

π
4
2

.

C. x =

π
3

.

D. x =

π
6

.

Câu 8: Để phương trình: 2sin x + 2cos x = m có nghiệm, thì các giá trị cần tìm của tham số m là:
A. 1 ≤ m ≤ 2 .
B. 2 ≤ m ≤ 2 2 .
C. 2 2 ≤ m ≤ 3 .
D. 3 ≤ m ≤ 4 .

Trang 16


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN
Có dạng: a sinx + b cosx = c (1)
Cách 1:
• Chia hai vế phương trình cho

a2 + b2 ta được:
a
b

c
sin x +
cos x =
(1) ⇔
a2 + b2
a2 + b2
a2 + b2
a
b
, cosα =
( α ∈ 0, 2π )
• Đặt: sinα =
2
2
2
2
a +b
a +b
c
phương trình trở thành: sinα .sin x + cosα .cos x =
a2 + b2
c
⇔ cos(x − α ) =
= cosβ (2)
2
2
a +b
• Điều kiện để phương trình có nghiệm là:
c
≤ 1 ⇔ a2 + b2 ≥ c2.

a2 + b2
• (2) ⇔ x = α ± β + k2π (k ∈ Z)
Lưu ý:
1

3
π
• sin x ± 3 cos x = 2  sin x −
cos x  = 2sin( x − )
2
3
2

 3

1
π
• 3 sin x ± cos x = 2  sin x ± cos x  = 2sin( x ± )
2
6
 2

1
π
 1

• sin x ± cos x = 2 
sin x ±
cos x  = 2 sin( x ± ) .
4

2
 2

Cách 2:
x π
a) Xét x = π + k2π ⇔ = + kπ có là nghiệm hay không?
2 2
x
b) Xét x ≠ π + k2π ⇔ cos ≠ 0.
2

x
2t
1− t2
Đặt: t = tan , thay sin x =
, cos x =
, ta được phương trình bậc hai theo t:
2
1+ t2
1+ t2

(b + c)t2 − 2at + c − b = 0 (3)
Vì x ≠ π + k2π ⇔ b + c ≠ 0, nên (3) có nghiệm khi:

∆ ' = a2 − (c2 − b2) ≥ 0 ⇔ a2 + b2 ≥ c2.

Trang 17


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình: tan

Lượng giác – ĐS và GT 11

x
=t.
2 0

Ghi chú:
1)
Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.
2)
Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm: a2 + b2 ≥ c2.
3)
Bất đẳng thức B. C. S:
y = a.sin x + b.cos x ≤

a2 + b2 . sin2 x + cos2 x = a2 + b2

⇔ min y = − a2 + b2 vaømax y=

a2 + b2 ⇔

sin x cos x
a
=
⇔ tan x =
a
b
b

Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất theo sin x và cos x
A. sin 2 x + cos x − 1 = 0 .
B. sin 2 x − cos x = 0 .
C. 2 cos x + 3sin x = 1 .
D. 2 cos x + 3sin 3x = −1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Phương trình a sin x + b cos x = c ( 1) trong đó a, b, c ∈ ¡ và a 2 + b 2 ≠ 0 được gọi là phương trình bậc
nhất đối với sin x, cosx .
Câu 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm:
A. 2 cos x − 3 = 0 .
B. 3sin 2 x − 10 = 0 .
2
C. cos x − cos x − 6 = 0 .
D. 3sin x + 4 cos x = 5 .
Hướng dẫn giải::
Chọn D .
Câu D: 3sin x + 4 cos x = 5 , đây là phương trình bậc nhất theo sin x và cos x .
Phương trình trên có nghiệm vì 32 + 42 = 25 ≥ 52 .
3
Câu A: 2 cos x − 3 = 0 ⇔ cos x = > 1 ⇒ PT vô nghiệm.
2
10
Câu B: sin 2 x =
> 1 ⇒ PT vô nghiệm.
3
cos x = 3 > 1
⇒ PT vô nghiệm.
Câu C: cos 2 x − cos x − 6 = 0 ⇔ 

cos x = −2 < −1
Câu 3: Phương trình nào sau đây vô nghiệm
1
A. sin x = .
B. 3 sin x − cos x = −3 .
3
C. 3 sin 2 x − cos 2 x = 2 .
D. 3sin x − 4 cos x = 5 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
PT 3 sin x − cos x = −3 vô nghiệm vì không thoả ĐK a 2 + b 2 ≥ c 2
Câu 4: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
1
A. cos x = .
B. 3 sin x + cos x = −1 .
3
C. 3 sin 2 x − cos 2 x = 2 .
D. 3sin x − 4 cos x = 6 .
Hướng dẫn giải:
Trang 18


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

Chọn D.

1
<1

3
2
Câu B có nghiệm vì a 2 + b 2 = 3 + 1 = 4 > ( −1)
Câu A có nghiệm vì

Câu C có nghiệm vì a 2 + b 2 = 3 + 1 = 4 = ( 2 ) .
2

Câu D vô nghiệm vì a 2 + b 2 = 32 + 42 = 25 < 62 .
Câu 5: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
A. 2sin x − cos x = 3 .
C. 3 sin 2 x − cos 2 x = 2 .

B. tan x = 1 .
D. 3sin x − 4 cos x = 5 .

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Câu A vô nghiệm vì a 2 + b 2 = 22 + 12 = 5 < 32 .
Câu 6: Phương trình nào sau đây vô nghiệm.
1
A. sin x = .
4
C. 3 sin 2 x − cos 2 x = 4 .

B.

3 sin x − cos x = −1 .

D. 3sin x − 4 cos x = 5 .

Hướng dẫn giải:
Chọn C.

1
<1
4
2
Câu B có nghiệm vì a 2 + b 2 = 3 + 1 = 4 > ( −1)
Câu A có nghiệm vì

Câu C vô nghiệm vì a 2 + b 2 = 3 + 1 = 4 < ( 4 ) .
2

Câu D có nghiệm vì a 2 + b 2 = 32 + 42 = 25 = 52 .
Câu 7: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm?
1
1
A. 3 sin x = 2
B. cos 4 x =
4
2
2
C. 2sin x + 3cos x = 1
D. cot x − cot x + 5 = 0
Hướng dẫn giải:
Chọn C
2
2
> 1 nên phương trình vô nghiệm.

Phương trình 3 sin x = 2 ⇔ s inx =
, mà
3
3
1
1
Phương trình cos 4 x = ⇔ cos 4 x = 2 nên phương trình vô nghiệm.
4
2
Phương trình 2sin x + 3cos x = 1 có 22 +33 >1 nên phương trình có nghiệm.
2

1  19

Phương trình cot 2 x − cot x + 5 = 0 ⇔  cot t − ÷ + > 0 nên phương trình vô nghiệm.
2
4

Câu 8: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A. 3 sin 2 x − cos 2 x = 2
B. 3sin x − 4cos x = 5

C. sin x = cos

π
4

D.

Hướng dẫn giải:

Chọn D
Trang 19

3 sin x − cos x = −3


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
Ta có:

( 3)

2

+ ( −1) = 4 < ( −3) nên phương trình
2

2

Lượng giác – ĐS và GT 11

3 sin x − cos x = −3 vô nghiệm.

Câu 9: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
A. sin x − cos x = 3
B. cosx + 3sinx = −1
C. 3 sin 2 x − cos 2 x = 2
D. 2sinx + 3cosx = 1
Hướng dẫn giải:
Đáp án A
sin x − cos x ≤ (12 + ( −1) 2 )(sin 2 x + cos 2 x) = 2 < 3 nên phương trình vô nghiệm

cosx + 3sinx ≤ (12 + 32 )(sin 2 x + cos 2 x) = 10 > −1 nên phương trình có nghiệm
3 sin 2 x − cos 2 x ≤ (( 3) 2 + ( −1) 2 )(sin 2 x + cos 2 x) = 10 > 2 nên phương trình có nghiệm
2 sinx + 3cosx ≤ (22 + 32 )(sin 2 x + cos 2 x) = 13 > 1 nên phương trình có nghiệm
Câu 10: Trong các phương trình phương trình nào có nghiệm:.
A. sin x + 2 cos x = 3 .
B. 2 sin x + cos x = 2 .
C. 2 sin x + cos x = −1 .
D. 3 sin x + cos x = 3 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Lần lượt thử các đáp án.
sin x + 2 cos x = 3 vô nghiệm vì 12 + 2 2 < 32 nên loại đáp án A.

( 2 ) + 1 < 2 nên loại đáp án B.
2 sin x + cos x = −1 có nghiệm vì ( 2 ) + 1 > ( −1) . Vậy chọn C
2 sin x + cos x = 2 vô nghiệm vì

2

2

2

2

2

2

Câu 11: Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm:
A. sin x + cos x = 3 .
B. 2 sin x + cos x = 1 .
C. 2 sin x + cos x = −1 .
D. 3 sin x + cos x = 2 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Lần lượt thử các đáp án.
sin x + cos x = 3 vô nghiệm vì 12 + 12 < 32 nên chọn đáp án A.
Câu 12: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm:
1
1
A. 3 sin x = 2 .
B. cos 4 x = .
4
2
2
C. 2sin x + 3cos x = 1 .
D. cot x − cot x + 5 = 0 .
Hướng dẫn giải::
Chọn C .
Câu C: 2 sin x + 3cos x = 1 là phương trình bậc nhất theo sin x và cos x , phương trình có nghiệm khi
22 + 32 > 12 (đúng).
2
> 1 ⇒ PTVN.
Câu A: 3 sin x = 2 ⇔ sin x =
3
1
1
Câu B: cos 4 x = ⇔ cos 4 x = 2 > 1 ⇒ PTVN.

4
4
2
Câu D: cot x − cot x + 5 = 0 vô nghiệm do ∆ = −19 < 0 .
Câu 13: Phương trình nào dưới đây vô nghiệm?
A. cos 3 x − 3 sin 3 x = 2 .
B. cos 3 x − 3 sin 3x = −2 .

Trang 20


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
C. sin x =

π
.
3

Lượng giác – ĐS và GT 11

π
π


D. 3sin  x + ÷− 4 cos  x + ÷− 5 = 0 .
3
3



Hướng dẫn giải:
Chọn C
Các phương trình ở đáp án A, B, D để có dạng A cos ax + B sin ax = C và A2 + B 2 ≥ C 2 nên các
phương trình này đều có nghiệm.
π 3,14
> 1 nên phương trình này vô nghiệm.
Phương trình ở đáp án C có dạng sin x = m với m = =
3
3
Câu 14: Nghiệm của phương trình cos x + sin x = 1 là:
π
π
A. x = k 2π ; x = + k 2π .
B. x = kπ ; x = − + k 2π .
2
2
π
π
C. x = + kπ ; x = k 2π .
D. x = + kπ ; x = kπ .
6
4
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
 π π
 x + 4 = 4 + k 2π
π
π
2



⇔
cos x + sin x = 1 ⇔ 2 sin  x + ÷ = 1 ⇔ sin  x + ÷ =
4
4 2


 x + π = 3π + k 2π

4
4
 x = k 2π
⇔
( k ∈¢) .
 x = π + k 2π

2
Câu 15: Nghiệm của phương trình cos x + sin x = −1 là:
π
π
A. x = π + k 2π ; x = − + k 2π .
B. x = π + k 2π ; x = + k 2π .
2
2
π
π
C. x = − + kπ ; x = k 2π .
D. x = + kπ ; x = kπ .
3
6

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
π
 π
x + = − + k 2π

π
π
2


4
4
⇔
cos x + sin x = −1 ⇔ 2 sin  x + ÷ = −1 ⇔ sin  x + ÷ = −
4
4
2


 x + π = 5π + k 2π

4
4
π

x
=
+ k 2π
⇔

( k ∈¢) .
2

 x = π + k 2π
Câu 16: Nghiệm của phương trình sin x + 3 cos x =   2 là:
π
5π
π
3π
+ k 2π .
+ k 2π .
A. x = − + k 2π ; x =
B. x = − + k 2π ; x =
12
12
4
4
π
2π
π
5π
+ k 2π .
+ k 2π .
C. x = + k 2π ; x =
D. x = − + k 2π ; x = −
3
3
4
4
Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Trang 21


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

1
3
2
π
π
π
cos x =
⇔ cos .sin x + sin .cos x = sin
sin x + 3 cos x =   2 ⇔ sin x +
2
2
2
3
3
4
π
 π π

x + = + k 2π
x = − + k 2π



π
π

3 4
12
⇔ sin  x + ÷ = sin ⇔ 
⇔
( k ∈ ¢) .
π
3
π
5
π
3
4

x + =
x =
+ k 2π
+ k 2π


3
4
12
Câu 17: Nghiệm của phương trình sin x –  3 cos x = 0  là:
π
π
π

π
A. x = + k 2π .
B. x = + k 2π .
C. x = + kπ .
D. x = + kπ .
6
3
6
3
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
π

1
3
Ta có sin x –  3 cos x = 0  ⇔ sin x –  cos x = 0  ⇔ sin  x − ÷ = 0 
3

2
2
π
π
⇔ x − = kπ ⇔ x = + k π ( k ∈ ¢ )
3
3
Câu 18: Phương trình lượng giác: cos x − 3 sin x = 0 có nghiệm là
π
π
π
A. x = + kπ .

B. Vô nghiệm.
C. x = − + kπ .
D. x = + kπ .
6
6
2
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
3
1
π
π
cos x − 3 sin x = 0 ⇔
sin x − cos x = 0 ⇔ sin( x − ) = 0 ⇔ x = + kπ , ( k ∈ ¢ ) .
2
2
6
6
Câu 19: Số nghiệm của phương trình sin x + cos x = 1 trên khoảng ( 0; π ) là
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .

Hướng dẫn giải:
Chọn B.

π
π
2



sin x + cos x = 1 ⇔ 2 sin  x + ÷ = 1 ⇔ sin  x + ÷ =
4
4 2


π

x = + k 2π
π
π


⇔ sin  x + ÷ = sin ⇔
,( k ∈¢) .
2

4
4

 x = k 2π
π
Trên khoảng ( 0; π ) phương trình có 1 nghiệm là x = .
2
Câu 20: Nghiệm của phương trình: sin x + cos x = 1 là :
A. x = k 2π .

 x = k 2π
B. 

.
 x = π + k 2π

2

Hướng dẫn giải:
Chọn B.

Trang 22

C. x =

π
+ k 2π .
4

π

 x = 4 + k 2π
D. 
.
 x = − π + k 2π

4


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

π
π
2


sin x + cos x = 1 ⇔ 2 sin  x + ÷ = 1 ⇔ sin  x + ÷ =
4
4 2


π

x = + k 2π
π
π


⇔ sin  x + ÷ = sin ⇔
2
.

4
4

x
=
k
2
π


Câu 21: Nghiệm của phương trình sin x + 3 cos x = 2 là:
5π
5π
π
+ kπ .
+ k 2π .
A. x =
B.  x =
C. x = − + kπ .
6
6
6

D. x =

π
+ k 2π .
6

Hướng dẫn giải:
Chọn D.

1
3
sin x +
cos x = 1
2
2
π
π π

π

⇔ sin  x + ÷ = 1 ⇔ x + = + k 2π ⇔ x = + k 2π , ( k ∈ ¢ ) .
3
3 2
6


sin x + 3 cos x = 2 ⇔

Câu 22: Phương trình

(

)

3 − 1 sin x −

(

)

3 + 1 cos x + 3 − 1 = 0 có các nghiệm là

π
π


 x = − 4 + k 2π
 x = − 2 + k 2π

,k ∈¢ .
,k ∈¢ .
A. 
B. 
 x = π + k 2π
 x = π + k 2π


6
3
π
π


 x = − 6 + k 2π
 x = − 8 + k 2π
,k ∈¢ .
,k ∈¢ .
C. 
D. 
 x = π + k 2π
 x = π + k 2π


9
12
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
5π
3 +1

=
Ta có tan
. Chia hai vế PT cho 3 − 1 được
12
3 −1
5π
5π
5π
5π
5π 
5π

− cos x.sin
+ cos
= 0 ⇔sin  x −
PT: sin x − tan .cos x + 1 = 0 ⇔sin x.cos
÷ = − cos

12 
12
12
12
12
12
π
π
π


 5π

x = + k 2π
x = + k 2π
x−
= − + k 2π



5π 

 π 
12
12
3
3
(k ∈ ¢ )
⇔sin  x −
⇔
⇔
÷ = sin  − ÷ ⇔ 

12 
 12 
 x = 3π + k 2π
 x = − π + k 2π
 x − 5π = π + π + k 2π



12
12

2
2
Câu 23: Nghiệm của phương trình sin x + 3 cos x = 2 là
π
3π
π
5π
+ k 2π , k ∈ ¢ .
+ k 2π , k ∈ ¢ .
A. x = − + k 2π , x =
B. x = − + k 2π , x =
4
4
12
12
π
2π
π
5π
+ k 2π , k ∈ ¢ .
+ k 2π , k ∈ ¢ .
C. x = + k 2π , x =
D. x = − + k 2π , x = −
3
3
4
4
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

Trang 23


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
Chia hai vế PT cho 2 ta được

Lượng giác – ĐS và GT 11

π
π

1
3
2
⇔sin  x + ÷ = sin
sin x +
cos x =
3
4

2
2
2

π
 π π

 x + 3 = 4 + k 2π
 x = − 12 + k 2π
(k ∈ ¢ )

⇔
⇔
π
π
5
π
 x + = π − + k 2π
x =
+ k 2π


3
4
12
Câu 24: Nghiệm của phương trình sin 2 x − 3 cos 2 x = 0 là
π
π
π
π
A. x = + k , k ∈ ¢ .
B. x = + kπ , k ∈ ¢ .
C. x = + kπ , k ∈ ¢ .
D.
3
2
6
3
π
π
x = + k ,k ∈¢ .

6
2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
π
π

1
3
Chia hai vế PT cho 2 ta được
sin 2 x −
cos 2 x = 0 ⇔sin  2 x − ÷ = 0 ⇔ 2 x − = kπ ⇔
3

3
2
2
π
π
(k ∈ ¢)
x = +k
6
2
Câu 25: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình: sin x + cos x = 1 .
 x = k 2π
,k ∈¢ .
A. x = k 2π , k ∈ ¢ .
B. 
 x = π + k 2π


2
π

x
=
+ k 2π

π
4
,k ∈¢ .
C. x = + k 2π , k ∈ ¢ .
D. 
4
 x = − π + k 2π

4
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
π
π 1


Phương trình đã cho tương đương với 2 sin  x + ÷ = 1 ⇔ sin  x + ÷ =
4
4
2


 π π
 x = k 2π

 x + 4 = 4 + k 2π
⇔
(k ∈ ¢ )
⇔
 x = π + k 2π
π
π
 x + = π − + k 2π

2

4
4
Câu 26: Phương trình: 3.sin 3x + cos 3x = −1 tương đương với phương trình nào sau đây:
π
1
π
π
π
1
π 1




A. sin  3x − ÷ = −
B. sin  3x + ÷ = −
C. sin  3x + ÷ = −
D. sin  3x + ÷ =
6

2
6
6
6
2
6 2




Hướng dẫn giải:
Chọn C.
π
1

3
1
1
3 sin 3x + cos 3x = −1 ⇔
sin 3 x + cos 3 x = − ⇔ sin  3x + ÷ = −
6
2

2
2
2
Câu 27: Phương trình

1
3

sin x −
cos x = 1 có nghiệm là
2
2

Trang 24


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

5π
+ k 2π , k ∈ ¢ .
6
−π
+ k 2π , k ∈ Z .
C. x =
6
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

Lượng giác – ĐS và GT 11

5
B. x = π + kπ , k ∈ Z .
6

A. x =

D. x =

π
+ k 2π , k ∈ Z .
6

π
1
3
π


sin x −
cos x = 1 ⇔ sin  x − ÷ = 1 ⇔ sin  x − ÷ = 1
3
2
2
3


π π
5π
⇔ x − = + k 2π ⇔ x =
+ k 2π (k ∈ ¢ )
3 2
6
Câu 28: Phương trình 3cos x + 2 | sin x |= 2 có nghiệm là:
A. x =

π
+ kπ .
8

B. x =

π
+ kπ .
6

C. x =

π
+ kπ .
4

D. x =

π
+ kπ .
2

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
3cos x + 2 | sin x |= 2 ⇔ 2 | sin x |= 2 − 3cos x
4 ( 1 − cos 2 x ) = 4 − 12 cos x + 9 cos 2 x
4sin 2 x = 4 − 12 cos x + 9 cos 2 x


⇔
⇔
2
2

cos x ≤
cos x ≤
3

3

2
13cos x − 12 cos x = 0
cos x = 0
π

⇔
⇔
⇔ x = + kπ ( k ∈ ¢ ) .
12
2

cos x = (L)
2
cos x ≤
13

3

Câu 29: Với giá trị nào của m thì phương trình (m + 1)sin x + cos x = 5 có nghiệm.
m ≥ 1
A. −3 ≤ m ≤ 1 .
B. 0 ≤ m ≤ 2 .
C. 
.

D. − 2 ≤ m ≤ 2 .
 m ≤ −3
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi :
m + 1 ≥ 2
m ≥ 1 .
2
2
⇔
a 2 + b 2 ≥ c 2 ⇔ ( m + 1) + 1 ≥ 5 ⇔ ( m + 1) ≥ 4 ⇔ 
 m + 1 ≤ −2
 m ≤ −3
Câu 30: Điều kiện để phương trình m sin x − 3cos x = 5 có nghiệm là :
 m ≤ −4
A. m ≥ 4 .
B. −4 ≤ m ≤ 4 .
C. m ≥ 34 .
D. 
.
m ≥ 4
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi :
m ≥ 4
a 2 + b 2 ≥ c 2 ⇔ m 2 + 9 ≥ 25 ⇔ m 2 ≥ 16 ⇔ 
.
 m ≤ −4
Câu 31: Với giá trị nào của m thì phương trình sin x + cos x = m có nghiệm:

A. − 2 ≤ m ≤ 2 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

B. m ≥ 2 .

Trang 25

C. −1 ≤ m ≤ 1 .

D. m ≤ 2 .