Chuyên đề hai đường thẳng vuông góc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.25 MB, 51 trang )
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
TOÁN 11
1H3-2
ĐT:0946798489
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
TRUY CẬP ĐƯỢC NHIỀU
HƠN
Contents
A. CÂU HỎI .................................................................................................................................................................... 1
DẠNG 1. GÓC CỦA HAI VÉCTƠ ................................................................................................................................. 1
DẠNG 2. GÓC CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG ................................................................................................................. 3
DẠNG 3. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC ......................................................................................................... 11
B. LỜI GIẢI ................................................................................................................................................................... 13
DẠNG 1. GÓC CỦA HAI VÉCTƠ ............................................................................................................................... 13
DẠNG 2. GÓC CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG ............................................................................................................... 18
DẠNG 3. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC ......................................................................................................... 49
A. CÂU HỎI
DẠNG 1. GÓC CỦA HAI VÉCTƠ
Câu 1.
Câu 2.
(SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ - 2018) Cho hình chóp S . ABC có BC = a 2 , các cạnh còn lại đều
bằng a . Góc giữa hai vectơ SB và AC bằng
A. 60 .
B. 120 .
C. 30 .
D. 90 .
= DAB
= 60O , AB = AD = AC (tham khảo như hình vẽ bên).
Cho tứ diện ABCD có CAB
Câu 3.
Gọi là góc giữa AB và CD . Chọm mệnh đề đúng?
1
A. = 60O .
B. cos = .
C. = 90O .
4
Cho hình lập phương ABCD. ABC D . Tính cos BD, AC
A. cos BD, AC = 0 . B. cos BD, AC = 1 .
1
C. cos BD, AC = .
2
D. cos BD, AC =
D. cos =
3
.
4
2
.
2
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
1
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Câu 4.
Cho hình chóp O. ABC có ba cạnh OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a . Gọi
M là trung điểm cạnh AB . Góc tạo bởi hai vectơ BC và OM bằng
A. 135 .
B. 150 .
C. 120 .
D. 60 .
Câu 5.
(Trường THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên, năm 2019) Cho hình hộp chữ nhật
ABCD. A ' B ' C ' D ', biết đáy ABCD là hình vuông. Tính góc giữa A ' C và BD.
B'
C'
D'
A'
C
B
D
A
A. 90 0.
B. 30 0.
C. 60 0.
D. 45 0.
Câu 6.
(Chuyên - Vĩnh Phúc - lần 3 - 2019) Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam
giác đều. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD .
A. 90 .
B. 30 .
C. 120 .
D. 60 .
Câu 7.
(THPT Trần Phú - Lần 1 - 2018-2019) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Giá trị tích vô
hướng AB AB CA bằng
A.
a2
.
2
B.
a2 2
.
2
C.
a2 3
.
2
D.
3a 2
.
2
Câu 8.
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. ABC có tất cả các cạnh đều bằng a , cosin góc giữa hai
đường thẳng AB và BC bằng
1
1
3
2
A. .
B.
.
C. .
D. .
4
2
4
4
Câu 9.
Cho hình chóp O. ABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA OB OC a . Gọi
M là trung điểm cạnh AB . Góc hợp bởi hai véc tơ BC và OM bằng
A. 120º .
B. 150º .
C. 135º .
D. 60º .
Câu 10. Cho hình lăng trụ ABC. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , tam giác ABC đều nằm
trong mặt phẳng vuông góc với ABC . M là trung điểm cạnh CC . Tính cosin góc giữa hai
đường thẳng AA và BM .
2 22
33
11
22
A. cos =
.
B. cos =
.
C. cos =
.
D. cos =
.
11
11
11
11
Câu 11. Cho tứ diện ABCD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC , AD . Biết AB = 2 a , CD = 2a 2
và MN = a 5. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là
A. 60 .
B. 30 .
C. 90 .
D. 45 .
Câu 12.
(THPT THUẬN THÀNH 1) Cho hình chóp S. ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và góc
= 30. Côsin góc tạo bởi hai đường thẳng AB và SC gần nhất với giá trị nào sau đây?
CAB
A. 0,83.
B. 0,37.
C. 0, 45.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
D. 0, 71.
2
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Câu 13.
(THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Cho hình chóp S . ABCD có tất cả các cạnh bên
và cạnh đáy đều bằng a và ABCD là hình vuông. Gọi M là trung điểm của CD. Giá trị MS .CB
bằng
2a 2
a2
a2
a2
A.
.
B. - .
C.
.
D.
.
2
2
2
3
Câu 14.
(THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S . ABC có AB = AC ,
. Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng SA và BC.
SAC = SAB
A. 45 .
B. 60 .
C. 30 .
D. 90 .
DẠNG 2. GÓC CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Câu 15. (Chuyên Thái Bình lần 2 - 2018-2019) Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D '. Tính góc giữa
hai đường thẳng AC và A ' B.
A. 60
B. 45
C. 75
D. 90
Câu 16.
(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Cho hình lập phương
ABCD. ABC D . Góc giữa hai đường thẳng BA và CD bằng:
A. 45 .
B. 60 .
C. 30 .
D. 90 .
Câu 17.
(THPT Chuyên ĐH Vinh-GK1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là
hình chữ nhật với AB = 2a , BC = a . Các cạnh bên của hình chóp cùng bằng a 2 . Tính góc giữa
hai đường thẳng AB và SC .
A. 45 .
B. 30 .
C. 60 .
D. arctan 2 .
Câu 18.
(THPT CHUYÊN NGỮ - HÀ NỘI - 2018) Cho hình lập phương ABCD. ABC D . Góc giữa
hai đường thẳng AC và BD bằng.
A. 60 .
B. 30 .
C. 45 .
D. 90 .
Câu 19.
(THPT THANH MIỆN I - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình lập phương
ABCD. ABC D , góc giữa hai đường thẳng AB và BC là
A. 90 .
B. 60 .
C. 30 .
D. 45 .
Câu 20.
(THTP LÊ QUÝ ĐÔN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018) Cho hình lăng trụ đều ABC . ABC có cạnh
đáy bằng 1 , cạnh bên bằng 2 . Gọi C1 là trung điểm của CC . Tính côsin của góc giữa hai đường
thẳng BC1 và AB .
A.
2
.
6
B.
2
.
4
C.
2
.
3
D.
2
.
8
Câu 21.
(THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) Cho tứ diện đều ABCD . Số đo góc giữa hai đường
thẳng AB và CD là
A. 45 .
B. 90 .
C. 60 .
D. 30 .
Câu 22.
(THPT QUỲNH LƯU - NGHỆ AN - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có tất cả các cạnh đều
bằng a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC . Số đo của góc IJ , CD bằng:
A. 30 .
Câu 23.
B. 60 .
C. 45 .
D. 90 .
(CHUYÊN VINH - LẦN 2 - 2018) Cho hình lập phương ABCD. ABC D (hình vẽ bên dưới).
Góc giữa hai đường thẳng AC và AD bằng
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
3
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
A. 45 .
Câu 24.
B. 30 .
C. 60 .
D. 90 .
(SGD Nam Định) Cho hình lập phương ABCD. ABC D cạnh a . Gọi M là trung điểm của
CD và N là trung điểm của AD . Góc giữa hai đường thẳng BM và C N bằng
A. 30 .
B. 45 .
C. 60 .
D. 90 .
Câu 25. Cho tứ diện OABC có OA OB OC a; OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi
I là trung điểm BC . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và OI .
A. 45 .
B. 30 .
C. 90 .
D. 60 .
400 . Số đo góc giữa
Câu 26. Cho hình hình lăng trụ ABCD. A B C D có đáy là hình chữ nhật và CAD
hai đường thẳng AC và B D là
A. 400 .
B. 200 .
C. 500 .
D. 800 .
Câu 27.
(Chuyên Đại học Vinh - Lần 1 - Năm học 2018 - 2019) Cho hình lập phương
ABCD. A ' B ' C ' D ' có I , J lần lượt là trung điểm của BC và BB ' . Góc giữa hai đường thẳng
AC và IJ bằng
A. 450 .
B. 600 .
C. 300 .
D. 1200 .
Câu 28.
(Thi thử cụm Vũng Tàu - 2019) Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Góc giữa hai đường
thẳng AC và DA bằng
A. 60 .
B. 45 .
C. 90 .
D. 120 .
Câu 29. Cho hình lập phương ABCD. AB C D . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và AC .
A. 60 .
B. 45 .
C. 30 .
D. 90 .
Câu 30. Cho hình lập phương ABCD. ABC D . Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng
A. 60 .
B. 45 .
C. 30 .
D. 90 .
Câu 31. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , SA = a 3 và SA BC . Góc giữa hai
đường thẳng SD và BC bằng
A. 90 .
B. 60 .
C. 45 .
D. 30 .
Câu 32. Cho hình lập phương ABCD. ABC D (hình vẽ bên dưới). Góc giữa hai đường thẳng AC và
AD bằng
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
4
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
A. 30 .
B. 60 .
C. 90 .
D. 45 .
Câu 33. Cho hình lăng trụ đều ABCD. A ' B ' C ' D ' có tất cả các cạnh bằng a . Góc giữa hai đường thẳng
BC ' và B ' D ' bằng
A. 300 .
B. 450 .
C. 600 .
D. 900 .
Câu 34. Cho tứ diện ABCD có AB CD 2 a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Biết
MN 3a , góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng
A. 45 .
B. 90 .
C. 60 .
D. 30 .
Câu 35.
(Thi giữa kì II - 1819 Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định) Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có
có đáy là hình vuông cạnh 2a ; cạnh SA = a và vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm CD .
Tính cos với là góc tạo bởi SB và AM .
2
1
2
4
A. - .
B. .
C. .
D. .
5
2
5
5
Câu 36.
(THPT Ngô Quyền - Ba Vì - Hải Phòng, lần 1) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. ABC có
AB = a và AA = a 2 . Góc giữa hai đường thẳng AB và BC bằng
A. 90 .
B. 30 .
C. 60 .
D. 45 .
Câu 37.
(Tham khảo 2018) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và
OA = OB = OC . Gọi M là trung điểm của BC ( tham khảo hình vẽ bên dưới). Góc giữa hai
đường thẳng OM và AB bằng
A. 900 .
D. 450
Câu 38. Cho hình lập phương ABCD. ABC D ; gọi M là trung điểm của BC . Góc giữa hai đường
thẳng AM và BC bằng
A. 45 .
B. 90 .
C. 30 .
D. 60 .
Câu 39.
B. 300 .
C. 600 .
[THPT NINH BÌNH-BẠC LIÊU-2019] Cho hình lập phương ABCD. ABC D . Gọi M là
trung điểm của DD (Tham khảo hình vẽ). Tính cô-sin của góc giữa hai đường thẳng BC và
C M
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
5
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
A.
1
.
10
B.
1
.
3
C.
1
.
3
D.
2 2
.
9
Câu 40. Cho tứ diện ABCD . Gọi P , Q lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , AD . Giả sử
AB = CD = a và PQ =
A. 900.
a 3
. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là
2
B. 450.
C. 30.
D. 600.
Câu 41.
(THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S . ABC có
SA = SB = SC = AB = AC = a , BC = a 2 . Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng AB và SC
ta được kết quả:
A. 90 .
B. 30 .
C. 60 .
D. 45 .
Câu 42.
(THPT HOÀNG HOA THÁM - HƯNG YÊN - 2018) Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a .
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và AD . Biết MN = a 3 . Tính góc giữa AB và CD .
A. 45 .
B. 30 .
C. 90 .
D. 60 .
Câu 43.
(THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Cho hình lập phương ABCD. ABC D . Gọi M
trung điểm các cạnh CD . cosin của góc giữa AC và C M là
2
10
1
A. 0 .
B.
.
C. .
D.
.
2
10
2
Câu 44.
(CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh a = 4 2cm ,
cạnh bên SC vuông góc với đáy và SC = 2cm . Gọi M , N là trung điểm của AB và BC . Góc
giữa hai đường thẳng SN và CM là
A. 30 .
B. 60 .
C. 45 .
D. 90 .
Câu 45.
(SGD - HÀ TĨNH - HK 2 - 2018) Cho lăng trụ tam giác đều ABC.MNP có tất cả các cạnh bằng
nhau. Gọi I là trung điểm cạnh AC . Cosin của góc giữa hai đường thẳng NC và IB bằng
6
10
6
15
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2
4
4
5
Câu 46.
(ĐẶNG THÚC HỨA - NGHỆ AN - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a . Gọi
M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Xác định độ dài đoạn thẳng MN để góc giữa
hai đường thẳng AB và MN bằng 30 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
6
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
A. MN =
Câu 47.
a
.
2
B. MN =
a 3
.
2
C. MN =
a 3
.
3
D. MN =
a
.
4
(THPT CHUYÊN NGUYỄN THỊ MINH KHAI - SÓC TRĂNG - 2018) Cho hình lập phương
trình ABCD. A B C D . Gọi M là trung điểm của DD (tham khảo hình vẽ dưới đây). Tính
côsin của góc giữa hai đường thẳng BC và CM .
A.
2 2
.
9
B.
1
.
10
C.
1
.
3
D.
1
.
3
Câu 48.
(THPT NGUYỄN HUỆ - TT HUẾ - 2018) Cho lăng trụ đều ABC . ABC có AB = 1, AA = 2 .
Tính góc giữa AB và BC
A. 300 .
B. 450 .
C. 1200 .
D. 600 .
Câu 49.
(SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU - 2018) Cho hình chóp S . ABC có SA , SB , SC vuông góc với nhau
đôi một và SA = SB = SC . Gọi M là trung điểm của AC . Góc giữa SM và AB bằng:
A. 600 .
B. 300 .
C. 900 .
D. 450 .
Câu 50.
(THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 2 - 2018) Cho hình chóp S . ABC có độ dài các cạnh
SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = a 2 . Góc giữa hai đường thẳng AB và SC là?
A. 45 .
B. 90 .
C. 60 .
D. 30 .
Câu 51.
(TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 5) Cho hình chóp S . ABC có SA = SB = SC = AB = AC = 1 ,
BC = 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB , SC .
A. 45 .
B. 120 .
C. 30 .
D. 60 .
Câu 52.
(XUÂN TRƯỜNG - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Tính cosin
góc giữa hai đường thẳng AB và CI , với I là trung điểm của AD .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
7
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
A.
Câu 53.
3
.
6
1
.
2
C.
3
.
4
D.
3
.
2
(HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có SA = a ,
= 60 CSA
= 90
SB = 2a , SC = 3a ,
ASB = BSC
,
. Gọi là góc giữa hai đường thẳng SA và
BC . Tính cos .
A. cos =
Câu 54.
B.
ĐT:0946798489
7
.
7
B. cos = -
7
.
7
C. cos = 0 .
D. cos =
2
.
3
(THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 3 - 2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. ABC có
AB = a và AA = 2 a . Góc giữa hai đường thẳng AB và BC bằng
C
A
B
C'
A'
B'
A. 60 .
B. 45 .
C. 90 .
D. 30 .
Câu 55.
(KIM LIÊN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện ABCD có DA = DB = DC = AC = AB = a ,
ABC = 45 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và DC .
A. 60 .
B. 120 .
C. 90 .
D. 30 .
Câu 56.
(CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình lập phương
ABCD. ABC D . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD , BB. Cosin của góc hợp bởi MN
và AC ' bằng
3
2
5
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
3
3
4
Câu 57.
(CỤM 5 TRƯỜNG CHUYÊN - ĐBSH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là
hình chữ nhật, AB = 2a , BC = a . Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là
trung điểm của cạnh AB , góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 600 . Tính cosin góc
giữa hai đường thẳng SB và AC
2
2
2
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
7
35
5
7
Câu 58.
(THTP LÊ QUÝ ĐÔN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD = 1 ;
= 60 ; BAD
= 90 ; DAC
= 120 . Tính côsin của góc tạo bởi hai đường thẳng AG và CD ,
BAC
trong đó G là trọng tâm tam giác BCD .
1
1
1
1
A.
.
B. .
C. .
D.
.
3
6
6
3
Câu 59.
(THPT NGUYỄN TRÃI - ĐÀ NẴNG - 2018) Cho hình vuông ABCD cạnh 4a , lấy H , K lần
lượt trên các cạnh AB, AD sao cho BH = 3HA, AK = 3KD . Trên đường thẳng vuông góc với
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
8
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
= 30 . Gọi E là giao điểm của CH và BK
mặt phẳng ABCD tại H lấy điểm S sao cho SBH
. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SE và BC .
28
18
36
A.
.
B.
.
C.
.
5 39
5 39
5 39
D.
9
.
5 39
Câu 60.
(THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 3 - 2018) Cho hình chóp đều S . ABCD có tất cả các
cạnh đều bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và SD . Số đo của góc giữa hai
đường thẳng MN và SC là
A. 45 .
B. 60 .
C. 30 .
D. 90 .
Câu 61.
(THPT PHAN CHU TRINH - ĐẮC LẮC - 2018) Cho hình lập phương ABCD. ABC D . Gọi
M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC , C D . Xác định góc giữa hai đường thẳng
MN và AP .
A. 60 .
B. 90
C. 30 .
D. 45 .
Câu 62.
(THPT CHU VĂN AN - HÀ NỘI - 2018) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh
a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA = a . Gọi M là trung điểm SB . Góc giữa AM và BD là
A. 60 .
B. 30 .
C. 90 .
D. 45 .
Câu 63.
(SỞ GD&ĐT YÊN BÁI - 2018) Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC . Tính
giá trị của cos AB, DM .
A.
3
.
2
B.
3
.
6
C.
1
.
2
D.
2
.
2
Câu 64. Cho hình lập phương ABCD. ABC D . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AB , BC , C D .
Xác định góc giữa MN và AP .
A. 60 .
B. 30 .
C. 90 .
D. 45
Câu 65. Cho khối chóp S . ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a , SA = a 3 và SA vuông góc với mặt
phẳng đáy. Cosin của góc giữa hai đường thẳng SB và AC là
3
2
5
5
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
4
4
4
5
Câu 66.
(Chuyên ĐBSH lần 1-2018-2019) Cho tứ diện ABCD có AC = 3a , BD = 4 a . Gọi M , N lần
lượt là trung điểm AD và BC . Biết AC vuông góc BD . Tính MN .
5a
7a
a 7
a 5
A. MN =
.
B. MN =
.
C. MN =
.
D. MN =
.
2
2
2
2
= 40 . Số đo góc giữa hai
Câu 67. Cho hình lăng trụ ABCD. ABC D có đáy là hình chữ nhật và CAD
đường thẳng AC , BD là
A. 40
B. 20 .
C. 50 .
D. 80 .
Câu 68. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a. Góc giữa hai đường thẳng CD ' và
A ' C ' bằng.
A. 300.
B. 900.
C. 600.
D. 450.
Câu 69. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a ; AD = a 2 ; SA = 2a
; SA ABCD . Tính côsin góc giữa hai đường thẳng SB và AC .
A.
3
.
4
B.
2
.
5
C.
1
.
15
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
D.
1
.
5
9
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Câu 70. Cho hình lập phương ABCD. ABC D . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và AD .
0
0
0
0
A. 90 .
B. 60 .
C. 45 .
D. 30
Câu 71. Cho hình chóp đều S.ABC có SA = 9a , AB = 6a . Gọi M là điểm thuộc cạnh SC sao cho
1
SM = MC . Côsin của góc giữa hai đường thẳng SB và AM bằng
2
A.
7
.
2 48
B.
1
.
2
C.
19
.
7
D.
14
.
3 48
Câu 72. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA ( ABCD ) , SA = a , AB = a ,
BC = a 3 . Tính cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng SC và BD .
A.
Câu 73.
3
.
10
5
.
5
B.
C.
3
.
5
D.
3
.
10
(Chuyên Tự Nhiên Lần 1 - 2018-2019) Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a . Gọi M , N lần
lượt là trung điểm AD và BC . Biết MN = a 3 , góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng.
A. 450 .
B. 900 .
C. 600 .
D. 300 .
Câu 74. Cho hình chóp S. ABC có SA ABC và tam giác ABC vuông tại B ,
SA a, AB a, BC a 2 .Gọi I là trung điểm BC . Côsin của góc giữa đường thẳng AI và
SC là?
A.
Câu 75.
2
3
B.
2
3
C.
2
3
D.
2
8
(Bình Minh - Ninh Bình - Lần 4 - 2018) Cho tứ diện ABCD gọi M , N lần lượt là trung điểm
a 3
của BC và AD . Biết AB = CD = a , MN =
. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD .
2
A. 300 .
B. 900 .
C. 600 .
D. 1200 .
Câu 76. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC , AD . Biết AB = CD = a và
a 3
MN =
. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng
2
A. 30 .
B. 90 .
C. 120 .
D. 60 .
3
= DAB
= 60; CD = AD. Gọi là góc giữa hai đường
AD, CAB
2
thẳng AB và CD . Chọn khẳng định đúng về góc .
Câu 77. Cho tứ diện ABCD với AC =
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
10
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
A. cos =
3
.
4
ĐT:0946798489
B. = 30 .
C. = 60 .
D. cos =
1
.
4
Câu 78. Cho tứ diện S. ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a; BC = a 2 . Góc giữa hai đường thẳng AB
và SC bằng
A. 0 .
B. 120 .
C. 60 .
D. 90 .
Câu 79. Cho lăng trụ đều ABC.DEF có cạnh đáy bằng a , chiều cao bằng 2a . Tính cosin của góc tạo bởi
hai đường thẳng AC và BF .
5
3
5
3
A.
B.
C.
D.
10
5
5
10
Câu 80. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi M là trung điểm của BC . Tính cô-sin của góc giữa hai
đường thẳng AB và DM ?
1
3
3
3
A.
.
B.
.
C.
.
D. .
2
2
6
3
Câu 81.
(THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Cho tứ diện ABCD có AB , AC , AD đôi một
vuông góc với nhau, biết AB = AC = AD = 1 . Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng
A. 45 .
B. 60 .
C. 30 .
D. 90 .
Câu 82.
(THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm
của cạnh BC . Khi đó cos AB, DM bằng:
A.
3
.
6
B.
2
.
2
C.
3
.
2
D.
1
.
2
DẠNG 3. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
Câu 83.
(THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-HKI 18-19) Trong không gian, cho đường thẳng d và điểm
O . Qua O có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với đường thẳng d ?
A. 3.
B. vô số.
C. 1.
D. 2.
Câu 84. Trong không gian cho trước điểm M và đường thẳng . Các đường thẳng đi qua M và vuông
góc với thì:
A. vuông góc với nhau. B. song song với nhau.
C. cùng vuông góc với một mặt phẳng.
D. cùng thuộc một mặt phẳng.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
11
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 85.
ĐT:0946798489
(CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Trong không gian, cho các mệnh đề sau, mệnh đề nào
là mệnh đề đúng?
A. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì vuông góc với đường
thẳng còn lại.
B. Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau
C. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường
thẳng còn lại.
D. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
Câu 86. Trong không gian, cho 3 đường thẳng a, b, c phân biệt và mặt phẳng P . Mệnh đề nào sau đây
đúng?
A. Nếu a c và P c thì a // P .
B. Nếu a c và b c thì a // b .
C. Nếu a b và b c thì a c .
D. Nếu a b thì a và b cắt nhau hoặc chéo nhau.
Câu 87. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho
trước.
B. Qua một điểm O cho trước có một mặt phẳng duy nhất vuông góc với một đường thẳng cho
trước.
C. Hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Khi đó có một và chỉ một mặt phẳng chứa
đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
D. Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho
trước.
Câu 88.
(THPT Tứ Kỳ-Hải Dương năm 2017-2018) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai
A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.
B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.
C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.
D. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.
Câu 89.
(THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định
sau:
A. Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song
với nhau.
B. Trong không gian hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
C. Trong không gian hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
D. Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau.
Câu 90.
(THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) Trong hình hộp ABCD. ABC D có tất cả
các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. BB BD .
B. AC BD .
C. AB DC .
D. BC AD .
Câu 91. Cho hình lập phương ABCD. ABC D . Đường thẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng BC
?
A. AD .
B. AC .
C. BB .
D. AD .
Câu 92. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi tâm O và SA = SC , SB = SD . Trong các mệnh đề
sau mệnh đề nào sai?
A. AC SD .
B. BD AC .
C. BD SA .
D. AC SA .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
12
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
B. LỜI GIẢI
DẠNG 1. GÓC CỦA HAI VÉCTƠ
S
A
Câu 1.
Câu 3.
B
a2
SA + AB . AC SA. AC + AB. AC - + 0
1
SB. AC
= 22
= - .
=
Ta có cos SB, AC = =
2
2
a
2
a
a
SB . AC
Vậy góc giữa hai vectơ SB và AC bằng 120 .
Chọn C
- AB. AC.cos CAB
= 0 .
AB.CD = AB AD - AC = AB AD - AB. AC = AB. AD cos DAB
Câu 2.
C
Þ = 90O .
Chọn A
BD AC || AC Þ BD AC Þ cos BD, AC = 0 .
Câu 4.
Chọn C
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
13
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
A
M
C
O
B
1
1
a2
OM = OA + OB
2
Ta có
Þ OM .BC = - OB 2 = - .
2
2
BC = OC - OB
1
1
a 2
.
AB =
OA2 + OB 2 =
2
2
2
a2
OM .BC
1
2
Do đó: cos OM , BC =
=
= - Þ OM .BC = 120 .
OM .BC a 2
2
.a 2
2
Chọn A
Đặt A ' B ' = a, A ' D ' = b, A ' A = c, AB = x.
A ' C = A ' B ' + A ' D ' + A ' A = a + b + c .
BD = AD - AB = b - a .
2 2
A ' C.BD = (a + b + c).(b - a ) = a.b - (a ) + (b) - b.a + c.b - c.a .
= 0 - x 2 + x 2 - 0 + 0 - 0 = 0 . (Vì ABCD là hình vuông nên a = b = x ).
Vậy A 'C BD hay góc giữa A ' C và BD bằng 90 0.
Chọn A
BC = OB 2 + OC 2 = a 2 và OM =
Câu 5.
Câu 6.
Câu 7.
Gọi M là trung điểm của AB .
Vì hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều nên CM AB, DM AB .
Khi đó AB.CD = AB.(CM + MD) = AB.CM + AB.MD = 0 .
Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD là 90 .
Chọn D
2
Ta có: AB AB CA AB. AB AB. AC AB AB . AC .cos AB, AC
2
2
a 2 a.a.cos 600 a 2 a 3a .
AB 2 AB. AC.cos BAC
2
2
Chọn A
Câu 8.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
14
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
C
A
B
C'
A'
B'
1
Đặt AA = a, AB = b, AC = c theo giả thiết ta có: a = b = c = a, ab = ac = 0, bc = a 2 .
2
Có ABBA và BCC B là các hình vuông nên AB = BC = a 2 .
Mà AB = a + b và BC = AC - AB = a + c - b suy ra
1
a2 + a2 - a2
AB.BC
1
2
cos AB, BC = cos AB, BC = =
= .
4
a 2.a 2
AB BC
Câu 9.
Chọn A
A
M
I
B
O
C
Gọi I là trung điểm của AC ta có góc hợp bởi hai véc tơ BC và OM bằng 180 trừ đi góc tạo bởi
hai véc tơ MI và MO
BC a 2
Ta có: BC a 2 MI
2
2
a 2
Tam giác OAB vuông cân tại O nên: OM
.
2
a 2
Tam giác OAC vuông cân tại O nên: OI
.
2
Suy ra góc tạo bởi hai véc tơ MI và MO bằng 60
Suy ra góc hợp bởi hai véc tơ BC và OM bằng 120
Câu 10. Chọn
B.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
15
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
A'
C'
B'
M
A
C
H
B
Ta có: AH = AH =
a 3
và AH BC , AH BC Þ BC AAH Þ BC AA hay
2
BC BB . Do đó: BCCB là hình chữ nhật.
a 2 .6
22
a 3
a 6
2
Khi đó: CC = AA =
Þ BM = a +
=a
.
. 2=
2
2
16
4
3a 2
Xét: AA.BM = AA. BC + CM = 0 + AA.CM =
.
4
Suy ra cos AA, BM =
3a 2
4
a 6 a 22
.
2
4
=
33
.
11
Câu 11. Chọn D
Ta có: MN = MB + BA + AN và MN = MC + CD + DN . Suy ra
2MN = MB + MC + BA + CD + AN + DN = BA + CD (Vì M là trung điểm BC và N là
trung điểm AD ).
1 2 2 2
2 2 2
Khi đó: 4MN = BA + CD + 2 BA.CD BA.CD = 4MN - BA - CD = 4a 2 .
2
BA.CD
2
Do vậy ta có: cos AB, CD = =
.
2
BA . CD
Vậy, số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là 45.
Câu 12. Chọn B
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
16
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
S
a
a
a
a
A
C
a
B
a2 a2 3
+) Ta có: AB.SC = AB SA + AC = AB.SA + AB. AC = a.a.cos120 + a.a.cos 30 = - +
2
2
a2 a2 3
AB.SC - +
-1 + 3
= 2 2 2 =
0.37. Chọn
+) Do đó: cos AB, SC =
B.
AB.SC
a
2
Câu 13. Chọn A
Do tất cả các cạnh của hình chóp bằng nhau nên hình chóp S . ABCD là hình chóp đều
SO ( ABCD)
Þ
.
AC BD
Do M là trung điểm của CD nên ta có:
1 1
MS = OS - OM = - OC - OD + OS , CB = OB - OC = -OD - OC .
2
2
Do OC; OS ; OD đôi một vuông góc với nhau nên ta có:
1
1
a2
2
2
2
MS .CB = OC + OD = OC =
2
2
2
S
A
D
M
O
B
C
Câu 14. Chọn D
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
17
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
S
A
C
H
B
Cách 1:
- AS . AB.cos SAB
= 0.
Ta có AS .BC = AS . AC - AB = AS . AC - AS . AB = AS . AC.cos SAC
Do đó số đo của góc giữa hai đường thẳng SA và BC bằng 90.
Câu 15.
DẠNG 2. GÓC CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Chọn A
Do ABCD là hình bình hành nên AB //DC . Suy ra góc giữa hai đường thẳng AC và AB
bằng góc giữa hai đường thẳng AC và DC và đó chính là góc
ACD = 60 (do ACD ' đều).
A
D
B
C
A
D
C
Câu 16. B
Có CD //AB Þ BA, CD = BA, BA = ABA = 45 (do ABBA là hình vuông).
Câu 17. Chọn A
S
A
D
M
B
C
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
18
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
.
AB; SC = CD
; SC = SCD
Ta có AB //CD nên
Gọi M là trung điểm của CD . Tam giác SCM vuông tại M và có SC = a 2 , CM = a nên là
= 45 . Vậy
AB; SC = 45 .
tam giác vuông cân tại M nên SCD
Câu 18.
AC ; BD =
AC ; BD = 90
Ta có:
B
C
A
D
B'
C'
D'
A'
Câu 19.
B .
AB; BC =
AB; AD = DA
Ta có BC // AD Þ
Xét DAB có AD = AB = BD nên DAB là tam giác đều.
B = 60 .
Vậy DA
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
19
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Câu 20.
Ta có AB // AB Þ BC
1 , A B = BC1 , AB = ABC1 .
Tam giác ABC1 có AB = 1 ; AC1 = BC1 = 2 và cos B =
2
AB 2 + BC12 - AC12
cos B =
.
4
2 AB.BC1
Câu 21.
a 2 a 2
Đặt AB = a , AB.CD = AB CB + BD = BA.BC - BA.BD = - = 0 Þ AB CD .
2 2
S
I
A
Câu 22.
B
D
J
C
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
20
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
IJ // SB
Þ IJ , CD = SB, AB = SBA = 60
CD // AB
(vì tam giác SAB là tam giác đều cạnh a ).
Ta có
Câu 23.
C = 60 .
Ta có: AC , AD = AC , AD = DA
Vì AD = AC = C D .
Câu 24. Chọn D
Gọi I là trung điểm của C D khi đó IB là hình chiếu vuông góc của BM trên ABC D . Mặt khác ta có
C + NC
B = NC
D + NC
B = B
C D = 90 Þ C N IB Do đó C N BM . Vậy góc giữa
IB
BM và C N bằng 90 .
Câu 25.
Chọn D
A
P
M
N
O
C
I
B
D
Vì tứ diện OABC có OA OB OC a; OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một nên ta
có thể dựng hình lập phương AMNP.OBDC như hình vẽ với I là trung điểm BC nên
I OD BC .
Cạnh của hình lập phương trên bằng a nên AB AN NB a 2 vậy tam giác ABN đều.
Dễ thấy OI / / AN nên góc giữa hai đường thẳng AB và OI bằng góc giữa AB và AN bằng 60
.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
21
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Câu 26. Chọn D
A'
B'
D'
C'
A
B
O
D
C
AC ; B D
AC ; BD .
Ta có BD / / B D
400 OAB
OBA
500
Gọi O AC BD . Vì CAD
AOB 800
AC; B D 800 .
Vậy
Câu 27.
Chọn B
B
I
C
A
D
J
C'
B'
A'
D'
Vì IJ // B ' C nên IJ , AC = B ' C, AC .
Mà AC, AB ', CB ' là đường chéo của các hình vuông bằng nhau nên AC = AB ' = CB ' .
ACB ' = 600 .
Þ ACB ' đều. Vậy IJ , AC = B ' C , AC =
Câu 28.
Chọn A
Ta có AC // A ' C ' nên góc giữa hai đường thẳng AC và DA ' bằng góc giữa hai đường thẳng A ' C '
và DA ' .
Mà A ' C ' = DA ' = DC ' (các đường chéo của hình vuông).
Suy ra A ' C ' D là tam giác đều Þ
A ' C ' D = 60 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
22
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Vậy góc giữa hai đường thẳng AC và DA ' bằng 60 .
Câu 29. Chọn A
A
B
C
D
A'
D'
B'
C'
Giả sử hình lập phương ABCD. ABC D có cạnh là a .
Do AC AC nên AB, AC = AB, AC .
= 60 .
Ta có: AB = AC = CB = a 2 ÞTam giác ABC đều nên CAB
= 60 .
Þ AB , AC = AB , AC = CAB
Câu 30. Chọn D
A'
D'
C'
B'
D
A
B
C
Ta có: CD // AB .
D, CD = 90 (vì CDDC là hình vuông nên hai đường chéo vuông góc).
Þ
AB, CD = C
Câu 31. Chọn B
AD / / BC , SA BC Þ SA AD hay SAD vuông tại A .
.
AD / / BC , SD AD = D Þ
SD , BC =
SD , AD = SDA
= SA = 3 Þ SDA
= 60 .
SAD vuông tại A Þ tan SDA
AD
Câu 32. Chọn A
Gọi cạnh hình lập phương là a .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
23
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
AD .
Ta có AC , AD = AC , AD = C
Vì AC = AD = DC = a 2 nên tam giác AC D là tam giác đều.
AD = 60 .
Suy ra C
Câu 33. Chọn C
Ta có BC ', B ' D ' = BC ', BD = DBC ' , xét BDC ' có BD, BC ', DC' đều là các đường chéo của
bằng a nên
' = 600 .
BC ', B ' D ' = BC ', BD = DBC
hình
Câu 34.
vuông
cạnh
BDC '
là
tam
giác
đều.
Do
đó
Chọn C
Gọi P , Q lần lượt là trung điểm của AC và BD . Khi đó ta có
PM / / NQ / /CD
CD PMQN là hình bình hành.
PM NQ
2
AB
Ta cũng có MQ / / NP / / AB, MQ NP
.
2
Do AB CD 2 a PM MQ QN NP a .
. Áp dụng định lí Côsin ta có
AB, CD cos cos MPN
Gọi
MN PM PN 2 PM .PN .cos MPN
3a a a 2.a.a .cos MPN
a a 3a 1
cos MPN
2.a.a
2
2
2
2
2
2
2
2
Câu 35.
2
2
1
nên cos cos MPN
AB, CD 60
2
Chọn C
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
24
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Ta có AM = AD 2 + DM 2 = a 5, SB = SA2 + AB 2 = a 5 .
AM .SB = AD + DM . SA + AB = AD.SA + AD. AB + DM .SA + DM . AB = DM . AB = 2a 2 .
Mặt khác AM .SB = AM .SB.cos AM , SB = 5a 2 .cos AM , SB
2
2
Þ 2a 2 = 5a 2 .cos AM , SB cos AM , SB = . Suy ra cos = .
5
5
A'
C'
P
B'
N
C
A
M
Câu 36.
E
B
Chọn C
Gọi M , N , P, E lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB, BB ', B ' C ', BC .
Suy ra MN / / AB ' và NP / / BC ' . Khi đó góc giữa đường thẳng AB ' và BC ' là góc giữa hai
đường thẳng MN và NP .
Ta có: MN = NP =
a 3
.
2
a 2 9a 2
Xét tam giác PEM vuông tại E , MP = PE + ME = 2a +
=
.
4
4
Áp dụng định lí cosin trong tam giác MNP , ta có
2
2
2
2
3a 2 3a 2 9a 2
+
MN 2 + NP 2 - MP 2
4
4
4 = - 1 .
cos MNP =
=
2
3a
2.MN .NP
2
2.
4
0
Do đó góc MNP bằng 120 nên góc giữa đường thẳng AB ' và BC ' bằng 600 .
Câu 37. Chọn C
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
25
