Chuyên đề cấp số nhân
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (562.33 KB, 27 trang )
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
TOÁN 11
1D3-4
ĐT:0946798489
CẤP SỐ NHÂN
TRUY CẬP ĐỂ ĐƯỢC NHIỀU
HƠN
MỤC LỤC
PHẦN A. CÂU HỎI......................................................................................................................................................... 1
DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ NHÂN ........................................................................................................................ 1
DẠNG 2. TÌM CÔNG THỨC CỦA CẤP SỐ NHÂN ..................................................................................................... 2
DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ NHÂN ..................................................................................................... 3
DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN................................................................................... 6
DẠNG 5. KẾT HỢP CẤP SỐ NHÂN VÀ CẤP SỐ CỘNG ........................................................................................... 8
DẠNG 6. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC.............................................................................. 8
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO .............................................................................................................................. 12
DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ NHÂN ...................................................................................................................... 12
DẠNG 2. TÌM CÔNG THỨC CỦA CẤP SỐ NHÂN ................................................................................................... 13
DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ NHÂN ................................................................................................... 14
DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN................................................................................. 18
DẠNG 5. KẾT HỢP CẤP SỐ NHÂN VÀ CẤP SỐ CỘNG ......................................................................................... 21
DẠNG 6. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC............................................................................ 22
PHẦN A. CÂU HỎI
DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ NHÂN
Câu 1.
Trong các dãy số un sau đây, dãy số nào là cấp số nhân?
A. un 3n .
B. un 2n .
C. un
1
.
n
D. un 2n 1 .
Câu 2.
un được cho bởi công thức nào dưới đây là số hạng tổng quát của một cấp số nhân?
1
1
1
1
A. un n 1 .
B. un n 2 .
C. un n 1 .
D. un n 2 .
2
2
2
2
Câu 3.
(CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân?
n
n
A. un 1 n .
B. un n 2 .
C. un 2n .
D. un n .
3
Câu 4.
Cho dãy số un có số hạng tổng quát là un 3.2 n1 n * . Chọn kết luận đúng:
A. Dãy số là cấp số nhân có số hạng đầu u1 12 .
B. Dãy số là cấp số cộng có công sai d 2 .
C. Dãy số là cấp số cộng có số hạng đầu u1 6 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
1
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
D. Dãy số là cấp số nhân có công bội q 3 .
Câu 5.
Dãy nào sau đây là một cấp số nhân?
A. 1, 2, 3, 4,... .
B. 1, 3, 5, 7,... .
C. 2, 4,8,16,... .
D. 2, 4, 6,8,...
1
1 1
1
; ;
; . Khẳng định nào sau đây là sai?
3
9 27
81
A. Dãy số không phải là một cấp số nhân.
1
B. Dãy số này là cấp số nhân có u1 1; q= .
3
1
n
C. Số hạng tổng quát. un 1 . n1
3
D. Là dãy số không tăng, không giảm.
Câu 6.
Cho dãy số: 1;
Câu 7.
Tập hợp các giá trị x thỏa mãn x, 2 x, x 3 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân là
A. 0;1 .
B. .
C. 1 .
D. 0
Câu 8.
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của x để ba số 1; x; x 2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số
nhân?
A. 2 .
B. 1 .
C. 3 .
D. 0 .
Câu 9.
(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Tìm tất cả các giá trị của x để ba số
2 x 1, x, 2 x 1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
1
1
A. x
B. x
C. x 3
D. x 3
3
3
Câu 10.
(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Trong các phát biểu sau, phát
biểu nào là sai?
A. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân.
B. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng.
C. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số tăng.
D. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số dương.
Câu 11.
(CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018) Xác định x dương để 2 x 3 ; x ; 2 x 3 lập thành
cấp số nhân.
A. x 3 .
B. x 3 .
C. x 3 .
D. không có giá trị nào của x .
Câu 12.
(THPT TỨ KỲ - HẢI DƯƠNG - LẦN 2 - 2018) Giả sử
một cấp số nhân. Tính cos 2 .
3
3
A.
.
B.
.
2
2
C.
sin
, cos , tan theo thứ tự đó là
6
1
.
2
1
D. .
2
DẠNG 2. TÌM CÔNG THỨC CỦA CẤP SỐ NHÂN
(DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Tìm công bội 9 của một cấp số nhân un có u1
Câu 13.
1
và u6 16
2
.
A. q
1
.
2
B. q 2 .
C. q 2 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
1
D. q .
2
2
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 14.
ĐT:0946798489
Cho cấp số nhân un có số hạng đầu u1 2 và u6 486 . Công bội q bằng
A. q 3 .
B. q 5 .
C. q
3
.
2
1
Câu 15. Cho cấp số nhân un với u1 ; u 7 32 . Tìm q ?
2
1
A. q .
B. q 2 .
C. q 4 .
2
Câu 16.
D. q
2
.
3
D. q 1 .
Cho ba số thực x , y , z trong đó x 0 . Biết rằng x, 2 y, 3 z lập thành cấp số cộng và x , y , z lập
thành cấp số nhân; tìm công bội q của cấp số nhân đó.
1
q 1
q 3
A.
B.
C. q 2
D. q 1
q 1
q 2
3
3
DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ NHÂN
Câu 17.
(HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số nhân un có u1 2 và công bội q 3
. Số hạng u2 là:
A. u2 6 .
Câu 18.
C. u2 1 .
B. 54 .
C. 162 .
D. 486 .
Cho cấp số nhân un có số hạng đầu u1 2 và công bội q 5 . Giá trị của
6
7
8
A. 2.5 .
B. 2.5 .
C. 2.5 .
Câu 20. Cho cấp số nhân un có u1 3 , công bội q 2 . Ta có u5 bằng
A. 24 .
Câu 21.
D. u2 18 .
(THPT CHUYÊN KHTN - LẦN 3 - 2018) Cho cấp số nhân un có u5 2 và u9 6 . Tính u21
.
A. 18 .
Câu 19.
B. u2 6 .
B. 11 .
C. 48 .
u6 u8 bằng
D. 2.55 .
D. 9 .
(Chuyên ĐBSH lần 1-2018-2019) Cho cấp số nhân un có công bội dương và u2
1
, u4 4 .
4
Giá trị của u1 là
1
1
1
1
A. u1 .
B. u1 .
C. u1 .
D. u1 .
6
16
16
2
Câu 22. Cho cấp số nhân un có số hạng đầu u1 2 và công bội q 3 . Giá trị u2019 bằng
A. 2.32018 .
B. 3.2 2018 .
C. 2.32019 .
D. 3.2 2019 .
Câu 23. (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số nhân un ; u1 1, q 2 . Hỏi số 1024
là số hạng thứ mấy?
A. 11 .
B. 9 .
C. 8 .
D. 10 .
Câu 24.
(Yên Định 1 - Thanh Hóa - 2018-2019) Cho cấp số nhân un có số hạng đầu u1 5 và công bội
q 2 . Số hạng thứ sáu của un là
A. u6 320 .
B. u6 160 .
C. u6 320 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
D. u6 160 .
3
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 25.
Tìm số hạng đầu u1 của cấp số nhân un biết rằng u1 u2 u3 168 và u4 u5 u6 21
B. u1
A. u1 24 .
Câu 26.
Câu 27.
ĐT:0946798489
1334
.
11
C. u1 96 .
D. u1
217
.
3
u1 1
(Bình Minh - Ninh Bình - Lần 4 - 2018) Cho dãy số un xác định bởi
. Tính số
un1 2un 5
hạng thứ 2018 của dãy số trên
A. u 2018 6.2 2017 5 .
B. u 2018 6.2 2018 5 . C. u2018 6.2 2017 1 . D. u 2018 6.2 2018 5 .
Cho un là cấp số nhân, công bội q 0. Biết u1 1, u3 4. Tìm u4 .
A.
11
.
2
B. 2.
C. 16.
D. 8.
Câu 28.
Cho cấp số nhân un , n 1 với công bội q 2 và có số hạng thứ hai u2 5. Số hạng thứ 7 của
cấp số nhân là
A. u7 320 .
B. u7 640 .
C. u7 160 .
D. u7 80 .
Câu 29.
(THPT THUẬN THÀNH 1) Cho một cấp số nhân có số hạng thứ 4 gấp 4096 lần số hạng đầu
tiên. Tổng hai số hạng đầu tiên là 34. Số hạng thứ 3 của dãy số có giá trị bằng:
A. 1.
B. 512 .
C. 1024 .
D. 32 .
Câu 30. (THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU - ĐỒNG THÁP - 2018) Cho cấp số nhân un ,
biết u1 12 ,
A. u9
Câu 31.
u3
243 . Tìm u9 .
u8
2
.
2187
B. u9
4
.
6563
C. u9 78732 .
D. u9
4
.
2187
(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - GIA LAI - LẦN 2 - 2018) Cho cấp số nhân un có tổng
n số hạng đầu tiên là Sn 5n 1 với n 1, 2,... . Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân
đó?
A. u1 5 , q 4 .
B. u1 5 , q 6 .
C. u1 4 , q 5 .
D. u1 6 , q 5 .
u4 u2 54
Câu 32. (CHUYÊN LONG AN - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số nhân un biết
. Tìm số hạng
u5 u3 108
đầu u1 và công bội q của cấp số nhân trên.
A. u1 9 ; q 2 .
B. u1 9 ; q 2 .
C. u1 9 ; q 2 . D. u1 9 ; q 2 .
Câu 33. (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Xen giữa số 3 và số 768 là 7 số để được một cấp
số nhân có u1 3 . Khi đó u5 là:
A. 72 .
B. 48 .
C. 48 .
D. 48 .
u20 8u17
Câu 34. (THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cấp số nhân un có
. Tìm u1
u1 u5 272
, biết rằng u1 100 .
A. u1 16.
B. u1 2.
C. u1 16.
D. u1 2.
Câu 35. (THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) Cho cấp số nhân u1 1 , u6 0, 00001 . Khi đó q và số
hạng tổng quát là?
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
4
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
1
1
1
, un n1 . B. q
, un 10n 1 .
10
10
10
n
1
1
1
1
C. q
, un n 1 . D. q , un n1 .
10
10
10
10
A. q
Câu 36.
(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 3 - 2018) Cho cấp số nhân un có u2
1
, u5 16 . Tìm
4
công bội q và số hạng đầu u1 .
1
1
1
1
1
1
A. q , u1 .
B. q , u1 . C. q 4 , u1 . D. q 4 , u1 .
2
2
2
2
16
16
Câu 37.
(THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN - 2018) Cho cấp số nhân có số hạng đầu u1 2, công bội
3
81
là số hạng thứ mấy của cấp số này?
q . Số
4
128
A. 5 .
B. 4 .
C. 6 .
D. 3 .
Câu 38.
(THPT CHUYÊN THOẠI NGỌC HẦU - LẦN 3 - 2018) Cho dãy số 4,12, 36,108,324,... . Số
hạng thứ 10 của dãy số đó là?
A. 73872 .
B. 77832 .
C. 72873 .
D. 78732 .
Câu 39.
Cho tứ giác ABCD có bốn góc tạo tành cấp số nhân có công bội q 2 , góc có số đo nhỏ nhất
trong bốn góc đó là:
A. 10
B. 300
C. 120
D. 240
Câu 40.
Câu 41.
Câu 42.
u1 u3 u5 65
Cho cấp số nhân un thỏa mãn
. Tính u3 .
u1 u7 325
A. u3 15 .
B. u3 25 .
C. u3 10 .
D. u3 20 .
Cho cấp số nhân un có tổng n số hạng đầu tiên là S n 6n 1 . Tìm số hạng thứ năm của cấp số
nhân đã cho.
A. 120005.
B. 6840.
C. 7775.
D. 6480.
u1 1
. Tìm số
(Bạch Đằng-Quảng Ninh- Lần 1-2018) Cho dãy số un xác định bởi
un 1 2un 5
hạng thứ 2020 của dãy.
A. u2020 3.22020 5.
B. u2020 3.22019 5. C. u2020 3.22019 5. D. u2020 3.22020 5.
Câu 43. (THPT NAM TRỰC - NAM ĐỊNH - 2018) Số hạng đầu và công bội q của CSN với
u7 5, u10 135 là:
5
5
5
5
,q 3.
, q 3 .
, q 3 . C. u1
A. u1
B. u1
D. u1
, q 3 .
729
729
729
729
Câu 44.
Cho dãy số un được xác định bởi u1 2 ; un 2un 1 3n 1 . Tìm số hạng thứ 2019 của dãy
số.
A. u2019 5.22019 6062. B. u2019 5.22019 6062.
C. u2019 5.22020 6062. D. u2019 5.22020 6062.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
5
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 45.
ĐT:0946798489
2
3
Cho dãy số un xác định bởi u1 1; un1 un
với số nào dưới đây?
A. 312540600 .
B. 312540500 .
n 4
, n 1. Giá trị của u50 gần nhất
n 3n 2
2
C. 212540500 .
D. 212540600 .
DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Câu 46.
Cho cấp số nhân u n có u1 3 và q 2 . Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
A. S10 511.
Câu 47.
B. S10 1023 .
C. S10 1025 .
D. S10 1025 .
(LÊ QUÝ ĐÔN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho một cấp số nhân có các số hạng đều không
âm thỏa mãn u2 6 , u4 24 . Tính tổng của 12 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó.
A. 3.212 3 .
B. 212 1 .
C. 3.212 1 .
D. 3.212 .
n
Câu 48.
(Chuyên Lam Sơn-KSCL-lần 2-2018-2019) Cho dãy un
1
với un 1 , n * . Tính
2
S 2019 u1 u 2 u3 ... u2019 , ta được kết quả
A. 2020
1
2019
.
4039
1
6057
.
C. 2019 2019 .
D.
.
2
2
2
có u3 12 , u5 48 , có công bội âm. Tổng 7 số hạng đầu của cấn số nhân
B.
2
Câu 49. Cho cấp số nhân un
đã cho bằng
A. 129 .
B. 129 .
Câu 50.
C. 128 .
(KSNLGV - THUẬN THÀNH 2 - BẮC NINH NĂM 2018 - 2019) Cho un là cấp số nhân, đặt
Sn u1 u2 ... un . Biết S2 4; S3 13 và u2 0 , giá trị S5 bằng
181
35
A. 2 .
B.
.
C.
.
16
16
Câu 51.
Câu 52.
D. 128 .
Giá trị của tổng S 1 3 32 ... 32018 bằng
32019 1
32018 1
A. S
.
B. S
.
2
2
C. S
32020 1
.
2
D. 121 .
D. S
32018 1
.
2
Số thập phân vô hạn tuần hoàn 3,1555... 3,1 5 viết dưới dạng số hữu tỉ là:
A.
63
.
20
B.
142
.
45
C.
1
.
18
1 1
n 1 1
S 1 2 ... 1
...
6 6
6n
Câu 53. Tính tổng
7
6
6
A. S
B. S
C. S
6
7
7
D.
7
.
2
D. S
7
6
Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,121212... được biểu diễn bởi phân số
3
1
3
12
A.
.
B.
.
C. .
D.
.
25
11
22
99
Câu 55. (PTNK CƠ SỞ 2 - TPHCM - LẦN 1 - 2018) Viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được
một cấp số nhân. Tổng các số hạng của cấp số nhân đó là
A. 215 .
B. 315 .
C. 415 .
D. 515 .
Câu 54.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
6
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 56.
ĐT:0946798489
u1 u2 u3 13
(LIÊN TRƯỜNG - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Cho cấp số nhân un thỏa mãn
u4 u1 26
. Tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân un là
A. S8 1093 .
Câu 57.
Câu 58.
B. S8 3820 .
C. S8 9841 .
D. S8 3280 .
1 1
1
(THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018) Tổng S 2 n có giá trị là:
3 3
3
1
1
1
1
A. .
B. .
C. .
D. .
9
4
3
2
(THPT THẠCH THANH 2 - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số an xác định bởi
a1 2 , an 1 2an , n 1 , n . Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của dãy số.
2050
A.
.
B. 2046 .
C. 682 .
D. 2046 .
3
Câu 59.
(THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số
1
nhân có số hạng đầu là , số hạng thứ tư là 32 và số hạng cuối là 2048 ?
2
1365
5416
5461
21845
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2
2
2
2
Câu 60.
(THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Một cấp số nhân un có n số hạng, số hạng đầu u1 7
, công bội q 2 . Số hạng thứ n bằng 1792 . Tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân un ?
A. 5377 .
Câu 61.
B. 5737 .
C. 3577 .
D. 3775 .
(THPT BÌNH GIANG - HẢI DƯƠNG - 2018) Tính tổng cấ số nhân lùi vô hạn
2
1
1 1 1
, , ,..., n ,... là.
2 4 8
2
A. 1 .
Câu 62.
B.
1
.
2
1
C. .
4
1
D. .
3
Giá trị của tổng 7 77 777 ... 77...7 (tổng có 2018 số hạng) bằng
70
7 102018 10
102018 1 2018 .
2018 .
A.
B.
9
9
9
2019
7
7 10 10
2018 .
C.
D. 102018 1 .
9
9
9
Câu 63.
(SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Giá trị của tổng 4 44 444 ... 44...4 (tổng đó có 2018 số hạng)
bằng
40 2018
4 102019 10
10
1
2018
2018 .
A.
.
B.
9
9
9
2019
4
4 10 10
C.
D. 102018 1 .
2018 .
9
9
9
Câu 64.
(THPT KINH MÔN - HD - LẦN 2 - 2018) Cho dãy số xác định bởi u1 1 ,
1
n 1
*
un 1 2un 2
; n . Khi đó u2018 bằng:
3
n 3n 2
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
7
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
2016
ĐT:0946798489
2018
2
1
2
1
. B. u2018 2017
.
2017
3
2019
3
2019
22017
1
22017
1
2018
. D. u2018 2018
.
3
2019
3
2019
A. u2018
C. u2018
Câu 65.
(THPT CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA - 2018) Cho dãy số U n xác định bởi: U1
U
n 1
U U
.U n . Tổng S U1 2 3 ... 10 bằng:
3n
2
3
10
3280
29524
25942
A.
.
B.
.
C.
.
6561
59049
59049
1
3
và U n 1
Câu 66.
D.
1
.
243
u1 1
(THPT THANH CHƯƠNG - NGHỆ AN - 2018) Cho dãy số (un ) thỏa mãn
un 2un 1 1; n 2
. Tổng S u1 u2 ... u20 bằng
A. 2 20 20.
B. 2 21 22.
C. 220.
D. 2 21 20.
DẠNG 5. KẾT HỢP CẤP SỐ NHÂN VÀ CẤP SỐ CỘNG
Câu 67.
(NGÔ GIA TỰ_VĨNH PHÚC_LẦN 1_1819) Cho ba số a , b , c là ba số liên tiếp của một cấp
số cộng có công sai là 2 . Nếu tăng số thứ nhất thêm 1, tăng số thứ hai thêm 1 và tăng số thứ ba
thêm 3 thì được ba số mới là ba số liên tiếp của một cấp số nhân. Tính a b c .
A. 12 .
Câu 68.
B. 18 .
C. 3 .
D. 9 .
Cho ba số x ; 5 ; 2y theo thứ tự lập thành cấp số cộng và ba số x ; 4 ; 2y theo thứ tự lập thành cấp
số nhân thì x 2 y bằng
A. x 2 y 10 .
B. x 2 y 9 .
C. x 2 y 6 .
D. x 2 y 8 .
Câu 69.
Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un ) biết u1 1 và u1 , u3 , u4 theo thứ tự là ba số hạng liên
tiếp trong một cấp số cộng.
5 1
5 1
1
A.
.
B.
.
C.
.
D. 2 .
2
2
5 1
Câu 70.
(TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 5) Ba số phân biệt có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên
tiếp của một cấp số nhân, cũng có thể coi là số hạng thứ 2 , thứ 9 , thứ 44 của một cấp số cộng.
Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng 820 ?
A. 20 .
B. 42 .
C. 21 .
D. 17 .
DẠNG 6. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC
Câu 71.
(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Người ta thiết kế một cái tháp 11 tầng. Diện
tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích
mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là 12288 m 2 ). Tính diện tích mặt
trên cùng.
A. 8 m 2 .
B. 6 m2 .
C. 10 m2 .
D. 12 m2 .
Câu 72.
(TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 1 - 2018) Một hình vuông ABCD có cạnh AB a , diện tích
S1 . Nối 4 trung điểm A1 , B1 , C1 , D1 theo thứ tự của 4 cạnh AB , BC , CD , DA ta được hình vuông
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
8
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
thứ hai là A1 B1C1 D1 có diện tích S2 . Tiếp tục như thế ta được hình vuông thứ ba A2 B2C2 D2 có diện
tích S3 và cứ tiếp tục như thế, ta được diện tích S4 , S5 ,... Tính S S1 S2 S3 ... S100 .
2100 1
A. S 99 2 .
2 a
Câu 73.
B. S
a 2100 1
299
.
C. S
a 2 2100 1
299
.
D. S
a 2 299 1
299
.
Dân số tỉnh Bình Phước theo điều tra vào ngày 1/ 1/ 2011 là 905300 người (làm tròn đến hàng
nghìn). Nếu duy trì tốc độ tăng trưởng dân số không đổi là 10% một năm thì đến 1 /1/ 2020 dân
số của tỉnh Bình Phước là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng đơn vị)
A. 22582927 .
B. 02348115 .
C. 2134650 .
D. 11940591 .
(THPT KINH MÔN - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Bạn A thả quả bóng cao su từ độ cao 10
m theo phương thẳng đứng. Mỗi khi chạm đất nó lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao
3
bằng
độ cao trước đó. Tính tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn.
4
A. 40 m.
B. 70 m.
C. 50 m.
D. 80 m.
Câu 75. (THPT TRẦN NHÂN TÔNG - QN - LẦN 1 - 2018) Một loại vi khuẩn sau mỗi phút số lượng
tăng gấp đôi biết rằng sau 5 phút người ta đếm được có 64000 con hỏi sau bao nhiêu phút thì có
được 2048000 con.
A. 10 .
B. 11 .
C. 26 .
D. 50 .
Câu 74.
Câu 76.
(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - BÌNH DƯƠNG - 2018) Trên một bàn cờ vua kích thước
8x8 người ta đặt số hạt thóc theo cách như sau. Ô thứ nhất đặt một hạt thóc, ô thứ hai đặt hai hạt
thóc, các ô tiếp theo đặt số hạt thóc gấp đôi ô đứng liền kề trước nó. Hỏi phải tối thiểu từ ô thứ bao
nhiêu để tổng số hạt thóc từ ô đầu tiên đến ô đó lớn hơn 20172018 hạt thóc.
A. 26
B. 23
C. 24
D. 25
Câu 77.
(THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A , biết độ dài
cạnh đáy BC , đường cao AH và cạnh bên AB theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q .
Giá trị của q 2 bằng
A.
Câu 78.
2 2
.
2
B.
2 2
.
2
C.
2 1
.
2
D.
2 1
2
(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số an xác định bởi
a1 5, an 1 q.an 3 với mọi n 1 , trong đó q là hằng số, q 0 , q 1 . Biết công thức số hạng
1 q n 1
. Tính 2 ?
1 q
C. 11 .
D. 16 .
tổng quát của dãy số viết được dưới dạng an .q n 1
A. 13 .
B. 9 .
Câu 79.
(THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Cho bốn số a, b , c, d theo thứ tự đó tạo thành cấp số nhân
148
với công bội khác 1 . Biết tổng ba số hạng đầu bằng
, đồng thời theo thứ tự đó chúng lần lượt
9
là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng. Tính giá trị biểu thức T a b c d
.
101
100
100
101
A. T
.
B. T
.
C. T
.
D. T
.
27
27
27
27
Câu 80.
(Bạch Đằng-Quảng Ninh- Lần 1-2018) Từ độ cao 55,8m của tháp nghiêng Pisa nước Italia người
ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
9
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
1
độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc
10
ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?
bằng
A. 67m;69m .
Câu 81.
B. 3 .
D. 69m;72m .
C. 5 .
D. 4 .
(Chuyên Lê Thánh Tông-Quảng Nam-2018-2019) Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để
phương trình x 1 x 3 x m 0 có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân tăng?
A. 4.
Câu 83.
C. 64m;66m .
Để trang trí cho quán trà sữa sắp mở cửa của mình, bạn Việt quyết định tô màu một mảng tường
hình vuông cạnh bằng 1m . Phần tô màu dự kiến là các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là
1, 2, 3...n,.. (các hình vuông được tô màu chấm bi), trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một
nửa cạnh hình vuông trước đó (hình vẽ). Giả sử quá trình tô màu của Việt có thể diễn ra nhiều giờ.
Hỏi bạn Việt tô màu đến hình vuông thứ mấy thì diện tích của hình vuông được tô bắt đầu nhỏ hơn
1
m2 ?
1000
A. 6 .
Câu 82.
B. 60m;63m .
B. 3.
C. 2.
D. 1.
Biết rằng tồn tại đúng hai giá trị của tham số m để phương trình x 3 7 x 2 2 m 2 6m x 8 0
có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân. Tính tổng lập phương của hai giá trị đó.
A. 342 .
B. 216 .
C. 344 .
D. 216 .
Câu 84.
Cho dãy số
T
un
là một cấp số nhân có số hạng đầu u1 1 , công bội q 2 . Tính tổng
1
1
1
1
...
.
u1 u5 u2 u6 u3 u7
u20 u24
1 219
A.
.
15.218
1 220
B.
.
15.219
219 1
C.
.
15.218
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
220 1
D.
15.219
10
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 85.
ĐT:0946798489
(THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 2 - 2018) Với hình vuông A1 B1C1 D1 như hình vẽ bên, cách
tô màu như phần gạch sọc được gọi là cách tô màu “đẹp”. Một nhà thiết kế tiến hành tô màu cho
một hình vuông như hình bên, theo quy trình sau:
Bước 1: Tô màu “đẹp” cho hình vuông A1 B1C1 D1 .
Bước 2: Tô màu “đẹp” cho hình vuông A2 B2C2 D2 là hình vuông ở chính giữa khi chia hình vuông
A1 B1C1 D1 thành 9 phần bằng nhau như hình vẽ.
Bước 3: Tô màu “đẹp” cho hình vuông A3 B3C3 D3 là hình vuông ở chính giữa khi chia hình vuông
A2 B2C2 D2 thành 9 phần bằng nhau. Cứ tiếp tục như vậy. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu bước để tổng
diện tích phần được tô màu chiếm 49,99% .
A. 9 bước.
B. 4 bước.
C. 8 bước.
D. 7 bước.
Câu 86.
(SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Cho hình vuông C1 có cạnh bằng a . Người ta chia mỗi cạnh
của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình
vuông C2 (Hình vẽ).
Từ hình vuông C2 lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông C1 , C2 , C3 ,., Cn .
Gọi Si là diện tích của hình vuông Ci i 1, 2,3,..... . Đặt T S1 S2 S3 ...Sn ... . Biết
T
32
, tính a ?
3
A. 2 .
Câu 87.
B.
5
.
2
C.
2.
D. 2 2 .
(TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 6) Cho năm số a , b , c , d , e tạo thành một cấp số nhân theo thứ
1 1 1 1 1
tự đó và các số đều khác 0 , biết 10 và tổng của chúng bằng 40 . Tính giá trị
a b c d e
S với S abcde .
A. S 42 .
B. S 62 .
C. S 32 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
D. S 52 .
11
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 88.
ĐT:0946798489
5u 5u1 u2 u2 6
(THPT YÊN KHÁNH A - LẦN 2 - 2018) Cho dãy số un thỏa mãn 1
.
*
un 1 3un n
Giá trị nhỏ nhất của n để un 2.32018 bằng:
A. 2017 .
B. 2018 .
C. 2019 .
D. 2010
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
Câu 1.
DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ NHÂN
Chọn B
un
2n
Ta thấy, với n 2, n dãy số un 2 có tính chất:
2 nên là cấp số nhân với
u n 1 2 n 1
n
Câu 2.
công bội q 2, u1 2 .
Chọn A
n 1
Câu 3.
1
1 1
1
1
un n1 . là số hạng tổng quát của một cấp số nhân có u1 và q .
4
2
2
4 2
1
1
7 1
17 7
un n 2 có u1 ; u2 .7; u3
.7 nên không phải số hạng tổng quát của một cấp
2
2
2 2
2 2
số nhân.
1
1
3
1 3
7
3 3
un n 1 có u1 ; u2 . ; u3 . nên không phải số hạng tổng quát của
2
2
4
2 2
8
4 2
một cấp số nhân.
1
3
9 3
19 9
un n 2 có u1 ; u2 .3; u3
.3 nên không phải số hạng tổng quát của một cấp
2
2
2 2
2 2
số nhân.
u
Lập tỉ số n1
un
n 1
1 . n 1 n 1 u không phải cấp số nhân.
u
A: n 1
n
n
un
n
1 .n
2
B:
Câu 4.
un 1 n 1
un không phải là cấp số nhân.
un
n2
un 1 2n 1
n 2 un1 2un un là cấp số nhân có công bội bằng 2 .
C:
un
2
u
n 1
un không phải là cấp số nhân.
D: n 1
un
3n
Chọn A
Dãy số un có số hạng tổng quát là un 3.2 n1 n * u n1 3.2 n 2 .
Xét thương
un1 3.2n2
2 const với n * nên dãy số un là một cấp số nhân có công
n 1
un
3.2
11
bội q 2 và có số hạng đầu là u1 3.2
Câu 5.
12 .
Chọn C
Ta có: 2, 4,8,16,... là cấp số nhân có số hạng đầu u1 2 và công bội q 2 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
12
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Câu 6.
Hướng dẫn giải:
Chọn
A.
1
1
1 1 1
1 1
1
1. ; . ;
. ;....... Vậy dãy số trên là cấp số nhân với
3
9
3 3 27
9 3
3
1
u1 1; q=- .
3
Ta có:
Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có un u1q
n 1
1
1
3
n 1
n
1 .
1
.
3n 1
Câu 7.
Lờigiải
Chọn C
Gọi q là công bội của cấp số nhân.
Ta có
2 x x.q
2 x x.q
q 2
x 3 2 x.q
x 3 2.2 x x 1
Tập hợp các giá trị x thỏa mãn x, 2 x, x 3 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân là 1 .
Câu 8.
Chọn A
x 1
Để 1; x; x 2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân thì: x 2 x 2
.
x 2
Vậy có đúng 1 số nguyên dương x 2 .
Câu 9.
Chọn B
Để ba số đó lập thành một cấp số nhân thì:
1
1
x 2 2 x 1 2 x 1 x 2 4 x 2 1 x 2 x
3
3
Câu 10. A. Đúng vì dãy số đã cho là cấp số nhân với công bội q 1 .
B. Đúng vì dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai d 0 .
C. Đúng vì dãy số đã cho là cấp số cộng có công sai dương nên: un 1 un d 0 un 1 un .
D. Sai. Ví dụ dãy 5 ; 2 ; 1 ; 3 ; … là dãy số có d 3 0 nhưng không phải là dãy số dương.
Câu 11. 2 x 3 ; x ; 2 x 3 lập thành cấp số nhân x 2 2 x 3 2 x 3 x 2 4 x 2 9 x 2 3
x 3.
Vì x dương nên x 3 .
Câu 12.
Điều kiện: cos 0
2
k .
k
sin
sin 2
.tan 6 cos 2
.
cos
6
1
6 cos3 sin 2 0 6 cos3 cos 2 1 0 cos .
2
Theo tính chất của cấp số nhân, ta có: cos 2
2
1
1
Ta có: cos 2 2 cos 1 2. 1 .
2
2
2
DẠNG 2. TÌM CÔNG THỨC CỦA CẤP SỐ NHÂN
Câu 13.
Chọn C
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
13
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Ta có u6 u1 q 5 q 5
Câu 14.
ĐT:0946798489
u6 16
32 q 2 .
u1 1
2
Chọn A
u1 2
u1 2
Theo đề ra ta có:
q5 243 35 q 3 .
5
u6 486
486 u1.q
Câu 15.
Hướng dẫn giải:
Chọn
B.
q 2
Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có un u1q n1 u7 u1.q 6 q 6 64
q 2
Câu 16. Chọn A
x , y , z lập thành cấp số nhân công bội q nên y qx; z q 2 x
x 3z
x 3q 2 x
2qx
2
2
q 1
x 3q 2 x
2
Vì x 0 nên 2qx
4q 1 3q
q 1
2
3
x, 2 y, 3 z lập thành cấp số cộng nên 2 y
DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ NHÂN
Câu 17. Số hạng u2 là: u2 u1.q 6
2
u1q 4 2
u5 2
u1
8
Câu 18. Ta có
3.
u1q 6
u9 6
q 4 3
5
2
Suy ra u21 u1q 20 u1 q 4 .35 162 .
3
Câu 19. Chọn A
Vì un là cấp số nhân nên u6u8 u72 , suy ra
Câu 20.
u 6 u8 u7 u1 .q 6 2.56 .
Chọn C
Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: un u1.q n 1 .
Do đó u5 3.2 4 48 .
Câu 21. Chọn B
Theo tính chất của cấp số nhân với k 2 thì uk2 uk 1.uk 1 ta suy ra
u3 1
1
u32 u2 .u4 .4 1
4
u3 1
Vì un là cấp số nhân có công bội dương nên u3 1 . Gọi q là công bội ta được q
u4 4
4
u3 1
1
u2 4 1
Từ đó ta có u1 .
q 4 16
Câu 22. Chọn A
Áp dụng công thức của số hạng tổng quát un u1 .q n 1 2.32018 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
14
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
n 1
n 1
ĐT:0946798489
n 1
10
Câu 23.
Ta có un u1.q
Câu 24.
Chọn B
5
Ta có: u6 u1.q 5 5. 2 160 .
Câu 25.
Chọn C
2
u1 u2 u3 168
u1 u1.q u1.q 168
Ta có :
3
4
5
u4 u5 u6 21
u1.q u1.q u1.q 21
1.2
1024 2
2 n 1 10 n 11 .
u1 1 q q 2 168
3
2
u1q 1 q q 21
168
u
1
1 q q2
q3 1
8
u1 96
1 .
q
2
Vậy u1 96 ,
Câu 26. Chọn A
Ta có un vn 5 , un 1 2un 5 vn 1 5 2 vn 5 5 vn 1 2vn .
Do đó vn là cấp số nhân với v1 6 , q 2 , vn 6.q n 1 , v2018 6.22017 u2018 6.22017 5 .
Câu 27. Chọn D
u1 1
u1 1
u 1
Ta có:
u1.q 2 4 1 u4 u1.q 3 8.
q 2
u3 4 q 0
Câu 28. Chọn C
Ta có un , n 1 là cấp số nhân có công bội q 2 nên có số hạng tổng quát un q n 1. u1 .
5
5
u7 .26 160.
2
2
Vậy số hạng thứ 7 của cấp số là 160. Đáp án
C.
Câu 29. Chọn B
q3 4096
u4 4096.u1
q 16
q 16
Theo bài ra ta có:
.
u1 u2 34
u1.(1 q) 34 17.u1 34 u1 2
Vì u2 5 u1.2 u1
Vậy u3 u1.q 2 2.16 2 512 . Chọn
B.
Câu 30. Gọi q là công bội của cấp số nhân un .
Ta có u3 u1q 2 , u8 u1q 7
u3 1
243 q 1 .
u8 q5
3
8
4
1
Do đó u9 u1q8 12.
.
3 2187
u1 S1 5 1 4
u1 4
u
Câu 31. Ta có:
u1 4 , q 2 5 .
2
u1
u1 u2 S 2 5 1 24 u2 24 u1 20
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
15
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
u1q q 1 54
u1q 3 u1q 54
u4 u2 54
u1 9
4
Câu 32. Ta có:
.
2
2
2
u1q u1q 108
q 2
u5 u3 108
u1q q 1 108
Vậy u1 9 ; q 2 .
2
Câu 33.
Ta có u1 3 và u9 768 nên 768 3.q8 q8 256 q 2 .
Do đó u5 u1.q 4 3.24 48 .
Câu 34. Ta có:
19
16
16 3
u20 8u17
u1.q 8u1q
u1q q 8 01
.
4
4
u1 u5 272
u1 1 q 272 2
u1 u1.q 272
q 0
Từ 2 suy ra u1 0 do đó: 1
.
q 2
Nếu q 0 thì 2 u1 272 không thõa điều kiện u1 100 .
Nếu q 2 thì 2 u1 16 thõa điều kiện u1 100 .
Câu 35.
Ta có: u6 u1.q 5 0, 00001 q5
un u1.q
n 1
1
1.
10
n1
1
n
10n1
Vậy đáp án đúng là:
C.
1
1
u1.q
u2
4
Câu 36. Ta có
4
u1.q 4 16
u5 16
1
1
q .
5
10
10
.
1
.
2
Chia hai vế của 2 cho 1 ta được q 3 64 q 4 u1
81
3
2.
128
4
1
.
16
n 1
Câu 37.
Áp dụng công thức cấp số nhân un u1q n 1
Câu 38.
Xét dãy số 4,12, 36,108,324,... là cấp số nhân có u1 4 , q 3 .
4
3 3
4 4
n 1
n 5.
Số hạng thứ 10 của dãy số là u10 u1.q 9 4.39 78732 .
Câu 39.
Chọn D
Giả sử: Bốn góc A, B , C , D theo thứ tự lập thành cấp số nhân và A nhỏ nhất.
Khi đó B 2 A, C 4 A, D 8 A
Nên A 2 A 4 A 8 A 360 0 A 24 0
Câu 40. Chọn D
2
4
2
4
u1 u3 u5 65 u1 u1.q u1.q 65 u1 1 q q 65 (1)
Ta có:
6
6
u1 u1.q 325
u1 u7 325
u1 1 q 325 (2)
Chia từng vế của 1 cho 2 ta được phương trình :
1 q2 q4 1
q 6 5q 4 5q 2 4 0 *
6
1 q
5
2
Đặt t q , t 0 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
16
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
t 4
Phương trình * trở thành : t 3 5t 2 5t 4 0 t 4 t 2 t 1 0 2
t t 1 0(vn)
2
Với t 4 q 4 q 2 .
Với q 2 thay vào 2 ta được u1 5 .
Vậy u3 u1.q 2 5.4 20.
Câu 41. Chọn D
Cấp số nhân un có số hạng đầu u1 và công bội q .
n
Do S n 6 1 nên q 1 . Khi đó Sn
Ta có: S1
S2
u1 1 q n
1 q
6n 1 .
u1 1 q
6 1 u1 5 .
1 q
u1 1 q 2
62 1 q 6 .
1 q
Vậy u5 u1. q 4 5.6 4 6480.
Câu 42. Chọn A
Đặt un vn 5 vn 1 5 2.(vn 5) 5 vn 1 2vn
Có u1 1 v1 6 un 5 6.2n1 un 6.2n1 5
Vậy u2020 6.22019 5 3.22020 5
Câu 43.
Vì un là CSN nên: u7 u1.q 6 5 , u10 u1.q9 135
Câu 44.
u10 135
u q9
u
5
1 6 27 q 3 u1 76
.
u7
5
u1q
q
729
Chọn C
Ta có un 2un 1 3n 1 un 3n 5 2 un1 3 n 1 5 , với n 2 ; n .
Đặt vn un 3n 5 , ta có vn 2 vn 1 với n 2 ; n .
Như vậy, vn là cấp số nhân với công bội q 2 và v1 10 , do đó vn 10.2n1 5.2n .
Do đó un 3n 5 5.2n , hay un 5.2n 3n 5 với n 2 ; n .
Nên u2019 5.22019 6062.
Câu 45. Chọn C
Ta có
3
n 4
3
3
2
3
3
3
un1 un 2
u
u
u
u
1
n
1
n
n
1
n
2
n 3n 2
2
n 1 n 2
n 2 2
n 1
3
1
3
Đặt vn u n 3 , n 1 , ta có v1 u1 và từ 1 thu được v n 1 v n .
n 1
2
2
2
n1
3
3
Suy ra dãy số vn là một cấp số nhân với công bội q , ta có vn v1.
2
2
n1
1 3
.
2 2
n1
1 3
3
Từ đó ta được un .
u50 212540500
2 2
n 1
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
17
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Câu 46. Chọn B
10
1 2
1 qn
3.
1023 .
Ta có: S10 u1.
1 q
1 2
Câu 47.
Gọi công bội của CSN bằng q . Suy ra u4 u2 .q 2 q 2 . Do CSN có các số hạng không âm
nên q 2 .
Ta có S12 u1.
Câu 48.
1 212
1 q12
3.
3 212 1 .
1 2
1 q
Chọn A
2019
1
S2019
Câu 49.
2
1 1
1
2019 ...
2 2
2
2019
1
1
1
2
2019 .
1
2
1
2
2020
1
2
2019
.
Chọn A
Ta có: u 42 u3 .u5 576 .
Vì u3 0, u5 0 và công bội âm nên: u4 24 q 2 .
u 12
Lại có: u3 u1q 2 u1 32
3.
q
4
7
1 2
1 q7
Áp dụng công thức ta có: S7 u1
3.
129 .
1 q
1 2
Câu 50. Chọn B
Gọi u1 , q lần lượt là số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân cần tìm.
u1 1 q 4
u
1
q
4
S2 4
1
q 3
Từ giả thiết ta có
.
2
S3 13 u1 1 q q 13
3
q 4
u1 16
u2 0
u3
q 0 nên cấp số nhân cần tìm có
Vì
3.
u2
q
u3 S3 S2 9 0
4
5
1 q 181
Do đó S5 u1
.
1 q 16
Câu 51. Chọn A
Ta thấy S là tổng của 2019 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu là u1 1 , công bội
q 3.
1 32019 32019 1
Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân ta có S 1.
.
1 3
2
Câu 52. Chọn B
3,1555... 3,1 0, 05 0, 005 0, 0005 ...
Dãy số 0, 05;0, 005; 0, 0005; 0, 00005;... là một cấp số nhân lùi vô hạn có u1 0,05 ; q 0,1 .
0, 05 142
Vậy 3,1555... 3,1
.
1 0,1 45
Câu 53. Chọn B
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
18
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Ta có: q
Câu 54.
ĐT:0946798489
u
u2 u3
1
1
6
... q 1 . Do đó: S 1
1
u1 u2
6
1 q 1
7
6
Chọn B
Ta có 0,121212...
1
1
12 12 12
12
1
4 6 ... 2 n ... 12 2 4 ... 2 n ...
2
10 10 10
10
10
10 10
1
4 12
12 100
.
1 1 33 99
100
u1 160
u
1
q5 6 .
Câu 55. Từ giả thiết ta có
u1 2
u6 5
1 6
160
1
u1 1 q 6
2 315 .
Suy ra tổng các số hạng của cấp số nhân đó là: S
1
1 q
2
2
u1 1 q q 13
u1 u1.q u1.q 2 13
u1 u2 u3 13
Câu 56. Ta có
3
2
u1.q u1 26
u4 u1 26
u1. q 1 1 q q 26
u1 1 q q 2 13
u 1
1
.
q 3
q 3
Vậy tổng S8
u1 1 q 8
1 q
11 38
1 3
3280 .
1 1
1
1
Ta có S 2 n là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn un với un n có số hạng đầu
3 3
3
3
1
1
u1 , công sai q .
3
3
1
u
1
Do đó S 1 3 .
1 q 1 1 2
3
a 2
a
Câu 58. Vì n1 2 suy ra an là một cấp số nhân với 1
.
an
q 2
Câu 57.
Suy ra S10
Câu 59.
a1 1 q10
1 q
Theo bài ra ta có u1
682 .
1
, u4 32 và un 2048 .
2
1
u4 u1.q 3 32 .q3 q 4
2
n 1
un 2048 u1. q 2048 4n1 46 n 7
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
19
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Khi đó tổng của cấp số nhân này là S7
Câu 60.
Ta có un u1.q
u1 1 q 7
1 q
1
1 47
5461
.
2
1 4
2
n 1
7.2n 1 1792 n 9 S8 3577
1
1
Câu 61. Cấp số nhân có u1 công bội q nên tổng của cấp số nhân lùi vô hạng là.
2
2
n
u1 1 q
u
1
lim S n lim
1
1 q
1 q
3
Câu 62. Chọn C
Ta có 7 77 777 ... 77...7
7
7
9 99 999 ... 99...9 10 1 102 1 103 1 ... 102018 1
9
9
7
10 102 103 ... 102018 2018
9
Mặt khác,ta có 10 102 103 ... 102018 là tổng của một cấp số nhân với u1 10 và công bội q 10
10 102 103 ... 102018 10
Do đó
Câu 63.
7
7 102019 10
10 102 103 ... 102018 2018
2018 .
9
9
9
Đặt S 4 44 444 ... 44...4 (tổng đó có 2018 số hạng). Ta có:
9
S 9 99 999 ... 99...9 10 1 102 1 103 1 ... 102018 1
4
9
Suy ra: S 10 102 103 ... 102018 2018 A 2018 .
4
Với A 10 102 103 ... 102018 là tổng 2018 số hạng của một cấp số nhân có số hạng đầu
1 102018 102019 10
1 q 2018
u1 10 , công bội q 10 nên ta có A u1
10
.
9
9
1 q
Do đó
Câu 64.
102018 1 102019 10
.
9
9
9
102019 10
4 102019 10
S
2018 S
2018 .
9
9
4
9
1
n 1 1
3
2 2
1
2 1
.
Ta có: u n 1 2u n 2
.
2un
un
3
n 3n 2 3
n 2 n 1 3
n 2 3 n 1
un1
1
n2
Đặt vn un
2
1
un
1
3
n 1
1
2
, từ 1 ta suy ra: vn 1 vn .
n 1
3
Do đó vn là cấp số nhân với v1 u1
1 1
2
, công bội q .
2 2
3
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
20
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
1 2
Suy ra: vn v1.q n1 .
2 3
ĐT:0946798489
n 1
un
1
1 2
.
n 1 2 3
n 1
1 2
un .
2 3
n 1
1
.
n 1
2017
1
22016
1
2017
.
2019 3
2019
U
n 1
1 Un
1
U 1
.U n n1
Câu 65. Theo đề ta có: U n 1
mà U1 hay 1
3n
n 1 3 n
3
1 3
2
2
3
10
U
U
1 1 1 U
1 1 1
1
Nên ta có 2 . ; 3 . ; … ; 10 .
2 3 3 3
3 3 3 3
10 3
1
1
U
Hay dãy n là một cấp số nhân có số hạng đầu U1 , công bội q .
3
3
n
U
U U
1
310 1 59048 29524
Khi đó S U1 2 3 ... 10 .22. 3
.
2.310
2
3
10 3
2.310
59049
Câu 66. un 2un 1 1 un 1 2 un1 1
1 2
Vậy u2018 .
2 3
Đặt vn un 1, ta có vn 2vn 1 trong đó v1 2
Vậy (vn ) là cấp số nhân có số hạng đầu v1 2 và công bội bằng 2, nên số hạng tổng quát
vn 2 n un vn 1 2 n 1
S u1 u2 ... u20 21 1 2 2 1 ... 220 1 21 22 ... 220 20
S 2. 220 1 20 221 22.
DẠNG 5. KẾT HỢP CẤP SỐ NHÂN VÀ CẤP SỐ CỘNG
Câu 67. Chọn D
b a 2
+) a , b , c là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng có công sai bằng d 2
.
c a 4
+) Ba số a 1 , a 3 , a 7 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân
2
a 3 a 1 . a 7 a 2 6 a 9 a 2 8a 7 2a 2 a 1 .
T a b c 3a 6 9 .
Câu 68. Chọn C
Do ba số x ; 5 ; 2y theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ta có: S x 2 y 10 1
Ta lại có ba số x ; 4 ; 2y theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên: P x.2 y 16 2
Từ 1 , 2 suy ra hai số x ; 2y là nghiệm của phương trình X 2 S . X P 0 hay
X 2
X 2 10 X 16 0
X 8
Theo yêu cầu bài toán x 2 y 2 8 6
Câu 69.
Chọn B
(un ) là cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q , suy ra q 1 và u3 u1 .q 2 q 2 , u 4 u1 .q 3 q 3 .
Mà và u1 , u3 , u4 theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp trong một cấp số cộng nên u1 u4 2.u3 .
Từ đó ta có 1 q 3 2.q 2 q3 2.q 2 1 0 (q 1)(q 2 q 1) 0 q 2 q 1 0
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
21
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
1 5
q
1
2
5 1
2 q 1 5 ( vì q 1 ).Vậy S u1
.
1 q
2
2
1 5 1 5
1 5
1
q
2
2
Câu 70.
Gọi ba số đó là x , y , z . Do ba số là các số hạng thứ 2 , thứ 9 và thứ 44 của một cấp số cộng
nên ta có: x ; y x 7d ; z x 42d (với d là công sai của cấp số cộng).
Theo giả thiết, ta có: x y z x x 7 d x 42d 3 x 49d 217 .
Mặt khác, do x , y , z là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên:
d 0
2
y 2 xz x 7d x x 42d d 4 x 7 d 0
4 x 7d 0
Với d 0 , ta có: x y z
217
217 2460
.
. Suy ra n 820 :
3
3
217
4 x 7 d 0
x 7
Với 4 x 7 d 0 , ta có:
. Suy ra u1 7 4 3 .
3 x 49d 217
d 4
n 20
2u1 n 1 d n
2.3 4 n 1 n
820
Do đó, Sn 820
820
n 41
2
2
2
Vậy n 20 .
Câu 71.
DẠNG 6. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC
Chọn B
Gọi a0, a1, a 2,..., a11 lần lượt là diện tích mặt trên của đế tháp, tầng 1, tầng 2,., tầng 11.
n
1
1
Khi đó ta có: a 0 12288; an an 1 a 0 , n 1, 2,...,11 .
2
2
11
11
1
1
Diện tích mặt trên tầng trên cùng là: a11 a 0 12288 6 m 2
2
2
Câu 72.
a2
a2
a2
Dễ thấy: S1 a ; S2 ; S3 ;...; S100 99 .
2
4
2
2
1
.
2
a 2 2100 1
Như vậy S1 , S2 , S3 ,..., S100 là cấp số nhân với công bội q
1
1 1
S S1 S 2 ... S100 a 2 1 2 ... 99
2
2 2
299
.
Câu 73.
Chọn C
Sau 9 năm thì số dân của tỉnh Bình Phước là: 905300.1,19 2134650 người.
Câu 74.
Các quãng đường khi bóng đi xuống tạo thành một cấp số nhân lùi vô hạn có u1 10 và q
Tổng các quãng đường khi bóng đi xuống là S
3
.
4
u1
10
40 .
1 q 1 3
4
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
22
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn 2S 10 70 (m).
Câu 75. Số lượng vi khuẩn tăng lên là cấp số nhân un với công bội q 2 .
Ta có:
u6 64000 u1.q 5 64000 u1 2000 .
Sau n phút thì số lượng vi khuẩn là un 1 .
un 1 2048000 u1.q n 2048000 2000.2n 2048000 n 10 .
Vậy sau 10 phút thì có được 2048000 con.
Câu 76.
Số thóc ở ô sau gấp đôi ở ô trước, đặt un là số thóc ở ô thứ n thì số thóc ở mỗi ô sẽ lập thành
u1 1 20
.
một cấp số nhân:
n
un 1 2un 2
Khi đó tổng số thóc từ ô đầu tới ô thứ k là S k u1 u2 uk 1 21 2 k 1
2k 1 k
2 1
2 1
Theo đề ta có: 2k 1 20172018 2k 20172019 k log 2 20172019
Vậy phải lấy tối thiểu từ ô thứ 25
Câu 77. Đặt BC a; AB AC b; AH h . Theo giả thiết ta có a, h, b lập cấp số nhân, suy ra
Vậy Sk
b2 b 2 a 2
h ab. Mặt khác tam giác ABC cân tại đỉnh A nên h ma
2
4
2
2
2
b b a
Do đó
ab a 2 4ab 4b 2 0 a 2 2 2 b (vì a, b 0 )
2
4
b
1
2 22
2 1
Lại có b q 2 a nên suy ra q 2
.
a 2 2 2
4
2
3
Câu 78. Cách 1. Ta có: an 1 k q an k k kq 3 k
1 q
2
n
Đặt vn an k vn 1 q.vn q .vn1 ... q .v1
2
2
2
3
Khi đó vn q n 1.v1 q n 1. a1 k q n 1. 5
1 q
3
3
3
1 q n 1
n 1
n 1
Vậy an vn k q n 1. 5
k
q
.
5
5.
q
3.
.
1 q
1 q
1 q 1 q
Do đó: 5; 3 2 5 2.3 11 .
Cách 2. Theo giả thiết ta có a1 5, a2 5q 3 . Áp dụng công thức tổng quát, ta được
1 q11
11
a
.
q
1
1 q
, suy ra
2 1
a .q 2 1 1 q q
2
1 q
2 5 2.3 11
5
, hay
5q 3 q
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
5
3
23
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
ac b 2
1
Câu 79. Ta có bd c 2
2 .
a b c 148
3
9
Và cấp số cộng có u1 a , u4 b , u8 c . Gọi x là công sai của cấp số cộng. Vì cấp số nhân có
công bội khác 1 nên x 0 .
b a 3 x
Ta có :
4 .
c a 7 x
2
Từ 1 và 4 ta được : a a 7 x a 3 x ax 9 x 2 0 .
Do x 0 nên a 9 x .
Từ 3 và 4 , suy ra 3a 10 x
148
.
9
16
b 3
a 4
64
Do đó :
.
4 c
9
x
9
256
d 27
100
Vậy T a b c d
.
27
Câu 80. Chọn A
Gọi hn là độ dài đường đi của quả bóng ở lần rơi xuống thứ n n * .
Gọi ln là độ dài đường đi của quả bóng ở lần nảy lên thứ n n * .
Theo bài ra ta có h1 55,8 , l1
1
.55,8 5,58 và các dãy số hn , ln là các cấp số nhân lùi vô
10
1
.
10
Từ đó ta suy ra tổng độ dài đường đi của quả bóng là:
h
l
10
S 1 1 h1 l1 68, 2 m .
1
1
9
1
1
10
10
Câu 81. Chọn C
hạn với công bội q
1
1
Diện tích của hình vuông lập thành cấp số nhân với số hạng đầu tiên là u1 , q .
4
4
n 1
1 1
1
Do đó số hạng tổng quát là un . n n 1 . Để diện tích của hình vuông tô màu nhỏ
4 4
4
1
1
1
hơn
n
4 n 1000 n 5 . Vậy tô màu từ hình vuông thứ 5 thỏa mãn yêu cầu
1000
4 1000
bài toán.
Câu 82. Chọn B
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
24
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
x 1
Ta có: x 1 x 3 x m 0 x 3 .
x m
Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì: m 1;3 .
Trường hợp 1: m 1 3 .
Để 3 số m ;1 ; 3 lập thành cấp số nhân tăng thì: m.3 12 m
Cấp số nhân tăng đó là:
1
3
1
;1;3
3
Trường hợp 2: 1 m 3 .
m 3
2
Để 3 số 1 ; m ; 3 lập thành cấp số nhân tăng thì: 1.3 m
m 3
Đối chiếu điều kiện 1 m 3 ta chọn
m 3 .
Cấp số nhân tăng đó là: 1; 3;3
Trường hợp 3: 1 3 m .
2
Để 3 số 1 ; 3 ; m lập thành cấp số nhân tăng thì: 1.m 3
Cấp số nhân tăng đó là: 1; 3; 9
1
3
m 9
Vậy m ; 3;9 thì phương trình x 1 x 3 x m 0 có 3 nghiệm phân biệt lập thành
Câu 83.
cấp số nhân tăng.
Chọn A
Giả sử phương trình đã cho có 3 nghiệm là: x1 , x2 , x3 .
d
Theo định lí Viet, tích 3 nghiệm: x1 x2 x3 8 .
a
Vì ba nghiệm này lập thành một cấp số nhân nên x2 2 x1 x3 . Do đó ta có: x23 8 x2 2 .
m 1
Thay x 2 vào phương trình ta được: 4 m2 6m 28
.
m 7
Theo giả thiết hai giá trị này của m đều nhận.
3
Tổng lập phương của hai giá trị m là: 13 7 342 .
Câu 84.
Chọn B
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
25
