Tải bản đầy đủ (.pdf) (22 trang)

Chuyên đề cấp số cộng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (438.76 KB, 22 trang )

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

TOÁN 11
1D3-3

ĐT:0946798489

CẤP SỐ CỘNG
TRUY CẬP ĐƯỢC NHIỀU
HƠN

MỤC LỤC
PHẦN A. CÂU HỎI ....................................................................................................................................................... 1
DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ CỘNG ........................................................................................................................ 1
DẠNG 2. TÌM CÔNG THỨC CẤP SỐ CỘNG............................................................................................................... 2
DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ CỘNG ..................................................................................................... 3
DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN................................................................................... 5
DẠNG 5. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC.............................................................................. 8
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ........................................................................................................................... 10
DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ CỘNG ...................................................................................................................... 10
DẠNG 2. TÌM CÔNG THỨC CẤP SỐ CỘNG............................................................................................................. 12
DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ CỘNG ................................................................................................... 13
DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN................................................................................. 15
DẠNG 5. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC............................................................................ 19

PHẦN A. CÂU HỎI
DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ CỘNG
Câu 1.

 (Chuyên ĐBSH lần 1-2018-2019) Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng? 
A. 1; 2; 4; 6; 8 . 


B. 1; 3; 6; 9; 12.   C. 1; 3; 7; 11; 15.   D. 1; 3; 5; 7; 9 . 

Câu 2.

  (ĐỀ KT NĂNG LỰC GV THUẬN THÀNH 1 BẮC NINH 2018-2019) Trong các dãy số sau, 
dãy số nào không phải cấp số cộng?
1 3 5 7 9
A. ; ; ; ; . 
B. 1;1;1;1;1 . 
C. 8; 6; 4; 2; 0 .  D. 3;1; 1; 2; 4 . 
2 2 2 2 2

Câu 3.

 Xác định  a  để 3 số  1  2 a; 2 a 2  1; 2a  theo thứ tự thành lập một cấp số cộng? 
A. Không có giá trị nào của  a .
C. a  3 . 

Câu 4.

Câu 5.

 

3
.
4
3
D. a  


2
B. a  

 Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? 
A. un  3n 2  2017 . 
C. un  3n . 
B. un  3n  2018 . 
 Dãy số nào sau đây là cấp số cộng? 
1
A.  un  : un  . 
 
n
C.  un  : un  2n  1 . 
 

D. un   3 

n 1



B.  un  : un  un1  2, n  2 . 
D.  un  : un  2un1 , n  2 . 

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:  />
1


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP


ĐT:0946798489

Câu 6.

  Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là một cấp số cộng?
A. un  n 2  1, n  1 .  B. u n  2 n , n  1 . 
C. un  n  1, n  1 .  D. un  2n  3, n  1  

Câu 7.

  Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng: 
 
2
n 1
A. u n  3 . 
B. un 

C. un  n 2  1 .
n 1

Câu 8.

5n  2

3

  Các dãy số có số hạng tổng quát  un . Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là cấp số 
cộng? 

  Dãy số nào dưới đây là cấp số cộng? 

A. un  n  2n , n * .   





2

B. 49 ,  43 , 37 ,  31 ,  25 .C. un  1  3n . 

A. un  2n  5 . 
Câu 9.

D. un 





C. un  3n , n  * .  

 

D. un   n  3  n 2 . 



3n  1

,n   . 

n2

B. un  3n  1, n  * .  
D. un

*

Câu 10.  (THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Tam giác  ABC  có ba cạnh  a ,  b , 

c  thỏa mãn  a 2 ,  b 2 ,  c 2  theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Chọn khẳng định đúng trong 
các khẳng định sau 
A. tan 2 A ,  tan 2 B ,  tan 2 C  theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. 
B. cot 2 A ,  cot 2 B ,  cot 2 C  theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. 
C. cos A ,  cos B ,  cos C  theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. 
D. sin 2 A ,  sin 2 B ,  sin 2 C  theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. 
DẠNG 2. TÌM CÔNG THỨC CẤP SỐ CỘNG 
 
Câu 11.  (Mã 103 - BGD - 2019) Cho cấp số cộng   un   với  u1  2  và  u2  6 . Công sai của cấp số cộng 
đã cho bằng
A. 4.
B. 4 .
C. 8 .
D. 3. 
Câu 12.  (Mã đề 104 - BGD - 2019) Cho cấp số cộng   un   với  u1  1  và  u2  4 . Công sai của cấp số cộng 
đã cho bằng
A. 4 .
B. 3 .
C. 3 .
D. 5 . 
Câu 13.  (Mã đề 101 - BGD - 2019) Cho cấp số cộng (un) với  u1  3  và  u2  9 . Công sai của cấp số cộng 

đã cho bằng
A. 6 .
B. 3 .
C. 12 .
D. 6 . 
Câu 14.  (Mã 102 - BGD - 2019) Cho cấp số cộng   un   với  u1  2  và  u2  8 . Công sai của cấp số cộng 
đã cho bằng
A. 10 .
B. 6 .
C. 4 .
D. 6 . 
Câu 15. (THPT YÊN LẠC - LẦN 3 - 2018) Cho cấp số cộng   un   có  u1  3 ,  u6  27 . Tính công sai  d . 
A. d  7 . 

B. d  5 . 

C. d  8 . 

D. d  6 . 

Câu 16. (THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng   un   có số hạng tổng quát 
là  un  3n  2 . Tìm công sai  d  của cấp số cộng. 
A. d  3 . 
B. d  2 . 
C. d  2 . 
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:  />
D. d  3 . 
2



CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

Câu 17.   Cho cấp số cộng   un   với  u17  33  và  u33  65  thì công sai bằng 
A. 1. 

B. 3 . 

C. 2 . 

D. 2 . 

Câu 18.  Một cấp số cộng gồm  5  số hạng. Hiệu số hạng đầu và số hạng cuối bằng 20 . Tìm công sai  d  của 
cấp số cộng đã cho 
A. d  5 . 
B. d  4 . 
C. d  4 . 
D. d  5 . 
Câu 19.  (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Cho cấp số cộng  un  có các số hạng đầu lần 
lượt là  5;9;13;17;... . Tìm số hạng tổng quát  un  của cấp số cộng? 
A. un  4n  1 . 
B. un  5n  1 . 
C. un  5n  1 . 
D. un  4n  1 . 
Câu 20. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Xác định số hàng đầu  u1  và công sai  d  của cấp số 
cộng   un   có  u9  5u2  và  u13  2u6  5 . 
A. u1  3  và  d  4 . 

B. u1  3  và  d  5 . 


C. u1  4  và  d  5 . 

D. u1  4  và  d  3 . 

Câu 21.  (Chuyên Tự Nhiên Lần 1 - 2018-2019) Cho   un   là một cấp số cộng thỏa mãn  u1  u3  8  và 

u4  10 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng 
A. 3 . 
B. 6 . 
C. 2 . 

D. 4 . 

u  u  u  7
Câu 22.   Tìm công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng   un  thỏa mãn:   2 3 5
 
u1  u6  12
A. un  2n  3 . 
B. un  2n  1 . 
C. un  2n  1 . 
D. un  2 n  3 . 

DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ CỘNG 
 
Câu 23.  (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Cấp số cộng   un   có số hạng đầu  u1  3 , công sai  d  2  
thì số hạng thứ 5 là
A. u5  8 .
B. u5  1 .
C. u5  5 .

D. u5  7 . 
Câu 24.  (THPT CAN LỘC - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng có  u1  3 ,  d  4 . Chọn 
khẳng định đúng trong các khẳng định sau? 
A. u5  15 .
B. u4  8 .
C. u3  5 .
D. u2  2 .
Câu 25.  (THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng   un   có   u1  11  và công 
sai  d  4 . Hãy tính  u99 . 
A. 401 . 
B. 403 . 

C. 402 . 

D. 404 . 

Câu 26.  (THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng   un  , biết:  u1  3
u2  1 . Chọn đáp án đúng. 
A. u3  4 . 
B. u3  7 . 

C. u3  2 . 



D. u3  5 . 

Câu 27.  (THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI - HÀ TĨNH - 2018) Một cấp số cộng   un   có  u13  8  và 
d  3 . Tìm số hạng thứ ba của cấp số cộng   un  . 


A. 50 . 

B. 28 . 

C. 38 . 

D. 44  

Câu 28.   (Kim Liên - Hà Nội - L1 - 2018-2019) Cho cấp số cộng   un   có số hạng đầu  u1  3  và công sai 

d  2 . Giá trị của  u7  bằng: 
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:  />
3


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

A. 15 . 

B. 17 . 

ĐT:0946798489

C. 19 . 

D. 13 . 

Câu 29.   (Đề minh họa thi THPT Quốc gia năm 2019 – Đề số 6) Cho cấp số cộng   un   có số hạng đầu 
u1  2  và công sai  d  4 . Giá trị  u2019  bằng 
A. 8074 . 

B. 4074 . 

C. 8078 . 

D. 4078 . 

Câu 30.   (DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Tìm số hạng thứ  11  của cấp số cộng có số hạng đầu bằng  3  
và công sai  d  2 .
A. 21.
B. 23 .
C. 19 .
D. 17 . 
Câu 31.   (Phát triển đề minh họa 2019_Số 1) Cho cấp số cộng   un   có số hạng đầu  u1  2  và công sai 
d  7.  Giá trị  u6  bằng 
A. 37 . 
B. 37 . 

C.  33 . 

D. 33 .

Câu 32.   Cho cấp số cộng   un   có số hạng đầu  u1  2  và công sai  d  5 . Giá trị  u 4  bằng 
A. 22. 
B. 17. 
C. 12. 
D. 250. 
Câu 33.  (LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Cho cấp số cộng   un   với số hạng đầu tiên 
u1  2  và công sai  d  2 . Tìm  u2018 ? 
A. u2018  22018 . 


B. u2018  22017 . 

C. u2018  4036 . 

D. u2018  4038 . 

Câu 34.  (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Cho cấp số cộng   un   có  u1  3  và công sai  d  7 . 
Hỏi kể từ số hạng thứ mấy trở đi thì các số hạng của   un   đều lớn hơn  2018 ? 
A. 287 . 

B. 289 . 

C. 288 . 

D. 286 . 

Câu 35.  (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 3 - 2018) Viết ba số xen giữa  2  và  22  để ta được một 
cấp số cộng có  5  số hạng? 
A. 6 ,  12 ,  18 . 
B. 8 ,  13 ,  18 . 
C. 7 ,  12 ,  17 . 
D. 6 ,  10 ,  14 .
Câu 36.  Cho cấp số cộng có  u1  2  và  d  4 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ? 
A. u4  8 . 

B. u5  15 . 

C. u2  3 . 

D. u3  6 . 


Câu 37.  Cho cấp số cộng   un   với  u1  2 ;  d  9 . Khi đó số  2018  là số hạng thứ mấy trong dãy? 
A. 226 . 

B. 225 . 

C. 223 . 

Câu 38.   Cho cấp số cộng  1, 4, 7,... . Số hạng thứ 100 của cấp số cộng là
A. 297 . 
B. 301 . 
C. 295 . 

D. 224 . 
D. 298 . 

Câu 39.   Cho cấp số cộng   un   biết  u1  3 ,  u8  24  thì  u11  bằng 
A. 30 . 

B. 33 . 

C. 32 . 

D. 28 . 

Câu 40.  Cho cấp số cộng có số hạng thứ 3 và số hạng thứ 7 lần lượt là 6 và 2. Tìm số hạng thứ 5. 
A. u5  2.  
B. u5  2.  
C. u5  0.  
D. u5  4.  

Câu 41. (CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng   un  , biết  u2  3  và  u4  7 . Giá trị của  u15  
bằng
A. 27 . 
B. 31 . 
C. 35 . 
D. 29 . 
Câu 42. (SỞ GD&ĐT HƯNG YÊN - 2018) Cho cấp số cộng   un   có  u2  2001  và  u5  1995 . Khi đó 
u1001  bằng
A. 4005 . 

B. 1 . 

C. 3 . 

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:  />
D. 4003 . 
4


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

Câu 43.  (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - BÌNH DƯƠNG - 2018) Một cấp số cộng có số hạng đầu 
u1  2018  công sai  d  5 . Hỏi bắt đầu từ số hạng nào của cấp số cộng đó thì nó nhận giá trị 
âm. 
A. u406 . 
B. u403 . 
C. u405 . 
D. u404 . 

u1  2u5  u6  15
Câu 44.  Cho cấp số cộng   un   có  
. Số hạng đầu  u1  là 
u3  u7  46
A. u1  5 . 
B. u1  5 . 
C. u1  3 . 

D. u1  3 . 

u1  2
Câu 45.   Cho dãy số  U n   xác định bởi  
 Tính  u10 ? 
*
un 1  un  5, n  N
A. 57 . 
B. 62 . 
C. 47 . 

D. 52 . 

Câu 46. (THPT NGUYỄN TẤT THÀNH - YÊN BÁI - 2018) Cho cấp số cộng   un   thỏa mãn 
u5  3u3  u2  21
. Tính số hạng thứ  100  của cấp số. 

3u7  2u4  34

A. u100  243 . 

B. u100  295 . 


C. u100  231 . 

D. u100  294 . 

Câu 47.  Cho cấp số cộng  u n  có công sai  d  2  và biểu thức  u 22  u32  u 42  đạt giá trị nhỏ nhất. Số 2018 là 
số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng  u n ?
A. 1011. 
B. 1014 . 
C. 1013 . 
D. 1012 . 
Câu 48. (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng   un  , biết  u1  5 ,  d  2 . Số  81  
là số hạng thứ bao nhiêu? 
A. 100 . 
B. 50 .
C. 75 . 
D. 44 . 
Câu 49.  (THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Một cấp số cộng   un  có 
u9  47 , công sai  d  5 . Số  10092  là số hạng thứ mấy trong cấp số cộng đó? 
A. 2018 . 
B. 2017 . 
C. 2016 . 
D. 2019 .
Câu 50.  (THPT HOÀNG HOA THÁM - HƯNG YÊN - 2018) Cho hai cấp số cộng   xn  : 4 ,  7 ,  10 ,… 
và   yn  :  1 ,  6 ,  11 ,…. Hỏi trong  2018  số hạng đầu tiên của mỗi cấp số có bao nhiêu số hạng 
chung? 
A. 404 .
B. 673 .
C. 403 .
D. 672 . 

DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN 
Câu 51.

(THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng   un   có  u1  1  và công sai 
d  2 . Tổng  S10  u1  u2  u3 .....  u10  bằng: 

A. S10  110 . 

B. S10  100 . 

C. S10  21 . 

D. S10  19 . 

Câu 52.  [KIM LIÊN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018] Cho dãy số   un   là một cấp số cộng có  u1  3  và công 
sai  d  4 . Biết tổng  n  số hạng đầu của dãy số   un   là  Sn  253 . Tìm  n . 
A. 9 . 

B. 11 . 

C. 12 . 

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:  />
D. 10 . 

5


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP


ĐT:0946798489

Câu 53.  (THPT CHU VĂN AN - HÀ NỘI - 2018) Cho cấp số cộng   un  ,  n    có số hạng tổng quát 
*

un  1  3n . Tổng của  10  số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng. 
A. 59049 . 
B. 59048 . 
C. 155 . 

D. 310 . 

Câu 54.  (THPT TỨ KỲ - HẢI DƯƠNG - LẦN 2 - 2018) Cho dãy số vô hạn  un   là cấp số cộng có 
công sai  d , số hạng đầu  u1 . Hãy chọn khẳng định sai? 
u u
A. u5  1 9 . 
B. un  un 1  d ,  n  2 . 
2
n
C. S12   2u1  11d  .  D. un  u1  (n  1).d ,  n  * . 
2
Câu 55.   (PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA THI THPT QUỐC GIA 2019Cho cấp số cộng   un   có số 
hạng đầu  u1  3  và công sai  d  2 . Tổng của  2019 số hạng đầu bằng 
A. 4 080 399 . 
B. 4 800 399 . 
C. 4 399 080 . 

D. 8 154 741 . 

Câu 56.  (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Cho   un   là cấp số cộng biết  u3  u13  80 . Tổng 15 số hạng đầu 

của cấp số cộng đó bằng 
A. 800 . 
B. 600 . 
C. 570 . 
D. 630  
Câu 57.  Cho cấp số cộng   un  với số hạng đầu  u1  6  và công sai  d  4.  Tính tổng  S  của 14 số hạng 
 
đầu tiên của cấp số cộng đó. 
A. S  46 . 
B. S  308 . 
C. S  644 . 
D. S  280 . 
Câu 58.   (Chuyên Thái Bình lần 2 - 2018-2019) Cho cấp số cộng   un   có  u5  15 ;  u20  60 . Tổng  20  
số hạng đầu tiên của cấp số cộng là 
A. S20  250 . 
B. S20  200 . 
C. S20  200 . 
D. S20  25 . 
Câu 59.   (HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Cho cấp số cộng   un   biết  u3  6, u8  16.  
Tính công sai  d  và tổng của  10  số hạng đầu tiên.
A. d  2; S10  100 .
B. d  1; S10  80 .
C. d  2; S10  120 .

D. d  2; S10  110 . 

Câu 60.   Cho cấp số cộng có công sai  d  6  và  S3  9 . Khi đó tổng  20  số hạng đầu tiên  S 20  là 
A. S20  1200 . 

B. S20  1080 . 


C. S20  250 . 

D. S20  1080 . 

Câu 61.   Cho cấp số cộng   un   với  un  3  2n  thì  S60  bằng 
A. 6960 . 

B. 117 . 

C. Đáp án khác. 

D. 116 . 



Câu 62.   Dãy số   u n  n 1  là cấp số cộng, công sai  d . Tổng  S100  u1  u2  ...  u100 , u1  0  là 
A. S100  2u1  99d . 

B. S100  50u100 . 

C. S100  50  u1  u100  . D. S100  100  u1  u100  . 

Câu 63. (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 2 - 2018) Cho cấp số cộng   un   có 
u2013  u6  1000 . Tổng 2018 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là: 
A. 1009000 . 
B. 100800 . 
C. 1008000 . 

D. 100900 . 


u  u  8
Câu 64.  (THPT Yên Dũng 3 - Bắc Giang lần 1- 18-19) Cho cấp số cộng  (u n )  thỏa mãn   1 4

u3  u2  2
Tính tổng  10  số hạng đầu của cấp số cộng trên. 
A. 100 . 
B. 110 . 
C. 10 . 
D. 90 . 
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:  />
6


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

Câu 65.   (LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Cho cấp số cộng  un   có  u4  12 ;  u14  18 . 
Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: 
A. S  24 . 
B. S  25 . 
C. S  24 . 
D. S  26 . 
u2  u3  u5  10
Câu 66.  (THPT NGUYỄN TRÃI - ĐÀ NẴNG - 2018) Cho cấp số cộng   un   thỏa  

u4  u6  26
Tính  S  u1  u4  u7  ...  u2011
A. S  2023736 . 

B. S  2023563 . 
C. S  6730444 . 
D. S  6734134 . 

Câu 67. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 5 - 2018) Cho một cấp số cộng   un   có  u1  5  và tổng 
của  50  số hạng đầu bằng  5150 . Tìm công thức của số hạng tổng quát  un . 
A. un  1  4n . 
B. un  5n . 
C. un  3  2n . 
D. un  2  3n . 
Câu 68.  (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - BÌNH DƯƠNG - 2018) Một cấp số cộng có tổng của n

2
*
số hạng đầu  Sn  tính theo công thức  Sn  5n  3n, n    . Tìm số hạng đầu  u1  và công sai d

của cấp số cộng đó. 
A. u1  8; d  10 . 

B. u1  8; d  10 . C. u1  8; d  10 . 

D. u1  8; d  10 . 

Câu 69. (THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng   un   biết  u5  18  và 
4 Sn  S2 n . Giá trị  u1  và  d  là
A. u1  2 ,  d  3 . 
B. u1  3 ,  d  2 . 

C. u1  2 ,  d  2 . 


D. u1  2 ,  d  4 . 

Câu 70.  Gọi  S n  là tổng  n  số hạng đầu tiên trong cấp số cộng   an  .  Biết  S6  S9 ,  tỉ số 
A.

9

5

B.

5

9

C.

5

3

D.

a3
 bằng: 
a5

3

5


Câu 71.  (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 1 - 2018) Cho cấp số cộng   un   và gọi  Sn  là tổng  n  số hạng 
đầu tiên của nó. Biết  S7  77  và  S12  192 . Tìm số hạng tổng quát  un  của cấp số cộng đó 
A. un  5  4n . 
B. un  3  2n . 
C. un  2  3n . 
D. un  4  5n . 
Câu 72.  (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Tổng của  n  số hạng đầu tiên của một dãy số   an  ,  n  1  là 

Sn  2n 2  3n . Khi đó 
A.  an   là một cấp số cộng với công sai bằng  4 . 
B.  an   là một cấp số nhân với công bội bằng  4 . 
C.  an   là một cấp số cộng với công sai bằng  1 . 
D.  an   là một cấp số nhân với công bội bằng  1 . 
Câu 73. (TRẦN PHÚ - HÀ TĨNH - LẦN 2 - 2018) Giải phương trình  1  8  15  22   x  7944  
A. x  330 . 
B. x  220 . 
C. x  351 . 
D. x  407 . 
Câu 74. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN - 2018) Cho cấp số cộng   un   có số hạng đầu bằng  1 và 
1
1
1
 bằng. 

 ... 
u1u2 u2u3
u49u50
49
C.


D. 74 . 
148

tổng  100  số hạng đầu bằng  14950 . Giá trị của tổng 
A.

49

74

B. 148 . 

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:  />
7


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Câu 75.  Cho một cấp số cộng   un   có  u1  1  và tổng  100  số hạng đầu bằng  10000 . Tính tổng 

S

1
1
1

 ... 

u1u2 u2u3

u99 u100

A. S 

100

201

B. S 

200

201

C. S 

198

199

D. S 

99

199

Câu 76.   Cho tam giác đều  A1 B1C1  có độ dài cạnh bằng  4 . Trung điểm của các cạnh tam giác  A1 B1C1  tạo 
thành tam giác  A2 B2C2 , trung điểm của các cạnh tam giác  A2 B2C2  tạo thành tam giác  A3 B3C3 … 
Gọi  P1 , P2 , P3 ,...  lần lượt là chu vi của tam giác  A1 B1C1 ,  A2 B2C2 ,  A3 B3C3 ,…Tính tổng chu vi 
P  P1  P2  P3  ...

A. P  8 .
B. P  24 .
C. P  6 .
D. P  18 . 
DẠNG 5. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC 
 
Câu 77. (THPT CHUYÊN THOẠI NGỌC HẦU - LẦN 3 - 2018) Hùng đang tiết kiệm để mua một cây 
guitar. Trong tuần đầu tiên, anh ta để dành 42 đô la, và trong mỗi tuần tiếp theo, anh ta đã thêm 8 
đô la vào tài khoản tiết kiệm của mình. Cây guitar Hùng cần mua có giá 400 đô la. Hỏi vào tuần 
thứ bao nhiêu thì anh ấy có đủ tiền để mua cây guitar đó? 
A. 47 . 
B. 45 .
C. 44 . 
D. 46 . 
Câu 78.  (THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Trong hội chợ tết Mậu Tuất  2018 , một công ty sữa 
muốn xếp  900  hộp sữa theo số lượng  1,3,5,...  từ trên xuống dưới (số hộp sữa trên mỗi hàng xếp 
từ trên xuống là các số lẻ liên tiếp - mô hình như hình bên). Hàng dưới cùng có bao nhiêu hộp 
sữa? 

 
A. 59.  

B. 30.  

C. 61.  

D. 57.  

Câu 79.  (ĐẶNG THÚC HỨA - NGHỆ AN - LẦN 1 - 2018) Một công ti trách nhiệm hữu hạn thực hiện 
việc trả lương cho các kĩ sư theo phương thức sau: Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công 

ti là  4,5  triệu đồng/quý, và kể từ quý làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm  0,3  triệu 
đồng mỗi quý. Hãy tính tổng số tiền lương một kĩ sư nhận được sau  3  năm làm việc cho công ti. 
A. 83, 7  (triệu đồng).  B. 78,3  (triệu đồng).  C. 73,8  (triệu đồng).  D. 87,3  (triệu đồng). 
Câu 80.  (PTNK CƠ SỞ 2 - TPHCM - LẦN 1 - 2018) Người ta trồng  465  cây trong một khu vườn hình 
tam giác như sau: Hàng thứ nhất có  1  cây, hàng thứ hai có  2  cây, hàng thứ ba có  3  cây….Số 
hàng cây trong khu vườn là 
A. 31 .
B. 30 .
C. 29 .
D. 28 .

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:  />
8


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

Câu 81.  (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018) Trong sân vận động có tất cả  30  dãy ghế, dãy đầu 
tiên có  15  ghế, các dãy liền sau nhiều hơn dãy trước  4  ghế, hỏi sân vận động đó có tất cả bao 
nhiêu ghế? 
A. 2250 . 
B. 1740 . 
C. 4380 . 
D. 2190 . 
Câu 82.  (CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho  4  số thực  a, b, c, d  là  4  số hạng liên tiếp của một 
cấp số cộng. Biết tổng của chúng bằng 4 và tổng các bình phương của chúng bằng  24 . Tính 
P  a3  b3  c3  d 3 . 
A. P  64 . 

B. P  80 . 
C. P  16 . 
D. P  79 . 
Câu 83.  (THTP LÊ QUÝ ĐÔN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng   un   có  u1  4 . Tìm giá trị 
nhỏ nhất của  u1u2  u2u3  u3u1 ? 
A. 20 .
B. 6 . 

C. 8 . 

D. 24 . 

Câu 84.  (THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) Một tam giác vuông có chu vi bằng  3  và độ dài các cạnh 
lập thành một cấp số cộng. Độ dài các cạnh của tam giác đó là: 
1 5
1 7
3 5
1 3
A. ;1; . 
B. ;1; . 
C. ;1; . 
D. ;1; .
3 3
4 4
4 4
2 2
Câu 85.  Trong hội chợ, một công ty sơn muốn xếp  1089  hộp sơn theo số lượng  1,3,5,...  từ trên xuống 
dưới (số hộp sơn trên mỗi hàng xếp từ trên xuống dưới là các số lẻ liên tiếp – mô hình như hình 
bên dưới). Hàng cuối cùng có bao nhiêu hộp sơn? 


A. 63 .

B. 65 .

C. 67 .

D. 69 .

Câu 86.  (HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Người ta trồng  1275  cây theo hình tam 
giác như sau: Hàng thứ nhất có  1  cây, hàng thứ  2  có  2  cây, hàng thứ  3 có  3  cây,.hàng thứ  k  có 
k  cây   k  1 . Hỏi có bao nhiêu hàng ?
A. 51 .

B. 52 .

C. 53 .

D. 50 . 

Câu 87.   (THUẬN THÀNH SỐ 2 LẦN 1_2018-2019) Người ta trồng  3003  cây theo hình tam giác như 
sau: Hàng thứ nhất trồng  1 cây, hàng thứ hai trồng  2  cây, hàng thứ ba trồng  3  cây,….Hỏi có bao 
nhiêu hàng cây. 
A. 78 . 
B. 243 . 
C. 77 . 
D. 244 . 
Câu 88.  (TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Bà chủ quán trà sữa  X  muốn trang trí quán cho đẹp nên quyết 
định thuê nhân công xây một bức tường bằng gạch với xi măng (như hình vẽ bên dưới), biết hàng 
dưới cùng có  500  viên, mỗi hàng tiếp theo đều có ít hơn hàng trước 1 viên và hàng trên cùng có 1 
viên. Hỏi số gạch cần dùng để hoàn thành bức tường trên là bao nhiêu viên? 


A. 25250.  

B. 250500.  

 
C. 12550.  

D. 125250.
 

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:  />
9


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

Câu 89.   Người ta trồng  3240  cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, kể từ hàng 
thứ hai trở đi số cây trồng mỗi hàng nhiều hơn  1  cây so với hàng liền trước nó. Hỏi có tất cả bao 
nhiêu hàng cây? 
A. 81 . 
B. 82 . 
C. 80 . 
D. 79 . 
Câu 90.  Cho hai cấp số cộng hữu hạn, mỗi cấp số cộng có 100 số hạng là  4, 7, 10, 13, 16,...  và 
1, 6, 11, 16, 21,... . Hỏi có tất cả bao nhiêu số có mặt trong cả hai cấp số cộng trên? 
A. 20 . 
B. 18 . 

C. 21. 
D. 19. 
Câu 91. (THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH - PHÚ YÊN - 2018) Sinh nhật bạn của An vào ngày 
01  tháng năm. An muốn mua một món quà sinh nhật cho bạn nên quyết định bỏ ống heo  100  
đồng vào ngày  01  tháng  01  năm  2016 , sau đó cứ liên tục ngày sau hơn ngày trước  100  đồng. 
Hỏi đến ngày sinh nhật của bạn, An đã tích lũy được bao nhiêu tiền? (thời gian bỏ ống heo tính từ 
ngày  01  tháng  01  năm  2016  đến ngày  30  tháng  4  năm  2016 ). 
A. 738.100  đồng. 
B. 726.000  đồng. 
C. 714.000  đồng. 
D. 750.300  đồng. 
Câu 92.  (LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Gọi  S  là tập hợp tất cả các số tự nhiên  k  sao cho 
C14k ,  C14k 1 ,  C14k  2  theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Tính tổng tất cả các phần tử của  S . 
A. 12 . 
B. 8 . 
C. 10 . 
D. 6 . 

1
Câu 93.  (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-HKI 18-19) Cho  x 2 ; ; y 2  theo thứ tự lập thành một cấp số 
2
cộng. Gọi  M , m  lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P  3xy  y 2 . Tính 
S M m 
3 1
 . 
A. 1 . 
B. 2 . 
C. 3 . 
D.
2 2

Câu 94.   Cho dãy số   un   thỏa mãn  u1  2018  và  un1 

1
 bằng
2018
A. 4072325

un
1  un 2

 với mọi  n  1 . Giá trị nhỏ nhất của  n  

để  un 

B. 4072324

C. 4072326

D. 4072327  

Câu 95. (THCS&THPT NGUYỄN KHUYẾN - BÌNH DƯƠNG - 2018) Cho cấp số cộng   un  có  u1  3  
và công sai  d  2 , và cấp số cộng   vn  có  v1  2  và công sai  d   3 . Gọi  X , Y  là tập hợp chứa 

1000  số hạng đầu tiên của mỗi cấp số cộng. Chọn ngẫu nhiên  2  phần tử bất kỳ trong tập hợp 
X  Y . Xác suất để chọn được  2  phần tử bằng nhau gần với số nào nhất trong các số dưới đây? 
A. 0,83.104 . 
B. 1,52.104 . 
C. 1, 66.104 . 
D. 0, 75.104 . 
 


Câu 1.

Câu 2.

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ CỘNG
 Chọn C
Dãy số   un   có tính chất  un 1  un  d  thì được gọi là một cấp số cộng. 
Ta thấy dãy số:  1; 3; 7; 11; 15  là một cấp số cộng có số hạng đầu là 1 và công sai bằng  4.  
 Chọn D
Định nghĩa:
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng 
đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số d không đổi. 

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:  />
10


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

1
Đáp án A: Là cấp số cộng với  u1  ; d  1 . 
2
Đáp án B: Là cấp số cộng với  u1  1; d  0 . 
Đáp án C: Là cấp số cộng với  u1  8; d  2 . 

Câu 3.


Đáp án D: Không là cấp số cộng vì  u2  u1   2  ; u4  u3   1 . 
 Chọn D
Theo công thức cấp số cộng ta có:  2(2a 2  1)  (1  2a)  (2a)  a 2 

Câu 4.

Câu 5.

Câu 6.

3
3
a

4
2

 
 Chọn B
Ta có  un 1  un  3(n  1)  2018  (3n  2018)  3  un 1  un  3 . 
Vậy dãy số trên là cấp số cộng có công sai  d  3 . 
 
 Chọn B
Xét dãy số   un  : un  un1  2, n  2  
Ta có  un  un 1  2, n  2  
Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai  d  2  
 Chọn D
Theo định nghĩa cấp số cộng ta có:  un1  un  d  un1  un  d ,    n  1,  d  const  
Thử các đáp án ta thấy với dãy số:  un  2n  3,    n  1 thì: 


Câu 7.

Câu 8.

Câu 9.

un  2 n  3
 un 1  un  2  const  

un 1  2  n  1  3  2n  1
 Chọn D
Ta có dãy  un  là cấp số cộng khi  u n 1  u n  d  ,  n   *  với  d  là hằng số. 
Bằng cách tính  3  số hạng đầu của các dãy số ta dự đoán đáp án  D.
5  n  1  2 5n  2 5
Xét hiệu  un 1  un 

  ,n  * . 
3
3
3
5n  2
Vậy dãy  un 
 là cấp số cộng. 
3
 Chọn
C.
Xét dãy số  un  1  3n , suy ra  un1  1  3n 1 . Ta có  un 1  un  2.3n , n  * . Do đó  un  1  3n  
không phải là cấp số cộng. 
 Chọn B

Với dãy số  un  n  2n , n * , xét hiệu:  un 1  un  n  1  2n 1  n  2n  2n  1, n  *  thay đổi 





theo  n  nên  u  n  2 ,  n    không là cấp số cộng. (A loại) 
Với dãy số  u  3n  1,  n   , xét hiệu:  u  u  3  n  1  1  3n  1  3,  n    là hằng số 
nên  u  3n  1,  n    là cấp số cộng. (B đúng) 
Với dãy số  u  3 ,  n    , xét hiệu:  u  u  3  3  2.3 ,  n    thay đổi theo  n  nên 
u  3 ,  n     không là cấp số cộng. (C loại) 
n

*

n

*

*

n

n 1

n

*

n


n

n

n

n 1

*

n 1

n

n

*

n

*

n

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:  />
11


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP


ĐT:0946798489

3n  1
,  n  *  , xét hiệu: 
n2
3  n  1  1 3n  1
3n  1
5
,  n  *   
un 1  un 


,  n  *   thay đổi theo  n  nên  un 
n2
n 1 2
n  2  n  2  n  3
không là cấp số cộng. (D loại) 
 
Câu 10.  Áp dụng định lý sin trong tam giác  ABC  ta có 
a  2 R sin A ,  b  2 R sin B ,  c  2 R sin C  
Theo  giả  thiết  a 2 ,  b 2 ,  c 2   theo  thứ  tự  đó  lập  thành  một  cấp  số  cộng  nên  a 2  c 2  2b 2  
 4 R 2 .sin 2 A  4 R 2 .sin 2 C  2.4 R 2 .sin 2 B  sin 2 A  sin 2 C  2.sin 2 B . 
Vậy  sin 2 A ,  sin 2 B ,  sin 2 C  theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. 
Với dãy số  un 

DẠNG 2. TÌM CÔNG THỨC CẤP SỐ CỘNG 
Câu 11.  Chọn A
Ta có  u2  6  6  u1  d    d  4 .
Câu 12.  Chọn C

Vì   un  là cấp số cộng nên  u2  u1  d  d  u2  u1  4  1  3 .
Câu 13.  Chọn D
Ta có:  d  u2  u1  6 .
Câu 14.  Chọn B
Vì   un   là cấp số cộng nên ta có  u2  u1  d  d  u2  u1  8  2  6 . 
Câu 15.  Ta có  u6  u1  5d  27  d  6 . 
Câu 16.  Ta có  un 1  un  3  n  1  2  3n  2  3  
Suy ra  d  3  là công sai của cấp số cộng. 
Câu 17.  Chọn D
Gọi  u1 , d  lần lượt là số hạng đầu và công sai của cấp số cộng   un  . 
Khi đó, ta có:  u17  u1  16d ,  u33  u1  32d  
Suy ra:  u33  u17  65  33  16d  32  d  2  
Vậy công sai bằng:  2 . 
Câu 18.  Chọn C 
Gọi năm số hạng của cấp số cộng đã cho là:  u1 ; u 2 ; u3 ; u 4 ; u5 .  
Theo đề bài ta có:  u1  u5  20  u1  (u1  4 d )  20  d  5
 
Câu 19.  Chọn A 
  un  u1   n  1 d  
▪  u3  u1   3  1 d  13  5  2d  13  d  4  
▪  un  5   n  1 .4  4n  1  
u1  8d  5  u1  d 
Câu 20.  Ta có:  un  u1   n  1 d . Theo đầu bài ta có hpt:  
 
u1  12d  2  u1  5d   5
4u  3d  0
u  3
 1
 1
.

d  4
u1  2d  5
Câu 21.  Chọn A

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:  />
12


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

u1  u3  8 u1  u1  2d  8 2u1  2d  8 u1  1



Ta có  

d  3
u4  10
u1  3d  10
u1  3d  10
Vậy công sai của cấp số cộng là  d  3 . 
Câu 22.  Chọn B
u  u  u  7
Giả sử dãy cấp số cộng   un  có công sai là  d . Khi đó,   2 3 5
 trở thành: 
u1  u6  12
 u1  d    u1  2d    u1  4d   7
u  3d  7

u  1
 1
 1
 

d  2
2u1  5d  12
u1   u1  5d   12
Số hạng tổng quát của cấp số cộng   un  :  un  u1   n  1 d  1   n  1 .2  2n  1  

Vậy  un  2n  1 . 
DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ CỘNG 
Câu 23.  Ta có:  u5  u1  4d  3  4.  2   5 . 
Câu 24. Ta có  u3  u1  2d  3  2.4  5 . 
Câu 25.  Ta có :  u99  u1  98d  11  98.4  403 . 
Câu 26.  Ta có   un   là cấp số cộng nên  2u2  u1  u3  suy ra  u3  2u2  u1  5 . 
Câu 27.  Ta có:  u13  u1  12d  8  u1  12.  3  u1  44  u3  u1  2d  44  6  38 . 
Câu 28.  Chọn A
Ta có  u7  u1  6.d  3  6.2  15 . 
Câu 29.  Chọn A
Áp dụng công thức của số hạng tổng quát  un  u1   n  1 d    2  2018.4  8074 . 
Câu 30.  Chọn D
Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng ta có  u11  u1  10d  3  10.  2   17 . 
Câu 31.

Chọn B
Ta có  u6  u1  5d  2  35  37 . 
Câu 32.  Chọn B 
Ta có:  u4  u1  3d    2  15  17 . 
Câu 33.  Chọn C

Ta có:  un  u1   n  1 d  u2018  2   2018  1 .2  4036 . 
Câu 34.  Ta có:  un  u1   n  1 d  3  7  n  1  7 n  4 ;  un  2018  7 n  4  2018  n 

2022

7

Vậy  n  289 . 
Câu 35.

u  2
u  2
Xem cấp số cộng cần tìm là   un   có:   1
. Suy ra:   1

d  5
u5  22

Vậy cấp số cộng cần tìm là   un  :  2 , 7 ,  12 ,  17 ,  22 . 
Câu 36.  Chọn D 
Ta có:  u1  2  và  d  4 suy ra  u2  u1  d  2  4  2  

u3  u1  2d  2  2.4  6 ;  u4  u1  3d  2  3.4  10 ;  u5  u1  4d  2  4.4  14  
Nên đáp án D đúng. 
Câu 37.  Chọn B 
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:  />
13


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP


ĐT:0946798489

un  u1   n  1 d  2018  2   n  1 .9  n  225 . 
Câu 38.  Chọn D 
Cấp số cộng  1, 4, 7,... . có số hạng đầu  u1  1  và công sai  d  3 . 
Số hạng thứ 100 của cấp số cộng là:  u100  u1  99.d  1  99.3  298 . 
Câu 39.  Chọn
B.
Ta có: 
u  u 24  3
u8  u1  7d  d  8 1 
 3 . 
7
7
u11  u1  10d  33 . 
Câu 40.  Chọn A


d  2
u3  6
u1  2d  6





Theo giả thiết ta có  u  2 u  6d  2 
 



u1  10
1
 7
Vậy  u5  2 . 

u  d  3
u  1
 1
Câu 41.  Từ giả thiết  u2  3  và  u4  7  suy ra ta có hệ phương trình:   1

d  2
u1  3d  7
Vậy  u15  u1  14d  29 . 
Câu 42.  Gọi  u1  và  d  lần lượt là số hạng đầu tiên và công sai của cấp số công. 
u  2001
u  d  2001
u  2003
 1
 1
Ta có:   2

 d  2
u1  4d  1995
u5  1995
Vậy  u1001  u1  1000d  3 . 

Câu 43.  Ta có  un  u1   n  1 d  2018  5  n  1  
Có  un  0  2018  5  n  1  0  5n  2023  n 


2023
,  n    n  405 . 
5

Vậy từ  u405  thì số hạng của cấp số cộng đó nhận giá trị âm. 
Câu 44.  Chọn
C.
Gọi  d  là công sai của CSC. Ta có  un  u1   n  1 d . 
u1  2  u1  4d    u1  5d   15 d  5
u1  2u5  u6  15


 u1  3 . 

2u1  8d  46
u3  u7  46
 u1  2d    u1  6d   46
 
Câu 45.  Chọn C
Cách 1 : Dùng casio 570VN 
B1 : Nhập vào máy tính “2”=>SHIFT=>STO=>A 
B2: Nhập  B  A  5 : A  B  
B3: Ấn CALC rồi bấm liên tiếp dấu “=” cho kết quả  u10  47 . 
u1  2
Cách 2 : Từ  

*
un 1  un  5, n  N
Ta  có  un 1  un  5   nên  dãy  U n    là  một  cấp  số  cộng  với  công  sai  d  5   nên 


u10  u1  9d  2  45  47 . 
u1  4d  3  u1  2d   u1  d  21
u5  3u3  u2  21
u  3d  7
u  2
 1
 1
Câu 46.   


3
u

2
u


34
u

12
d


34
d


3
3

u

6
d

2
u

3
d


34





7
4
1

 1

1
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:  />
14


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP


ĐT:0946798489

Số hạng thứ  100  là  u100  2  99  3  295 . 
Câu 47.  Chọn D
Ta có:
u2  u1  2
2
2
2
2

2
2
2
2
u3  u1  4  u2  u3  u4   u1  2    u1  4    u1  6   3u1  24u1  56  3  u1  4   8  8  
u  u  6
 4
1
Vậy  u 22  u32  u 42 đạt giá trị nhỏ nhất khi  u1  4 . 
Từ đó suy ra  2018  u1   n  1 d  2018  4   n  1 2  n  1012.  
Câu 48.  Ta có  un  u1   n  1 d  81  5   n  1 2  n  44 . 
Vậy  81  là số hạng thứ  44 . 
Câu 49. Ta có  u9  u1  8d  u1  7 . 
Gọi  10092  là số hạng thứ  n  trong khai triển, ta có: 
10092  7
10092  u1   n  1 d  n 
 1  2018 . 
5

Câu 50.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng   xn  là:  xn  4   n  1 .3  3n  1 . 
Số hạng tổng quát của cấp số cộng   yn  là:  ym  1   m  1 .5  5m  4 . 
Giả sử  k  là  1  số hạng chung của hai cấp số cộng trong  2018  số hạng đầu tiên của mỗi cấp số. 
Vì  k  là  1  số hạng của cấp số cộng   xn   nên  k  3i  1  với  1  i  2018  và  i  * . 
Vì  k  là  1  số hạng của cấp số cộng   yn   nên  k  5 j  4  với  1  j  2018  và  j  * . 
Do đó  3i  1  5 j  4  3i  5 j  5    i  5  i  5;10;15;...; 2015   có  403  số hạng chung. 

DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN 
n  un  u1  n  2u1   n  1 d 
Câu 51.  * Áp dụng công thức  S n 

 ta được: 
2
2
10  2  10  1 2 
S10  
 100 . 
2
n  2u1   n  1 d 
n  2.3   n  1 .4 
Câu 52.  Ta có  S n 

 253  
2
2
 n  11
2


 4n  2n  506  0  
 n   23  L 

2
 u  u 10  155 . 
Câu 53.  Ta có:  u1  2 ;  u10  29 ;  S10  1 10
2
Câu 54.  Ta có công thức tổng  n  số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:  Sn  nu1 
Suy ra  S12  12u1 

n  n  1 d
2

 

12.11.d
n
 6  2u1  11d    2u1  11d  . 
2
2

Câu 55.  Chọn
A.
Áp dụng công thức tổng n số hạng đầu của cấp số cộng ta có: 
n  u1  un 
n  n  1
Sn 
 nu1 
d    2019.3  2019.2018  4 080 399 . 
2

2
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:  />
15


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

Câu 56.   S15  u1  u2  u3  ...  u15   u1  u15    u2  u14    u3  u13   ...   u7  u9   u8  
Vì  u1  u15  u2  u14  u3  u13  ...  u7  u9  2u8  và  u3  u13  80  S  7.80  40  600 . 
Câu 57.  Chọn D
 2u1   n  1 d  n
Tổng  n  số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là  Sn  

2
 2  6   14  1 4  14
 280 . 
Vậy  S  
2
Câu 58.  Chọn A
u5  15 u1  4d  15 u1  35
 u  u  20  250


 S20  1 20
Ta có 

u


60
u

19
d

60
d

5
2

 1
 20
Câu 59.  Chọn D
u3  6
u  2d  6
u  2
 1
 1


d  2
u1  7 d  16
u8  16
10 10  1
10 10  1
.d  10.2 
.2  110 . 
2

2
Câu 60.  Chọn
B.
3
Ta có:  S3   2u1  2d   3u1  3d  3u1  18 . 
2
 3u1  18  9  u1  3 . 
20
 S 20   2u1  19d 
  2.  3  19.6  .10  1080 . 
2
Câu 61.  Chọn
C.
Ta có  un 1  1  2n , Ta có  un 1  un  2, n  * , suy ra   un   là cấp số cộng có  u1  1  và công sai 
S10  10.u1 

d  2 . Vậy  S60 

60
 2u1  59d   3840 .
2

Câu 62.  Chọn C 


Nếu   u n  n 1  là cấp số cộng có  u1  0  và công sai  d  thì 

n
 u1  un  . 
2

Áp dụng với  n  100 , ta chọn  C . 
Câu 63.  Gọi  d  là công sai của cấp số cộng. Khi đó: 
u2013  u6  1000  u1  2012d  u1  5d  1000  2u1  2017 d  1000 . 
2017.2018
d  1009.  2u1  2017 d   1009000 . 
Ta có:  S2018  2018u1 
2
Câu 64.  Chọn A
Gọi cấp cố cộng có công sai là  d  ta có  u2  u1  d ;  u3  u1  2d ;  u4  u1  3d  
Sn  u1  u2  ...  un 

u  u  8
2u  3d  8
u  1
Khi đó   1 4
 
 1
 1
d  2
d  2
u3  u2  2
n( n  1)
Áp dụng công thức  S  nu1 

2

Vậy tổng của  10  số hạng đầu của cấp số cộng là  S10  10.1 

10.9
.2  100  

2

Câu 65.  Chọn A 
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:  />
16


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

u4  12 u1  3d  12 u1  21


Ta có:  

d  3
u14  18
u1  13d  18
Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:  S16  16.  21 

16.15
.3  24 . 
2

u  u3  u5  10
u  d  u1  2d  u1  4d  10
u  3d  10
u  1
 1

 1
 1
Câu 66.    2

d  3
u1  3d  u1  5d  26
2u1  8d  26
u4  u6  26

u4  10 ,  u7  19 ,  u10  28 … 
u1  1

Ta có  u1 ,  u4 ,  u7 ,  u10 , …, u2011  là cấp số cộng có   d  9  
 n  671


S

671
 2.1  670.9   2023736 . 
2

 
Câu 67.  Ta có:  S50 

50
 2u1  49d   5150  d  4 . 
2

Số hạng tổng quát của cấp số cộng bằng  un  u1   n  1 d  1  4n . 

Câu 68.  Ta có:  u1  S1  8 . 

u2  S2  S1  18  d  u2  u1  18  8  10 . 
Câu 69.  Ta có  u5  18  u1  4d  18 . 
5.4 
10.9

d   10u1 
d    2u1  d  0 . 
Lại có  4S5  S10    4  5u1 
2 
2

u  4d  18
u  2
Khi đó ta có hệ phương trình   1
 1

d  4
2u1  d  0
Câu 70.  Chọn C
6  2a1  5d  9  2a1  8d 
Ta có  S6  S9 

 a1  7 d .  
2
2
a3 a1  2 d 7 d  2 d 5



 . 
a5 a1  4 d 7 d  4 d 3
Câu 71.  Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu là  u1  và công sai  d . 

7.6.d

7
u

 77
1
 S7  77
7u  21d  77
u  5

2
Ta có:  

 1
 1

12.11.
d
12
u

66
d

192

d

2


1
 S12  192
12u 
 192
 1
2
Khi đó:  un  u1   n  1 d  5  2  n  1  3  2n . 
Câu 72.  Ta có  Sn  2n 2  3n  u1  S1  5 ,  u1  u2  S2  14  u2  9 ,  u1  u2  u3  S3  27    u3  13   
Dựa vào nội dung các đáp án ta chọn được đáp án   an   là một cấp số cộng với công sai bằng  4 . 
Câu 73.  Ta có cấp số cộng với  u1  1 ,  d  7 ,  un  x ,  Sn  7944 . 
Áp dụng công thức 
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:  />
17


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

 2u1   n  1 d  n
 2.1   n  1 7  n
Sn  
 7944  
 7 n 2  5n  15888  0  
2

2
 n  48   t / m 


 n   331    loai 

7
Vậy  x  u48  1  47.7  330 . 

Câu 74.  Gọi  d  là công sai của cấp số cộng. Ta có  S100  50  2u1  99d   14950  với  u1  1  d  3  
1
1
1


 ... 
u1u2 u2u3
u49u50
u u
d
d
d
u u u u
1
1
Ta 
có 
S .d 

 ... 

 2 1  3 2  ...  50 49  
u1u2 u2u3
u49u50
u1u2
u2u3
u49u50
u1 u50
1
147

 1

1  49.3 148
49
Với  d  3  nên  S 

148
Câu 75.  Chọn D 
Gọi  d  là công sai của cấp số cộng đã cho. 
200  2u1
Ta có:  S100  50  2u1  99d   10000  d 
 2 . 
99
2
2
2
 
 2S 

 ... 

u1u2 u2u3
u99u100
u u
u u u u
 2 1  3 2  ...  99 100  
u1u2
u 2 u3
u99u100
1 1 1 1
1
1
1
1
 
     ... 



u1 u2 u2 u3
u98 u99 u99 u100
1
1
1
1
198
 
 
 

u1 u100 u1 u1  99d 199

99

S
199

Đặt  S 

C2
A1

B1
A3
B2

B3

C3

A2

C1

Câu 76.  
 
Chọn B
Ta có: 
1
1
1
1

1
1
P2  P1 ;  P3  P2  P1 ;  P4  P3  P1 …; Pn  n1 P1  
2
2
4
2
8
2
… 
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:  />
18


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

Vậy  P  P1  P2  P3  ...  P1 

P
1
1
1
P1  P1  P1  ...  1  2 P1  24.  
1
2
4
8
1

2

 
DẠNG 5. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC 
Câu 77.  Sau tuần đầu, Hùng cần thêm 358 đô la. Như vậy Hùng cần thêm  358 : 8  44, 75  tuần. 
Vậy đến tuần thứ 46 Hùng đủ tiền. 
 
Câu 78.  Áp dụng công thức tính tổng n số hạng liên tiếp của CSC: 
n
Sn   2u1   n  1 d 
2
n
 900   2.1   n  1 .2
2
2
 n  900
 n  30.
Vậy  u30  1  29* 2  59.  
Cách 2:
Áp dụng công thức  1  3  5  .....  (2n  1)  n 2 .  
Suy ra  n  30.  
Vậy  2n  1  59.  
Câu 79.  Ta có  3  năm bằng  12  quý. 
Gọi  u1 , u2 , …,  u12  là tiền lương kĩ sư đó trong các quý (từ quý  1  đến quý  12 ). 
Suy ra   un   là cấp số cộng với công sai  4,5 . 
Vậy số tiền lương kĩ sư nhận được là 
2u   n  1 d
2  4,5  11 0,3
 12
 73,8  (triệu đồng). 

S12  n 1
2
2
Câu 80. Cách trồng  465  cây trong một khu vườn hình tam giác như trên lập thành một cấp số cộng   un   
với số  un  là số cây ở hàng thứ  n  và  u1  1  và công sai  d  1 . 
Tổng số cây trồng được là:  Sn  465   

 n  30
n  n  1
 465  n 2  n  930  0  

2
 n  31 l 

Như vậy số hàng cây trong khu vườn là  30 . 
Câu 81.  Gọi  u1 , u2 ,...u30  lần lượt là số ghế của dãy ghế thứ nhất, dãy ghế thứ hai,… và dãy ghế số ba 
mươi. Ta có công thức truy hồi ta có  un  un 1  4  n  2,3,...,30  . 
Ký hiệu: S30  u1  u2  ...  u30 , theo công thức tổng các số hạng của một cấp số cộng, ta được: 
30
S30   2u1   30  1 4   15  2.15  29.4   2190 . 
2
a  d  b  c
Câu 82.  Theo giả thiết ta có:  
 a  d  b  c  2 . 
a  b  c  d  4
2

2

a 2  b 2  c 2  d 2   a  d    b  c   2  ad  bc 

2

2

 ad  bc  a 2  b2  c 2  d 2   a  d    b  c   8 . 

P  a3  b3  c3  d 3   a  d   a 2  ad  d 2    b  c   b 2  bc  c 2   
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:  />
19


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

 2  a  b  c  d  ad  bc   64 .
2

2

2

2

Câu 83.  Ta gọi  d  là công sai của cấp số cộng. 
u1u2  u2u3  u3u1  4  4  d    4  d  4  2d   4  4  2d   
2

 2d 2  24d  48  2  d  6   24  24  
Dấu  "  "  xảy ra khi  d  6 . 

Vậy giá trị nhỏ nhất của  u1u2  u2u3  u3u1  là  24 . 
Câu 84.

Gọi  d  là công sai của cấp số cộng và các cạnh có độ dài lần lượt là  a  d ,  a ,  a  d    0  d  a  . 
Vì tam giác có chu vi bằng  3  nên  3a  3  a  1 . 

1
2
2
Vì tam giác vuông nên theo định lý Pytago ta có  1  d   1  d   12    4d  1  d  . 
4
3 5
Suy ra ba cạnh của tam giác có độ dài là  ;1; . 
4 4
Câu 85. Chọn B
Giả sử  1089  được xếp thành  n  hàng. Từ giả thiết ta có số hộp sơn trên mỗi hàng là số hạng của 
một cấp số cộng  un   với số hạng đầu  u1  1  công sai  d  2 . Do đó 

S n  1089  n  n n 1  1089  n  33 . 

Vậy số hộp sơn ở hàng cuối cùng là:  u33  1  32.2  65 (hộp sơn). 
Câu 86.  Chọn D
Đặt  uk  là hàng thứ  k  
k  k  1
 
2
 50
 
 51  0


Ta có :  S  u1  u2  ...  uk  1  2  3  ...  k 
k  k  1
k
 1275  
2
k
Vậy  k  50 nên có 50 hàng. 
Theo giả thiết ta có : 

Câu 87.  Chọn C
Giả sử có  n hàng cây. 
 
Theo đề bài ta có: 
1  2  3  ....  n  3003 
Câu 88.

 n  77 (TM )
n.(n  1)
 3003  n 2  n  6006  0  

2
 n  78 ( L)

Chọn D 
 Ta có số gạch ở mỗi hàng là các số hạng của 1 cấp số cộng:  500 ,  499 ,  498 ,.,  2 ,  1 . 
⇒ Tổng số gạch cần dùng là tổng của cấp số cộng trên, bằng 
S 500 

500(500  1)
 250.501  125250  (viên) 

2

Câu 89.  Chọn C
Giả sử trồng được  n  hàng cây   n  1, n    . 
Số cây ở mỗi hàng lập thành cấp số cộng có  u1  1  và công sai  d  1 . 
Theo giả thiết: 
 n  80
n
Sn  3240   2u1   n  1 d   3240  n  n  1  6480  n 2  n  6480  0  
 
2
 n  81
So với điều kiện, suy ra:  n  80 . 
Vậy có tất cả  80  hàng cây. 
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:  />
20


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

Câu 90.  Chọn A
Cấp số cộng đầu tiên có số hạng tổng quát là  un  4   n  1 .3  3n  1
Cấp số cộng thứ hai có số hạng tổng quát là  um  1   m  1 .5  5m  4

 n   .
 
 m   .
*


*

Ta cần có  3n  1  5 m  4  3n  5  m  1 .

 

 
Ta thấy để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì  3n  5  n  5.  Vì cấp số cộng có 100 số hạng nên từ 
đó suy ra có 20 số hạng chung. 
Câu 91.  Số ngày bạn An để dành tiền (thời gian bỏ ống heo tính từ ngày  01  tháng  01  năm  2016  đến 
ngày  30  tháng  4  năm  2016 ) là  31  29  31  30  121  ngày. 
Số tiền bỏ ống heo ngày đầu tiên là:  u1  100 . 
Số tiền bỏ ống heo ngày thứ hai là:  u2  100  1.100 . 
Số tiền bỏ ống heo ngày thứ ba là:  u3  100  2.100 . 
… 
Số tiền bỏ ống heo ngày thứ  n  là:  un  u1   n  1 d  100   n  1100  100n . 
Số tiền bỏ ống heo ngày thứ  121  là:  u121  100.121  12100 . 
Sau  121  ngày thì số tiền An tích lũy được là tổng của  121  số hạng đầu của cấp số cộng có số 
hạng đầu  u1  100 , công sai  d  100 . 
121
121
Vậy số tiền An tích lũy được là  S121 
 u1  u121   100  12100   738100  đồng. 
2
2
 
Câu 92.  Chọn A
Điều kiện:  k  , k  12  
C14k ,  C14k 1 ,  C14k  2  theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng ta có 

C14k  C14k  2  2C14k 1   



1



14!
14!
14!

2
 
k !14  k  !  k  2 !12  k  !
 k  1 !13  k  !
1

14  k 13  k   k  1 k  2 



2
 
 k  113  k 

 14  k 13  k    k  1 k  2   2 14  k  k  2   
 k  4 (tm)
 k 2  12k  32  0  


 k  8 (tm)
Có  4  8  12.
 
Câu 93.  Chọn A

1
Ta có:  x 2 ; ; y 2  theo thứ tự lập thành một cấp số cộng  x 2  y 2  1 . 
2
Đặt  x  sin  , y  cos  . 
3
1  cos 2
sin2 
 2P  1  3 sin2  cos 2 . 
2
2
Giả sử  P  là giá trị của biểu thức  2P  1  3 sin2  cos 2  có nghiệm. 
2
1
3
2
  2 P  1  3  12    P  . 
2
2
P  3xy  y 2  3 sin .cos   cos 2  

 

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:  />
21



CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

3
1
Vậy  M  ; m    S  1 . 
2
2
 
Câu 94.  Chọn A
Từ giả thiết suy ra  un  0, n  1  
Ta có  un1 
Đặt  vn 

un
1  un 2

un 2
1
1

   
 1 2  
2
2
1  un
un1
un


1
1
, khi đó  v1 
 và  vn 1  1  vn  nên   vn   là cấp số cộng có công sai là  1 . 
2
un
2018 2

vn  v1   n  1 
Để  un 

,  n  1    un1

2

1
1
1
 n  1  suy ra  2 
 n  1 . 
2
2018
un 2018 2

1
1
1
 2018 2  
     2  2018 2    ( n  1) 

2
2018
un
2018

1
1
 2018 2  n  4072325 
 
2
2018
2018 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của  n  thỏa mãn điều kiện là  4072325 . 
2
Câu 95.  Chọn ngẫu nhiên  2  phần tử bất kỳ trong tập hợp  X  Y ta có  C2000
 cách chọn. 
Gọi  2 phần tử bằng nhau trong  X , Y là  uk  và  vl . 
3l
Do  uk  vl   3  2  k  1  2  3  l  1     k   1  
2
1
Do  1  k  1000     1  l  667 . Mặt khác  l  2 x      x  333,5  có  333  số 
2
333
Vậy xác suất để chọn được  2  phần tử bằng nhau là:  2  1, 665832916.104 . 
C2000
 
 
 
 n  1


Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:  />
22



×