Chuyên đề dãy số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (321.44 KB, 18 trang )
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
TOÁN 11
1D3-2
ĐT:0946798489
DÃY SỐ
TRUY CẬP ĐỂ ĐƯỢC NHIỀU
HƠN
MỤC LỤC
PHẦN A. CÂU HỎI......................................................................................................................................................... 1
DẠNG 1. BIỂU DIỄN DÃY SỐ, TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT ............................................................................ 1
DẠNG 2. TÌM HẠNG TỬ TRONG DÃY SỐ................................................................................................................. 4
DẠNG 3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM .................................................................................................................. 5
DẠNG 4. DÃY SỐ BỊ CHẶN TRÊN, BỊ CHẶN DƯỚI ................................................................................................ 6
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ................................................................................................................................ 8
DẠNG 1. BIỂU DIỄN DÃY SỐ, TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT ............................................................................ 8
DẠNG 2. TÌM HẠNG TỬ TRONG DÃY SỐ............................................................................................................... 13
DẠNG 3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM ................................................................................................................ 15
DẠNG 4. DÃY SỐ BỊ CHẶN TRÊN, BỊ CHẶN DƯỚI .............................................................................................. 16
PHẦN A. CÂU HỎI
DẠNG 1. BIỂU DIỄN DÃY SỐ, TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT
Câu 1.
(THPT CHUYÊN NGUYỄN ĐÌNH TRIỂU - ĐỒNG THÁP - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số
1 3 2 5
, , , ,... . Công thức tổng quát un nào là của dãy số đã cho?
2 5 3 7
n
n 1
2n
n
A. un
n * . B. u n n n * . C. un
n * . D. un
n * .
n 1
n3
2n 1
2
Câu 2.
Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: 1,3,19,53 . Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng
thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.
A. u10 97
B. u10 71
C. u10 1414
D. u10 971
Câu 3.
Cho dãy số có các số hạng đầu là: 5;10;15; 20; 25;... Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. un 5(n 1) .
B. un 5n .
C. un 5 n .
D. un 5.n 1 .
Câu 4.
Cho dãy số có các số hạng đầu là: 8,15, 22, 29, 36,... .Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. un 7n 7 .
B. un 7.n .
C. un 7.n 1 .
Câu 5.
Câu 6.
D. un : Không viết được dưới dạng công thức.
1 2 3 4
Cho dãy số có các số hạng đầu là: 0; ; ; ; ;... .Số hạng tổng quát của dãy số này là:
2 3 4 5
n2 n
n 1
n
n 1
A. un
.
B. un
.
C. un
.
D. un
.
n
n 1
n
n 1
Cho dãy số có các số hạng đầu là: 1;1; 1;1; 1;... .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
1
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
A. u n 1 .
Câu 7.
B. u n 1 .
Câu 10.
Câu 11.
Câu 12.
Câu 13.
n 1
.
B. u n 2 n .
C. u n 2( n 1) .
D. un 2 2 n 1 .
1 1 1 1 1
; ; ; ; ; ….Số hạng tổng quát của dãy số này là?
3 32 33 34 35
1
1
1
B. u n n 1 .
C. u n n .
D. u n n 1 .
3
3
3
Cho dãy số có các số hạng đầu là:
A. u n
Câu 9.
D. un 1
C. u n (1) .
Cho dãy số có các số hạng đầu là: 2; 0; 2; 4; 6;... .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng?
A. u n 2n .
Câu 8.
ĐT:0946798489
n
1 1
.
3 3 n 1
u1 5
Cho dãy số u n với
.Số hạng tổng quát u n của dãy số là số hạng nào dưới đây?
u n 1 u n n
(n 1) n
( n 1) n
A. u n
.
B. u n 5
.
2
2
( n 1) n
( n 1)(n 2)
C. u n 5
.
D. u n 5
.
2
2
u1 1
Cho dãy số un với
2 n . Số hạng tổng quát u n của dãy số là số hạng nào dưới
un 1 un 1
đây?
2n
A. un 1 n .
B. un 1 n .
C. un 1 1 .
D. un n .
u1 1
Cho dãy số un với
2 n 1 . Số hạng tổng quát u n của dãy số là số hạng nào dưới
u
u
1
n 1
n
đây?
A. un 2 n .
B. un không xác định.
C. un 1 n .
D. un n với mọi n .
u1 1
Cho dãy số un với
. Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?
2
u
u
n
n
n 1
n n 1 2n 1
n n 1 2n 2
A. un 1
.
B. un 1
.
6
6
n n 1 2n 1
n n 1 2n 2
C. un 1
.
D. un 1
.
6
6
Cho dãy số un
u1 2
với un 1 un 2n 1 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới
đây?
2
A. un 2 n 1 .
B. un 2 n 2 .
2
C. un 2 n 1 .
2
D. un 2 n 1 .
u1 2
Câu 14. Cho dãy số un với
1 . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
un 1 2 u
n
n 1
n 1
n 1
n
A. un
.
B. un
.
C. un
.
D. un
.
n
n
n
n 1
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
2
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
1
u1
Câu 15. Cho dãy số un với
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
2
un 1 un 2
1
1
1
1
A. un 2 n 1 .
B. un 2 n 1 . C. un 2n .
D. un 2n .
2
2
2
2
Câu 16.
Cho dãy số un
u1 1
với
un . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
u
n
1
2
n
1
A. un 1 . .
2
Câu 17.
Câu 18.
1
B. un 1 .
2
n 1
.
1
C. un
2
n 1
.
1
D. un 1 .
2
n 1
.
u1 2
Cho dãy số un với
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này:
un1 2un
A. u n n n 1 .
B. un 2 n .
C. u n 2 n 1 .
D. un 2 .
Cho dãy số un
A. u n 2 n 1 .
1
u1
với
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này:
2
un 1 2un
1
1
B. un n 1 .
C. un n .
D. un 2 n 2 .
2
2
Câu 19. (SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH - HKII - 2018) Cho dãy số (un ) xác định bởi
u1 1
. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho
3
*
u
u
n
,
n
n
n 1
A. n 2017 .
B. n 2019 .
C. n 2020 .
un 1 2039190 .
D. n 2018 .
u 1
Câu 20. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Cho dãy số un xác định bởi 1
un 1 un 2n 1, n 1
. Giá trị của n để un 2017 n 2018 0 là
A. Không có n .
B. 1009 .
C. 2018 .
D. 2017 .
Câu 21.
(THPT QUẢNG YÊN - QUẢNG NINH - 2018) Cho dãy số un xác định bởi
un
1
4
n3 4 n3 n 2 4 n3 2n 2 n 4 n3 3n 2 3n 1
.
A. 2016 .
Câu 22.
C. 2018 .
D. 2019 .
(SỞ GD&ĐT YÊN BÁI - 2018) Cho dãy số u n được xác định bởi u1
un 1
A.
Câu 23.
B. 2017 .
, n 1 . Tính tổng S u1 u2 ... u20184 1
2
và
3
un
, n * . Tính tổng 2018 số hạng đầu tiên của dãy số đó?
2 2n 1 un 1
4036
.
4035
B.
4035
.
4034
C.
4038
.
4037
D.
4036
.
4037
Cho hai cấp số cộng un :1;6;11;... và vn : 4;7;10;... Mỗi cấp số có 2018 số. Hỏi có bao nhiêu
số có mặt trong cả hai dãy số trên.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
3
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
A. 403 .
ĐT:0946798489
B. 401 .
C. 402 .
D. 504 .
DẠNG 2. TÌM HẠNG TỬ TRONG DÃY SỐ
Câu 24.
A.
Câu 25.
n
. Ba số hạng đầu tiên của dãy số là
2 1
1 1
1 1
B. 1; ;
C. 1; ;
2 16
4 8
Cho dãy số un , biết un
1 2 3
; ; .
2 3 4
n
2 3
D. 1; ; .
3 7
(THPT THUẬN THÀNH 1) Cho dãy số un có số hạng tổng quát un 1
n
(với n* ).
n 1
2
Số hạng đầu tiên của dãy là:
A. 2 .
Câu 26.
B.
B. 7 .
D.
1
.
2
C. 6 .
D. 4 .
(Độ Cấn Vĩnh Phúc-lần 1-2018-2019) Cho dãy số un với un 3n . Khi đó số hạng u2 n1 bằng
A. 3n.3n1 .
Câu 28.
C. 0 .
Cho dãy số un có un n 2 n 1 . Số 19 là số hạng thứ mấy của dãy?
A. 5 .
Câu 27.
3
.
5
B. 32 n1 1 .
C. 32 n 1 .
D. 32.3n 1 .
(Chuyên Phan Bội Châu-lần 1-2018-2019) Cho dãy số un xác định bởi u n 1 cos n .
n
Giá trị u99 bằng
A. 99 .
B. 1 .
C. 1.
D. 99 .
an 2
(a: hằng số). un 1 là số hạng nào sau đây?
n 1
2
a. n 1
a.n 2 1
an 2
B. un 1
. C. un 1
.
D. un 1
.
n 1
n 1
n2
Câu 29. Cho dãy số un với un
2
a. n 1
A. un 1
.
n2
Câu 30.
Câu 31.
(Phát triển đề minh hoạ 2019-Đề 8) Cho dãy số un với un 2n 1 số hạng thứ 2019 của dãy
là
A. 4039 .
B. 4390 .
C. 4930 .
D. 4093 .
Cho dãy số un với un 1 2n. Khi đó số hạng u2018 bằng
A. 22018 .
Câu 32.
1
.
10
n2
, n 1. Tìm khẳng định sai.
3n 1
8
19
B. u10 .
C. u21 .
31
64
D. 2018 2 2018 .
D. u50
47
.
150
n 2 2n 1
. Tính u11 .
n 1
1422
71
C. u11
.
D. u11 .
12
6
(LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Cho dãy số un
A. u11
Câu 34.
C. 1 22018 .
Cho dãy số un với un
A. u3
Câu 33.
B. 2017 2 2017 .
182
.
12
B. u11
1142
.
12
(HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Cho dãy số un xác định bởi
n
n
un 2017 sin
2018cos
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
2
3
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
4
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
B. un 15 un , n .
C. un 12 u n , n .
D. un 6 un , n * .
*
Câu 35.
2n 1
39
. Khi đó
là số hạng thứ mấy của dãy
2
n 1
362
C. 22 .
B. 19 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 4 .
u1 5
. Số 20 là số hạng thứ mấy trong dãy?
un 1 un n
B. 6 .
C. 9 .
D. 10 .
Cho dãy số un :
A. 5 .
Câu 38. (LÊ QUÝ ĐÔN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số un
số hạng thứ 10 của dãy số đã cho.
A. 51, 2 .
B. 51,3 .
Câu 39.
D. 21 .
Cho dãy số un có u1 u2 1 và un 2 un 1 un , n * . Tính u4 .
A. 5 .
Câu 37.
*
Cho dãy số un có số hạng tổng quát là un
số?
A. 20 .
Câu 36.
ĐT:0946798489
A. un 9 un , n .
*
C. 51,1 .
2n 1 1
thỏa mãn un
. Tìm
n
D. 102,3 .
u1 4
(THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số
. Tìm số
un1 un n
hạng thứ 5 của dãy số.
A. 16 .
B. 12 .
C. 15 .
D. 14 .
Câu 40. (THPT NGHEN - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số un bởi công thức truy hồi sau
u1 0
; u218 nhận giá trị nào sau đây?
un 1 un n; n 1
A. 23653 .
B. 46872 .
C. 23871 .
D. 23436 .
DẠNG 3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM
Câu 41. Cho dãy số un với un a.3n ( a : hằng số).Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Dãy số có un 1 a.3n 1 .
C. Với a 0 thì dãy số tăng
Câu 42. Cho dãy số un với un
A. un 1
B. Hiệu số un 1 un 3.a .
D. Với a 0 thì dãy số giảm.
a 1
( a : hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai?
n2
a 1
.
(n 1) 2
C. Hiệu un 1 un a 1 .
B. Hiệu un 1 un 1 a .
2n 1
n 1
2
n2
.
2n 1
n 1
2
n2
.
D. Dãy số tăng khi a 1 .
k
( k : hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai?
3n
k
k
A. Số hạng thứ 5 của dãy số là 5 .
B. Số hạng thứ n của dãy số là n 1 .
3
3
Câu 43. Cho dãy số un với un
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
5
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
C. Là dãy số giảm khi k 0 .
Câu 44. Cho dãy số un với un
A. Dãy số có un 1
D. Là dãy số tăng khi k 0 .
a 1
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
n2
a 1
.
n2 1
B. Dãy số có : un 1
C. Là dãy số tăng.
a 1
n 1
2
.
D. Là dãy số giảm.
an 2
( a : hằng số). Kết quả nào sau đây là sai?
n 1
2
a. n 2 3n 1
a. n 1
A. un 1
.
B. un 1 un
.
n2
(n 2)(n 1)
C. Là dãy số luôn tăng với mọi a .
D. Là dãy số tăng với a 0 .
Câu 45. Cho dãy số un với un
Câu 46.
Câu 47.
Dãy số (U n ) có số hạng tổng quát nào sau đây là dãy giảm?
A. U n 1 2n .
B. U n n 2 n 1 .
C. U n 1 .
D. U n 6 n .
Cho dãy số un có un n 2 n 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. 5 số hạng đầu của dãy là: 1;1;5; 5; 11; 19 .
B. u n 1 n 2 n 2 .
C. u n 1 u n 1 .
D. Là một dãy số giảm.
Câu 48. (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Trong các dãy số un cho bởi số hạng tổng
quát un sau, dãy số nào là dãy số giảm?
1
3n 1
A. un n .
B. un
.
2
n 1
Câu 49.
D. un n 2 .
(CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm
n3
A. un
.
n 1
Câu 50.
C. un n 2 .
n
B. un .
2
2
C. un 2 .
n
D. un
1
n
3n
.
(THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 1 - 2018) Dãy số nào sau đây là dãy số giảm?
5 3n
n 5
, n * .
, n * .
A. un
B. un
2n 3
4n 1
C. un 2n3 3, n * .
D. un cos 2n 1 , n * .
Câu 51. (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm?
2n 1
A. un
.
B. un n3 1 .
C. un n 2 .
D. un 2n .
n 1
DẠNG 4. DÃY SỐ BỊ CHẶN TRÊN, BỊ CHẶN DƯỚI
Câu 52.
Cho dãy số un với un
1
n 1
n 1
. Khẳng định nào sau đây là sai?
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
6
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
A. Số hạng thứ 9 của dãy số là
1
.
10
B. Dãy số un bị chặn.
C. Dãy số un là một dãy số giảm.
Câu 53. Cho dãy số un với un
A. un 1
1
n 1
2
D. Số hạng thứ 10 của dãy số là
1
. Khẳng định nào sau đây là sai?
n 1
2
B. un un 1 .
.
1
C. Đây là một dãy số tăng.
Câu 54.
1
.
11
D. Bị chặn dưới.
Cho dãy số un với un sin
n 1
. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Số hạng thứ n 1 của dãy: un1 sin
C. Đây là một dãy số tăng.
n2
B. Dãy số bị chặn.
D. Dãy số không tăng không giảm.
(1)n 1
. Khẳng định nào sau đây là sai?
n 1
1
1
A. Số hạng thứ 9 của dãy số là .
B. Số hạng thứ 10 của dãy số là
.
10
11
C. Đây là một dãy số giảm.
D. Bị chặn trên bởi số M 1 .
Câu 55. Cho dãy số un với un
Câu 56.
(DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Dãy số un có un
A. tăng.
C. giảm.
Câu 57.
n
là dãy số
n 1
B. không tăng, không giảm.
D. không bị chặn.
Xét các câu sau
1 Dãy 1, 2,3,..., n,... là dãy bị chặn.
1 1 1
1
,... là dãy bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới.
Dãy 1, , , ,...,
3 5 7
2n 1
A. Chỉ có 2 đúng.
B. Chỉ có 1 đúng.
C. Cả hai câu đều đúng. D. Cả hai câu đều sai.
2
1
.Khẳng định nào sau đây là sai?
n n
1 1 1 1 1
A. Năm số hạng đầu của dãy là: ; ; ; ; ;
2 6 12 20 30
B. Là dãy số tăng.
1
C. Bị chặn trên bởi số M .
2
D. Không bị chặn.
Câu 58. Cho dãy số un với un
2
Câu 59. (SỞ GD&ĐT LÀO CAI - 2018) Cho dãy số un với un
n
. Khẳng định nào sau đây đúng?
n 1
A. Là dãy số không bị chặn.
B. Năm số hạng đầu của dãy là:
1 2 3 5 5
;
;
;
;
.
2 3
4
5
6
C. Là dãy số tăng.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
7
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
D. Năm số hạng đầu của dãy là:
Câu 60.
Câu 61.
ĐT:0946798489
1 2 3 4 5
;
;
;
;
.
2 3
4
5
6
1
.Khẳng định nào sau đây là sai?
n
1 1 1 1
A. Năm số hạng đầu của dãy là: 1; ; ; ;
2 3 4 5 .
B. Bị chặn trên bởi số M 1 .
C. Bị chặn trên bởi số M 0 .
D. Là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi số m M 1 .
Cho dãy số un với un
n 2018
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
2018n 1
bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên
Cho dãy un với un
A. Dãy un
B. Dãy un bị chặn.
C. Dãy un không bị chặn trên, không bị chặn dưới.
D. Dãy un bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới
Câu 62.
Trong các dãy số un có số hạng tổng quát un dưới đây, dãy số nào là dãy bị chặn?
n
2
A. un n 2 2 .
B. un
.
C. un 3n 1 .
D. un n .
2n 1
n
Câu 63.
Cho dãy số un với un 2 51n . Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Dãy số không đơn điệu.
B. Dãy số giảm và không bị chặn.
C. Dãy số tăng.
D. Dãy số giảm và bị chặn.
Câu 64.
(CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Trong các dãy số sau, dãy nào là dãy số bị chặn?
2n 1
A. un
.
B. un 2n sin n . C. un n 2 .
D. un n3 1 .
n 1
Câu 65. (THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Chọn kết luận sai:
1
A. Dãy số 2n 1 tăng và bị chặn trên.
B. Dãy số
giảm và bị chặn dưới.
n 1
1
1
C. Dãy số tăng và bị chặn trên.
D. Dãy số n giảm và bị chặn dưới.
n
3.2
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
Câu 1.
DẠNG 1. BIỂU DIỄN DÃY SỐ, TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT
2 3 4 5
Viết lại dãy số: , , , ,...
4 5 6 7
n 1
un
n .
n3
Câu 2.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Xét dãy (un ) có dạng: un an3 bn 2 cn d
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
8
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
a b c d 1
8a 4b 2c d 3
Ta có hệ:
27a 9b 3c d 19
64a 16b 4c d 53
Giải hệ trên ta tìm được: a 1, b 0, c 3, d 1
un n3 3n 1 là một quy luật.
Số hạng thứ 10: u10 971 .
Câu 3.
Hướng dẫn giải
Chọn
B.
Ta có:
5 5.1
10 5.2
15 5.3
20 5.4
25 5.5
Suy ra số hạng tổng quát un 5n .
Câu 4.
Hướng dẫn giải
Chọn
C.
Ta có:
8 7.1 1
15 7.2 1
22 7.3 1
29 7.4 1
36 7.5 1
Suy ra số hạng tổng quát un 7 n 1 .
Câu 5.
Hướng dẫn giải
Chọn
Ta có:
0
0
0 1
1
1
2 11
2
2
3 2 1
3
3
4 3 1
4
4
5 4 1
B.
Suy ra un
n
.
n 1
Chọn
C.
Câu 6.
Hướng dẫn giải
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
9
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Ta có:
1
2
3
4
5
n
Các số hạng đầu của dãy là 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ;... un 1 .
Câu 7.
Hướng dẫn giải
Chọn
D.
Dãy số là dãy số cách đều có khoảng cách là 2 và số hạng đầu tiên là 2 nên un 2 2. n 1
.
Câu 8.
Hướng dẫn giải
Chọn
C.
5 số hạng đầu là
1 1 1 1 1
1
; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ;... nên un n .
3
31 3 3 3 3
Câu 9.
Hướng dẫn giải
Chọn
B.
Ta có un 5 1 2 3 ... n 1 5
Câu 10.
Chọn
n n 1
.
2
D.
2n
un 1 un 1 un 1 u2 2; u3 3; u4 4;...
Ta có:
Dễ dàng dự đoán được un n .
Thật vậy, ta chứng minh được un n * bằng phương pháp quy nạp như sau:
+ Với n 1 u1 1 . Vậy * đúng với n 1
+ Giả sử * đúng với mọi n k k * , ta có: uk k . Ta đi chứng minh * cũng đúng với
n k 1 , tức là: uk 1 k 1
2k
+ Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số un ta có: uk 1 uk 1 k 1 . Vậy * đúng với mọi
n * .
Câu 11. Chọn
A.
Ta có: u2 0; u3 1; u4 2 ,. Dễ dàng dự đoán được un 2 n .
Câu 12. Chọn
C.
u1 1
2
u2 u1 1
Ta có: u3 u2 22
.
...
u u n 12
n 1
n
2
Cộng hai vế ta được un 1 12 2 2 ... n 1 1
Câu 13.
n n 1 2n 1
6
Chọn
A.
u1 2
u u 1
1
2
2
Ta có: u3 u2 3
. Cộng hai vế ta được un 2 1 3 5 ... 2n 3 2 n 1
...
un un 1 2n 3
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
10
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 14.
Chọn
Ta có:
Câu 15.
Chọn
Ta có:
Câu 16.
Chọn
Ta có:
ĐT:0946798489
C.
3
4
5
n 1
u1 ; u2 ; u3 ;... Dễ dàng dự đoán được un
.
2
3
4
n
B.
1
u1 2
u2 u1 2
1
1
u3 u2 2 . Cộng hai vế ta được un 2 2... 2 2 n 1 .
2
2
...
un un 1 2
D.
u1 1
u2 u1
2
u2
.
u3
2
...
un un 1
2
u .u .u ...u
1
1
Nhân hai vế ta được u1.u2 .u3 ...un 1 . 1 2 3 n 1 un 1 . n 1 1 .
2.2.2...2
2
2
n 1
n 1 lan
Câu 17.
Chọn
B.
u
1 2
u 2u
1
2
Ta có: u3 2u2 . Nhân hai vế ta được u1.u2 .u3 ...un 2.2n 1.u1.u2 ...un 1 un 2n
...
un 2un1
Câu 18. Chọn
D.
1
u1 2
u2 2u1
1
Ta có: u3 2u2 . Nhân hai vế ta được u1.u2 .u3 ...un .2n 1.u1.u2 ...un1 un 2n 2
2
...
un 2un 1
Câu 19. Theo hệ thức đã cho ta có:
un un 1 (n 1)3 un 2 (n 2)3 (n 1)3 ... u1 13 23 ... (n 1)3 .
Lại có 13 23 ... (n 1)3 (1 2 ... (n 1)) 2
(n 1) 2 n 2
.
4
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
11
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
2
ĐT:0946798489
2
n (n 1)
n(n 1)
un 1
.
4
2
Sử dụng mode 7 cho n chạy từ 2017 đến 2020 , ta được kết quả n 2020 .
Câu 20. Với n 1 ta có: u 2 u1 3 4 2 2 .
Suy ra: un 1
Với n 2 ta có: u3 u2 2.2 1 9 32 .
Với n 3 ta có: u4 u3 2.3 1 16 4 2 .
Từ đó ta có: u n n 2 .
n 1 L
Suy ra un 2017 n 2018 0 n 2 2017 n 2018 0
.
n 2018 N
1
Câu 21. Ta có: un
3
4 3
n n . 4 n 1 4 n . n 1 4 n 1
1
n
4
n 4 n 1 n 1.
4
n 4 n 1
1
4
4
n 4 n 1
n n 1
n 1 n
n 4 n 1
n 1 n .
4
n 1 4 n
n 1 n
n 1 n .
4
4
Do đó S 4 2 4 1 4 3 4 2 ... 4 20184 1 1 4 20184 1
1 4 20184 1 2018 2017 .
2 2n 1 un 1 1
1
1
4n 2
4 n 1 2 4n 2
Câu 22. - Ta có:
un
un 1
un
un 1
Tương tự ta đươc:
1
1
3
4n 2 8n 3
4.1 2 4.2 2 ... 4n 2 2n 2n n 1
un 1 u1
2
2
2
2
un 1 2
4n 8n 3 2n 1 2n 3
1
1
2
un
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
n
2018
1
4036
2n
uk
.
2n 1 2 n 1
4037
k 1
k 1
Câu 23. Đáp án. A.
Dãy un có số hạng tổng quát là un 1 5n 1 5n 4,
uk 1
1 n 2018 .
Dãy vm có số hạng tổng quát là vm 4 3 m 1 3m 1, 1 m 2018 .
1 m, n 2018
Một số có mặt trong cả hai dãy số trên nếu tồn ại m, n thỏa mãn điều kiện:
.
um un (*)
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
12
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Ta có * 5n 4 3m 1 5 n 1 3m **
Từ ** suy ra m 5 , mặt khác 1 m 2018 nên ta được tập các giá trị của m là 5;10;...;2015
.
3.2015
Xét với m 2015 thì n
1 1210 2018 , thỏa điều kiện 1 n 2018 .
5
Do tập 5;10;...;2015 có 403 số nên có tất cả 403 số có mặt trong cả hai dãy đã cho.
DẠNG 2. TÌM HẠNG TỬ TRONG DÃY SỐ
Câu 24. Chọn
D.
2
3
u1 1, u2 , u3 .
3
7
Câu 25. Chọn D
1
1
Ta có u1 1 2
.
1 1 2
Câu 26.
Chọn A
Giả sử un 19 , n * .
Suy ra n 2 n 1 19
n 2 n 20 0
n 5
.
n 4 l
Vậy số 19 là số hạng thứ 5 của dãy.
Câu 27. Chọn A
un 3n u2 n 1 32 n 1 3n.3n 1
Câu 28. Chọn C
99
Ta có: u99 1 cos 99 cos 98 cos 1.
Câu 29.
Hướng dẫn giải
Chọn
A.
2
2
a. n 1
a n 1
Ta có un 1
.
n 1 1 n 2 2
Câu 30.
Câu 31.
Câu 32.
Câu 33.
Câu 34.
Chọn
A.
Ta có: u2019 2.2019 1 4039 .
Chọn C
Ta có u2018 1 22018.
Chọn D
50 2
48
Ta có: u50
.
3.50 1 151
Chọn D
112 2.11 1 71
Ta có: u11
.
11 1
6
Chọn C
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
13
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
n 12
n 12
Ta có: un 12 2017 sin
2018cos
2
3
n
n
2017 sin
6 2018 cos
4
2
3
n
n
*
2017 sin
2018cos
u n , n .
2
3
Câu 35.
Lời giải
Chọn B
n 19
2n 1 39
2
39n 724n 323 0
Ta có 2
, do n * nên n 19 .
17
n
n 1 362
39
Câu 36.
Chọn B
Ta có u3 u2 u1 2 .
u 4 u3 u 2 3 .
Câu 37. Chọn B
Cách 1:
u1 5, u2 6, u3 8, u4 11, u5 15, u6 20
Vậy số 20 là số hạng thứ 6 .
Cách 2:
Dựa vào công thức truy hồi ta có
u1 5
u2 5 1
u3 5 1 2
u4 5 1 2 3
.....
un 5 1 2 ... n 1 5
20 5
n n 1
2
n n 1
n 6
n * n2 n 30 0
2
n 5(lo¹ i)
Vậy 20 là số hạng thứ 6 .
Cách 3: Sử dụng máy tính CASIO fx – 570VN PLUS
1 SHIFT STO A
5 SHIFT STO B
Ghi vào màn hình C = B + A: A = A + 1: B = C
Ấn CALC và lặp lại phím =
Ta tìm được số 20 là số hạng thứ 6
2101 1
Câu 38. Ta có: u10
51,3 .
10
Câu 39. Ta có u2 u1 1 5 ; u3 u2 2 7 ; u4 u3 3 10 . Do đó số hạng thứ 5 của dãy số là
u5 u4 4 14 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
14
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 40.
ĐT:0946798489
Đặt vn un 1 un n , suy ra vn là một câp số cộng với số hạng đầu v1 u2 u1 1 và công sai
d 1.
Xét tổng S217 v1 v2 ... v217 .
Ta có S217 v1 v2 ... v217
Mà vn un 1 un suy ra S 217
217. v1 v217
217. 1 217
23653 .
2
2
v1 v2 ... v217 u2 u1 u3 u2 ... u218 u217 u218 u1
u218 S 217 u1 23653 .
DẠNG 3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM
Câu 41.
Hướng dẫn giải
Chọn
B.
Ta có un 1 un a.3n1 a.3n a.3n 3 1 2a.3n .
Câu 42.
Hướng dẫn giải
Chọn
B.
1
1
2 n 1
2n 1
Ta có un 1 un a 1 .
1 a . 2
.
a 1 . 2
2
2
2
2
n 1 n
n
n
1
n
n
1
Câu 43.
Hướng dẫn giải
Chọn
B.
Số hạng thứ n của dãy là un
k
.
3n
Câu 44.
Hướng dẫn giải
Chọn
Ta có un 1
B.
a 1
n 1
2
.
Câu 45.
Hướng dẫn giải
Chọn
C.
Chọn a 0 thì un 0 ,dãy un không tăng, không giảm.
Câu 46. Chọn B
Ta có
U n 1 2n U n 1 1 2(n 1) U n 1 U n 2 0 suy ra là dãy tăng.
U n 1 là dãy số không đổi.
n
U n 6 U n1 6
n 1
U n1 6.6n
n 6 1 suy ra là dãy tăng.
Un
6
U n n 2 n 1 U n 1 n 3 n 2
U n 1 n 2 n 1
0
Un
n2 n3
suy ra là dãy giảm.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
15
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Câu 47.
Hướng dẫn giải
Chọn
Ta có :
D.
2
un 1 un n 1 n 1 1 n 2 n 1 n2 2n 1 n 2 n2 n 1 2n 0 n 1
Do đó un là một dãy giảm.
Câu 48.
Ta có un
Câu 49.
Xét A:
Ta có un
1
1
n 1 un 1 n * .
n
2
2
n3
n2
n2 n3
4
; un 1
. Khi đó: u n 1 un
0 n
n 1
n2
n 2 n 1 n 1 n 2
Vậy un là dãy số tăng.
Xét B:
n
n 1
n 1 n 1
0 n
Ta có un ; un 1
. Khi đó: un 1 un
2
2
2
2 2
Vậy un là dãy số tăng.
Xét C:
2
2
Ta có un 2 , un 1
2
n
n 1
un 1
n2
n2
1, n . Vậy un là dãy giảm.
2
2
un
n 1 n
Xét D:
1
1
1
Ta có u1 ; u2 ; u3
. Vậy un là dãy số không tăng không giảm.
3
9
27
5 3 n 1 5 3n
5 3n
2 3n 5 3n
, n * , ta có un 1 un
Câu 50. Xét un
2 n 1 3 2n 3 2n 5 2n 3
2n 3
2 3n 2n 3 2n 5 5 3n
2n 5 2n 3
19
0, n * .
2n 5 2n 3
4n 6n 2 6 9n 10n 6n 2 25 15n
2n 5 2n 3
5 3n
, n * là dãy giảm.
2n 3
Câu 51. Với mọi n , n 1 . Ta có
2 n 1 1 2n 1 2n 3 2n 1
un 1 un
n
n 1
n 1 1 n 1
Vậy un
2n 3 n 1 n 2n 1 2n 3 n 1 n 2n 1 3 0
, với mọi n , n 1 .
n n 1
n n 1
n n 1
Suy ra dãy số giảm.
DẠNG 4. DÃY SỐ BỊ CHẶN TRÊN, BỊ CHẶN DƯỚI
Câu 52. Chọn C
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
16
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dễ thấy un
ĐT:0946798489
1
n 1
n 1
1
1, n * nên un là dãy số bị chặn.
n 1
1
1
1
1
; u10 ; u11 ; u12 ;... suy ra dãy un không phải là dãy số tăng cũng
10
11
12
13
không phải là dãy số giảm.
Do đó đáp án C sai.
Lại có u9
Câu 53.
Câu 54.
Chọn
B.
Chọn
D.
Dãy số không tăng không giảm.
Câu 55.
Hướng dẫn giải
Chọn
C.
Dãy un là một dãy đan dấu.
Câu 56.
Chọn A
n 1
n
(n 1) 2 n(n 2)
1
0, n .
Ta có un 1 un
n 2 n 1
(n 2)(n 1)
(n 2)(n 1)
Suy ra dãy số đã cho là dãy tăng.
Câu 57. Chọn
D.
Dãy 1, 2,3,..., n,... là dãy bị chặn dưới, không bị chặn trên nên không phải dãy số bị chặn.
1 1 1
1
,... là dãy bị chặn trên tại 1 và bị chặn dưới tại 0 .
Dãy 1, , , ,...,
3 5 7
2n 1
Do đó cả hai câu trên đều sai.
Câu 58.
Hướng dẫn giải
Chọn
B.
1
1
1
1
2
Ta có un 1 un
2
0
2
n 1 n 1 n n n 1 n 2 n n 1 n n 1 n 2
với
n 1.
Do đó un là dãy giảm.
Câu 59.
Năm số hạng đầu của dãy là:
1 2 3 4 5
;
;
;
;
.
2 3
4
5
6
Câu 60.
Hướng dẫn giải
Chọn
B.
1 1
1 .
n
1
bị chặn dưới bởi M 1 .
Nhận xét : un
Dãy số un
Câu 61.
Chọn B
Ta có: un
n 2018
1
2017.2019
.
2018n 1 2018 2018 2018n 1
Do đó un là dãy giảm, mà u1 1 , dễ thấy n * , un 0 0 u n 1.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
17
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Suy ra: Dãy un bị chặn.
Câu 62.
Chọn B
lim n 2 2 dãy số un n 2 2 không bị chặn.
n
1
1
1
1
un .
2n 1 2 2n 1 2
2
n
1
n
Mặt khác ta thấy ngay un
bị chặn.
0 n * 0 un dãy số un
2n 1
2
2n 1
Câu 63. Chọn
D.
1
1
1 5
4
Xét un 1 un 2 5 n 2 51n 5 n 51n n n1 n n n 0, n * .
5 5
5 5
5
un là dãy số giảm.
un
Ta có: un 2 51n 2, n * ; un 2
5
3, n * .
n
5
un là dãy số bị chặn.
Câu 64.
Xét dãy số un
2n 1
ta có:
n 1
2n 1
0; n * dãy un bị chặn dưới bởi giá trị 0 .
n 1
2n 1
1
2
2; n * dãy un bị chặn trên bởi giá trị 2 .
* un
n 1
n 1
dãy un là dãy bị chặn.
* un
Câu 65.
1
Đáp án B đúng vì dãy số
giảm và bị chặn dưới bởi 0.
n 1
1
Đáp án C đúng vì dãy số tăng và bị chặn trên bởi 0.
n
1
Đáp án D đúng vì dãy số n giảm và bị chặn dưới bởi 0.
3.2
Đáp án A sai vì dãy số 2n 1 tăng nhưng không bị chặn trên.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
18
