Chuyên đề 24 ứng dụng hình học giải tích Oxyz để giải quyết một số bài toán
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (854.03 KB, 28 trang )
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
ĐT:0946798489
CHUYÊN ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN
TRUY CẬP ĐỂ ĐƯỢC NHIỀU
ĐỀ 24
HƠN
MỤC LỤC
PHẦN A. CÂU HỎI ....................................................................................................................................................... 1
Dạng 1. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải quyết bài toán tìm GÓC.......................................................... 1
Dạng 2. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải quyết bài toán tìm THỂ TÍCH ............................................... 3
Dạng 3. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải quyết bài toán tìm KHOẢNG CÁCH .................................... 3
Dạng 4. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải quyết bài toán tìm BÁN KÍNH MẶT CẦU........................... 4
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ............................................................................................................................. 5
Dạng 1. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải quyết bài toán tìm GÓC.......................................................... 5
Dạng 2. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải quyết bài toán tìm THỂ TÍCH ............................................. 16
Dạng 3. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải quyết bài toán tìm KHOẢNG CÁCH .................................. 20
Dạng 4. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải quyết bài toán tìm BÁN KÍNH MẶT CẦU......................... 25
PHẦN A. CÂU HỎI
Dạng 1. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải quyết bài toán tìm GÓC
Câu 1. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho hình lập phương ABCD. ABC D có tâm O . Gọi I là
tâm của hình vuông ABC D và điểm M thuộc đoạn OI sao cho MO 2MI (tham khảo hình vẽ). Khi đó
sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng MC D và MAB bằng
A.
7 85
85
B.
17 13
65
C.
6 85
85
D.
6 13
65
Câu 2. (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho hình lập phương ABCD. ABC D có tâm O. Gọi I là
1
tâm của hình vuông ABC D và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO MI (tham khảo hình vẽ).
2
Khi đó cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng ( MC D) và ( MAB ) bằng
A.
6 13
.
65
B.
7 85
.
85
C.
6 85
.
85
D.
17 13
.
65
Câu 3. (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình hộp chữ nhật
ABCD.ABCD , có AB a , AD a 2, góc giữa AC và mặt phẳng ABCD bằng 30 . Gọi H là hình
chiếu vuông góc của A trên AB và K là hình chiếu vuông góc của A trên AD. Tính góc giữa hai mặt phẳng
AHK và ABBA .
A. 60 .
B. 45 .
C. 90 .
Nguyễn Bảo Vương: />
D. 30 .
1
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
ĐT:0946798489
Câu 4. (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho hình chóp S . ABCD có đáy
ABCD là hình vuông cạnh a , SAB là tam giác đều và SAB vuông góc với ABCD . Tính cos với
là góc tạp bởi SAC và SCD .
A.
3
.
7
B.
6
.
7
C.
5
.
7
D.
2
.
7
Câu 5. (THPT CHUYÊN SƠN LA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có đáy
ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh SA và BC , biết
a 6
. Khi đó giá trị sin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng SBD bằng
MN
2
2
3
5
A.
.
B.
.
C.
.
D. 3 .
5
3
5
Câu 6. (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh
a. Góc giữa hai mặt phẳng A ' B ' CD và ACC ' A ' bằng
A. 60.
B. 30.
C. 45.
D. 75.
Câu 7. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp O. ABC có ba cạnh OA , OB ,
OC đôi một vuông góc và OA OB OC a . Gọi M là trung điểm cạnh AB . Góc tạo bởi hai vectơ BC
và OM bằng
A. 135 .
B. 150 .
C. 120 .
D. 60 .
Câu 8. (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông có
độ dài đường chéo bằng a 2 và SA vuông góc với mặt phẳng ABCD . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng
SBD và ABCD . Nếu
A. 30 .
tan 2 thì góc giữa hai mặt phẳng SAC và SBC bằng
B. 60 .
C. 45 .
D. 90 .
Câu 9. (THPT NAM TRỰC - NAM ĐỊNH - 2018) Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có AB a ,
SA a 2 . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD . Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:
3
5
5
15
A. arccos
.
B. arccos
.
C. arccos
.
D. arccos
.
5
5
3
5
Câu 10. (CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho hình lăng trụ ABC. ABC có A. ABC là tứ diện đều
cạnh a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AA và BB . Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng ABC và
CMN .
A.
2
.
5
B.
3 2
.
4
C.
2 2
.
5
D.
4 2
.
13
Câu 11. (THPT CHuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Xét tứ diện OABC có OA ,
OB , OC đôi một vuông góc. Gọi , , lần lượt là góc giữa các đường thẳng OA , OB , OC với mặt
phẳng ABC (hình vẽ).
A
C
O
B
Nguyễn Bảo Vương: />
2
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
ĐT:0946798489
Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức M 3 cot . 3 cot . 3 cot là
2
2
2
A. 48 .
B. 125 .
C. Số khác.
D. 48 3 .
Dạng 2. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải quyết bài toán tìm THỂ TÍCH
Câu 12.
(Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S có tâm I 1; 2;1
và đi qua điểm A 1;0; 1 . Xét các điểm B , C , D thuộc S sao cho AB, AC , AD đôi một vuông góc với
nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng
32
64
A. 64
B.
C.
3
3
Câu 13.
D. 32
(Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S có tâm I 1;0; 2
và đi qua điểm A 0;1;1 . Xét các điểm B , C , D thuộc S sao cho AB , AC , AD đôi một vuông góc với
nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng
4
8
A.
B. 4
C.
3
3
D. 8
Câu 14. (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG GIA LAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz , cho
hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D có A trùng với gốc tọa độ O , các đỉnh B(a;0;0) , D(0; a;0) , A(0;0; b)
với a, b 0 và a b 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh CC . Thể tích của khối tứ diện BDAM có giá trị
lớn nhất bằng
64
32
8
4
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
27
27
27
27
Câu 15. (THPT-THANG-LONG-HA-NOI-NAM-2018-2019 LẦN 01) Cho hình lập phương
ABCD. ABC D cạnh a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và AB . Mặt phẳng MND ' chia khối
lập phương thành hai khối đa diện, trong đó khối chứa điểm C gọi là H . Tính thể tích khối H .
A.
55a 3
.
72
B.
55a 3
.
144
C.
181a3
.
486
D.
55a 3
.
48
Câu 16. (THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz ,
cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D có A trùng với gốc tọa độ O các đỉnh
B m;0;0 , D 0; m;0 , A 0;0; n với m, n 0 và m n 4. Gọi M là trung điểm của cạnh CC . Khi đó thể
tích tứ diện BDAM đạt giá trị lớn nhất bằng
9
64
75
245
A. .
B.
.
C.
.
D.
.
4
27
32
108
Dạng 3. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải quyết bài toán tìm KHOẢNG CÁCH
Câu 17. (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình
chóp S . ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết A 0;0;0 , D 2; 0;0 , B 0; 4;0 , S 0; 0; 4 . Gọi M là
trung điểm của SB . Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng CDM .
A. d B, CDM 2 .
C. d B, CDM
B. d B, CDM 2 2 .
1
. D. d B, CDM 2 .
2
Nguyễn Bảo Vương: />
3
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
ĐT:0946798489
Câu 18. (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC
có đáy ABC là tam giác vuông cân, AB AC a , AA h a, h 0 . Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau AB và BC theo a , h .
ah
ah
ah
ah
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
a 2 5h2
5a 2 h2
2a2 h2
a 2 h2
Câu 19. (TT HOÀNG HOA THÁM - 2018-2019) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh
2a 3 , mặt bên SAB là tam giác cân với
ASB 1200 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là
trung điểm của SC và N là trung điểm của MC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM , BN .
A.
2 327a
.
79
B.
237a
.
79
C.
2 237a
.
79
D.
5 237a
.
316
Câu 20. (CỤM LIÊN TRƯỜNG HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp S . ABC có đáy
là tam giác đều cạnh bằng a . Gọi I là trung điểm của AB , hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC là trung
điểm của CI , góc giữa SA và mặt đáy bằng 450 (hình vẽ bên). Gọi G là trọng tâm tam giác SBC . Khoảng
cách giữa hai đường thẳng SA và CG bằng
A.
a 21
14
B.
a 14
8
C.
a 77
22
D.
a 21
7
Câu 21. (THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN - ĐÀ NẴNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình lập phương
ABCD. ABC D cạnh bằng a . Gọi K là trung điểm DD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK và
AD .
4a
a
2a
3a
A.
.
B. .
C.
.
D.
.
3
3
3
4
Dạng 4. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải quyết bài toán tìm BÁN KÍNH MẶT CẦU
Nguyễn Bảo Vương: />
4
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
ĐT:0946798489
Câu 22. (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là
hình vuông cạnh a , SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng với đáy. Gọi M và N lần lượt là trung
điểm của BC và CD . Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .CMN bằng
A.
Câu 23.
a 93
.
12
B.
a 29
.
8
C.
5a 3
.
12
D.
a 37
.
6
(CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 5; 0;0
và B 3; 4;0 . Với C là điểm nằm trên trục Oz , gọi H là trực tâm của tam giác ABC . Khi C di động trên
trục Oz thì H luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn đó bằng
5
3
5
A.
.
B.
.
C.
.
D.
4
2
2
3.
Câu 24. (CHUYÊN VINH - LẦN 2 - 2018) Trong không gian Oxyz , cho các điểm A , B , C (không trùng
O ) lần lượt thay đổi trên các trục Ox , Oy , Oz và luôn thỏa mãn điều kiện: tỉ số giữa diện tích của tam giác
3
ABC và thể tích khối tứ diện OABC bằng . Biết rằng mặt phẳng ABC luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố
2
định, bán kính của mặt cầu đó bằng
A. 3.
B. 2.
C. 4.
D. 1.
(THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - TPHCM - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,
x 1 y 1 z 1
x 3 y 1 z 2
x 4 y 4 z 1
cho 3 đường thẳng d1 :
, d2 :
, d3 :
. Mặt cầu
2
1
2
1
2
2
2
2
1
bán kính nhỏ nhất tâm I a; b; c , tiếp xúc với 3 đường thẳng d1 , d 2 , d 3 . Tính S a 2b 3c .
Câu 25.
A. S 10 .
B. S 11 .
C. S 12 .
D. S 13 .
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
Dạng 1. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải quyết bài toán tìm GÓC
Câu 1. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho hình lập phương ABCD. ABC D có tâm O . Gọi I là
tâm của hình vuông ABC D và điểm M thuộc đoạn OI sao cho MO 2MI (tham khảo hình
vẽ). Khi đó sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng MC D và MAB bằng
A.
7 85
85
B.
17 13
65
6 85
85
Lời giải
C.
D.
6 13
65
Chọn C
Nguyễn Bảo Vương: />
5
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
ĐT:0946798489
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, cạnh hình lập phương là 1, ta được tọa độ các điểm như sau :
1 1 1
M ; ; , C 0;1;0 , D 1;1;0 và A 1;0;1 , B 0;0;1 .
2 2 6
5.1 3.3
Khi đó n MC D 0;1;3 ; n MAB 0;5;3 nên cos
MAB , MC D 2 2 2 2
5 3 . 1 3
2
7 85
6 85
7 85
. Suy ra sin
.
MAB , MC D 1
85
85
85
Câu 2. (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho hình lập phương ABCD. ABC D có tâm O. Gọi I
1
là tâm của hình vuông ABC D và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO MI (tham
2
khảo hình vẽ). Khi đó cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng ( MC D) và ( MAB ) bằng
A.
6 13
.
65
B.
7 85
.
85
C.
6 85
.
85
D.
17 13
.
65
Lời giải
Nguyễn Bảo Vương: />
6
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
ĐT:0946798489
Không mất tính tổng quát ta đặt cạnh của khối lập phương là 1.
Chọn hệ trục tọa độ sao cho A(0; 0; 0), B (1; 0; 0), D (0;1; 0) và A(0; 0;1) (như hình vẽ).
1 1 1
Khi đó ta có: M ; ; .
2 2 3
1 1 2
2 1
Suy ra: AB (1; 0; 0), MA ; ; AB, MA 0; ; n1 (0; 4;3) là VTPT của
3 2
2 2 3
mặt phẳng ( MAB ).
1 1 1
1 1
DC (1; 0;0), MD ; ; DC , MD 0; ; n2 (0; 2; 3) là VTPT của mặt
2 2 3
3 2
phẳng ( MC D) .
cosin của góc giữa hai mặt phẳng ( MAB ) và ( MC D) bằng:
n1.n2
0.0 4.2 3.(3)
17 13
cos(n1 , n2 )
.
2
2
2
2
2
2
n1 . n2
65
0 (4) 3 . 0 2 (3)
Câu 3. (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình hộp chữ nhật
ABCD.ABCD , có AB a , AD a 2, góc giữa AC và mặt phẳng ABCD bằng 30 . Gọi H
là hình chiếu vuông góc của A trên AB và K là hình chiếu vuông góc của A trên AD. Tính góc
giữa hai mặt phẳng AHK và ABBA .
A. 60 .
B. 45 .
C. 90 .
Lời giải
Nguyễn Bảo Vương: />
D. 30 .
7
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
ĐT:0946798489
Do ABCD.ABCD là hình hộp chữ nhật nên A ' C ' là hình chiếu vuông góc của A ' C trên
( ABCD) ( A ' C , ( ABCD)) ( A ' C , A ' C ') CA
' C ' 300.
CC '
'C '
CC ' a.
Ta có AC AB 2 AD 2 a 3; tan CA
A'C '
Kết hợp với giả thiết ta được ABB ' A ' là hình vuông và có H là tâm.
Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của K trên A ' D '& A ' A.
Ta có
1
1
1
a 6
a
;
AK
; A ' K A ' A2 AK 2
2
2
2
AK
A ' A AD
3
3
1
1
1
a 2
a
KF
; KE A ' K 2 KF 2 KE .
2
2
2
KF
KA A ' K
3
3
Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn O A ' còn D, B, A theo thứ tự thuộc các tia
Ox, Oy, Oz. Khi đó ta có tọa độ các điểm lần lượt là:
a a
a 2
a
a 2
a 2
A(0;0; a), B '(0; a;0), H (0; ; ), K (
;0; ), E (
;0;0), F (0;0;
).
2 2
3
3
3
3
Mặt phẳng ABB ' A ' là mặt phẳng ( yOz) nên có VTPT là n1 (1; 0; 0);
a2
Ta có AK , AH n 2 , n 2 (2; 2; 2).
6
Mặt phẳng ( AKH ) có VTPT là n 2 (2; 2; 2 );
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng AHK và ABBA .
1
450.
Ta có cos cos (n1 , n 2 )
2
Câu 4. (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho hình chóp S . ABCD có đáy
ABCD là hình vuông cạnh a , SAB là tam giác đều và SAB vuông góc với ABCD . Tính cos
với là góc tạp bởi SAC và SCD .
A.
3
.
7
B.
6
.
7
5
.
7
Lời giải
C.
Nguyễn Bảo Vương: />
D.
2
.
7
8
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
ĐT:0946798489
Chú ý: Ta có thể giải bài toán với cạnh hình vuông a 1 .
Gọi O, M lần lượt là trung điểm của AB, CD . Vì SAB là tam giác đều và SAB vuông góc với
ABCD nên
SO ABCD .
3
1
Xét hệ trục Oxyz có O 0;0;0 , M 1;0;0 , A 0; ;0 , S 0;0;
. Khi đó
2
2
1 1
C 1; ;0 , D 1; ;0 .
2 2
1 3
1 3
Suy ra SA 0; ;
, AC 1; 1;0 , SC 1; ;
, CD 0;1;0 .
2 2
2 2
3 3 1
Mặt phẳng SAC có véc tơ pháp tuyến n1 SA, AC
;
; .
2 2
2
3
Mặt phẳng SAD có véc tơ pháp tuyến n1 SC , CD
;0;1 .
2
n1.n2
5
Vậy cos .
n1 . n2 7
Câu 5. (THPT CHUYÊN SƠN LA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có đáy
ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh SA và
a 6
BC , biết MN
. Khi đó giá trị sin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng SBD bằng
2
2
3
5
A.
.
B.
.
C.
.
D. 3 .
5
3
5
Lời giải
Nguyễn Bảo Vương: />
9
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
ĐT:0946798489
Gọi I hình chiếu của M lên ABCD , suy ra I là trung điểm của AO .
Khi đó CI
3
3a 2
.
AC
4
4
Xét CNI có: CN
a
, NCI 45o .
2
Áp dụng định lý cosin ta có:
NI CN 2 CI 2 2CN .CI .cos 45o
a 2 9a 2
a 3a 2 2 a 10
.
2. .
.
4
8
2 4
2
4
Xét MIN vuông tại I nên MI MN 2 NI 2
Mà MI / / SO, MI
3a 2 5a 2 a 14
.
2
8
4
1
a 14
.
SO SO
2
2
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ:
2
2 2
2
2
Ta có: O 0;0;0 , B 0;
, D 0;
, C
, N
,
;
0
;
0
;
0
;
0
2
4 ; 4 ; 0
2
2
2
14
2
14
A
; 0; 0 , S 0; 0;
; 0;
, M
.
2
4
4
4
2 2
14
2
14
Khi đó MN
;
;
;
, SB 0;
2 4
4
2
2
Vectơ pháp tuyến mặt phẳng SBD : n SB SD
2
14
;
, SD 0;
.
2
2
7 ; 0; 0 .
2
7.
MN .n
2
3
Suy ra sin MN , SBD
.
3
6
MN . n
7.
2
Câu 6. (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có
cạnh a. Góc giữa hai mặt phẳng A ' B ' CD và ACC ' A ' bằng
Nguyễn Bảo Vương: />
10
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
A. 60.
B. 30.
ĐT:0946798489
C. 45.
Lời giải
D. 75.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ O A ', Ox A ' D ', Oy A ' B ', Oz A ' A.
Khi đó: A '(0; 0; 0) , D '( a; 0; 0) , B '(0; a ; 0) , C '( a; a; 0) ,
A(0; 0; a ) , D ( a ; 0; a ) , B (0; a ; a ) , C ( a ; a ; a ) .
A ' B ' (0; a; 0), A ' D ( a; 0; a ), A ' A (0; 0; a ), A ' C ' ( a; a; 0).
A ' B ', A ' D (a 2 ; 0; a 2 ).
Chọn n1 (1;0; 1) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng A ' B ' CD .
A ' A, A ' C (a 2 ; a 2 ;0).
Chọn n2 (1;1;0) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ACC ' A ' .
Góc giữa hai mặt phẳng A ' B ' CD và ACC ' A ' là:
1
1
cos = cos n1 , n2
60.
2. 2 2
Câu 7. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp O. ABC có ba cạnh OA , OB
, OC đôi một vuông góc và OA OB OC a . Gọi M là trung điểm cạnh AB . Góc tạo bởi hai
vectơ BC và OM bằng
A. 135 .
B. 150 .
C. 120 .
D. 60 .
Lời giải
A
M
C
O
B
Cách 1:
1
1
a2
OM OA OB
2
Ta có
OM .BC OB 2 .
2
2
BC OC OB
BC OB 2 OC 2 a 2 và OM
1
1
a 2
.
AB
OA2 OB 2
2
2
2
Nguyễn Bảo Vương: />
11
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
ĐT:0946798489
2
a
OM .BC
1
2
Do đó: cos OM , BC
OM .BC 120 .
OM .BC a 2
2
.a 2
2
Cách 2:
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.
a a
Ta có: O 0;0;0 , A 0; a ;0 , B a ;0;0 , C 0;0; a , M ; ; 0 .
2 2
a a
Khi đó ta có: BC a ;0; a , OM ; ; 0
2 2
a2
BC .OM
1
2
cos BC ; OM
BC ; OM 120 .
BC .OM
2
a 2
a. 2.
2
Câu 8. (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông có
độ dài đường chéo bằng a 2 và SA vuông góc với mặt phẳng ABCD . Gọi là góc giữa hai
mặt phẳng SBD và ABCD . Nếu tan 2 thì góc giữa hai mặt phẳng SAC và SBC
bằng
A. 30 .
B. 60 .
C. 45 .
D. 90 .
Lời giải
Gọi I AC BD .
Hình vuông ABCD có độ dài đường chéo bằng a 2 suy ra hình vuông đó có cạnh bằng a .
Nguyễn Bảo Vương: />
12
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
ĐT:0946798489
SBD ABCD BD
.
Ta có SI BD
SI ; AI SIA
SBD ; ABCD
AI BD
SA SA a .
Ta có tan tan SIA
AI
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Ta có A 0;0;0 , B a;0;0 , C a; a;0 , S 0;0; a .
Khi đó SA 0;0; a ; SC a; a; a ; SB a;0; a .
Mặt phẳng SAC có vectơ pháp tuyến n1 1;1;0 .
Mặt phẳng SBC có vectơ pháp tuyến n2 1;0;1 .
n1.n2
1
1
SAC ; SBC 60 .
Suy ra cos SAC ; SBC
n1 . n2
2. 2 2
Câu 9. (THPT NAM TRỰC - NAM ĐỊNH - 2018) Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có AB a ,
SA a 2 . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD . Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA
bằng:
3
5
5
15
A. arccos
.
B. arccos
.
C. arccos
.
D. arccos
.
5
5
3
5
Lời giải
Gọi O AC BD .
Tam giác SAO vuông : SO SA2 AO 2
a 6
2
Gắn tọa độ như hình vẽ
a a a a a 6
A 0;0;0 , B a;0;0 , C a; a;0 , D 0; a;0 , O ; ;0 , S ; ;
.
2 2 2 2 2
a 5a a 6
Vì G là trọng tâm tam giác SCD nên G ; ;
.
2
6
6
a a a 6 a
a 5a a 6 a
Ta có : AS ; ;
1;1; 6 , BG ; ;
3;5; 6 .
2
2
2
2
6
6
2
6
Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:
BG. AS
3 5 6
5
.
cos BG; SA
BG. AS
5
40. 8
Nguyễn Bảo Vương: />
13
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
ĐT:0946798489
Câu 10. (CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho hình lăng trụ ABC. ABC có A. ABC là tứ diện đều
cạnh a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AA và BB . Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng
ABC và CMN .
A.
2
.
5
B.
3 2
.
4
2 2
.
5
Lời giải
C.
D.
4 2
.
13
Gọi O là trung điểm của AB . Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho O 0; 0;0 ,
3
3
3 6
a 6
1
1
;0 , H 0;
;0 , AH
A 0;
;
A ; 0;0 , B ; 0; 0 , C 0;
3
2
2
2
6
6 3
3 6
;
Ta có AB AB B 1;
. Dễ thấy ABC có vtpt n1 0;0;1 .
6 3
1 3 6
3 3 6
M là trung điểm AA M ;
;
;
, N là trung điểm BB N ;
4 12 6
4 12 6
1 5 3 6
MN 1;0;0 , CM ;
;
6
4 12
6 5 3
3
;
CMN có vtpt n2 0;
0; 2 2;5
12
6
12
cos
Câu 11.
1
5
2 2
tan
1
2
5
cos
33
(THPT CHuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Xét tứ diện OABC có
OA , OB , OC đôi một vuông góc. Gọi , , lần lượt là góc giữa các đường thẳng OA , OB ,
OC với mặt phẳng ABC (hình vẽ).
Nguyễn Bảo Vương: />
14
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
ĐT:0946798489
A
C
O
B
Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức M 3 cot 2 . 3 cot 2 . 3 cot 2 là
A. 48 .
B. 125 .
C. Số khác.
Lời giải
D. 48 3 .
Chọn B
Gọi H là trực tâm tam giác ABC , vì tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc nên ta
1
1
1
1
có OH ABC và
.
2
2
2
OH
OA OB OC 2
,
,
.
Ta có
OA; ABC OAH
OB; ABC OBH
OC ; ABC OCH
OH
OH
OH
, sin
, sin
.
OA
OB
OC
1
1
1 1
Đặt a OA , b OB , c OC , h OH thì 2 2 2 2 và
h
a
b
c
1
1
M 3 cot 2 . 3 cot 2 . 3 cot 2 2 2 . 2 2
sin
sin
Nên sin
1
. 2 sin 2
a2
b2
c2
1
1
1
2 2 . 2 2 . 2 2 8 4 a 2 b 2 c 2 . 2 2 a 2b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 . 4 a 2 b 2 c 2 . 6 .
h
h
h
h
h
h
Ta có: a 2 b 2 c 2 .
1 1 1
1 1
1
1
a 2 b 2 c 2 . 2 2 2 3 3 a 2 .b 2 .c 2 .3 3 2 . 2 . 2 9 .
2
a b c
h
b c
a
a b b c c a . h14 a 2b2 b2c 2 c 2 a 2 . a12 b12 c12
2 2
2 2
2
2
2
2
1 1 1
1
3 3 a 2b 2 .b 2c 2 .c 2 a 2 . 3 3 2 . 2 . 2 3 3 a 4b 4 c 4 .9 3 4 4 4 27 .
a b c
abc
3
3
1 1 1
1 1
1
2 2 2 1
a b c . 6 a b c . 2 2 2 a 2b 2c 2 . 3 3 2 . 2 . 2 27 .
a b c
h
a b c
2 2 2
Do đó:
Nguyễn Bảo Vương: />
15
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
ĐT:0946798489
1
1
1
2 a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 . 4 a 2b 2 c 2 . 6
2
h
h
h
8 4.9 2.27 27 125 .
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c , hay OA OB OC .
Vậy min M 125 .
M 8 4 a 2 b2 c 2 .
A
α
a
H
h
c
O
C
b
B
Dạng 2. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải quyết bài toán tìm THỂ TÍCH
Câu 12.
(Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S có tâm I 1; 2;1
và đi qua điểm A 1;0; 1 . Xét các điểm B , C , D thuộc S sao cho AB, AC , AD đôi một vuông
góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng
32
64
A. 64
B.
C.
D. 32
3
3
Lời giải
Chọn B
Nguyễn Bảo Vương: />
16
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
ĐT:0946798489
D
N
I
C
A
M
B
Mặt cầu S có bán kính r IA 4 4 4 2 3.
Đặt AB a; AC b; AD c
a2 b2 c2
Ta có IA
4
2
2
2
a b c
Do đó
12
4
2
a 2 b 2 c 2 3 3 a 2b 2 c 2
Theo BĐT Cô-si ta có:
4
4
1
1
32
Do đó V abc
163 .
6
6
3
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c. .
Câu 13.
(Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S có tâm I 1;0; 2
và đi qua điểm A 0;1;1 . Xét các điểm B , C , D thuộc S sao cho AB , AC , AD đôi một vuông
góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng
4
8
A.
B. 4
C.
D. 8
3
3
Lời giải
Chọn C
D
a
R
c
I
C
A
b
M
B
Nguyễn Bảo Vương: />
17
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
ĐT:0946798489
Đặt: AD a , AB b , AC c .
Ta có:
R IA 3 .
b2 c 2
a
b2 a2 c2
; IM R 2 IA2
3.
2
2
4
AM
AD BĐT Cosi: b 2 a 2 c 2 3 3 b 2 a 2 c 2 b 2 a 2 c 2
V
Câu 14.
b
2
a2 c2
27
3
abc 8 .
1
1
4
abc .8 .
6
6
3
(CHUYÊN HÙNG VƯƠNG GIA LAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz , cho
hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D có A trùng với gốc tọa độ O , các đỉnh B(a;0;0) , D(0; a;0) ,
A(0;0; b) với a, b 0 và a b 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh CC . Thể tích của khối tứ diện
BDAM có giá trị lớn nhất bằng
64
32
8
4
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
27
27
27
27
Lời giải
z
A'
D '
B'
C '
M
y
A
D
x
C
B
b
Tọa độ điểm C ( a; a;0), C '( a; a; b), M ( a; a; ) .
2
b
BA ' (-a; 0; b), BD (-a; a;0), BM (0; a; ) .
2
2
BA ', BD ( ab; ab; b 2 ) nên VBDA ' M 1 BA ', BD .BM a b .
6
4
3
32
8
a a 2b 64
Ta có: a.a.(2b)
.
a 2b
VBDA ' M
3
27
27
27
Câu 15.
(THPT-THANG-LONG-HA-NOI-NAM-2018-2019 LẦN 01) Cho hình lập phương
ABCD. ABC D cạnh a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và AB . Mặt phẳng MND '
chia khối lập phương thành hai khối đa diện, trong đó khối chứa điểm C gọi là H . Tính thể tích
khối H .
55a 3
A.
.
72
55a 3
B.
.
144
181a3
C.
.
486
Nguyễn Bảo Vương: />
55a 3
D.
.
48
18
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
ĐT:0946798489
Lời giải
Thể tích khối lập phương bằng a3 .
Mặt phẳng MND cắt cạnh DC tại E thỏa EC
1
1
DC ; cắt BB tại P sao cho BP BB .
4
3
Khi đó V H VC .DNPME VC .CEM VC . BPN .
1 a 2a a 3
a. .
6 2 3 18
1 a a a3
VC .C ME a. .
.
6 4 2 48
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ; lấy đơn vị trên trục 1 đơn vị bằng a .
1
1
1
1
Ta có C 0;0;0 , C 0;0;1 , E ; 0;0 , M 0; ;0 , R 0;0; , Q ;1;0 , D 1; 0;1 .
3
4
2
4
Có VB.C NP
4 29
x y
z
1 4 x 2 y 3 z 1 0 d C , MND
1 1
1
29
4 2
3
29 1 29 11 29
S MPNDE S EQND S PMQ
4
12 4
48
1
11 3
VC . DNPME d C , MND .S DNPME
a .
3
36
55 3
Vậy V H
a .
144
Mặt phẳng MND :
Câu 16.
(THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz ,
cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D có A trùng với gốc tọa độ O các đỉnh
B m;0;0 , D 0; m;0 , A 0;0; n với m, n 0 và m n 4. Gọi M là trung điểm của cạnh CC .
Khi đó thể tích tứ diện BDAM đạt giá trị lớn nhất bằng
Nguyễn Bảo Vương: />
19
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
A.
9
.
4
B.
64
.
27
75
.
32
Lời giải
C.
ĐT:0946798489
D.
245
.
108
z
n
A'
D'
a
C'
B'
M
D y
m
A
m
x
B
C
n
M m; m;
2
BA m;0; n
Ta có BD m; m;0
n
BM 0; m;
2
BA; BD mn; mn; m 2
n
3
BA; BD .BM m 2 n m 2 . m 2 n
2
2
3
1 1 2
1 2
1
1 8 64
VBADM . BA; BD .BM m n m 4 m m.m 8 2m . .
6
4
4
8
8 3 27
Dạng 3. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải quyết bài toán tìm KHOẢNG CÁCH
Câu 17.
(ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho
hình chóp S . ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết A 0;0;0 , D 2; 0;0 , B 0; 4;0 , S 0; 0; 4
. Gọi M là trung điểm của SB . Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng CDM .
A. d B, CDM 2 .
C. d B, CDM
B. d B, CDM 2 2 .
1
. D. d B, CDM 2 .
2
Lời giải
Nguyễn Bảo Vương: />
20
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
ĐT:0946798489
xA xC xB xD
xC 2
Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên y A yC yB yD yC 4 C 2; 4; 0 .
z z z z
z 0
B
D
A C
C
M là trung điểm của SB M 0; 2; 2 .
Viết phương trình mặt phẳng CDM :
CD 0; 4; 0 , CM 2; 2; 2 CD CM 8; 0; 8 .
CDM có một véc tơ pháp tuyến n 1; 0;1 .
Suy ra CDM có phương trình: x z 2 0 .
Vậy d B; CDM
Câu 18.
002
12 02 12
2.
(ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hình lăng trụ đứng
ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân, AB AC a , AA h a, h 0 . Tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và BC theo a , h .
ah
ah
ah
ah
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2
2
2
2
2
2
2
a 5h
5a h
2a h
a h2
Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
A 0;0;0 ; A 0;0; h ; C 0; a;0 ; B a;0;0 ; B a;0; h ; C 0; a; h .
AB a;0; h ; BC a; a; h ; AB; BC ah; 2ah; a 2 ; AB a;0;0 .
Nguyễn Bảo Vương: />
21
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
ĐT:0946798489
AB; BC . AB
ah
.
d AB; BC
2
2
AB; BC
a
5
h
Câu 19.
(TT HOÀNG HOA THÁM - 2018-2019) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều
cạnh 2a 3 , mặt bên SAB là tam giác cân với
ASB 1200 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với
đáy. Gọi M là trung điểm của SC và N là trung điểm của MC . Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng AM , BN .
A.
2 327a
.
79
B.
237a
.
79
2 237a
.
79
Lời giải
C.
D.
5 237a
.
316
Gọi O là trung điểm AB , SAB cân tại S SO AB .
Ta có:
Nguyễn Bảo Vương: />
22
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
ĐT:0946798489
SAB ABC gt
SAB ABC AB SO ABC .
SO AB cmt
OB
a
tan 600
Ta có: OC là đường cao của tam giác đều cạnh 2a 3 nên: OC 3a
Gắn hình chóp S.ABC lên hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó ta có:
O 0; 0; 0 ,B a 3 ; 0; 0 , A a 3 ; 0; 0 ;C 0; 3a; 0 ; S 0; 0;a AB 2a 3 ; 0; 0
600 SO
Xét SOB vuông tại O có OSB
3a a
M là trung điểm SC nên M có tọa độ: 0; ; .
2 2
9a a
N là trung điểm MC nên N có tọa độ: 0; ; .
4 4
3a a
AM có véc tơ chỉ phương AM a 3 ; ; hay a 2 3 ; 3;1
2 2
9a a
BN có véc tơ chỉ phương BN a 3 ; ; hay b 4 3 ; 9;1
4 4
a,b .AB
2 237
a
Ta có: d AM ; BN
79
a,b
Câu 20.
(CỤM LIÊN TRƯỜNG HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp S . ABC có
đáy là tam giác đều cạnh bằng a . Gọi I là trung điểm của AB , hình chiếu của S lên mặt phẳng
ABC là trung điểm của CI , góc giữa SA và mặt đáy bằng 450 (hình vẽ bên). Gọi G là trọng
tâm tam giác SBC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CG bằng
A.
a 21
14
B.
a 14
8
a 77
22
Lời giải
C.
D.
a 21
7
Chọn B
a
a
a 3
Đặt hệ trục tọa độ Oxyz sao cho I 0; 0; 0 , A ; 0;0 , B ; 0; 0 , C 0;
; 0 .
2
2
2
Ta có CI
a 3
a 3
a 7
, IH
, AH
2
4
4
Nguyễn Bảo Vương: />
23
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
ĐT:0946798489
a 3
H là trung điểm CI suy ra H 0;
; 0 .
4
SH a 7 S 0; a 3 ; a 7 .
450 SA, ABC SA, AH SAH
4
4
4
a a 3 a 7 a a 3 a 7 a a 3
Ta có: SA ;
;
;
; 0
, CG ;
, CA ;
2
4
4
6
4
12
2
2
a 21 a 3
a 6
SA, CG
SA, CG
.
;0;
12
6
12
SA, CG .CA
a 14
Khoảng cách giữa SA và CG :
.
8
SA, CG
Câu 21.
(THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN - ĐÀ NẴNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình lập phương
ABCD. ABC D cạnh bằng a . Gọi K là trung điểm DD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
CK và AD .
4a
a
2a
3a
A.
.
B. .
C.
.
D.
.
3
3
3
4
Lời giải
Gọi M là trung điểm BB . Ta có: CK // AM CK // AMD .
Khi đó: d CK , AD d CK , AMD d C , AMD .
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ:
a
Ta có: A 0; 0; 0 , B a; 0;0 , D 0; a; 0 , A 0; 0; a , B a;0; a , C a; a; 0 , M a;0; .
2
2
a
a
AM a;0; , AD 0; a; a , AM , AD ; a 2 ; a 2 .
2
2
Vậy mặt phẳng AMD nhận n 1; 2; 2 làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mp AMD : x 2 y 2 z 2a 0 .
Nguyễn Bảo Vương: />
24
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
ĐT:0946798489
a 2 a 2a a
.
3
3
Dạng 4. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải quyết bài toán tìm BÁN KÍNH MẶT CẦU
Do đó: d C , ADM
Câu 22.
(CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là
hình vuông cạnh a , SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng với đáy. Gọi M và N lần lượt
là trung điểm của BC và CD . Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .CMN bằng
a 93
a 29
5a 3
a 37
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
12
8
12
6
Lời giải
Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ.
3
S 0;0;
.
2
Gọi I x ; y ; z là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .CMN MI NI CI SI .
1 1 1
M 1;0;0 , N ; ;0 , C 1; ;0 ,
2 2 2
1
1
1
3
Ta có: MI x 1; y ; z , NI x ; y ; z , CI x 1; y ; z , SI x ; y ; z
.
2
2
2
2
Từ MI NI CI SI ta có hệ:
2
2
1
1
2
2
2
3
x 1 y z x y z 2
x
2
2
4
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
.
x y z x 1 y z y
2
2
2
4
2
2
5 3
x 1 2 y 1 z 2 x 2 y 2 z 3
z
12
2
2
3 1 5 3 1 1 5 3
I ; ;
IM ; ;
.
12
4 4 12
4 4
Nguyễn Bảo Vương: />
25
