ĐA CD16 QUAN hệ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG góc và ĐƯỜNG XIÊN 200 209

Phát triển tư duy Hình học 7

HƯỚNG DẪN GIẢI
Chuyên đề 16. QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN,
ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU.
16.1. (h.16.6)
0
�
Vì AD  BC nên AD �AB (dấu”=” xảy ra � ABC  90 ).
0
�
Vì BE  AC nên BE �BC (dấu”=” xảy ra � ACB  90 ).
0
�
Vì CF  AB nên CF �CA (dấu”=” xảy ra � BAC  90 ).

Do các dấu “=” không thể xảy ra đồng thời nên
AD  BE  CF  AB  BC  CA  chu vi ABC .
16.2. (h.16.7)
Vẽ BH  d ; CK  d . Theo quan hệ giữa đường vuông góc
và đường xiên ta có BH �BO; CK �CO. Do đó

BH  CK �BO  CO  BC .
H O và K �O � d  BC .
Dấu”=” xảy ra
Vì góc A tù nên d luôn cắt BC .
16.3. (h.16.8)
Vẽ AH  BM , CK  BM thì BH và CK lần
lượt là hình chiếu của AB và BC trên
đường thẳng BM.
Ta có ∆HAM = ∆KCM (cạnh huyền, góc

nhọn) � MH  MK .
Ta có AB < BM (quan hệ giữa đường
vuông góc và đường xiên)

Hình 16.8

Do đó AB < BH + HM.
(1)
Mặt khác cũng do AB < BM nên AB < BK – MK.
Từ (1) và (2), suy ra 2 AB  (BH  HM)  (BK  MK).
Lại có MH = MK nên 2AB < BH + BK hay
16.4. (h.16.9)
0
� �
∆ABD và ∆CAE có : D  E (  90 ).
�
�
AB = AC, ABD  CAE (cùng phụ với
góc BAD)
Do đó ABD  CAE (cạnh huyền,
góc nhọn). Suy ra BD = AE và AD =
CE.
Ta có BD + CE = AE +AD =DE.

AB 

(2)

BH  BK
2

.

Hình 16.9

Vẽ BH  CE thì DE = BH (tính chất đoạn thẳng song song).
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 1


Phát triển tư duy Hình học 7

Vì BK �BC (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên) nên DE �BC
C H hay xy // BC). Vậy khi xy // BC thì BD + CE = BC.
(dấu ‘’=’’xảy ra
16.5. (h.16.10)
Gọi N là giao điểm của AB và tia CM.
Vì M nằm trong tam giác ABC nên tia
CM cắt cạnh AB tại điểm N nằm giữa A
và B, do đó AB > AN. (1)
Theo quan hệ giữa đường vuông góc
và đường xiên, từ HN > HM
Suy ra AN > AM.
(2)
Từ (1) và (2), ta có AB > AM.
Mặt khác AM = AC (vì HM = HC) nên
AB > AC.

Hình 16.10

16.6. (h.16.11)
a) Ta có AB  AC , BM   CN � AM  AN .
∆ABC và ∆AMN cân tại A
1800  �
A
��
ABC  �
AMN 
2
� BC / / MN (vì có cặp góc đồng bị bằng
nhau).
Vẽ AH  BC thì AH  MN (tại K).
1
1
BH  BC ; KN  MN .
2
2
Ta có
Gọi O là giao điểm của BN với AK.
Theo quan hệ giữa đường vuông góc và
đường xiên ta có :
1
1
BO  BH  BC ; ON  KN  MN .
2
2
Do BN  BO  ON nên

BN 

BC MN MN  BC


.
2
2
2

b) Vẽ BI  MN � BI / / HK . Do đó IK = BH (tính chất đoạn chắn song song).
Ta có

MI  MK – IK 

1
1
MN  BC
MN  BC 
.
2
2
2

Mặt khác BM > MI nên

BM 

MN  BC
2
.

16.7. (h.16.12)

“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 2


Phát triển tư duy Hình học 7

Gọi N là trung điểm của EF. Các
tam giác ABC và AEF là những tam
giác vuông, M và N là trung điểm
của cạnh huyền nên
1
1
AM  BC , AN  EF .
2
2
(1)
Suy ra BC = 2AM ; EF = 2AN.
Theo quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên ta có AN �AM . (2)
Từ (1)và (2), suy ra EF �BC  5cm.
Để xác định khi đó dấu “=” xảy ra, ta gọi H là giao điểm của AN với BC. Ta có
AH  BC (bạn đọc tự chứng minh).

BC
�� 
Ta có EF�

AN

AM

N

M

H

M.

Khi đó tam giác ABC có MB = MC, AM  BC (vì M �H ) nên là tam giác vuông
cân. Do đó độ dài ngắn nhất của EF là 5cm khi và chỉ khi A là đỉnh của một tam
giác vuông cân có cạnh huyền là BC.
16.8. (h.16.13)
� �
�
Ta có C  BAH (cùng phụ B );
�  HAC
� .
�
B
(cùng phụ với C )
�
�
Mà BAH  HAC (giả thiết) nên
�B
�.
C
� �

Xét ∆ABC có C  B nên AB < AC(quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam
giác). Suy ra HB  HC (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)
16.9. (h.16.14)
Vẽ AH  BC .
Vì các góc B và C nhón nên H nằm
giữa B và C.
� �
Ta có B  C � AC  AB (quan hệ
giữa cạnh và góc đối diện trong
tam giác).
- Nếu M �H thì AM  AB (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)
- Nếu M nằm giữa B và H thì
HM  HB
� AM  AB (quan hệ giữa đường
xiên và hình chiếu).
- Nếu M nằm giữa H và C(h.16.15)
Ta có HM < HC
� AM  AC (quan hệ giữa đường
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 3


Phát triển tư duy Hình học 7

xiên và hình chiếu)
mà AC < AB nên AM < AB.
16.10. (h.16.16)
Theo định lí Py-ta-go ta có:
BC 2  AB 2  AC 2  52  122  169 � BC  13.

Ta

BM �BH (dấu
có
M H ) ;

‘’=’’xảy

CM �CH (dấu ‘’=’’xảy ra

M

ra

H ).

Do đó BM  CM �BH  CH  13 ( dấu ‘’=’’xảy ra
Ta có HM �HA nên BM �BA (dấu ‘’=’’xảy ra
M A)
Tương tự CM �CA (dấu ‘’=’’xảy ra

M H ).(1)
M A).

Do đó BM  CM �BA  CA  5  12  17 (dấu ‘’=’’xảy ra
Từ (1) và (2), suy ra 13 �MB  MC �17.

M

A)(2)

16.11. (h.16.17)
Giả sử AB < AC theo quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu ta có HB < HC, do
đó MB < MC.
Từ điều kiện AB < AC và BD = CE
suy ra AD < AE.
Theo định lí Py-ta-go, ta có:
MD 2  AM 2  AD 2 ; ME 2  AM 2  AE 2
2
2
Do đó MD  ME .
Ta có
MB 2  MD 2  BD 2 ; MC 2  ME 2  CE 2 .
2
2
2
2
Vì MD  ME , BD  CE nên
MB 2  MC 2 suy ra MB  MC.

Theo quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu ta suy ra HB > HC, do đó AB >
AC(trái giả thiết).
Chứng minh tương tự, nếu AB > AC thì cũng suy ra mâu thuẫn.
Vậy AB = AC hay tam gác ABC là tam giác cân.

“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 4