ĐA CD22 bất ĐẲNG THỨC và cực TRỊ HÌNH học 230 239

Phát triển tư duy Hình học 7

HƯỚNG DẪN GIẢI
Chuyên đề 22. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC.
22.1
0
� �
�
* Nếu B  C thì tam giác ABC cân, A  60 nên tam giác ABC đều. Do đó AB = BC = CA
2
2
2
2
2
2
Suy ra AB  BC  CA . Vậy BC  AB  CA





0
0
� �
�
� �
Nếu B  C thì B  60 (vì B  C  120 )
2
2
2
� �

Do đó A  B � BC  AC � BC  AB  AC
� �
2
2
2
Nếu B  C , cũng chứng minh tương tự ta được BC  AB  CA

22.2
2
2
2
2
Theo định lý Pytago ta có BE  2AB ,CF  2AC mà AB < AC nên BE < CF,

Dễ thấy

 ABF   AEC  c.g.c � BF  CE

Xét CBE và BCF có : BC chung, CE = BF, BE < CF

�
� �ECB  �FBC hayECD
 �FBD
�
�
Xét  ECD và FBD có CE = BF, DC = DB và ECD  FBD � DE  DF ( Định lý hai tam giác có
hai cặp cạnh bằng nhau)
22.3
Vẽ đường trung trực của BC cắt BC tại M, cắt AC tại N.

� �
Ta có NB = NC; tam giác NBC cân � C  NBC
�1 �
 BC �
�
2 �nên là tam giác cân
�
Tam giác BAM có BA = BM

�A  �M
0 �
0
�
�
�
1 mà BAN  90 ,BMN  90 � MAN  AMN � MN  AN ( Quan hệ giữa cạnh
Suy ra 1
đối diện trong một tam giác)
 MHN và  ABN có BM = BA, BN chung, MN > AN

�
�
Do đó MBN  ABN ( định lí hai tam giác có hai cặp cạnh bằng nhau)
�
�
�
�
Suy ra MBN  MBN  ABN  MBN
�
�C  �

�C  B
MBN
)
�
�
�
� �
2
Do đó 2MBN  ABC � 2C  B (vì

22.4
Trên tia đối của tia AM lấy điểm D sao cho MD = MA
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 1


Phát triển tư duy Hình học 7

�  �D
 ABM  DCM  c.g.c � AB  CD;A
1
Do đó AB//CD

��
BAC �
DCA  1800 ( cặp góc trong cùng phía) (*)



AM 

Chứng minh mệnh đề “ Nếu góc A nhọn thì
BC
AM 
2 thì 2AM = BC do đó AD = BC.
Nếu
 ABC  DCA c.c.c � �BCA  �
DCA  1800 : 2  900





BC
2 ”



, trái GT
BC
AM 
2 thì 2AM < BC do đó AD < BC
Nếu
 BAC và DCA có AB = CD; AC chung và BC > AD
�
�
Do đó BAC  DCA
0
�

Từ (*) suy ra BAC  90 , trái GT
BC
AM 
2
Vậy nếu góc A nhon thì
BC
AM 
2 thì góc A nhọn”
Chứng minh mệnh đề “ Nếu
0
0
�
�
Nếu A  90 thì từ (*) suy ra DAC  90
BC
BAC   DCA  c.g.c � BC  AD hay AM 
2 , trái GT
0
0
�
�
�
�
Nếu A  90 thì từ (*) suy ra DCA  90 . Vậy BAC  DCA
BAC  �
DCA
 BAC và DCA có: AB = CD; AC chung và �
BC
AM 
2 , trái GT

Do đó BC > AD hay BC > 2AM tức là
BC
AM 
2 thì góc A nhọn.
Vậy nếu

22.5
0
�
�
�
Vẽ các đoạn thẳng DA, DB, DC. Ta có ADB  BDC  CDA  360

Suy ra tồn tại ít nhất một góc có số đo nhỏ hơn hoặc bằng 1200 ( vì nếu cả ba góc đều lớn hơn 1200
thì tổng của chúng lớn hơn 3600, vô lí)
Giả sử góc đó là góc BDC
0
0
�
�
�
Xét tam giác BDC có BDC �120 , suy ra DBC  DCB �60

Do đó tôn tại ít nhất một góc lớn hơn hoặc bằng 300 > 290
Vậy ba điểm cần tìm là B, C, D.
22.6
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 2

Phát triển tư duy Hình học 7

Gọi M là trung điểm của BC và H là hình chiếu của A trên đường thẳng a. Khi đó AH có độ dài
1
AM  BC hayBC  2AM �2AH
2
không đổi. Ta có tam giác ABC vuông tại A nên
( Quan hệ giữa
đường vuông góc và đường xiên)
Do đó BC có độ dài nhỏ nhất là 2AH �M

H

 ABH vuông cân.

Ta xác định điểm B như sau:
-

Dựng AH  BC;
Trên đường thẳng a đặt HB = HA

22.7
Vẽ MH  BC;NK  BC;NI  MH khi đó IN = HK và IH = NK (tính chất đoạn chắn song song)
�
� �
Ta có OM//AC � BOM  C  B
Do đó  MBO cân tại M, từ đó ta được HB = HO
1
a

HK  BC 
2
2
Tương tự ta có KC = KO. Suy ra
MN �IN  HK 

Theo quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên ta có
Dấu “=” xảy ra
�M
��
I �MH
� �
NK

 MHB NKC
BH CK
điểm của BC.
a
Vậy min MN = 2 khi O là trung điểm của BC.
22.8

OH

OK

a
2

OB OC

O là trung

Vẽ DH  BC;EK  BC;DF  EK , ta có DF = HK ( tính chất đoạn chắn song song)
1
1
BH  BD;CK  CE
�D  �E  300
2
2 . Do đó
Các tam giác vuông HBD và KCE có
nên
1
1
1
BD  CE    BD  AD   AB  2cm

2
2
2
Suy ra HK = 2cm.
DH
 �EK
HBD KCE
BD CE
BD AD
Dấu “=” xảy ra �E�F��
điểm của AB ( Khi đó E là trung điểm của AC)
Vậy độ dài nhỏ nhất của DE là 2cm khi D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC
22.9. (h.22.20)
BH  CK 

D là trung

Vẽ BD  AM , CE  AM ( D, E �AM ) .
Ta có BD �BM , CE �CM (quan hệ giữa đường vuông
góc và đường xiên). Do đó BD  CE �BM  CM  BC
(Dấu "  " xảy ra � D và E trùng với M
� AM  BC ).
 Tính độ dài BC (h.22.21)

“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 3


Phát triển tư duy Hình học 7

1
AH  AC  52 : 2  26(cm)
�
2
Vẽ AH  BC , AHC vuông tại H có C  30�nên
2
2
2
2
2
Ta có HC  AC  AH  52  26  2028 � HC  45(cm)

�

Xét ABH vuông tại H , có B  45�nên là tam giác vuông cân.
� BH  AH  26cm . Do đó BC  26  45  71(cm) .
Vậy giá trị lớn nhất của tổng BD  CE là 71 cm khi M là hình chiếu của A trên BC.
22.10. (h.22.22)
�
Xét ABC có A   và AB  AC  2a .
Ta phải chứng minh rằng khi AB  AC  a thì ABC chu vi
sẽ nhỏ nhất.
Thật vậy, giả sử AB  AC .
Trên tia AB lấy điểm B ' , trên tia AC lấy điểm C ' sao cho
AB '  AC '  a .
Khi đó B ' và C ' là các điểm cố định và B 'C' có đội dài
không đổi.
Ta có AB  AC  AB ' AC '  2a .
Do đó AB  ( AC ' C 'C)  (AB BB')  AC ' � CC '  BB '
Vẽ BH  B ' C và CK  B ' C ' .
BB ' H  CC ' H (cạnh huyền, góc nhọn) � HB '  KC ' do
đó HK  B ' C '.(1)
Gọi M là giao điểm của BC và B 'C' .
Ta có MH �MD, MK �MC � MH  MK �MB  MC hay HK �BC. (2)
Từ (1) và (2) suy ra BC �B ' C ' .
Ta có chu vi ABC  AB  BC  CA �2a  B 'C' (không đổi).
B ' Bvà C ' �C .
Dấu “=” xảy ra
Vậy chu vi ABC nhỏ nhất khi AB  AC  a , tức là khi ABC cân tại A.
22.11.(h.22.23)
Vẽ AH  xy , tia AH cắt đường thẳng BC tại D . Khi đó
BD không đổi.
CHA  CHD (g.c.g) � HA  HD � xy là đường trung
trực của AD .

Gọi M là một điểm bất kì trên xy .
Ta có MA  MD (Tính chất điểm nằm trên đường trung
trực).
M C).
MA  MB  MD  MB �BD (dấu “=” xảy ra
Vậy tổng MA  MB ngắn nhất là bằng BD khi và chỉ khi
M �C .
22.12. (h.22.24)

“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 4


Phát triển tư duy Hình học 7

Ta có: S  7 MA  3MB  4MC
 3  MA  MB   3.12  4.16  100
Dấu "  " xảy ra � M thuộc đoạn thẳng AB và AC
M A.
Vậy min S  100 khi M �A .
22.13. (h.22.25)
Từ H vẽ đường thẳng song song với AB cắt AC tại D ; đường
thẳng song song với AC cắt AB tại E . Theo tính chất đoạn
thẳng song song ta có AD  HE , AE  HD .

Vì HB  AC nên HB  HE � HB  HE (quan hệ giữa đường
vuông góc và đường xiên).
Chứng minh tương tự ta được HC  HD .
Xét AHD có HA  AD  DH (bất đẳng thức tam giác). Suy ra:

HA  HB  HC  ( AD  DH )  BE  CD  ( AD  AE )  BE  CD
 ( AD  CD)  ( AE  BE )  AC  AB . (1)
Chứng minh tương tự, ta được:
HA  HB  HC  AB  BC.
HA  HB  HC  BC  CA

(2)
(3)

Cộng từng vế các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được: 3( HA  HB  HC )  2( AB  BC  CA)
2
HA  HB  HC  ( AB  BC  CA)
3
Do đó:
22.14. (h.22.26)
Tam giác ABC vuông cân tại A nên theo định lý Py – ta – go ta tính
được BC  a 2 .
Tam giác MAC cân tại M � MA  MC , do đó M nằm trên đường
trung trực d của AC.
Xét tổng MA  MB  MC  MB �BC  a 2 .
Dấu “ = ” xảy ra khi M �O với O là giao điểm của d với cạnh BC.
Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng MA  MB là a 2 khi M �O .
 Nhận xét: Ta thấy MA  MB �AB  a nhưng không có vị trí nào của
M để dấu “ = ” xảy ra.
Vì thế không thể kết luận min( MA  MB)  a .
22.15. (h.22.27)

“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 5

Phát triển tư duy Hình học 7

 Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ABC nhỏ nhất
Chu vi của ABC là CA  CB  AB .
Do AB cố định nên chu vi ABC nhỏ nhất � CA  CB nhỏ
nhất.
Vẽ AH  xy . Trên tia đối của tia HA lấy điểm D sao cho
HD  HA .
Khi đó BD là một đoạn thẳng cố định. Gọi C’ là một điểm trên
xy.
AHC '  DHC ' (c.g.c) � C 'A  C'D .

Xét ba điểm BDC’ ta có C 'B C'D �BD (Dấu “=” xảy ra
xy)

C ' C với C là giao điểm của BD với

Do đó C 'B C'D nhỏ nhất là bằng BD khi C ' �C .
Suy ra khi C là giao điểm của BD với xy thì chu vi tam giác ABC là nhỏ nhất.

 Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác ABC
Vẽ BK  xy, BI  AH ta tính được HI = 7cm; IA =5cm và ID = 9cm
2
2
2
2
2
Áp dụng định lý Py-ta-go vào IAB vuông tại I ta có: BI  AB  IA  13  5  144

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông IDB ta được:
BD 2  IB2  ID 2  144  92  225 � BD  15(cm)
Vậy giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác ABC là:
CA + CB + AB = BD + AB = 15 + 13 =28 (cm)
22.16 (h22.28)
Gọi M là điểm trên cạnh A’B’ mà con kiến phải qua khi bò từ A đến C.
Mở nắp hộp A’B’C’D’ đứng lên đến vị trí A’B’C1D1
Xét ba điểm A, M, C1 ta có MA + MC1AC1
Dấu “=” xảy ra
M trùng với giao điểm O của AC1 với cạnh A’B’
 A ' AM  B'C1M(g.c.g) � MA '  MB'
M là trung điểm của A’B’
2
2
2
2
2
Ta có: AC1  AB  BC1  20  40  2000 � AC1  2000 �44, 7cm

Vậy quãng đường ngắn nhất mà kiến phải bò là 44,7 cm khi kiến bò qua trung điểm M của cạnh
A’B’ theo hành trình đoạn thẳng AM rồi đoạn thằng MC’
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 6


Phát triển tư duy Hình học 7

“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 7