Kiến thức trọng tâm môn toán ôn thi vào 10 theo chuyên đề

ÔN THI VÀO 10 THEO CHUYÊN ĐỀ - MÔN TOÁN
KIẾN THỨC Hocmai.vn
TRỌNG TÂM MƠN TỐN 9
ƠN THI VÀO 10 THEO CHỦ ĐỀ
CHUYÊN ĐỀ 1: RÚT GỌN, TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
1) Nhắc lại kiến thức
- Dạng này có thể là rút gọn, tính giá trị của một biểu thức chỉ chứa các con số.
Ví dụ. Rút gọn biểu thức

3 2 2  3 2 2 .

- Hay là rút gọn, tính giá trị của một biểu thức chứa các tham số như a,b,c,x, y,z,...
Ví dụ. Rút gọn biểu thức

x 2 y  xy 2
.
xy

- Để giải những bài toán trên chúng ra cần nắm rõ các công thức biến đổi đặc biệt trong căn thức
(liên hệ giữa phép nhân, phép chia và phép khai phương, khử mẫu trục căn thức, đưa thừa số ra
ngồi dấu căn, quy đồng, tìm mẫu số chung,…) và 7 hẳng đẳng thức đáng nhớ. Ngồi ra cịn rất
nhiều hằng đẳng thức mở rộng mà thường được áp dụng vào bài tập như

 a  b    a  b   4ab
2
2
 a  b    a  b   4ab
2
 a  b  c   a 2  b 2  c 2  2ab  2bc  2ac
3
 a  b  c   a 3  b3  c3  3  a  b  b  c  c  a 

3
a 3  b3   a  b   3ab  a  b 
3
a 3  b3   a  b   3ab  a  b 
a n  b n   a  b   a n 1  a n  2b  a n 3b 2  ...  a 2b n 3  ab n  2  b n 1   n 
a n  b n   a  b   a n 1  a n  2b  a n 3b 2  ...  a 2b n 3  ab n  2  b n 1   n 
2

2

*
*


,n  2k  1

2) Một số dạng toán cơ bản
* Dạng 1: Rút gọn biểu thức chỉ chứa các con số
- Vận dụng các phép biến đổi cơ bản, các hằng đẳng thức đã được học để giải quyết vấn đề.
Chúng ta sẽ nghiên cứu ví dụ bài tốn cơ bản đưa về hằng đẳng thức sau
Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức 11  2 10 .
Phân tích.
Những dạng khi có dấu căn như thế này thì ta sẽ cố gắng đưa các con số trong căn thành bình
phương của một tổng thức là sẽ có dạng  a  b  hay a 2  b 2  2ab. Tới đây đồng nhất hệ số cần
2

Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 6933

- Trang | 1 -


tìm a,b sao cho a 2  b 2  11,ab   10 . Bằng cách nhẩm: dễ thấy có một bộ số thỏa mãn
a  10 ;b  1, từ đó ta sẽ có

11  2 10 





10  1

2

 10  1 .

Tới đây ta cần để ý kiến thức quen thuộc nhưng vô cùng quan trọng sau đây
 A, A  0
A 
 A, A  0

Khi đó dễ thấy 10  1  1  10  1  10  1.
Ví dụ 2. (Dạng toán sử dụng kỹ thuật trục căn thức ở mẫu để khử căn)
Rút gọn B 





2 2 2 5 

39
7  10

Phân tích.
Đầu tiên, quan sát trong căn thức ta thấy có chưa phân số có mẫu là căn thức, vì vậy ta nghĩ ngay
tới việc sẽ thực hiện trục căn thức ở mẫu bằng cách nhân một lượng liên hợp để mẫu xuất hiện

hiệu hai bình phương  a  b  a  b   a 2  b2 . Phần còn lại chúng ta sẽ thực hiện phép nhân với các
số trong ngoặc và mong rằng sẽ rút gọn được với phần vừa liên hợp. Coi 7 là a và 10 là b. Vậy
nên ta sẽ tiến hành nhân cả tử và mẫu với 7  10.
Lời giải.
B





2 2 2 5 

B  4  10 

B  4

39
7  10



39 7  10

 7  10  7 
39  7  10 
10 


10



39

B  4  10  7  10  11  2 10  10  1.

*Dạng 2: Tìm điều kiện xác định khi rút gọn các biểu thức chứa tham số
Dạng này có một số kiến thức khi tìm điều kiện xác định: Muốn căn bậc hai số học a (trong đề
bài nếu khơng nói gì thêm thì tự hiểu là căn bậc hai số học) tồn tại thì a  0. Muốn phân số tồn tại
thì mẫu số phải khác 0,… Xem các ví dụ sau đây
Ví dụ. Tìm điều kiện xác định của P 

1
1  x2  4

.

Phân tích.

Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 6933

- Trang | 2 -


Để ý có xuất hiện căn thức nên đầu tiên ta sẽ cho căn thức  0, tiếp theo đó thấy có mẫu số nên ta
sẽ tìm điều kiện cho mẫu số khác 0.
Lời giải.
ĐKXĐ
 x  2

  x  2
2
 x  4  0
 x 2  4
 x  2

 2
 2
 x  5 .
 2
 x  4  1  x  4  1  x  5

x   5



Lưu ý. Tìm điều kiện xác định là một bước vơ cùng quan trọng trong giải các bài tập liên quan tới
rút gọn biểu thức có chứa tham số, nhiều vấn đề khác như giải phương trình, hệ phương trình,…

và là một bước khá dễ để có điểm trong các kì thi, vậy nên chúng ta phải hết sức kĩ lưỡng và cẩn
trọng trong phần này.
*Dạng 3: Rút gọn biểu thức có chứa tham số và một số vấn đề liên quan (ĐKXĐ; tính giá trị biểu thức tại
x  ...; giá trị nhỏ nhất, lớn nhất; tìm x để biểu thức đạt giá trị nguyên; giải phương trình…)
Hướng làm.
Bước 1. Tìm điều kiện xác định của biểu thức.
Bước 2. Rút gọn biểu thức.
Bước 3. Thực hiện các yêu cầu của đề bài (Một số vấn đề liên quan ở trên)
Bước 4. Kết luận (Những giá trị của tham số đó có thỏa mãn ĐKXĐ khơng ?)
Xét các ví dụ sau đây
Ví dụ 1. Cho biểu thức P 

8 x  x  31
x  5 3 x 1


.
x  8 x  15
x 3 5 x

a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị của x để P  1.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên.
Hướng dẫn giải
a) Đầu tiên như đã nói ở trên, những dạng này bước đầu tiên là phải tìm điều kiện xác định của
biểu thức.
x  0

 x 3  0
5  x  0


 x  8 x  15 




x 3





x 5  0

Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 6933

- Trang | 3 -


Dễ dàng giải điều kiện trên ta sẽ được điều kiện xác định là x  0 ,x  9 ,x  25.
Việc tiếp theo là rút gọn biểu thức (chúng ta sẽ thực hiện quy đồng biểu thức và rút gọn chủ yếu là
đặt dấu phù hợp để có được mẫu số chung phù hợp). Từ đó ta sẽ rút gọn được biểu thức thành
P

x 1
.
x 5

b) Sai lầm thường gặp

P

x 1
1
x 5

 x 1  x  5
 5  1.
Điều này vơ lý, do đó khơng tồn tại x thỏa mãn điều kiện.
Nhận xét. Theo đề bài cần tìm x sao cho P 

x 1
 1. Tới đây nhiều bạn sẽ nhanh tay nhân
x 5

x  5 vào 2 vế và rút gọn chuyển vế. Nhưng liệu thực sự đã đúng chưa? Câu trả lời hoàn toàn

chưa đúng, vì x  5 chưa chắc dương. Nếu x  5 thì khi nhân hai vế, chiều của bất đẳng thức sẽ
đổi chiều. Do đó chúng ta phải chuyển 1 qua và quy đồng lên.
Sửa lại cho đúng
P



x 1
1
x 5
x 1

1  0
x 5
6
0
x 5

 x  5  0  x  25.

Tới đây nhiều bạn không mắc sai lầm trên nhưng lại mắc sai lầm là kết luận ngay x  25 sẽ thỏa
mãn điều kiện. Cần phải kết hợp với ĐKXĐ mới có kết luận được các giá trị x thỏa mãn. Do đó
0  x  25
.
điều kiện của x thỏa mãn đề bài là 
x  9
c) Phân tích. Đầu tiên, những dạng tốn này mình sẽ đưa về dạng phân số trong đó tử số sẽ là một
1
,... Sau đó muốn biểu thức
số nguyên và mẫu số là một biểu thức có tham số. Ví dụ:
2x 1
ngun thì mẫu phải là ước của tử số, từ đó có thể tìm ra x thích hợp.
Lời giải. Từ ý tưởng trên ta sẽ tạch ra thành: P  1 
phải nguyên. Từ đó

6
. Muốn P nguyên thì rõ ràng
x 5

6
x 5

x  5 Ư(6)={-6;-3;-2;-1;1;2;3;6}. Tới đây bạn sẽ tìm ra x nào thỏa khơng.

Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 6933

- Trang | 4 -


Nhận xét chung. Qua bài toán này chúng ta nhận thấy việc tìm ĐKXĐ là vơ cùng quan trọng, nhắc
chúng ta lại một chút kiến thức về bất phương trình (nhận 2 vế với số âm thì bất đẳng thức đổi
chiều) và cách tìm x nguyên để biểu thức nguyên. Chúng ta sẽ chuyển qua ví dụ tiếp theo
 a b
a  b   a  b  2 ab 
Ví dụ 2. Cho biểu thức B  

 1  ab a  ab  : 1  1  ab  .



a) Rút gọn và tìm giá trị của B khi a 

2
.
2 3

b) Tìm max của P.
Hướng dẫn giải.
a) Như ví dụ trên, đầu tiên ta sẽ tìm điều kiện xác định, bước đầu sẽ là a,b  0 ,ab  1, còn điều
a  b  2ab

 0 để đó nói sau (vì nếu phá ra sẽ rất phức tạp). Đến một bước nào
kiện để phần 1 
1  ab
1  ab
. Lúc này ta sẽ mở ngoặc ghi “ĐK
đó, ta sẽ tính được biểu thức này, chẳng hạn B  .....
 a  1 b  1
bổ sung:…”.
+ Tiếp theo đó là phần rút gọn, phần này thì các bạn sẽ vận dụng các kiến thức ở trên để rút gọn
2
và kết quả thu được sẽ là B 
. Nếu để a thế này, thay vào B thì khá cồng kềnh, vì vậy
2 3
mình sẽ rút gọn a bằng cách liên hợp lên a 





2 2 3
2

 4  2 3.
2 3
2 3 2 3







Tới đây xuất hiện 4  2 3, đây là một kết quả khá là quen thuộc và ta có thể đưa về dạng bình
phương

a





3 1

2

 3  1.

Từ đây thay vào, dễ dàng tính được giá trị của biểu thức.
b) Phân tích. Để ý thấy nếu lấy tử số chia cho mẫu số thì sẽ xuất hiện dạng

a
1

thì áp dụng
2
a

bất đẳng thức Cauchy thì hồn tồn tìm được max của P.
Vậy chúng ra nghĩ ngay tới sẽ chia cả tử và mẫu cho
chia cả tử và mẫu cho

a hoặc là đánh giá

1
. Ta sẽ chọn 1 cách là
B

a.

Ví dụ 3. (Đề tuyển sinh vào lớp 10 TP.Hà Nội năm học 2016 - 2017)
Cho A 

7
và B 
x 8

x
2 x  24

.
x9
x 3

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x  25.

Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 6933

- Trang | 5 -

b) Rút gọn B.
c) Cho P  A.B . Tìm x để P ngun.
Hướng dẫn giải:
a) Tìm ĐKXĐ sau đó thay x  25 vào để tính.
b) Quy đồng phân tích nhân tử rút gọn ta sẽ được B 
c) Dễ dàng tính được P 

x 8
.
x 3

7
.
x 3

Sai lầm thường gặp: Để P nguyên thì x  3 phải là Ư(7)={1;7} (do
Thay vào tìm được x thỏa mãn là x  16.
Kết quả x  16 thỏa mãn, nhưng liệu đã đủ nghiệm. Vì
có thể là số hữu tỷ.

x  3  0 nên loại giá trị âm).

x  3 khơng nhất thiết phải là số ngun,

Phân tích: Vậy làm sao tìm x để P ngun? Có thể nghĩa tới ý tưởng là giới hạn P trong một
khoảng nào đó, xong, do P nguyên nên ta sẽ có một vài trường hợp. Ứng với mỗi trường hợp ta
sẽ tìm được x. Do vậy ta cần tìm min, max của P.
Lời giải đúng. Đầu tiên dễ nhận ngay ra rằng P 

7
 0. Ta đã có min giờ ta sẽ tìm max. Ta có
x 3

x 0
 x 3 3
7
7
 .
x 3 3



Do đó 0  P 

7
 P  1; P  2  P 
3

.

Tới đây ta sẽ thay P  1; P  2 vào tìm x, xem có thỏa ĐKXĐ khơng. Nếu khơng thỏa chúng ta sẽ
loại.
Kết quả thu được x  16 ,x 

1
thỏa mãn điều kiện.
4

1
làm cho P nguyên. Điều mình muốn
4
nhấn mạnh ở đây chính là dạng tốn tìm x để P ngun khác với tìm x ngun để P ngun.
Nếu khơng cẩn thận chúng ta sẽ mất điểm ở những bài rút gọn tưởng chừng cơ bản như vậy.

Nhận xét chung. Ở đây ta nhận thêm một nghiệm x 

Đó chính là 3 VD mà mình muốn đề cập tới một số dạng khi rút gọn biểu thức. Và trong quá trình
luyện đề chúng ta sẽ có thể gặp thêm nhiều dạng hơn, và dần sẽ quen với dạng này.
3) Bài tập tự luyện
Bài 1. (Đề thi học sinh giỏi huyện Đắc R’Lấp 2016 - 2017)
Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 6933

- Trang | 6 -


 1
x 
x
Cho P  

:
.

 x
x  1  x  x


a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P.
b) Tính giá trị của biểu thức P khi x 



7 3



10  2 21 .

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.
Bài 2. (Sưu tầm)
Cho A 

x2  x
x2  x

.
x  x 1 x  x 1

Rút gọn B  1  A  x  1 với 0  x  1.
Bài 3. (Đề thi Chu Văn An + Ams 2003 - 2004)
x2  x
2 x  x 2  x  1


.
Cho P 

x  x 1
x
x 1

a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
c) Tìm x để biểu thức Q 

2 x
nhận giá trị nguyên.
P

CHUYÊN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – HỆ THỨC VI – ÉT VÀ ỨNG
DỤNG
1) Nhắc lại kiến thức
* Phương trình bậc hai là phương trình có dạng ax 2  bx  c  0 1 trong đó x là ẩn; a,b,c là các số
cho trước gọi là hệ số và a  0.
* Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2. Ta ký hiệu   b2  4ac, gọi là biệt thức của phương
trình.
+ Nếu   0, ta nói phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1 

b  
b  
; x2 
.
2a
2a

+ Nếu   0, ta nói phương trình có nghiệm kép x1  x2  

b
.
2a

+ Nếu   0, ta nói phương trình vơ nghiệm.
* Hệ thức Vi-ét. Gọi x1 ,x2 là hai nghiệm của phương trình 1 , khi đó

Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 6933

- Trang | 7 -


b

 x1  x2   a
.

c
x x 
 1 2 a

* Để tìm hai số u và v khi biết tổng và tích của chúng, chẳng hạn u  v  S và uv  P, ta giải
phương trình
x 2  Sx  P  0.

Khi đó u và v là hai nghiệm của phương trình trên.
*Các TH đặc biệt của phương trình bậc 2.

+ Nếu a  b  c  0 thì phương trình 1 có hai nghiệm x1  1; x2 

c
.
a

c
+Nếu a  b  c  0 thì phương trình 1 có hai nghiệm x1  1; x2   .
a

2) Một số dạng tốn cơ bản
*Dạng 1. Giải phương trình với giá trị tham số m nào đó.
Hướng làm.
Bước 1. Thay m vào phương trình đã cho.
Bước 2. Giải phương trình vừa thu được bằng công thức nghiệm hoặc bằng các Th đặc biệt.
*Dạng 2. Tìm m để phương trình có một nghiệm x có giá trị nào đó (và tìm nghiệm cịn lại)
Hướng làm.
Bước 1. Thay nghiệm x để cho vào phương trình.
Bước 2. Giải phương trình vừa thu được, tìm được m.
Bước 3 (nếu có). Làm tương tự dạng 1 để tìm ra nghiệm cịn lại.
*Dạng 3. Chứng minh phương trình ln có nghiệm hay hai nghiệm phân biệt (và khác dấu/ cùng dấu âm,
dương)
- Để chứng minh rằng phương trình ln có nghiệm, ta tính  của phương trình, chứng minh
  0. Đối với phương trình ln có hai nghiệm phân biệt thì ta sẽ chứng minh   0. Vậy chứng
minh bằng cách nào? Ta sẽ vận dụng các hằng đẳng thức bậc 2 để biến đổi  thành một bình
phương cộng với một số nào đó và áp dụng tính chất bình phương của một số ln khơng âm.
- Để chứng minh hai nghiệm của phương trình có hai nghiệm khác dấu/ cùng dấu âm, dương/,…,
ta chỉ cần có kiến thức vững về mối liên hệ về dấu của hai số với tổng và tích của chúng (ví dụ, hai
số khác dâu thì tích của chúng â,; hai số cùng dấu thì tích của chúng dương, nếu chúng cùng âm
thì tổng của chúng sẽ âm, cịn nếu cùng dương thì tổng của chúng ln dương,…). Cụ thể như sau

+ Khác dấu. Ta sẽ chứng minh

Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 6933

- Trang | 8 -


P  x1 x2 

c
 0.
a

+ Cùng dấu dương. Ta sẽ chứng minh
b

 S  x1  x2   a  0
.

P  x x  c  0
1 2

a

+ Cùng dấu âm. Ta sẽ chứng minh
b

 S  x1  x2   a  0

.

P  x x  c  0
1 2

a

*Dạng 4. Tìm m để phương trình có nghiệm hay hai nghiệm phân biệt (và khác dấu/ cùng dấu âm, dương)
Tương tự với Dạng 3, chỉ khác ở chỗ ta phải tìm m thỏa mãn   0; S  0; P  0;... chứ khơng phải
chứng minh nó ln đúng.
*Dạng 5. Tìm biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm mà không chứa tham số
Ở dạng này, các bạn cần có kỹ năng rút m ra từ hệ thức Vi – ét. Cụ thể:
- Từ biểu thức liên hệ S  x1  x2  
- Từ biểu thức liên hệ P  x1 x2 

b
(ẩn m ), ta sẽ biểu diễn được m theo S.
a

c
(ẩn m ), ta sẽ biểu diễn được m theo P .
a

Từ 2 điều trên, ta sẽ có được biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm mà không chứa tham số m.
*Dạng 6. Tìm m để một biểu thức nào đó bằng một giá trị nào đó đạt GTNN, GTLN…
Đối với dạng này, các bạn cần nắm vững các hằng đẳng thức và các phép biến đổi để biểu diễn
biểu thức đề cho bằng  x1  x2  và x1 x2 , sau đó dùng định lý Vi – ét để thay vào và biểu diễn biểu
thức theo m. Việc còn lại là cho biểu thức bằng một giá trị nào đó. Hoặc tìm GTLN/GTNN của
biểu thức.
Học sinh có thể gặp hai dạng bài này

+ Biểu thức đối xứng giữa hai biến. Trường hợp này dễ dàng đưa biểu thức về  x1  x2  và  x1 x2 
rồi dùng định lý Vi –ét như trên.
+ Biểu thức không đối xứng giữa hai biến. Trong trường hợp này, các bạn có ba phương pháp
Một là dùng phương pháp hạ bậc (thay x1 ,x2 vào phương trình ban đầu, tính x12 theo x1 , tính x 22
theo x2 rồi hạ bậc từ từ…) để đưa biểu thức về hẳn bậc 1, sau đó kết hợp với định lý Vi – ét để
biến đổi, làm theo yêu cầu đề bài.

Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 6933

- Trang | 9 -


Hai là đưa biểu thức về dạng đối xứng (thế hệ thức trong định lý Vi – ét vào trong biểu thức đề
cho, đưa về cùng bậc rồi thao tác bình thường…).
Ba là đưa biểu thức về một biến x1 hoặc x2 (bằng hệ thức Vi – ét, giải ra x1 hoặc x2 , thay vào
phương trình ban đầu tìm m ).
*Dạng 7. Lập phương trình bậc 2 nhận y1 (tính theo x1 ) và y 2 (tính theo x2 ) là nghiệm.
Hướng làm. Ta chỉ cần tính y1  y2 và y1 y2 theo tham số m, chẳng hạn y1  y2  S và y1 y2  P thì
theo định lý Vi-ét, y1 và y 2 là hai nghiệm của phương trình y 2  Sy  P  0.
3) Làm quen với các dạng thông qua một số bài tập trong đề thi
Bài 1. (Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Bình Định 2015 - 2016)
Cho phương trình x 2  2 1  m  x  3  m  0 .
a) Giải phương trình với m  0.
b) Chứng minh phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
c) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm đối nhau.
Bài 2. (Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Quảng Ngãi 2015 - 2016)
Cho phương trình x 2  2 x  m  3  0 (với m là tham số)
a) Tìm m để phương trình có nghiệm x  3 và tìm nghiệm cịn lại.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 thỏa mãn hệ thức x12  x22  x1 x2  4  0.
Bài 3. (Đề thi tuyển sinh lớp 10 TP. Đà nẵng 2015 - 2016)
Cho phương trình x2  2  m  1 x  2m  0 (với m là tham số).
a) Giải phương trình khi m  1.
b) Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. Gọi x1 ,x2 là
hai nghiệm của phương trình, tìm tất cả các giá trị của m sao cho x12  x1  x2  5  2m.
Bài 4. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Khánh Hòa 2013 - 2014)
Cho phương trình bậc hai x 2  5 x  3  0 có hai nghiệm x1 ,x2 . Hãy lập một phương trình bậc hai có
hai nghiệm  x12  1 và  x22  1 .

Bài 5. Cho phương trình x 2   k  3 x  2k  1  0 có các nghiệm x1 ,x2 . Tìm một hệ thức giữa x1 ,x2
độc lập với k.

CHUYÊN ĐỀ 3: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
I) Nhắc lại kiến thức
1) Hàm số y  ax.
Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 6933

- Trang | 10 -


- Hàm số y  ax  a  0  xác định với mọi số thực x.
- Đồ thị hàm số y  ax là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ.
- Trên tập hợp số thực, hàm số y  ax đồng biến khi a  0 và nghịch biến khi a  0.
2) Hàm số y  ax  b.
*Định nghĩa
- Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y  ax  b, trong đó a,b là các số thực xác
định và a  0.

*Tính chất
a) Hàm số xác định với mọi giá trị x thuộc

.

b) Hàm số đồng biến nếu a  0, nghịch biến nếu a  0.
c) Đồ thị của hàm số là một đường thẳng
- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b.
b
- Cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ bằng  .
a

d) Hệ số góc: Hệ số a chính là hệ số góc của đường thẳng y  ax  b  a  0  .
e) Cho hàm số y  ax  b  a  0  có đồ thị là đường thẳng d , hàm số y'  a' x  b'  a'  0  có đồ thị
là đường thẳng d' . Khi đó
+) d / / d'  a  a' và b  b' .
+) d trùng d'  a  a' và b  b' .
+) d cắt d'  a  a' .
+) d  d'  a.a'  1.
3) Hàm số y  ax 2  a  0  .
- Hàm số xác định với mọi giá trị x  .
* Tính chất biến thiên:
- Nếu a  0 thì hàm số nghịch biến khi x  0, đồng biến khi x  0.
- Nếu a  0 thì hàm số đồng biến khi x  0, nghịch biến khi x  0.
* Đồ thị của hàm số là đường parabol với đặc điểm
- Đỉnh O  0; 0  .
- Trục đối xứng là trục tung Oy.
- Nếu a  0 thì đồ thị nằm phía trên trục hồnh, nhận gốc tọa độ làm điểm thấp nhất.
Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 6933

- Trang | 11 -


- Nếu a  0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, nhận gốc tọa độ làm điểm cao nhất.
* Quan hệ giữa parabol y  ax 2  a  0  và đường thẳng y  mx  n  m  0  :
- Hoành độ giao điểm của parabol y  ax 2  a  0  và đường thẳng y  mx  n  m  0  là nghiệm của
phương trình ax 2  mx  n tức là ax 2  mx  n  0 1 .
- Đường thẳng sẽ cắt parabol tại hai điểm phân biệt nếu phương trình 1 có hai nghiệm phân
biệt. Hay là   0.
- Đường thẳng không giao nhau với parabol nếu phương trình 1 vơ nghiệm hay   0.
- Đường thẳng sẽ tiếp xúc với parabol nếu 1 có nghiệm kép hay   0.
- Đường thẳng sẽ tiếp xúc với parabol nếu 1 có nghiệm kép hay   0.
II) Một số dạng toán cơ bản
* Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số
- Kiến thức trong sách giáo khoa.
* Dạng 2: Cho một hàm số y  f  x  xác định trên khoảng  a;b  . Tính giá trị của f  k  với giá trị của k
cho trước.
Cách giải: Ta chỉ việc thay k  x vào sau đó tìm giá trị của f  k  .
Ví dụ. Cho hàm số f  x   3x  1,g  x   2 x 2  1. Tính giá trị của f 1 ,g  2  .
* Dạng 3: Xác định tính biến thiên của hàm số
Vận dụng phần lý thuyết ở trên, ta sẽ làm được dạng bài tập này
Lưu ý: Khi có tham số tham gia  a  thì điều kiện phải là a  0.
Ví dụ. Xác định m để các hàm số sau đồng biến, nghịch biến:
a) y   2m  3 x  5.
b) y   m2  3m  2  x  9.
c) y   2  m  x 2 .
* Dạng 4: Xác định các hệ số của hàm số khi đi qua một điểm A  x0 , y0  , song song với một đường thẳng
- Đối với hàm số bậc hai y  ax 2 . Ta chỉ việc thay x  x0 ; y  y0 (với x0 , y0 là những số cho trước)

thì khi đó a 

y0
.
x02

- Đối với hàm số bậc nhất thì có rất nhiều dạng ví dụ có thể cho trước hệ số góc và đi qua một
điểm có tọa độ với tung độ, hoành độ là những số cho trước thì từ y  ax  b ta dễ dàng tìm được

b.
Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 6933

- Trang | 12 -


- Để hiểu rõ hơn các dạng thì chúng ra sẽ đi vào các ví dụ sau
Ví dụ.
a) Hãy xác định hệ số a của hàm số y  ax 2 biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm A 1; 2  .
b) Xác định hàm số y  ax  b biết rằng hàm số có hệ số góc là 2 và đi qua điểm M  3; 5 .
c) Xác định đường thẳng đi qua hai điểm A,B có tọa độ là A  2; 0  ; B  0;1 .
d) Xác định hàm số y  ax  b để đồ thị của nó song song với đường thẳng y  3 x  1 và đi qua
điểm M  4; 5 .
e) Cho hai đường thẳng

y   m 2  3  x  2m  3
y   7m  9  x  m

 d1 

 d2 

Tìm giá trị của m để d1 / / d 2 .
Dạng 5. Chứng minh rằng một đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của tham số.
Muốn làm dạng này ra sẽ biểu diễn phương trình của hàm số đã cho về một phương trình mà với
mọi m chỉ nhận cặp  x0 ; y0  làm nghiệm.
Ví dụ. Cho đường thẳng y  mx  m  1 1 ( m là tham số). Chứng minh rằng đường thẳng 1
luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m.
Dạng 6. Quan hệ giữa parabol y  ax 2  a  0  và đường thẳng y  mx  n.
Như lý thuyết đã nêu ở trên.
Dạng 7. Cũng liên quan tới quan hệ parabol và đường thẳng những nâng cao hơn một chút với ứng dụng
của định lý Vi – ét trong các bài tốn tìm tham số để giải phương trình, diện tích tam giác,…
- Đầu tiên ta sẽ nhắc lại kiến thức về định lý Vi – ét để áp dụng cho dạng tốn này:
+ Nếu phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0  a  0  có hai nghiệm x1 ,x2 (phân biệt hoặc trùng nhau)
thì tổng S của chúng sẽ là 

c
b
, tích P của chúng bằng .
a
a

+ Hay có thể phát biểu lại thành
ax 2  bx  c  0  a  0 

   0

b
c
 x1  x2   ,x1 .x2 

a
a

Hướng giải. Áp dụng định lý Vi-ét ta sẽ biểu diễn các hoành độ hay tung độ về tham số bằng các
hằng đẳng thức quen thuộc hoặc là các kỹ thuật hạ bậc đã được nêu ở chuyên đề sử dụng định lý
Vi – ét:

Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 6933

- Trang | 13 -


x12  x22   x1  x2   2 x1 .x2
2

2
x13  x23   x1  x2   x12  x1 .x2  x22    x1  x2   x1  x2   3x1 x2  .



III) Bài tập tự luyện
Bài 1. Bài tập tự luyện
a) Xác định hệ số a để đường thẳng y  ax  6 cắt trục hoành tại điểm có hồnh độ bằng 2.
b) Cho đường thẳng  d1  : y  mx  1;  d 2  : y   3m  4  x  3. Tìm giá trị m để hai đường thẳng trên
song song với nhau; cắt nhau; vng góc với nhau.
c) Tìm điểm cố định mà mỗi đường thẳng sau luôn đi qua với mọi giá trị của m.
Bài 2. Quan hệ giữa đường thẳng và parabol
Câu 1. (Đề thi tuyển sinh lớp 10 TP. Hồ Chí Minh 2015 - 2016)

a) Vẽ đồ thị của hàm số y  ax 2 và đường thẳng  D  : y  x  2 trên cùng một hệ trục tọa độ.
b) Tìm tọa độ các giao điểm của  P  và  D  ở câu trên bằng phép tính.
Câu 2. (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, tỉnh)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol  P  : y  x 2 và đường thẳng  d  : y  2  m  1 x  5  2m (

m là tham số).
a) Vẽ parabol  P  .
b) Biết đường thẳng  d  luôn cắt parabol  P  tại hai điểm phân biệt. Gọi hoành độ giao điểm của
đường thẳng  d  và parabol  P  là x1 ,x2 . Tìm m để x12  x22  6.
Câu 3. (Đề thi tuyển sinh lớp 10 Tỉnh An Giang 2015 -2016)
Cho hàm số y  x 2 có đồ thị là parabol  P  .
a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
b) Viết phương trình đường thẳng  d  đi qua điểm nằm trên parabol  P  có hồnh độ x  2 và có
hệ số góc k. Với giá trị k nào thì  d  tiếp xúc với  P  .
Câu 4. (Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Thái Bình 2015 - 2016)
1 2
x và hai điểm A,B thuộc  P  có hồnh độ lần lượt là 1, 2. Đường thẳng
2
 d  có phương trình là y  mx  n.

Cho parabol  P  : y 

a) Tìm tọa độ hai điểm A,B. Tìm m,n biết  d  đi qua 2 điểm A và B.
b) Tính độ dài đường cao OH của tam giác OAB (điểm O là gốc tọa độ).
Câu 5. (Đề thi tuyển sinh lớp 10 Phú Thọ 2015 - 2016)
Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 6933

- Trang | 14 -

Cho parabol  P  : y  x 2 và đường thẳng  d  có phương trình y  2  m  1 x  3x  2.
a) Tìm tọa độ giao điểm của  P  và  d  với m  3.
b) Chứng minh  P  và  d  luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A,B với mọi m.
c) Gọi x1 ,x2 là hồnh độ giao điểm A,B. Tìm m để x12  x22  20.

CHUYÊN ĐỀ 4: GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ
PHƯƠNG TRÌNH VÀ CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ
I) Kiến thức cần nhớ
* Phương pháp giải
Bước 1. Lập phương trình hoặc hệ phương trình
Chọn ẩn số, đặt điều kiện của ẩn số.
Biểu diễn các đại lượng đề bài theo ẩn số.
Lập phương trình hoặc hệ phương trình để biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng của đề bài.
Bước 2. Giải phương trình hoặc hệ phương trình.
Vận dụng các phương pháp đã được học để giải phương trình hoặc hệ phương trình.
Bước 3. Kết luận
Kiểm tra xem tập nghiệm có thỏa mãn điều kiện hay khơng? Nếu thỏa mãn thì nhận, khơng thì
loại giái trị tiến tới kết luận.
* Một số lưu ý về đặt điều kiện, đặt ẩn:
- Thông thường đề hỏi vấn đề gì liên quan tới đại lượng đó thì ta sẽ đặt ẩn điều kiện đó.Ví dụ hỏi
số gà thì sẽ đặt số gà là x (con).
- Điều kiện của ẩn tùy theo trường hợp
+ x mà biểu diễn số có một chữ số thì điều kiện là 0  x  9.
+ x mà biểu diễn số sản phẩm, tuổi, số lượng, vận tốc thì điều kiện thường là x  0.
+ Ngồi ra cịn một số điều kiện khác mà chúng ra sẽ đề cập tới trong tuần sau.
II) Một số dạng bài tập cơ bản
Một số dạng cơ bản thường gặp
1) Toán về quan hệ giữa các con số.

2) Toán phần trăm.
3) Toán chuyển động.
4) Toán về sự thay đổi các thừa số tích.
Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 6933

- Trang | 15 -


5) Tốn có nội dung hình học.
6) Tốn có nội dung lý hóa.
7) Tốn về làm chung, làm riêng.
8) Tốn thực tế: Tính tiền điện nước, ngân hàng,…
9) Tốn cổ.
10) Toán với nghiệm nguyên dương.
Dạng 1. Toán về quan hệ giữa các con số
Ví dụ. Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục hơn chữ số hàng đơn vị là 2 và số
đó lớn hơn tổng bình phương các chữ số của nó là 1.
Hướng dẫn.
Phân tích. Đề u cầu tìm số tự nhiên có hai chữ số và cho dữ kiện liên quan giữa chữ số hàng
chục và hàng đơn vị nên ta sẽ đặt ẩn cho chữ số hàng đơn vị hoặc hàng chục từ đó có thể biểu
diễn thành phần cịn lại theo ẩn.
Lời giải. Gọi chữ số hàng đơn vị là x ( 0  x  9, x là số nguyên dương), khi đó chữ số hàng đơn vị
sẽ là x  1.
Khi đó số đó sẽ có dạng  x  2 x.
Theo bài ra ta có:

 x  2  x  x 2   x  1  1
 10  x  2   x  x 2  x 2  2 x  1  1

2

 2 x 2  7 x  15  0.

Tới đây có thể đưa về phương trình tích hoặc dùng nghiệm của phương trình bậc hai để giải ra
nghiệm.
3
x1   ; x2  5.
2

So với điều kiện thì giá trị 

3
sẽ bị loại. Giá trị 5 thỏa nên nhận.
2

Vậy số đó là 75.
Dạng 2. Tốn phần trăm.
Ví dụ. Mức sản xuất của một xí nghiệp cách đây 2 năm là 75000 dụng cụ/năm, hiện na
y là 90750 dụng cụ/năm. Hỏi năm sau xí nghiệp làm tăng hơn năm trước bao nhiêu phần trăm ?
Hướng dẫn.
Từ câu hỏi đề bài ta sẽ gọi mức tăng của xí nghiệm năm sau so với năm trước là x (%) ( x  0 ).
Theo đề bài ta sẽ có phương trình
Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 6933

- Trang | 16 -

75000 

75000 x 
75000 x  x
  75000 
 90750

100
100  100


 x 2  200 x  2100  0.

Phương trình này ta sẽ tìm được nghiệm nguyên dương là x  10.
Kết luận: Mỗi năm xí nghiệp tăng năng suất 10 %.
Dạng 3. Tốn chuyển động
Ví dụ. Một cano đi xi dịng 45km rồi ngược dịng 18km. Biết rằng thời gian xuôi lâu hơn thời
gian ngược 1 giờ và vận tốc xi dịng lơn hơn vận tốc ngược dịng là 6km / h. Tính vận tốc của
cano lúc ngược dòng.
Hướng dẫn.
Gọi vận tốc của cano lúc ngược dòng là x  km / h  x  0  .
Khi đó vận tốc cano lúc xi dịng là x  6  km / h  .
s
dễ dàng tính được thời gian đi xi dịng và thời gian ngược kết hợp
v
với giả thuyết đề bài ta có phương trình sau

Từ cơng thức s  v.t  t 

45 18

 1
x6 x
 x1  12,x2  9.
Tới đây ta có 2 kết quả thỏa mãn đề bài.
Dạng 4. Bài tốn về sự thay đổi các thừa số tích.
Ví dụ. Một phịng họp có 500 chỗ ngồi. Do phải xếp 616 chỗ ngồi, người kê thêm 3 dãy ghế và
mỗi dãy xếp thêm 2 chỗ ngồi. Tính số dãy ghế lúc đầu của phòng họp?
Hướng dẫn.
Gọi số dãy ghế lúc đầu của phòng hợp là x (dãy)  x 

.

Chú ý. Số chỗ ngồi mỗi dãy = số chỗ ngồi/số dãy (*).
Theo đề bài mỗi dãy xếp theo 2 chỗ nếu phải thêm 3 dãy ghế để xếp 616 chỗ ngồi. Do đó ta có
phương trình
616 500

2
x3
x

Giải phương trình ta sẽ thu được x1  25; x2  30.
Lưu ý rằng *  và số chỗ ngồi mỗi dãy phải là số tự nhiên nên giá trị x1  30 sẽ loại do

500
 .
30

Từ đó ta sẽ nhận giá trị x  25.
Kết luận: Số dãy ghế lúc đầu là 25 dãy.

Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 6933

- Trang | 17 -


Dạng 5. Tốn có nội dung hình học
Ví dụ. Tính các cạnh góc vng của một tam giác vng biết hiệu của chúng bằng 4m và diện tích
tam giác bằng 48cm 2 .
Hướng dẫn. Gọi một cạnh góc vng là x  m   x  0  . Biểu diễn cạnh góc vng cịn lại áp dụng
cơng thức tính diện tích tam giác vng sẽ tìm ra x.
Dạng 6. Tốn có nội dung Lý Hóa
Ví dụ. Vào thế kỷ thứ III trước Công nguyên, vua xứ Xi – ra – cut giao cho Ac –si – met kiểm tra
xem chiếc mũ bằng vàng của nhà vua có bị pha thêm bạc hay khơng. Chiếc mũ có trọng lượng 5
niu – tơn (theo đơn vị hiện nay), nhúng trong nước thì trọng lượng giảm 0,3 niu – tơn. Biết rằng
1
1
khi cần trong nước vàng giảm
trọng lượng, bạc giảm
trọng lượng. Hỏi chiếc mũ chưa bao
10
20
nhiêu gam vàng, bao nhiêu gam bạc?
Lời giải.
Gọi trọng lượng của vàng và bạc trong mũ thứ tự là x  N  và y  N  ( x, y  0 ).
Do chiếc mũ có trọng lượng là 5N nên ta có x  y  5 1 .
1
1
trọng lượng, bạc giảm

trọng lượng. Và nhúng vào
10
20
trong nước thì trọng lượng giảm 0,3  N  . Do đó

Mặt khác khi cần trong nước, vàng giảm

x
y
  0 ,3  2  .
20 10

Giải hệ phương trình bao gồm 1 , 2  ta sẽ thu được x  4, y  1.
Do đó mũ sẽ chứa 400(g) vàng, 100 (g) bạc.
*Lưu ý: Tùy bài tốn mà ta sẽ biết cách lập phương trình hay hệ phương trình để giải. Tuy nhiên
đó là đối với trường hợp đề khơng nói gì. Đối với những bài toán đề bài yêu cầu phải giải bài toán
bằng cách lập phương trình thì phải lập phương trình để giải, khơng được lập hệ phương trình và
ngược lại.
Dạng 7. Dạng tốn làm chung làm riêng
Ví dụ. Hai đội thủy lợi cùng đào một con mương. Nếu mỗi đội làm một mình cả con mương thì
thời gian tổng cộng hai đội phải làm là 25 ngày. Nếu hai đội cùng làm thì cơng việc hồn thành
trong 6 ngày. Tính xem mỗi đội làm một mình xong cả con mương trong bao lâu?
Hướng dẫn giải
Gọi thời gian để đội I hoàn thành công việc là x ngày ( x  0 ).
Gọi thời gian để đội II hồn thành cơng việc là y ngày ( y  0 ).

Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 6933

- Trang | 18 -


Tính được số phần cơng việc làm trong mỗi ngày của mỗi đội và lưu ý rằng khi hoàn thành công
việc tức là số phần công việc sẽ bằng một. Từ đó lập hệ phương trình để giải.
Đáp số: x  15, y  10.
Dạng 8. Tốn thực tế: Tính tiền điện nước, ngân hàng, giá sản phẩm
Ví dụ. (Đề thi tuyển sinh lớp 10 An Giang 2015 -2016)
Với sự phát triển của khoa học kỹ thuật hiện nay, người ta tạo ra nhiều mẫu xe lăn đẹp và tiện
dụng cho người khuyết tật. Công ty A đã sản xuất những chiếc xe lăn cho người khuyết tật với số
vốn ban đầu là 500 triệu đồng. Chi phí để sản xuất một chiếc xe lăn là 2,5 triệu đồng. Giá bán ra
mỗi chiếc là 3 triệu đồng.
a) Viết hàm số biểu diễn tổng số tiền đã đầu tư đến khi sản xuất ra được x chiếc xe lăn (gồm vốn
ban đầu và chi phí sản xuất) và hàm số biểu diễn số tiền thu được khi bán ra x chiếc xe lăn.
b) Công ty A phải bán bao nhiêu chiếc xe lăn mới có thể thu hồi được vốn ban đầu.
Lời giải.
a) Dễ thấy tổng chi phí vốn cố định và vốn sản xuất ra x chiếc xe lăn (đơn vị tính triệu đồng) sẽ là
y  500  2,5 x.
Hàm số biểu diễn số tiền thu được khi bán ra x chiếc xe lăn là y  3 x.
b) Để số tiền bán ra được và số vốn đầu tư ban đầu tư ban đầu bằng nhau, ta có

500  2,5x  3x  0,5x  500  x  1000.
Kết luận: Vậy công ty A phải bán 1000 chiếc xe lăn mới thu hồi được vốn ban đầu.
Dạng 9. Tốn cổ
Ví dụ. (Bài tốn cổ trong Tuyển tập toán bằng thơ của Hi Lạp)
Lừa và ngựa thồ hàng ra chợ
Ngựa thở than mình chở quá nhiều
Lừa rằng: “Anh chớ lắm điều !”
Tôi đây mới bị chất nhiều làm sao !
Anh đưa tôi một bao mang bớt

Thi tôi thồ nhiều gấp đơi anh
Chính tơi phải trút cho anh
“Một bao gánh đỡ mới thành bằng nhau”.
Hỏi lừa, ngựa chở mấy bao?
Hướng dẫn giải: Gọi số bao lừa, ngựa chỏ từ đó lập ra hệ phương trình.
Dạng 10. Các bài tốn với nghiệm nguyên dương
Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 6933

- Trang | 19 -


Ví dụ. Tìm số tự nhiên có ba chữ số sao cho chia nó cho 11, ta được thương bằng tổng các chữ số
của số bị chia.
Lời giải: Gọi số tự nhiên có ba chữ số đó là xyz  x, y,z  ;1  x  9,0  y  9,0  z  9  .
Bài toán này khác với các dạng trước không thể đưa thẳng để giải được mà phải biện luận ẩn.
Theo đề bài ra ta có:

xyz  11 x  y  z 
 100 x  10 y  z  11x  11 y  11z
 89 x  10 z  y
 89 x  yz
Mà yz là số có 2 chữ số. Nên x chỉ có thể là 1.
Do đó yz  89.
Do đó số cần tìm là 198 .
III) Bài tập tự luyện
Bài 1. Một đội xe cần chở 36 tấn hàng. Trước khi làm việc, đội được bổ sung thêm 3 chiếc xe nữa
nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn hàng so với dự định. Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe, biết khối lượng
hàng chở xe như nhau.

Bài 2. Trên một vùng biển được xem như bằng phẳng và khơng có chướng ngại vật. Vào lúc 6 giờ
có một tàu cá đi thẳng qua tọa độ X theo hướng từ Nam đến Bắc với vận tốc không đổi. Đến 7 giờ
một tàu du lịch cũng đi thẳng qua tọa độ X theo hướng từ Đông sang Tây với vận tốc lớn hơn
vận tốc tàu cá 12km/h. Đến 8 giờ khoảng cách giữa hai tàu là 60km. Tính vận tốc của mỗi tàu.
Bài 3. Hai đội cơng nhân cùng làm chung trong 4 giờ thì xong một con đường. Nếu mỗi đội làm
riêng để xong con đường thì thời gian đội thứ nhất ít hơn đội thức hai là 6 giờ. Hỏi nếu làm riêng
thì mỗi đội làm xong con đường trong thời gian bao lâu?
Bài 4. Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60km, sau đó chạy xi dịng 48km trên cùng một dịng
sơng có vận tốc của dịng nước là 2km/h. Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng, biết thời
gian xi dịng ít hơn thời gian ngược dịng 1 giờ.
Bài 5. Để lát nền lớp học, người ta dùng 1200 viên gạch hình chữ nhật. Mỗi viên gạch có chu vi 80
cm. Nếu giảm chiều dài 5 cm và tăng chiều rộng 5 cm thì có viên gạch hình vng. Diện tích viên
gạch hình vng lớn hơn diện tích viên gạch hình chữ nhật là 25cm2 . Tính số tiền cần dùng để lát
hết toàn bộ nền lớp học. Biết rằng 1m2 là 80000 đồng.
Bài 6. Bạn An gửi tiết kiệm kỳ hạn 1 năm với số tiền ban đầu là 5 triệu đồng. Sau 2 năm, bạn An
nhận được tổng số tiền cả vốn lẫn lãi là 5618000 đồng. Biết rằng trong thời gian đó, lãi suất khơng
thay đổi và bạn An không rút lão trong kỳ hạn trước đó. Hỏi lãi suất kỳ hạn 1 năm của ngân hàng
là bao nhiêu?

Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 6933

- Trang | 20 -


Bài 7. Lớp 9T có 30 bạn, mỗi bạn dự định đóng góp mỗi tháng 70000 đồng và sau 3 tháng sẽ đủ
tiền mua tặng cho mỗi em ở “Mai ấm tình thương” ba gói q (giá tiền các món quà đều như
nhau). Khi các bạn đó đóng đủ số tiền như dự trù thì “Mai ấm tình thương” đã nhận chăm sóc
thêm 9 em và giá tiền của mỗi món quà tăng thêm 5% nên chỉ tặng được mỗi em hai gói quà. Hỏi

có bao nhiêu em của “Mái ấm tình thương” được nhận q?

CHUN ĐỀ 5: HÌNH HỌC
I) Nhắc lại kiến thức cần nhớ
1) Hệ thức lượng trong tam giác vuông
2) Tỉ số lượng giác
3) Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vng
4) Đường trịn
- Trong phần này bao gồm nhiều phần, trong đó trọng tâm sẽ là
+ Các góc: góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung,..
+ Chứng minh tứ giác nội tiếp (đây là phần mà chắc chắn trong đề thi tuyển sinh vào 10 phải có).
+) Diện tích, chu vi đường trịn,..
5) Hình khơng gian
- Nắm các định nghĩa, và các cơng thức tính diện tích xung quanh, tồn phần, thể tích của các hình
như: hình cầu, hình trụ, hình nón,…
6) Các định lý tính chất khác
- Phải nắm vững được các định lý, tính chất trong sách giáo khoa ví dụ như: định lý Pytago,
thales, đường trung bình, trực tâm, trọng tâm,… Và các bổ đề.
II) Phương pháp giải các bài tốn hình học nói chung
Bước 1. Nắm vững các tính chất, định lý. Vẽ hình dễ nhìn và chính xác nhất có thể, để phục vụ
cho những bài về điểm cố định, đường cố định.
Bước 2. Đọc kỹ đề bài, xem giả thuyết cho gì, yêu cầu chứng minh gì.
Bước 3. Sau khi đã nắm vững được giả thuyết đề bài, và yêu cầu thì dành thời gian để định hướng
cho bài toán, xem hướng nào tối ưu. Bắt tay vào triển khai ý tưởng, nhưng không nên dành quá
nhiều thời gian cho một ý tưởng. Trong các bài tốn hình thì có thể tìm hướng giải theo 2 cách:
+ Cách 1: Từ giả thuyết bạn sẽ tìm ra điều phải chứng minh.
+ Cách 2: Suy luận ngược, từ yêu cầu đề bài suy ngược lên giả thuyết. Ví dụ đề bài u cầu chứng
minh hình gì đó là hình chữ nhật thì trong đầu nghĩ ngay rằng sẽ đi chứng minh: hình đó có 3 góc
vng, hay hình thang cân, hình bình hành có một góc vng, hình bình hành có hai đường chéo
bằng nhau,… Từ đó liên kết với giả thuyết xem cái nào tối ưu. Sau khi đã chọn được hướng chỉ

cần làm xuôi lại là coi như bài tốn đã hồn tất.
Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 6933

- Trang | 21 -


Bước 4. Kiểm tra lại bài toán.
III) Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB  2R, D là một điểm tùy ý trên nửa đường
tròn ( D khác A và D khác B ). Các tiếp tuyến với nửa đường tròn  O  tại A và A cắt nhau tại

C,BC cắt nửa đường tròn  O  tại điểm thứ hai là E. Kẻ DF vng góc với AB tại F.
a) Chứng minh tứ giác OACD nội tiếp.
b) Chứng minh CD2  CE.CB.
c) Chứng minh đường thẳng BC đi qua trung điểm của DF.
d) Giả sử OC  2R, tính diện tích phần tam giác ACD nằm ngồi nửa đường trịn  O  theo R.
Bài 2. Cho tam giác ABC  AB  AC  có ba góc nhọn. Đường trịn tâm O đường kính BC cắt các
cạnh AC,AB lần lượt tại E,F. Gọi H là giao điểm của BE và CF. D là giao điểm của AH và

BC.
a) Chứng minh AD vng góc với BC.
b) Chứng minh EFDO là tứ giác nội tiếp.
c) Trên tia đối của DE lấy điểm L sao cho DL  DF. Tính số đo BLC.
d) Gọi R,S lần lượt là hình chiếu của B,C lên EF. Chứng minh DE  DF  RS.
Bài 3. Cho tam giác ABC  AB  AC  . Đường trịn tâm O đường kính BC cắt AB,AC lần lượt tại

E,D. CE cắt BD tại H và AH cắt BC tại K.
a) Chứng minh tứ giác BEHK nội tiếp và KA là tia phân giác EKD.

b) Gọi AI ,AJ là các tiếp tuyến của đường tròn  O  ( I ,J là các tiếp điểm và hai điểm D,J nằm
cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AK ). Chứng minh rằng IKE  DKJ .
c) Chứng minh 3 điểm J ,H ,I thẳng hàng.
d) Đường thẳng qua K và song song với ED cắt AB và CH lần lượt tại Q và S. Chứng minh
rằng KQ  KS.

Hocmai.vn sưu tầm
Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 6933

- Trang | 22 -


Mua sách tham khảo các loại giá rẻ nhất tại đây, click xem chi tiết:
MUA NGAY

Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 6933

- Trang | 23 -