skkn Giúp học sinh học sinh 9

Khai thác bài tốn hình học nhằm phát triển tư duy Tốn học
Phần thứ nhất
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Đối với học sinh THCS, mơn hình học là phân mơn mang tính trừu tượng và mới lạ.
Hầu hết với học sinh đại trà, các em nắm kiến thức hình học trên cơ sở hết sức rời rạc, chưa
đủ khả năng khái qt hố kiến thức đã học do đó các em chưa định hình được kiến thức bộ
mơn. Hơn nữa học mơn hình học đòi hỏi khơng những nắm chắc kiến thức cơ bản ngay sau
mỗi bài học cụ thể, vận dụng lý thuyết vào bài tập mà còn đòi hỏi hệ thống kiến thức trước
đó một cách hệ thống, liên tục và đặc biệt là tư duy lơgíc. Vì vậy việc vận dụng lý thuyết
vào bài tập gặp rất nhiều khó khăn. Hơn nữa trong ba phân mơn tốn ở bậc THCS, mơn
hình học có tính trừu tượng cao. Để giải quyết bài tốn hình thực sự dựa trên phương diện lý
luận sử dụng trực quan trên hình vẽ. Để hiểu thấu đáo mơn hình học phải dựa trên phương
diện quĩ tích. Nghĩa là với mỗi trường hợp của bài tốn cho ta một kết luận và nhận xét
riêng hoặc có những trường hợp đặc biệt học sinh thường hay ngộ nhận. Đặc biệt hơn khi
hình vẽ suy biến hoặc kẻ thêm đường phụ nó đã trở thành bài tốn khác hẳn và khó khăn
hơn trong việc tìm tòi và giải bài tốn.
Có một lí do thường gặp là học sinh chỉ giải xong bài tốn - tức là đóng tròn vai (như
thế đã là tốt với học sinh học mơn hình học) coi như đã hồn thành mà rất ít em tư duy khai
thác bài tốn, nhìn nhận bài tốn dưới nhiều góc độ khác nhau để phát triển nó thành bài
tốn khác.
Trong đề tài này, với khả năng và kinh nghiệm của bản thân tơi muốn rằng: Từ một
bài tốn quen thuộc trong chương trình học ở bậc THCS qua một số thao tác thay đổi một
vài yếu tố hoặc đưa nó thành bài tốn tổng qt hố; hoặc đặc biệt hố nhằm phát triển tư
duy hình học của học sinh. Ta sẽ cung cấp được nhiều điều lí thú cho học sinh trong q
trình giảng dạy.
2. Mục đích của đề tài:
Người thực hiện:
NGUYỄN XUÂN CHUYÊN
-THCS Nguyễn Thò Minh Khai
1

Khai thác bài tốn hình học nhằm phát triển tư duy Tốn học
Trong đề tài này trước hết nhằm củng cố kiến thức cơ bản cho học sinh, giúp cho học
sinh có kĩ năng cơ bản để giải bài tốn hình học, từ đó phát triển thành bài tốn lên ở mức
độ cao hơn.
Thứ hai thơng qua khai thác bài tốn giúp các em biết nghiên cứu sâu bài tốn bằng
cách cho các em tập dượt dùng một số thao tác tư duy: Khái qt hố, đặc biệt hố, tương
tự,… để tự mình đặt , thay đổi bài tốn từ bài tốn ban đầu.
3. Khách thể, đối tượng, phương pháp nghiên cứu và đối tượng khảo sát:
Khách thể: Trong đề tài này tơi thực hiện việc giảng dạy mơn tốn hình thơng qua
học sinh lớp 9.
Đối tượng: Bài tập trong SGK, sách bài tập và sách nâng cao.
Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp cơ bản để thực hiện đề tài này là sử dụng
phương pháp phân tích đi lên để khai thác bài tốn, phương pháp tổng hợp để rèn kĩ năng
trình bày cho học sinh. Sau đó sử dụng phương pháp khái qt hố, tương tự, đặc biệt hố,
… để khai thác và phát triển bài tốn ở mức độ cao hơn. Phương pháp nghiên cứu tài liệu
nhằm thơng qua thực tiễn áp dụng phương pháp giảng dạy bài tập rút ra kinh nghiệm,
Phương pháp đánh giá kết quả.
Đối tượng khảo sát: Học sinh lớp 9B, 9C,9D trường THCS Nguyễn Thò Minh Khai
thành phố Buôn Ma Thuột.
Đối tượng khảo sát là học sinh lớp 9 với mức độ tư duy ở mức trung bình ở lớp trực
tiếp đang dạy và lớp khác trong trường.
4. Nhiệm vụ, phạm vi và thời gian thực hiện đề tài:
Vấn đề này đặt ra tưởng như đơn giản nhưng lại hết sức phức tạp mà tơi và các đồng
nghiệp đã từng tranh luận và bàn bạc nhiều. Để được nó đòi hỏi phải tư duy nghiêm túc,
phải lao động thực sự. Do vậy trong đề tài này tơi mong đạt được 2 nội dung sau:
1. Củng cố kiến thức cơ bản cho học sinh;
2. Giúp cho học sinh có phương pháp suy luận lơgíc để tìm hiểu mối liên hệ, liên
quan giữa các bài tốn.
Người thực hiện:
NGUYỄN XUÂN CHUYÊN

-THCS Nguyễn Thò Minh Khai
2
Khai thác bài tốn hình học nhằm phát triển tư duy Tốn học
Từ đó tạo cho học sinh có phương pháp học tập đúng đắn, biến cái đã học (kiến thức
của thày) thành cái của bản thân, nắm bắt nó, vận dụng nó, phát triển nó đúng hướng. Qua
đó giúp các em tạo niềm tin, hưng phấn, hứng thú và say mê học mơn hình học.
Phạm vi của đề tài tác giả chỉ mong muốn trong mỗi giờ lên lớp tiết hình học, thơng
qua các bài tập trong SGK, sách bài tập, sách nâng cao.
Thời gian thực hiện của đề tài: Sau khi kết thúc năm học 2009-2010 tơi rút kinh
nghiệm và nêu ý tưởng thực hiện đề tài.
Tháng 11 năm 2010 viết đề cương
Tháng 2 năm 2011 viết hồn thiện đề tài.
5. Đóng góp mới về mặt khoa học của đề tài:
Đề tài đưa ra được sự đổi mới về phương pháp giảng dạy loại bài luyện tập trong tiết
luyện tập một cách nhẹ nhàng, giúp học sinh cảm thấy một giờ luyện tập khơng nặng nề,
nhàm chán, khơ khan, khn mẫu mà đã làm cho học sinh phát huy tính tích cực, chủ động
sáng tạo trong giờ học trên lớp.
Phần thứ hai
NỘI DUNG ĐỀ TÀI
Chương I: Cơ sở khoa học, cơ sở thực tiễn của đề tài
Cơ sở khoa học:
Như chúng ta đều biết, khi mới xuất hiện, hình học là một khoa học về đo đạc, qua
một số các đối tượng, vật cụ thể trong thực tiễn đã dần dần được khái qt thành những khái
niệm trừu tượng: Với 3 khái niệm cơ bản khơng được định nghĩa: Điểm, đường thẳng, mặt
phẳng. Từ đó mơn hình học dần dần trở thành một mơn khoa học suy diễn, tức là mơn khoa
học mà những kết luận đúng đắn đều được chứng minh bằng lập luận chặt chẽ chứ khơng
bằng cách qua thực nghiệm như những mơn khoa học thực nghiệm khác.
Mơn hình học bản thân mang tính lập luận, tính trừu tượng cao. Nhưng để học sinh
tiếp thu được, hiểu được nhiều khi chúng ta phải dùng trực quan thơng qua mơ hình, hình
Người thực hiện:

NGUYỄN XUÂN CHUYÊN
-THCS Nguyễn Thò Minh Khai
3
Khai thác bài tốn hình học nhằm phát triển tư duy Tốn học
vẽ, vật cụ thể,… để học sinh nắm bắt và hiểu bản chất của vấn đề. Điều đó rất đúng bởi q
trình tư duy của con người bao giờ cũng tn theo quy luật đó. Như Lê Nin đã khẳng định
"Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, rồi từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn, đó là
con đường biện chứng của sự nhận thức chân lí của sự nhận thức khách quan".
Trong q trình dạy học mơn Tốn người thày cần thấm nhuần ngun lí giáo dục:
"Học đi đơi vời hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, nhà trường gắn liền với xã
hội".
Thơng qua mơn tốn, học sinh tiếp cận và tiếp thu các mơn học tự nhiên khác. Bởi
dạy mơn Tốn cho học sinh khơng những truyền thụ kiến thức cho các em mà quan trọng
hơn là dạy tư duy.
Cơ sở thực tiễn:
Hình học là mơn học rất khó, trừu tượng cao đối vời học sinh bậc THCS. Trong hình
học phẳng nói chung học sinh đều cảm thấy có ít nhiều khó khăn.
Chương II:
Thực trạng vấn đề mà nội dung của đề tài đề cập đến
Trong q trình giảng dạy mơn tốn bậc THCS, với nhiều năm trong nghề tơi thấy
tình trạng chung là học sinh khơng thích thậm chí là sợ mơn hình. Vì lí do khó hiểu, mắc
trong q trình tìm tòi lời giải bài tốn, mất phương hướng và khơng biết để chứng minh bài
tốn thì bắt đầu từ đâu, làm như thế nào.
Trong q trình giảng dạy mơn hình ngay trong mỗi tiết học người thày khơng
thường xun tạo thói quen, rèn thói quen cho học dùng phương pháp phân tích đi lên để
tìm lờp giải bài tốn thì học sinh dần dần học sinh sẽ khó tiếp thu, khơng tự giải được bài
tốn hình.
Nghiên cứu ngun nhân, tơi thấy có mấy điểm dưới đây:
1. Học sinh chưa nắm chắc những khái niệm cơ bản.
2. Sách giáo khoa biên soạn tuần tự theo hệ thống kiến thức đường thẳng, khơng tổng

hợp từng loại, từng dạng làm cho học sinh khó nắm bắt cách giải các bài tốn.
Người thực hiện:
NGUYỄN XUÂN CHUYÊN
-THCS Nguyễn Thò Minh Khai
4
Khai thác bài tốn hình học nhằm phát triển tư duy Tốn học
3. Trong SGK các bài tốn mẫu thường là ít, hướng dẫn gợi ý chưa thật đầy đủ nên
khó tiếp thu và nghiên cứu.
4. Học sinh thường chỉ học "Vẹt" các định lí và quy tắc.
Trong các trường THCS hiện nay, tình hình phổ biến là đại đa số học sinh khơng
thích học mơn hình học. Điều này theo tơi nghĩ có thể là do nhiều ngun nhân. Nhưng theo
tơi là giáo viên chưa chuẩn bị một cách chu đáo một giờ luyện tập, thơng qua đó củng cố
kiến thức cơ bản cho học sinh, rèn kĩ năng vận dụng kiến thức vào bài tập, kĩ năng trình
bày, hơn thế nữa rèn tính sáng tạo, phát triển tư duy tốn học cho học sinh.
Như vậy muốn có một giờ luyện tập tốt, theo tơi phải lưu ý mấy vấn đề sau:
- Chọn hệ thống bài tập như thế nào cho một giờ luyện tập;
- Phải sắp xếp hệ thống các câu hỏi từ dễ đến khó (có gợi mở);
- Phải tổ chức tốt và thể hiện vai trò chủ đạo của người thày;
- Sau mỗi bài cần tập dượt cho học sinh nghiên cứu sâu lời giải (nếu có).
Tơi xin được đề cập đến vấn đề: "Khai thác bài tốn nhằm phát triển tư duy tốn
học của học sinh"
Nội dung chính của bài viết tơi bắt đầu từ một số bài tốn đơn giản trong chương
trình lớp 9 bậc THCS rồi phát triển nó rộng ra ở mức độ tương đương, phức tạp hơn rồi cao
hơn nhưng vẫn phù hợp với tư duy lơgíc của các em để tạo cho các em niềm say mê học tập
mơn tốn đặc biệt là mơn hình học.
Chương III:
Những biện pháp, giải pháp đặt ra của đề tài
Từ bài tập số 7 trang 134 (SGK hình học lớp 9-NXB Giáo dục 2009), sau khi học
sinh được làm, tơi đã thay đổi thành bài tốn có nội dung như sau:
Bài tốn 1: Cho ∆ABC đều cạnh a, gọi O là trung điểm của BC. Trên cạnh AB, AC theo thứ

tự lấy M, N sao cho góc MON = 60
0
.
Người thực hiện:
NGUYỄN XUÂN CHUYÊN
-THCS Nguyễn Thò Minh Khai
5
Khai thác bài tốn hình học nhằm phát triển tư duy Tốn học
a) Chứng minh
4
.
2
a
CNBM
=
;
b) Gọi I là giao điểm của BN và OM. Chứng minh BM.IN = BI.MN;
c) Chứng minh MN ln tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Phân tích bài tốn:

4
.
2
a
CNBM
=


⇑

2
.
2
.
aa
CNBM
=

⇑

COBOCNBM ..
=

⇑

CN
CO
BO
BM
=

⇑
∆BMO đồng dạng ∆CON

⇑

0
60
ˆ
ˆ

==
CB
gócBMO = gócCON
Người thực hiện:
NGUYỄN XUÂN CHUYÊN
-THCS Nguyễn Thò Minh Khai
6
a) Ở phần a là một dạng tốn chứng minh
hệ thức, chính vì vậy việc hướng dẫn học
sinh tìm lời giải bài tốn hết sức quan
trọng nhằm phát triển tư duy hình học ở
học sinh.
Chúng ta có thể dùng phương pháp phân
tích đi lên để tìm lời giải bài tốn. Với sơ
đồ như sau:
COB
N
I
M
A
Căn cứ vào sơ đồ ta có lời giải sau:
Ta có ∆BMO: gócB+gócM+gócO = 180
0
gócBMO+gócMON+gócNOC = 180
0
(gócBOC = 180
0
)

⇒

gócBMO = gócCON; lại có
0
60
ˆ
ˆ
==
CB
(vì∆ABCđều)
⇒
∆BMO đồng dạng ∆CON (g.g), từ đó suy ra
CN
CO
BO
BM
=
hay
COBOCNBM ..
=
; mà
22
aBC
COBO
===
do đó
4
.
2
a
CNBM
=

(đpcm)
Khai thác bài tốn hình học nhằm phát triển tư duy Tốn học

⇑
gócB+gócBMO+gócBOM = gócBMO+gócMON+gócNOC (= 180
0
).
b) Cũng tương tự như vậy ở phần b) thày giáo cũng giúp học sinh phát triển tư duy
lơgic, thao tác tư duy phân tích, tổng hợp, đặc biệt là tư duy phân tích đi lên- một thao tác tư
duy đặc trưng của mơn hình học. Với sự phân tích như vậy học sinh sẽ thấy đó chính là sử
dụng tính chất đường phân giác của tam giác BMN. Nghĩa là học sinh cần chỉ ra MI là tia
phân giác của gócBMN. Từ đó ta có lời giải sau:
Theo phần a) ∆BMO đồng dạng ∆CON suy ra
ON
MO
BO
BM
hay
ON
MO
CO
BM
==
lại có gócB =
gócMON (=60
0
)
⇒
∆BMO đồng dạng ∆OMN (c.g.c). Từ đó suy ra gócBMO = gócOMN do
đó MO là tia phân giác của góc BMN hay MI là tia phân giác gócBMN.

Xét ∆BMN có MI là tia phân giác của gócBMN, áp dụng tính chất đường phân giác trong
tam giác ta có
IN
IB
MN
MB
=
hay
MNBIINBM ..
=
(đpcm).
c) Đây là một dạng tốn liên quan giữa tính bất biến (cố định) và tính thay đổi: Ứng
với mỗi điểm M, N thì ta có vị trí của đoạn thẳng MN thay đổi theo (chuyển động) nhưng
lại ln tiếp xúc với một đường tròn cố định (bất biến). Vậy trước khi tìm lời giải của bài
tốn giáo viên cần cho học sinh chỉ ra yếu tố cố định, yếu tố nào thay đổi.
Người thực hiện:
NGUYỄN XUÂN CHUYÊN
-THCS Nguyễn Thò Minh Khai
7
H
K
COB
N
I
M
A
Khai thác bài tốn hình học nhằm phát triển tư duy Tốn học
Ta có lời giải sau: Từ O kẻ OH, OK theo tứ tự vng góc với AB và MN. Do O, AB cố định
nên OH cố định Vậy đường tròn (O;OH) là đường tròn cố định.
Vì MO là tia phân giác của góc BMN nên OK = OH (t/c đường phân giác)

→ K
∈
(O;OH) (1) lại có OK
⊥
MN ( cách dựng) (2)
từ (1) và (2) suy ra MN là tiếp tuyến của đường tròn (O;OH). Vậy MN ln tiếp xúc với
một đường tròn (O;OH) cố định.
Khai thác bài tốn:
Ở phần a) của bài tốn ta thấy tích BM.CN khơng đổi, nếu sử dụng BĐT Cơsi ta có
thêm câu hỏi sau:
1.1: Tìm vị trí của M, N trên AB, AC để BM + CN đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải: Áp dụng BĐT Cơsi cho hai số khơng âm là BM, CN ta có
CNBMCNBM .2
≥+

dấu "=" xảy ra
⇔
BM = CN. Theo phần a)
4
.
2
a
CNBM
=
do đó
a
a
CNBM
=≥+
4

2
2
(khơng đổi).
Vậy GTNN của BM+CN = a
⇔
BM = CN =
2
a

⇔
M, N theo thứ tự là trung điểm của AB
và AC.
1.2: Ta thử suy nghĩ nếu tam giác ABC là tam giác cân thì bài tốn còn đúng khơng?
và giả thiết như thế nào? từ đó ta có bài tốn sau:
Bài tốn 1.2: Cho tam giác ABC cân ở A, O là trung điểm BC. Trên cạnh AB, AC
theo thứ tự lấy các điểm M, N sao cho gócBMO = gócCON.
Chứng minh rằng:
Người thực hiện:
NGUYỄN XUÂN CHUYÊN
-THCS Nguyễn Thò Minh Khai
8
a)
4
.
2
BC
CNBM
=
;
b) BN

∩
MO =
{ }
I
, Chứng minh
BI.MN = IN.BM;
c) Khi M, N thay đổi trên AB, AC thì MN
ln tiếp xúc với một đường tròn cố định.
A
M
B
C
N
Vớ
i
cá
ch
ch
ứn
g
mi
nh
ho
àn
tồ
n
tư
ơn
g
tự,

ta
ch
ứn
g
mi
nh
đư
ợc
gó
cB
=
gó
c
M
O
N.
O
I