C3 phuong trinh bac nhat mot an chu de 4 phuong trinh tich phien ban dien tu
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (906.03 KB, 29 trang )
CHỦ ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Phương trình tích
Phương trình tích là phương trình có dạng:
A(x).B(x)C(x).D(x) = 0.
Trong đó A(x).B(x)C(x).D(x) là các nhân tử .
A(x) = 0
B(x) = 0
Cách giải: A(x).B(x)C(x).D(x) = 0 ⇔
C(x) = 0
D( x) = 0
2. Phương trình đưa về phương trình tích
Để đưa phương trình về dạng phương trình
tích , ta áp dụng phương pháp phân tích một
đa thức thành nhân tử.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: Dùng các
quy tắc toán học, các hằng đẳng thức đáng nhớ
và các phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử để đưa phương trình về dạng phương
trình tích rồi giải.
C. BÀI TẬP MẪU CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài tập mẫu 1: Giải các phương trình sau:
a. x + 5 2x –3 = 0.
b. x x – 2 – 3 x + 6 = 0 .
c. 2x x –3 + 5 3– x = 0 . d. 3x − 1 − 2 x +1 = 0 .
2 3
Hướng dẫn giải
a. Ta có hai trường hợp:
TH 1:
TH 2:
x + 5 = 0 ⇔ x =−5 . 2 x − 3 = 0 ⇔ 2 x = 3 ⇔ x = 3 .
2
3
Vậy tập nghiệm là: S = −5; .
2
b. Ta có biến đổi:
x x – 2 – 3 x – 2 = 0 ⇔ x – 2 x − 3 = 0 .
Ta có hai trường hợp:
TH 1: x − 2 = 0 ⇔ x = 2 . TH 2: x −3 = 0 ⇔ x = 3.
Vậy tập nghiệm là: S = 2;3 .
c. Ta có biến đổi:
2 x x – 3 − 5 x − 3 = 0 ⇔ x − 3 2 x − 5 = 0
Ta có hai trường hợp:
TH 1:
TH 2:
x − 3 = 0 ⇔ x = 3 . 2x −5 = 0 ⇔ 2x = 5 ⇔ x = 5 .
2
5
Vậy tập nghiệm là: S = 3; .
2
d. Ta có hai trường hợp:
TH 1: 3x− 1 = 0
TH 2: − 2 x + 1 = 0
⇔ 3x = 1 ⇔ x = 1
2
6
⇔ − 2 x = − 1⇔ x = 3 .
3
2
2
3
1
3
Vậy tập nghiệm là: S = ; .
6 2
Bài tập mẫu 2: Giải các phương trình sau:
a. x –3 3–4x + x2 –6x + 9 = 0
2
b. 2 x –1 + 2 – x 2 x – 1 = 0
c. 3x –2 4x + 5 = 0
d. x x –4 –3x +12 = 0
Hướng dẫn giải
a. Ta có biến đổi: x –3 3–4x + x –3 = 0
2
⇔ x − 3 3– 4 x + x –3 = 0 ⇔ x − 3 − 3x = 0 .
Ta có hai trường hợp:
TH 1:
TH 2:
x −3 = 0 ⇔ x = 3
− 3x = 0 ⇔ x = 0 ⇔ x = 0 .
−3
Vậy tập nghiệm là: S = 3;0
b. Ta có biến đổi:
2 x –1 2 x –1+ 2 − x = 0 ⇔ 2 x –1 x +1 = 0
Ta có hai trường hợp:
TH 1: 2x−1= 0
TH 2:
⇔ 2 x =1⇔ x = 1
2
x + 1 = 0 ⇔ x = − 1.
1
Vậy tập nghiệm là: S = ; − 1
2
c. Ta có hai trường hợp:
TH 1:
TH 2:
3x – 2 = 0 ⇔ x = 3
2
4x + 5 = 0 ⇔ x = − 5 .
4
Vậy tập nghiệm là: S = − 5 ; 3
42
d. Ta có: x x –4 –3x +12 = 0 ⇔ x −3 x –4 = 0
Ta có hai trường hợp:
TH 1: x − 3 = 0 ⇔ x = 3 TH 2: x − 4 = 0 ⇔ x = 4 .
Vậy tập nghiệm là: S = 3;4 .
Bài tập mẫu 3: Giải các phương trình sau:
a. 4x –10 20 + 5x = 0 b. x –2020 3x +8 = 0
c. x + 2 3–4x = x2 + 4x + 4 d. 2x x –3 +5 3− x =0
Hướng dẫn giải
a. Ta có hai trường hợp:
TH 1: 4x−10 = 0
TH 2: 20 + 5x = 0
⇔ 4 x =10 ⇔ x = 5
2
⇔ 5 x = − 20 ⇔ x = − 4 .
5
Vậy tập nghiệm là: S = ;−4
2
b. Ta có hai trường hợp:
TH 2: 3x+8 = 0
TH 1:
x − 2020 = 0 ⇔ x = 2020 ⇔ 3 x = − 8 ⇔ x = − 8 .
3
8
Vậy có tập nghiệm là: S = 2020;−
3
c. Ta có biến đổi: x + 2 3–4x = x + 2
2
2
⇔ x + 2 3– 4x − x + 2 = 0
⇔ x + 2 3− 4x − x − 2 = 0
⇔ x + 2 1−5x = 0
.
Ta có hai trường hợp:
TH 1:
TH 2: 1−5x = 0
x + 2 = 0 ⇔ x = −2
⇔ − 5 x = − 1⇔ x = 1 .
5
1
Vậy tập nghiệm là: S = −2;
5
d. Ta có biến đổi: 2x x –3 –5 x –3 = 0
⇔ x –3 2x −5 = 0
Ta có hai trường hợp:
TH 1:
TH 2: 2x –5 = 0
x −3= 0 ⇔ x = 3
⇔ 2x = 5 ⇔ x = 5 .
2
Vậy tập nghiệm là: S = 5;3
2
Bài tập mẫu 4: Giải các phương trình sau:
2
a. x –25 + x –5 2x –11 = 0
2
b. x –6x + 9 –4 = 0
c. x + 7 x − 4 = 2 x − 4
2
d. 3x −1 =16
Hướng dẫn giải
a. Ta có biến đổi: x –5 x + 5 + x –5 2x –11 = 0
⇔ x – 5 x + 5 + 2 x −1 1 = 0 ⇔ x – 5 3 x − 6 = 0
Ta có hai trường hợp:
TH 1:
TH 2: 3x− 6 = 0
x −5= 0 ⇔ x =5
⇔ 3x = 6 ⇔ x = 2 .
Vậy tập nghiệm là: S = 5;2 .
2
b. Ta có biến đổi: x −3 –22 = 0
⇔ x − 3 − 2 x − 3 + 2 = 0 ⇔ x − 5 x −1 = 0
Ta có hai trường hợp:
TH 2: x −1= 0 ⇔ x =1.
TH 1: x − 5 = 0 ⇔ x = 5
Vậy tập nghiệm là: S = 5;1
c. Ta có biến đổi: x + 7 x − 4 − 2 x − 4 = 0
⇔ x − 4 x + 7 − 2 = 0 ⇔ x − 4 x + 5 = 0
Ta có hai trường hợp:
TH 1: x − 4 = 0 ⇔ x = 4 TH 2: x + 5 = 0 ⇔ x = −5 .
Vậy tập nghiệm là: S = 4;−5
2
2
d. Ta có: 3 x −1 −16 = 0 ⇔ 3 x −1 − 4 2 = 0
⇔ 3x −1− 4 3x −1+ 4 = 0 ⇔ 3x −5 3x + 3 = 0 .
Ta có hai trường hợp:
TH 1: 3x−5 = 0
TH 2: 3x+ 3 = 0
⇔ 3x = 5 ⇔ x = 5
3
⇔ 3 x = − 3 ⇔ x = − 1.
5
Vậy tập nghiệm là: S = ;−1 .
3
Bài tập mẫu 5: Giải các phương trình sau:
2
2
a. 3 x −1 − x2 +1= 0 b. 4 x − 3 = 9 2 − 3x
2
2
c. 4 x − 25 − 9 2 x − 5 = 0
2
d. x − 6 = 2 x − 3 x − 6 .
e. x2 + x = 2 x + 2 f. x2 x −3 − 2 3− x = 0
2
2
g. x − 3 = 2 x + 7
Hướng dẫn giải
2
2
a. Ta có biến đổi: 3 x −1 − x −1 = 0
2
⇔ 3 x −1 − x −1 x +1 = 0
⇔ x −1 3 x −1 − x +1 = 0
⇔ x −1 3x − 3 − x −1 = 0
⇔ x −1 2 x − 4 = 0
2
Ta có hai trường hợp:
TH 1:
TH 2: 2x− 4 = 0
x −1= 0 ⇔ x =1
⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2.
Vậy tập nghiệm là: S = 1;2
2
2
b. Ta có biến đổi: 4 x −3 −9 2 −3x = 0
2 2
2
2
⇔ 2 x −3 −3 2 −3x = 0
2
2
⇔ 2 x −3 − 3 2 −3x = 0
⇔ 2 x −3 −3 2 −3x 2 x −3 + 3 2 −3x = 0
⇔ 2x − 6 − 6 + 9x 2x − 6 + 6 −9x = 0
⇔ 11x −12 −7 x = 0
Ta có hai trường hợp:
TH 1: 11x−12 = 0
TH 2: −7 x = 0
⇔ 11x =12 ⇔ x = 12
11
⇔ x= 0 ⇔ x=0.
−7
12
Vậy tập nghiệm là: S = ;0
11
2
2
c. Ta có biến đổi: 2x −52 −9 2x −5 = 0
2
⇔ 2x −5 2x + 5 −9 2x −5 = 0
⇔ 2x −5 2x + 5 −9 2x −5 = 0
⇔ 2x −5 2x + 5−18x + 45 = 0
⇔ 2x −5 −16x + 50 = 0
Ta có hai trường hợp:
TH 1: 2x−5 = 0
⇔ 2x = 5 ⇔ x = 5
2
TH 2: −16x + 50 = 0
⇔ x = −50 ⇔ x = 25
−16
8
5
25
Vậy tập nghiệm là: S = ;
2 8
2
2
d. Ta có biến đổi : x − 6 = 2x − 3 x − 6
⇔ x − 6 x + 6 − 2x − 3 x − 6 = 0
⇔ x − 6 x − 6 − 2x + 3 = 0
⇔ x − 6 −x − 6 + 3 = 0
Ta có hai trường hợp:
TH 1:
TH 2: − x − 6 + 3 = 0
+ x − 6 = 0 ⇔ x = 6 ⇔−x = 6 − 3 ⇔ x = 3 − 6
Vậy tập nghiệm là: S =
6; 3 − 6
e. Ta có biến đổi : x( x +1) = 2( x +1) .
⇔ x(x +1) − 2( x +1) = 0 ⇔ ( x +1)( x − 2) = 0
x +1= 0
⇔
⇔ x =−1
x − 2 = 0
x = 2
Vậy tập nghiệm là S = −1;2
f. Ta có biến đổi: x2 x −3 + 2 x −3 = 0
2
⇔ x −3 x + 2 = 0
Nhận xét: x2 + 2 > 0 nên phương trình trên
tương đương: x −3 = 0 ⇔ x = 3
Vậy tập nghiệm là: S = 3
2
g. Ta có biến đổi: x −3 = 2x + 7
2
2
⇔ x −3 − 2x + 7 = 0
2
⇔ x −3+ 2x + 7 x −3− 2x − 7 = 0
3
3
x
+
4
=
0
3
x
=−
4
=−
x
⇔ 3x + 4 − x −10 = 0 ⇔ − x −10=0 ⇔ − x =10 ⇔ 4
x =−10
−
4
Vậy tập nghiệm là: S = −10; .
3
Bài tập mẫu 4: Giải các phương trình sau:
a. 3 x − 1 = 1 x 3 x − 7
7
7
2
2
b. x − 2 4 x − 3 = x − 2 x −12
c. x + 2 3 − 4 x = x 2 + 4 x + 4
Hướng dẫn giải
a. Ta có biến đổi: 3 x − 7 = 1 x 3 x − 7
7
7 7
⇔ 1 3x − 7 − 1 x(3x − 7) = 0 ⇔ 1 3x − 7 1− x = 0
7
7
7
x=7
3
x
−
7
=
0
⇔
⇔
3
1− x = 0
x =1
7
Vậy tập nghiệm là: S = 1; .
3
2
2
b. Ta có: x − 2 4 x − 3 − x − 2 x −12 = 0
2
⇔ x − 2 4x −3− x +12 = 0
2
x=±
x
−
2
=
0
2
2
⇔ x − 2 3x + 9 = 0 ⇔
⇔
3x + 9 = 0 x = − 3
Vậy tập nghiệm là: S = − 2; 2;−3
c. Ta có : x + 2 3 − 4 x = ( x + 2)2
⇔ x + 2 3− 4x − x − 2 = 0
2
⇔ x + 2 3− 4 x − x + 2 = 0
x =−2
x
+
2
=
0
⇔ x + 2 (1−5x) = 0 ⇔
⇔
1−5x = 0 x = 1
5
1
Vậy tập nghiệm là: S = −2;
5
(DỰA VÀO PHẦN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ)
Bài tập mẫu 5: Giải các phương trình sau:
a. x2 −3x + 2 = 0
b. x2 −3x −10 = 0
c. x2 + 2x −15 = 0
d. 2x2 −5x + 3 = 0
e. x2 + 7 x +12 = 0
f. x2 − x −12 = 0
Hướng dẫn giải
a. Ta có biến đổi: x2 − x − 2x + 2 = 0
2
⇔ x − x − 2 x − 2 = 0 ⇔ x x −1 − 2( x −1) = 0
x
−
1
=
0
x =1
⇔ x −1 x − 2 = 0 ⇔
⇔
x − 2 = 0 x = 2
Vậy tập nghiệm là: S = 1;2 .
b. Ta có biến đổi: x2 + 2x −5x −10 = 0
⇔ x( x + 2) −5(x + 2) = 0
x
+
2
=
0
x =−2
⇔ x + 2 (x −5) = 0 ⇔
⇔
x −5 = 0 x = 5
Vậy tập nghiệm là: S = −2;5 .
c. Ta có biến đổi: x2 −3x + 5x −15 = 0
⇔ x x −3 + 5 x −3 = 0 ⇔ x −3 (x + 5) = 0
x
−
3
=
0
⇔
⇔ x = 3
x + 5 = 0 x = −5
Vậy tập nghiệm là: S = −5;3
d. Ta có biến đổi : 2x2 − 2x −3x + 3 = 0
⇔ 2 x( x −1) − 3( x −1) = 0
x =1
x
−
1
=
0
⇔ x −1 (2 x − 3) = 0 ⇔
⇔
x=3
2x −3= 0
2
3
Vậy tập nghiệm là: S = 1; .
2
e. Ta có biến đổi : x 2 + 3 x + 4 x + 12 = 0
⇔ x x + 3 + 4 x + 3 = 0 ⇔ x + 3 ( x + 4) = 0
x
+
3
=
0
x =−3
⇔
⇔
x + 4 = 0
x =−4
Vậy tập nghiệm là: S = −3;−4
f. Ta có biến đổi : x2 − 4x + 3x −12 = 0
x
=
4
⇔ x x − 4 +3 x − 4 = 0 ⇔ x − 4 x +3 = 0 ⇔
x =−3
Vậy tập nghiệm là: S = −3;4
Bài tập mẫu 6: Giải các phương trình sau:
a. 3x2−5x−2=0
b. x3+1= x x +1
c. x3+ x2 + x +1= 0
3
3
3
d. 27x = x−3 + 2x+3
Hướng dẫn giải
a. Ta có biến đổi: 3x2 − 6x + x − 2 = 0
⇔ 3x( x − 2) + ( x − 2) = 0 ⇔ ( x − 2)(3x +1) = 0
x−2=0 ⇔ x = 2 ⇔ x = 2
3x +1= 0 3x =−1 x =−1
3
1
Vậy tập nghiệm là: S = 2;−
3
b. Ta có biến đổi: x 3 + 13 − x x + 1 = 0
⇔ x +1(x2 − x +1) − x(x +1) = 0
⇔ (x +1)(x2 − x +1− x) = 0 ⇔ (x +1)(x2 − 2x +1) = 0
x
+
1
=
0
⇔ ( x +1)( x −1)2 = 0 ⇔
⇔ x =−1
x −1= 0 x =1
Vậy tập nghiệm là: S = −1;1
c. Ta có biến đổi: x2( x +1) + ( x +1) = 0
⇔ ( x +1)( x2 +1) = 0 ⇔x+1=0 vì x2 +1> 0;∀x ⇔x=−1
