Định lí điểm bất động trong không gian g metric đầy đủ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
––––––––––––––––––––

LÊ THỊ TRANG

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
TRONG KHÔNG GIAN G

METRIC ĐẦY ĐỦ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
––––––––––––––––––––

LÊ THỊ TRANG

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
TRONG KHÔNG GIAN G

METRIC ĐẦY ĐỦ

Ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng

THÁI NGUYÊN - 2019


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Các tài liệu trong luận văn là trung
thực. Các kết quả chính của luận văn chưa từng được công bố trong các luận
văn Thạc sĩ của các tác giả khác.
Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này đã
được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019
Tác giả

Lê Thị Trang

i


LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng.
Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ
nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và

tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học
viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong
thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019
Tác giả

Lê Thị Trang

ii


MỤC LỤC
Lời cam đoan ........................................................................................................ i
Lời cảmơn ............................................................................................................ ii
Mục lục ............................................................................................................... iii
MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1
1. Lí do chọn đề tài .............................................................................................. 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................. 1
3. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 1
4. Bố cục của luận văn ......................................................................................... 2
CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ KHÔNG GIAN G
1.1. Không gian G

METRIC ..... 3

Metric................................................................................ 3

1.2. Một số tính chất cơ bản ................................................................................ 4
1.3. Tôpô của không gian G

Metric ................................................................ 7

1.4. Sự hội tụ trong không gian G

metric ....................................................... 9

CHƢƠNG 2: ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN
G

METRIC ĐẦY ĐỦ .................................................................................. 13

2.1. Nguyên lí ánh xạ co Banach trong không gian G
2.2. Định lý điểm bất động trong không gian G

metric ....................... 13

metric đầy đủ .................... 14

KẾT LUẬN....................................................................................................... 32
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 33

iii


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Như đã biết, nguyên lí điểm bất động đã được Banach phát biểu và

chứng minh từ năm 1922 là một trong những định lý quan trọng nhất của giải
tích hàm cổ điển. Nghiên cứu về lý thuyết điểm bất động đóng một vai trò rất
quan trọng bởi vì nó tìm được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực quan trọng như
phương trình vi phân, vận trù học, toán kinh tế.... Trong các nghiên cứu về sau,
các tổng quát khác nhau về không gian metric đã được đưa ra bởi một số nhà
toán học như Gahler [3] (không gian 2 – metric) và Dhage [2] (không gian D –
metric). Năm 2004, Mustafa và Sims [6] đã chỉ ra rằng hầu hết các kết quả liên
quan đến các tính chất tôpô của D

metric là không chính xác. Để sửa chữa

những hạn chế này, họ đã đưa ra một khái niệm mới, thích hợp hơn, được gọi là
G

metric. Đồng thời, Mustafa và các cộng sự ([7-8]) đã nghiên cứu một số

định lí điểm bất động đối với các ánh xạ thỏa mãn các điều kiện co khác nhau
trên không gian G

metric. Việc tổng quát hóa một số kết quả của Mustafa, đã

được thực hiện bởi S.K. Mohanta [4]. Trong đó tác giả đã chứng minh một số
định lí điểm bất động trong không gian G

metric đầy đủ.

Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi chọn đề tài: “Định lý điểm bất
động trong không gian G

metric đầy đủ”.

Ý nghĩa thời sự: Đề tài có ý nghĩa thời sự, đã và đang được nhiều nhà
toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu và trình bày một số kết quả về điểm bất động trên các không
gian G

metric đầy đủ.

3. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp của giải tích hàm.
1


4. Bố cục của luận văn
Nội dung luận văn được viết chủ yếu dựa trên các tài liệu [1], [4] và [9],
gồm 40trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và
danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống một vài tính chấtcủaG
metric,tôpô của không gian G

metric, sự hội tụ trong không gian G

và ánh xạ liên tục trong không gian G

metric

metric.

Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày lại chi tiết các kết

quả nghiên cứu của S.K. Mohantavề điểm bất động trong không gian G
metric đầy đủ.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.

2


CHƢƠNG 1
KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ KHÔNG GIAN G

METRIC

Trong chương này chúng tôi trình bày khái niệm về G

metric trên một

tập E và một số tính chất cơ bản của nó.
1.1. Không gian G

Metric

Năm 2004, Mustafa và Sims [6] đưa ra một khái niệm mới là không gian
metric, đồng thời chomột số ví dụ về không gian G

metric và một số

tính chất của nó. Tác giả đã chỉ ra rằng các không gian G

metric được trang

G

bị tôpô Hausdorff, cho phép chúng ta xem xét một số khái niệm tôpô như dãy
hội tụ, dãy Cauchy, ánh xạ liên tục, tính đầy đủ...
Định nghĩa 1.1.1. Một không gian G

metric là cặp (E,G ) , trong đó E là

là một hàm sao cho với mọi r, s, t, a

một tập khác rỗng và G : E 3

E,

các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

(G1) G(r, s, t )

0 nếu r

s

(G2 ) G(r, r, s)

0 với r

s;

(G3 ) G(r, r, s)

G(r, s, t ) với t

(G4 ) G(r, s, t )

G(r, t, s)

(G5 ) G(r, s, t )

G(r, a, a ) G(a, s, t ) (bất đẳng thức hình chữ nhật).

t;

s;

G(s, t, r )

... (đối xứng với cả 3 biến);

Hàm G như trên được gọi là một G

metric trên E .

Các tính chất trên có thể được giải thích dễ dàng theo nghĩa của không
gian metric. Cho (E, d ) là một không gian metric và G : E 3

là hàm số

được xác định bởi
G(r, s, t )

d(r, s)

d(r, t )

Khi đó (E,G ) là một không gian G

d(s, t ) với mọi

r, s, t

E.

metric. Trong trường hợp này, G(r, s, t )

có thể được hiểu là chu vi của tam giác với các đỉnh r, s và t . Ví dụ, (G1 ) có
3


ngha l vi mt im ta khụng th cú chu vi dng, v (G2 ) tng ng vi
khong cỏch gia hai im khỏc nhau khụng th bng 0. Hn na, vỡ chu vi ca
mt tam giỏc khụng ph thuc vo th t cỏc nh ca nú, nờn ta cú (G4 ) .Cui
cựng, (G5 ) l m rng ca bt ng thc tam giỏc s dng mt nh th t.
Vớ d 1.1.2. Mi tp E khỏc rng cú th c trang b mtG
c xỏc nh vi mi r, s, t

metric trờn E thỡ G : E 3

G (r, s, t )

cng l mt G

E , bi
0, neỏu r s t
1, trong caực trửụứng hụùp khaực

G(r , s, t )
Vớ d 1.1.3. Nu G l G

metric ri rc,

) xỏc nh bi

[0,

G(r, s, t )
vi mi r, s, t
1 G(r, s, t )

E

metric trờn E .

1.2.Mt s tớnh cht c bn
Mt trong nhng tớnh cht hu ớch nht ca G
B 1.2.1.Nu (E,G ) l khụng gian G
G(r, s, s)

metric l b sau.

metric thỡ

2G(s, r, r ) vi mi

r, s

E.

H qu 1.2.2.Cho {rn } v {sn } l hai dóy trong khụng gian G

metric

(E,G ). Khi ú

lim G(rn , rn , sn )

n

lim G(rn , sn , sn )

0

n

B 1.2.3.Cho (E,G ) l khụng gian G

r, s, t,a

G(r, r, s)

G(r, r, t ).

2)G(r, s, t )

G(r, a, a)

G(s, a, a)

3) G(r, s, t ) G(r, s, a )
4) Nu n

metric. Khi ú, vi bt kỡ

E , ta cú cỏc tớnh cht sau õy

1)G(r, s, t )

G(t, a, a).

max{G(a, t, t ),G (t,a,a )}.

2 v r1, r2,..., rn

E thỡ

4

0.


G(r1, rn , rn )

n 1

G(r1, r1, rn )

n 1

5) Nếu G(r, s, t )

i 1

i 1

G(r, a, t )

7)G(r, s, t )

2
[G(r, s, a )
3

s

t.

G(a, s, t ).

G(r, a, t )

E \ {t, a} thì G(r, s, t )

9)G(r, s, s)

(1.1)

G(ri , ri , ri 1) .

0 thì r

6)G(r, s, t )

8)Nếu r

G(ri , ri 1,ri 1) và

G(a, s, t )].

G(s, t, a)

G(a, r, t ).

2G(r, s, t ) .

Chứng minh.1) Áp dụng (G4 ) và (G5 ) với a
G(r, s, t )

G(s, r, t )

G(r, r, s)

r , ta có

G(s, r, r )

G(r, r, t )



G(r, r, t ).

2) Bằng cách áp dụng (G5 ) hai lần và sử dụng (G4 ) , ta có
G(r, s, t )

G(r, a, a )

G(a, s, t )

G(r, a, a )

G(r, a, a )

G(s, a, a )

G(a, a, t ).

G(s, a, t )



3) Theo (G4 ) và (G5 ) , ta có

G(r, s, t )

G(t, s, r )

G(a, s, r )

G(t, a, a)

G(a, t, t )

G(a, s, t ),

G(t, s, r ).

Vì thế,
G(r, s, t )

G(a, s, r )

G(a, s, r )

G(r, s, t )

G(t, a, a ) và
G(a, t, t ).

Do đó,

G(r, s, t ) G(r, s, a )

max{G(a, t, t ),G(t, a, a )}. 

4) Nếu n

2 , điều đó là hiển nhiên, và nếu n

khi cho r

r1 , a

r2 và s

t

3 thì (1.1) là tính chất (G5 )

r3 . Bằng cách quy nạp, nếu (1.1) xảy ra với

5


n

3 thì nó cũng xảy ra với n

1 bởi vì, cũng theo (G5 ) và giả thiết quy nạp,

ta có

G(r1, rn 1, rn 1)

G(r1, rn , rn ) G(rn , rn 1, rn 1)

n 1

G(ri , ri 1, ri 1) G(rn , rn 1, rn 1)

i 1

n

G(ri , ri 1, ri 1). 

i 1

5)Giả sử G(r, s, t )

G(r, r, s)

0

Theo (G2 ) nếu r

t thì r

0 . Ta chỉ ra nếu s
G(r, s, t )

s thì G(r, r, s)

0

s . Thật vậy, từ (G5 ) , ta có
G(r, r, s )

0.

0 kéo theo r

0 , do đó G(r, r, s)

s.

Vì G là đối xứng theo các biến của nó nên ta cũng chứng minh được rằng nếu

t

s thì r

t . Do đó, s

Khi đó r

s

6)Nếu a

s hoặc a

a

s. Nếu a

r

t , điều này mâu thuẫn với giả thiết s

t.



r thì kết quả là hiển nhiên. Giả sử rằng a

t thì theo (G5 ) , ta có
G(r, s, t )

G(r, s, a)

G(r, a, a) G(a, s, a)
G(r, a, t ) G(a, s, t ).

Tiếp theo, giả sử a
G(r, s, t )

t.

t . Khi đó, theo (G5 ) và (G3 ) , ta có
G(r,a,a) G(a, s, t )

G(r,a, t ) G(a, s, t ). 

7)Theo (6) và (G4 ) , ta có
G (r, s, t )
G (r, s, t )
G (r, s, t )

G (r, a, t )
G (s, t, r )
G (t, r, s )

G (a, s, t ),
G (s, a, r ) G(a, t, r ),
G(t, a, s ) G(a, r, s ).

Cộng các bất đẳng thức trên và áp dụng (G4 ) , ta được
3G(r, s, t )

2[G(r, s, a)

G(r, a, t )

G(a, s, t )].

G(r, s, t )

2
[G(s, t, a )
3

G(r, a, t )

G(a, s, t )]. 

Suy ra

6

r và


8)Theo (3), G(r, s, t ) G(r, s, a )

max{G(a, t, t ),G(t, a, a)}. Khi đó, theo

(G3 ), ta có

r
r

a
t

G(t, a, a ) G(t, a, r );
G(a, t, t ) G(a, t, r ).

Khi đó, theo (G4 ) , ta kết luận rằng:
max{G(a, t, t ),G(t, a, a)}

9)Xét hai trường hợp. Nếu s



t thì

G(r, s, s)

Nếu s

G(r, a, t ).

G(r, s, t )

2G(r, s, t ).

t thì sử dụng Bổ đề 1.2.1 và tiên đề (G3 ) , ta có
G(r, s, s)

2G(r, r, s)

1.3. Tôpô của không gian G

2G(r, s, t ).



Metric

Trong phần này, chúng tôi giới thiệu tôpô Hausdorff của một không gian
G

metric.Đối với tập hợp E bất kì, ta thấy rằng từ metric tùy ý trên E , ta có

thể xây dựng nên mộtG

metric.Ngược lại, đối với bất kỳ G

metric G trên

E , hàm số

dG (r, s )

G(r, s, s )

G(r, r, s ) ,

xác định một metric trên E , metric dG được gọi là liên kết vớiG , thỏa mãn
G(r, s, t )

Gs (dG )(r, s, t )

2G(r, s, t ) .

Tương tự,
1
G(r, s, t )
2

Gm (dG )(r, s, t )

Định nghĩa 1.3.1.Hình cầu mở tâm a
G

E , bán kính

metric (E,G ) là tập hợp BG (a, )

Hình cầu đóng tâm a

{s

E , bán kính
BG (a, )

{s

2G(r, s, t ) .

0 trong không gian

E : G(a, s, s )

0 là tập hợp
E : G(a, s, s )

7

}.

}.

Ví dụ 1.3.2. Cho E là một tập khác rỗng và Gdis là G
Với a 0

metric rời rạc trên E .

0 , ta có các tính chất sau:

E tùy ý và mọi

a)nếu

1 thì BG (a0, )

BG (a0, )

b)nếu

1 thì BG (a0, )

{a0 } và BG (a0, )

c)nếu

1 thì B(a0, )

dis

dis

dis

B(a0, )

Định lí1.3.3.Tồn tại một tôpô duy nhất
sao cho, với mọi a

E , họ

cận tại a . Hơn nữa,

G

a

{a0 } ;

dis

G

E;

E.

trên không gian G

metric (E,G )

tất cả các hình cầu mở tâm tại a họ các lân

là metric hóa được và có tính chất tách Hausdorff .

Mệnh đề 1.3.4.Cho (E,G ) là một không gian G

metric, với bất kỳ a

E và

0 , ta có
(1) nếu G(a, r, s)
(2) nếu s

thì r, s

BG (a, ) thì tồn tại

BG (a, ) ,

0 sao cho BG (s, )

Từ (2) của Bổ đề 1.3.4 suy ra họtất cả các G
{BG (a, ) : a

là cơ sở của một tôpô (G ) trên E , tôpô G

B(a, )

hình cầu

E,

0}

metric.

Mệnh đề 1.3.5.Cho (E,G ) là một không gian G

metric, với mọi a

E và

0 , ta có

BG a, 13

Bd (a, )
G

BG (a, ) .

Do đó, tôpôG

metric (G ) trùng với metric tôpô sinh bởi dG . Vì vậy, mọi

không gian G

metric đều tương đương tôpô với không gian metric. Điều này

cho phép chúng ta chuyển nhiềucác khái niệm và kết quả từ không gian metric
vào không gianG

metric. Chẳng hạn, các khái niệm sau trên một không gian

tôpô, có thể chuyển chúng cho trường hợp của tôpô

8

G

như sau:


Một tập hợp con U

E là một G

0 sao cho BG (a, )
Một tập hợp con U

lân cận của một điểma

E nếu tồn tại

U.

E là G

mởnếu nó là tập rỗng hoặc nó là G

lân cận

của tất cả các điểm của nó.
Một tập hợp con U

E là G

đóng nếu phần bù của nó E \U là G

1.4. Sự hội tụ trong không gian G

metric
metric, r

Định nghĩa 1.4.1.Cho (E,G ) là không gian G

lim G(sn , sm ,s )

0 , tức là với

n ,m

mọi n, m

G

hội tụ đến s , và viết {sn }

Dãy {sn } gọi làG

0 , n0

n0 (khi đó, s gọi là G

: n, m

với mọi n, m, l

s hoặc sn

E.

s , nếu

, với

giới hạn của {sn } ).
metric, dãy {sn }

0 , tồn tại N

Cauchy nếu với mỗi

E và {sn }

sao cho G(sn , sm , s )

Định nghĩa 1.4.2. Cho (E,G ) là không gian G
gọi là G

mở.

E được

sao cho G(sn , sm , sl )

N.

Mệnh đề 1.4.3.Giới hạn của dãy G

hội tụ trong không gian G

metric là

duy nhất.
Mệnh đề 1.4.4.Mỗi dãy hội tụ trong không gian G
Chứng minh.Cho (E,G ) là không gian G
đến s

E . Khi đó với

metric và {sn }

E là dãy hội tụ

0 tùy ý,theo định nghĩa, tồn tại n0

G(sn , sm , s )

3

với mọi n, m

Theo (G4 ) , (G5 ) và Bổ đề 1.2.1, với mọi n, m, k
G(sn , sm , sk )

metric là một dãy Cauchy.

G(sn , s, s )

sao cho

n0 .

n0 , ta có,

G (s, sm , sk )

2G(sn , sn , s )

2G(sm , sk , s )

Do đó, {sn } là một dãy Cauchy trong (E,G ) .

9

2

3

3

.




Mệnh đề 1.4.5.Cho (E,G ) là không gian G
hội tụ, s

hội tụ đến s .

(b) lim G(sn , sn , s)

0 , tức là

n

(c) lim G(sn , s, s )
n

n ,m

lim

,m n

0 , n0

: sn

G(sn , sm , s )

0.

( f ) lim G(sn , s, s )

0 và lim G(sn , sn 1, s )

0.

n

n

(g ) lim G(sn , sn 1, sn 1)

0 và lim G(sn , sn 1, s )

(h ) lim G(sn , sn 1, sn 1)

0 và

n

n

n ,m

lim

,m n

G(sn , sm , s )

Chứng minh. (a )
(b)

n

n0 .

n ,m

lim

,m n

0.

G(sn , sm , s )

0.

0.

(b) Hiển nhiên với m

n.

(c) . Suy ra từ Bổ đề 1.2.1 vì
G(sn , s, s)

(c)

n

0.

0 và lim G(sn , sn 1, s )

n

n

BG (s, ) với

0.

(e) lim G(sn , sn , s)

(i )

E là một dãy

E . Khi đó, các điều kiện sau là tương đương.

(a ) {sn } là G

(d )

metric và {sn }

2G(sn , sn , s) với mọi n

(a ) . Theo (G5 ) và (G4 ) , với mọi n, m

G(sn , sm , s )

G(sn , s, s )

, ta có

G(s, sm , s )

G(sm , s, s)

0 khi n, m

.

Từ đó suy ra G(sn , sm , s )

0 khi n, m

.

G(sn , s, s)

(a)

(d )

(b) , (a)

(a )

(h ) . Theo Mệnh đề 1.4.4, {sn } là dãy Cauchy. Do đó, trong định nghĩa

dãy Cauchy lấy m

(e)

k

n

(b) và (a)

(f )

(c) là tầm thường.

1 , ta được lim G(sn , sn 1, sn 1)
n

(a ) dễ dàng suy ra

10

0 . Hơn nữa, từ


n ,m

,m n

G(sn , sm , s )

n

1.

lim

(h )

(g ) . Hiển nhiên với m

(g )

(b) . Theo (G5 ) và (G4 ) , với mọi n
G(sn , sn , s )

Hơn nữa, (a )
(i)

0.

, ta có

G(sn , sn 1, sn 1 ) G(sn 1, sn , s )
G(sn , sn 1, sn 1 ) G(sn , sn 1, s )

, khi n, m

.

(i) cũng hiển nhiên.

(b) . Suy ra từ Bổ đề 1.2.3 (9),vì

G(sn , sn , s)

2G(sn , s, sn 1)

2G(sn , sn 1, s) với mọi n

Bổ đề 1.4.6.Nếu (E,G ) là không gian G



.

metric và {sn }

E là một dãy thì

các điều kiện sau đây là tương đương

(a ) {sn } là dãy G
(b)

(c)

Cauchy.

lim G(sn , sm , sm )

0.

lim G(sn , sn , sm )

0.

n ,m

n ,m

metric (E,G ) được gọi là G

Định nghĩa 1.4.7. Một không gian G
(hay không gian G
G

metric đầy đủ) nếu mỗi dãy G

Cauchy trong (E,G ) đều

hội tụ trong (E,G ) .

Định nghĩa 1.4.8. Cho (E,G ) và (E ,G ) là các không gian G
xạ f : E

E .Khi đó f được gọi là G

G (f (a), f (s), f (t ))
liên tục tại mọi a

liên tục tại một điểm a

0 sao cho s, t

0 tùy ý, tồn tại

G

đầy đủ

. Hàm f là G
E.

11

E ; G(a, s, t )

metric và ánh

E nếu với

kéo theo

liên tục trên E khi và chỉ khi nó là


Định nghĩa 1.4.9. Cho (E,G ) là không gian G
được gọi là G
{sn }

liên tục tại a

E sao cho {snm }

G

metric. Ánh xạ R : E

E nếu {R(sn )}

G

R(s ) với mọi dãy

s.

Mệnh đề 1.4.10. Cho (E,G ) và (E ,G ) là các không gian G
hàm f : E

E là G

liên tục tại một điểm a

liên tục theo dãy tại a ; nghĩa là, khi {sn } là G
G

E

hội tụ đến f (s ) .

12

metric. Khi đó

E khi và chỉ khi nó là G
hội tụ đến s thì {f (sn )} là


CHƢƠNG 2

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN
METRIC ĐẦY ĐỦ

G

2.1. Nguyên lí ánh xạ co Banach trong không gianG

metric

Định lý 2.1.1 ([1]).Cho (E,G ) là không gian G
R:E

E là một ánh xạ sao cho tồn tại k

[0,1) thỏa mãn

kG(s, t, u) với mọi s, t, u

G(Rs, Rt, Ru)

metric đầy đủ và

E. (2.1)

Khi đó R có một điểm bất động duy nhất.

E là một điểm tùy ý và {sn }n 0 là dãy sao cho

Chứng minh. Giả sử s0

sn

Rsn

0 . Khi đó nếu tồn tại một số n 0 sao cho sn

Rsn với mọi n

1

0

1

sn thì
0

sn và sn là một điểm bất động của R . Giả sử rằng

0

0

0

sn
Lấy s

sn và t

u

sn

1

1

sn với mọi n

0

trong điều kiện co (2.1). Khi đó với mọi n

G(sn 1, sn 2, sn 2 )

0 ta có

G(Rsn , Rsn 1, Rsn 1 )
kG(sn , sn 1, sn 1 ).

Theo Hệ quả 4.1.1 trong [1], {sn } là dãy Cauchy trong (E,G ) . Vì (E,G ) là đầy
đủ, nên dãy {sn } hội tụ, do đó tồn tại u

E sao cho {sn }

một điểm bất động của R . Bằng cách sử dụng (2.1), với mọi n

G(sn 1, Ru, Ru)
Cho n

G(Rsn , Ru, Ru)

u . Ta sẽ chỉ ra u là
0 ta có,

kG(sn , u, u).

và do metric G liên tục,nên ta có
G(u, Ru, Ru)

Do đó,theo Bổ đề 1.2.3, u

kG(u, u, u)

0.

Ru . Ta sẽ chứng minh u là điểm bất động duy

nhất của R . Giả sử ngược lại, tồn tại một điểm bất động khác v

v

s thì G(v, v, u)

0 . Từ (2.1) và k

1 ta có

13

E . Nếu


G(v, v, u)

G(Rv, Rv, Ru)

kG(v, v, u)

G(v, v, u),

điều này là mâu thuẫn. Do đó u là điểm bất động duy nhất của R .
Định lý 2.1.2.Cho (E,G ) là không gian G
một ánh xạ sao cho tồn tại k

metric đầy đủ và R : E



E là

[0,1) thỏa mãn
kG(s, t, t ) với mọi s, t

G(Rs, Rt, Rt )

E.

Khi đó R có một điểm bất động duy nhất.
Chứng minh Định lý 2.1.2 tương tự như cách chứng minh Định lý 2.1.1.
2.2. Định lý điểm bất động trong không gian G

metric đầy đủ

Trong phần này chúng tôi trình bày một số định lí điểm bất động đối với
các tự ánh xạ thỏa mãn các điều kiện co khác nhau trong không gian G
metric đầy đủ.
Z.Mustafa, H. Obiedat và F. Awawdeh [9] đã chứng minh kết quả sau:
Định lí 2.2.1. Cho (E,G ) là một không gian G

R:E

metric đầy đủ, và

E là ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau
G(Rs, Rt, Ru)

k1G(s, t, u)

k3G(t, Rt, Rt )

với mọi s, t, u

E , trong đó với 0

k1

k2G(s, Rs, Rs)

k4G(u, Ru, Ru)

k2

k3

k4

1.

Khi đó R có duy nhất điểm bất động (gọi là z , tức là Rz

là G

z ) trong E và

R

liên tục tại z .
Mở rộng kết quả này, ta có kết quả sau

Định lý 2.2.2. ([4])Cho (X ,G ) là không gian G

metric đầy đủ và R : E

là ánh xạ thỏa mãn
G(Rs, Rt, Ru)

k1G(s, t, u)
k3G(t, Rt, Rt )

k2G(s, Rs, Rs)
k4G(u, Ru, Ru)

G (s, Rt, Rt ),G (t, Rs, Rs ),
+ k5 max G (t, Ru, Ru ),G (u, Rt, Rt ), (2.2)
G (u, Rs, Rs ),G (s, Ru, Ru )

14

E

với mọi s, t, u

E , trong đó k1, k2, k3, k4, k5

Khi đó R có duy nhất một điểm bất động z

sn

1

sn

k2

E và R là G

k3

k4

2k5

Rn (s0 ) . Giả sử

với mọi n . Khi đó

Rn 1s0

1

Rn (Rs0 )

Rns1

...

Rsn , sn

Rnsn

1

.

Theo (2.2), ta có

G(sn , sn 1, sn 1)

k1G(sn 1, sn , sn )

k3G(sn , sn 1, sn 1)

k2G(sn 1, sn , sn )

k4G(sn , sn 1, sn 1)

G (sn 1, sn 1, sn 1 ),G(sn , sn , sn ),
k5 max G (sn , sn 1, sn 1 ),G(sn , sn 1, sn 1), .
G (sn , sn , sn ),G (sn 1, sn 1, sn 1 )

Do đó, ta có
G (sn , sn 1, sn 1 )

k1G (sn 1, sn , sn ) k2G (sn 1, sn , sn )
k3G (sn , sn 1, sn 1 ) k 4G (sn , sn 1, sn 1 )

.

(2.3)

k5 max{G (sn 1, sn 1, sn 1 ),G (sn , sn 1, sn 1 )}

Theo (G5 ) , ta có

G(sn 1, sn 1, sn 1)

G(sn 1, sn , sn ) G(sn , sn 1, sn 1).

Do đó, (2.3) trở thành

G(sn , sn 1, sn 1)

k1G(sn 1, sn , sn ) k2G(sn 1, sn , sn ) k3G(sn , sn 1, sn 1)

k4G(sn , sn 1, sn 1) k5 {G(sn 1, sn , sn ) G(sn , sn 1, sn 1)} ,
suy ra
G(sn , sn 1, sn 1 )

k1

1

k2
k3

k5
G(sn 1, sn , sn ).
k 4 k5

15

1

liên tục tại z .

E tùy ý và xác định dãy {sn } bởi sn

Chứng minh. Lấy s0

sn

0 với k1

(2.4)


Đặt

k1
1

k2
k3

k5
, khi đó
k 4 k5

1 vì k1

k2

k3

k4

2k5

1.

Áp dụng (2.4), liên tiếp ta được
n

G(sn , sn 1, sn 1)
Khi đó, với mọi m, n

G(so , s1, s1).

N,n

(2.5)

m , sử dụng liên tiếp bất đẳng thức hình chữ

nhật và (2.5) ta có

G(sn , sm , sm )

G(sn , sn 1, sn 1) G(sn 1, sn 2, sn 2 )
G(sn 2, sn 3, sn 3 ) ... G(sm 1, sm , sm )
(

n

n 1

m 1

...

)G(so, s1, s1)

n

1

G(so , s1, s1 ).
n

Khi đó lim G(sn , sm , sm )

n ,m

0 , vì lim
n ,m

G(s0, s1, s1 )

1

0 . Với n, m, l

N,

theo (G5 ) ta có
G(sn , sm , sl )

Cho n, m, l

G(sn , sm , sm )

, ta đượcG(sn , sm , sl )

G(sl , sm , sm ).

0. Vì vậy, {sn } là dãy G

Vì (E,G ) là không gian đầy đủ, nên tồn tại z
đến z . Giả sử Rz

Cauchy.

E sao cho {sn } làG

hội tụ

z , khi đó

G(sn , Rz, Rz )

k1G(sn 1, z, z )

k2G(sn 1, sn , sn )

k3G(z, Rz, Rz )

k4G(z, Rz, Rz )

G (sn 1, Rz, Rz ),G (z, sn , sn ),
k5 max G (z, Rz, Rz ),G (z, Rz, Rz ), .
G (z, sn , sn ),G (sn 1, Rz, Rz )

Lấy giới hạn khi n

và do hàm G liên tụctheo các biến của nó, nên ta có

G(z, Rz, Rz )

(k3

k4

16

k5 )G(z, Rz, Rz ),


k3

điều này là mâu thuẫn vì 0

k4

k5

1 . Vậy z

Rz .

Để chứng minh tính duy nhất của z , ta giả sử tồn tại w

z sao cho Rw=w ,

khi đó (2.2) trở thành
G(w, w, w)

G(Rz, Rw, Rw)
k1G(z, w, w) k2G(z, z, z )

k3G(w, w, w)

G (z, w, w),G (w, z, z ),
k5 max G (w, w, w),G(w, w, w), .
G (w, z, z ),G (z, w, w)

k4G (w, w, w)

Do đó
G(z, w, w)

k1G(z, w, w)

k5 max{G(z, w, w),G(w, z, z )}

k1G(z, w, w)

k5 max{2G(w, z, z ),G(w, z, z )}

k1G(z, w, w)

2k5G(w, z, z ).

Như vậy,
G(z, w, w)

2k5
G(w, z, z ) .
1 k1

G(w, z, z )

2k5
G(z, w, w) .
1 k1

Tương tự ta có

Vì vậy, ta có
2

2k5
G(z, w, w) .
1 k1

G(z, w, w)

Suy ra z

w , vì 0

Để chỉ ra R là G
{tn } là G

2k5
1 k1

1.

liên tục tại z , ta giả sử {tn } là dãy bất kỳ trong E sao cho

hội tụ đến z . Với n

N , ta có

G(Rtn , Rz, Rtn )

k1G(tn , z, tn )

17

k2G(tn , Rtn , Rtn )


k3G(z, z, z )

k4G(tn , Rtn , Rtn )

G (tn , z, z ),G (z, Rtn , Rtn ),
k5 max G (z, Rtn , Rtn ),G(tn , z, z ),

.

G (tn , Rtn , Rtn ),G(tn , Rtn , Rtn )

Nhưng
G(tn , Rtn , Rtn )

G(tn , z, z )

G(z, Rtn , Rtn ) ,

nên
G(Rtn , Rz, Rtn )
(k2

k1G(tn , tn , z )

k4 ){G(tn , z, z )
k5 {G(tn , z, z )

G(z, Rtn , Rtn )}

G(z, Rtn , Rtn )}

Do đó
G(z, Rtn , Rtn )

Cho n
G

k2
1

k 4 k5
G(tn , z, z )
k2 k 4 k 5

, ta được G(z, Rtn , Rtn )

hội tụ đến z

1

k1
k2 k 4

k5

0 và theo Mệnh đề 1.4.5, dãy (Rtn ) là

liên tục tại z .

Rz . Do đó theo Mệnh đề1.4.10, R là G

Hệ quả 2.2.3. Cho (E,G ) là không gian G
ánh xạ thỏa mãn với m
G(Rms, Rmt, Rmu)

G(tn , tn , z ) .

metric đầy đủ, và R : E

E , là

N:
k1G(s, t, u)

k2G(s, Rms, Rms )

k3G(t, Rmt, Rmt )

k4G(u, Rmu, Rmu )

G (s, Rmt, Rmt ),G (t, Rms, Rms ),
k5 max G (t, Rmu, Rmu ),G (u, Rmt, Rmt ),
G (u, Rms, Rms ),G (s, Rmu, Rmu ),
với mọi s, t, u

E ,ở đó k1, k2, k3, k4, k5

0 với k1

Khi đó R có một điểm bất động duy nhất z

18

k2

k3

E và Rm là G

k4

2k5

1.

liên tục tại z .

Chứng minh. Theo Định lý 2.2.2, ta thấy rằng Rm có duy nhất một điểm bất

E và Rm là G

động z

liên tục tại z . Vì

Rz

R(Rmz )

Rm 1z

Rm (Rz )

nên Rz cũng là một điểm bất động đối với Rm . Do tính duy nhất của z , nên ta
có Rz

z.

Chú ý 2.2.4.Định lý 2.2.1 là sự mở rộng củaĐịnh lí 2.1 trong [10], trong đó
Định lí 2.1[10] nhận được bằng cách lấy k5

0 trong Định lí 2.2.2.

Định lý 2.2.5. Cho (E,G ) là một không gian G

metric đầy đủ và R : E

E

là ánh xạ thỏa mãn
G(Rs, Rt, Ru)

k1{G(s, Rt, Rt ) G(t, Rs, Rs )}

k2 {G(t, Ru, Ru))
k3 {G(u, Rs, Rs )

G(u, Rt, Rt )}
G(s, Ru, Ru)}

k4G(s, t, u)

k5 max {G(s, Rs, Rs),G(t, Rt, Rt ),G(u, Ru, Ru)} (2.6)

với s, t, u

E , ở đó k1, k2, k3, k4, k5

0 với 2k1

Khi đó R có duy nhất một điểm bất động z
Chứng minh. Lấy s0

sn

sn

1

2k2

2k3

E và R là G

2k4

2k5

1.

liên tục tại z .

E tùy ý và xác định dãy {sn } bởi sn

Rn (s0 ) . Giả sử

với mọi n . Khi đó theo (2.6), ta có

G(sn , sn 1, sn 1)

k1{G(sn 1, sn 1, sn 1) G(sn , sn , sn )}
k2 {G(sn , sn 1, sn 1) G(sn , sn 1, sn 1)}
k3 {G(sn , sn , sn ) G(sn 1, sn 1, sn 1)}

k4G(sn 1, sn , sn )

k5 max{G(sn 1, sn , sn ),G(sn , sn 1, sn 1),G(sn , sn 1, sn 1)}
k1{G(sn 1, sn , sn ) G(sn , sn 1, sn 1)}

2k2G(sn , sn 1, sn 1)

k3 {G(sn 1, sn , sn ) G(sn , sn 1, sn 1)}

k4G(sn 1, sn , sn )

k5 {G(sn 1, sn , sn ) G(sn , sn 1, sn 1)} .
19


Suy ra
k1 k3 k4 k5
G(sn 1, sn , sn ).
1 k1 2k2 k3 k5

G(sn , sn 1, sn 1 )

k1 k3 k4 k5
, khi đó
1 k1 2k2 k3 k5

Đặt

2k1

2k2

2k3

2k4

2k5

1 vì

1 . Áp dụng liên tiếp (2.7), tađược
n

G(sn , sn 1, sn 1)
Khi đó, với mọi m, n

(2.7)

N,n

G(s0, s1, s1).

(2.8)

m , bằng cách sử dụng liên tiếp bất đẳng thức

hình chữ nhật và (2.8), ta có

G(sn , sm , sm )

G(sn , sn 1, sn 1) G(sn 1, sn 2, sn 2 )
G(sn 2, sn 3, sn 3 ) ... G(sm 1, sm , sm )

n

(

n 1

m 1

...

)G(so, s1, s1)

n

1

G(s0, s1, s1 ).
n

Khi đó lim G(sn , sm , sm )
n ,m

Với n, m, l

0 vì lim
n ,m

1

G (s0 , s1, s1 )

0.

N theo (G5 ) ta có
G(sn , sm , sl )

lấy giới hạn khi n, m, l

G(sn , sm , sm )

G(sl , sm , sm ),

, ta nhận đượcG(sn , sm , sl )

0. Do đó, {sn } là dãy

G

Cauchy. Vì (E,G ) là không gian đầy đủ nên tồn tại z

G

hội tụ đến z . Giả sử Rz

G(sn , Rz, Rz )

E sao cho {sn } là

z , khi đó ta có

k1{G(sn 1, Rz, Rz )
k2 {G(z, Rz, Rz )

G(z, sn , sn )}
G(z, Rz, Rz )}

k3 {G(z, sn , sn ),G(sn 1, Rz, Rz )}

k4G(sn 1, z, z )

k5 max {G(sn 1, sn , sn ),G(z, Rz, Rz ),G(z, Rz, Rz )} .

20