Vấn đề duy nhất cho hàm phân hình liên quan đến giả thuyết bruck

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
—————————————————

DƯƠNG THỊ VÂN

VẤN ĐỀ DUY NHẤT CHO HÀM PHÂN HÌNH
LIÊN QUAN ĐẾN GIẢ THYẾT BRUCK

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
—————————————————

DƯƠNG THỊ VÂN

VẤN ĐỀ DUY NHẤT CHO HÀM PHÂN HÌNH
LIÊN QUAN ĐẾN GIẢ THYẾT BRUCK

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS HÀ TRẦN PHƯƠNG

Thái Nguyên - Năm 2019


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong bài luận văn "Vấn đề duy
nhất cho hàm phân hình liên quan đến giả thuyết Bruck" là trung thực và
không sao chép từ các đề tài khác, các thông tin trích dẫn trong luận văn có
nguồn gốc rõ ràng, tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về nội dung luận văn
của mình.
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2019
Người viết Luận văn

Dương Thị Vân

Xác nhận

Xác nhận

của Trưởng khoa chuyên môn

của người hướng dẫn khoa học

PGS.TS Hà Trần Phương

i


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS.TS Hà Trần Phương, người
đã chỉ bảo tận tình và trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu

để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn này.
Tôi cũng xin gửi lời biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo dạy cao học
trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tận tình giúp đỡ và tạo
điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu khoa
học.
Nhân dịp này tôi cũng xin chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn
cổ vũ, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong toàn bộ quá trình
học tập.
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2019
Người viết luận văn

Dương Thị Vân

ii


Mục lục

Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

ii

Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

3

1.1

1.2

Các hàm Nevanlinna và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Hai định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Các kết quả bổ trợ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Giả thuyết Bruck và vấn đề duy nhất

13
22

2.1

Một số dạng tổng quát của giả thuyết Bruck . . . . . . . . . .

22

2.2

Vấn đề duy nhất liên quan đến giả thuyết Bruck . . . . . . . .

35

Tài liệu tham khảo chính

46

iii


Mở đầu
Cho f và g là các hàm phân hình trên C. Ta nói f và g chung nhau giá trị
phức a không kể bội nếu f −1 (a) = g −1 (a). Ta nói f và g chung nhau giá trị
phức a kể bội nếu Ef (a) = Eg (a), trong đó

Ef (a) = (z, m) ∈ C × Z+ : ordf −a (x) = m .
Năm 1979, E. Mues and N. Steinmetz đã chứng minh: "Với một hàm nguyên
khác hằng f , nếu f và f chung nhau hai giá trị phức phân biệt không kể bội
thì đồng nhất bằng nhau". Như một sự mở rộng tự nhiên, năm 1996, Bruck [2]
đặt ra một giả thuyết khá nổi tiếng mà ta quen gọi là giả thuyết Bruck :
Giả thuyết Bruck. "Cho f là một hàm nguyên khắc hằng trên C sao cho

ρ2 (f ) không phải là một số tự nhiên và ρ2 (f ) < ∞. Nếu f và f chung nhau
giá trị a kể cả bội thì

f −a
f −a

= c, trong đó c là một hằng số khác 0 ". Ở đây

ρ2 (f ) = lim sup
r→∞

log log T (r, f )
.
log r

Trong bài báo ([2]) các tác giả đã chứng minh trong trường hợp a = 0. Ngoài
ra Ông đã chứng minh: "Cho f là một hàm nguyên khắc hằng trên C. Nếu f
và f chung nhau giá trị 1 kể cả bội và N (r, 0, f ) = S(r, f ) thì
hằng số khác 0 ".
1

f −1

f −1

là một


Về sau, có nhiều nhà toán học đã quan tâm đến việc tổng quát giả thuyết
Bruck và sử dụng giả thuyết này để nghiên cứu vấn đề duy nhất. Có nhiều
cách mở rộng, nghiên cứu giả thuyết Bruck cho trường hợp hàm phân hình,
thay thế đạo hàm f bằng đạo hàm cấp cao,. . . . Và các tác giả đã thu được
nhiều kết quả.
Với mong muốn tìm hiểu về vấn đề duy nhất có liên quan đến giả thuyết
Bruck, tôi chọn đề tài:"Vấn đề duy nhất cho các hàm phân hình liên quan
đền giả thuyết Bruck".Mục đích của đề tài này là trình bày lại các kết quả
nghiên cứu gần đây của A. Banerjee and B. Chakraborty [2] năm 2016 và của
B. Chakraborty [3] năm 2018 về một số dạng tổng quát của giả thuyết Bruck
và sử dụng nó để nghiên cứu một số kết quả về vấn đề duy nhất.
Nội dung chính của luận văn gồm có 2 chương: Chương 1 trình bày một số
khiến thức cơ bản về lý thuyết Nevanlinna và các bổ đề để chứng minh một số
kết quả chính trong chương 2. Chương 2 là chương chính của luận văn, trong
chương này chúng tôi giới thiệu một số dạng tổng quát của giả thuyết Bruck
và vấn đề duy nhất liên quan đến giả thuyết Bruck.

2


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Các hàm Nevanlinna và tính chất

1.1.1

Một số khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1.1. Cho hàm chỉnh hình f trên mặt phẳng phức C, điểm z0
là không điểm bội k của f nếu tồn tại hàm chỉnh hình h(z) không triệt tiêu
trong một lân cận U của z0 sao cho trong lân cận đó hàm f được biểu diễn
dưới dạng:

f (z) = (z − z0 )k h(z).
Nghĩa là f (z0 ) = f (z0 ) = ... = f k−1 (z0 ) = 0 và f k (z0 ) = 0 Với z ∈ C, ta
kí hiệu: ordf (z0 ) = k nếu z0 là không điểm bội k của f và ordf (z0 ) = 0 nếu

f (z0 ) = 0.
Định nghĩa 1.1.2. Cho một hàm phân hình f trên mặt phẳng phức C khi
đó f =

f1
f2

trong đó f1 , f2 là hai hàm chỉnh hình. Điểm z0 là một không điểm

bội k của f nếu z0 là một không điểm bội k của f1 , z0 là cực điểm bội k của

f nếu z0 là một không điểm bội k của f2 .
3


Trong mặt phẳng C, ta kí hiệu:

D(z0 , r) = {z ∈ C : |z − z0 | < r} ;
D(z0 , r) = {z ∈ C : |z − z0 | ≤ r} ;
∂D(z0 , r) = {z ∈ C : |z − z0 | = r} ;
tương ứng là hình tròn mở, hình tròn đóng và đường tròn tâm z0 , bán kính r.
Với z0 = 0 ta kí hiệu ngắn gọn

DR = D(0, R);

DR = D(0, R).

Định lý 1.1.3. (Công thức Poison-Jensen [4]) Giả sử f (z) ≡ 0 là một hàm
phân hình trong đĩa đóng DR , 0 < R < ∞. Giả sử a1 , a2 , ..., ap là các không
điểm kể cả bội của f trong DR , b1 , ..., bp là các cực điểm kể cả bội của f trong

DR . Khi đó với mỗi z trong {|z| < R} không phải là không điểm hay cực điểm
của f , ta có

1
log |f (z)| =
2π

2π
0
p

−
i=1

R2 − |z|2

log f (Reiϕ ) dϕ
iϕ
2
|Re − z |

R 2 − ai z
log
−
R(z − ai )

q

log
j=1

R 2 − aj z
.
R(z − aj )

Với mỗi số thực x > 0, ta kí hiệu

log+ x = max {log x, 0} .
Khi đó log x = log+ x − log+ x1 .
Bây giờ ta định nghĩa hàm đếm, hàm xấp xỉ và hàm đặc trưng của hàm
phân hình.
4


Cho f là một hàm phân hình trong DR và một số thực r > 0, trong đó

0 < R ≤ ∞, r < R. Dễ thấy
2π

1
2π

2π

1
log f (re ) dϕ =
2π
iϕ

0

log

+

0

1
f (re ) dϕ−
2π

2π

log+

iϕ

0

1
dϕ.
f (reiϕ )

Định nghĩa 1.1.4. ([4]) Hàm

1
m(r, f ) =
2π

2π

log+ f (reiϕ ) dϕ
0

được gọi là hàm xấp xỉ của hàm f .
Kí hiệu n(r, f1 ) là số không điểm kể cả bội, n(r, f1 ) là số không điểm không
kể bội của f , n(r, f ) là số cực điểm kể cả bội, n(r, f ) là số cực điểm không kể
bội của f trong Dr , nk (r, f ) là số cực điểm bội cắt cụt bởi k của f (tức là cực
điểm bội l > k chỉ được tính k lần trong tổng nk (r, f ) trong Dr .
Định nghĩa 1.1.5. ([4]) Hàm
r

N (r, f ) =
0

n(t, f ) − n(0, f )

dt + n(0, f ) log r
t

được gọi là hàm đếm kể cả bội của f (còn gọi là hàm đếm tại các cực điểm).
Hàm
r

N (r, f ) =
0

n(r, f ) − n(0, f )
dt + n(0, f ) log r
t

là hàm đếm không kể bội. Hàm
r

Nk (r, f ) =
0

nk (t, f ) − nk (0, f )
dt + nk (0, f ) log r
t

là hàm đếm bội cắt cụt bởi k , trong đó n(0, f ) = limt→0 n(t, f ); n(0, f ) =

limt→0 n(t, f ); nk (0, f ) = limt→0 nk (r, f ). Số k trong nk (r, f ) là chỉ số bội cắt
cụt.
5

Mệnh đề 1.1.6. Giả sử b1 , b2 , ..., bN là các cực điểm khác 0 của f trong đĩa

Dr , khi đó:
N

N (r, f ) =

log
η=1

r
+ n(0, f ) log r.
|bη |

Định nghĩa 1.1.7. ([4]) Hàm

T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f )
là hàm đặc trưng của hàm f .
Hàm đặc trưng T (r, f ), hàm xấp xỉ m(r, f ) và hàm đếm N (r, f ) là ba hàm
cơ bản trong lý thuyết phân bố giá trị, nó còn gọi là các hàm Nevanlinna. Định
lý sau đây trình bày một số tính chất cơ bản của hàm xấp xỉ, hàm đếm và
hàm đặc trưng.
Định lý 1.1.8. ([4]) Cho các hàm phân hình f1 , f2 , ..., fp , khi đó:




p

p

fη  ≤

m r,
η=1



p



p

η=1



p

N (r, fη ) ;

p

η=1



η=1



T (r, fη ) + log p;
η=1

m (r, fη ) ;
p

fη  ≤

N r,

p

fη  ≤

T r,

fη  ≤
η=1

η=1



p

m r,

η=1

η=1



m (r, fη ) + log p;

fη  ≤

N r,

p

p

N (r, fη ) ;
η=1



p

fη  ≤

T r,
η=1

T (r, fη ) .
η=1

Trong suốt luận văn này tôi sử dụng các ký hiệu chuẩn và định nghĩa của
lý thuyết phân phối giá trị Nevanlinna.
Định nghĩa 1.1.9. ([2]) Cho môt số nguyên dương p và a ∈ C ∪ {∞}.

6


1. N (r, a; f |≥ p) N (r, a; f |≥ p) là kí hiệu của hàm đếm (hàm đếm không
kể bội) các a điểm của f có số bội không bé hơn p;
2. N (r, a; f |≤ p) N (r, a; f |≤ p) là kí hiệu của hàm đếm (hàm đếm không
kể bội) các a điểm của f có số bội không lớn hơn p.
Định nghĩa 1.1.10. ([2]) Cho a ∈ C ∪ {∞} và p là số nguyên dương, ta kí
hiệu

Np (r, a; f ) = N (r, a; f ) + N (r, a; f |≥ 2) + ... + N (r, a; f |≥ p) .
Rõ ràng N1 (r, a; f ) = N (r, a; f ).
Định nghĩa 1.1.11. ([2]) Cho m là một số nguyên dương hoặc vô cùng a ∈
C ∪ {∞}, ta kí hiệu
1. Em) (a; f ) là tập hợp các không điểm kể cả bội của f − a với số bội không
vượt quá m (chỉ đếm các không điểm bội ≤ m).
2. E m) (a; f ) là tập các không điểm không kể bội của f − a với số bội không
vượt quá m (chỉ đếm các không điểm bội ≤ m).
Định nghĩa 1.1.12. ([2]) Cho k là một số nguyên dương và với a ∈ C \ {0},
sao cho

E k) (a; f ) = E k) (a; g) .
Cho z0 là không điểm của f (z) − a với số bội p và là không điểm của g(z) − a
với số bội q .
1. Kí hiệu N L (r, a; f ) là hàm đếm không kể bội tại các a điểm z0 của f và

g trong đó p > q ≥ 1 thỏa mãn ordf −a (z0 ) > ordg−a (z0 ) ≥ 1;
7


2. Kí hiệu N f >s (r, a; g) N g>s (r, a; f ) là hàm đếm không kể bội tại các a
điểm z0 của f và g thỏa mãn
ordf −a (z0 ) > ordg−a (z0 ) = s(ordg−a (z0 ) > ordf −a (z0 ) = s);
1)

3. Kí hiệu NE (r, a; f ) là hàm đếm kể cả bội tại các a điểm z0 của f và g
thỏa mãn ordf −a (z0 ) = ordg−a (z0 ) = 1;
(2

4. Kí hiệu N E (r, a; f ) là hàm đếm không kể bội tại các a điểm z0 của f và

g thỏa mãn ordf −a (z0 ) > ordg−a (z0 ) ≥ 2;
1)

5. Bằng cách tương tự, ta cũng định nghĩa được N L (r, a; g) , NE (r, a; g),
(2

N E (r, a; g);
6. Kí hiệu N f ≥k+1 (r, a; f | g = a) là hàm đếm không kể bội tại các a điểm

z0 của f và g thỏa mãn ordf −a (z0 ) ≥ k + 1 và ordg−a (z0 ) = 0.
Tương tự ta cũng có N g≥k+1 (r, a; g | f = a) .
Định nghĩa 1.1.13. ([2]) Cho a, b ∈ C ∪ {∞}. Ta kí hiệu N (r, a; f | g = b)
là hàm đếm các a− điểm kể cả bội của f , mà không phải là các b− điểm của g .
Từ nay để cho thuận tiện ta kí hiệu E là bộ số thực dương có độ đo hữu

hạn. Cho bất kỳ một hàm phân hình khác hằng f , Ta kí hiệu S(r, f ) là đại
lượng thỏa mãn

S(r, f ) = o(T (r, f )), r → ∞, r ∈
/E
Một hàm phân hình a(z)(≡ 0, ∞) được gọi là hàm nhỏ đối với f khi

T (r, a) = S(r, f ) trong đó r → ∞, r ∈
/ E.
Nếu a = a(z) là một hàm nhỏ, thì chúng ta nói rằng f và g chung nhau giá
8


trị a không kể bội hoặc chung nhau giá trị a kể cả bội khi đó f − a và g − a
chung nhau giá trị 0 không kể bội hoặc chung nhau giá trị 0 kể cả bội,
Siêu bậc ρ2 (f ) của một hàm phân hình khác hằng f được định nghĩa bởi

ρ2 (f ) = lim sup
r→∞

log log T (r, f )
.
log r

Định nghĩa 1.1.14. ([2]) Cho f , g chung nhau một giá trj a không kể bội.
Kí hiệu N ∗ (r, a; f, g) là hàm đếm không kể bội tại các a− điểm z0 của f và g
thỏa mãn ordf −a (z0 ) = ordg−a (z0 ).
Rõ ràng,

N ∗ (r, a; f, g) ≡ N ∗ (r, a; g, f ) và N ∗ (r, a; f, g) = N L (r, a; f ) + N L (r, a; g) .

Định nghĩa 1.1.15. ([3]) Cho k là một số nguyên không âm hoặc vô hạn.
Cho a ∈ C ∪ {∞}, ta kí hiệu Ek (a; f ) là tập hợp tất cả các a− điểm của f ,
trong đó các a− điểm với bội m được tính m lần nếu m ≤ k và k + 1 lần nếu

m > k . Nếu Ek (a; f ) = Ek (a; g), chúng ta nói rằng f và g chung nhau giá trị
a với trọng số k .
Định nghĩa cho thấy nếu f và g chung nhau giá trị a và trọng số k , thì z0
là a− điểm của f với bội m(≤ k) nếu và chỉ nếu nó là a− điểm của g với bội

m(≤ k), và z0 là a− điểm của f với bôi số m(> k) nếu và chỉ nếu nó là a điểm
của g với bôi số n(> k). trong đó m không nhất thiết phải bằng n.
Ta viết f , g chung nhau (a, k) có nghĩa là f , g chung nhau giá trị a với
trọng số k . Rõ ràng nếu f , g chung nhau (a, k) thì f , g chung nhau (a, p) với
bất kỳ số nguyên p, 0 ≤ p ≤ k . Ta cũng lưu ý rằng f , g chung nhau giá trị

a không kể bội (kể cả bội) nếu và chỉ nếu f , g chung nhau (a, 0) (tương ứng
(a, ∞)).
9


Định nghĩa 1.1.16. ([3]) Cho n0j , n1j , ..., nkj là các số nguyên không âm.
Biểu thức

Xj [f ] = (f )n0j f (1)

n1j

... f (k)

nkj

được gọi là đơn thức vi phân sinh ra bởi f với bậc d (Xj ) =
số ΓXj =

k
i=0 (i

k
i=0 nij

và trọng

+ 1)nij . Tổng
t

P [f ] =

bj Xj [f ]
j=1

được gọi là đa thức vi phân sinh bởi f với bậc

d = d(P ) = max {d (Xj ) : 1 ≤ j ≤ t}
và trọng số Γ = Γp = max ΓXj : 1 ≤ j ≤ t , trong đó T (r, bj ) = S (r, f ) với

j = 1, 2, ..., t.
Các số d(P ) = min {d(Xj ) : 1 ≤ j ≤ t} và k (đạo hàm bậc cao nhất của f
trong P [f ]) tương ứng được gọi là bậc nhỏ nhất và bậc của P [f ].
Định nghĩa 1.1.17. ([3]) Đa thức vi phân P [f ] được cho là thuần nhất nếu

d(P ) = d(P ) = 1. Ngược lại ta nói P [f ] không thuần nhất. Đặt
µ = max ΓXj − d(Xj ) : 1 ≤ j ≤ t
= max {n1j + 2n2j + ... + knkj : 1 ≤ j ≤ t} .
1.1.2

Hai định lý cơ bản

Trong phần này tôi giới thiệu hai định lý cơ bản trong lý thuyết phân bố
giá trị Nevanlinna.
Định lý 1.1.18. (Định lý cơ bản thứ nhất) Nếu f ≡ 0 là hàm phân hình trên

Dr , 0 < T ≤ ∞. Khi đó, với mỗi 0 ≤ r < R, ta có
10


1. T (r, f ) = m(r, f1 ) + N (r, f1 ) + log |cf |;
2. Với số phức a ∈ C,

T (r, f ) − m(r,

1
1
c1
) − N (r,
) ≤ log
+ log+ |a| + log 2.
f −a
f −a
f −a

Trong đó cf là hệ số khác 0 nhỏ nhất trong khai triển Taylor của hàm f trong
lân cận điểm 0,
1
f −a

c1
(f −a)

là hệ số khác 0 nhỏ nhất trong khai triển Taylor của hàm

trong lân cận điểm 0.

Giả sử f là một hàm phân hình, r > 0. Hàm

NRam (r, f ) = 2N (r, f ) − N (r, f ) + N r,

1
f

.

gọi là hàm giá trị phân nhánh của hàm f . Hiển nhiên NRam (r, f ) ≥ 0.
Định lý 1.1.19. (Định lý cơ bản thứ hai) Nếu cho f là một hàm phân hình
khác hằng trên C, a1 , a2 , ..., aq ∈ C, (q > 2) là các hằng số phân biệt, khi đó
với mỗi ε > 0, bất đẳng thức
q

(q − 1)T (r, f ) + Nram (r, f ) ≤

N r,

j=1

1
f − aj

+ N (r, f ) + log T (r, f )

+ (1 − ε) log+ log T (r, f ) + O(1).
đúng với mọi r ≥ r0 nằm ngoài một tập có độ đo Lebesgue hữu hạn.
Định lý 1.1.20. ([5]) Cho f là một hàm phân hình khác hằng trên C và ba
hàm nhỏ phân biệt a1 , a2 , a3 của f . Khi đó
3

T (r, f ) <

N r,
j=1

11

1
f − aj

+ S(r, f ).


Định lý 1.1.21. ([5]) Cho f là một hàm phân hình khác hằng trên C và các
hàm nhỏ phân biệt a1 , a2 , ..., aq của f . Khi đó
q

(q − 1)T (r, f ) <

N r,
j=1

1
f − aj

+ qN (r, f ) + S(r, f ).

Định lý sau là một mở rộng của Định lý 1.1.20.
Định lý 1.1.22. ([5]) Giả sử f là hàm phân hình trong C, kí hiệu a1 , ..., aq ,

(q ≥ 2) là các hàm nhỏ của f . Gọi k là số các phần tử của tập con độc lập
tuyến tính lớn nhất của {a1 , a2 , ..., aq } thì khi đó ta có
q

(q − 1)T (r, f ) ≤

N k r,
j=1

1
f − aj

+ kN (r, f ) + S(r, f ),

Quan hệ số khuyết, điểm bỏ được Picard
Giả sử f (z) là hàm phân hình trên C, a ∈ C ∪ ∞ và k là một số nguyên
dương. Ta kí hiệu

δ(a, f ) = 1 − lim sup
r→∞

δk (a, f ) = 1 − lim sup
r→∞

Θ(a, f ) = 1 − lim sup
r→∞

1
N r, f −a

T (r, f )

;

1
Nk r, f −a

;

T (r, f )
1
N r, f −a

T (r, f )

.

Định nghĩa 1.1.23. ([5]) δ(a, f ) được gọi là số khuyết, δk (a, f ) là số khuyết
bội cắt cụt bởi một số nguyên dương k của f tại a, Θ(a, f ) gọi là số khuyết
không kể bội.
Nhận xét.
12


1
1. Nếu f (z) = a vô nghiệm thì N r, f −a
= 0 với mọi r suy ra δ(a, f ) = 1.

Chẳng hạn f (z) = ez thì δ(0, f ) = 1;
1
2. Nếu N r, f −a
= o(T (r, f )) khi đó δ(a, f ) = 1. Như vậy số khuyết bằng

1 khi số nghiệm của phương trình quá ít so với cấp tăng của nó;
3. Với mỗi hàm phân hình f và a ∈ C, ta luôn có

0 ≤ δ(a, f ) ≤ δk (a, f ) ≤ δk−1 (a, f ) ≤ ... ≤ δ1 (a, f ) = Θ(a, f ) ≤ 1.
Định lý sau cho ta một tính chất của số khuyết, thường được gọi là bổ đề
quan hệ số khuyết.
Định lý 1.1.24. ([5]) Cho f là hàm phân hình khác hằng trên C. Khi đó tập
hợp các giá trị của a mà Θ(a, f ) > 0 cùng lắm là đếm được, đồng thời ta có

δ(a, f ) ≤
a∈Cp ∪{∞}

Θ(a, f ) ≤ 2.
a∈Cp ∪{∞}

Định nghĩa 1.1.25. ([5]) Giả sử f (z) là hàm phân hình trong mặt phẳng
phức. Một giá trị hữu hạn a là loại trừ Picard của f (z) nếu f (z) − a không có
không điểm.
Định lý 1.1.26. ([5]) (Định lý Picard ) Hàm phân hình khác hằng tùy ý có
nhiều nhất hai giá trị loại trừ Picard trong C.
Chẳng hạn tan z loại trừ ±1.

1.2

Các kết quả bổ trợ

Trong phần này chúng tôi giới thiệu một số bổ đề sẽ cần thiết cho việc chứng
minh các kết quả chính trong phần tiếp theo. Cho F , G là hai hàm phân hình
13


khác hằng. Từ nay về sau ta kí hiệu H như sau:

H=

2F
F
−
F
F −1

−

2G

G
−
.
G
G−1

(1.1)

Bổ đề 1.2.1. ([2]) Cho E m) (1; F ) = E m) (1; G) và F, G chung nhau ∞ không
kể bội và H ≡ 0. Khi đó ta có

N (r, ∞; H) ≤N (r, 0; G |≥ 2) + N (r, 0; F |≥ 2) + N ∗ (r, ∞; F, G)
+ N F ≥m+1 (r, 1; F | G = 1) + N G≥m+1 (r, 1; G | F = 1)
+ N L (r, 1; F ) + N L (r, 1; G) + N 0 (r, 0; F ) + N 0 (r, 0; G ) ,
trong đó N 0 (r, 0; F ) là hàm đếm không kể bội các không điểm của F mà
không là các không điểm của F (F − 1) và N 0 (r, 0; G ) được định nghĩa tương
tự.
Bổ đề 1.2.2. ([9]) Cho f là một hàm phân hình khác hằng và k là một số
nguyên dương. Khi đó ta có

NP r, 0; f (k) ≤ Np+k (r, 0; f ) + kN (r, ∞; f ) + S (r, f ) .
Bổ đề 1.2.3. ([6]) Kí hiệu N r, 0; f (k) | f = 0 là hàm đếm kể cả bội tại các
không điểm của f (k) mà không là các không điểm của f , Khi đó

N r, 0; f (k) | f = 0 ≤kN (r, ∞; f ) + N (r, 0; f |< k) + kN (r, 0; f |≥ k)
+ S(r, f ).
Bổ đề 1.2.4. ([2]) Cho f là một hàm phân hình khác hằng và cho
n
k
k=0 ak f

m
j
j=0 bj f

R (f ) =

14


là hàm hữu tỉ bất khả quy trong f với các hệ số là hằng số {ak } và {bj }, trong
đó an = 0 và bm = 0. Khi đó

T (r, R (f )) = dT (r, f ) + S (r, f ) ,
trong đó d = max{n, m}.
Bổ đề 1.2.5. ([2]) Cho f là một hàm phân hình và P [f ] là một đa thức vi
phân. Khi đó

m r,

P [f ]
f d(P )

≤ d(P ) − d(P ) m r,

1
f

+ S (r, f ) .

Bổ đề 1.2.6. ([2]) Cho f là một hàm phân hình và P [f ] là một đa thức vi

phân. Khi đó ta có

N r, ∞;

P [f ]
f d(P )

≤ ΓP − d(P ) N (r, ∞; f )
+ d(P ) − d(P ) N (r, 0; f |≥ k + 1)
+ µN (r, 0; f |≥ k + 1) + d(P )N (r, 0; f |≤ k) + S (r, f ) .

Chứng minh.
Cho z0 là một cực điểm của f có bậc r, sao cho bj (z0 ) = 0, ∞ : 1 ≤ j ≤ t.
Khi đó nó sẽ là một cực điểm của P [f ] với bậc lớn nhất rd(P ) + ΓP − d(P ).
Từ đó z0 là một cực điểm của f d(P ) với bậc rd(P ), khi đó z0 sẽ là một cực
điểm của

P [f ]
f d(P )

với bậc lớn nhất ΓP − d(P ). Tiếp theo giả sử z1 là một không

điểm của f với bậc s(> k), sao cho bj (z1 ) = 0, ∞ : 1 ≤ j ≤ t. Rõ ràng z1 là
một không điểm của Xj (f ) với bậc

sn0j + (s − 1) n1j + ... + (s − k) nkj = s.d (Xj ) − ΓXj − d (Xj ) .
15


Khi đó z1 là một cực điểm của

Xj [f ]
f d(P )

với bậc

s.d(P ) − s.d (Xj ) + ΓXj − d (Xj ) = s d(P ) − d (Xj ) + ΓXj − d (Xj ) .
Vì vậy z1 là một cực điểm của

P [f ]
f d(P )

với bậc cao nhất

max s d(P ) − d(Xj ) + ΓXj − d(Xj ) : 1 ≤ j ≤ t = s d(P ) − d(P ) + µ.
Nếu z1 là một không điểm của f với bậc s ≤ k , sao cho bj (z1 ) = 0, ∞ : 1 ≤

j ≤ t, khi đó z1 là một cực điểm của
P [f ]
f d(P )

P [f ]
f d(P )

với bậc sd(P ). Vì các cực điểm của

sinh bởi các cực điểm hoặc các không điểm của f và các cực điểm hoặc

các không điểm của bj (z) là duy nhất, khi đó

N r, ∞;

P [f ]
f d(P )

≤ ΓP − d(P ) N (r, ∞; f )
+ d(P ) − d(P ) N (r, 0; f |≥ k + 1)
+ µN (r, 0; f |≥ k + 1)
+ d(P )N (r, 0; f |≤ k) + S (r, f ) .

Bổ đề 1.2.7. ([2]) Cho P [f ] là một đa thức vi phân.Khi đó

T (r, P [f ]) ≤ ΓP T (r, f ) + S(r, f ).
Bổ đề 1.2.8. ([2]) Cho f là một hàm phân hình khác hằng và P [f ] là một đa
thức vi phân. Khi đó

S (r, P [f ]) = S(r, f ).
Chứng minh. Từ Bổ đề 1.2.7 ta có T (r, P [f ]) = O (T (r, f )) và vì vậy ta có kết
luận của Bổ đề 1.2.8.

16


Bổ đề 1.2.9. ([2]) Cho f là một hàm phân hình khác hằng và P [f ], Q[f ] là
hai đa thức vi phân. Khi đó

N (r, 0; P [f ]) ≤

d(P ) − d(P )
1

m r,
d(Q)
Q[f ]

+ ΓP − d(P ) N (r, ∞; f )

+ d(P ) − d(P ) N (r, 0; f |≥ k + 1) + µN (r, 0; f |≥ k + 1)
+ d(P )N (r, 0; f |≤ k) + d(P )N (r, 0; f ) + S (r, f ) .
Chứng minh. Cho một giá trị cố định r, giả sử E1 = θ ∈ [0, 2π] :| f (reiθ ) |≤ 1
và E2 là phần bù của nó. Từ định nghĩa
k

nij ≥ d(Q)
i=0

với mọi j = 1, 2, ..., l, sau đó trên E1
l

Q[f ]]
≤
f d(Q)

k

|cj (z)|
j=1

i=1

nij

f (i)
f

|f |

k
i=0

l
nij −d(Q)

k

≤

f (i)
f

|cj (z)|
j=1

i=1

nij

.

Lưu ý rằng

1
f d(Q)
Từ E2 ,

1
|f (z)|

d(Q)m r,

=

Q[f ] 1
.
f d(Q) Q[f ]

< 1, chúng ta có
1
f

=

1
2π

1
≤
2π
+
≤

1
2π

1
dθ
+
d(Q)
2π
|f (reiθ )|
1

log+
E1
l

log+
E2

k

log+ |cj (z)| dθ +
E1

j=1

1
2π

i=1

log+
E1
2π

log+
0

= m r,

1
Q[f ]

log+
E1

1
dθ
Q [f (reiθ )]

1
dθ + S(r, f )
Q [f (reiθ )]
+ S (r, f ) .
17

1
|f

d(Q)
(reiθ )|

f (i)
f

nij

dθ

dθ


Sử dụng Bổ đề 1.2.5 và Bổ đề 1.2.6 và Định lí cơ bản thứ nhất chúng ta nhận
được

N (r, 0; P [f ])
≤N

f d(P )
r, ∞;
P [f ]

≤ m r,

P [f ]
f d(P )

+ d(P )N (r, 0; f )

+ N r, ∞;

≤ d(P ) − d(P ) m r,

1
f

P [f ]
f d(P )

+ d(P )N (r, 0; f ) + S (r, f )

+ ΓP − d(P ) N (r, ∞; f )

+ d(P ) − d(P ) N (r, 0; f |≥ k + 1) + µN (r, 0; f |≥ k + 1)
+ d(P )N (r, 0; f |≤ k) + d(P )N (r, 0; f ) + S (r, f )
≤

d(P ) − d(P )
1
m r,
d(Q)
Q[f ]

+ ΓP − d(P ) N (r, ∞; f )

+ d(P ) − d(P ) N (r, 0; f |≥ k + 1) + µN (r, 0; f |≥ k + 1)
+ d(P )N (r, 0; f |≤ k) + d(P )N (r, 0; f ) + S (r, f ) .
Bổ đề 1.2.10. ([8]) Bất đẳng thức

N (r, ∞; P [f ]) ≤ d(P )N (r, ∞; f ) + ΓP − d(P ) N (r, ∞; f )
luôn đúng.

Bổ đề 1.2.11. ([3]) Cho đa thức vi phân P [f ],

N (r, 0; P [f ]) ≤ Γ − d(P ) N (r, ∞; f ) + d(P )N (r, 0; f )
+ d(P ) − d(P )

m r,

.

18

1
f

+ T (r, f ) + S (r, f )


Chứng minh. Từ Bổ đề 1.2.5 rõ ràng

d(P )m r,

1
f

≤ m r,

1
P

+ S (r, f ) .

(1.2)

Bây giờ sử dụng Bổ đề 1.2.10, Bổ đề 1.2.5 và (1.2), chúng ta có

N (r, 0; P [f ]) = T (r, P ) − m r,

1
P

+ O(1)
1
f

≤ T (r, P ) − d(P )m r,
≤ d(P ) − d(P ) m r,

+ S (r, f )

1
f

+ d(P )m(r, f ) + d(P )N (r, ∞; f )

+ ΓP − d(P ) N (r, ∞; f ) − d(P )m r,

1
f

+ S(r, f )

≤ ΓP − d(P ) N (r, ∞; f ) + d(P )N (r, 0; f )
+ d(P ) − d(P )

m r,

1
f

+ T (r, f ) + S (r, f ) .

Từ đó bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 1.2.12. ([3]) Cho đa thức vi phân P [f ],

N (r, 0; P [f ]) ≤ T (r, P ) − d(P )T

r,

1
f

+ d(P )N r,

1
f

+ S (r, f ) .

Bổ đề 1.2.13. ([3]) Cho j và p là hai số nguyên dương thỏa mãn j ≥ p + 1
và Γ > (k + 1) d(P ) − (p + 1) . Khi đó với một đa thức vi phân P [f ], ta có

N (j+Γ−d(P )) r, 0; f d(P ) ≤ N (j (r, 0; P [f ]) .
Chứng minh.
Cho z0 là một không điểm của f với bậc t. Nếu td(P ) < j +Γ−d(P ), khi đó
ta có điều phải chứng minh. Vì thế chúng ta giả sử rằng td(P ) ≥ j + Γ − d(P ).
Bây giờ chúng ta xét hai trường hợp.
19


Trường hợp 1. Giả sử rằng t ≥ k + 1. Khi đó z0 là một không điểm của P [f ]
với bậc nhỏ nhất

min {n0j t + n1j (t − 1) + ... + nkj (t − k)} = min tdXj − ΓXj − dXj
j

j

= (t + 1) d(P ) − max ΓXj
j

≥ (j + Γ − d(P )) + d(P ) − Γ ≥ j.
Trường hợp 2. Giả sử rằng t ≤ k . Khi đó

kd(P ) ≥ td(P ) ≥ j + Γ − d(P ) ≥ p + 1 + Γ − d(P ),
điều đó mâu thuẫn với Γ > (k + 1) d(P ) − (p + 1) .
Bổ đề 1.2.14. ([3]) Cho j và p là hai số nguyên dương thỏa mãn j ≥ p + 1
và Γ > (k + 1) d(P ) − (p + 1) . Khi đó với đa thức vi phân P [f ], ta có

Np (r, 0; P [f ]) ≤Np+Γ−d(P ) r, 0; f d(P ) + (Γ − d(P )) N (r, ∞; f )
+ d(P ) − d(P )

m r,

1
f

+ T (r, f ) + S (r, f ) .

Chứng minh. Từ Bổ đề 1.2.11 và Bổ đề 1.2.13 chúng ta có

Np (r, 0; P [f ]) ≤ Γ − d(P ) N (r, ∞; f ) + N r, 0; f d(P )
+ d(P ) − d(P )

m r,

1
f

+ T (r, f )

∞

−

N (j (r, 0; P [f ]) + S (r, f )
j=p+1

≤ Γ − d(P ) N (r, ∞; f ) + Np+Γ−d(P ) r, 0; f d(P )
+ d(P ) − d(P )

m r,

1
f

+ T (r, f )

∞

+

∞

N (j r, 0; f

d(P )

−

N (j (r, 0; P [f ])
j=p+1

j=p+Γ−d(P )+1

20