Về bất đẳng thức xoay vòng và vận dụng (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

BÙI THỊ NHẤT NINH

VỀ BẤT ĐẲNG THỨC XOAY VÒNG
VÀ VẬN DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

BÙI THỊ NHẤT NINH

VỀ BẤT ĐẲNG THỨC XOAY VÒNG
VÀ VẬN DỤNG
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Trần Xuân Quý

THÁI NGUYÊN - 2019

Mục lục
Bảng ký hiệu

ii

Mở đầu

1

Chương 1. Về bất đẳng thức xoay vòng
1.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . .
1.1.1 Bất đẳng thức AM–GM . . . . . .
1.1.2 Bất đẳng thức H¨older, Jensen . . . .
1.2 Về bất đẳng thức Schur . . . . . . . . . . .
1.2.1 Bất đẳng thức Schur rời rạc . . . . .
1.2.2 Bất đẳng thức Schur đối với hàm số

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

Chương 2. Một số kết quả liên quan và vận dụng

2.1 Một số bất đẳng thức liên hệ giữa ba số dương . . . . . . . . .
2.2 Một số bất đẳng thức xoay vòng liên quan tới yếu tố lượng giác
2.2.1 Một số kết quả mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Một số bài toán bất đẳng thức vận dụng . . . . . . . .
2.3 Bất đẳng thức Shapiro và một số kết quả liên quan . . . . . . .
2.3.1 Một số bài toán bất đẳng thức của Diananda và Daykin
2.3.2 Một số bất đẳng thức xoay vòng liên quan . . . . . . .

.
.
.
.
.
.

3
3
3
4
5
5
10

.
.
.
.
.
.
.

15
15
23
28
34
37
39
40

Kết luận

47

Tài liệu tham khảo

48


ii

Bảng ký hiệu

x

Tập hợp các số tự nhiên khác không
Tập hợp các số tự nhiên 0, 1, 2, 3, 4, . . .
Tập hợp các số thực
Tập hợp các số thực dương
:= x + y + z

yz

:=xy + yz + zx

(y − z)2

:= (x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2

x2 (y + z)

:= x2 (y + z) + y2 (z + x) + z2 (x + y)

yz| sin nA|r

:= yz| sin nA|r + zx| sin nB|r + xy| sin nC|r

N
N0
R
R+
cyc

cyc

cyc

cyc

cyc

a|b

a là ước của b.

A
2
Π sin nA
2n + 1
Π cos
A
2
Π cos nA
A
Π cos x
2
2n + 1
tan
A
2

:= cos x A2 cosy B2 cosz C2

Π cos x

:= sin nA sin nB sin nC
2n+1
2n+1
:= cos 2n+1
2 A cos 2 B cos 2 C

:= Π cos nAΠ cos nBΠ cos nC
:= cos x A2 cosy B2 cosz C2
2n+1
2n+1
:= tan 2n+1
2 A + tan 2 B + tan 2 C

cyc

cotan nA

:= cotan nA + cotan nB + cotan nC

cyc

Π 1 + k cos2 nA

:= (1 + k cos2 nA)(1 + k cos2 nB)(1 + k cos2 nC)


1

Mở đầu
Trong tất cả các môn học, chúng ta đều biết rằng Toán học là bộ môn giúp
chúng ta rèn luyện tư duy, logic và phát triển trí tuệ một cách toàn diện. Toán
là quá trình tích lũy qua nhiều năm học tập, đặc biệt trong quá trình nghiên cứu
khoa học những công thức, phương trình hay bất đẳng thức thật là mới mẻ và
thú vị.
Lớp bất đẳng thức là một dạng toán phổ biến trong chương trình phổ thông.

Hàng năm, trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp, thì đề tài về bất đẳng
thức thường được chọn lựa. Và hiện nay, cũng đã có nhiều tài liệu tiếng việt về
bất đẳng thức, tuy nhiên, những tài liệu khai thác về lịch sử của bất đẳng thức
không nhiều, chủ yếu khai thác sâu về các chuyên đề cụ thể của từng bài toán
bất đẳng thức. Với khuôn khổ luận văn thạc sĩ Toán học, chuyên ngành Phương
pháp Toán sơ cấp, tôi chọn lựa đề tài về bất đẳng thức xoay vòng với đối tượng
là các biểu thức nhiều biến đối xứng. Mặc dù các bài toán riêng lẻ về biều thức
nhiều biến đối xứng đã được nhiều tác giả khai thác và cải tiến bất đẳng thức
tương ứng. Vì nhiều lý do trên chúng tôi đã chọn đề tài luận văn là “Bất đẳng
thức xoay vòng và vận dụng”. Luận văn xoay quanh chủ đề về bất đẳng thức
xoay vòng, với các kết quả kinh điển như bất đẳng thức Schur, bất đẳng thức
Shapiro,... Nội dung của luận văn không đi sâu vào tổng hợp các bài tập và lời
giải về của lớp bất đẳng thức xoay vòng, mà đi sâu phân tích về lịch sử phát triển
của dạng bất đẳng thức này. Kết quả chính của luận văn là trình bày lại nội dung
của chương XVI (“Cyclic Inequalites”) tài liệu [13], các tài liệu trích dẫn tương
ứng trong sách và tài liệu tham khảo cuối luận văn. Cụ thể luận văn đã trình bày
những vấn đề sau:
Chương 1. Trình bày các dạng của bất đẳng thức Schur, từ dạng rời rạc đến
dạng liên tục (đối với lớp hàm dương lồi hoặc đơn điệu).


2

Chương 2. Trình bày được các một số dạng bất đẳng thức xoay vòng cơ bản,
chẳng hạn như lớp bài toán cho ba số dương, các dạng bất đẳng thức xoay vòng
có yếu tố lượng giác, dạng kiểu tam giác, bất đẳng thức Shapiro, một số mở
rộng, và các bài toán vận dụng, tổng quát hóa một số bài toàn trong cuốn sách
kinh điển về bất đẳng thức hình học “Geometric Inequalities” xem tài liệu [4].
Trong quá trình học tập và nghiên cứu tai trường Đại học Khoa học, Đại học
Thái Nguyên, em luôn nhận được sự quan tâm và giúp đỡ của các thầy cô cũng

như toàn thể anh chị em tập thể lớp Cao học Toán K11B. Bài luận văn này như
một lời tri ân tới tất cả vì đã truyền thụ cho em nhiều kiến thức và tinh thần quý
báu trong suốt thời gian em là học viên của trường.
Đặc biệt em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Trần Xuân Quý đã
luôn quan tâm ân cần, chỉ bảo, khích lệ và góp ý sâu sắc cho em trong suốt quá
trình học tập cũng như thực hiện đề tài. Em xin chân thành cảm ơn những người
thân yêu đã giúp đỡ, đồng hành cùng em trên chặng đường vừa qua!
Thái Nguyên, ngày 28 tháng 12 năm 2019
Học viên

Bùi Thị Nhất Ninh


3

Chương 1

Về bất đẳng thức xoay vòng
1.1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong mục này sẽ trình bày một số bất đẳng thức cơ bản nhất liên quan đến
luận văn, một số hệ quả của các bất đẳng thức này mà có sử dụng sẽ không được
trình bày, mà được chỉ ra như hệ quả hiển nhiên. Các hệ quả của các bất đẳng
thức trình bày trong mục này và các bất đẳng thức liên quan có thể xem trong
tài liệu [3] của GS. Nguyễn Văn Mậu.

1.1.1

Bất đẳng thức AM–GM

Bất đẳng thức AM–GM hay còn được gọi là bất đẳng thức giữa trung bình
cộng và trung bình nhân được viết tắt là AM-GM hoặc một số tài liệu viết là
AG, có nội dung như sau:
Định lý 1.1.1 (Bất đẳng thức AM-GM). Giả sử a1 , a2 , . . . , an là các số không
âm. Khi đó
a1 + a2 + · · · + an √n
a1 .a2 . . . an .
n
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · an .
Bất đẳng thức trên có thể viết lại,
1
1
1
a1 + a2 + · · · + an
n
n
n

1

1

1

a1n a2n · · · ann .


4

Từ ý tưởng này, người ta đã chứng minh được kết quả tổng quát hơn là: Với αi
là các số không âm, có tổng bằng 1, và ai là các số dương (i = 1, 2, . . . , n), thì ta
có bất đẳng thức
α1 a1 + α2 a2 + · · · αn an

aα1 1 .aα2 2 . . . . aαn n .

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · = an . Bất đẳng thức này được
gọi là bất đẳng thức AM-GM suy rộng (hay còn được gọi là bất đẳng thức trung
bình có trọng số hay bất đẳng thức trung bình lũy thừa có trọng số).

1.1.2

Bất đẳng thức H¨older, Jensen

Trước tiên, về bất đẳng thức H¨older tồn tại ở nhiều phiên bản, tuy nhiên
chúng tôi chỉ trình bày ở dạng đại số và giải tích cơ bản, mà chúng phù hợp với
chương trình phổ thông.
Kết quả dưới đây được gọi là bất đẳng thức H¨older.
Định lý 1.1.2 (Bất đẳng thức H¨older). Cho a = (a1 , a2 , . . . , an ) và b = (b1 , b2 , . . . , bn )
1 1
là hai bộ n số thực dương và p > 1, + = 1. Khi đó ta có bất đẳng thức sau
p q
n

ai bi
i=1






n

 1p 
 
a p  

n

(1.1)

i

i

i=1

 q1

bq  .

i=1

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi aip = kbqi với mọi i ∈ {1, 2, , . . . , n}.
Bất đẳng thức (1.1) với p = q = 2 còn được gọi là bất đẳng thức CauchySchwartz hay còn được gọi là Buniacosky-Cauchy-Schwartz.
Kết quả tiếp theo là bất đẳng thức H¨older ở dạng giải tích, chúng tôi chỉ trình
bày kết quả mà không chứng minh.
Định lý 1.1.3 (Bất đẳng thức H¨older dạng giải tích). Giả sử (p, q) là cặp số mũ

1 1
liên hợp, tức là thỏa mãn điều kiện p, q > 1 với + = 1, f và g là hai hàm số
p q
liên tục trên đoạn [a, b], khi đó
b
a

1
q

b

| f (x)| p dx

| f (x)g(x)| dx
a

1
p

b

|g(x)|q dx
a

(1.2)


5

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tồn tại hai số thực A và B không đồng thời bằng
không sao cho
A | f (x)| p = B |g(x)|q ∀x ∈ [a, b].
Tiếp theo là bất đẳng thức Jensen: Hàm số lồi hay gọi tắt hàm lồi là một khái
niệm quan trọng trong toán học. Các kết quả về bất đẳng thức đối với lớp hàm
lồi rất đa dạng trong giải tích toán học, để liên hệ tới nội dung của luận văn,
chúng tồi trình bày một kết quả kinh điển của lớp bất đẳng thức này, đó là bất
đẳng thức Jensen.
Định lý 1.1.4 (Bất đẳng thức Jensen). Giả sử hàm số f : (a, b) → R lồi trên
khoảng (a, b). Khi đó với mọi x1 , . . . , xn ∈ (a, b) ta có bất đẳng thức sau
f(

x1 + · · · + xn
)
n

f (x1 ) + · · · + f (xn )
.
n

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = · · · = xn .

1.2

Về bất đẳng thức Schur

Các kết quả về bất đẳng thức Schur được nghiên cứu và sử dụng trong nhiều
khía cạnh của Toán học. Trong khuôn khổ luận văn Thạc sĩ Toán học, chuyên
ngành phương pháp Toán sơ cấp, tôi chỉ trình bày hai trường hợp riêng của bất
đẳng thức này mà đối tượng giáo viên và học sinh phổ thông có thể vận dụng

được.

1.2.1

Bất đẳng thức Schur rời rạc

Trường hợp đầu tiên mà J. Wolstenholme trích dẫn trong cuốn sách “A Book
of Mathemtical problems (1867)” là bài toán sau:
Nếu a, b, c là các số dương đôi một khác nhau thì ta có bất đẳng thức,
a(a − b)(a − c) + b(b − c)(b − a) + c(c − a)(c − b) > 0 và
a3 (a − b)(a − c) + b3 (b − c)(b − a) + c3 (c − a)(c − b) > 0.


6

Định lý 1.2.1 (Bất đẳng thức Schur). Nếu x, y, z là các số dương và λ là số thực
tùy ý, thì ta có bất đẳng thức sau
xλ (x − y)(x − z) + yλ (y − z)(y − x) + zλ (z − x)(z − y)

0.

(1.3)

Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = z.
Chứng minh. Đặt Γ = xλ (x − y)(x − z) + yλ (y − z)(y − x) + zλ (z − x)(z − y). Nếu hai
trong ba số x, y, z bằng nhau thì hiển nhiên bất đẳng thức đúng. Thật vậy, chẳng
hạn y = z, Γ = xλ (x − y)2 . Không giảm tính tổng quát, giả sử rằng x > y > z. Vì
λ là số thực tùy ý, nên ta xét hai trường hợp; λ > 0 và λ < 0:
Nếu λ

0 thì Γ = (x − y) xλ (x − z) − yλ (y − z) + zλ (x − z)(y − z)
> (x − y) xλ − yλ (y − z) + zλ (x − z)(y − z)
> 0.

Nếu λ < 0 thì Γ = xλ (x − y)(x − z) + (y − z) −yλ (x − y) + zλ (x − z)
> xλ (x − y)(x − z) + (y − z) −yλ + zλ (x − z)
> 0.
Vậy bất đẳng thức (1.3) được chứng minh.
Bất đẳng thức (1.3) được gọi là bất đẳng thức Schur. Đã có nhiều mở rộng
của bất đẳng thức Schur. Kết quả dưới đây được xem là một mở rộng sơ cấp nhất
của loại bất đẳng thức này của U. C. Guha (1962) như sau.
Định lý 1.2.2. Nếu a, b, c, u, v, w là các số thực dương và thỏa mãn các bất đẳng
thức sau
1

1

ap + cp
1

1

u p+1 + w p+1

1

bp,

(1.4)
1

v p+1 ,

(1.5)

khi đó, nếu p > 0, thì
ubc − vca + wab

0.

(1.6)

Nếu −1 < p < 0 thì các bất đẳng thức trong (1.5) và (1.6) đổi chiều; nếu
p < −1 thì các bất đẳng thức (1.4) và (1.5) đổi chiều. Trong mỗi trường hợp,


7

dấu đẳng thức trong bất đẳng thức (1.6) xảy ra khi và chỉ khi dấu bằng xảy ra
trong các bất đẳng thức (1.4) và (1.5) và
a p+1 b p+1 c p+1
= p = p .
up
v
w
Chứng minh. Nếu p > 0, thì theo bất đẳng thức H¨older ta có
1

1

1

1

a p+1 (uc) p+1 + c p+1 (wa) p+1

p+1

1

1

(uc + wa) a p + c p

p

,

tức là
1

1

ac(u p+1 + w p+1 ) p+1

1

1

(uc + wa) a p + c p

p

,

bất đẳng thức (1.6) suy ra từ bất đẳng thức (1.4) và (1.5). Các trường hợp khác
chứng minh tương tự.
Trong Định lý 1.2.2 đặt p = 1, a = y − z, b = x − z, c = x − y, u = xλ , v =
yλ , w = zλ . Như trong chứng minh Định lý 1.2.1 ta có thể giả thiết 0 < z < y < x.
Khi đó bất đẳng thức (1.6) chính là bất đẳng thức (1.3). Điều kiện (1.4) xảy ra
dấu bằng và bất đẳng thức (1.5) đúng bởi vì
uλ/2

vλ/2

hoặc

wλ/2

vλ/2

theo như λ > 0 hoặc λ < 0.
K. S. Amur đã có kết quả mở rộng kiểu bất đẳng thức Schur, kết quả cho
năm biến công bố (1961)1 . Kết quả tiếp theo dưới đây được A. Oppenheim và
Roy 0. Davis2 công bố năm 1964 mở rộng cho n biến.
Định lý 1.2.3. Giả sử al , . . . , an là n số thực cho trước và x1 , . . . , xn là n số thực
tùy ý thỏa mãn
x1 · · · xn
(1.7)
(với số tự nhiên n

3). Điều kiện cần và đủ để

n

=

ai (xi − x1 ) . . . (xi − xi−1 ) (xi − xi+1 ) . . . (xi − xn )
i=1

là
1
2

K. S. Amur (1961), “An inequalities of Schur’s type for five variables”
A. Oppenheim và Roy 0. Davis (1964), “Inequalities of Schur’s type”

0

(1.8)


8

(i). Với n = 3 có

(ii). Với n

2

1/2
,
a2 ≤ a1/2
1 + a3

a1

0,

a2

a1 ,

(−1)n (an−1 − an )

k

n, k

a3

(1.9)

0.

4 có

trong đó 1

(−1)k+1 ak

0,

0,

(1.10)

2, n − 1.

(Đặc biệt, với n = 5, a1 = · · · = a5 = 1, và x4 = x5 = 0, thì bất đẳng thức
(1.8) là bất đẳng thức Schur với λ = 2.)
Chứng minh. (i). Với n = 3. Điều kiện đủ. Giả sử có điều kiện (1.9), ta cần
chứng minh bất đẳng thức (1.8). Thật vậy, với n = 3 thì về phải của (1.8)
được viết lại như sau
= a1 (x1 − x2 )(x1 − x3 ) + a2 (x2 − x1 )(x2 − x3 )
+ a3 (x3 − x1 )(x3 − x2 )
1/2
= a1/2
1 (x1 − x2 ) − a3 (x2 − x3 )

2

(1.11)

2

+ a11/2 + a1/2
− a2 (x1 − x2 ) (x2 − x3 ) .
3
Rõ ràng, đẳng thức này chỉ ra

bằng của (1.8).

0 và cũng chỉ ra điều kiện xảy ra dấu

Điều kiện cần. Giả sử có bất đẳng thức (1.8), ta cần chứng minh (1.9). Nghĩa
là
a1 (x1 − x2 )(x1 − x3 ) + a2 (x2 − x1 )(x2 − x3 ) + a3 (x3 − x1 )(x3 − x2 )

0

với mọi số thực x1 , x2 , x3 thỏa mãn x1
x2
x3 . Như vậy nếu ta chọn
x2 = x3 < x1 hoặc x1 = x2 > x3 thì suy ra a1 0 và a3 0. Như vậy, ta
có thể biểu diễn vế trái của bất đẳng thức (1.8) như (1.11). Vậy nếu ta chọn
1/2
(x1 − x2 ) : (x2 − x3 ) = a1/2
3 : a1 thì thu được ràng buộc
a2
(ii). Với n

2

1/2
a1/2
.
1 + a3

4. Viết lại điều kiện (1.10) như sau

9

10 . n = 4 : a1

0, a2

a1 , a3

a4 , a4

20 . n = 5 : a1

0, a2

a1 , a3

0, a4

a5 , a5

30 . n = 6 : a1

0, a2

a1 , a3

0, a4

0, a5

40 . n

7 : a1

0.
0.
a6 , a6

0.

0, a2 a1 , a3 0, a4 0, ...



 an−2 0, an−1 an , an 0 nếu n lẻ,
···

 an−2 0, an−1 an , an 0 nếu n chẵn.

Điều kiện đủ. Giả sử các điều kiện (1.10) được thỏa mãn. Khi đó hai số
hạng đầu tiên trong tổng có dạng
a1 (x1 − x2 ) · · · (x1 − xn ) + a2 (x2 − x1 ) · · · (x2 − xn )
= ( x1 − x2 ) [a1 (x1 − x3 ) · · · (x1 − xn )
− a2 (x2 − x3 ) · · · (x2 − xn )] ,
là không âm nếu a1
0
a2 , hoặc a1
a2
0 và vì theo giả thiết

x1 − x3 x2 − x3 0, · · · , x1 − xn x2 − xn 0. Áp dụng một cách tương
tự cho hai số hạng tiếp theo của . Đối với mỗi số hạng khác trong hiển
nhiên không âm nếu điều kiện (1.10) thỏa mãn, vì (với xr − xr bị triệt tiêu)
(xr − x1 ) · · · (xr − xn ) 0 nếu r là số lẻ, và 0 nếu r là số chẵn, nghĩa là, nó
có dấu với ar .
Điều kiện cần. Giả sử có bất đẳng thức (1.8), khi đó nếu ta chọn x1 > x2 >
x3 = · · · = xn , chia cho x1 − x2 ta thu được
a1 (x1 − x3 ) · · · (x1 − xn ) − a2 (x2 − x3 ) · · · (x2 − xn )

0.

Trong bất đẳng thức này, ta chọn x1 > x2 = x3 thì ta suy ra a1 0, và chọn
x1 = x2 > x3 thì ta thu được điều kiện a1 a2 . Tương tự như vậy đối với
an−1 và an ; và điều kiện đối với ar với 3 r n − 2 thu được bằng cách
chọn
x1 = · · · = xr−1 > xr > xr+1 = · · · = xn .

Năm 1964 A. Oppenheim và Roy O. Davies3 đã đưa ra bài toán sau
3

A. Oppenheim và Roy O. Davies (1964), “Inequalities of Schur’s Type”


10

Định lý 1.2.4. Giả sử al , . . . , an là n số thực cho trước và x1 , . . . , xn là n số thực
tùy ý (với số tự nhiên n 3). Điều kiện cần và đủ để
n

=

ai (xi − x1 ) . . . (xi − xi−1 ) (xi − xi+1 ) . . . (xi − xn )

0

(1.12)

i=1

với mọi x1 , . . . , xn là
• với n = 3:
0

ai

• với n = 4 và n

1/2
a1/2
j + ak

với mọi hoán vị ba số i jk của 123,

6: a1 = · · · = an = 0,

• với n = 5: a1 = · · · = a5

0.

Năm 1988 P. Ivády4 đã chứng minh bất đẳng thức Schur (1.3) bằng định lý

giá trị trung bình.

1.2.2

Bất đẳng thức Schur đối với hàm số

A. W. Walker5 đã xét trường hợp λ = 2m thì trong bất đẳng thức Schur sẽ
đúng với mọi số thực x, y, z, nghĩa là
x2m (x − y)(x − z) + y2m (y − z)(y − x) + z2m (z − x)(z − y)

0,

(1.13)

với mọi số thực x, y, z.
Kết quả dưới đây là phiên bản của bất đẳng thức Schur đối với hàm số, kết
quả này được E. M. Wright đưa ra năm 1956.
Định lý 1.2.5. Xét I là mọt khoảng trong R và hàm số f : I −→ R+ hoặc lồi
hoặc đơn điệu. Nếu x, y, z ∈ I, thì
g = f (x) (x − y) (x − z) + f (y) (y − x) (y − z)+
+ f (z) (z − x) (z − y) 0
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.
4
5

P. Ivády (1988),“An application of the mean value theorem”, Math. Gazette, 67, pp. 126-127.
Klamkin M. S.(1971), “Duality in triangle inequalities”.

(1.14)

11

Chứng minh. Nếu x = y z thì g = f (z)(z − x)2 > 0. Vì vậy, không mất tính
tổng quát ta giả sử x < y < z. Dó đó, theo giả thiết ta có
0 < f (y)

max{ f (x), f (z)}.

Hơn nữa, theo giả thiết ta lại có
0 < (z − y)(y − x) < (z − x)(y − x) = (x − y)(x − z)
và
0 < (z − y)(y − x) < (z − y)(z − x).
Vì vậy,
f (y)(z − y)(y − x) < f (x)(x − y)(x − z) + f (z)(z − y)(z − x)
và g > 0.
Năm 1985 E. K. Godunova và V. A. Levin đã đưa ra lớp hàm sau:
Định nghĩa 1.2.6. Hàm số f xác định trên I, được gọi là thuộc vào lớp Q nếu f
là hàm không âm và thỏa mãn bất đẳng thức sau
f (λx + (1 − λ)y)

f (y)
f (x)
+
λ
1−λ

(1.15)

với mọi x, y ∈ I và λ ∈ (0, 1).

Nhận xét: Lớp các hàm lồi, không âm và hàm đơn điệu không âm thuộc vào
lớp Q. Một trong các kết quả đó là nếu x, y, z ∈ I và hàm f ∈ Q, thì bất đẳng
thức (1.14) đúng. Thật vậy, không giảm tính tổng quát, giả sử x < y < z, khi đó
ta có
f (y) = f (

z−y
y−x
x+
z)
z−x
z−x

z−x
z−x
f (x) +
f (z) ,
z−y
y−x

(1.16)

hay
f (x) f (y)
f (z)
+
+
z−y x−z y−x

0.

(1.17)

Trong bất đẳng thức (1.14) nếu ta chọn f (x) = xt , t ∈ R thì ta thu được bất
đẳng thức Schur. Ta có khẳng định sau chỉ ra điều kiện để một hàm thuộc vào
lớp Q.


12

Định lý 1.2.7. Xét hàm f (x) 0 và x là điểm trong của khoảng I, với p(x) =
inf f (t) và q(t) = inf f (t). Nếu với mọi x có bất đẳng thức sau
t x

t x

p(x)1/2 + q(x)1/2 ,

f (x)1/2
thì hàm f (x) ∈ Q.

Năm 1990, D. S. Mitrinovi´c và J. E. Peˇcari´c6 chỉ ra các bất đẳng thức (1.14)(1.17) là tương đương và chứng minh được kết quả sau tương tự kết quả bất đẳng
thức Jensen với hàm lồi.
Định lý 1.2.8. Nếu hàm f ∈ Q, x = (x1 , . . . , xn ) ∈ I n , n 2, w = (w1 , . . . , wn )
với wi > 0, thì ta có bất đẳng thức


n
n


 1 n
(x
)
f
i
f 
, với Wn =
wi xi  Wn
wi .
(1.18)
Wn
wi
i=1

i=1

i=1

Chứng minh. Chứng minh bất đẳng thức (1.18) bằng quy nạp. Với n = 2 thì theo
(1.15) ta có điều phải chứng minh. Giả sử bất đẳng thức (1.18) đúng với mọi k,
2 k n − 1.
Khi đó, ta có




n−1




 1 n
W
1
w


n−1
n



wi xi  = f  xn +
·
wi xi 
f 

 Wn
Wn Wn−1
Wn
i=1
i=1




n−1





 1
 1

 1



f 
wi xi  +
f (xn )
Wn 

 Wn−1  Wn−1
 wn
i=1

 n−1


f (xi ) f (xn ) 



+
Wn 

wi
wn 
i=1
n

= Wn
i=1

f (xi )
.
wi

Ta có điều phải chứng minh.
6

D. S. Mitrinovi´c và J. E. Peˇcari´c (1990), “Note on a class of functions of Godunova and Levin”.


13

Trong bài báo năm 1990 này, Mitrinovi´c và Peˇcari´c cũng chứng minh một
bất đẳng thức ngược lại, liên quan tới bất đẳng thức (1.18):
Định lý 1.2.9. Xét w = (w1 , . . . , wn ) ∈ Rn thõa mãn điều kiện
n

w1 > 0,

wi < 0

(i = 2, . . . , n),

wi > 0.

Wn =

(1.19)

i=1
n

1
2,
Wn

Nếu f ∈ Q, x ∈ I , n
n


 1
f 
Wn

wi xi ∈ I, thì
i=1
n

i=1



wi xi 

n

Wn
i=1

f (xi )
.
wi

(1.20)

Tiếp theo, xét J là tập hữu hạn khác rỗng các số nguyên dương. Nếu ta đặt
hàm tập F xác định như sau





f (xi )
1  1
f 
wi xi  −
(1.21)
F(J) =
WJ WJ
wi
i∈J

i∈J

và nếu
WJ =

wi ,

A J (x; w) =

i∈J

1
WJ

wi x i ,
i∈J

thì thu được kết quả sau:
Định lý 1.2.10. Xét hàm f ∈ Q. Giả sử J và K là các tập hợp khác rỗng, hữu
hạn các số nguyên dương thỏa mãn J ∩ K
∅, w = (wi )i∈J∪K , và xét dãy
x = (xi )i∈J∪K các số thực sao cho wi
0, xi ∈ I (i ∈ J ∪ K), W J∪K > 0,
AS (x; w) ∈ I (S = J, K, J ∪ K). Khi đó
(a) Nếu W J > 0 và WK > 0, thì
F(J ∪ K)

F(J) + F(K).

(b) Nếu W J WK < 0, thì ta có bất đẳng thức ngược lại, tức là
F(J ∪ K)

F(J) + F(K).

(1.22)


14

Hệ quả 1.2.11.
(a) Nếu wi > 0 (i = 1, . . . , n), Ik = {1, . . . , k}, thì
F (In )

F (In−1 )

F (I2 )

···

(1.23)

0

và
F (In )

pi + p j

min

1 i< j n

−p−1
i f

(xi ) −

−1

p−1
j f

pi xi + p j x j
pi + p j

f

(1.24)

xj .

(b) Nếu An (x; w) ∈ I và hàm F(J) xác định như trong (1.21), thì bất đẳng thức
ngược của (1.23) là đúng, và có
max (p1 + pi )−1 f

F (In )

2 i n

−p−1
1 f

(x1 ) −

p1 x1 + pi xi
p1 + pi

p−1
i f

(1.25)

(xi ) .

Định lý 1.2.12. Nếu f ∈ Q, [m, M] ⊂ I, xi ∈ [m, M], và w = (wi , . . . , wn ) với
wi là các số dương, thì
n

i=1

n

f (xi )
wi

f (m)
i=1

n

M−m
+ f (M)
wi (M − xi )

i=1

M−m
.
wi (xi − m)

(1.26)

n

Nếu chọn wi = 1, i = 1, . . . , n; m = 0, M =

xi ∈ I, xi > 0, i =
i=1

1, . . . , n, thay vào bất đẳng thức (1.26), thì với f (0) = 0, ta thu được bất đẳng
thức
 n
 n
 n

n
 
 

1 











f (xi ) f 
xi  
xi  
.
xi 
i=1

i=1

i=1

i=1


15

Chương 2

Một số kết quả liên quan và
vận dụng
2.1

Một số bất đẳng thức liên hệ giữa ba số dương

Giả sử x, y, z là các số dương. Khi đó, các hàm số sau là đối xứng
T1 =

x = x + y + z,

T2 =

cyc

yz = xy + yz + zx,

T 3 = xyz,

cyc

có đặc trưng xoay vòng. Do đó các bất đẳng thức liên quan tới các hàm này là
xoay vòng. Dưới đây, sẽ trình bày một số kết quả cơ bản về bất đẳng thức xoay
vòng.
Ta đã biết, phương pháp cơ bản nhất để thu được các bất đẳng thức là sử dụng
các đẳng thức. Các kết quả dưới đây được đưa ra bởi M. S. Klamkin (1971). Bất
đẳng thức
T 12 − 3T 2

0

(2.1)

là hệ quả đơn giản của đẳng thức sau
(y − z)2 = 2 T 12 − 3T 2 .

(2.2)

cyc

Bất đẳng thức
T 13 − 27T 3

0

(2.3)


16

suy ra từ đẳng thức sau
T 13 − 27T 3 = (

x)3 − 27xyz ( 0).

(2.4)

cyc

(Bất đẳng thức (2.3) là hệ quả của bất đẳng thức AG.) Bất đẳng thức
T 1 T 2 − 9T 3

(2.5)

0

được suy ra từ đẳng thức sau
T 1 T 2 − 9T 3 =

x2 (y + z) − 6xyz ( 0).

(2.6)

cyc

Áp dụng bất đẳng thức Schur (1.3) với λ = 1 và đẳng thức
x(x − y)(x − z) = T 13 + 9T 3 − 4T 1 T 2

(2.7)

cyc

ta thu được
T 13 + 9T 3 − 4T 1 T 2

0.

(2.8)

Và bất đẳng thức
T 22 − 3T 1 T 3

(2.9)

0

được suy ra từ đẳng thức
x2 (y − z)2 = 2(T 22 − 3T 1 T 3 ).

(2.10)

cyc

Klamkin1 đã chỉ ra, bằng phép biến đổi cơ bản từ một bất đẳng thức nào đó
ta có thể thu được bất đẳng thức mới, nghĩa là nếu F(x, y, z) 0 với mọi x, y, z
không âm thì F(x , y , z ) 0 trong đó
x = F1 (x, y, z),
và F1 , F2 , F3

z = F3 (x, y, z)

(2.11)

0. Cho F1 = 1/x, F2 = 1/y, F3 = 1/z:
T 1 = T 2 /T 3 ,

1

y = F2 (x, y, z),

T 2 = T 1 /T 3 ,

Klamkin M. S. Duality in triangle inequalities (1971).

T 3 = 1/T 3 .

(2.12)


17

Sử dụng phép biến đổi này, chẳng hạn (2.1) suy ra (2.9).
Klamkin M. S. (1971) đã đưa ra nhiều ví dụ, chẳng hạn như:
T 1 = T 12 − 2T 2 ,

T 2 = T 22 − 2T 1 T 3 ,

T 3 = T 32

(2.13)

(Cho F1 = x2 , F2 = y2 , F3 = z2 ).
T1 =

T 22 − 2T 1 T 3
T 32

,

T 12 − 2T 2

T2 =

T 32

,

T3 =

1
T 32

(2.14)

(Cho F1 = 1/x2 , ....).
T 1 = T 13 − 3T 1 T 2 + 3T 3 ,

T 2 = T 23 + 3T 32 − 3T 1 T 2 T 3 ,

T 3 = T 33

(2.15)

(Cho F1 = x3 , ....).
T1 =
T3 =

T 23 − 3T 1 T 2 T 3 + 3T 32
T 33
1
T 33

T 1 = 2T 1 ,

,

T2 =

T 13 − 3T 1 T 2 + 3T 3
T 33

(2.16)

(Cho F1 = 1/x3 , ....).
T 2 = T 12 + T 2 ,

T3 = T1T2 − T3

(2.17)

(Cho F1 = x + y + z, ....).
2T 1
T1 =
,
T3

T2 =

T 22 + T 1 T 3
T 32

,

T3 =

T1T2 − T3

T 32

(2.18)

(F1 = 1/y + 1/z, .... ).
T 1 = 2T 2 ,

T 2 = T 22 + T 1 T 3 ,

T 3 = T 1 T 2 T 3 − T 32

(2.19)

T1T2 − T3
T 33

(2.20)

(F1 = x(y + z), .... )
2T 1
T1 =
,
T3

T2 =

T 12 + T 2
T 32

,

T3 =

(F1 = (y + z)/xyz, .... ).
Các bất đẳng thức thu được có dạng P(x, y, z)
thuần nhất, đối xứng bậc n.

0 với P(x, y, z) là đa thức

P(x, y, z) = x p yq zr + xq y p zr + x p yr zq + xq y p zr + xq yr z p + xr y p zq + xr yq z p
trong đó n = p + q + r. Trong trường hợp tổng quát n 3 các bất đẳng thức này
được nghiên cứu bởi P. J. van Albada2 và K. B. Stolarsky3 .
2

van ALBADA, P. J. (1971), Geometric inequalities and their geometry, Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak.

Ser. Mat. Fiz. No. 338-352, 41-45.
3
STOLARSKY, K. B. (1971), Cubic triangle inequalities, Amer. Math. Monthly 78, 879-881.


18

Chẳng hạn, với n = 1, thì hiển nhiên bất đẳng thức có dạng
t(x + y + z)

0

đúng với t 0.
Với n = 2, thì ta có khẳng định sau

Định lý 2.1.1. Bất đẳng thức


P(x, y, z) = λ 

x2 −
cyc

cyc

với mọi x, y, z không âm nếu và chỉ nếu λ



yz + 4ν
0, ν

yz

0

cyc

0.

Chứng minh. Trước tiên ta có
1
P(x, y, z) = λ
2

(y − z)2 + 4ν
cyc

cyc

và P(1, 0, 0) = λ, P(1, 1, 1) = 12ν.
Vậy giả sử P(x, y, z) 0 thì suy ra P(1, 0, 0) = λ
Ngược lại, giả sử λ 0, ν 0, thì từ




2

P(x, y, z) = λ 
x −
yz + 4ν
cyc

suy ra P(x, y, z)

yz,

cyc

0, P(1, 1, 1) = 12ν

yz

0.

0

cyc

0.

Tiếp theo, xét trường hợp n = 3. Theo kết quả của Rigby4 (1973), ta ký hiệu
U=

x2 (y + z) + 3xyz =

x3 −
cyc

cyc

x(x − y)(x − z)
cyc

= x(x − y)2 + z(y − z)2 + (x − y)(y − z)(x − y + z),
V=

x2 (y + z) − 6xyz =
cyc

x(y − z)2 ,
cyc

W = xyz.

Nếu x, y, z 0 thì U 0 (vì không giảm tính tổng quát, ta giả sử x y z). Đây
là bất đẳng thức Schur (1.13) với λ = 1. Hiển nhiên là V, W 0 khi x, y, z 0.
Với đa thức bậc 3 đối xứng, biến x, y, z có thể biểu diễn dạng
P(x, y, z) = λU + µV + νW.
4

J. F. Rigby (1973), “A method of obtaining related triangle inequalities, with applications”


19

Định lý 2.1.2 ([19]). Bất đẳng thức λU + µV + νW
khi và chỉ khi λ, µ, ν 0.

0 đúng với mọi x, y, z

0

Chứng minh. P(1, 0, 0) = λ, P(0, 1, 1) = 2µ, P(1, 1, 1) = ν.
Trong các kết quả nghiên cứu của Klamkin (1971), Albda (1971), Bottema
và Groenman (1977), Rigby (1975, 1978) đã chỉ ra các bất đẳng thức xoay vòng
dạng đặc biệt với dấu bằng xảy ra khi x = y = z. Cụ thể là:
(a). Với n = 2: λ T 12 − 3T 2

0,


λ 

(b). Với n = 3, ta có λU + µV

λ > 0, nghĩa là


x2 −
yz 0.

cyc

0,

cyc

λ, µ

0, nghĩa là

µT 13 + vT 1 T 2 − 9(v + 3µ)T 3

0,

µ

0, v ≥ −4µ.

(c). Với n = 4, kết quả của Rigby (1978): Đặt
A=
cyc

=

x3 (y + z) +

x4 −
1
2

x2 yz =

cyc

cyc

x2 (x − y)(x − z)
cyc

(y + z − x)2 (y − z)2
cyc

B=

x3 (y + z) − 2
cyc

C=

y2 z2 =
cyc

x2 yz =

y2 z2 −
cyc

cyc

yz(y − z)2
cyc

1
2

x2 (y − z)2
cyc

Với mọi số thực không âm x, y, z thì A, B, C 0. Thực tế là A 0 và C 0
với mọi số thực x, y, z, và A
0 chính là bất đằng thức Schur (1.3) với
λ = 2. Với bất kỳ bất đẳng thức bậc "bốn" đối xứng đối với các số dương
đều có dạng
λA + µB + νC 0.
Ta xét bổ đề sau:
√
Bổ đề 2.1.3. Giả sử X, Y, Z ∈ R, bất đẳng thức Xλ − Y λν + Zν
với mọi λ 0 và ν 0 nếu X 0, Z 0 và 4XZ − Y 2 0.

0 đúng


20

√ √ √ √
√
√
√
Chứng minh. Xλ−Y λν+Zν = ( X λ− Z ν)2 +(2 XZ −Y) λν.
Định lý 2.1.4. Bất đẳng thức λA + µB + νC
√
và chỉ nếu λ 0, ν 0, µ ≥ − λν.

0 đúng với mọi x, y, z

0 nếu

Chứng minh. Đặt λA + µB + νC = f (x, y, z), và giả sử f (x, y, y) 0 với mọi
x, y > 0. Khi đó ta có λ = f (1, 0, 0) 0 và ν = f (0, 1, 1) 0. Ta cũng có
√
√
√
f (x, y, y) = (x − y)2 (x λ − y ν)2 + 2(µ + λν)xy ,
√
f (x, y, y) > 0 với mọi x, y > 0 nếu µ + λν 0. Do đó điều kiện đưa ra là
cần thiết. Đề chứng minh điều kiện này là đủ, ta thấy rằng
√
√
f (x, y, z) = λA − νλB + νC + (µ + λν)B
√
và λA − λνB + νC 0 (theo Bổ đề 2.1.3), vì
4AC − B2 = 3((x + y + z)(y − z)(z − x)(x − y))2

0.

Hoặc từ
λA −

λν B + νC =

1
2

√
√
((y + z − x) λ − x ν)2 (y − z)2

0.

cyc

(d). Với n = 6, kết quả được Rigby công bố năm 1975 và 1978:
Trường hợp đặc biệt, ta xét các bất đẳng thức bậc 6 với biến x, y, z với các
số hạng không liên quan tới dạng cyc x6 và cyc x5 (y + z). Ta có các ký
hiệu sau:
J=

x 4 y2 + z2 ,

K = xyz

cyc

x3 ,

L=

cyc

M = xyz

x2 (y + z),

y3 z3 ,
cyc

N = x 2 y2 z2 ,

cyc

P = J − 2K − 2L + 2M − 6N = (y − z)2 (z − x)2 (x − y)2 ,
Q = K − M + 3N = xyz

x(x − y)(x − z) = xyzU,
cyc

T = L − M + 3N =

yz(yz − zx)(yz − xy),
cyc

S = M − 6N = xyz

x(y − z)2 = xyzV.
cyc


21

Ta dễ dàng có các bất đẳng thức sau P 0, Q 0, S
từ U 0 nếu ta thay thế x −→ yz, y −→ zx, z −→ xy.

0, và T

0 suy ra

Với mọi bất đẳng thức đối xứng bậc 6 với hệ số dương, và không có số hạng
dạng cyc x6 và cyc x5 (y + z) đều có dạng
P(x, y, z) = αP + βQ + γT + δS
Định lý 2.1.5. Bất đẳng thức αP+βQ+γT +δS
√
khi và chỉ khi α, β, γ 0 và δ − βγ.

0.

0 đúng với mọi x, y, z

0

Chứng minh. Giả sử P(x, y, z) 0 với mọi x, y, z > 0. Khi đó P(x, 1, 0) =
x2 α(x − 1)2 + x , vì vậy x−4 P(x, 1, 0) → α khi x −→ ∞, do đó α 0. Ta
cũng có x−4 P(x, 1, 1) → β khi x → ∞, vì vậy β 0, và P(0, 1, 1) = γ, do
vậy γ 0. Vì β, γ 0 ta có thể viết

√
P(x, y, y) = y2 (x − y)2 (x β − y γ)2 + 2(δ + βγ)xy .
√
Biểu thức này là dương với mọi số dương x, y nếu δ − βγ. Như vậy, ta
chứng minh được điều kiện cần.
Để chứng minh điều kiện đủ, ta thấy rằng
P(x, y, z) = αP + (βQ −

βγS + γT ) + (δ +

βγ)S

và
βQ −

βγS + γT

theo Bổ đề 2.1.3 vì 4QT − S 2

0

khi β, γ

0

0.

Giả sử X 0 và Y 0 là các bất đẳng thức đúng với mọi x, y, z 0, trong
đó X và Y là các biểu thức của x, y, z và Y aX với a là hằng số. Nếu X Y với
mọi x, y, z 0 với bất đẳng thức chặt với hầu hết các giá trị x, y, z, ta nói rằng

Y 0 là tốt hơn bất đẳng thức X 0.
Ta nói một bất đẳng thức là tốt nhất theo nghĩa yếu nếu không có bất đẳng
thức nào trong tập các bất đẳng thức là tốt hơn. Một bất đẳng thức là tốt nhất
theo nghĩa mạnh nếu nó là bất đẳng thức tốt hơn các bất đẳng thức khác trong
tập hợp các bất đẳng thức.
n = 2. Klamkin (1971):
Kết quả tiếp theo là hệ quả của Định lý 1.2.1.