CHƯƠNG I (HH): Phép biến hình

Kiến thức cơ bản và một số dạng toán. Chương I: Phép biến hình-Giải tích 11 cơ bản
CHƯƠNG I:
PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MP TỌA ĐỘ
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN:
 ĐN phép biến hình: xem SGK
 Một số phép biến hình thường gặp:
I/ Phép tịnh tiến:
1. ĐN: Trong mp cho vectơ
v
r
. PBH biến mỗi điểm M thành điểm M’sao cho
'MM v=
uuuuur
r
được gọi
là phép tịnh tiến theo vectơ
v
r
. Kí hiệu:
v
T
r
;
v
r
gọi là vectơ tịnh tiến
2. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến:
Nếu M’(x’,y’) là ảnh của M(x,y) qua phép tịnh tiến theo vectơ
( , )v a b
=
r

thì ta có :

= +


= +

'
'
x x a
y y b

II/ Phép đối xứng tâm:
1. ĐN: Trong mp cho điểm I. PBH biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M khác I thành
điểm M’sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng tâm I.
Kí hiệu: Đ
I
; I gọi là tâm đối xứng
2. Biểu thức tọa độ của phépđối xứng tâm:
Nếu M’(x’,y’) là ảnh của M(x,y) qua phép đối xứng tâm I(x
0
,y
0
) thì ta có :

= −


= −


' 2
' 2
I
I
x x x
y y y
I
M
M'
*ĐB: Phép đối xứng tâm O(0,0) thì
= −


= −

'
'
x x
y y
III/ Phép đối xứng trục:
1. ĐN: Trong mp cho đt d. PBH biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M
không thuộc d thành điểm M’sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng
MM’ được gọi là phép đối xứng trục d. Kí hiệu: Đ
d
;
d gọi là trục đối xứng
2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục:
*Phép đối xứng trục Ox: M’(x’,y’) là ảnh của M(x,y) qua phép đối xứng trục Ox, ta có :

=



= −

'
'
x x
y y
*Phép đối xứng trục Oy: M’(x’,y’) là ảnh của M(x,y) qua phép đối xứng trục Oy, ta có :

= −


=

'
'
x x
y y
Tổ Toán-Tin trường THPT Quang Trung Gv: Đổng Thị Phương Mai
1
a
M'
M
d
I
M
M'
Kiến thức cơ bản và một số dạng toán. Chương I: Phép biến hình-Giải tích 11 cơ bản
IV/ Phép quay tâm O góc

α
:
ĐN: Cho điểm O và góc lượng giác
α
.. PBH biến O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành
điểm M’ sao cho OM’=OM và góc lượng giác
( )
; 'OM OM
α
=
uuuur uuuuur
,được gọi là phép quay tâm O góc
quay
α
. Kí hiệu: Q
(O,
α
)
V/Phép vị tự tâm I(x
0
,y
0
) tỉ số k
( )
0k
≠
:
1. ĐN: Cho điểm I và số thực k
≠
0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho

'IM k IM=
uuuur uuur
được gọi là phép vị tự tâm I tỉ số k. Kí hiệu: V
(I,k)
2. Biểu thức tọa độ của phép vị tự:
Nếu M’(x’,y’) là ảnh của M(x,y) qua phép vị tự tâm I(x
0
,y
0
) tỉ số k , ta có :

= + −


= + −

' (1 )
' (1 )
I
I
x kx k x
y ky k y
VI/ Phép dời hình:
1.ĐN: Phép dời hình là PBH bảo toàn tỉ số khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ.
*Các phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay là các phép dời hình.
*PBH có được bằng cách thực hiện liên tiếp 2 phép dời hình là 1 phép dời hình.
2. Tính chất: Xem SGK
VII/ Phép đồng dạng tỉ số k:
1.ĐN: Phép biến hình F gọi là phép đồng dạng tỉ số k ( k>0) nếu F biến 2 điểm bất kỳ M,N thành 2
điểm M’,N’ sao cho M’N’=kMN.

*Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1; Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số |k|.
*Nếu thực hiện liên tiếp phép đồng dạng tỉ số k và phép đồng dạng tỉ số k’ ta được 1 phép
đồng dạng tỉ số k.k’
2.Tính chất: Xem SGK
B.MỘT SỐ DẠNG TOÁN:
Dạng 1: Tìm ảnh hoặc tạo ảnh của điểm M(x,y) qua phép biến hình
*Tìm ảnh của điểm M(x
M
;y
M
) qua các phép tịnh tiến, đối xứng tâm, đối xứng trục Ox, trục
Oy, phép vị tự :
-Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua một trong các phép biến hình trên.
-Áp dụng các công thức xác định ảnh (nêu trong phần kiến thức cơ bản) đối với các phép tịnh tiến, đối
xứng tâm, đối xứng trục Ox, trục Oy, phép vị tự tìm được tọa độ M’
VD: Tìm ảnh củađiểm A(-2,3) qua phép tịnh tiến theo vectơ
(3; 5)v = −
r
Giải:
Gọi A’(x’;y’) là ảnh của A(-2;3) qua PTT
v
T
r
, ta có :
= + = − + =

⇒

= + = + − = −


' 2 3 1
' 3 ( 5) 2
x x a
y y b
A’(1; - 2)
*Tìm ảnh của 1 điểm qua phép đối xứng trục d:
+ + = 0ax by c

Để tìm ảnh của điểm M(x
M
,y
M
) qua phép đối xứng trục d ta thực hiện các bước sau:
- Gọi M’(x’,y’) là ảnh của M(x
M
,y
M
) qua phép đối xứng trục d ,viết pt đt MM’:
đt MM’ đi qua M và vuông góc d nên pt đt MM’có dạng: –b(x – x
M
)+a(y – y
M
)=0
Tổ Toán-Tin trường THPT Quang Trung Gv: Đổng Thị Phương Mai
2
α
M'
O
M
IM'=k.IM (k<0)

IM'=k.IM (k>0)
I
M'
M' M
M
I
Kiến thức cơ bản và một số dạng toán. Chương I: Phép biến hình-Giải tích 11 cơ bản
- Tìm tọa độ giao điểm I của d và đt MM’: tọa độ I là nghiệm hpt(I)
0
( ) ( ) 0
M M
ax by c
b x x a y y
+ + =


− − + − =


Giải hpt(I) tìm được tọa độ I
- I là trung điểm MM’, dođó:
= −


= −

' 2
' 2
I M
I M

x x x
y y y
VD: Tìm ảnh củađiểm M(-2,3) qua phép đối xứng trục d: 5x+2y+10=0.
Giải:
-Gọi M’(x’;y’) là ảnh của điểm M(-2,3) qua phép đối xứng trục d: x+2y-10=0.
⇒
đt MM’ đi qua M và vuông góc d nên pt đt MM’có dạng: –2(x +2)+(y – 3)=0
⇔
-2x +y -7 = 0
-Gọi I =MM’
∩
d
⇒
tọa độ I là nghiệm hpt:
2 10 0
2 7 0
x y
x y
+ + =


− + − =

. Giải hpt được nghiệm
24
5
13
5
x
y


= −




= −



⇒
24 13
;
5 5
I
 
− −
 ÷
 
-Ta lại có I là trung điểm đoạn thẳng MM’
⇒
24 38
' 2 2 ( 2)
5 5
13 41
' 2 2 3
5 5
I M
I M
x x x

y y y

 
= − = − − − = −
 ÷

  

 

= − = − − = −
 ÷

 

38 41
' ;
5 5
M
 
⇒ − −
 ÷
 
Dạng 2: *Tìm ảnh của đường thẳng d: Ax+By+C=0qua phép tịnh tiến
v
T
r
với
v
r

(a,b):
(Tương tự cho các phép biến hình:đối xứng tâm, đối xứng trục Ox, trục Oy,vị tự
( , )I k
V
)
Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M(x ;y) qua phép tịnh tiến
v
T
r
với
v
r
(a,b), ta có
= + = −
 
⇒
 
= + = −
 
' '
' '
x x a x x a
y y b y y b
Lấy M(x,y)
d
∈
⇔ + + = 0Ax By C

⇔ − + − + =( ' ) ( ' ) 0A x a B y b C

⇔ + − − + =' ' 0Ax By Aa Bb C

' ' : 0M d Ax By Aa Bb C⇔ ∈ + − − + =
Vậy ảnh của đt d qua phép tịnh tiến
v
T
r
là đt
' : 0d Ax By Aa Bb C+ − − + =

VD: Cho đt d: 2x-3y +5=0 và vectơ
( 5;1)v = −
r
. Tìm ảnh của đt d qua phép tịnh tiến theo vectơ
v
r
Giải:
Gọi M’(x’,y’) là ảnh của M(x;y) qua phép tịnh tiến
v
T
r
, ta có:
= −


= +

' 5
' 1
x x

y y
= +

⇒

= −

' 5
' 1
x x
y y
Lấy M(x,y)
d
∈
⇔ − + =2 3 5 0x y
⇔ + − − + =2( ' 5) 3( ' 1) 5 0x y
⇔ − + =2 ' 3 ' 18 0x y
⇔ ∈ − + ='( '; ') ' : 2 3 18 0M x y d x y
Vậy ảnh của đt d qua ptt
v
T
r
là đt d’:
− + =2 3 18 0x y
*Tìm tạo ảnh của đường thẳng d’: ax+by+c=0qua phép tịnh tiến
v
T
r
với
v

r
(a,b):
Tổ Toán-Tin trường THPT Quang Trung Gv: Đổng Thị Phương Mai
3
Kiến thức cơ bản và một số dạng toán. Chương I: Phép biến hình-Giải tích 11 cơ bản
(Tương tự cho các phép biến hình:đối xứng tâm, đối xứng trục Ox, trục Oy,vị tự
( , )I k
V
)
Gọi d là tạo ảnh của d’ qua phép tịnh tiến
v
T
r

Gọi M’(x’,y’) là ảnh của M(x;y) qua phép tịnh tiến
v
T
r
với
v
r
(a,b), ta có:
= +


= +

'
'
x x a

y y b
Lấy M’(x’,y’)
d
∈
’
⇔ + + =' ' 0Ax By C

⇔ + + + + =( ) ( ) 0A x a B y b C

⇔ + + + + = 0Ax By Aa Bb C

: 0M d Ax By Aa Bb C⇔ ∈ + + + + =
VD: Cho biết đt d’: 4x - y +5=0 là ảnh của đt d qua phép đối xứng trục Ox.Tìm pt đt d.
Giải:
Gọi M’(x’,y’) là ảnh của M(x;y) qua phép đối xứng trục Ox, ta có:
=


= −

'
'
x x
y y
Lấy M’(x’,y’)
d
∈
’
⇔ − + =4 ' ' 5 0x y

⇔ − − + =4 ( ) 5 0x y

⇔ + + =4 5 0x y

⇔ ∈ + + =( ; ) : 4 5 0M x y d x y
Vậy pt của đt d là :
+ + =4 5 0x y
*Tìm ảnh của đường thẳng d: ax+by+c=0qua phép đối xứng trục
∆
:
Lấy 2 điểm M,N thuộc d, tìm ảnh của 2 điểm M,N qua phép đối xứng trục
∆
, giả sử là M’ và N’.
Suy ra ảnh của đt d qua phép đ/x trục
∆
là đt d’ đi qua 2 điểm M’,N’. Viết pt đt d’( đi qua M và
nhận
MN
uuuur
làm vectơ chỉ phương).
Dạng 3: Tìm ảnh của đường tròn (C): (x-a)
2
+(y-b)
2
=R
2
qua phép dời hình f:
(Phép tịnh tiến, đối xứng tâm, đối xứng trục)
Phương pháp: -xác định tâm của (C) là I(a,b), bán kính của (C) là R.
-Tìm ảnh I’(a’,b’) của I qua phép dời hình f

-Ảnh của (C)qua phép f dời hình f là đ/tròn (C’) tâm I’(a’,b’) bán kính R’=R có pt là:
(x-a’)
2
+(y-b’)
2
=R
2
Tương tự cho các phép vị tự
( , )I k
V
, nhưng chú ý bán kính của đ/tròn ảnh (C’) là R’= |k|.R
Chú ý: -Đường tròn (C): x
2
+y
2
–2ax–2by +c=0 có tâm I(a,b) bán kính R=
2 2
a b c
+ −

-Đường tròn (C) có tâm I(a,b), bán kính R có pt: (x-a)
2
+ (y-b)
2
= R
2

VD:Tìm ảnh của đ/tròn (C): x
2
+ y

2
– 4x +2y – 4 = 0 qua phép vị tự tâm I(1;5) tỉ số k=2
Giải:
-Từ pt (C) suy ra (C) có tâm J(2;-1), bán kính R=3.
- Gọi J’(x’;y’) là ảnh của J qua pvt
( , )I k
V
⇒
= + − = + − =


= + − = − + − = −

' (1 ) 2.2 (1 2).1 3
' (1 ) 2.( 1) (1 2)5 7
I
I
x kx k x
y ky k y
⇒
J’(3;-7)
-Vậy ảnh của đ/tròn (C) là đ/tròn (C’)có tâm J’(3;-7) bán kính R’=2R=6, pt (C’)là: (x-3)
2
+(y+7)
2
=36
Tổ Toán-Tin trường THPT Quang Trung Gv: Đổng Thị Phương Mai
4
Kiến thức cơ bản và một số dạng toán. Chương I: Phép biến hình-Giải tích 11 cơ bản
C.BÀI TẬP:

Bài 1: Cho hai điểm A(-3,1), B(4,5) ,đường thẳng d: 4x-7y+12=0 và đường tròn (C): (x-3)
2
+(y+10)
2
=5
a/Xác định ảnh của A,B,d và (C) qua phép tịnh tiến
v
T
r
với
( 9,8)V
= −
ur
b/d và (C) qua phép tịnh tiến
AB
T
uuur
Bài 2: Cho hai điểm M(-1,-2), N(3,16) ,đường thẳng d: x +12y+10=0 và đường tròn (C): x
2
+y
2
+4x-5y-5=0
a/ Xác định ảnh của N,d và (C) qua phép đối xứng tâm M
b/ Xác định ảnh của M, N,d và (C) qua phép đối xứng trục Ox,Oy.
c/ Xác định ảnh của M, Nvà (C) qua phép đối xứng trục d.Suy ra ảnh của đường thẳng MN qua phép đối
xứng trục d.
d/ Xác định ảnh của N,d và (C) qua phép vị tự tâm M, tỉ số k=2.
Bài 3: Cho hai điểm P(-1,-2), Q(3,16) ,đường thẳng d: -x +y-20=0 và đường tròn (C): x
2
+ y

2
- 4x -5 = 0
a/ Xác định ảnh của P,d và (C) qua phép đối xứng tâm O.
b/ Xác định ảnh của Q,d và (C) qua phép đối xứng trục Ox,Oy.
c/ Xác định ảnh của (C) qua phép đối xứng trục
∆
:7x+9y+25=0 .
d/ Xác định ảnh của d và (C) qua phép tịnh tiến
PQ
T
uuur
.
e/ Xác định ảnh của P,d và (C) qua phép vị tự tâm O, tỉ số k= -5.
Bài 4: Cho hai điểm C(-1,-2), D(3,-16) ,đường thẳng d
1
: 3x -9y+2=0 và đường tròn (C’): x
2
+y
2
-10y-5=0
a/ Biết C là ảnh của A qua phép đối xứng tâm D. Tìm tọa độ điểm A.
b/ Biết điểm D là ảnh của B qua phép phép đối xứng trục Ox, tìm tọa độ B.
c/ Biết đt d
1
là ảnh của d qua phép đối xứng trụcOy. Viết pt đường thẳng d .
d/ Biết d
1
là ảnh của d
2
qua phép tịnh tiến

CD
T
uuur
.Viết pt đường thẳng d
2
.
e/ Biết (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm D, tỉ số k= -1.Viết pt đường tròn (C).
Bài 5: Cho ba điểm A(12,-2), B(-3,6), C(3,24) đường thẳng d’: -6x +2y-1=0 và đường tròn (O’): x
2
+y
2
=36
a/ Biết A là ảnh của D qua phép đối xứng tâm B. Tìm tọa độ điểm D.
b/ Biết điểm E là ảnh của B qua phép tịnh tiến
AC
T
uuur
, tìm tọa độ E.
c/ Biết đt d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trụcOx. Viết pt đường thẳng d .
d/ Biết đt d’ là ảnh của d
0
qua phép đối xứng trụcOy.Viết pt đường thẳng d
0
.
e/ Biết (O’) là ảnh của (O) qua phép vị tự tâm A, tỉ số k= 10.Viết pt đường tròn (O).
Bài 6: Cho hai điểm M(10,-2), N(-3,-4) ,đường thẳng d
1
: 3x +9y-22=0 và
đường tròn (C): x
2

+y
2
-16x+20y+16 =0
a/ Xác định ảnh của M,N,d
1
và (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối
xứng tâm O và phép vị tự tâm I(1,-7) tỉ số k= -6 .
b/ Xác định ảnh của M,d
1
và (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng
trục Ox và phép vị tự tâm N tỉ số k= 9 .
b/ Xác định ảnh của M,d
1
và (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm
O tỉ số k= -7 và phép tịnh tiến theo vectơ
MN
uuuur
.
d/ Xác định ảnh của d
1
và (C) qua phép đối xứng trục
∆
:8x-6y-5=0 .
Tổ Toán-Tin trường THPT Quang Trung Gv: Đổng Thị Phương Mai
5