Tài liệu tự học nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – nguyễn trọng

Ôn thi QG Lớp KHXH

New 2020

Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH

B I 1: NGUYÊN HÀM
_ Dạng 1. Định nghĩa, tính chất và nguyên hàm cơ bản

-Phương pháp:
_ Sử dụng bảng nguyên hàm
Hàm sơ cấp
Hàm số hợp u  u  x 

Thường gặp

.  dx  x  C

.  du  u  C .

. Vi phân d  ax  b  

x 1
.  x dx 
C
 1
  1

u 1
.  u du 
C

 1
  1

.

.
dx
 x  ln x  C  x  0

.
du
 u  ln u  C u  x   0

. 

.  cos xdx  sin x  C

.  cos udu  sin u  C

.  sin xdx   cos x  C

.  sin udu   cos u  C

1
.  cos(ax  b)dx  sin(ax  b)  C
a
1
.  sin(ax  b)dx   cos(ax  b)  C
a



. 



1
dx  tan x  C
cos2 x
Với
x


2

1
2

x

dx   cot x  C .

. 

Với x  k
.  e dx  e x  C



1

du  tan u  C
cos2 u
Với
u  x 

 k

.

 sin

. 

  a x  b


2

ax
C
ln a
 0  a  1

.  a x dx 

1 1
dx  
(ax  b) 1  C
a  1

dx
1
 ln ax  b  C  a  0 
ax  b a

. 

dx
1
 tan  ax  b   C


cos ax  b
a

. 

dx
1
 cot  ax  b   C


sin ax  b
a

2

 k

1

du   cot u  C
sin 2 u
Với u  x   k

.  eu du  eu  C

x

1
dx
a

2

1
.  eaxb dx  eax b  C
a
1
.  a px  q dx 
a px q  C
p.ln a

au
C
ln a
 0  a  1

.  au du 

 0  a  1

_ Dùng máy tính cầm tay
Cho

 f ( x)dx F (x)  C . Tìm

f ( x) hoặc F( x)

d
( F ( X )) x X  f ( X )
dx
. Nhấn phím Calc nhập X = 2.5
. Nếu kết quả bằng 0 (gần bằng 0 ) thì đó là đáp án cần chọn
. Nhấn shift

1
Fb: ThayTrongDGl

Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !


Ôn thi QG Lớp KHXH

New 2020

Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH

_Bài tập minh họa:

Câu 1.

Tất cả nguyên hàm của hàm số f  x  
A.

1
là
2x  3

1
ln 2 x  3  C .
2

1
ln  2 x  3  C .
2
1
D.
ln 2 x  3  C .
ln 2
PP nhanh trắc nghiệm
 Dùng máy tính cầm tay:
B.

C. ln 2 x  3  C .
Lời giải
Chọn A

1

1

1

1

 f  x  dx   2x  3 dx  2  2x  3 d  2x  3  2 ln 2x  3  C .

d 1
( ln(| 2x
dx 2

3 |)) |x

1
X

2x

3

CALC X = -2
Lưu ý: Trong kết quả A và C nếu cho X =
2 thì đều cho kết quả là 0. Vậy khi có trị
tuyệt đối thì cho X một giá trị cho biểu
thức trong trị tuyệt đối âm.
Câu 2.

Nếu

 f  x dx  4 x

A. f  x   x 4 

3

 x 2  C thì hàm số f  x  bằng

x3
 Cx .
3

B. f  x   12 x 2  2 x  C .

x3
D. f  x   x  .
3

C. f  x   12 x  2 x .
2

4

Lời giải

PP nhanh trắc nghiệm
 Dùng máy tính cầm tay tương tự câu 1

Chọn C
Ta có: f  x  

  f  x dx    4x

3

 x 2  C   12 x 2  2 x

1
1
với mọi x  và f 1  1 . Khi đó giá trị của f  5  bằng
2x 1
2
A. ln 2 .
B. ln 3 .
C. ln 2  1 .
D. ln 3  1.
Lời giải
PP nhanh trắc nghiệm
 Tư duy :
Chọn D
5
Ta có:  f '  x  dx  f  x   C nên
1 f   x dx  f  5  f 1
1
1
.
f  x  
dx  ln 2 x  1  C
5
5

2x 1
2
 f  5   f 1   f   x dx  1   f   x dx
Mặt khác theo đề ra ta có:
1
1
1
 Quy trình bấm máy : Sử dụng chức
f 1  1  ln 2.1  1  C  1  C  1 nên
2
năng tính tích phân:
5
1
1
f  x   ln 2 x  1  1
Tính
1 2 x  1 dx và lưu vào A
2
1
1
Do vậy f  5  ln 2.5  1  1  ln 9  1  ln 3  1.
2
2
Câu 3.

Cho hàm số f  x  có f '  x  

2
Fb: ThayTrongDGl

Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !


Ôn thi QG Lớp KHXH

New 2020

Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH

- Tìm phương án có giá trị bằng 1 + A
A.

D.

- Là giá trị rất nhỏ gần đến 0 nên thỏa mãn.
Chọn D
_Bài tập áp dụng: (10 câu NB; 10 câu TH)
1. Nhận biết: (10 câu)
Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x3 
A.



C.



1
.
x

1
C .
x2
1
f  x  dx  3x 2  2  C .
x
f  x  dx  3x 2 

D.



Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3x 2  sin x là:
B. 6 x  cos x  C .
D. 6 x  cos x  C .

Tất cả nguyên hàm của hàm số f  x  
A.

1
là.

2x  3

1
ln 2 x  3  C .
2

1
ln  2 x  3  C .
2
1
ln 2 x  3  C .
D.
ln 2
B.

C. ln 2 x  3  C .
Câu 5.



x4
 ln x  C .
4
x4
f  x  dx   ln x  C .
4

f  x  dx 

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

1
x e1
A.  cos 2 xdx  sin 2 x  C .
B.  x e dx 
C
2
e 1
1
xe1
C.  dx  ln x  C .
D.  xe dx 
C
x
x 1

A. x3  cos x  C .
C. x3  cos x  C .
Câu 4.

B.

Giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa công thức nào sau đây sai?
1
dx  tan x  C .
A. 
B.  e x dx  e x  C .
2
cos x

3

Fb: ThayTrongDGl

Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !


Ôn thi QG Lớp KHXH

C.  lnxdx 
Câu 6.

1
c.
x

D.  sin xdx   cos x  C .

Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e 2 x  x 2 là
A. F  x  

e2 x x3
 C.
2
3

B. F  x   e2 x  x3  C .

x3
D. F  x   e   C .

3

C. F  x   2e  2 x  C .
2x

Câu 7.

2x

Nguyên hàm của hàm số f  x   x3  3x  2 là hàm số nào trong các hàm số sau?

x4
 3x 2  2 x  C .
3
x4 x2
D. F  x     2 x  C .
4 2
B. F  x  

A. F  x   3x 2  3x  C .
C. F  x  
Câu 8.

x 4 3x 2

 2x  C .
4
2

Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  e x (3  e x ) là

1
C .
ex
C. F ( x)  3e x  e x ln e x  C .
A. F ( x)  3e x 

Câu 9.

New 2020

Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH

B. F ( x)  3e x  x  C .
D. F ( x)  3e x  x  C .

Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e x  cos x là

1 x1
e  sin x  C .
x 1
D. e x  sin x  C .

A. e x  sin x  C .

B.

C. xe x 1  sin x  C .
Câu 10. Nguyên hàm của hàm số f x
A. F x

C. F x

x2
2
x2
2

3x
ln 3
3

x

x

3x là:

C.

B. F x

C.

D. F x

1
x2
2

3x

ln 3

C.

3x.ln 3 C .

2. Thông hiểu: (10 câu)
 
Câu 11. Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   sin x  cos x thoả mãn F    2 .
2

A. F  x   cos x  sin x  3 .

B. F  x    cos x  sin x  3 .

C. F  x    cos x  sin x  1 .

D. F  x    cos x  sin x  1 .

cos 2 x
dx
2
x cos2 x
A. F  x    cos x  sin x  C .

B. F  x   cos x  sin x  C .

C. F  x   cot x  tan x  C .

D. F  x    cot x  tan x  C .

Câu 12. Tìm nguyên hàm

 sin

Câu 13. Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f ( x)  4e2 x  2 x thỏa mãn F  0   1 . Tìm F  x  .
2x
2
A. F  x   4e  x  3 .

2x
2
B. F  x   2e  x  1 .

2x
2
C. F  x   2e  x  1 .

2x
2
D. F  x   2e  x  1 .

4
Fb: ThayTrongDGl

Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !

Ôn thi QG Lớp KHXH

New 2020

Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH

Câu 14. Cho hàm số y  F  x  là một nguyên hàm của hàm số y  x 2 . Biểu thức F   25  bằng
A. 125 .

B. 625 .

C. 5 .

Câu 15. Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  
A. F 1  ln 2  1 .

B. F 1 

1
ln 2  1 .
2

D. 25 .

x
và F  0   1 . Tính F 1 .
x 1
2

C. F 1  0 .

D. F 1  ln 2  2 .

Câu 16. Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  2 x thoả mãn F  0   0 . Ta có F  x 
bằng
A. x 2 

2x 1
.
ln 2

B. x 2 

1  2x
.
ln 2

C. 1   2 x  1 ln 2 .

D. x 2  2x  1 .

1
. Biết F 1  2 . Giá trị của F  2  là
2x 1
1
C. F  2   ln 3  2. D. F  2   2 ln 3  2.
2

Câu 17. Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  

1
A. F  2   ln 3  2.
2

B. F  2   ln 3  2.

Câu 18. Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   2 x 
A.  cot x  x 
2

2
16

B. cot x  x 
2

.

2
16

Câu 19. Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x
A. F ( x)
C. F ( x)

1
 
thỏa mãn F    1 là
2
sin x

4
D. cot x  x 

C.  cot x  x  1.

2

2

.

sin 

cos( 2 x) 1
.
2
2
cos( 2 x)
1.
2

2 x thỏa mãn F

B. F ( x)
D. F ( x)


2

cos( 2 x)

2
cos( 2 x)
2

2
16

.

1.

1
.
2
1
.
2

Câu 20. Tìm F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   e x  1 trên  ;   , biết F  0   2 .
A. F  x   ln x  x  1 .
C. F  x  
Bảng đáp án
1.D
11.D

B. F  x   e x  x  1 .

1
 x  1.
ex

2.D
12.D

3.C
13.B

D. F  x   e x  x  1 .

4.A
14.B

5.C
15.D

6.A
16.A

7.C
17.A

8.D
18.A

9.D
19.B

10.A
20.D

Hướng dẫn giải
Câu 1.

Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x3 

1
.
x

x4
B.  f  x  dx   ln x  C .
4
x4
D.  f  x  dx   ln x  C .
4
Lời giải

1
f  x  dx  3x  2  C .
x

A.



C.

 f  x  dx  3x

2

2



1
C .
x2

Chọn D
5
Fb: ThayTrongDGl

Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !


Ôn thi QG Lớp KHXH

Ta có:
Câu 2.

Câu 3.



1
1
x4


f  x  dx    x3   dx   x3dx   dx   ln x  C .
x
x
4


Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
1
x e1
A.  cos 2 xdx  sin 2 x  C .
B.  x e dx 
C .
e 1
2
1
xe1
C.  dx  ln x  C .
D.  xe dx 
C .
x
x 1
Lời giải
Chọn D
Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3x 2  sin x là:
A. x3  cos x  C .
Chọn C
Ta có

Câu 4.

New 2020

Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH

  3x

2

B. 6 x  cos x  C .

D. 6 x  cos x  C .

 sin x  dx  x3  cos x  C .

Tất cả nguyên hàm của hàm số f  x  
A.

C. x3  cos x  C .
Lời giải

1
là
2x  3

1
ln 2 x  3  C .
2

1

ln  2 x  3  C .
2
1
D.
ln 2 x  3  C .
ln 2
Lời giải
B.

C. ln 2 x  3  C .

Chọn A

1

1

 f  x  dx   2x  3 dx  2 ln 2x  3  C .
Câu 5.

Câu 6.

Giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa công thức nào sau đây sai?
1
A. 
B.  e x dx  e x  C .
dx  tan x  C .
2
cos x
1

C.  lnxdx   c .
D.  sin xdx   cos x  C .
x
Lời giải
Chọn C
1
Theo bảng nguyên hàm ta chọn câu sai là  lnxdx   c .
x
Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e 2 x  x 2 là
A. F  x  

e2 x x3
 C.
2
3

B. F  x   e2 x  x3  C .

x3
D. F  x   e   C .
3
Lời giải

C. F  x   2e  2 x  C .
2x

2x

Chọn A
Ta có F  x    f  x  dx    e2 x  x 2 dx 

e 2 x x3
 C .
2
3
6

Fb: ThayTrongDGl

Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !


Ôn thi QG Lớp KHXH

Vậy F  x  
Câu 7.

New 2020

Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH

e2 x x3
 C.
2
3

Nguyên hàm của hàm số f  x   x3  3x  2 là hàm số nào trong các hàm số sau?

x4
 3x 2  2 x  C .
3
x4 x2
D. F  x     2 x  C .
4 2
Lời giải
B. F  x  

A. F  x   3x 2  3x  C .

x 4 3x 2

 2x  C .
4
2

C. F  x  
Chọn C





Ta có: F ( x)   f  x  dx   x3  3x  2 dx 
Câu 8.

x 4 3x 2

 2x  C .

4
2

Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  e x (3  e x ) là

1
C .
ex
C. F ( x)  3e x  e x ln e x  C .
A. F ( x)  3e x 

B. F ( x)  3e x  x  C .
D. F ( x)  3e x  x  C .
Lời giải

Chọn D

 e (3  e
x

Câu 9.

x

)dx    3e x  1 dx  3e x  x  C .

Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e x  cos x là

1 x1
e  sin x  C .

x 1
D. e x  sin x  C .
Lời giải

A. e x  sin x  C .

B.

C. xe x 1  sin x  C .
Chọn D
Ta có:

 e

x

 cos x  dx  e x  sin x  C .

Câu 10. Nguyên hàm của hàm số f x

x2
2
x2
2

A. F x
C. F x

3x
ln 3

3x

x

3x là:

C.
C.

B. F x

1

D. F x

x2
2

3x
ln 3

C.

3x.ln 3 C .

Lời giải
Chọn A
Ta có:

f x dx

x

3x dx

x2
2

3x
ln 3

C.

 
Câu 11. Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   sin x  cos x thoả mãn F    2
2

A. F  x   cos x  sin x  3 .

B. F  x    cos x  sin x  3 .

C. F  x    cos x  sin x  1 .

D. F  x    cos x  sin x  1 .
Lời giải
7

Fb: ThayTrongDGl

Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !


Ôn thi QG Lớp KHXH

New 2020

Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH

Chọn D
Có  cos udu  sin u  C ;  sin udu   cos u  C
nên

 f  x dx    sin x  cos x dx   cos x  sin x  C

π
π
 
π
F     cos  sin  C  1  C. Mà F    2  C  1 . Do đó F  x    cos x  sin x 1 .
2
2
2
2

cos 2 x
dx
2
x cos2 x

A. F  x    cos x  sin x  C .

B. F  x   cos x  sin x  C

C. F  x   cot x  tan x  C .

D. F  x    cot x  tan x  C .

Câu 12. Tìm nguyên hàm

 sin

Lời giải
Chọn D
Ta có:

cos 2 x
cos 2 x  sin 2 x
1 
 1
d
x

 sin 2 x cos2 x  sin 2 x cos2 x dx    sin 2 x  cos2 x  dx   cot x  tan x  C

Câu 13. Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f ( x)  4e2 x  2 x thỏa mãn F  0   1 . Tìm F  x  .
2x
2
A. F  x   4e  x  3 .

2x
2
B. F  x   2e  x  1 .

2x
2
C. F  x   2e  x  1 .

2x
2
D. F  x   2e  x  1 .

Lời giải
Chọn B





Ta có: F  x    4e 2 x  2 x dx  2e 2 x  x 2  C .
F  0   2.e 2.0  02  C  2  C . Mà F  0   1  2  C  1  C  1 .

Do đó: F  x   2e 2 x  x 2  1.
Câu 14. Cho hàm số y  F ( x) là một nguyên hàm của hàm số y  x 2 . Biểu thức F '(25) bằng:
A. 125 .

B. 625 .

C. 5 .
Lời giải

D. 25 .

Chọn B
Ta có: F  x  được gọi là nguyên hàm của f  x  trên K nếu F '( x)  f ( x), x  K
Mà y  F ( x) là một nguyên hàm của hàm số y  x 2 nên F '( x)  x 2
Vậy F '(25)  252  625 .
Câu 15. Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  
A. F 1  ln 2  1 .

B. F 1 

x
và F  0   1 . Tính F 1 .
x 1
2

1
ln 2  1 . C. F 1  0 .
2
Lời giải

D. F 1  ln 2  2 .

Chọn B



2
x

1 d  x  1 1
f  x  dx   2 dx  
 ln  x 2  1  c .
2
2
2
x 1
x 1

Vì F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  nên F  x  

1
ln  x 2  1  c .
2

8
Fb: ThayTrongDGl

Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !


Ôn thi QG Lớp KHXH

New 2020

Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH

1

ln1  c  1  c  1 .
2
1
Do đó F  x   ln  x 2  1  1 .
2
1
1
Vậy F 1  ln 12  1  1  ln 2  1 .
2
2
F  0  1 

Câu 16. Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  2 x thoả mãn F  0   0 . Ta có F  x 
bằng
A. x 2 

2x 1
.
ln 2

B. x 2 

1  2x
.
ln 2

C. 1   2 x  1 ln 2 .

D. x 2  2x  1 .

Lời giải
Chọn A

2x
Ta có:   2 x  2  dx  x 
 C . Do đó.
ln 2
20
1
Theo giả thiết F  0   0  02 
.
C  0  C  
ln 2
ln 2
2x
1
2x 1
Vậy F  x   x 2 
.

 x2 
ln 2 ln 2
ln 2
x

2

Câu 17. Cho hàm số f  x  có f '  x  

1

1
với mọi x  và f 1  2 . Khi đó giá trị của f  2 
2x 1
2

bằng

1
A. F  2   ln 3  2 .
2

B. F  2   ln 3  2 .

C. F  2   2 ln 3  2 .

1
D. F  2   ln 3  2 .
2

Lời giải
Chọn D

1
1 d  2 x  1 1
dx  
 ln 2 x  1  C
2x 1
2
2 x 1
2

1
1
Mặt khác theo đề ra ta có: f 1  2  ln 2.1  1  C  2  C  2 nên f  x   ln 2 x  1  2
2
2
1
1
Do vậy f  2   ln 2.2  1  2  ln 3  2 .
2
2
Ta có:

 f '  x  dx  f  x   C

nên f  x   

Câu 18. Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   2 x 
A.  cot x  x 
2

2
16

.

B. cot x  x 2 

2
16

1
 
thỏa mãn F    1 là
2
sin x
4
C.  cot x  x 2  1.

.

D. cot x  x 2 

2
16

.

Lời giải
Chọn A

1 

Ta có F ( x)    2 x  2  dx  x 2  cot x  C
sin x 




 
 

F    1     cot  C  1  C  
4
16
4
4
2

2

9
Fb: ThayTrongDGl

Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !


Ôn thi QG Lớp KHXH

2

Vậy F(x) =  cot x  x 2 

16

Câu 19. Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x
A. F ( x)
C. F ( x)

New 2020

Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH

sin 

cos( 2 x) 1
.
2
2
cos( 2 x)
1.
2

2 x thỏa mãn F

B. F ( x)
D. F ( x)


2

cos( 2 x)
2
cos( 2 x)
2

1.

1
.

2
1
.
2

Lời giải
Chọn B

sin 

+ F x
+ F


2

Vậy F ( x)

1
2

1

2 x dx
C

1

cos( 2 x)
2

cos  2 x
2
1
C
2

C

1
2

Câu 20. Tìm F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   e x  1 trên  ;   , biết F  0   2 .
A. F  x   ln x  x  1 .

B. F  x   e x  x  1 .

C. F  x  

1
 x  1 . D. F  x   e x  x  1 .
ex

Lời giải
Chọn D

Ta có: F  x    f  x  dx    e x  1 dx  e x  x  C .
Theo bài: F  0   2  e0  0  C  2  1  C  2  C  1 .
Vậy F  x   e x  x  1 .
_ Dạng 2. Đổi biến

-Phương pháp:
_
. Chọn t    x  . Trong đó   x  là hàm số mà ta chọn thích hợp.
. Tính vi phân hai vế: dt   '  x  dx .
. Biểu thị: f ( x)dx  g   x    '  x  dx  g (t )dt .
. Khi đó: I   f ( x)dx   g (t )dt  G (t )  C
_Casio:

Cho

 f ( x)dx F (x)  C .

Tìm f ( x) hoặc F( x)

d
( F ( X )) x X  f ( X )
dx
. Nhấn phím Calc nhập X  2.5
. Nếu kết quả bằng 0 (gần bằng 0 ) thì đó là đáp án cần chọn

_Bài tập minh.
họa:
Nhấn shift

Fb: ThayTrongDGl

10
Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !

Ôn thi QG Lớp KHXH

New 2020

Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH

_Bài tập minh họa:
Câu 1.

Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) 

sin x
.
1  3cos x

A.



1
f ( x) dx  ln 1  3cos x  C .
3

B.

 f ( x) dx  ln 1  3cos x  C .

C.

 f ( x) dx  3ln 1  3cos x  C .

D.

 f ( x) dx 

Lời giải
Chọn D
 Đặt t  1  3cos x  dt  3sin xdx
1 1
1
1
 f ( x) dx   3  t dt   3 ln | t | C  3 ln 1  3cos x  C

Câu 2.

Tính nguyên hàm I  

PP nhanh trắc nghiệm
 Dùng máy tính cầm tay

1
dx .
x ln x  1

2
(ln x  1)3  C .
3
1

(ln x  1)2  C .
C. I 
2
Lời giải
A. I 

B. I  ln x  1  C .
D. I  2 ln x  1  C .
PP nhanh trắc nghiệm
 Dùng máy tính cầm tay

Chọn D
 Đặt t  ln x  1  t 2  ln x  1  2tdt 

I 

1
ln 1  3cos x  C .
3

1
dx
x

1
dx  2 dt  2t  C  2 ln x  1  C
x ln x  1

Câu 3.

Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   x. 3 x 2  1 ?
4
3
A. F  x    ( x 2  1) 3  C .
8

4
8
B. F  x   ( x 2  1) 3  C .
3

3
3
C. F  x   ( x 2  1) 4  C .
8

4
3
D. F  x   ( x 2  1) 3  C .
8

Lời giải

PP nhanh trắc nghiệm
 Dùng máy tính cầm tay.

Chọn D
 Đặt t 

3

x 2  1  t 3  x 2  1  3t 2 dt  2 xdx

4
3 3
34
3 2
 x. x  1dx  2  t dt  8t  C  8 ( x  1) 3  C
3

2

Fb: ThayTrongDGl

11
Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !


Ôn thi QG Lớp KHXH

New 2020

Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH

_Bài tập áp dụng: (10 câu NB; 10 câu TH)
1. Nhận biết: (10 câu)
Câu 1.

Tìm



ln x
dx có kết quả là.
x

A. ln ln x  C .
Câu 2.

Câu 3.

B. ln

1

 1

Nguyên hàm

x

Câu 6.

C. 2ln | x  1| C .

D. 2 x  2ln | x  1 | C .

Cho hàm số F  x    x x 2  2dx . Biết F

B. 11 .

1
e 2.
2

 1 
Tính nguyên hàm  
 dx .
 2x  3 
1
A. 2ln 2 x  3  C .
B. ln 2 x  3  C .
2

23
.
6

D.

C.

1
e 1 .
2

40
.
3

3
1
. Giá trị F   là:
2
2
1
1
D. e  .
2
2

C. ln 2 x  3  C .

D.

1
ln  2 x  3  C .
2



Xét I   x3 4 x4  3 dx . Bằng cách đặt u  4 x 4  3 , khẳng định nào sau đây đúng?
5

1 5
u du .
4

B. I   u 5 du .

C. I 

1 5
u du .
12 

D. I 

4  x 

D. 2

1 5
u du .
16 

Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 2 4  x3 là:

2
9

4  x 

3 3

C .

B. 2 4  x3  C .

C.

1
9

3 3

C .

4  x 

3 3

C .

 x  2 10
dx bằng:
Nguyên hàm 
 x  112
1  x2
A.

 C .
33  x  1 

1  x2
B. 
 C .
11  x  1 

1 x2
C. 
 C .
3  x 1 

1  x2
D.  
 C .
11  x  1 

11

11

11

Câu 9.

C.

B. 2e  1 .



1 2
ln x  C .
2

 2   23 , tính F  7  .

Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f  x   e 2 x và F  0  

A.

Câu 8.

D.

B. 2 x  C .

A. I 
Câu 7.

x2
 ln x  1  C .
2

A. 2 x  2ln | x  1| C .

A.
Câu 5.

C.

dx bằng.

A. 7 .
Câu 4.

x2

C.
2

11

Nguyên hàm của hàm số f (x )
A.

1
cos3 x
4

Fb: ThayTrongDGl

C

sin3 x. cos x là:
B.

1 3
sin x
4

12
Tài liệu biên soạn và sưu tầm

C

Chúc các em học tốt !

Ôn thi QG Lớp KHXH

C.

1 4
sin x
4

New 2020

Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH

C

D.

1 4
sin x
4

cos x

C

 
Câu 10. Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   sin 2 2 x.cos3 2 x thỏa F    0 là:
4
1
1

4
1
1
1
A. F  x   sin 3 2 x  sin 5 2 x  .
B. F  x   sin 3 2 x  sin 5 2 x  .
6
10
15
6
10
15
1
1
1
1
1
1
C. F  x   sin 3 2 x  sin 5 2 x  .
D. F  x   sin 3 2 x  sin 5 2 x  .
6
10
15
6
10
15

2. Thông hiểu: (10 câu)

 x  1

Câu 11. Nếu F  x   

x2  2x  3
x 1

A. F  x   ln

x  2x  3
2

dx thì.



2
C. F  x   x  2 x  3  C .

D. F  x  

1
.
2

B. I

1 2
x  2x  3  C .
2

ln x
. Tính F  e   F 1 .
x
1
C. I
.
D. I
e

Câu 12. Cho F x là nguyên hàm của hàm số f x
A. I

1.

Câu 13. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f  x  
A. F  x   x  1 .



1
B. F  x   ln x 2  2 x  3  C .
2

C .

B. F  x   4 x  1 .

2
?
x 1

C. F  x   2 x  1 .

e2 x
Câu 14. Nguyên hàm của hàm số y  f  x   x
là:
e 1

e.

D. F  x  

A. I  x  ln x  C .

B. I  e x  ln  e x  1  C .

C. I  x  ln x  C .

D. I  e x  1  ln  e x  1  C .

1
.
x 1

Câu 15. Một nguyên hàm của hàm số y  x 1  x 2 là:

1
A.
3



1 x

2

.
6

1
B.
3

Câu 16. Tìm nguyên hàm I  



1 x

2

.

x2
C.
2

3



1 x

2

.
2

x2
D.
2

B. I  x  ln 1  e x  C .

C. I  x  ln 1  e x  C .

D. I  x  ln 1  e x  C .

 2 x  3x  2 

6

dx  A  3x  2   B  3x  2   C với A , B 

thức 12 A  7 B bằng:
23
A.
.
252
Fb: ThayTrongDGl

1  x2

.
3

dx
.
1  ex

A. I   x  ln 1  e x  C .

Câu 17. Cho



8

B.

241
.
252

7

C.

52
.

9

13
Tài liệu biên soạn và sưu tầm

và C 

D.

. Giá trị của biểu

7
.
9

Chúc các em học tốt !


Ôn thi QG Lớp KHXH

Câu 18. Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f  x   

 f  x  dx  ln 3sin x  2 cos x  C .
C.  f  x  dx  ln 3cos x  2sin x  C .
A.



Câu 19. Khi tính nguyên hàm
A.  2  u2  4 du .

3sin x  2cos x
dx .
3cos x  2sin x
B.  f  x  dx   ln  3cos x  2sin x   C .
D.

 f  x  dx   ln 3cos x  2sin x  C .

x3
dx , bằng cách đặt u  x  1 ta được nguyên hàm nào?
x 1
B.

Câu 20. Kết quả của phép tính

e

x

 u

2

 3du .

C.  2u  u2  4 du .

ex 1
C .

B. ln x
e 2

C. ln  e  2e  1  C .

1 ex 1
D. ln x
C .
3 e 2

Bảng đáp án
1.D
11.C

x

2.D
12.A

3.A
13.B

D.

 u

2

 4 du .

dx
bằng:
 2.e x  1

1 ex 1
C.
A. ln x
3 e 2
x

New 2020

Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH

4.B
14.D

5.C
15.B

6.D
16.D

7.A
17.D

8.A
18.B

9.D

19.A

10.C
20.A

Hướng dẫn giải
Câu 1.

Tìm



ln x
dx có kết quả là.
x

A. ln ln x  C .

B. ln

x2
C.
2

C.

x2
 ln x  1  C .
2

D.

1 2
ln x  C .
2

Lời giải
Chọn D
ln x
ln 2 x
Ta có 
dx   ln xd ln x 
C .
x
2
Câu 2.

Nguyên hàm

1

 1

x

dx bằng.

A. 2 x  2ln | x  1| C .

B. 2 x  C .

C. 2ln | x  1| C .

D. 2 x  2ln | x  1 | C .
Lời giải

Chọn D
Đặt

x  t  x  t 2  dx  2tdt .

2t



2 

 1  t dt    2  1  t dt  2t  2 ln 1  t  C  2
Câu 3.

Cho hàm số F  x    x x 2  2dx . Biết F
A. 7 .

B. 11 .

x  2 ln | x  1| C .

 2   23 , tính F  7  .
C.

23
.
6

D.

40
.
3

Lời giải
Chọn A
Fb: ThayTrongDGl

14
Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !


Ôn thi QG Lớp KHXH

New 2020

Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH

Ta có: F  x    x x 2  2dx 





1
1
x 2  2d  x 2  2  

2
3

3

x2  2  C

 2   23  83  C  32  C  2
Vậy F  7   9  2  7 .
Mà F

Câu 4.

Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f  x   e 2 x và F  0  
A.

1
e 2.
2

B. 2e  1 .

C.

1
e 1 .
2

3
1
. Giá trị F   là
2
2
1
1
D. e  .
2
2

Lời giải
Chọn B

1
Ta có: F  x    f  x  dx   e2 x dx  e2 x  C .
2
3
1
Theo giả thiết: F  0    C  1 . Vậy F    2e  1 .
2
2
Câu 5.

Câu 6.

 1 
Tính nguyên hàm  
 dx .
 2x  3 
1
A. 2ln 2 x  3  C .
B. ln 2 x  3  C .
C. ln 2 x  3  C .
2
Lời giải
Chọn B
1  1 
1
 1 
Ta có:  
 dx   
 d  2 x  3  ln 2 x  3  C .
2  2x  3 
2
 2x  3 



D.

1
ln  2 x  3  C .
2



Xét I   x3 4 x4  3 dx . Bằng cách đặt u  4 x 4  3 , khẳng định nào sau đây đúng.
A. I 

5

1 5
u du .
4

B. I   u 5 du .

C. I 

1 5
u du .
12 

D. I 

1 5
u du .
16 

Lời giải
Chọn C
Ta có u  4 x 4  3  du  16 x3dx  x3dx 
Câu 7.

5

du
1
; Suy ra: I   x3  4 x 4  3 dx   u 5du .
16
16

Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 2 4  x3 là:
A.

2
9

4  x 

3 3

C .

B. 2 4  x3  C .

C.

1
9

4  x 

3 3

C .

D. 2

4  x 

3 3

C .

Lời giải
Chọn A
Ta có



Câu 8.

2
9

2
3
 x 4  x dx 

4  x 

3 3



1
1
4  x3 d  4  x3    4  x3

3
3

1
2

3
3 2

 d  4  x   13 . 32  4  x 
3

C

C .

 x  2 10
dx bằng.
Nguyên hàm 
 x  112

Fb: ThayTrongDGl

15
Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !


Ôn thi QG Lớp KHXH

New 2020

Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH

1  x2
A.

 C .
33  x  1 

1  x2
B. 
 C .
11  x  1 

11

11

1 x2
C. 
 C .
3  x 1 

1  x2

D.  
 C .
11  x  1 
Lời giải

11

11

Chọn A
10
 x  2 10
dx
 x2
dx =  
Biến đổi I  
.
 .
12
 x  1
 x  1   x  12

Đặt t 

x2
3
 dt 
dx .
 x  12
x 1

1  x2
1
1
Do đó I   t10dt = t11  C = 
 C .
33  x  1 
3
33
11

Câu 9.

Nguyên hàm của hàm số f (x )

1
cos3 x
4
1
C. sin4 x
4

sin3 x. cos x là:

1 3
sin x
4
1
D. sin4 x
4

Lời giải

C

A.

B.

C

C

cos x

C

Chọn C
Sử dụng casio: đạo hàm của đáp án tại 3 trừ hàm dưới dấu tích phân tại 3 bằng 0 thì chọn đáp
án.
 
Câu 10. Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   sin 2 2 x.cos3 2 x thỏa F    0 là
4
1
1
4
1
1
1
A. F  x   sin 3 2 x  sin 5 2 x  .
B. F  x   sin 3 2 x  sin 5 2 x  .

6
10
15
6
10
15
1
1
1
1
1
1
C. F  x   sin 3 2 x  sin 5 2 x  .
D. F  x   sin 3 2 x  sin 5 2 x  .
6
10
15
6
10
15
Lời giải
Chọn D
1
Đặt t  sin 2 x  dt  2.cos 2 xdx  dt  cos 2 xdx .
2
Ta có:
1
1
1
1

F  x    sin 2 2 x.cos3 2 xdx   t 2 . 1  t 2 dt   t 2  t 4 dt  t 3  t 5  C
2
2
6
10
1 3
1
 sin 2 x  sin 5 2 x  C .
6
10
1
 1

1
 
F    0  sin 3  sin 5  C  0  C   .
6
2 10
2
15
4
1
1
1
Vậy F  x   sin 3 2 x  sin 5 2 x  .
6
10
15



Câu 11. Nếu F  x   
Fb: ThayTrongDGl

 x  1
x2  2x  3







dx thì:

16
Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !


Ôn thi QG Lớp KHXH

A. F  x   ln

New 2020

Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH

x 1

x  2x  3
2





1
B. F  x   ln x 2  2 x  3  C .
2

C .

2
C. F  x   x  2 x  3  C .

D. F  x  

1 2
x  2x  3  C .
2

Lời giải
Chọn C
2
2
2
Đặt t  x  2 x  3  t  x  2 x  3  2tdt  2  x  1 dx   x  1 dx  tdt .

Do đó F  x   

 x  1 dx
x2  2 x  3



tdt
 t  C  x2  2x  3  C .
t

Câu 12. Cho F x là nguyên hàm của hàm số f x
A. I

1
.
2

B. I

1.

ln x
. Tính F e
x
1
C. I
.
e
Lời giải

F 1
D. I

e.

Chọn A
Đặt t

ln x

ln x
dx
x

dt

dx
.
x

tdt

t2
2

C

ln 2 x
2

C

F x

C

F e

Câu 13. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f  x  
A. F  x   x  1 .

B. F  x   4 x  1 .

F 1

1
.
2

2
?
x 1

C. F  x   2 x  1 .

D. F  x  

1
.
x 1

Lời giải
Chọn B

d  x  1
2
dx  4
 4 x 1  C .
x 1
2 x 1
2
dx  4 x  1  C , nên hàm số đã cho có một
Họ nguyên hàm của hàm số đã cho là 
x 1
Ta có: F  x   

nguyên hàm là hàm F  x   4 x  1 .
Câu 14. Nguyên hàm của hàm số y  f  x  

e2 x
là:
ex  1

A. I  x  ln x  C .

B. I  e x  ln  e x  1  C .

C. I  x  ln x  C .

D. I  e x  1  ln  e x  1  C .

Lời giải

Chọn D
e2 x
ex x
I  x
dx   x
e dx .
e 1
e 1
Đặt t  e x  1  e x  t  1  dt  e x dx .

Fb: ThayTrongDGl

17
Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !


Ôn thi QG Lớp KHXH

Ta có I  

New 2020

Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH

t 1
 1

dt   1   dt  t  ln t  C .
1
 t

Trở lại biến cũ ta được I  e x  1  ln  e x  1  C .
Câu 15. Một nguyên hàm của hàm số y  x 1  x 2 là:
A.

1
3



1  x2



6

.

B.

1
3



1  x2



3

.

C.

x2
2



1  x2



2

.

D.

x2
2



1  x2

.
3

Lời giải
Chọn B
Đặt t  x 2  1  t 2  x 2  1  tdt  xdx .
3

t
C 
3

  x x 2  1dx   t 2 dt 
Câu 16. Tìm nguyên hàm I  



x2  1
3

 C.
3

dx
.
1  ex

A. I   x  ln 1  e x  C .

B. I  x  ln 1  e x  C .

C. I  x  ln 1  e x  C .

D. I  x  ln 1  e x  C .
Lời giải

Chọn D

dx
e x dx
I 

.
1  e x  e x 1  e x 
Đặt t  e x  dt  e x dx .

I 

e x dx
dt
1 1 
x
x

  
  ln t  ln t  1  C  ln e  ln e  1  C
x
x
t 1  t 
e 1  e 

 t t 1 
 x  ln e x  1  C .

Câu 17. Cho

 2 x  3x  2 

6

dx  A  3x  2   B  3x  2   C với A , B 

thức 12 A  7 B bằng:
23
A.
.
252

8

B.

241
.
252

7

52
.
9

Lời giải

C.

và C 

D.

. Giá trị của biểu

7
.
9

Chọn D

t2
1
 dt  dx .
3
3
2 t8 4 t 7
2 t2 6
2
1
4
8
7
Ta có: 
.t dt   t 7 +2t 6 dt  .  .  C  .  3x  2   .  3x  2   C .

9 8 9 7
3 3
9
36
63
1
4
1
4 7
Suy ra A  , B  , 12.  7.  .
36
63
36
63 9
Đặt t  3x  2  x 





Câu 18. Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f  x   
A.

 f  x  dx  ln 3sin x  2 cos x  C .

Fb: ThayTrongDGl

3sin x  2cos x
dx .
3cos x  2sin x

B.  f  x  dx   ln  3cos x  2sin x   C .

18
Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !


Ôn thi QG Lớp KHXH

C.

New 2020

Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH

 f  x  dx  ln 3cos x  2sin x  C .

D.

 f  x  dx   ln 3cos x  2sin x  C .

Lời giải
Chọn B
Ta có:

 f  x  dx  

Câu 19. Khi tính nguyên hàm

d  3cos x  2sin x 
  ln  3cos x  2sin x   C .
3cos x  2sin x



A.  2  u2  4 du .

x3
dx , bằng cách đặt u  x  1 ta được nguyên hàm nào?
x 1
B.

 u

2

 3du .

C.  2u  u2  4 du .

D.

 u

2

 4 du .

Lời giải

Chọn A
 dx  2 u d u
Đặt u  x  1 , u  0 nên u 2  x  1  
.
2
x  u 1

Khi đó



x 3
u2  1  3
dx  
.2udu   2  u 2  4 du .
u
x 1

Câu 20. Kết quả của phép tính

e

x

dx
bằng:
 2.e x  1

1 ex 1
C.

A. ln x
3 e 2

B. ln

C. ln  e x  2e  x  1  C .

D.

Fb: ThayTrongDGl

ex 1
C .
ex  2

1 ex 1
ln
C .
3 ex  2

19
Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !


Ôn thi QG Lớp KHXH

New 2020

Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH

_ Dạng 3. Từng Phần

-Phương pháp:
_ Định lý. Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn  a; b  và có đạo hàm liên tục
trên đoạn  a; b  .
Khi đó:  udv  uv   vdu. *
_ Tự luận. Để tính nguyên hàm

 f  x  dx bằng từng phần ta làm như sau:

Bước 1. Chọn u , v sao cho f  x  dx  udv (chú ý dv  v '  x  dx ).
Sau đó tính v   dv và du  u '.dx .

Bước 2. Thay vào công thức * và tính  vdu .

Chú ý : Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân
 vdu dễ tính hơn  udv . Ta thường gặp các dạng sau:
sin x 
⍟Dạng 1. I   P  x  
 dx , trong đó P  x  là đa thức.
cos x 
u  P  x 

Với dạng này, ta đặt 
sin x  .
dv  cos x  dx




ax  b
⍟ Dạng 2. I   P  x  e dx , trong đó P  x  là đa thức.

u  P  x 
Với dạng này, ta đặt 
.
ax b
dv  e dx

⍟ Dạng 3. I   P  x  ln  mx  n  dx , trong đó P  x  là đa thức.

u  ln  mx  n 
Với dạng này, ta đặt 
.
dv  P  x  dx

_ Casio: Cho

 f ( x)dx  F (x)  C . Tìm

f ( x) hoặc F( x)

d
( f ( X )) x X  F ( X )
dx
. Nhấn phím Calc nhập X  2.5
. Nhấn shift

. Nếu kết quả bằng 0 (gần bằng 0 ) thì đó là đáp án cần chọn .

Nguyên tắc chung để đặt u và dv : Tìm được v dễ dàng và  v.du tính được.
Nhấn mạnh: Thứ tự ưu tiên khi chọn đặt u : “Nhất lô, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” (hàm
lôgarit, hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ).

Fb: ThayTrongDGl

20
Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !


Ôn thi QG Lớp KHXH

New 2020

Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH

_Bài tập minh họa:
Câu 1.

Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x cos 2 x là:

x sin 2 x cos 2 x

C .
2
4
cos 2 x
C. x sin 2 x 

C .
2
Lời giải

cos 2 x
C .
2
x sin 2 x cos 2 x
D.

C .
2
4
PP nhanh trắc nghiệm
 Máy tính cầm tay.
B. x sin 2 x 

A.

Chọn A
I   x cos 2 xdx .

du  dx
u  x


Đặt 
.
1
dv  cos 2 xdx v  sin 2 x


2
Khi đó
1
1
1
1
I  x sin 2 x   sin 2 xdx  x sin 2 x  cos 2 x  C .
2
2
2
4
Câu 2.

Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x ln 2 x là:

x2 
1
A.
 ln 2 x    C .
2
2
C.

x2
B. x ln 2 x   C .
2
2

x2

 ln 2 x  1  C .
2
Lời giải

x2
ln 2 x  x 2  C .
2
PP nhanh trắc nghiệm
 Máy tính cầm tay
D.

Chọn A

1

du 

u  ln 2 x 
x

 Đặt 
.
2
dv  xdx
v  x

2
2
x
1 x2

F  x    f  x  dx  .ln 2 x   . dx
2
x 2
.
2
2
2
x
x
x 
1
 ln 2 x   C   ln 2 x    C
2
4
2
2
Câu 3.

Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x.e2 x .
A. F x

1 2x
e x
2

1
2

C.

B. F x

C. F x

2e2x x

1
2

C.

D. F x

Lời giải
Chọn A

2e2x x

1 2x
e x
2

C.

2

2

C.

PP nhanh trắc nghiệm
 Máy tính cầm tay

Ta có: F  x    x.e 2 x dx .
Đặt

Fb: ThayTrongDGl

21
Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !


Ôn thi QG Lớp KHXH

New 2020

Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH

du  dx
u  x



1 2x
2x
dv  e dx v  e

2

1
1
1 
1
 F  x   xe2 x   e2 x dx  e2 x  x    C
2
2
2 
2
_Bài tập áp dụng: (10 câu NB; 10 câu TH)
1. Nhận biết: (10 câu)
Câu 1.

Nguyên hàm của hàm số f  x   x sin x là:
A. – x cos x  sin x  C .
C. x cos x  sin x  C .

Câu 2.

B. x sin x  cos x  C .
D. x cos x  sin x  C .

Kết quả của I   xe x dx là:

x2 x x
e e C .
2
x2 x
I


e C .
C.
2
A. I 

Câu 3.

B. I  e x  xe x  C .
D. I  xe x  e x  C .

Tính F ( x)   x sin 2 xdx . Chọn kết quả đúng?

1
A. F ( x)  (2 x cos 2 x  sin 2 x)  C .
4
1
C. F ( x)   (2 x cos 2 x  sin 2 x)  C .
4
Câu 4.

Nguyên hàm của hàm số f  x    x  1 e x là
A. xe x  C .

Câu 5.

B.  x  2  e x  C .

x2
1
ln x  x 2  C.

2
4
2
x
1
ln x  x 2  C.
C.
2
4

Câu 7.

C.  x  1 e x  C .

D. 2 xe x  C .

Họ các nguyên hàm của f  x   x ln x là:

1
B. x 2 ln x  x 2  C.
2

A.

Câu 6.

1
B. F ( x)   (2 x cos 2 x  sin 2 x)  C .
4
1

D. F ( x)  (2 x cos 2 x  sin 2 x)  C .
4

D. x ln x 

1
x  C.
2

Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x ln  x  2  .
A.



C.



x2
x2  4 x
ln  x  2  
C .
2
2
x2
x2  4 x
f  x  dx  ln  x  2  
C .
2
4

f  x  dx 

B.



D.



x2  4
x2  4 x
ln  x  2  
C .
2
2
x2  4
x2  4 x
f  x  dx 
ln  x  2  
C .
2
4
f  x  dx 

Cho hàm số y   x sin 2 xdx . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
   3
A. y   
.
 6  12

  
C. y    .
 6  12

Fb: ThayTrongDGl

   3
B. y   
.
6
6
  
D. y   
.
 6  24

22
Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !


Ôn thi QG Lớp KHXH

Câu 8.

Câu 9.

Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   xe x . Tính F  x  biết F  0   1 .
A. F  x    x  1 e x  2 .

B. F  x     x  1 e  x  1.

C. F  x     x  1 e x  2 .

D. F  x    x  1 e x  1 .

Tìm họ nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   x.e2 x .
A. F  x   2e2 x  x  2   C .

1
B. F  x   e2 x  x  2   C .
2
1
1

D. F  x   e2 x  x    C .
2 
2

1

C. F  x   2e 2 x  x    C .
2


Câu 10.

New 2020

Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH

Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f  x    5 x  1 e x và F  0   3 . Tính F 1 .
A. F 1  e  2 .

B. F 1  11e  3 .

C. F 1  e  3 .

D. F 1  e  7 .

B. x ln x  C .

C. x ln x  x  C .

D. x ln x  x .

2. Thông hiểu: (10 câu)
Câu 11. Kết quả của  ln xdx là:
A. x ln x  x  C .
Câu 12.

Câu 13.

Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x ln x .
A.



C.



2 32
x  3ln x  2   C .
9
2 3
f  x  dx  x 2  3ln x  2   C .
3

Biết

 x cos 2 xdx  ax sin 2 x  b cos 2 x  C

1
A. ab   .
4
Câu 14.

Biết

 xe

A. ab 

2x

B.

với a , b là các số hữu tỉ. Tính tích ab ?

1
B. ab  .
8

dx  axe 2 x  be 2 x  C  a, b 

1
.
4

C. ab 

.

1
B. ab   .
8

2

Câu 15.

1 32
f
x
d
x

x  3ln x  2   C .




9
2 3
D.  f  x  dx  x 2  3ln x  1  C .
9

f  x  dx 

1
.
4

1
D. ab   .
8

Tính tích ab .
1
C. ab  .
8

1
D. ab   .
4

x

Biết I    3x  1 e 2 dx  a  be với a, b là các số nguyên. Tính S  a  b.

0

A. S  8 .
Câu 16. Ta có

B. S  10 .

 x .e dx   x
2

A. 0 .
Câu 17.

x

2

C. S  12 .

D. S  16 .



 mx  n e x  C khi đó m.n bằng.

B. 4 .

C. 5 .

D. 4 .

Nguyên hàm của hàm 2018 f  x   x.e2 x là:

1
A. F ( x)  e2 x  x  2   C .
2

1 
1
B. F ( x)  e 2 x  x    C .
2 
2

1

C. F ( x)  2e2 x  x    C .
2


D. F ( x)  2e2 x  x  2   C .

Fb: ThayTrongDGl

23
Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !


Ôn thi QG Lớp KHXH

Câu 18.

New 2020

Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH

Cho F  x    ax 2  bx  c  e 2 x là một nguyên hàm của hàm số f  x    2018 x 2  3x  1 e2 x
trên khoảng  ;   . Tính T  a  2b  4c .
A. T  1011 .

Câu 19.

  x  3 .e

Biết

B. T  3035 .
2 x

dx  

bằng
A. 5 .

C. T  1007 .

1 2 x
e  2 x  n   C , với m, n 
m

B. 65 .

D. T  5053 .

. Khi đó tổng S  m2  n2 có giá trị

D. 10 .

C. 41 .

Câu 20. Tìm nguyên hàm  sin x dx .
A.  sin x dx  2 cos x  2sin x  C .

B.  sin x dx   cos x  C .

C.  sin x dx  cos x  C .

D.  sin x dx 

Bảng đáp án
1.A
11.C

2.D
12.B

3.C
13.B

4.A

14.B

5.C
15.C

6.D
16.B

7.C
17.B

1
2 x

cos x  C .

8.C
18.B

9.D
19.B

10.D
20.A

Hướng dẫn giải
Câu 1.

Nguyên hàm của hàm số f  x   x sin x là
A. – x cos x  sin x  C .

C. x cos x  sin x  C .

B. x sin x  cos x  C .
D. x cos x  sin x  C .
Lời giải

Chọn A
Ta có:

 x sin xdx .

u  x
 du  dx

Đặt 
.
dv  sin xdx v   cos x
Vậy
Câu 2.

 x sin xdx   x cos x   cos xdx   x cos x  sin x  C .

Kết quả của I   xe x dx là

x2 x x
e e C .
2
x2
C. I  e x  C .
2

A. I 

B. I  e x  xe x  C .
D. I  xe x  e x  C .
Lời giải

Chọn D
Cách 1: Sử dụng tích phân từng phần ta có
I   xe x dx   x de x  xe x   e x dx  xe x  e x  C.

Cách 2: Ta có I    xe x  e x  C   e x  xe x  e x  xe x .
Câu 3.

Tính F ( x)   x sin 2 xdx . Chọn kết quả đúng?

1
A. F ( x)  (2 x cos 2 x  sin 2 x)  C .
4
Fb: ThayTrongDGl

1
B. F ( x)   (2 x cos 2 x  sin 2 x)  C .
4

24
Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !

Ôn thi QG Lớp KHXH

New 2020

Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH

1
C. F ( x)   (2 x cos 2 x  sin 2 x)  C .
4

1
D. F ( x)  (2 x cos 2 x  sin 2 x)  C .
4
Lời giải

Chọn C

du  dx
u  x


Đặt 
, ta được
1
dv  sin 2 xdx v   cos 2 x

2
1
1
1

1
1
F ( x)   x cos 2 x   cos 2 xdx   x cos 2 x  sin 2 x  C   (2 x cos 2 x  sin 2 x)  C .
2
2
2
4
4

Câu 4.

Nguyên hàm của hàm số f  x    x  1 e x là
A. xe x  C .

B.  x  2  e x  C .

C.  x  1 e x  C .

D. 2 xe x  C .

Lời giải
Chọn A

 f  x dx    x  1 e dx    x  1de   x  1 e   e dx   x  1 e
x

Xét
Câu 5.

x

x

x

x

 e x  C  xe x  C .

Họ các nguyên hàm của f  x   x ln x là:
A.

x2
1
ln x  x 2  C.
2
4

x2
1
1
ln x  x 2  C.
B. x 2 ln x  x 2  C. C.
2
4
2
Lời giải:

D. x ln x 

1
x  C.
2

Chọn C

1

v  x2
 xdx  dv 
2

Đặt 
. Suy ra
1
ln x  u
du 

x
Câu 6.

1 2
1
x2
1
x
ln
x
d
x


x
ln
x

x
d
x

ln x  x 2  C.


2
2
2
4

Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x ln  x  2  .
A.



C.



x2
x2  4 x
f  x  dx  ln  x  2  
C .

2
2
x2
x2  4 x
f  x  dx  ln  x  2  
C .
2
4

B.



D.



x2  4
x2  4 x
f  x  dx 
ln  x  2  
C .
2
2
x2  4
x2  4 x
f  x  dx 
ln  x  2  
C .
2

4

Lời giải
Chọn D
Đối với nguyên hàm dạng

u  ln Q  x  
P
x
ln
Q
x
d
x


ta
đặt
để tính theo phương pháp








d
v


P
x
d
x




nguyên hàm từng phần.
Câu 7.

Cho hàm số y   x sin 2 xdx . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
   3
A. y   
.
 6  12

   3
B. y   
.
6
6

  
C. y    .
 6  12
Lời giải

  
D. y   

.
 6  24

Chọn C

Fb: ThayTrongDGl

25
Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !