Tính đơn điệu hàm giá trị tuyệt đối

NĂM HỌC 2019 – 2020

NHÓM TOÁN VD–VDC

TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

NHÓM TOÁN VD – VDC

 PHƢƠNG PHÁP GIẢI
 Hàm số y  f  x  đồng biến trên  ;    khi và chỉ khi

 y    0, x   ;   
 
.
 y    0



 y    0, x   ;   
.

 y    0
đồng biến trên  ;   khi và chỉ khi


 y    0, x   ;  
 
.
y



0





NHÓM TOÁN VD – VDC

 Hàm số y  f  x 




 y    0, x   ;  
.

y


0




 Các dạng đồng biến y  f  x 

trên  ; a  ,  ;   ta thực hiện tương tự.

 Hàm số hỏi nghịch biến làm ngược lại

https:/www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Trang 1


NĂM HỌC 2019 – 2020

NHÓM TOÁN VD–VDC

1. Dạng 1: Tìm điều kiện tham số m để hàm y  f  x  với f  x  là hàm số dạng đa
thức đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trƣớc.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y  x 5  5x 2  5  m  1 x  8
nghịch biến trên khoảng   ;1 ?
A. 2.

B. 0.

C. 4.

D. 1.

Lời giải:
Chọn D
Xét hàm số f  x   x 5  5x 2  5  m  1 x  8.

;1 thì hàm số y  f  x  không thể nghịch biến trên

TH1: f  x   0 có nghiệm x0

NHÓM TOÁN VD – VDC

Câu 1.

khoảng   ;1 .
TH2: f  x   0 không có nghiệm x0

;1 .

Ta có: f   x   5x 4  10 x  5  m  1 .
Khi đó y  x 5  5x 2  5  m  1 x  8  f  x  

f 2  x  nên y

f ( x). f ( x)
f x

0

0

, x

;1

f ( x)

0

f ( x)

0

, x

f 2 ( x)

.

0 với x   ;1
;1 ( vì lim f  x    )
x 

 f   x   5x 4  10 x  5  m  1  0, x   ;1

 f  1  5m  17  0

3
m   x 4  2 x  1, x   ;1
m  max  x 4  2 x  1  3  1

  ;1


2. 2


17
m 
m  17
5


5






Câu 2.

3
2. 3 2

1 m 



17 m

 m  3.
5

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y  2 x 3  mx  1 đồng
biến trên khoảng  1;   ?
A. 2.

B. 6.

C. 3.

D. 4.

Lời giải:
https:/www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Trang 2

NHÓM TOÁN VD – VDC

Hàm số nghịch biến trên  ; 1 khi và chỉ khi y

f ( x). f ( x)


NĂM HỌC 2019 – 2020

NHÓM TOÁN VD–VDC

Chọn C
Xét hàm số f  x   2 x 3  mx  1.

1;

thì hàm số y  f  x  không thể đồng biến trên

khoảng  1;   .
TH2: f  x   0 không có nghiệm x0

.

1;

Ta có: f   x   6 x 2  m.
Khi đó y  2 x 3  mx  1  f  x  

f 2  x  nên y

f ( x). f ( x)
f 2 ( x)

Hàm số đồng biến trên khoảng  1;   khi và chỉ khi y
f ( x). f ( x)
f x

Câu 3.

0

2 x3

mx 1

6 x2

m

Có

0

0

, x

0

1;

, x

o nhiêu gi

1;

f ( x)

0

f ( x)

0

f 1

0

f 1

0

trị nguyên củ

, x

.

0 với x   1;  

1;

( vì lim f  x    )

2 m 1 0
6 m 0

x 

m

3

m

1; 2;3 .

th m số m nhỏ hơn 10 để hàm số

B. 4 .

C. 3 .

D. 5 .

Lời giải
Chọn D
-



t hàm số f  x   3x 4  4 x 3  12 x 2  m  f   x   12 x3  12 x 2  24 x  12 x x 2  x  2



 x  1
 f  x  0  x  0

 x  2
BBT:

h n th y hàm số y  f  x  nghịch iến trên hoảng  ; 1  m  5  0  m  5 .

m 
 m  5; 6; 7;8;9 .
ại do 
m  10
y có 5 gi trị củ m thỏ m n yêu c u ài to n

https:/www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Trang 3

NHÓM TOÁN VD – VDC

y  3x 4  4 x3  12 x 2  m nghịch iến trên hoảng  ; 1 ?
A. 6 .

NHÓM TOÁN VD – VDC

TH1: f  x   0 có nghiệm x0


NĂM HỌC 2019 – 2020

NHÓM TOÁN VD–VDC

Câu 4.

T p hợp t t cả các giá trị của tham số m để hàm số y  x 3  3x 2  m  4 đồng biến trên
khoảng  3;   là
D.  4;    .

B.   ; 2 . C.  ; 4 .

A.  2;   .

NHÓM TOÁN VD – VDC

Lời giải
Chọn D
Xét hàm số f ( x)  x3  3x2  m  4

x  0
Ta có f ( x)  3x2  6 x , f ( x)  0  
x  2
Bảng BT của hàm số f ( x)

x

f ( x)





0

3 

2

0  0





m4



m 8

ì đồ thị hàm số y  f ( x) có được bằng cách giữ nguyên ph n đồ thị của hàm số
y  f ( x) ở phía trên trục hoành, s u đó l y đối xứng ph n đồ thị ở phí dưới lên trên

qua trục Ox .
V y hàm số y  f ( x) đồng biền trên  3;    f (3)  0

 m4  0
m4
Câu 5.

Tìm t t cả các giá trị của m để hàm số y  x 4  2 x 3  mx  2 đồng biến trên khoảng

 1;    ?
A. m  1 .

B. m .

https:/www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

C. 0  m  1 .

D. m  0 .
Trang 4

NHÓM TOÁN VD – VDC

m4

f ( x)


NĂM HỌC 2019 – 2020

NHÓM TOÁN VD–VDC

ời giải
Chọn C

y  x 4  2 x 3  mx  2  f  x  .

Ta có lim f  x    nên hàm số đồng biến trên  1;    khi và chỉ khi
x 

3
2


 f   x   0, x   1;   
4 x  6 x  m  0, x   1;   




1  m  0
 f  1  0


4 x3  6 x 2 


m  4 x3  6 x 2 , x   1;   
m  0

m  max
1;  



 0  m  1.
m

1


1  m  0

m  1

Câu 6.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham m thuộc đoạn

 10;10 

NHÓM TOÁN VD – VDC

Đặt f  x   x 4  2 x 3  mx  2  f   x   4 x 3  6 x 2  m .

để hàm số

y   x 3  3  m  1 x 2  3m  m  2  x  m 2  m  3 đồng biến trên khoảng  0;1 ?

A. 21 .

B. 10 .

C. 8 .

D. 2 .

Lời giải

Xét hàm số f  x    x3  3  m  1 x 2  3m  m  2  x  m 2  m  3 trên khoảng  0;2  .

f '  x   3x 2  6  m  1 x  3m  m  2   3  x 2  2  m  1 x  m  m  2   .
 xm
f ' x  0  
x  m  2

 m m2 .

x  m
Nhận xét: f  x   0  
x  m  3

Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng  0;1 khi

https:/www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Trang 5

NHÓM TOÁN VD – VDC

Chọn B


NĂM HỌC 2019 – 2020

NHÓM TOÁN VD–VDC

 0;1   m; m  2 
 m  0  1  m  2  1  m  0
.



 m  3
 0;1   m  3;     m  3  0

toán.
Câu 7.

Có bao nhiêu số nguyên m thuộc khoảng  4; 4  để hàm số y 

1 3
x  x 2  mx  1 đồng
3

biến trên 1;   ?

A. 5 .

B. 4 .

C. 3 .

D. 6 .
Lời giải

Chọn A
1
Xét hàm số: f  x   x3  x 2  mx  1  f   x   x 2  2 x  m .
3

NHÓM TOÁN VD – VDC

Mà m nguyên thuộc khoảng  10;10  nên có 10 giá trị m thỏa mãn yêu c u bài

Ta có:   1  m
+ Trƣờng hợp 1:   0  1  m  0  m  1 . Suy ra f   x   0, x  1;    .

m  1
m  1
m  1


 1

V y yêu c u bài toán  
1  m  1.

 f 1  0   m  0 m  
3
3

Kết hợp với điều kiện m  ; m   4; 4  t được m    3;  2;  1;0;1 . Ta có 5 giá trị của

+ Trƣờng hợp 2:   0  m  1. Suy ra f '  x   0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2  x1  x2 
Ta có bảng biến thiên:

m  1
m  1
 
m  1
f
1

0
 
  

 f 1  0

x

x

1


m

V y yêu c u bài toán
 1
S

2
1

1

0

1

0
f 1 0


  
2

 f (1)  0
 f (1)  0
V y t t cả có 5 giá trị của m thoả mãn yêu c u bài toán.
https:/www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Trang 6

NHÓM TOÁN VD – VDC

m thoả mãn yêu c u bài toán .

NĂM HỌC 2019 – 2020

NHÓM TOÁN VD–VDC

Câu 8.

Tổng t t cả các giá trị nguyên thuộc  5;5 củ m để hàm số

g ( x) 

1 3
2
x   m  1 x 2   2m  3 x 
3
3

NHÓM TOÁN VD – VDC

đồng biến trên 1;5  là:
A. 1 .

B. 1 .

C. 0 .
Lời giải

D. 2 .

Chọn B

1
2
Xét hàm số f ( x)  x3   m  1 x 2   2m  3 x 
3
3
f ( x)  x 2  2  m  1 x  2m  3
 x  1
f ( x)  0  
.
 x  3  2m
Hàm số g ( x) đồng biến trên 1;5  khi và chỉ khi xảy ra một trong h i trường hợp sau:

3  2m  1
m  1
 f ( x) ®ång biÕn trªn 1;5
13




+,TH1: 
1
13  m 
9
 f (1)  0
3m  4  3  0
3m  3
Kết hợp điều kiện m nguyên và thuộc  5;5 t được m  2;3;4;5

NHÓM TOÁN VD – VDC

5  3  2 m
m  1
 f ( x) nghÞch biÕn trªn 1;5




+,TH2: 
1
13  m  1
 f (1)  0
3m  4  3  0
3m  3
Kết hợp điều kiện m nguyên và thuộc  5;5 t được m  1; 2; 3; 4; 5
V y tổng t t cả các số nguyên của m để hàm số đồng biến trên  5;5 là: 1 .
Tác giả: Đào Thị Hƣơng Facebook: Hƣơng Đào
Câu 9.

Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn  2019; 2019  của tham số thực m để hàm số
y  x 3  3  m  2  x 2  3m  m  4  x đồng biến trên khoảng  0; 4  ?

A. 4033 .

B. 4032 .

C. 2018 .

D.

2016 .

Lời giải
Chọn A
Xét hàm số f  x   x3  3  m  2  x 2  3m  m  4  x trên khoảng  0;4 
https:/www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Trang 7


NĂM HỌC 2019 – 2020

NHÓM TOÁN VD–VDC

f '  x   3x 2  6  m  2  x  3m  m  4   3  x 2  2  m  2  x  m  m  4  

 m m4 
NHÓM TOÁN VD – VDC

 xm
f ' x  0  
x  m  4

Nhận xét: Đồ thị hàm số y  f  x  luôn đi qu điểm O  0; 0  .
Trường hợp 1: Nếu m  0

Từ bảng biến thiên, suy ra
hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng  0; 4    0; 4    0; m   m  4

Kết hợp với m  0 , ta có m  4 .
Trường hợp 2: Nếu m  0  m  4  4  m  0

hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng  0; 4    0; 4    0; m  4   m  4  4
m0

Kết hợp với 4  m  0 , ta có m  0 .
Trường hợp 3: Nếu m  4  0  m  4

Từ bảng biến thiên, suy ra
https:/www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Trang 8

NHÓM TOÁN VD – VDC

Từ bảng biến thiên, suy ra


NĂM HỌC 2019 – 2020

NHÓM TOÁN VD–VDC

hàm số y  f  x  luôn đồng biến trên khoảng  0;    nên hàm số y  f  x  đồng

Mà m nguyên thuộc khoảng  2019; 2019 nên có 4033 giá trị m thỏa mãn yêu
c u bài toán.
Câu 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m  5 để hàm số y 
biến trên (0, ) ?
A. 2

B. 4

C. 6

 3 1 2
x  x  x  m đồng
3
2

D. 8

NHÓM TOÁN VD – VDC

 m4
biến trên khoảng  0; 4  với mọi m  4 .V y  m  0
 m  4

ời giải
Chọn B


1
Xét hàm số y  x3  x 2  x  m ta có y  x2  x  1  0, x  R.
3
2

1
Suy ra hàm số y  x3  x 2  x  m luôn đồng biến trên R .
3

2
Do đó điều kiện hàm số y 

 3 1 2
x  x  x  m đồng biến trên (0, ) là y(0)  0
3
2

Lại có m nguyên dương và m  5 v y có 4 giá trị của m
Câu 11. Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số y  x 5  mx  4 đồng biến trên khoảng

1;   .
A. 4 .

B. 5 .

C. 6 .

D. 7.

Lời giải
Chọn B

 x5  mx  4 khi  x5  mx  4  0 

Ta có: y  
5
5
 x  mx  4 khi  x  mx  4  0 
5 x 4  m khi  x5  mx  4  0 


y'  
4
5

5 x  m khi  x  mx  4  0 
m  5 x 4
4

5
x

m

0
m  5


TH1: y '   5
, x  1  
,

x

1

 m  5.

4
4

m

1

4
m

x

x

mx

4

0




x


https:/www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Trang 9

NHÓM TOÁN VD – VDC

 m  0.

NĂM HỌC 2019 – 2020

NHÓM TOÁN VD–VDC

5 x 4  m  0

TH2: y '   5
, x  1. Hệ vô nghiệm vì lim  x5  mx  4   .
x 

 x  mx  4  0

Câu 12. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc khoảng  10;10  để hàm số y  2 x 3  2mx  3 đồng
biến trên khoảng 1;   ?
A. 12 .

B. 8 .

C. 11.

D. 7 .

Lời giải
Chọn A

NHÓM TOÁN VD – VDC

m  5

 m  1, 2,3, 4,5 .
V y 

m 

Xét hàm số: f  x   2 x 3  2mx  3 có f '  x   6 x 2  2m
TH1: Hàm số f  x  đồng biến trên khoảng 1;   và f 1  0

m  3x 2 x  1;   m  3
6 x 2  2 m  0 
5




5 m
5
2
m
5  2m  0
m 

2

2
Suy ra có 12 giá trị m thỏa yêu c u

Trường hợp này không xảy ra do lim f  x    .
x 

V y có t t cả 12 giá trị m thỏa yêu c u đề bài.
Câu 13. Cho hàm số y | x5  mx  1| . Gọi S là t p t t cả các số nguyên dương m sao cho hàm
số đồng biến trên 1;   . Tính tổng t t cả các ph n tử của S .
A. 15

B. 14

C. 12

D. 13

Lời giải
Chọn A

y' 

x5  mx  1
.5x4  m 
5
| x  mx  1|

Để hàm số đồng biến trên 1;   thì g  x    x5  mx  1 5 x 4  m   0 (*) , x  1 .
Với m  0 ta có g  0    x5  1 .5 x 4  0, x  1 .
Với m  0 . Do m   * luôn có 1 nghiệm là

https:/www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

4

m

. Ta chú ý lim g  x    .
x 
5

Trang 10

NHÓM TOÁN VD – VDC

TH2: Hàm số f  x  nghịch biến trên khoảng 1;   và f 1  0


NĂM HỌC 2019 – 2020

NHÓM TOÁN VD–VDC

Do v y, điều kiện c n để g  x   0 , x  1 là

4

m
1  m  5.
5

Với m  1 , m  2 ; m  3 ; m  4 ; m  5 , thay vào (*) kiểm tra BXD th y đúng
V y S  {1;2;3;4;5}. Tồng các ph n tử của S là 15 .
Câu 14. Cho hàm số f ( x) | x2  2mx  m  2 | . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc
[  9;9] để hàm số đồng biến trên khoảng (0;2) ?
A. 3
B. 2
C. 16

D. 9
Lời giải
Xét hàm g ( x)  x2  2mx  m  2 . Ta có g '( x)  2x  2m .

NHÓM TOÁN VD – VDC

 nh n m  1; m  2 ; m  3 ; m  4 ; m  5

Hàm số f ( x) đồng biến trên khoảng (0;2) khi và chỉ khi

 g (0)  0
 g (0)  0
, x  (0; 2) hoặc 
, x  (0; 2) .

 g '( x)  0
 g '( x)  0
Trƣờng hợp 1.

 g (0)  0
m  2  0
, x  (0; 2)  
 2  m  0 .

 g '( x)  0
2m  0
Trƣờng hợp 2.

Do m là nguyên thuộc [  9;9] nên m{-2, -1, 0} . Chọn đáp án A.
1

1
2
Câu 15. Cho hàm số f ( x)   x3  (2m  3) x 2  (m 2  3m) x  . Có bao nhiêu giá trị nguyên
3
2
3
của tham số m thuộc [  9;9] để hàm số nghịch biến trên khoảng (1;2) ?
A. 3 .
B. 2 .
C. 16 .
D. 9 .

Lời giải
1
1
2
Xét hàm g ( x)   x3  (2m  3) x 2  (m2  3m) x  . Ta có
3
2
3

g '( x)   x2  (2m  3) x  (m2  3m)  ( x  m)( x  m  3).
Hàm số f ( x) nghịch biến trên khoảng (1;2) khi và chỉ khi

 g (2)  0
 g (2)  0
, x  (1; 2) hoặc 
, x  (1; 2) .

 g '( x)  0

 g '( x)  0
Trƣờng hợp 1.
https:/www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Trang 11

NHÓM TOÁN VD – VDC

 g (0)  0
m  2  0
m  2
, x  (0; 2)  

vô nghiệm.

 g '( x)  0
2m  0
m  0


NĂM HỌC 2019 – 2020

NHÓM TOÁN VD–VDC

2m2  2m  4  0
 g (2)  0
m  (; 2]  [1; )
, x  (1; 2)  
, x  (1; 2)  
 m  1.


 g '( x)  0
m  [  1;1]
( x  m)( x  m  3)  0
Trƣờng hợp 2.

NHÓM TOÁN VD – VDC

2m2  2m  4  0
 g (2)  0
m  [  2;1]
,

x

(1;
2)

, x  (1; 2)  
 m  2.


m

(

,

2]


[2;

)

(
x

m
)(
x

m

3)

0
 g '( x)  0


Do m là nguyên thuộc [  9;9] nên m{1, -2} . Chọn đáp án B.
Câu 16. Có bao nhiêu giá trị nguyên m   20; 20  để hàm số y  3x 4  4 x3  12 x 2  m nghịch
biến trên khoảng 1;   .
A. 4 .

B. 30 .

C. 8 .

D. 15 .

Lời giải
Tác giả:Nguyễn Thanh Thảo Facebook:Nguyễn Thanh Thảo
Chọn D

3x 4  4 x3  12 x 2  m  3x 4  4 x3  12 x 2  m  0 

Ta có y  
4
3
2
4
3
2
3x  4 x  12 x  m  3x  4 x  12 x  m  0 
12 x3  12 x 2  24 x

Nên y  
3
2
12 x  12 x  24 x

 3x
 3x

4

 4 x3  12 x 2  m  0 

4

 4 x3  12 x 2  m  0 

NHÓM TOÁN VD – VDC

Yêu c u ài to n tương đương với
12 x3  12 x 2  24 x  0

TH1:  4
, x  1
3
2

3x  4 x  12 x  m  0

m  3x4  4 x3  12 x2 , x  1  m  5
3
2

12 x  12 x  24 x  0
TH2:  4
, x  1  Hệ này vô nghiệm.
3
2
3
x

4
x

12

x

m

0



V y m  5; 6;...;19 . Có 15 số nguyên thỏa mãn.
Câu 17. Có bao nhiêu giá trị nguyên không âm m để hàm số y  x 4  mx 2  9 đồng biến trên
khoảng 1;   .
A. 3 .

B. 6 .

C. 7 .

D. 4 .

Lời giải
Chọn A

https:/www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Trang 12


NĂM HỌC 2019 – 2020

NHÓM TOÁN VD–VDC

x
x

4 x3  2mx

Nên y  
3
4 x  2mx

x
x

4

 mx 2  9  0 

4

 mx 2  9  0 

4

 mx 2  9  0 

4

 mx 2  9  0 

NHÓM TOÁN VD – VDC

 x 4  mx 2  9

Ta có y  
4
2
 x  mx  9

Yêu c u ài to n tương đương với

m  2 x 2
m  2 x 2
3

4 x  2mx  0


TH1:  4
, x  1  
9 , x  1  
9 , x  1
2
2
2

 x  mx  9  0
m  x  2
m  x  2
x
x




 m  2  m  0;1; 2
3

4 x  2mx  0
TH2:  4
, x  1  Hệ này vô nghiệm vì khi x   thì x4  mx2  9   .
2

 x  mx  9  0

Câu 18. Cho hàm số y 

1 3 1
x   m  3 x 2   2m  3 x  1 . Gọi S là t p hợp t t cả các giá trị
3
2

nguyên dương m để hàm số đ cho đồng biến trên khoảng  4;   . Chọn mệnh đề
sai?

NHÓM TOÁN VD – VDC

A. S có 4 ph n tử.
B. Tổng các giá trị của m thuộc S bằng 6.
C. Tích các giá trị của m thuộc S bằng 0.
D. Giá trị m lớn nh t thuộc S bằng 4.
Lời giải

Chọn D
1
1
Đặt f ( x)  x3   m  3 x 2   2m  3 x  1 .
3
2

Ta có: f '( x)  x 2   m  3 x  2m  3 .
Hàm số đ cho đồng biến trên khoảng  4;   khi và chỉ khi:


 f '( x)  0, x   4;  
 f '( x)  0, x   4;  
hoặc 



 f (4)  0
 f (4)  0
https:/www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Trang 13


NĂM HỌC 2019 – 2020

NHÓM TOÁN VD–VDC

 x 2   m  3 x   2m  3  0, x   4;  



 f '( x)  0, x   4;  
TH1: 



 f (4)  0
16  4  m  3  2m  3  0

NHÓM TOÁN VD – VDC

7


x 2  3x  3
x 2  3x  3

m

m

,

x

4;

m

min


  4;


2 m 7
x2
x2



2
m  7
m  7
m  7



2
2
2

 f '( x)  0, x   4;  
TH2: 

 f (4)  0

Hệ vô nghiệm vì lim  x 2   m  3 x   2m  3    .
x

7

V y m  , m nguyên dương nên m  0;1;2;3 . Chọn D.
2

Câu 19. Cho hàm số f  x   x3   2m  5  x  2018 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m
thuộc  2019; 2019  để hàm số đồng biến trên khoảng 1;3 ?
A. 3032 .

B. 4039 .

C. 0 .

D. 2021 .

Lời giải

Xét hàm số f  x   x3   2m  5  x  2018 , có đạo hàm f  x   3x 2   2m  5  .
Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng 1;3 thì đồ thì của hàm số trong khoảng

1;3 phải có hình dạng như s

u

Trường hợp 1: Hàm số f  x  đồng biến trong khoảng 1;3 và không âm trên 1;3 tức
là :


2m  3x 2  5 x  1;3
m  4
 f 1  0




 m  4.


m  1012
 f   x   0 x  1;3
2024  2m  0


https:/www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Trang 14

NHÓM TOÁN VD – VDC

Chọn A


NĂM HỌC 2019 – 2020

NHÓM TOÁN VD–VDC

Trường hợp 2: Hàm số f  x  nghịch biến trong khoảng 1;3 và hông dương trên

1;3

tức là :

Kết hợp với điều kiện t được kết quả m   2019; 4  1012; 2019 . Vây có

3032 giá trị của m .

Câu 20. Cho hàm số y | x3  mx  1| . Gọi S là t p t t cả các số tự nhiên m sao cho hàm số
đồng biến trên 1;   . Tính tổng t t cả các ph n tử của S .
A. 3

B. 1

C. 9

NHÓM TOÁN VD – VDC

2


m  4
 f 1  0
2m  3x  5 x  1;3


 m  1012.

m

1012

f
x

0


x

1;3
2024

2
m

0










D. 10

Lời giải
Chọn A

y' 

x3  mx  1
.  3x 2  m 
3

| x  mx  1|

Để hàm số đồng biến trên 1;   thì g  x    x 3  mx  1 3x 2  m   0 (*) , x  1 .
Với m  0 ta có g  0    x3  1 .3x 2  0, x  1 .

Do v y, điều kiện c n để g  x   0 , x  1 là

m
. Ta chú ý lim g  x    .
x 
3

m
 1  m  3.
3

Với m  1 , m  2 thay vào (*) kiểm tra BXD th y đúng  nh n m  1; m  2 .
Với m  3 thì g  x    x 3  3 x  1 3 x 2  3 có một nghiệm x0  1  do v y trên miền

1; x0  thì g  x   0

 trái yêu c u bài toán.

V y S  {0;1;2} . Tồng các ph n tử của S là 3 .
Bài 19.

Có t t cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

y  g  x   x 3  3  m  1 x 2  3m  m  2  x đồng biến trên nử đoạn  0;   biết rằng

2021  m  2021 ?
A. 2020 .

B. 2021 .

C. 2022 .

D. 2019 .

ời giải
Chọn A
Xét hàm số: y  f  x   x 3  3  m  1 x 2  3m  m  2  x .
T Đ D
https:/www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Trang 15

NHÓM TOÁN VD – VDC

Với m  0 . Do m    * luôn có 1 nghiệm là


NĂM HỌC 2019 – 2020

NHÓM TOÁN VD–VDC

Ta có: y '  3 x 2  6  m  1 x  3m  m  2  .

Bảng biến thiên

.
Gọi  C1  là ph n đồ thị của hàm số y  x 3  3  m  1 x 2  3m  m  2  x nằm trên 0x .

NHÓM TOÁN VD – VDC

x  m
y'  0  
 m  m  2, m  .
x  m  2

Gọi  C2  là ph n đồ thị của hàm số y  x 3  3  m  1 x 2  3m  m  2  x nằm dưới 0x .
Gọi  C2  là ph n đồ thị đối xứng với  C2  qua 0x .
Suy r đồ thị hàm số y  g  x   x 3  3  m  1 x 2  3m  m  2  x gồm  C1    C2  .
Dựa vào bảng biến thiên ta th y: hàm số y  g  x   x 3  3  m  1 x 2  3m  m  2  x đồng

m  2  0
biến trên nử đoạn  0;   khi và chỉ khi 
 m  2 .

 f  0  0

c u đề bài.
Câu 21. Gọi S   a ;    là t p t t cả các giá trị của tham số m để hàm số
y  x 3  3x 2  mx  3m  1 đồng biến trên khoảng  2 ;    Khi đó a bằng

. A. 3 .

B. 19 .

C. 3 .

D. 2 .

Lời giải

NHÓM TOÁN VD – VDC

Kết hợp với điều kiện 2021  m  2021 , ta suy ra có 2020 giá trị của m thỏa mãn yêu

Chọn B
Đặt f  x   x3  3 x 2  mx  3m  1  f   x   3 x2  6 x  m .

 f   x   0, x   2 ;   
TH1: 
.
 f  2   0
2
2

 f   x   0, x   2 ;   
3x  6 x  m  0, x   2 ;   
m  3x  6 x, x   2 ;   



m  19
m  19
 f  2   0





https:/www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Trang 16


NĂM HỌC 2019 – 2020

NHÓM TOÁN VD–VDC


 3x2  6 x   m  3  m  19 .
m  xmax
 2; 


m  19

m

19


NHÓM TOÁN VD – VDC

 f   x   0, x   2 ;   
TH2: 
.
 f  2   0

2
2

 f   x   0, x   2 ;   
3x  6 x  m  0, x   2 ;   
m  3x  6 x, x   2 ;   








m  19  0
m  19
 f  2   0


 3x 2  6 x  .
m  min
2; 


m  19

Vì lim  3 x 2  6 x     hàm số y  3x2  6 x không có giá trị nhỏ nh t. Vì v y TH2
x 

không có giá trị m thỏa mãn.
V y t p các giá trị m c n tìm là S  19 ;   .
2. Dạng 2: Tìm điều kiện tham số m để hàm y  f  x  với f  x  là hàm số dạng phân
thức hữu tỉ đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trƣớc.
Câu 22. Tính tổng S t t cả các giá trị nguyên của tham số m trong đoạn  10;10  để hàm số
mx  3
đồng biến trên 1;    .
xm2
A. S  55 .
B. S  54 .
y

C. S  3 .

D. S  5 .

Tác giả: Chungthanh Vu Facebook Chungthanh Vu
Chọn B.

m 2  2m  3
mx  3
Xét hàm số y 
với x  m  2 , có y ' 
.
2
xm2
 x  m  2
Hàm số y 

mx  3

đồng biến trên 1;    khi xảy ra một trong h i trường hợp sau :
xm2


m 2  2m  3
 m 2  2m  3  0
y
'

0

2
  m  3

 x  m  2

 m3

, x  1  
  m  1  m  1 .
+ TH 1: 
0
 y 1  0
 m3
 m  3

 m  2  1;   
 m  2  1


https:/www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Trang 17

NHÓM TOÁN VD – VDC

Lời giải


NĂM HỌC 2019 – 2020

NHÓM TOÁN VD–VDC

 m
V y m  1;    , lại do 
suy ra m  2;3; 4;5;6;7;8;9;10 , v y S  54 .
m   10;10
x  2m  1
đồng biến trên 1;  
xm

Câu 23. Tìm m để hàm số y 
A.

1 
B. m   1;1 \   .
3

1
 m  1.

3

1
C. 1  m  .
3

D.

NHÓM TOÁN VD – VDC


m 2  2m  3
 m 2  2m  3  0
0
y' 
2

 x  m  2

 m3
, x  1  
 m  .
+ TH 2: 
0
 y 1  0
 m3
 m  2  1;   
 m  2  1


1
 m  1.
3

Lời giải
Tác giả: Ai Pha Facebook AI Pha
Chọn B
Đặt f ( x) 

x  2m  1
ĐK x  m
xm

3m  1

 x  m

2

Để hàm số đồng biến trên 1;    y ' 

 f '( x)  0, x  1;  
(I)


 f (1)  0

f '( x). f ( x)
 0, x  1;  
f ( x)


 f '( x)  0, x  1;  
hoặc 

 f (1)  0


3m  1  0

1
Ta có (I)  m  1
  m  1;
3
 2  2m

0
 1 m
V y

NHÓM TOÁN VD – VDC

hi đó f '( x) 

(II)


3m  1  0

(II)  m  1

 m 
 2  2m

0
 1 m

1
 m  1.
3

x 2  2 x  2m  2
Câu 24. Có bao nhiêu số nguyên của tham số m để hàm số y 
đồng biến trên
x 1

3;    ?
https:/www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Trang 18


NĂM HỌC 2019 – 2020

NHÓM TOÁN VD–VDC

A. 4 .

B. 5 .

C. vô số.

D. 6 .

Lời giải
Tác giả: Kiên Cao Văn Facebook Kiên Cao Văn

NHÓM TOÁN VD – VDC

Chọn A

\ 1 .

T p x c định: D 

x 2  2 x  2m  2
.
Xét hàm số f  x  
x 1
Có f '  x  

x 2  2 x  2m

 x  1

Khi đó y  f  x  

2

f 2  x  y ' 

f ' x. f  x
f 2  x

Hàm số đồng biến trên 3;    y '  0, x  3;   

 f   x  . f  x   0
 f  x   0

, x  3;     
, x  3;    (vì lim f  x    )
x 
 f  x   0
 f '  x   0
 x 2  2 x  2m  2
0

 x 2  2 x  2m  2  0
x 1


 2
, x  3;      2
, x  3;   
 x  2 x  2m  0

 x  2 x 22m  0
  x  1

5


m   2

. Vì m   m  2; 1;0;1 .
m  3

2
V y có 4 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu c u bài toán.
Câu 25. Tìm t t cả các giá thực của tham số m để hàm số y  x 
A. m  1.

B. 1  m  1.

2
 m đồng biến trên 1;   .
x

C. m  1.

D. m  0.

Lời giải
Tác giả: Long Giang Vo Facebook Long Giang Vo
Chọn C

2
2


x   m 1  2 


2
2
x


 x 
+ Ta có: y  x   m   x   m   y '  
2
x
x


2


x


m


x


2

https:/www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Trang 19

NHÓM TOÁN VD – VDC

2m  2  max   x 2  2 x 
2

2
m

2


x

2
x
2m  2  3
3; 



,

x

3;








2

x2  2x 
 2m  3

 2m  x  2 x
2m  min
3;





NĂM HỌC 2019 – 2020

NHÓM TOÁN VD–VDC

+ Hàm số đồng biến trên 1;    y '  0,   1;  

NHÓM TOÁN VD – VDC


2

 x  x  m   0
2






,  1;     x   m   0,  1;  
x


1  2   0


2
 x 
2
2


  x   m   0,  1;    m   x  ,  1;  
x
x


2

 m  max   x   *
1;  
x
2
2
+ Xét hàm số g  x    x  , x  1;    g '  x   1  2  0, x  1;  
x

x

2

 max g  x   max   x    g 1  1
1;

1;





x

V y *  m  1.
Câu 26. Biết rằng t p hợp t t cả các giá trị của m sao cho hàm số y  x  1 

m 2  2m  1
đồng
x 1

biến trên  2;   là  a; b  .Tính a.b .
A. 10 .

B. 9 .

C. 2 .

D. 7 .

Tác giả: Nguyễn Hiền Facebook Nguyễn Hiền
Chọn A
Xét hàm
số f  x   x  1 

m  2m  1
m  2m  1
. Ta có f   x   1 
2
x 1
 x  1
2

Khi đó y  x  1 

2

m 2  2m  1
 f  x 
x 1

f 2  x  nên y ' 

f  x. f  x
f 2  x

Hàm số đồng biến trên  2;   khi và chỉ khi y  0 với x   2;  

 f   x  . f  x   0

 f   x   0

, x   2;    
, x   2;   ( vì lim f  x    )
x 
 f  x   0
 f  x   0

m 2  2m  1
x

1

0

m 2  2m  1    x  12
x 1


, x   2;    
, x   2;  
2
2
2
m

2
m

1


x

1


 1  m  2m2 1  0



 x  1
https:/www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Trang 20

NHÓM TOÁN VD – VDC

Lời giải


NĂM HỌC 2019 – 2020

NHÓM TOÁN VD–VDC

m 2  2m  1  max    x  12   9
 m 2  2m  8  0

 2;  




 1  11  m  1  11
 2
2
m  2m  10  0
 m 2  2m  1  min  x  1  9
 2; 

xm
đồng biến trên khoảng
x 1

1;  
A. m  1 .

B. m  1.

C. 1  m  1 .

D. 1  m  1

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Huyền, Facebook: Nguyễn Thị Huyền

NHÓM TOÁN VD – VDC

Câu 27. Tìm t t cả các giá trị thực của m sao cho hàm số y 

Chọn D.
ĐK Đ x  1

Đặt f  x  

xm
1 m
.
 f ' x 
2
x 1
 x  1

Khi đó t có y  f  x  

f 2  x  y ' 

f ' x f  x
f 2  x

Hàm số đồng biến trên 1;   nếu y '  0x  1;    f '  x  . f  x   0x  1;  

NHÓM TOÁN VD – VDC

 f '  x   0x  1;   1  m  0
m  1
 1  m

 1  m  1
TH1: 
 2  0 m  1
 f 1  0
 f '  x   0x  1;   1  m  0

m  1
 1  m

m
TH2: 
 2  0 m  1
 f 1  0
V y m   1;1 là giá trị c n tìm.
Câu 28. Tính tổng t t cả các giá trị nguyên dương của m để hàm số y 

x3  2mx  2
đồng biến
x 1

trên khoảng  2;   
A. 3

B. 4

C. 2

D. 5

Lời giải
Tác giả:Phạm Đức Thành Facebook: pham duc
thanh
Chọn A
https:/www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Trang 21

NĂM HỌC 2019 – 2020

NHÓM TOÁN VD–VDC

Xét hàm số f  x  

x3  2mx  2
 f  x 
x 1

f 2  x  nên y 

f   x. f  x
f 2  x

.

Hàm số đồng biến trên khoảng  2;    khi và chỉ khi y  0 với x   2;   

 f   x  . f  x   0
 f  x   0

, x   2;     
, x  2;    ( do lim f  x    )
x 

f
x


0
f
x

0






 f  2  0
10  4m  0

 3
  2 x 3  3 x 2  2m  2
2
 0, x  2;   
2 x  3x  2m  2  0, x  2;   
2

 x  1


NHÓM TOÁN VD – VDC

Khi đó y 

x3  2mx  2

2 x 3  3 x 2  2m  2
. Ta có: f   x  
.
2
x 1
 x  1

5

5

m
m



2
2


2m  max  2 x 3  3 x 2  2 
2m  2 x3  3x 2  2, x   2;   

x 2; 

5
5


5

m 
m 


2
2  1  m 
2

m  1
2m  2


nên m 1; 2 . V y tổng các giá trị nguyên dương của m là 3.

Câu 29. Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y 
A. 4 .

B. 2 .

xm
đồng biến trên khoảng  2;   ?
xm3
C. 3 .
D. 1 .

Lời giải
Tác giả: Thanh Vân. Facebook: Thanh Van
Chọn A
Đặt f  x  

xm
. T p x c định: D 
xm3

\ m  3 . Ta có f   x  

2m  3

 x  m  3

2

.

Hàm số đ cho đồng biến trên khoảng  2;  

 y 

f  x. f  x
 0, x   2;  
f  x

 f  x  . f   x   0, x   2;   .
Trường hợp 1:

https:/www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Trang 22

NHÓM TOÁN VD – VDC

Vì m 


NĂM HỌC 2019 – 2020

NHÓM TOÁN VD–VDC

Trường hợp 2:

3


m   2
 2m  3  0
 f   x   0, x   2;  


(không có m thỏa mãn).
   m  3  2   m  1

2  m
 m  2  m  5
 f  2   0


0
5  m

V y 1  m  2 , mà m 

 m  1;0;1;2 . V y có 4 số nguyên m thoả mãn.

Câu 30. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m để hàm số y  x  5 

5;    ?
A. 11.

B. 10 .

NHÓM TOÁN VD – VDC

3


m



 2m  3  0
2
 f   x   0, x   2;  




m

3


2

m


1
 1  m  2 .



f
2

0


2  m
 5  m  2



0
5  m


1 m
đồng biến trên
x2

C. 8 .

D. 9 .

Lời giải
Tác giả:Trần Nhung. Facebook: Trần Nhung
Chọn C

Xét hàm số f  x   x  5 
Khi đó y  f  x  

m 1
x2  4x  m  3
1 m

Đạo hàm: f   x   1 
.
2
2
x2
 x  2
 x  2

f 2  x  nên y  

f   x. f  x
f 2  x

.

Hàm số đồng biến trên 5;    khi và chỉ khi y   0, x  5;   

 f   x  . f  x   0
 f  x   0

, x  5;     
, x  5;    (vì lim f  x    )
x 
 f  x   0
 f   x   0
1 m

x  5  x  2  0
m  x 2  3x  9



, x  5;     
, x  5;   
2
m 1
m


x

4
x

3


1 

0
2
  x  2 
m  min  x 2  3x  9 
m  52  3.5  9
5;  



 8  m  31 .
2
 x 2  4 x  3
m  5  4.5  3

m  max
5;  

Mà m nguyên âm nên ta có: m  8;  7;  6;  5;  4;  3;  2;  1 .
V y có 8 giá trị nguyên âm của m để hàm số y  x  5 

https:/www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

1 m
đồng biến trên 5;    .
x2

Trang 23

NHÓM TOÁN VD – VDC

T p x c định: D  R \ 2 .


NĂM HỌC 2019 – 2020

NHÓM TOÁN VD–VDC

Câu 31. Có t t cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y 

x 2  x  2m  3
đồng
x 1

biến trên khoảng  3;    ?
B. 5 .

C. 4 .

D. Vô số .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Nga Nvc. Facebook: Nguyễn Nga Nvc
Chọn A

x 2  x  2m  3
x 2  2 x  2  2m

 f  x 

Đặt f  x  
2
x 1
 x  1
Khi đó y  f  x  

f 2  x   y 

f  x. f  x

NHÓM TOÁN VD – VDC

A. 7 .

f 2  x

Hàm số đồng biến trên khoảng  3;    khi

y  0, x   3;    

f   x. f  x
f 2  x

 0, x   3;   

 f   x  . f  x   0

, x   3;   
 f  x   0

NHÓM TOÁN VD – VDC

 f  x  0
 f  3  0

  f   x   0 , x   3;    , do lim f  x     
x 
 f   x   0, x   3;   

f
x

0
  

9
 9  2m

0

m  
2
 2

 x 2  2 x  2  2m  0, x   3;   
 x 2  2 x  2  2m, x   3;   


9


9

m 

m




2 9 m 5
2


2
2
 x 2  2 x  2  2m, x   3;   
m  5


2
Ta có m

nên m  4; 3; 2; 1;0;1; 2 .

Câu 32. Tìm t t cả các giá trị của tham số m để hàm số y 

x  m 1
đồng biến trên khoảng
xm

1;   .
A. m 

1
hoặc m  2 .
2

https:/www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

B.

1
m2.
2
Trang 24


NĂM HỌC 2019 – 2020

NHÓM TOÁN VD–VDC

C.

1
m2.
2

D.

1

m2.
2

Lời giải

Chọn C
Đặt f  x  

2m  1
x  m 1
,  x  m   f '  x  
2
xm
 x  m

Để hàm số y đồng biến trên khoảng 1;   thì y '  0 

f ' x  f  x
f  x

 0 , x  1;  

NHÓM TOÁN VD – VDC

Tác giả:Nhật Thiện. Facebook: Nhật Thiện

Trường hợp 1:

 f


 f

1


m  2
 2m  1  0
'  x   0, x  1;  


 m  1
 m  1
 m 
1  0
2  m
m  1  2  m


0
 m 1


Trường hợp 2:

V y để hàm số đồng biến trên khoảng 1;   thì

3. Dạng 3: Tìm điều kiện tham số m để hàm

1
m2.

2

y  f  x

với

f  x

là hàm số chứa căn

đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trƣớc.
Câu 33. Cho hàm số y 

2 x  x2 

m
x  1 . Có bao nhiêu giá trị m nguyên để hàm số
2

nghịch biến trên (0;1)
A. 4

B. 2 .

C. 3 .

D. 5 .

ời giải
Chọn A

Đặt f ( x)  2  x  x  2 

m
x 1
2

https:/www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Trang 25

NHÓM TOÁN VD – VDC

 f

 f

1


m


 2m  1  0
2
'  x   0, x  1;  


1
 m  1
 m  1

 m2
2
1  0
2  m
1  m  2


0
1  m
