Nghiên cứu sự phá vỡ đối xứng tự phát trong một số hệ quang học phi tuyến
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.72 MB, 107 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
------------------------------
NGUYỄN DUY CƯỜNG
NGHIÊN CỨU SỰ PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG TỰ PHÁT
TRONG MỘT SỐ HỆ QUANG HỌC PHI TUYẾN
LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ
NGHỆ AN - 2020
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
------------------------------
NGUYỄN DUY CƯỜNG
NGHIÊN CỨU SỰ PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG TỰ PHÁT
TRONG MỘT SỐ HỆ QUANG HỌC PHI TUYẾN
Chuyên ngành: QUANG HỌC
Mãsố: 9440110
LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ
Người hướng dẫn khoa học:
1. GS.TS. Đinh Xuân Khoa
2. GS.TSKH. Marek Trippenbach
NGHỆ AN - 2020
LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan nội dung của luận án này làcông trình nghiên cứu của riêng
tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TS. Đinh Xuân Khoa và GS.TSKH.
Marek Trippenbach. Các kết quả trong luận án làtrung thực và được công bố
trên các tạp chí chuyên ngành ở trong nước và quốc tế.
Tác giả
Nguyễn Duy Cường
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với GS.TS. Đinh Xuân Khoa
và GS.TSKH. Marek Trippenbach là những Thầy đã định hướng nghiên cứu,
cung cấp các tài liệu quan trọng, nhiều lần thảo luận góp ý vàtận tì
nh chỉ dẫn
cho tôi trong suốt thời gian nghiên cứu.
Tôi xin chân thành cảm ơn đến quýThầy giáo GS.TSKH. Cao Long Vân,
TS. Bùi Đình Thuận, TS. Nguyễn Việt Hưng vàcác Thầy côgiáo Ngành Vật lý
thuộc Viện Sư phạm Tự nhiên cùng nhóm Nghiên cứu sinh chuyên ngành
Quang học đã giúp đỡ, nhiệt tình giảng dạy các kiến thức chuyên ngành, chỉ dẫn
các kỹ năng nghiên cứu, cónhiều đóng góp ýkiến quýbáu vàgiải đáp các thắc
mắc về mặt khoa học trong quátrì
nh tôi thực hiện đề tài.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, Viện Sư phạm Tự nhiên,
Phòng Đào tạo Sau đại học Trường Đại học Vinh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi
nhất, tận tình hướng dẫn vàgiúp đỡ kịp thời các thủ tục hành chính trong thời
gian tôi học tập vànghiên cứu.
Tôi cũng chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Công nghiệp
Vinh đã tạo điều kiện tốt nhất về mặt thời gian cho tôi trong việc học tập và
nghiên cứu trong những năm qua.
Cuối cùng, tôi cảm ơn sâu sắc tới gia đình, người thân vàbạn bè đã quan
tâm động viên, giúp đỡ để tôi hoàn thành luận án này.
Trân trọng cảm ơn!
Tác giả luận án
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN
LỜI CẢM ƠN
MỤC LỤC
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT TIẾNG ANH DÙNG TRONG LUẬN ÁN
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ
TỔNG QUAN ...................................................................................................... 1
1. Lýdo chọn đề tài............................................................................................... 1
2. Mục tiêu nghiên cứu .......................................................................................... 4
3. Đối tượng vàphạm vi nghiên cứu ..................................................................... 5
4. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................... 5
5. Bố cục của luận án ............................................................................................ 6
Chương 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾN ................... 7
1.1. Phương trình đạo hàm riêng môtả một số hệ vật lý...................................... 7
1.2. Phi tuyến kiểu Kerr và phương trình Schrödinger phi tuyến môtả một số hệ
quang học .............................................................................................................. 9
1.2.1. Hiệu ứng phi tuyến Kerr.............................................................................. 9
1.2.2. Hiện tượng hấp thụ hai photon .................................................................. 12
1.2.3. Phương trình Schrödinger phi tuyến môtả một số hệ quang học ............. 13
1.3. Solitons vàlời giải solitons .......................................................................... 14
1.4. Một số phương pháp số để tính toán phương trình Schrödinger phi tuyến . 16
1.4.1. Phương pháp thời gian ảo để tìm kiếm lời giải solitons của phương trình
Schrödinger phi tuyến ......................................................................................... 17
1.4.2. Phương pháp Split - Step Fourier (SSF) ................................................... 19
1.5. Một số phương pháp dùng để xét tí
nh chất ổn định của các trạng thái ....... 23
1.5.1. Phương pháp tuyến tí
nh hóa trị riêng của mode nhiễu loạn ..................... 23
1.5.2. Tiêu chuẩn ổn định Vakhitov - Kolokolov (V-K) .................................... 27
1.6. Sự phávỡ đối xứng tự phát .......................................................................... 28
1.6.1. Khái niệm về sự phávỡ đối xứng tự phát ................................................. 28
1.6.2. Đặc trưng rẽ nhánh trong hệ phi tuyến bảo toàn ....................................... 29
1.6.3. Trạng thái hỗn loạn vàmột số kịch bản dẫn đến hỗn loạn ....................... 31
1.7. Kết luận chương 1 ........................................................................................ 34
Chương 2. SỰ PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG TỰ PHÁT TRONG MỘT SỐ HỆ
QUANG HỌC PHI TUYẾN BẢO TOÀN....................................................... 36
2.1. Hệ ống dẫn sóng có phi tuyến Kerr đồng nhất và thế tuyến tính kép ........ 36
2.1.1. Mô hình và phương trình mô tả hệ........................................................... 36
2.1.2. Hệ nghiên cứu với phi tuyến tự hội tụ vàthế tuyến tí
nh kép ................... 39
2.1.3. Hệ nghiên cứu với phi tuyến tự phân kỳ vàthế tuyến tính kép ................ 46
2.2. Hệ hai ống dẫn sóng song song với phi tuyến biến điệu và liên kết tuyến
tính ....................................................................................................................... 48
2.2.1. Hệ phương trình một chiều mô tả hệ nghiên cứu .................................... 48
2.2.2. Các trạng thái solitons, giản đồ rẽ nhánh và tính chất ổn định của các
trạng thái ............................................................................................................. 49
2.3. Kết luận chương 2 ........................................................................................ 53
Chương 3. SỰ PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG TỰ PHÁT TRONG HỆ HAI VÒNG
CỘNG HƯỞNG QUANG KÍCH THƯỚC CỠ MICRO MÉT .................... 54
3.1. Môhình nghiên cứu vàhệ phương trình mô tả ............................................ 54
3.2. Một số loại trạng thái và hiện tượng xuất hiện trong hệ cộng hưởng vòng
quang ................................................................................................................... 57
3.2.1. Trạng thái dừng vàsự phávỡ đối xứng .................................................... 58
3.2.2. Trạng thái dao động................................................................................... 63
3.2.3. Trạng thái hỗn loạn ................................................................................... 65
3.3. Sự phávỡ đối xứng của hệ với hàm liên kết Gauss kép .............................. 68
3.3.1. Ảnh hưởng của cường độ liên kết lên sự phávỡ đối xứng của hệ............ 69
3.3.2. Ảnh hưởng của tham số khuếch đại lên sự phávỡ đối xứng của hệ......... 77
3.3.3. Ảnh hưởng của tham số mất mát lên sự phávỡ đối xứng của hệ ............. 83
3.4. Kết luận chương 3 ........................................................................................ 85
KẾT LUẬN CHUNG ........................................................................................ 87
CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ .............................................................. 89
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 90
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT TIẾNG ANH
DÙNG TRONG LUẬN ÁN
Viết đầy đủ
Từ viết tắt
Nghĩa tiếng việt
Sự phávỡ đối xứng tự phát
SSB
Spontaneous Symmetry Breaking
NLSE
Nonlinear Schrödinger Equation
BEC
Bose - Einstein condensation
AI
Artificial Intelligence
V-K
Vakhitov - Kolokolov
SSF
Split - Step Fourier
Re
Real
Phần thực
Im
Image
Phần ảo
Phương trình Schrödinger
phi tuyến
Hệ
ngưng
tụ
Bose
-
Einstein
Trítuệ nhân tạo
Tên của hai nhà khoa học
Vakhitov vàKolokolov
Tên của phương pháp số
Split - Step Fourier
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình
1.1
1.2
1.3
Nội dung
Hai cách làm thay đổi chiết suất hiệu dụng của môi trường: (a)
tự điều biến pha và (b) điều biến pha chéo [33].
Lan truyền của các solitons sau một chu kỳ: (a) soliton bậc
nhất và(b) soliton bậc bốn.
Lan truyền của xung qua bước nhỏ ℎ theo phương pháp Split Step bậc hai.
Trang
10
15
22
Phổ ổn định tuyến tí
nh của các trạng thái solitons của phương
1.4
trì
nh Schrödinger phi tuyến (1.84) với hằng số lan truyền 𝜇 =
26
1, tương ứng với ba trường hợp phi tuyến (1.84a)-(1.84c).
Hình (a) là đường cong công suất trạng thái solitons (1.85); (b,
1.5
c) làphổ ổn định tuyến tí
nh của trạng thái solitons tại hai giá
27
trị 𝜇 = 1 và𝜇 = 3 tương ứng với các điểm tròn ở hì
nh (a).
1.6
1.7
1.8
1.9
Hiện tượng phá vỡ đối xứng trục của dây thép thẳng.
Sự rẽ nhánh trên tới hạn của các trạng thái solitons trong mô
hì
nh một chiều [44].
Sự rẽ nhánh dưới tới hạn của các trạng thái solitons trong mô
hì
nh hai chiều [45].
Quỹ đạo của hệ Lorenz khi các giátrị tham số ρ = 28, σ = 10,
β = 8/3.
1.10 Ba kịch bản dẫn tới trạng thái hỗn loạn.
2.1
Thế tuyến tính Gauss kép được chuẩn hóa 𝑈(𝑥)⁄|𝑈(𝑥)|𝑚𝑎𝑥
theo tọa độ không gian 𝑥.
28
30
31
32
33
37
Trạng thái soliton bất đối xứng trái (a) vàbất đối xứng phải (b)
(các đường nét liền) nằm trong thế tuyến tính kép (đường nét
2.2
đứt). Các tham số: độ rộng của hàm thế Gauss kép là𝑎 = 0.5,
38
công suất xung là𝑁 = 2, trường hợp này làphi tuyến tự hội tụ
𝜎 = −1.
Các trạng thái solitons của hệ vàthế Gauss kép lần lượt tương
2.3
ứng các đường màu xanh và màu đỏ nét đứt: (a) trạng thái
soliton đối xứng, (b) trạng thái soliton bất đối xứng.
39
2.4
Hình (a), (b) lần lượt là độ bất đối xứng như là hàm của hằng
số lan truyền 𝜇, vàcông suất xung 𝑁.
40
Hình (a) làcông xuất xung phụ thuộc vào hằng số lan truyền;
hì
nh (b) là tiến triển trong không gian trạng thái soliton đối
2.5
xứng với 𝑁 = 0.5, 𝑎 = 0.5; hì
nh (c), (d) lần lượt làtiến triển
41
trạng thái soliton đối xứng vàtrạng thái soliton đối xứng khi
𝑁 = 2, 𝑎 = 0.5.
Hình (a), (b), (c) tương ứng làhì
nh dạng solitons của các trạng
2.6
thái ứng với các điểm A, B, C (hoặc D). Các hì
nh (a1), (b1), (c1)
tương ứng làphổ trị riêng của các mode nhiễu loạn khi tiến triển
43
các solitons ứng với (a), (b), (c) trong không gian thực.
Hình (a), (b) lần lượt miêu tả sự phụ thuộc của độ bất đối xứng
2.7
được tí
nh theo công thức (2.5) vào hằng số lan truyền µ và
công suất xung 𝑁 ứng với trường hợp độ rộng của thế Gauss
44
kép 𝑎 = 0.2.
Hình (a), (b) lần lượt miêu tả sự phụ thuộc của độ bất đối xứng
2.8
được tí
nh theo công thức (2.5) vào hằng số lan truyền µ và
công suất của xung vào 𝑁 ứng với trường hợp độ rộng của thế
44
Gauss kép 𝑎 = 1.0.
Hình (a) công suất xung vào ngưỡng 𝑁𝑏𝑖𝑓 như là hàm của độ
2.9
rộng 𝑎 (đường cong chấm tròn); hình (b) hằng số lan truyền
45
ngưỡng 𝜇𝑏𝑖𝑓 như là hàm của độ rộng 𝑎 (đường cong chấm tròn).
Sự phụ thuộc của độ bất đối xứng Θ vào công suất xung trong
2.10 trường hợp phi tuyến tự phân kỳ, độ rộng thế tuyến tính Gauss
46
kép 𝑎 = 1.0.
Các trạng thái solitons trong thế Gauss kép ứng với độ rộng
2.11 khác nhau, hình (a) tương ứng độ rộng a =1/3, công suất 𝑁=2
47
và hình (b) tương ứng với a =1.0, công suất 𝑁=2.
Tiến triển trong không gian thực các trạng thái solitons, hì
nh
2.12
(a) ứng với trường hợp độ rộng a =1/3, công suất xung 𝑁=2,
hì
nh (b) ứng với trường hợp độ rộng a =1.0, công suất xung
𝑁=2.
47
Các loại trạng thái solitons: hình (a) là trạng thái đối xứng,
2.13
hì
nh (b) trạng thái phản đối xứng vàhì
nh (c) trạng thái không
đối xứng của hệ trong trường hợp hệ số liên kết 𝜅 = 1 vàhằng
50
số lan truyền 𝜇 = 4.
Hình (a) miêu tả công suất xung và hì
nh (b) miêu tả năng
2.14 lượng của các trạng thái đối xứng, phản đối xứng và không đối
51
xứng theo hằng số lan truyền 𝜇.
Hình (a), (b) miêu tả độ bất đối xứng
được định nghĩa theo
2.15 biểu thức (2.25) theo hằng số lan truyền 𝜇 và tổng công suất
52
𝑁.
Mô hình nghiên cứu gồm hai vòng cộng hưởng quang học với
3.1
sự có mặt của khuếch đại tuyến tính, mất mát phi tuyến và liên
55
kết tuyến tính với nhau [31].
3.2
3.3
Một số loại trạng thái cuối cùng của hệ khi liên kết giữa hai
vòng là hằng số, tham số mất mát cố định Γ = 1 [31].
Trạng thái dừng trong trường hàm liên kết Gauss đơn với các
tham số: 𝛾 = 3, Γ = 1, 𝐽0 = 2, 𝑎 = 1.
58
59
Các trạng thái dừng trong trường hợp liên kết Gauss đơn, các
3.4
tham số 𝛾 = 3, 𝛤 = 1 và𝑎 = 1, với cường độ liên kết khác
nhau là 𝐽0 = 1, 𝐽0 = 2, 𝐽0 = 3. Hình (a) là kết quả tính toán
60
của luận án, (b) là kết quả của công trình [48].
Trạng thái dừng đối xứng, hình (a) là mô đun của các hàm
3.5
sóng, hình (b) là độ lệch pha của hai hàm sóng, các tham số
61
Γ = 1, 𝐽0 = 1.5, 𝑎 = 0.01 và𝛾 = 0.55 [50, 51].
Trạng thái dừng phản đối xứng, hình (a) là mô đun của các
3.6
hàm sóng, hình (b) là độ lệch pha của hai hàm sóng, các tham
61
số Γ = 1, 𝐽0 = 1.5, 𝑎 = 0.01 và𝛾 = 1.1 [50, 51].
Trạng thái dừng bất đối xứng, hình (a) là mô đun của các hàm
3.7
sóng, hình (b) là độ lệch pha của hai hàm sóng, các tham số
62
Γ = 1, 𝐽0 = 1.5, 𝑎 = 0.01 và𝛾 = 0.60 [50, 51].
3.8
Trạng thái không đồng nhất trong trường hợp liên kết hằng số,
các tham số Γ = 1, 𝛾 = 1.5 và𝑐 = 1.75 [31].
63
Trạng thái dao động của hệ trong trường hợp liên kết hằng số.
Hình (a) biểu diễn tổng công suất ánh sáng trong hai vòng theo
3.9
thời gian [31], (b) làbiến đổi Fourier của tổng công suất, (c) là
64
tiến triển của hàm sóng theo thời gian và (d) là mô đun của các
hàm sóng. Các tham số của hệ Γ = 1, 𝛾 = 1 và𝑐 = 1.25.
Sự tiến triển của hàm sóng theo thời gian trong một vòng
3.10
quang học của hệ trong trường hợp liên kết Gauss đơn với các
tham số: 𝛾 = 3, Γ = 1, 𝑎 = 1; hình (a) ứng với cường độ liên
65
kết 𝐽0 = 4, hình (b) ứng với cường độ liên kết 𝐽0 = 5 [48].
Trạng thái hỗn loạn xuất hiện trong hệ trong trường hợp liên
nh nhỏ của hì
nh vẽ (a) làkết quả của
3.11 kết hằng số (trong đó hì
66
[31]), khi các tham số đặc trưng của hệ Γ = 1, 𝛾 = 2 và𝑐 = 2.
Biến đổi Fourier của tổng công suất trong hai vòng của hệ mô
3.12
tả kịch bản dẫn đến hỗn loạn. Hình (a) ứng với hằng số liên kết
𝑐 ∈ [1.74,1.82], hì
nh (b) chi tiết vùng nhỏ khung vuông màu
67
đỏ ứng với 𝑐 ∈ [1.790,1.810] [52].
Mô đun của các hàm sóng ứng với các giá trị khác nhau của
3.13 cường độ liên kết: hình (a), (b), (c) và (d) tương ứng với cường
70
độ liên kết 𝐽0 = 0.9, 𝐽0 = 0.95, 𝐽0 = 1.0 và𝐽0 = 1.1.
3.14
Trạng thái dao động ứng với ba trường hợp khác nhau của
cường độ liên kết 𝐽0 = 2.598, 𝐽0 = 2.6 và𝐽0 = 2.61.
71
Tổng công suất và biến đổi Fourier của các trạng thái lần lượt
tương ứng với các tham số cường độ liên kết 𝐽0 = 2.84, 𝐽0 =
3.15 3.19 và𝐽0 = 3.20; hì
nh (a1-b1) một trạng thái hỗn loạn, (a2-b2)
73
trạng thái dao động nhiều tần số, (a3-b3) trạng thái dao động
với một tần số.
Sơ đồ rẽ nhánh sự chuyển đổi trạng thái của hệ khi các tham số
3.16 𝛾 = 3, Γ = 1, 𝑎 = 0.01 theo
cường
độ
liên
kết 𝐽0 ∈
74
[1.97, 3.57].
3.17
3.18
Mô đun của các hàm sóng trong vùng trạng thái dừng ứng với
các giátrị khác nhau của cường độ liên kết.
Sơ đồ rẽ nhánh mô tả sự chuyển đổi trạng thái của hệ ở vùng
cường độ liên kết lớn khi độ rộng của hàm liên kết rộng 𝑎 = 1.
75
76
3.19
Giản đồ rẽ nhánh sự biến đổi các trạng thái của hệ, khi các
tham số cố định Γ = 1, 𝐽0 = 2.85, 𝑎 = 0.01 và𝛾 thay đổi.
77
Mô đun của các hàm sóng trong hai vòng quang học hì
nh (a)
3.20
khi tham số khuếch đại 𝛾 ≃ 2.12 mô tả trạng thái dừng đối
xứng vàhì
nh (b) khi tham số khuếch đại 𝛾 ≃ 2.22 mô tả trạng
78
thái không đối xứng.
Tổng công suất của hệ mô tả trạng thái dao động, trạng thái
3.21
hỗn loạn của hệ, hì
nh (a1-b1) biểu diễn trạng thái dao động ứng
với tham số khuếch đại 𝛾 = 2.42, hình (a2-b2) biểu diễn trạng
79
thái hỗn loạn ứng với tham số khuếch đại 𝛾 ≈ 2.62.
Mô đun của các hàm sóng, hì
nh (a) và(b) lần lượt môtả trạng
3.22 thái phản đối xứng vàtrạng thái bất đối xứng ứng với các tham
80
số khuếch đại là𝛾 = 3.06 và𝛾 = 3.65.
3.23
Giản đồ rẽ nhánh biểu diễn sự biến đổi các trạng thái động lực
học của hệ, khi các tham số Γ = 1, 𝐽0 = 12,75, 𝑎 = 1.
81
Biến đổi Fourier của tổng công suất của hệ miêu tả các trạng
3.24
thái dao động một tần số, ba tần số, nhiều tần số vàtrạng thái
hỗn loạn. Các hì
nh (a), (b), (c) và(d) lần lượt tương ứng với
82
các tham số 𝛾 = 0.16, 𝛾 = 2.65, 𝛾 = 4.75 và𝛾 = 5.03.
Giản đồ rẽ nhánh của quátrì
nh biến đổi trạng thái của hệ khi
3.25 cố định các tham số 𝛾 = 3, 𝐽0 = 2.85, 𝑎 = 0.01, tham số mất
83
mát phi tuyến Γ thay đổi.
Sơ đồ rẽ nhánh biến đổi Fourier của tổng công suất của hệ khi
3.26 các tham số 𝛾 = 3, 𝐽0 = 12.75, 𝑎 = 1, tham số mất mát phi
tuyến Γ thay đổi.
84
DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ
Sơ đồ
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Nội dung
Sự biến đổi trạng thái vàSSB do ảnh hưởng của cường độ liên
kết khi độ rộng hàm liên kết hẹp 𝑎 = 0.01.
Sự biến đổi trạng thái vàSSB do ảnh hưởng của cường độ liên
kết khi độ rộng hàm liên kết rộng 𝑎 = 1.
Sự biến đổi trạng thái và SSB do ảnh hưởng của tham số
khuếch đại khi độ rộng hàm liên kết hẹp 𝑎 = 0.01.
Sự biến đổi trạng thái và SSB do ảnh hưởng của tham số
khuếch đại khi độ rộng hàm liên kết rộng 𝑎 = 1.
Sự biến đổi trạng thái vàSSB do ảnh hưởng của tham số mất
mát khi độ rộng hàm liên kết hẹp 𝑎 = 0.01.
Sự biến đổi trạng thái và SSB do ảnh hưởng của tham số mất
mát khi độ rộng hàm liên kết rộng 𝑎 = 1.
Trang
69
74
77
81
83
85
TỔNG QUAN
1. Lýdo chọn đề tài
Sự phávỡ đối xứng tự phát (Spontaneous Symmetry Breaking - SSB) làhiện
tượng thường thấy trong tự nhiên vàtrong nhiều lĩnh vực vật lý khác nhau như:
vật lý hạt cơ bản với Mô hì
nh chuẩn [1], vật liệu từ và hệ ngưng tụ Bose Einstein (Bose - Einstein condensation - BEC), v.v… Tuy nhiên, theo định nghĩa
chung SSB làmột số trạng thái cơ bản của hệ vật lý nào đó bị “phá vỡ” đối xứng
khi tham số điều khiển vượt quágiátrị nhất định (gọi làgiátrị tới hạn), vídụ như
trong môhì
nh chiếc mũ Mexico [2]. Trong quang học, sự phávỡ đối xứng cóthể
được hiểu như là kết quả của sự tương tác giữa các số hạng phi tuyến với các
cấu trúc ống dẫn sóng. Khi thành phần phi tuyến mạnh, nó sẽ triệt tiêu các liên
kết tuyến tí
nh giữa các lõi trong ống dẫn sóng song song, vídụ trong môi trường
Kerr tự hội tụ [2]. Trong hệ cộng hưởng vòng quang học, SSB làsự cạnh tranh
giữa hiệu ứng tuyến tính vàhiệu ứng phi tuyến, vídụ như giữa khuếch đại tuyến
tí
nh vàmất mát phi tuyến, dẫn tới xuất hiện trạng thái không đối xứng, thậm chí
dẫn tới trạng thái hỗn loạn [3].
SSB trong quang học có nhiều ứng dụng trong công nghệ quang tử. Hiệu
ứng chuyển đổi năng lượng quang giữa các kênh cóthể được sử dụng làm cơ sở
cho việc thiết kế các thiết bị chuyển mạch toàn quang [4, 5] vàcác ứng dụng
khác, chẳng hạn như bộ khuếch đại phi tuyến [6], ổn định trong mạch phân chia
bước sóng [7], cổng logic [8] vàtruyền dẫn lưỡng ổn định [9]. Bộ ghép hai sợi
quang phi tuyến dùng để nén solitons hiệu quả bằng cách tạo độ tán sắc khác
nhau trong hai sợi [10]. Trong hệ cộng hưởng vòng quang học cũng có nhiều
ứng dụng trong các thiết bị quang tử như: chọn lọc bước sóng [11], trạng thái
hỗn loạn được ứng dụng trong thông tin quang như đồng bộ vàbảo mật thông
tin [12, 13], phát tín hiệu số ngẫu nhiên “0”, “1” [13] và đặc biệt động lực học
dao động hỗn loạn cực nhanh của laser giải quyết triệt để bài toán giả định ứng
dụng vào trítuệ nhân tạo (AI) [14].
Với nhiều ứng dụng quan trọng như vậy, SSB đã và đang được các nhàkhoa
học trên thế giới quan tâm nghiên cứu [6-25]. Đặc biệt là nhóm của B. A.
1
Malomed đã nghiên cứu rất chi tiết kể từ hơn hai thập kỷ qua. SSB được nghiên
cứu trong nhiều hệ quang học khác nhau cả trong lýthuyết vàthực nghiệm. Đối
với trong ống dẫn sóng mà chủ yếu trong môi trường Kerr tự hội tụ [2], ảnh
hưởng của hiệu ứng SSB lên solitons quang học không gian đã được chứng minh
bằng thực nghiệm trong ống dẫn sóng phẳng phi tuyến [15]. Nghiên cứu giải tí
ch
của SSB cho các mode solitons được thực hiện trong các môhì
nh lõi kép cótí
nh
chất phi tuyến Kerr [16], vàcác ống dẫn sóng quang học phi tuyến bậc ba - năm
[17]. Hiệu ứng SSB trong quang học cóthể xảy ra trong cấu trúc có sự phân bố
đối xứng của chiết suất với phi tuyến tự hội tụ, hệ được mô tả bởi phương trình
Schrödinger phi tuyến (nonlinear Schrödinger equation - NLSE) có thêm thành
phần thế tuyến tí
nh [18]. Trong các sợi quang học lõi kép ghép tuyến tí
nh với
nhau cũng có SSB, đó là thành phần trọng yếu trong chuyển mạch toàn quang
điều khiển công suất, với hiệu ứng phi tuyến Kerr [19]. SSB của trạng thái sóng
liên tục [20] vàsự hì
nh thành các solitons bất đối xứng trong các sợi quang lõi
kép [21] cũng được nghiên cứu chi tiết về mặt lýthuyết. Gần đây SSB trong ống
dẫn quang với sự cạnh tranh của phi tuyến bậc ba - năm và thế tuyến tính đối
xứng chẵn lẻ thời gian được nghiên cứu [22]. Qua đó cho thấy, SSB với sự cómặt
của thế tuyến tí
nh không ngừng quan tâm nghiên cứu vàứng dụng bằng cách xem
xét với các loại thế tuyến tí
nh mới.
Hầu hết những nghiên cứu về SSB trước 2008 được đề cập ở trên được thực
hiện trong các hệ quang học cóhệ số phi tuyến làhằng số. Một cách khác để thực
hiện phávỡ đối xứng tự phát trong hệ quang học đó là môi trường phi tuyến biến
điệu. Năm 2008 lần đầu tiên SSB được nghiên cứu trong hệ với phi tuyến biến
điệu dạng kép tương đương như thế phi tuyến kép dạng hàm hai delta được
nghiên cứu [23] và được mở rộng trong trường hợp hai chiều [24], gần đây vào
năm 2017 phi tuyến biến điệu dạng hàm mũ cũng được nghiên cứu có số đỉnh
tăng dần từ hai đến năm đỉnh [25]. Như vậy, chúng ta có thể nghiên cứu SSB
trong hệ mới với việc thay đổi dạng phi tuyến biến điệu.
Một loại hệ khác để thực hiện SSB đó là hệ cộng hưởng vòng quang. SSB
trong hệ này gây ra sự biến đổi trạng thái của hệ, trong đó có dẫn tới trạng thái
2
hỗn loạn. Đây là trạng thái đã có nhiều ứng dụng và được nhiều quan tâm
nghiên cứu hiện nay. Sau khi laser được phát minh, vào năm 1963, Lorenz là
người đầu tiên phát biểu khái niệm hỗn loạn. Theo đó, hỗn loạn được hiểu làsự
mất trật tự, lộn xộn. Đến năm 1983 hỗn loạn quang được thực hiện trong phòng
thínghiệm bởi Gioggia and Abraham [26]. Những năm 1990 hỗn loạn laser
được nghiên cứu để ứng dụng vào thông tin quang, đồng bộ quang [27] và đến
năm 2000 ứng dụng trở thành hiện thực. Sau đó hỗn loạn laser không ngừng
được nghiên cứu ứng dụng vào nhiều lĩnh vực khác như trong các mạch tích hợp
quang tử đối với thông tin quang [28] như kỹ thuật phát số ngẫu nhiên “0”, “1”
[29] ứng dụng trong kỹ thuật mật mã, bảo mật thông tin [30] vàgần đây vào
năm 2017 nhóm của Marek Trippenbach đã đề xuất một hệ cộng hưởng mới
gồm hai vòng quang học kích thước cỡ micro mét liên kết tuyến tí
nh với nhau,
động lực học của hệ xuất hiện nhiều trạng thái và hiện tượng thú vị hứa hẹn
nhiều ứng dụng trong tương lai [31].
Qua tì
m hiểu SSB trong các hệ quang học chúng tôi nhận thấy cómột số hệ
chưa được nghiên cứu một cách đầy đủ hoặc có thể mở rộng nghiên cứu thêm.
Việc nghiên cứu SSB trong các hệ quang học khác nhau một cách đầy đủ, hệ
thống làrất cần thiết, sẽ giúp định hướng trong thực nghiệm vàứng dụng. Đặc
biệt, trạng thái hỗn loạn của SSB hứa hẹn có nhiều ứng dụng trong cuộc cách
mạng 4.0. Vìvậy chúng tôi chọn “Nghiên cứu sự phávỡ đối xứng tự phát trong
một số hệ quang học phi tuyến” làm đề tài luận án của mì
nh góp phần vào hệ
thống lýthuyết về SSB của một số hệ quang học.
Động lực học của một hệ vật lý nói chung được mô tả bằng các phương
trình vi phân. Trong đề tài này, chúng tôi nghiên cứu các hệ quang học đóng (hệ
bảo toàn) vàmở (hệ không bảo toàn) được môtả bằng các phương trình vi phân
đạo hàm riêng phi tuyến kiểu Schrödinger. Các môi trường phi tuyến kiểu Kerr là
một vídụ điển hì
nh của các phương trình kiểu này. Khó khăn chung trong mọi bài
toán phi tuyến làvề mặt toán học của chúng. Các phương trình vi phân phi tuyến
khó giải hơn nhiều so với các phương trì
nh tuyến tí
nh. Chỉ các phương trình vi
phân tuyến tính mới cho ta những lời giải giải tích chí
nh xác qua việc dùng phép
3
biến đổi Fourier nổi tiếng “phân lời giải thành các sóng phẳng”. Phương pháp
giải tí
ch chỉ cóthể đưa ra trong một số rất í
t các bài toán phi tuyến vàkhông thể
có phương pháp giải chung cho tất cả các bài toán được. Chẳng hạn, phương trình
Schrödinger phi tuyến cóthể giải bằng phương pháp tán xạ ngược nhưng không
áp dụng được cho phương trình Schrödinger phi tuyến suy rộng. Để giải quyết
vấn đề, người ta đã phải vận dụng nhiều phương pháp tính toán gần đúng khác
nhau. Phương pháp hữu hiệu nhất là phương pháp số cùng với việc phát minh ra
các máy tính thế hệ ba cósức tí
nh toán khổng lồ. Chúng đã được sử dụng trong
rất nhiều bài toán thực tế khác nhau vàhiệu quả trong bài toán lan truyền xung và
xét tí
nh chất ổn định của các trạng thái. Mục đích quan trọng của đề tài này làtìm
hiểu vàvận dụng một số phương pháp số để nghiên cứu SSB vàxét tí
nh chất ổn
định của trạng thái trong một số hệ quang học đóng và mở. Chúng tôi sử dụng
ngôn ngữ thông dụng của các tí
nh toán bằng số là ngôn ngữ Matlab để viết
chương trình cho máy tính. Những kết quả này không chỉ mang tí
nh lýthuyết mà
có nhiều hướng ứng dụng to lớn trong kỹ thuật vàcông nghệ như ứng dụng các
solitons vào truyền thông. Các hệ quang học phi tuyến trở nên “phòng thí nghiệm”
cho các nghiên cứu giải tí
ch vàsố đối với phương trình vi phân đạo hàm riêng phi
tuyến hiện nay.
2. Mục tiêu nghiên cứu
2.1. Mục tiêu tổng quát
- Nghiên cứu ảnh hưởng của công suất xung, hằng số lan truyền lên sự phá
vỡ đối xứng tự phát (SSB) trong hệ ống dẫn sóng với sự có mặt của phi tuyến
Kerr vàthế tuyến tính Gauss kép, hệ hai ống dẫn sóng liên kết tuyến tính vàphi
tuyến Kerr biến điệu dạng hàm delta (hai hệ này có Hamiltonian không đổi theo
thời gian - gọi tắt làhệ bảo toàn).
- Nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số điều khiển như cường độ liên kết,
tham số khuếch đại, tham số mất mát, độ rộng của hàm liên kết lên SSB vàquá
trình động lực học của hệ hai vòng cộng hưởng quang học liên kết tuyến tí
nh với
sự có mặt của khuếch đại tuyến tính và mất mát phi tuyến (hệ này có
Hamiltonian thay đổi theo thời gian - gọi tắt làhệ không bảo toàn).
4
2.2. Mục tiêu cụ thể
- Xác định các khoảng tham số như công xuất xung, hằng số lan truyền để
tồn tại các loại trạng thái solitons khác nhau trong hệ bảo toàn.
- Xét tính chất ổn định của các loại trạng thái solitons đồng thời xác định
đặc trưng rẽ nhánh của SSB trong hệ bảo toàn.
- Xác định các vùng tham số điều khiển như: cường độ liên kết, tham số
khuếch đại, mất mát để tồn tại các loại trạng thái dừng, trạng thái dao động,
trạng thái hỗn loạn trong hệ không bảo toàn.
- Thiết lập sơ đồ, giản đồ rẽ nhánh về SSB vàchuyển đổi giữa các trạng
thái trên, xác định kịch bản dẫn tới trạng thái hỗn loạn của hệ không bảo toàn.
3. Đối tượng vàphạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là các hệ quang học có phi tuyến kiểu Kerr và hệ
cộng hưởng vòng quang học kích thước cỡ micro mét với sự cómặt của khuếch
đại tuyến tí
nh vàmất mát phi tuyến.
3.2. Phạm vi nghiên cứu
Phạm vi nghiên cứu làcác hệ quang học được xét trong trường hợp một
chiều vàphi tuyến kiểu Kerr.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp lý thuyết: Sử dụng phương pháp tách biến để giải hệ
phương trình vi phân đạo hàm riêng bậc hai; Tiêu chuẩn ổn định Vakhitov Kolokolov (V-K) để xác định tí
nh chất ổn định của các trạng thái solitons.
- Phương pháp số: Phương pháp thời gian ảo để tìm lời giải solitons trong
môi trường quang học phi tuyến Kerr. Phương pháp tuyến tính hóa trị riêng của
các mode nhiễu loạn và phương pháp Split - Step Fourier (SSF) tiến triển
solitons dưới ảnh hưởng của nhiễu loạn để xác định tí
nh chất ổn định của
solitons. Đồng thời sử dụng phương pháp SSF để tìm trạng thái cuối cùng trong
hệ cộng hưởng vòng quang.
5
5. Bố cục của luận án
Ngoài phần tổng quan vàkết luận chung, luận án gồm có ba chương có nội
dung tóm tắt như sau:
Chương 1. Một số khái niệm cơ bản trong lý thuyết phương trình vi phân
đạo hàm riêng phi tuyến
Trong chương này chúng tôi trì
nh bày những vấn đề sau đây: thứ nhất khái
quát về phương trình đạo hàm riêng phi tuyến, đặc biệt là phương trình
Schrödinger phi tuyến. Đây làphương trình cơ sở của một số hệ quang học phi
tuyến với các phi tuyến bậc ba (gồm phi tuyến Kerr tự hội tụ, tự phân kỳ vàhiện
tượng hấp thụ hai photon được trình bày). Thứ hai làcác phương pháp tính toán
số áp dụng cho phương trình Schrödinger phi tuyến, solitons vàcác loại solitons
cũng được trì
nh bày. Cuối cùng làkhái quát về khái niệm sự phávỡ đối xứng,
giản đồ rẽ nhánh, ý nghĩa của giản đồ rẽ nhánh, trạng thái hỗn loạn vàmột số
kịch bản dẫn tới hỗn loạn.
Chương 2. Sự phá vỡ đối xứng tự phát trong hai hệ quang học phi tuyến
bảo toàn
Chương 2 chúng tôi nghiên cứu sự phávỡ đối xứng trong hai hệ quang học
đó là: hệ thứ nhất làống dẫn sóng cóphi tuyến Kerr đồng nhất vàthế tuyến tính
có dạng hàm Gauss kép, hệ thứ hai là hệ hai ống dẫn sóng song song có phi
tuyến Kerr không đồng nhất vàliên kết tuyến tính. Bằng các phương pháp khác
nhau chúng tôi xét ảnh hưởng của công suất xung, hằng số lan truyền lên sự phá
vỡ đối xứng tự phát, đồng thời xét tính chất ổn định của các trạng thái solitons
của hai hệ bảo toàn trên.
Chương 3. Sự phávỡ đối xứng tự phát trong hệ hai vòng cộng hưởng quang
kích thước cỡ micro mét
Chương này chúng tôi nghiên cứu SSB vàquátrình biến đổi trạng thái của
hệ hai vòng cộng hưởng quang liên kết tuyến tính với nhau. Bằng phương pháp
SSF với kỹ thuật tiến triển theo thời gian với ảnh hưởng của nhiễu loạn, chúng
tôi đi xác định được các vùng tham số tồn tại SSB vàcác loại trạng thái khác
nhau, đồng thời xem xét kịch bản dẫn tới hỗn loạn.
6
Chương 1
MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾN
Mục tiêu chí
nh của chương này làtìm hiểu vàtrình bày các phương pháp
tí
nh toán áp dụng cho phương trình Schrödinger phi tuyến vàxét tí
nh chất ổn
định của các trạng thái. Đồng thời chúng tôi tìm hiểu các khái niệm cơ bản liên
quan đến sự phá vỡ đối xứng sẽ áp dụng để nghiên cứu trong Chương 2 và
Chương 3.
1.1. Phương trình đạo hàm riêng môtả một số hệ vật lý
Hầu hết các hiện tượng vật lý trong thực tế được mô tả bởi các phương
trình đạo hàm riêng. Phương trình cóchứa các đạo hàm riêng của hàm hai hoặc
nhiều biến được gọi là phương trình đạo hàm riêng. Tùy theo cách phân chia mà
phương trình đạo hàm riêng được chia làm các loại khác nhau. Nếu phân chia
theo mức độ phi tuyến chúng ta có phương trình đạo hàm riêng tuyến tí
nh và
phương trình đạo hàm riêng phi tuyến. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính là
phương trình được viết ở dạng chung như sau [32]:
𝐿𝑢(𝑥⃗) = 𝑓(𝑥⃗),
(1.1)
ở đây 𝐿 làmột toán tử tuyến tính, nghĩa làthõa mãn tính chất sau:
𝐿(𝑎𝑢
⃗⃗ + 𝑏𝑣⃗) = 𝑎𝐿𝑢
⃗⃗ + 𝑏𝐿𝑣⃗,
(1.2)
𝑎, 𝑏 làcác hằng số, 𝑢
⃗⃗ và𝑣⃗ làcác hàm riêng. Ngược lại, phương trình đạo hàm
riêng phi tuyến là phương trình không tuyến tính nghĩa là 𝐿 không thõa mãn tính
chất trên.
Nếu phân chia theo sự phụ thuộc vào thời gian, chúng ta có phương trình
biến đổi theo thời gian thì được gọi là phương trình tiến hóa, trái lại thì được gọi
là phương trình dừng. Trong tình huống này người ta thường kíhiệu biến thời
gian là𝑡, các biến còn lại làbiến không gian.
7
Trong nghiên cứu vật lý, bước đầu tiên chúng ta thường thực hiện đó là
toán học hóa các hiện tượng vật lý. Dưới đây làmột số phương trình đạo hàm
riêng môtả các hệ vật lýmà chúng ta thường gặp đó là:
Phương trình Poisson: ∆𝑢 = 𝑓. Phương trình này thường xuất hiện khi
nghiên cứu thế tĩnh điện, từ trường tĩnh, thủy động lực học, thế hấp dẫn,
truyền nhiệt dừng. Đặc biệt, khi 𝑓 = 0 thì phương trình Poisson trở thành
phương trình Laplace;
Phương trinh D’ Alember: ∆𝑢 =
1 𝜕2 𝑢
𝑎2 𝜕𝑡 2
, mô tả quá trì
nh lan truyền sóng
như: sóng đi điện từ, các sóng đàn hồi;
Các phương trình Maxwell mô tả các hiện tượng điện từ;
Phương trình Klein-Gordon: ∆𝜓 −
1 𝜕2 𝜓
𝑐 2 𝜕𝑡 2
− 𝑘02 𝜓 = 0, mô tả chuyển động
của vi hạt trong trường hợp tương đối tính.
Phương trình lan truyền nhiệt, phương trình Korteweg de Vries (KDV)
𝑢𝑡 + 6𝑢𝑢𝑥 + 𝑢𝑥𝑥𝑥 = 0, miêu tả sóng nước ở vùng nước nông.
Phương trình Sine-Gordon 𝑢𝑡𝑡 − 𝑢𝑥𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑢 được ứng dụng trong hì
nh
học vi phân, trong vật lý (miêu tả trong nhiều bối cảnh lan truyền sóng
trên một đường thẳng, không địa phương trong tinh thể, từ trường hóa,…),
Trong vật lý siêu dẫn, Ginzburg-Landau đã đưa ra lý thuyết hiện tượng
luận về chuyển pha siêu dẫn (1951). Giả thuyết của Ginzburg-Landau là
trạng thái siêu dẫn trật tự hơn trạng thái thường như vậy từ lý thuyết
chuyển pha có thể diễn tả được bằng một thông số trật tự (𝜓), phương
trì
nh này códạng:
−
ℏ2
2𝑚
2
⃗⃗ − 𝑖 𝐴⃗] 𝜓(𝑟⃗) + 𝛼𝜓(𝑟⃗) + 𝛽|𝜓(𝑟⃗)|2 𝜓(𝑟⃗) = 0, (1.3)
[∇
𝑐
đây làlần đầu tiên phương trình Schrödinger phi tuyến xuất hiện, đóng vai trò
quan trọng trong các nghiên cứu vật lý hiện đại sau này. Phương trình
Schrödinger phi tuyến và các phương trình dạng của nó (chứa số hạng |𝜓|2 𝜓)
được sử dụng để mô tả nhiều hiện tượng vật lýtrong nhiều lĩnh vực khác nhau
8
như trong cơ học lượng tử, trong quang học, trong vật chất ngưng tụ,….có dạng
như sau:
𝑖𝜓𝑡 = −Δ𝜓 + 𝑎|𝜓|2 𝜓.
(1.4)
Một số hệ quang học phi tuyến được mô tả bởi dạng phương trình Schrödinger
phi tuyến (1.4) sẽ là đối tượng mà chúng tôi quan tâm trong đề tài này, điển hì
nh
làphi tuyến kiểu Kerr.
1.2. Phi tuyến kiểu Kerr và phương trình Schrödinger phi tuyến môtả một
số hệ quang học
1.2.1. Hiệu ứng phi tuyến Kerr
Phi tuyến kiểu Kerr là hiện tượng phi tuyến liên quan đến phân cực phi
tuyến bậc ba của cường độ điện trường [33]. Dưới tác dụng của trường ánh sáng
mạnh, chiết suất hiệu dụng của môi trường phụ thuộc vào cường độ trường ánh
sáng theo hệ thức[33]:
𝑛 = 𝑛0 + 𝑛̅2 〈𝐸̃ (𝑡)2 〉,
(1.5)
trong đó, 𝑛0 làchiết suất tuyến tính, 𝑛̅2 làhệ số môtả tốc độ tăng chiết suất hiệu
dụng với sự tăng của cường độ ánh sáng. Cường độ trường ánh sáng códạng:
𝐸̃ (𝑡) = 𝐸(𝜔)𝑒 −𝑖𝜔𝑡 + 𝑙ℎ𝑝,
(1.6)
trong đó kí hiệu 𝑙ℎ𝑝 nghĩa là liên hợp phức của số hạng đầu.
Do đó:
〈𝐸̃ (𝑡)2 〉 = 2𝐸(𝜔)𝐸 ∗ (𝜔) = 2|𝐸(𝜔)|2 ,
(1.7)
𝑛 = 𝑛0 + 2𝑛̅2 |𝐸(𝜔)|2 .
(1.8)
Sự thay đổi chiết suất hiệu dụng mô tả bởi phương trình (1.8) được gọi làhiệu
ứng phi tuyến Kerr, trong đó chiết suất của môi trường thay đổi một lượng tỷ lệ
với bình phương mô đun của cường độ trường ánh sáng. Như vậy, nếu sự thay
đối chiết suất hiệu dụng được gây ra bởi chính ánh sáng đó thì hiệu ứng được
gọi làtự điều biến pha, còn sự thay đổi chiết suất hiệu dụng được gây bởi chùm
9
ánh sáng khác thìhiệu ứng được gọi là điều biến pha chéo như được môtả trên
Hình 1.1.
Hình 1.1. Hai cách làm thay đổi chiết suất hiệu dụng của môi trường: (a) tự điều
biến pha và (b) điều biến pha chéo [33].
Thành phần phân cực phi tuyến ảnh hưởng đến sự lan truyền của chùm ánh sáng
tần số 𝜔 códạng:
𝑃𝑁𝐿 (𝜔) = 3𝜀0 𝜒 (3) (𝜔)|𝐸(𝜔)|2 𝐸(𝜔),
(1.9)
trong đó 𝜀0 = 8.85 × 10−12 𝐹/𝑚 là độ điện thẩm của chân không.
Độ lớn véctơ phân cực toàn phần của môi trường đối xứng tâm được cho bởi:
𝑃(𝜔) = 𝜀0 𝜒 (1) (𝜔)𝐸(𝜔) + 3𝜀0 𝜒 (3) (𝜔)|𝐸(𝜔)|2 𝐸(𝜔) = 𝜀0 𝜒ℎ𝑑 𝐸(𝜔), (1.10)
trong đó, độ cảm hiệu dụng là[33]:
𝜒ℎ𝑑 = 𝜒 (1) + 3𝜒 (3) |𝐸(𝜔)|2 .
(1.11)
Để tìm hệ thức giữa độ cảm phi tuyến 𝜒 (3) vàhệ số phi tuyến 𝑛2 , chúng ta viết
[33]:
𝑛2 = 1 + 𝜒ℎ𝑑 .
(1.12)
Thay phương trình (1.8) vào vế trái và phương trình (1.11) vào vế phải của
phương trình (1.12), chúng ta được:
[𝑛0 + 2𝑛̅2 |𝐸(𝜔)|2 ]2 = 1 + 𝜒 (1) + 3𝜒 (3) |𝐸(𝜔)|2 .
(1.13)
Sau khi khai triển vàbỏ qua số hạng bậc cao 𝑛̅22 , chúng ta thu được:
𝑛02 = 4𝑛0 𝑛̅2 |𝐸(𝜔)|2 = (1 + 𝜒 (1) ) + 3𝜒 (3) |𝐸(𝜔)|2 . (1.14)
Từ đây, các hệ thức liên hệ giữa chiết suất tuyến tí
nh vàphi tuyến với độ cảm
tuyến tính vàphi tuyến, tương ứng được cho bởi:
10
𝑛0 = √1 + 𝑅𝑒(𝜒 (1) ) ,
𝑛̅2 =
3𝑅𝑒(𝜒(3) )
4𝑛0
.
(1.15)
Kết quả trên đây thu được đối với trường hợp tự điều biến pha như Hình 1.1a.
Tuy nhiên, trong trường hợp điều biến pha chéo như Hình 1.1b, sự có mặt của
trường ánh sáng mạnh với biên độ 𝐸(𝜔) dẫn tới sự thay đổi chiết suất đối với
trường ánh sáng dòvới biên độ 𝐸(𝜔′ ). Thành phần phân cực phi tuyến tác dụng
bởi trường ánh sáng dò được cho bởi [33]:
𝑃𝑁𝐿 (𝜔′ ) = 6𝜀0 𝜒 (3) (𝜔)|𝐸(𝜔)|2 𝐸(𝜔′ ).
(1.16)
Trong trường hợp này độ phân cực lớn hơn hai lần so với trường hợp tự điều
biến pha. Do đó, chiết suất hiệu dụng điều biến pha chéo được cho bởi:
𝑛 = 𝑛0 + 2𝑛̅2𝑐ℎ |𝐸(𝜔)|2 ,
(1.17)
trong đó:
𝑛̅2𝑐ℎ =
3𝑅𝑒(𝜒(3) )
2𝑛0
.
(1.18)
So sánh (1.15) với (1.18) cho thấy hệ số phi tuyến 𝑛̅2𝑐ℎ trong điều biến pha chéo
lớn gấp hai lần hệ số phi tuyến 𝑛2 trong tự điều biến pha. Do đó, trường ánh
sáng mạnh ảnh hưởng lên chiết suất hiệu dụng của trường ánh sáng dò có cùng
tần số sẽ lớn gấp hai lần so với ảnh hưởng lên chính ánh sáng đó.
Mặt khác, sự thay đổi của chiết suất hiệu dụng theo cường độ trường ánh sáng
có thể được biểu diễn bởi hệ thức sau đây [33]:
𝑛 = 𝑛0 + 𝑛2 𝐼,
(1.19)
trong đó, I là cường độ trường ánh sáng tới, 𝑛0 là chiết suất tuyến tính của môi
trường và𝑛2 là hệ số phi tuyến Kerr. Cường độ ánh sáng được liên hệ với bình
phương của mô đun biên độ theo hệ thức [33]:
𝐼 = 2𝑛0 𝜀0 𝑐|𝐸(𝜔)|2 .
(1.20)
So sánh các phương trình (1.8) và (1.19), chúng ta rút ra được:
𝑛2 =
𝑛̅2
𝑛0 𝜀0 𝑐
.
(1.21)
Thay phương trình (1.15) vào phương trình (1.21), chúng ta thu được biểu thức
cho hệ số phi tuyến Kerr (trường hợp tự điều biến pha):
11
𝑛2 =
3
4𝑛02 𝜀0 𝑐
𝑅𝑒(𝜒 (3) ).
(1.22)
Do chiết suất hiệu dụng trong biểu thức (1.21) là đại lượng không thứ nguyên
nên đơn vị của 𝑛2 phải tỷ lệ nghịch với đơn vị của cường độ. Thông thường, đơn
vị của hệ số phi tuyến Kerr được xác định theo [𝑚2 /𝑊] hoặc [𝑐𝑚2 /𝑊].
1.2.2. Hiện tượng hấp thụ hai photon
Hấp thụ hai photon (Two photon absorption - TPA) được định nghĩa là sự
hấp thụ đồng thời của hai photon, có cùng năng lượng hoặc năng lượng khác
nhau, dẫn đến sự kích thích lên trạng thái điện tử cao hơn. Mặc dù hiện tượng
này đã được dự đoán trong lýthuyết vào năm 1931 bởi Maria Göppert - Mayer
[34] vàquan sát bằng thực nghiệm năm 1961 [35]. VìTPA làmột quátrình phi
tuyến bậc ba, trong đó sự hấp thụ trực tiếp tỷ lệ với bình phương cường độ ánh
sáng tới, vìvậy một nguồn sáng mạnh như laser là cần thiết. Ở cường độ ánh
sáng cao, xác suất hấp thụ của hai vànhiều photon cùng một lúc tăng lên. Chúng
ta hãy xem xét sự lan truyền ánh sáng thông qua một mẫu có độ dày 𝑙. Nếu 𝐼𝑖𝑛 là
cường độ ánh sáng trước một mẫu, thìsau mẫu cường độ là[36],
𝐼𝑜𝑢𝑡 = 𝐼𝑖𝑛
(1−𝑅 2 )𝑒 −𝛼𝑙
,
𝛽
𝛼
(1.23)
1+ 𝐼𝑖𝑛 (1−𝑅)(1−𝑒 −𝛼𝑙 )
trong đó 𝑅 làhệ số phản xạ của mẫu, 𝛼 làhệ số hấp thụ tuyến tính và𝛽 làhệ số
đặc trưng cho sự hấp thụ hai photon được gọi làhệ số hấp thụ hai photon. Bỏ
qua sự phản xạ ánh sáng của mẫu vàsự hấp thụ tuyến tính của mẫu người ta có
thể viết một phương trình đơn giản cho cường độ đầu ra trong trường hợp chỉ có
hấp thụ hai photon:
𝐼𝑜𝑢𝑡 ≈
𝐼𝑖𝑛
1+𝛽𝑙𝐼𝑖𝑛
.
(1.24)
Từ đó suy ra được độ hấp thụ hai photon:
𝑎2𝑝ℎ =
𝐼𝑖𝑛 −𝐼𝑜𝑢𝑡
𝐼𝑖𝑛
≈
𝛽𝑙𝐼𝑖𝑛
1+𝛽𝑙𝐼𝑖𝑛
=
1
1+(𝛽𝑙𝐼𝑖𝑛 )−1
.
(1.25)
Độ hấp thụ hai photon phụ thuộc vào cường độ ánh sáng vào. Khi mà𝛽𝑙𝐼𝑖𝑛 nhỏ
thì độ hấp thụ hai photon tỉ lệ thuận với cường độ ánh sáng, hay nói cách khác là
xác suất hấp thụ tỉ lệ thuận với bình phương cường độ, đây là hiện tượng phi
tuyến bậc ba.
12
