CHỦ ĐỀ GÓC, CUNG VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC (Có đáp án)

cos  x  OH
sin  y  OK
sin
tan 
 AT
cos
cos
cot 
 BS
sin

sin

I. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác
1. Định nghĩa các giá trị lượng giác
Cho (OA,OM )   . Giả sử M (x; y) .

tang

I. CHỦ ĐỀ GÓC, CUNG VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

B
K

� 
�
 �  k �
�
� 2
�

T
cotang

S
M


  �k 

O

H

A

cosin

Nhận xét:
  ,  1 �cos �1;  1�sin �1


2

 tan xác định khi  �  k , k �Z  cot xác định khi  �k , k �Z
 sin(  k2 )  sin

 tan(  k )  tan

cot(  k )  cot

cos(  k2 )  cos
2. Dấu của các giá trị lượng giác

Phần tư
Giá trị lượng giác
cos
sin
tan
cot

I

II

III

IV

+
+
+
+

–
+
–
–

–
–

+
+

+
–
–
–

Giá trị lượng giác cung góc liên quan

1. Hai cung đối nhau:
cos(-a) = cosa
sin(-a) = -sina
tan(-a) = -tana
cot(-a) = -cota
2. Hai cung bù nhau
sin(  -a) = sina
cos(  -a) = -cosa
tan(  -a) = -tana
cot(  -a) = -cota

3. Hai cung phụ nhau

cos( -a) = sina
2

sin( -a) = cosa
2

tan( -a) = cota

2

cot( -a) = tana
2

4. Cung hơn hoặc kém 
tan(a+  ) = tana
cot(a+  ) = cota
cos(a+  ) =- cosa
sin(a+  ) = -sina

Phương trình có một công thức nghiệm

, k Z
cosa= 0  a=  k
2
, k Z
cosa= 1  a= k 2
2

cosa=-1  a=   k 2
sina= -1  a =   k 2
, k Z
sina= 0  a =k 

sina= 1  a=  k 2

, k Z
, k Z
, k Z

2

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC HAY DÙNG
1. Công thức cơ bản

2. Công thức nhân đôi

3. Công thức thành tích


sin2a + cos2a = 1
tan a 

sin2a = 2 sina.cosa
cos2a = cos2a – sin2a
= 2 cos2a – 1
= 1 – 2 sin2a

sin a
cos a
; cot a 
cos a
sin a

1
1  tan 2 a
2
cos a
1

1  cot 2 a
2
sin a

suy ra

1  cos2a
2
1

c
os2
a
sin2a =
2

cos2a =

4. Công thức cộng

sina.cosb �cosa.sinb = sin(a �b)
cosa.cosb �cosa.cosb = cos(a mb)

suy ra sina �cosa = 2 sin(a � )
4

cosa �sina = 2 cos(a m )
4
6. Công thức nhân ba

sin3a = 3 sina – 4 sin3a
cos3a = 4 cos3a - 3 cosa

a b
a b
cos
2
2
a b
a b
cosa - cosb = - 2 sin
sin
2
2
a b
a b
sina + sinb = 2 sin
cos
2
2
a b
a b
sina - sinb = 2 cos
sin
2
2
5. Tích thành tổng
1
cosa.cosb = [cos(a-b)+cos(a+b)]
2

1
sina.sinb = [cos(a-b)-cos(a+b)]
2
1
sina.cosb = [sin(a-b)+sin(a+b)]
2
7. Công thức khác
1 sin2x = (sinx cosx)2

cosa + cosb = 2 cos

cos2x = (cosx+sinx) (cosx-sinx)

DẠNG 1: Dấu của các giá trị lượng giác
Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm nhọn của cung (tia
cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các GTLG.
Bài 1. Xác định dấu của các biểu thức sau:
a) A = sin500.cos(3000)
c) C = cot

� 2 �
3
.sin�

�
5
� 3�

21
7

4

4
9
d) D = cos
.sin .tan .cot
5
3
3
5
b) B = sin2150.tan

Bài 2. Cho 00    900 . Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A = sin(  900)

b) B = cos(  450)

c) C = cos(2700   )

d) D = cos(2  900)


. Xét dấu của các biểu thức sau:
2
a) A = cos(   )
b) B = tan(   )
� 2 �
� 3 �
c) C = sin�


d) D = cos�
 �
�
� 5�
� 8�

Bài 3. Cho 0   

Bài 4. Cho tam giác ABC. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A = sin A  sin B  sinC
b) B = sin A.sin B.sinC

A
2

B
2

c) C = cos .cos .cos

C
2

d) D = tan

A
B
C
 tan  tan
2

2
2

DẠNG 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung)
Ta sử dụng các hệ thức liên quan giữa các giá trị lượng giác của một góc, để từ giá trị lượng giác đã
biết suy ra các giá trị lượng giác chưa biết.
I. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại
1. Cho biết sin , tính cos , tan , cot

 Từ sin2   cos2   1  cos  � 1 sin2  .
– Nếu  thuộc góc phần tư I hoặc IV thì cos  1 sin2  .


– Nếu  thuộc góc phần tư II hoặc III thì cos   1 sin2  .

 Tính tan 

sin
;
cos

cot 

2. Cho biết cos , tính sin , tan , cot

1
.
tan

 Từ sin2   cos2   1  sin  � 1 cos2  .

– Nếu  thuộc góc phần tư I hoặc II thì sin  1 cos2  .
– Nếu  thuộc góc phần tư III hoặc IV thì sin   1 cos2  .

 Tính tan 

sin
;
cos

cot 

3. Cho biết tan , tính sin , cos , cot

 Tính cot 
 Từ

1
cos2 

1
.
tan

1
.
tan

 1 tan2   cos  �

1

.

1 tan2 

1

– Nếu  thuộc góc phần tư I hoặc IV thì cos 

.

1 tan2 
1
– Nếu  thuộc góc phần tư II hoặc III thì cos  
.
1 tan2 
 Tính sin  tan .cos .
4. Cho biết cot , tính sin , cos , tan

 Tính tan 
 Từ

1
sin2 

1
.
cot

 1 cot2   sin  �

1
1 cot2 

– Nếu  thuộc góc phần tư I hoặc II thì sin 

.

1

.

1 cot2 
1
– Nếu  thuộc góc phần tư III hoặc IV thì sin  
.
1 cot2 
II. Cho biết một giá trị lượng giác, tính giá trị của một biểu thức
 Cách 1: Từ GTLG đã biết, tính các GTLG có trong biểu thức, rồi thay vào biểu thức.
 Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG đã biết
III. Tính giá trị một biểu thức lượng giác khi biết tổng – hiệu các GTLG
Ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi:

A2  B2  ( A  B)2  2AB
A4  B4  (A2  B2)2  2A2B2
A3  B3  (A  B)(A2  AB  B2)

A3  B3  ( A  B)(A2  AB  B2)

IV. Tính giá trị của biểu thức bằng cách giải phương trình

 Đặt t  sin2 x, 0 �t �1  cos2 x  t . Thế vào giả thiết, tìm được t.
Biểu diễn biểu thức cần tính theo t và thay giá trị của t vào để tính.
 Thiết lập phương trình bậc hai: t2  St  P  0 với S  x  y; P  xy . Từ đó tìm x, y.
Bài 1. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại, với:
a) cosa 

4
, 2700  a  3600
5

b) cos 

2
5

,


  0
2


5 
,  a 
13 2
3
e) tana  3,   a 
2
c) sina 

g) cot150  2  3

1
3

d) sin   , 1800    2700


 
2
3
h) cot  3,    
2
f) tan  2,

DẠNG 3: Tính giá trị lượng giác của biểu thức bằng các cung liên kết
Sử dụng công thức các góc (cung) có liên quan đặc biệt (cung liên kết).
Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau:

�
�2

�
�

a) A  cos�  x�
 cos(2  x)  cos(3  x)

�7

�
�3
�
 x� cot �  x�
�2
�
�2
�
�
�
�3
�
�
�
c) C  2sin�  x�
 sin(5  x)  sin�  x� cos�  x�
�2
�
�2
�
�2
�
�3
�
�3
�
d) D  cos(5  x)  sin�  x�
 tan�  x� cot(3  x)
�2
�

�2
�
b) B  2cos x  3cos(  x)  5sin�

DẠNG 4: Rút gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác
Sử dụng các hệ thức cơ bản, công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác. Trong khi biến
đổi biểu thức, ta thường sử dụng các hằng đẳng thức.
Chú ý: Nếu là biểu thức lượng giác đối với các góc A, B, C trong tam giác ABC thì:

A  B  C   và

A B C 
  
2 2 2 2

Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) sin4 x  cos4 x  1 2cos2 x
b) sin4 x  cos4 x  1 2cos2 x.sin2 x
c) sin6 x  cos6 x  1 3sin2 x.cos2 x
d) sin8 x  cos8 x  1 4sin2 x.cos2 x  2sin4 x.cos4 x
e) cot2 x  cos2 x  cos2 x.cot2 x
f) tan2 x  sin2 x  tan2 x.sin2 x
g) 1 sin x  cos x  tan x  (1 cos x)(1 tan x)
Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) tana.tan b 
c) 1

tana  tan b
cot a  cot b

sin2 a
cos2 a

 sina.cosa
1 cot a 1 tana

Bài 3.Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:

�
3 
�khi sin  ,    
3�
5 2
�
�
12 3
b) cos�   �khi sin   ,
   2
�3
�
13 2
�
�

a) tan�


sina
cosa
1 cot2 a



sina  cosa cosa  sina 1 cot2 a
sin2 a
sina  cosa
d)

 sina  cosa
sina  cosa tan2 a  1
b)

38 25 3
11
(5 12 3)
ĐS:
26
ĐS:

Bai 4.Chứng minh các hệ thức sau:
a) sin4  cos4 x 

3 1
 cos4x
4 4

b) sin6 x  cos6 x 

5 3
 cos4x
8 8

Bai 5.Rút gọn các biểu thức sau:

cos7x  cos8x  cos9x  cos10x
sin7x  sin8x  sin9x  sin10x
1 cos x  cos2x  cos3x
c) C 
cos x  2cos2 x  1

a) A 

sin2x  2sin3x  sin4x
sin3x  2sin4x  sin5x
sin4x  sin5x  sin6x
d) D 
cos4x  cos5x  cos6x
b) B 

Bai 6.Cho tam giác ABC. Chứng minh:

A
B
C
cos cos
2
2
2
A
B C

b) cos A  cosB  cosC  1 4sin sin sin
2
2
2
c) sin2A  sin2B  sin2C  4sin A.sin B.sinC
a) sin A  sin B  sinC  4cos

Bai 7.Tìm các góc của tam giác ABC, biết:


1
va�
sin B.sinC  .
3
2
2
1 3
b) B  C 
va�
sinB.cosC 
.
3
4
a) B  C 

Đáp án bài tập
Dạng 1:
Bài 1. a)
b)
c)

d)
Bài 2. a)
b)
c)

d)

Bài 3. a)
b)
c)




, C  , A
2
6
3

5

ĐS: A  , B 
,C
3
12
4
ĐS: B 


d)

Bài 4.

Vì

nên

Do đó:

Mặt khác:

⇒

Do đó:
Dạng 2.
Bài 1. a)
Vì α thuộc góc phần tư IV nên:
⇒

b)
Vì α thuộc góc phần tư IV nên:
⇒
c)
Vì α thuộc góc phần tư II nên:
⇒
d)
Vì α thuộc góc phần tư III nên:
⇒
e)

⇒
Vì α thuộc góc phần tư III nên:
⇒
f)
⇒
Vì α thuộc góc phần tư II nên:
⇒
g)
⇒

;

h)

Vì α thuộc góc phần tư III nên:
⇒
Dạng 3.
Bài 1.
a)

b)

c)

;


d)

Dạng 4.

Bài 1. a)

b)
(luôn đúng)
c)

d)

e)

f)

g)

Bài 2.
a)


b) Xét

c)

d)

Bài 3. a)
Vì

⇒
b)

thuộc góc phần tư II nên

(đáp số trong đề bị sai)


Vì

thuộc góc phần tư IV nên

⇒
Bài 4.
a) Đặt

⇒
b)

Bài 5.
a)

b)

c)

d)

(đpcm)


Bài 6. a)

b)

c)

Bài 7.
a) Ta có:

⇒

⇒

⇒
b) Ta có:
⇒
Mặt khác có

(2)


Từ (1) và (2) suy ra