đề thi HSG lớp 9( có đáp án)

THI HS Toán lớp 9
Thời gian làm bài : 150 phút
(không kể thời gian giao đề)
Đề bài
Bài 1 (
5 điểm
) Cho biểu thức
A =
a
a
a
a
aa
a

+


+

+

3
12
2
3
65
92
với
9,4,0

aaa
.
a, Rút gọn biểu thức A.
b, Tìm giá trị của
a
để A< 1.
c, Tìm giá trị nguyên của
a
để A có gía trị là một số nguyên.
Bài 2 (
4 điểm
) Cho hệ phơng trình



+=+
=
12
2
ayx
ayax
a, Giải hệ phơng trình khi
2
=
a
.
b, Tìm
a
để hệ có nghiệm thoả mãn

1
=
yx
.
Bài 3 (
3 điểm
) Cho bốn số thực
dcba ,,,
thoả mãn đồng thời:
7
=+++
dcba
và
13
2222
=+++
dcba
. Hỏi
a
có thể nhận giá trị lớn nhất là bao
nhiêu?
Bài 4 (
4 điểm
) Từ điểm K bất kì trên đờng tròn tâm O đờng kính AB =
2R. Vẽ KH vuông góc với tiếp tuyến Bx của đờng tròn. Giả sử góc KAB
bằng

độ ( 0 <

< 90 ).

a, Tính KA, KB, KH theo R và

.
b, Tính KH theo R và 2

.
c, Chứng minh rằng: cos 2

= 1 2sin
2

cos 2

= 2 cos
2

- 1
Bài 5 (
4 điểm
)Cho đờng tròn tâm O bán kính R, A là điểm cố định trên
đờng tròn. Vẽ tiếp tuyến Ax, lấy điểm M bất kì trên Ax, vẽ tiếp tuyến
thứ hai MB với đờng tròn (B là tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của MA,
BI cắt đờng tròn ở K, tia MK cắt đờng tròn ở C. Chứng minh rằng:
a, Tam giác MIK đồng dạng với tam giác BIM.
b, BC song song với MA.
c, Khi điểm M di động trên Ax thì trực tâm H của tam giác
MAB thuộc đờng tròn cố định.

hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi
Môn Toán lớp 9

Bài 1( 5 điểm )
a, ( 2 điểm )
Với a
0

và a

4 ; a

9 thì
A =
)3)(2(
)2)(12()3)(3(92

+++
aa
aaaaa

0,5đ
=
)3)(2(
242992

+++
aa
aaaaa
0,5đ
=
)3)(2(
2

aa
aa
0,25đ
=
)3)(2(
)2)(1(

+
aa
aa
0,5đ
=
3
1

+
a
a
0,25đ
b, (1 điểm)
Với a
0

và a

4 ; a

9 thì

A < 1


3
1

+
a
a
< 1

0
3
31
<

++
a
aa

3
4

a
< 0
0,5đ


03
<

a



3
<
a


a < 9
0,25đ
Kết hợp với điều kiện ta có
90
<
a
và a

4
0,25đ
c, (2 điểm)
Ta có A =
3
4
1

+
a
0,5đ
Với a nguyên, a
0

và a

4 ; a

9 thì A có giá trị nguyên khi và
chỉ khi
3

a
là ớc của 4
0,25đ
Do đó
3

a
nhận các giá trị
;1


2

;
4

;1

0,5đ
Từ đó a nhận giá trị : 1; 4; 16; 25; 49
0,5đ

Vì a

4 nên a nhận các giá trị 1; 16; 25; 49
0,25đ
Bài 2 (4 điểm)
a, (2 điểm)
Thay a =
2
vào hệ phơng trình đợc:





+=+
=
122
222
yx
yx
0,25đ





+=+
=
22224
222

yx
yx

0,25đ





=
+=
222
223)42(
yx
x
0,25đ
Tìm đợc
42
223

+
=
x
0,5đ
Tìm đợc
42
232

+
=

y
0,5đ
KL
0,25đ
b, (2 điểm)
Từ x y = 1

y = x 1 thay vào hệ PT đợc



+=+
=
1)1(2
)1(2
axx
axax
0,25đ



+=
=
2
2)2(
ax
axa


a

2
+ a - 6 = 0
0,5đ
(a 2)(a + 3) = 0
0,5đ
Tìm đợc a= -3; 2
0,5đ
KL
0,25đ
Bài 3 (3 điểm)
Từ a +b+c+d = 7

b+c+d = 7 a
0,25đ
(b+c+d)
2
= b
2
+ c
2
+ d
2
+ 2bc +2cd + 2bd
0,25đ
mà (b c )
2

0

; (c - d )

2

0

;(d - b )
2

0

;


b
2
+ c
2

2bc; c
2
+ d
2

2cd; d
2
+ b
2

2bd;
0,75đ
Từ đó (b+c+d)

2


3(b
2
+ c
2
+ d
2
)
0,5đ

(7 - a)
2


3(13 a
2
)
0,25đ
(a 1)(a-
2
5
)

0
0,5đ
Tìm đợc 1

a

2
5

0,25đ
do đó a có thể nhận giá trị lớn nhất là
2
5
0,25đ
Bài 4 (4 điểm)
a, (1,5 điểm)
Lập luận để có

AKB = 90
0
(0,25đ);

KAB =

KBH (0,25đ);
Xét

AKB vuông tại H có
KA = AB cos

= 2R cos

(0,25đ);
KB = AB sin

= 2R sin

(0,25đ);
Xét

KHB vuông tại H có
KH = KB sin

(0,25đ) = 2R sin
2

(0,25đ);
b, (1 điểm)
Vẽ KO; KC

AB xét

KCO vuông tại C có OC = OK cos2

(0,5đ);
Lập luận có KH = CB (0,25đ) = R - Rcos2

= R(1 - cos2

) (0,25đ);
c, (1,5 điểm)
Theo câu a có KH = 2R sin
2

theo câu b có KH = R(1 - cos2

)
(0,25đ);
nên 2R sin
2

= R(1 - cos2

) (0,25đ) do đó cos2

= 1 - 2sin
2

(0,25đ);

x
H
K
C
O
B
A
Mặt khác áp dụng định lí Pitago vào tam giác AKB vuông tại K chứng
minh đợc
sin
2

+ cos
2

= 1 nên sin
2

= 1 - cos
2


(0,25đ);
Từ đó có cos2

= 1 2(1 cos
2

) = 2 cos
2

- 1 (0,5đ);
Bài 5 (4 điểm)
a, (2 điểm)
Chứng minh đợc

IAK đồng dạng với

IBA (0,5đ)

IA
2
= IK.IB , mà I là trung điểm của AM

nên IM
2
= IK.IB (0,5đ)
Chứng minh đợc

MIK đồng dạng với

BIM (1đ)
b, (1điểm)
Từ câu a



IMK =

MBI , lại có

MBI =

BCK(0,5đ);



IMK =

BCK

BC // MA(0,5đ);
c, (1 điểm)
H là trực tâm của

MAB

tứ giác AOBH là hình thoi (0,5đ);

AH = AO =R

H

(A;R) cố định
C
K
I
O
B
x
M
A