PHÂN DẠNG đề CƯƠNG ôn tập TOÁN 9 HKII (2019 2020)

Năm học: 2019 – 2020
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II – NĂM HỌC : 2019 – 2020
MÔN: TOÁN 9
A. LÝ THUYẾT:

ĐẠI SỐ
GIẢI HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1. Phương pháp thế
+ Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là PT (1)), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia, rồi
thế vào phương trình thứ hai (PT (2)) để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).
+ Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho PT (2) trong hệ (PT (1) cũng thường được
thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia).
2. Phương pháp cộng đại số:
+ Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một
phương trình mới.
+ Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (giữ
nguyên phương trình kia).
* Chú ý:
- Trong phương pháp cộng đại số, trước khi thực hiện bước 1, có thể nhân hai vế của mỗi
phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai
phương trình của hệ là bằng nhau hoặc đối nhau.
- Đôi khi ta có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương
trình với hai ẩn mới, rồi sau đó sử dụng một trong hai phương pháp giải ở trên.
I. VẼ ĐỒ THỊ & TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA
(P): y = ax2 (a ≠ 0) VÀ (D): y = ax + b (a ≠ 0)
1.Hàm số y = ax2(a ≠ 0):
Hàm số y = ax2(a ≠ 0) có những tính chất sau:
• Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0.
• Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0.
Đồ thị của hàm số y = ax2(a ≠ 0):
• Là một Parabol (P) với đỉnh là gốc tọa độ 0 và nhận trục Oy làm trục đối xứng.

• Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành. 0 là điểm thấp nhất của đồ thị.
• Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành. 0 là điểm cao nhất của đồ thị.
Vẽ đồ thị của hàm số y = ax2 (a ≠ 0):
• Lập bảng các giá trị tương ứng của (P).
• Dựa và bảng giá trị → vẽ (P).
2. Tìm giao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax2(a ≠ 0) và (D): y = ax + b:
• Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D): cho 2 vế phải của 2 hàm số bằng
nhau → đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0.
• Giải pt hoành độ giao điểm:
+ Nếu ∆ > 0 ⇒ pt có 2 nghiệm phân biệt ⇒ (D) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
+ Nếu ∆ = 0 ⇒ pt có nghiệm kép ⇒ (D) và (P) tiếp xúc nhau.
+ Nếu ∆ < 0 ⇒ pt vô nghiệm ⇒ (D) và (P) không giao nhau.
3. Xác định số giao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax2(a ≠ 0) và (Dm) theo tham số m:
• Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (Dm): cho 2 vế phải của 2 hàm số bằng
→ đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0.
nhau
• Lập ∆ (hoặc ∆ ' ) của pt hoành độ giao điểm.
• Biện luận:
+ (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi ∆ > 0 → giải bất pt → tìm m.
+ (Dm) tiếp xúc (P) tại 1 điểm ∆ = 0 → giải pt → tìm m.
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 HKII
Trang 1


Năm học: 2019 – 2020
+ (Dm) và (P) không giao nhau khi ∆ < 0 → giải bất pt → tìm m.
BÀI TẬP VẬN DỤNG
2

x

có đồ thị (P) và y = -x + m có đồ thị (Dm).
2
1. Với m = 4, vẽ (P) và (D4) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy. Xác định tọa độ các
giao điểm của chúng.
2. Xác định giá trị của m để:
a) (Dm) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng 1.
b) (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
c) (Dm) tiếp xúc (P). Xác định tọa độ tiếp điểm.
HD: 1. Tọa độ giao điểm: (2 ; 2) và (– 4 ; 8).
3
2a). m = .
2
1
2b) ∆ ' = 1 + 2m > 0 ⇒ m > − .
2
1
1
2c) m = − → tọa độ tiếp điểm (-1 ; ).
2
2
Bài tập 2: Cho hai hàm số y = – 2x2 có đồ thị (P) và y = – 3x + m có đồ thị (Dm).
1. Khi m = 1, vẽ (P) và (D 1) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy. Xác định tọa độ các
giao điểm của chúng.
2. Xác định giá trị của m để:
1
a) (Dm) đi qua một điểm trên (P) tại điểm có hoành độ bằng − .
2
b) (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
c) (Dm) tiếp xúc (P). Xác định tọa độ tiếp điểm.
1

1
HD: 1. Tọa độ giao điểm: ( ; − ;) và (1 ; – 2).
2
2
2a). m = – 2.
9
2b) m < .
8
9
3
9
→ tọa độ tiếp điểm ( ; − ).
2c) m =
8
4
8
2
Bài tập 3: Cho hàm số y = – 2x có đồ thị (P).
1. Vẽ (P) trên một hệ trục tọa độ vuông góc..
2
2. Gọi A( − ; −7 ) và B(2; 1).
3
a) Viết phương trình đường thẳng AB.
b) Xác định tọa độ các giao điểm của đường thẳng AB và (P).
3. Tìm điểm trên (P) có tổng hoành độ và tung độ của nó bằng – 6.
HD: 2a). Đường thẳng AB có phương trình y = = 3x – 5.
5
25
2b). Tọa độ giao điểm: (1;– 2) và ( − ; −
).

2
2
3. Gọi M(xM; yM) là điểm trên (P) thỏa đề bài, ta có: xM + yM = – 6.
2
2
Mặt khác: M(xM; yM) ∈ (P) ⇒ yM = – 2 xM nên: xM + yM = – 6 ⇔ xM + (– 2 xM ) = – 6
Bài tập 1: Cho hai hàm số y =

⇔– 2x

2
M

 x1 = 2 ⇒ y1 = − 8
+ xM + 6 = 0 ⇒ 
.
 x2 = − 3 ⇒ y2 = − 9

2
2

3 9
Vậy có 2 điểm thỏa đề bài: M1(2; – 8 ) và M2( − ; − ).
2
2
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 HKII

Trang 2

Năm học: 2019 – 2020
3
1
Bài tập 4: Cho hàm số y = − x2 có đồ thị (P) và y = – 2x + có đồ thị (D).
2
2
1. Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc.
2. Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (D).
3. Tìm tọa độ những điểm trên (P) thỏa tính chất tổng hoành độ và tung độ của điểm đó bằng –
4.
1
1
3
HD: 2. Tọa độ giao điểm: ( ; − ) và (1 ; − ).
3
6
2
3. Gọi M(xM; yM) là điểm trên (P) thỏa đề bài, ta có: xM + yM = – 4.
3 2
3 2
Mặt khác: M(xM; yM) ∈ (P) ⇒ yM = − xM nên: xM + yM = – 4 ⇔ xM +( − xM ) = – 4
2
2
4
8

x1 = − ⇒ y1 = −
3 2

⇔ − xM + xM + 4 = 0 ⇒

3
3 .

2
 x2 = 2 ⇒ y2 = − 6
4 8
Vậy có 2 điểm thỏa đề bài: M1( − ; − ) và M2(2; – 6).
3 3
2
5
Bài tập 5: Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) và y = x + có đồ thị (D).
3
3
1. Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc.
2. Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (D).
 x A = xB
3. Gọi A là điểm ∈ (P) và B là điểm ∈ (D) sao cho 
. Xác định tọa độ của A và B.
11y A = 8 yB
2
5 25
HD: 2. Tọa độ giao điểm: ( −1 ; ) và ( ;
).
3
2 6
3. Đặt xA = xB = t.
2
2
• A(xA; yA) ∈ (P) ⇒ yA = xA2 = t2.
3

3
5
5
• B(xB; yB) ∈ (D) ⇒ yB = xB + = t +
3
3
t1 = 2
2 2
5
22 2
40
t − 8t −
=0 ⇒ 
• Theo đề bài: 11 y A = 8 y B ⇔ 11. t = 8.( t + ) ⇔
.
t2 = − 10
3
3
3
3

11
8
8

 x A = 2 ⇒ y A = 3 ⇒ A( 2; 3 )
• Với t = 2 ⇒ 
.
 x = 2 ⇒ y = 11 ⇒ B( 2; 11)
B

 B
3
3
10
200
10 200

xA = − ⇒ y A =
⇒ A( − ;
)

10

11
363
11 363
⇒
• Với t = −
.
10
25
10
25
11
x = − ⇒ y =
⇒ B( − ; )
B
 B
11
33

11 33
Bài tập 6: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho hai điểm A(1; –2) và B(–2; 3).
1. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A, B.
2. Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = –2x2.
a) Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ đã cho.
b) Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d).
5
1
HD: 1. Phương trình đường thẳng AB: y = − x − .
3
3
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 HKII

Trang 3


Năm học: 2019 – 2020
1
1
2. Tọa độ giao điểm: (1; –2) và ( − ; − ).
6
18
Bài tập 7: Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = –2x2 trên mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy.
1. Gọi (D) là đường thẳng đi qua điểm A(–2; –1) và có hệ số góc k.
a) Viết phương trình đường thẳng (D).
b) Tìm k để (D) đi qua B nằm trên (P) biết hoành độ của B là 1.
HD: 2a).
• Phương trình đường thẳng (D) có dạng tổng quát: y = ax + b.
• (D) có hệ số góc k ⇒ (D): y = kx + b.
• (D) đi qua A(–2; –1) ⇒ –1 = k.( –2) + b ⇒ b = 2k – 1.

• Phương trình đường thẳng (D): y = kx + 2 k – 1.
2b)
• Điểm B(xB; yB) ∈ (P) ⇒ B(1; – 2).
1
• (D) đi qua B(1; –2) nên: –2 = k.1 +2k – 1 ⇒ k = − .
3
Bài tập 8: Cho hai hàm số y = x2 có đồ thị (P) và y = x + 2 có đồ thị (D).
1. Vẽ (P) và(D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy. Xác định tọa độ các giao điểm
của chúng.
2. Gọi A là điểm thuộc (D) có hoành độ bằng 5 và B là điểm thuộc (P) có hoành độ bằng – 2.
Xác định tọa độ của A, B.
3. Tìm tọa độ của điểm I nằm trên trục tung sao cho: IA + IB nhỏ nhất.
HD: 1. Tọa độ giao điểm: (2; 4) và (–1; 1).
2. Tọa độ của A(5; 7) và B(– 2 ; 4)
3.
• I(xI, yI) ∈ Oy ⇒ I(0: yI).
• IA + IB nhỏ nhất khi ba điểm I, A, B thẳng hàng.

3
34
x+
.
7
7
3
34 34
34
⇒ I(0;
• I(xI, yI) ∈ đường thẳng AB nên: yI = .0 +
=

)
7
7
7
7
• Phương trình đường thẳng AB: y =

Bài tập 9: Cho hàm số y = – x2 có đồ thị (P) và y = x – 2 có đồ thị (D).
a) Vẽ (P) và(D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc. Xác định tọa độ giao điểm của (P) và
(D) bằng phương pháp đại số.
b) Gọi A là một điểm thuộc (D) có tung độ bằng 1 và B là một điểm thuộc (P) có hoành độ bằng
– 1. Xác định tọa độ của A và B.
c) Tìm tọa độ của điểm M thuộc trục hoành sao cho MA + MB nhỏ nhất.
HD: a) Tọa độ giao điểm: (2; – 4) và (–1; 1).
b) Tọa độ của A(3; 1) và B(– 1 ; – 1).
c)
• yA = 1 > 0, yB = – 1 < 0 ⇒ A, B nằm khác phía đối với trục Ox do đó MA + MB nhỏ
nhất khi M, A, B thẳng hàng ⇒ M là giao điểm của AB với truc Ox.
• Đường thẳng AB có dạng: y = ax + b. Đường thẳng AB đi qua hai điểm A, B

1

a=

1 = 3a + b

2 →
⇒ 
⇔
Đường thẳng AB: y =

1
 −1 = − a + b
b = −

2
1
1

y =
y = x −
• Tọa độ M là nghiệm của hệ pt: 
2
2 ⇔
x =
 y = 0
•

1
1
x –
.
2
2
0
.
1

Vậy: M(1; 0).

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 HKII

Trang 4


Năm học: 2019 – 2020
2

Bài tập 10: Cho (P): y = x và (D): y = – x + 2.
1. Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy. Gọi A và B là các giao điểm của
(P) và (D), xác định tọa độ của A, B.
2. Tính diện tích tam giác AOB (đơn vị đo trên trục số là cm).
3. CMR: Tam giác AOB là tam giác vuông.
HD: 1. Tọa độ giao điểm: (1; 1)và (– 2; 4).
2. Gọi H, K là hình chiếu của A, B trên trục Ox, ta có:
•
•
•
•
•
3.

1
1
1
OH.OA = .1. 1 = (cm2).
2
2
2
1
1

OK.KB = .2. 4 = 4 (cm2).
∆ OKB vuông tại K ⇒ SOKB =
2
2
⇒
Gọi I là giao điểm của (D) với trục Ox
yI = 0 ⇒ xI = 2 ⇒ I(2; 0).
1
1
BK.KI = .4. 4 = 8 (cm2).
∆ IKB vuông tại K ⇒ SIKB =
2
2
1
SOAB = SIKB – (SOHA + SOKB ) = 8 – ( + 4) = 3,5 (cm2).
2
∆ OHA vuông tại H ⇒ SOHA =

•
•
•

Phương trình đường thẳng OA: y = a’x (D’).
(D’) đi qua A(1; 1) ⇒ a = 1 ⇒ (D’): y = x.
(D) có a = – 1 và (D’) có a’ = 1 → a. a’ = – 1 ⇒ (D) ⊥ (D’)
⇒ OA ⊥ AB ⇒ ∆ OAB vuông tại A.
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

1. Định nghĩa
Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0, trong đó x là ẩn; a, b,

c là những số cho trước gọi là các hệ số và a ≠ 0.
2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
a. Nhẩm nghiệm:
 x1 = 1
• a + b +c = 0 ⇒ pt (1) có 2 nghiệm: 
.
 x2 = c
a

 x1 = − 1
• a – b +c = 0 ⇒ pt (1) có 2 nghiệm: 
.
 x2 = − c
a

b) Giải với ∆ :
Tính ∆ : ∆ = b2 – 4ac.
− b+ ∆
− b− ∆
• Nếu ∆ > 0 ⇒ phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 =
; x2 =
2a
2a
−b
• Nếu ∆ = 0 ⇒ phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = .
2a
⇒
• Nếu ∆ < 0
phương trình vô nghiệm.
* Chú ý: Nếu phương trình có a và c trái dấu thì ∆ > 0. Khi đó phương trình có 2 nghiệm phân

biệt.

c) Giải với ∆ ' :
Nếu b = 2b’ ⇒ b’ =

b
⇒ ∆ ' = (b’)2 – ac.
2

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 HKII

Trang 5


Năm học: 2019 – 2020

• Nếu ∆ ' > 0 ⇒ phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 =

− b'+ ∆ '
−b'− ∆ '
; x2 =
a
a

• Nếu ∆ ' = 0 ⇒ phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
• Nếu ∆ ' < 0 ⇒ phương trình vô nghiệm.

−b'
.

a

3. 1. Định lí Vi –ét:
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì:

b

S = x1 + x 2 =−


a

c
P = x x =
1 2

a


*Chú ý: Để kiểm tra phương trình bậc hai có nghiệm, ta kiểm tra một trong hai cách sau:
1) a.c<0 thì PT có hai nghiệm phân biệt.
2) ∆ ≥ 0 hoặc ∆’ ≥ 0 thì PT co hai nghiệm.
3.2. Định lí Vi –ét đảo:

u + v = S 2
S ≥ 4P ) thì u, v là hai nghiệm của phương trình x2
(
uv = P

Nếu có hai số u và v sao cho 

– Sx + P = 0.

* Một số hệ thức khi áp dụng hệ thức Vi-ét:
• Tổng bình phương các nghiệm: x12 + x22 = (x1 + x2 )2 − 2x1x2 = S2 – 2P.
• Tổng nghịch đảo các nghiệm:

1 1 x1 + x2 S
+
=
= .
x1 x2
x1x2
P

• Tổng nghịch đảo bình phương các nghiệm:

1
1
x12 + x22 S2 − 2P
+
=
=
.
x12 x22 (x1x2 )2
P2

• Bình phương của hiệu các nghiệm: (x1 − x2 )2 = (x1 + x2 )2 − 4x1x2 = S2 – 4P.
• Tổng lập phương các nghiệm: x13 + x23 = (x1 + x2 )3 − 3x1x2(x1 + x2 ) = S3 – 3PS
Ví dụ: Cho phương trình x2 – 12x + 35 = 0. Hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
2

2
a) x1 + x2 .

b)

1 1
+ .
x1 x2

2
c) (x1 − x2 )

3
3
d) x1 + x2

Giải:
Phương trình có ∆ ' = 1 > 0
b

 S = x1 + x2 = − a = 12
⇒ pt có 2 nghiệm, áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1): 
.
 P = x x = c = 35
1 2

a
2
2
2

2
2
a) x1 + x2 = (x1 + x2 ) − 2x1x2 = S – 2P = 12 – 2.35 = 74.
1 1 x1 + x2 S 12
= =
b) + =
.
x1 x2
x1x2
P 35

c) (x1 − x2 ) = (x1 + x2 ) − 4x1x2 = S -4P = 122 – 4.35 = 4.
3
3
3
d) x1 + x2 = (x1 + x2 ) − 3x1x2(x1 + x2 ) = S3 – 3PS = 123 – 3.35.12 = 468.
4. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập đối với tham số: (Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm
x1, x2 không phụ thuộc vào tham số).
* Phương pháp giải:
• Tìm điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm ( ∆ ' ≥ 0 ; ∆ ≥ 0 hoặc a.c < 0).
2

2

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 HKII

2

Trang 6

Năm học: 2019 – 2020
b

 S = x1 + x2 = − a
Lập hệ thức Vi-ét cho phương trình 
.
P = x x = c
1 2

a

•

• Khử tham số (bằng phương pháp cộng đại số) tìm hệ thức liên hệ giữa S và P →
Đó là hệ thức độc lập với tham số.
Ví dụ: Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (1) (m là tham số).
1. CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
2. Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của pt (1). Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc
vào m.
Giải:
1. Phương trình (1) có ∆ = b2 – 4ac = + (2m – 1)2 – 4.2.(m – 1) = 4m2 – 12m + 9 = (2m
– 3)2 ≥ 0, ∀ m.
Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
2. Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (1):
b − 2m+ 1

 S = x1 + x2 = − a =
2S = − 2m+ 1
2

⇔

2P = m− 1
 P = x x = c = m− 1
1 2

a
2
2S = − 2m+ 1
⇔
⇒ 2S + 4P = -1. Hay: 2(x1 + x2) + 4x1x2 = -1 : Đây là hệ thức cần tìm.
4
P
=
2
m
−
2


5. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng – Lập phương trình bâc hai khi biết hai nghiệm
của nó:
* Phương pháp giải:
 u+ v = S
⇒ u, v là hai nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P
uv
.
=
P


• Nếu 2 số u và v c ó: 

= 0 (*).
• Giải pt (*):
+ Nếu ∆ ' > 0 (hoặc ∆ > 0) ⇒ pt (*) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.
u= x1
u= x2
hoặc 
.
 v= x2
 v= x1

Vậy 

+ Nếu ∆ ' = 0 (hoặc ∆ = 0) ⇒ pt (*) có nghiệm kép x1 = x2 = −

b'
b'
. Vậy u = v = − .
a
a

+ Nếu ∆ ' < 0 (hoặc ∆ < 0) ⇒ pt (*) vô nghiệm. Vậy không có 2 số u, v thỏa đề bài.
Ví dụ 1: Tìm 2 số u,v biết u + v = 11 và u.v = 28

Giải:
Theo đề bài ⇒ u, v là hai nghiệm của phương trình: x 2 – Sx + P = 0 ⇔ x2 – 11x + 28 =
0(*)
 x1 = 7

Phương trình (*) có ∆ = 9 > 0 ⇒ ∆ = 3 ⇒ 
u = 7
u = 4
hay 
v = 4
v = 7
Ví dụ 2: Cho hai số a = 3 +1 và b = 3 –

 x2 = 4

.

Vậy: 

3 . Viết phương trình bậc hai có hai nghiệm là a và

b.
Giải:
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 HKII

Trang 7


Năm học: 2019 – 2020

• a + b = ( 3 +1) + (3 – 3 ) = 4.
• a.b = ( 3 +1). (3 – 3 ) = 2 3 .
Suy ra: a, b là 2 nghiệm của phương trình: x 2 – Sx + P = 0 ⇔ x2 – 4x + 2 3 = 0: Đây là
pt cần tìm.

6. Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai
Cho phương trình bậc hai:
(1)
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
(1) có hai nghiệm trái dấu
⇔P < 0 (hay ac < 0)
∆ ≥ 0
(1) có hai nghiệm cùng dấu
⇔
P > 0
∆ > 0

(1) có hai nghiệm dương phân biệt ⇔ P > 0
S > 0
∆ > 0

(1) có hai nghiệm âm phân biệt
⇔ P > 0
S < 0
Chú ý: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm:
• Nếu nhẩm được: x1 + x2 = m+ n; x1x2 = mn thì phương trình có nghiệm x1 = m, x2 = n.
c
• Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = 1, x2 = .
a
c
• Nếu a − b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = −1, x2 = − .
a
4x1x2 = -1 : Đây là hệ thức cần tìm.
a. Chứng minh phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham
số m:

* Phương pháp giải:
• Lập biệt thức ∆ ' (hoặc ∆ ).
• Biến đổi ∆ ' đưa về dạng : ∆ ' = (A ± B)2 + c > 0, ∀ m (với c là một số dương)
• Kết luận: Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi tham số
m.
b. Chứng minh phương trình bậc hai luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m:
* Phương pháp giải:
• Lập biệt thức ∆ ' (hoặc ∆ ).
• Biến đổi ∆ ' đưa về dạng : ∆ ' = (A ± B)2 ≥ 0, ∀ m.
• Kết luận: Vậy phương trình đã cho luôn nghiệm với mọi tham số m.
c. Biện luận phương trình bậc hai theo tham số m:
* Phương pháp giải:
• Lập biệt thức ∆ ' (hoặc ∆ ).
• Biện luận:
+ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi: ∆ ' > 0 → giải bất pt → tìm tham số
m → kết luận.
+ Phương trình có nghiệm kép khi ∆ ' = 0 → giải pt → tìm tham số m → kết
luận.
+ Phương trình vô nghiệm khi ∆ ' < 0 → giải bất pt → tìm tham số m → kết luận.
+ Phương trình có nghiệm khi ∆ ' ≥ 0 → giải bất pt → tìm tham số m → kết
luận.
* Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi: a.c < 0 → giải bất pt → tìm tham số m → kết
luận.
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 HKII

Trang 8


Năm học: 2019 – 2020

7. Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
* Phương pháp giải:
• Đưa biểu thức P cần tìm về dạng: P = (A ± B)2 + c ⇒ P = (A ± B)2 + c ≥ c.
• Giá trị nhỏ nhất của P: Pmin = c khi A ± B = 0 → giải pt → tìm tham số m →
kết luận.
8. Xác định giá trị lớn nhất của biểu thức:
* Phương pháp giải:
• Đưa biểu thức Q cần tìm về dạng: Q = c – (A ± B)2 ⇒ Q = c – (A ± B)2 ≤ c
Giá trị nhỏ nhất của Q: Qmax = c khi A ± B = 0 → giải pt → tìm tham số m → kết luận.
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài tập 1: Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 3)x – 2m = 0 (1).
1. Giải phương trình (1) khi m = – 2.
2. CMR: Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
3. Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
HD: 1. Khi m = –2, ta có phương trình: x2 + 5x + 4 = 0, pt có a – b + c = 1 –5 + 4 = 0 ⇒
 x1 = − 1

c
4
 x2 = − = − = − 4

a
1

Vậy khi m = – 2, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 = –1, x2 = – 4.
2. ∆ = m2 + 2m + 9 = (m + 1)2 + 8 > 0, ∀m.
3. Hệ thức: 2S + P = – 6 ⇒ 2(x1 + x2) + x1x2 = – 6.
Bài tập 2: Cho phương trình bậc hai x2 – (m + 1)x + m = 0 (1).
1. Giải phương trình (1) khi m = 3.
2. CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.

3. Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Tìm hệ thức liên hệ giữa x 1, x2 không
phụ thuộc vào m.
HD: 1. Khi m = 3, ta có phương trình: x2 – 4x + 3 = 0, pt có a + b + c = 1 +(–4) + 3 = 0 ⇒
 x1 = 1

c 3 .
 x2 = = = 3

a 1

Vậy khi m = 3, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 = 1, x2 = 3.
2. ∆ = (m – 1)2 ≥ 0, ∀m.
3.
m > 1

• ĐK để pt (1) có 2 nghiệm phân biệt: (m – 1)2 > 0 ⇔ |m – 1| > 0 ⇔ 
.
m < 1
• Hệ thức: S – P = 1 ⇒ x1 + x2 – x1x2 = 1.
Bài tập 3 : Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (m là tham số) (1)
1. Giải phương trình (1) khi m = 2.
2. CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
3. Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ giữa x 1, x2 độc
lập với m.
1
2

HD: 1. Khi m = 2, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 = –1, x2 = − .
2. ∆ = (2m – 3)2 ≥ 0, ∀m.
3.

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 HKII

Trang 9


Năm học: 2019 – 2020

•


m >
2
⇔
⇔
ĐK để pt (1) có 2 nghiệm phân biệt: (2m – 3) > 0
|2m – 3| > 0

m <

Hệ thức: 2S + 4P = 1 ⇒ 2( x1 + x2) + 4 x1x2 = 1.

3
2
.
3
2

•
Bài tập 4 : Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – 3 = 0 (m là tham số) (1)

1. Giải phương trình (1) khi m = 5.
2. CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
3. Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ giữa x 1, x2 độc
lập với m.
4. Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu.
HD: 1. Khi m = 5, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 = 1, x2 = 7.
2. ∆ = (m – 2)2 ≥ 0, ∀m.
3.
m > 2

• ĐK để pt (1) có 2 nghiệm phân biệt: (m – 2)2 > 0 ⇔ |m – 2| > 0 ⇔ 
.
m < 2
• Hệ thức: S – P = 1 ⇒ x1 + x2 – x1x2 = 1.
3
4. Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu khi a.c < 0 ⇔ 1.(2m – 3) < 0 ⇒ m <

2

Bài tập 5 : Cho phương trình bậc hai x2 –2(m – 1)x + m2 = 0 (1).
1. Tìm m để:
a) Pt (1) có 2 nghiệm phân biệt.
b) Pt (1) có một nghiệm là – 2.
2. Giả sử x1, x2 là 2 nghiệm của pt (1). CMR: (x1 – x2)2 + 4(x1 + x2) + 4 = 0.
HD: 1a.
• Phương trình (1) có ∆ ' = 1 – 2m.
1
.
2
1b. Pt (1) có một nghiệm là – 2 khi: (– 2)2 –2(m – 1)(–2) + m2 = 0 ⇔ m2 + 4m = 0 ⇔

 m1 = 0
m = − 4.
 2

• Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi ∆ ' > 0 ⇔ 1 – 2m > 0 ⇔ m <

Vậy khi m = 0 hoặc m = – 4 thì pt (1) có một nghiệm là – 2.
 S = x1 + x2 = 2m− 2

2. Áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1): 

2
 P = x1x2 = m

Ta có: (x1 – x2)2 + 4(x1 + x2) + 4 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 + 4(x1 + x2) + 4
= (2m – 2)2 – 4m2 + 4(2m – 2) + 4
= 4m2 – 8m + 4 – 4m2 + 8m – 8 + 4 = 0 (đpcm).
Bài tập 6 :
Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + m – 4 = 0 (1).
1. Giải phương trình (1) khi m = –2.
2. CMR: ∀m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
3. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của pt (1). Chứng minh biểu thức:
A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) không phụ thuộc vào m.
HD: 1. Khi m = –2 ⇒ x1 = −1+ 7 ; x2 = −1− 7 .
2

1  19

2. ∆ ' = m + m + 5 =  m+ ÷ + > 0, ∀m.
2

4

2

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 HKII

Trang 10


Năm học: 2019 – 2020
 S = x1 + x2 = 2m+ 2
 P = x1x2 = m− 4

3. Áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1): 

Theo đề bài: A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) = x1 – x1x2 + x2 – x1x2 = (x1 + x2) – 2x1x2
= (2m + 2) – 2(m – 4) = 10.
Vậy A = 10 không phụ thuộc vào m.
Bài tập 7: Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + (2m – 4) = 0 (1).
1. Giải phương trình (1) khi m = – 2.
2. CMR: Với mọi m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
3. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của (1). Tính A = x12 + x22 theo m.
4. Tìm giá trị của m để A đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài tập 8: Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 1)x + 2m – 7 = 0 (1).
1. Giải phương trình (1) khi m = –1.
2. CMR: Với mọi m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
3. Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu.
4. Thiết lập mối quan hệ giữa 2 nghiệm x1, x2 không phụ thuộc và m.
5. Tìm m để x12 + x22 = 10.
HD: 1. Khi m = –1 ⇒ x1 = −1+ 10 ; x2 = −1− 10 .

2. ∆ = m2 – 10m + 29 = (m – 5)2 + 4 > 0, ∀m.

7
3. Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu khi a.c < 0 ⇔ 1.(2m – 7) < 0 ⇒ m < .
2

4. Hệ thức cần tìm: 2S – P =5 ⇒ 2(x1 +x2) – x1x2 = 5.
5. x12 + x22 = 10 ⇔ m2 – 6m + 5 = 0 ⇒ m = 1 hoặc m = 5.
Bài tập 9: Cho phương trình bậc hai x2 + 2x + 4m + 1 = 0 (1).
1. Giải phương trình (1) khi m = –1.
2. Tìm m để:
a) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
b) Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
c) Tổng bình phương các nghiệm của pt (1) bằng 11.
HD: 1. Khi m = –1 ⇒ x1 = 1 ; x2 = –3 .
2a. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi ∆ = –4m > 0 ⇒ m < 0.

1
2b. Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu khi a.c < 0 ⇔ 1.(4m + 1) < 0 ⇒ m < − .
4

2c. Tổng các bình phương hai nghiệm của pt (1) bằng 11 ⇔ x + x = 11 ⇔ (x1 + x2)2 –
2x1x2 = 11
2
1

2
2

9

⇔ 2 – 8m = 11 ⇔ m = − .
8

Bài tập 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số) (1).
a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép và tính nghiệm kép đó.
b) Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 hãy tìm hệ thức liên
hệ giữa các nghiệm x1, x2 mà không phụ thuộc m.
HD: a)
m = 3

a. Phương trình (1) có nghiệm kép ⇔ ∆ ' = 0 ⇔ m2 – 9 = 0 ⇔ 
.
m = − 3
m = 3

b'

b. Khi 
pt (1) có nghiệm kép x1 = x2 = − = m + 1.
a
m = − 3
c. Khi m = 3 ⇒ x1 = x2 = 4.
d. Khi m = – 3 ⇒ x1 = x2 = – 2 .
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 HKII

Trang 11


Năm học: 2019 – 2020

b)

• Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khi ∆ ' > 0 ⇔ m2 – 9 > 0 ⇔
m > 3
m < − 3 .


• Hệ thức: S – P = – 8 ⇒ x1 + x2 – x1x1 = – 8 hay: x1x1 – (x1 + x2) = 8.
III. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1. Phương trình trùng phương
Phương trình trùng phương là phương trình có dạng ax4 + bx2 + c = 0 ( a ≠ 0) .
Cách giải: Đặt t = x2 (t ≥ 0) , đưa về phương trình bậc hai at2 + bt + c = 0 .
2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
Cách giải: Thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức.
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thoả mãn điều kiện xác định,
các giá trị thoả mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.
3. Phương trình tích
A = 0
A.B = 0 ⇔ 
Phương trình tích là phương trình có dạng A.B = 0. Cách giải:
B = 0
4. Phương trình chứa căn thức
 g(x) ≥ 0
t = f (x), t ≥ 0
• f (x) = g(x) ⇔ 
• af (x) + b f (x) + c = 0 ⇔  2
2

at + bt + c = 0
 f (x) = g(x)
5. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Cách giải: Có thể dùng các phương pháp sau để bỏ giá trị tuyệt đối:
• Dùng định nghĩa hoặc tính chất giá trị tuyệt đối.
• Đặt ẩn phụ.

6. Phương trình dạng A2 + B2 = 0
Cách giải:

A = 0
A2 + B2 = 0 ⇔ 
B = 0

IV. HỆ PHƯƠNG TRÌNH
- Giải hệ phương trình cơ bản và đưa được về dạng cơ bản: Phương pháp thế, Phương pháp cộng,
Phương pháp đặt ẩn phụ.

ax + by = c , a ≠ 0
Cho hệ phương trình: 
a ' x + b ' y = c ', a ' ≠ 0
a
b
⇔
≠
• (D) cắt (D’) ⇔
a' b'
a
b
c

⇔
=
≠
• (D) // (D’) ⇔
a' b' c'
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 HKII

( D)
( D ')
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Hệ phương trình vô nghiệm.
Trang 12


Năm học: 2019 – 2020

• (D) ≡ (D’) ⇔

a
b
c
=
=
a' b' c'

⇔ Hệ phương trình có vô số nghiệm.

Dạng 1 : Giải hệ phương trình (PP cộng hoặc thế )
* Phương pháp cộng :
- Biến đổi hệ pt về dạng có hệ số của 1 ẩn bằng nhau hoặc đối nhau .

- Cộng (trừ) từng vế của 2 pt => PT bậc I một ẩn
- Giải PT 1 ẩn vừa tìm rồi tìm giá trị ẩn còn lại.
 2 x + 3 y = 6(1)
4 x + 6 y = 12(3)
⇔
 x − 2 y = 3(2)
 3 x − 6 y = 9(4)

1). 

Cộng từng vế của (3) và (4) ta được :
7x = 21 => x = 3
Thay x = 3 vào (1) => 6 + 3y = 6 => y = 0
Vậy ( x = 3; y = 0) là nghiệm của hệ PT
* Phương pháp thế :
- Từ 1 PT của hệ biểu thị x theo y (hoặc y theo x).
- Thay x (hoặc y) vào PT còn lại => PT bậc nhất 1 ẩn số .
- Giải PT 1 ẩn vừa tìm rồi tìm giá trị ẩn còn lại.
7 x − 2 y = 1(1)
3 x + y = 6(2)

2). 

Từ (2) => y = 6 – 3x (3)
Thế y = 6 – 3x vào phương trình (1) ta được :
7x – 2.(6 – 3x) = 1 => 13x = 13 => x = 1
Thay x = 1 vào (3) => y = 6 – 3 = 3
Vậy ( x = 1; y = 3) là nghiệm của hệ phương trình
Dạng 2 : Tìm tham số để hệ PT thoả đk của đề bài
 x + my = 5

(*)
 mx + 4 y = −10

1). Cho hệ phương trình: 

Với giá trị nào của m thì hệ phương trình :
- Vô nghiệm
- Vô số nghiệm .
Giải :

♣ Với m = 0 hệ (*) có 1 nghiệm là (x =5; y=
♣ Với m ≠ 0 khi đó ta có :
- Để hệ phương trình (*) vô nghiệm thì :

−5
)
2

1 m
5
= ≠
m 4 −10
 m2 = 4
 m = ±2
⇔
⇔ m = 2 (thoả)
<=> 
m
≠
−

2
−
10
m
≠
20



Vậy m = 2 thì hệ phương trình trên vô nghiệm
- Để hệ phương trình (*) có vô số nghiệm thì :
1 m
5
= =
m 4 −10
 m2 = 4
 m = ±2
⇔
⇔ m = −2 (thoả)
 m = −2
 −10m = 20

<=> 

Vậy m = - 2 thì hệ phương trình trên có vô số nghiệm
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 HKII

Trang 13

Nm hc: 2019 2020

2) Xỏc nh hờ s a; b hờ phng trỡnh :
2 x + by = 4
(I) cú nghiờm (x = 1; y = -2)

bx ay = 5

Gii :
Thay x = 1; y = -2 vo hờ (I) ta c :
2 2b = 4
2b = 6
b=3



b + 2a = 5
2 a + b = 5
2 a + 3 = 5
b=3

Vy a = -4 ; b = 3 thỡ hờ cú nghiờm
a = 4

BI TP VN DNG
x + y = m
Bi tõp 1: Cho hờ phng trỡnh
(1)
2 x my = 0
1. Gii hờ phng trỡnh (1) khi m = 1 .

2. Xỏc nh giỏ tr ca m :
a) x = 1 v y = 1 l nghiờm ca hờ (1).
b) Hờ (1) vụ nghiờm.
3. Tỡm nghiờm ca hờ phng trỡnh (1) theo m.
4. Tỡm m hờ (1) cú nghiờm (x, y) tha: x + y = 1.
HD: 1. Khi m = 1, h (1) cú nghim x = 1; y = 2.
2a) H (1) cú nghim x = 1 v y = 1 khi m = 2.
1
1
m
a
b
c

=
=

2b) H (1) vụ nghim khi:
.
2 m
0
a' b' c'
1
1
2 = m
m = 2


m = 2: H (1) vụ nghim.
m

0
1
m


2
0
2m
m2
3. H (1) cú nghim: x =
;y=
.
m+2
m+2
2m
m2
4. H (1) cú nghim (x, y) tha: x + y = 1
+
=1
m+2
m+2
m2 + m 2 = 0
a ẹK coự
nghieọ
m)
m = 1(thoỷ
.
m = 2(khoõ
ngthoỷ

a ẹK coự
nghieọ
m)

Vy khi m = 1, h( 1 cú nghim (x,y) tha: x + y = 1.
x + y = k + 2
Bi tõp 2: Cho hờ phng trỡnh
(1)
2 x + 4 y = 9 k
1. Gii hờ (1) khi k = 1.
2. Tỡm giỏ tr ca k hờ (1) cú nghiờm l x = 8 v y = 7.
3. Tỡm nghiờm ca hờ (1) theo k.
HD: 1. Khi k = 1, h (1) cú nghim x = 2; y = 1.
2. H (1) cú nghim x = 8 v y = 7 khi k = 3 .
5k 1
5 3k
3. H (1) cú nghim: x =
;y=
.
2
2
CNG ễN TP TON 9 HKII

Trang 14


Năm học: 2019 – 2020

x + y = 3
Bài tập 3: Cho hệ phương trình 

(1)
2 x − my = 1
1. Giải hệ phương trình (1) khi m = –7 .
2. Xác định giá trị của m để:
a) x = – 1 và y = 4 là nghiệm của hệ (1).
b) Hệ (1) vô nghiệm.
3. Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m.
HD: 1. Khi m = – 7, hệ (1) có nghiệm x = 4; y = – 1.
3
2a) Hệ (1) có nghiệm x = –1 và y = 4 khi m = − .
4
2b) Hệ (1) vô nghiệm khi: m = – 2.
3m +1
5
3. Hệ (1) có nghiệm: x =
;y=
.
m+2
m+2
mx − 2 y = −1
Bài tập 4: Cho hệ phương trình 
(1)
2 x + 3 y = 1
1. Giải hệ phương trình (1) khi m = 3 .
1
2
2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x = − và y = .
2
3
3. Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m.

1
5
HD: 1. Khi m = 3, hệ (1) có nghiệm x = − ; y =
.
13
13
1
2
2
2a) Hệ (1) có nghiệm x = − và y =
khi m = − .
2
3
3
2b) Hệ (1) vô nghiệm khi: m = –2.
−1
m+2
3. Hệ (1) có nghiệm: x =
;y=
.
3m + 4
3m + 4
x + y = 4
Bài tập 5 : Cho hệ phương trình 
(1)
2 x + 3 y = m
1. Giải hệ phương trình (1) khi m = –1.
x > 0
2. Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x; y) thỏa 
.

y < 0
HD: 1. Khi m = –1, hệ(1) có nghiệm: x = 13 và y = – 9.
2. Tìm:
• Nghiệm của hệ (1) theo m: x = 12 – m ; y = m – 8 .
x > 0
12 − m > 0
m < 12
⇒ 
⇔ 
⇔ m < 8.
• Theo đề bài: 
y < 0
m − 8 < 0
m < 8
2 x + y = 3m + 1
Bài tập 6: Cho hệ phương trình 
3 x + 2 y = 2m − 3
1. Giải hệ phương trình khi m = – 1.
x < 1
.
y < 6

2. Với giá trị nào của m thì hệ pt có nghiệm (x; y) thỏa 

HD: 1. Khi m = – 1 , hệ pt có nghiệm: x = 1 và y = – 4.
2. Tìm:
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 HKII

Trang 15

Nm hc: 2019 2020

Nghim ca h (1) theo m: x = 4m + 5 ; y = 9 5m .
x < 1
m < 1

3< m < 1.
Theo bi:
y
<
6
m
>

3


2mx + y = 5
mx + 3 y = 1

Bi tõp 7: Cho hờ phng trỡnh :

(1)

1. Gii hờ (1) khi m = 1.
2. Xỏc nh giỏ tr ca m hờ (1):
a) Cú nghiờm duy nht v tỡm nghiờm duy nht ú theo m.
b) Cú nghiờm (x, y) tha: x y = 2.
HD: 1. Khi m = 1, h (1) cú nghim: x = 2 ; y = 1.

2

x =
m
2a) Khi m 0, h (1) cú nghim:
y = 1


.

2
3

2b) m = .
mx 2 y = m
2 x + y = m + 1

Bi tõp 8 : Cho hờ phng trỡnh :

( m l tham s) (I).

a) Khi m = 2, gii hờ phng trỡnh bng phng phỏp cng.
b) Tớnh giỏ tr ca tham s m hờ phng trỡnh (I) cú nghiờm duy nht v tớnh

nghiờm duy nht ú theo m.
HD: a) Khi m = 2, h (I) cú nghim: x =

2
1
;y= .

3
3

b)
H (I) cú nghim duy nht khi m 4.
Khi ú h(I) cú nghim duy nht: x =

3m + 2
m 2 + 3m
;y =
m4
m4

V. GII BI TON BNG CCH
LP H PHNG TRèNH LP PHNG TRèNH
Cỏc bc gii:
1. Lp phng trỡnh ( hoc hờ phng trỡnh):
Chn n s v xỏc nh iờu kiờn thớch hp cho n;
Biu din cỏc ai lng cha bit theo n v qua cỏc ai lng ó bit ;
Lp phng trỡnh ( hoc hờ phng trỡnh) biu th mi quan hờ gia cỏc ai
lng
2. Gii phng trỡnh ( hoc hờ phng trỡnh) va lp c.
3. Tr li: Ch nhn nghiờm tha K v tr li yờu cu ca bi.
BAỉI TAP VAN DUẽNG

CNG ễN TP TON 9 HKII

Trang 16

Năm học: 2019 – 2020

Bài tập 1: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết
rằng chữ số hàng chục lớn hớn chữ số hàng đơn vị là 2 và nếu viết thêm chữ số bằng chữ số
hàng chục vào bên phải thì được một số lớn hơn số ban đầu là 682.
HD:
• Gọi x là chữ số hàng chục (x ∈ N, 0 < x ≤ 9).
• Gọi y là chữ số hàng đơn vị (y ∈ N, x ≤ 9)
• Số cần tìm có dạng xy = 10x + y
• Vì chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 nên ta có pt: x – y = 2
(1)
• Khi thêm chữ số bằng chữ số hàng chục vào bên phải thì được số mới: xyx =100x +10y
+ x = 101x +10y
• Vì số mới lớn hơn số ban đầu là 682 nên ta có phương trình:
(101x + 10y) – (10x + y) = 682 ⇔ 91x + 9y = 682 (2).
x − y = 2
• Từ (1) và (2) ta có hệ pt: 
91x + 9 y = 682
x = 7
• Giải hệ pt ta được 
(thỏa ĐK) ⇒ số cần tìm là 75.
y = 5
Bài tập 2: Có hai số tự nhiên, biết rằng: tổng của hai số bằng 59; hai lần số này bé hơn ba lần số
kia là 7. Tìm hai số đó.
HD:
• Gọi x, y là hai số cần tìm (x, y ∈ N)
 x + y = 59
 x + y = 59
⇔
• Theo đề bài ta có hệ pt: 

2 x + 7 = 3 y
2 x − 3 y = − 7
 x = 34
• Giải hệ ta được: 
(thỏa ĐK) ⇒ hai số cần tìm là 34 và 25.
y
=
25

Bài tập 3: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Cho một số tự nhiên có hai chữ số.
Tổng của hai chữ số của nó bằng 10; tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 12. Tìm số đã cho.
HD:
• Gọi x là chữ số hàng chục của số đã cho (x ∈ N, 0 < x ≤ 9)
• Chữ số hàng đơn vị: 10 – x
• Số đã cho có dạng: 10.x + (10 – x) = 9x + 10
• Tích của hai chữ số ấy: x(10 – x)
• Theo đề bài ta có phương trình: (9x + 10) – x(10 – x)= 12 ⇔ x2 – 2 = 0
• Giải pt trên ta được: x1 = –1( loại); x2 = 2 (nhận)
• Vậy số cần tìm là 28.
Bài tập 4: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một hình chữ nhật có chu vi là 280m.
Nếu giảm chiều dài của hình chữ nhật 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích của nó tăng
thêm 144m2. Tính các kích thước của hình chữ nhật.
HD:
• Nửa chu vi hình chữ nhật:
•
•
•
•

280

= 140 (m).
2

Gọi x (m) là chiều dài của hình chữ nhật (0 < x < 140).
Chiều rộng của hình chữ nhật là 140 – x (m).
Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là x(140 – x) (m2).
Khi giảm chiều dài của hình chữ nhật 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì hình chữ nhật
mới có diện tích: (x – 2)[(140 – x) + 3] = (x – 2)(143 – x) (m2)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 HKII

Trang 17


Năm học: 2019 – 2020

•

2

Vì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 144m nên ta có phương trình:
(x – 2)(143 – x) – x(140 – x) = 144 ⇔ 5x = 430 ⇔ x = 86 (thỏa ĐK)
• Vậy hình chữ nhật có chiều dài 86m và chiều rộng là: 140 – x = 140 – 86 = 54 (m).
Bài tập 5: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi
là 320m. Nếu chiều dài của khu vườn tăng 10m và chiều rộng giảm 5m thì diện tích của nó tăng
thêm 50m2. Tính diện tích của khu vườn ban đầu.
HD:
• Chiều dài là 100m và chiều rộng là 60m.
• Diện tích khu vườn: 6 000 m2.
Bài tập 6: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một hình chữ nhật có chu vi 160cm và

có diện tích 1500m2. Tính các kich thước của nó.
HD:
• Nửa chu vi hình chữ nhật:

160
= 80 (m).
2

• Gọi x (m) là một kích thước của hình chữ nhật (0 < x < 80).
• Kích thước còn lại của hình chữ nhật là 80 – x (m).
• Diện tích của hình chữ nhật là x(80 – x) (m2).
• Vì diện tích hình chữ nhật là 1500m2 nên ta có phương trình:
x(80 – x) = 1500 ⇔ x2 – 80x + 1500 = 0
• Giải pt trên ta được: x1 = 30 (nhận); x2 = 50 (nhận).
• Vậy hình chữ nhật có các kích thước là 30m và 50m.
Bài tập 7: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Một sân trường hình chữ nhật có
chu vi là 340m. Ba lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 20m. Tính diện tích của sân trường.
HD:
• Gọi x, y (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng sân trường ( 0 < x, y < 170)
• Vì sân trường có chu vi 340m nên ta có phương trình: 2(x + y) = 340 ⇔ x + y = 170
(1).
• Vì ba lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 20m nên ta có pt: 3x – 4y = 20 (2).
 x + y = 170
• Từ (1) và (2) ta có hệ pt: 
3 x − 4 y = 20
 x = 100
• Giải hệ pt ta được 
(thỏa ĐK).
 y = 70
Bài tập 8: Cho một tam giác vuông. Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 4cm và 5cm thì diện tích

tam giác sẽ tăng thêm 110cm2. Nếu giảm cả hai cạnh này đi 5cm thì diện tích sẽ giảm đi
100cm2. Tình hai cạnh góc vuông của tam giác.
HD:
• Gọi x (cm), y (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông (x > 5, y > 5).
5 x + 4 y = 200
• Theo đề bài ta có hệ pt: 
 x + y = 45
 x = 20
Giải hệ pt ta được 
(thỏa ĐK).
 y = 25
• Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 20cm và 25cm.
Bài tập 9: Cho tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5cm, diện tích bằng 6cm 2. Tìm độ dài các
cạnh góc vuông.
HD:
• Gọi x (cm), y (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông (0 < x, y < 5).
•

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 HKII

Trang 18


Năm học: 2019 – 2020

• Vì tam giác có cạnh huyền 5cm nên ta có pt: x + y = 25 (1).
2

• Vì tam giác có diện tích 6cm2 nên ta có pt:

2

1
xy = 6 ⇔ xy = 12 (2).
2

 x 2 + y 2 = 25
( x + y )2 − 2 xy = 25
⇔
• Từ (1) và (2) ta có hệ pt: 

 x . y = 12
 x . y = 12
( x + y ) 2 = 49
x + y = 7
( vì x, y > 0)
⇔
⇔
x
.
y
=
12
x
.
y
=
12



x = 3
x = 4
• Giải hệ pt ta được 
hoặc 
(thỏa ĐK).
y = 4
y = 3
• Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 3cm và 4cm.
Bài tập 10: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào một
cái bể không có nước trong 4 giờ 48 phút sẽ đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất trong 3 giờ và vòi thứ
hai trong 4 giờ thì được

3
bể nước. Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu thì mới đầy bể?
4

HD:
• Gọi x (h), y (h) lần lượt là thời gian vòi 1, vòi 2 chảy riêng đầy bể ( x > 3, y > 4).
1
(bể).
x
1
Trong 1h, vòi 2 chảy được:
(bể).
y

• Trong 1h, vòi 1 chảy được:
•

• Vì hai vòi nước cùng chảy trong 4 giờ 48 phút =

24
h sẽ đầy bể nên trong 1h hai vòi
5

cùng chảy được
1
5
1
5
bể, do đó ta có pt: +
=
(1).
y
24
x
24

• Vì vòi thứ nhất trong 3 giờ và vòi thứ hai trong 4 giờ thì được
+

3
3
bể nước nên ta có pt:
4
x

4
3
= (2).

y
4

5
1 1
 x + y = 24

• Từ (1) và (2) ta có hệ pt: 
(I)
3
4
3
 + =
 x y
4
5

u+ v =

1

1
24
• Đặt u = , v = , hệ (I) trở thành: 
(II).
y
x
3u + 4v = 3

4

1
1 1

 x = 12
u = 12
 x = 12
⇒ 
⇒ 
• Giải hệ (II), ta được: 
(thỏa ĐK).
1
1
1
y
=
8

v =
 =

 y 8
8
• Vậy: Vòi 1 chảy riêng đầy bể trong 12h, vòi 2 chảy riêng đầy bể trong 8h.
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 HKII

Trang 19


Năm học: 2019 – 2020

Bài tập11: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào một
cái bể không có nước trong 1 giờ 20 phút thì đầy bể. Nếu để vòi thứ nhất chảy một mình trong
10 phút và vòi thứ hai chảy một mình trong 12 phút thì chỉ được

2
thể tích của bể nước. Hỏi
15

mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu sẽ đầy bể?
HD: Vòi 1 chảy riêng đầy bể trong 120 phút = 2h, vòi 2 chảy riêng đầy bể trong 240 phút =
4h.
Bài tập 12: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào một
4
giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ
5
6
sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau giờ nữa mới bể nước. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi
5

cái bể cạn (không có nước) thì sau 4

thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể?
HD:
• Gọi x (h), y (h) lần lượt là thời gian vòi 1, vòi 2 chảy riêng đầy bể ( x > 9, y >

6
).
5

1

(bể).
x
1
Trong 1h, vòi 2 chảy được:
(bể).
y

• Trong 1h, vòi 1 chảy được:
•

• Vì hai vòi nước cùng chảy trong 4

4
24
giờ =
h sẽ đầy bể nên trong 1h hai vòi cùng
5
5

5
bể,
24
1
1
5
do đó ta có pt: +
=
(1).
y
x

24

chảy được

• Vì lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau
mới bể nước nên ta có pt:

6
giờ nữa
5

61 1 
9
+  + ÷ = 1 (2).
5 x y 
x

1
5
1
+
=
x
y
24

• Từ (1) và (2) ta có hệ pt: 
(I)
9 + 6  1 + 1  = 1
 x 5  x y ÷


5
5


u+ v =
u+ v =


1


1
24
24
⇔
• Đặt u = , v = , hệ (I) trở thành: 
(II).
y
x
9u + 6 ( u + v ) = 1
 51 u + 6 v = 1

 5
5
5
1
1 1

 x = 12

u = 12
 x = 12
⇒ 
⇒ 
• Giải hệ (II), ta được: 
(thỏa ĐK).
1
1
1
y
=
8

v =
 =

 y 8
8
• Vậy: Vòi 2 chảy riêng đầy bể trong 8h.
Bài tập13: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể
cạn chưa có nước thì sau 18 giờ đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất sẽ chảy đầy bể chậm
hơn vòi thứ hai 27 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi mất bao lâu mới chảy đầy bể?
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 HKII

Trang 20


Năm học: 2019 – 2020

HD:

• Gọi x (h) là thời gian vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể (x > 27).
• Thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể: x – 27 (h).
1
(bể).
x
1
Mỗi giờ vòi thứ hai chảy được
(bể).
x − 27

• Mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được
•

• Vì hai vòi cùng chảy thì sau 18 h bể đầy, nên trong 1h hai vòi cùng chảy được

1
bể, do
18

đó nên ta có pt:
1
1
1
⇔ x2 – 63x + 486 = 0.
+
=
x
x − 27 18

• Giải pt trên ta được: x1 = 54 (nhận); x2 = 9 (loại).

• Vậy: Vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể trong 542h, vòi thứ hai chảy riêng đầy bể trong 27h.
Bài tập 14: (HK II: 2008 – 2009 _ Sở GD&ĐT Bến Tre):
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A và B cách nhau 90 km. Hai mô tô
khởi hành đồng thời, xe thứ nhất từ A và xe thứ hai từ B đi ngược chiều nhau. Sau 1 giờ chúng
gặp nhau. Tiếp tục đi, xe thứ hai tới A trước xe thứ nhất tới B là 27 phút. Tính vận tốc mỗi xe.
HD:
• Gọi x, y là vận tốc của xe I và xe II (x, y > 0).
• Sau một giờ hai xe gặp nhau nên tổng quãng đường hai xe đi được bằng đoạn đường AB,
do đó ta có pt: x + y = 90 (1).
90
(h).
x
90
Thời gian xe II đi hết đoạn đướng AB:
(h).
y
90
9
9
90
Vì xe II tới A trước xe I tới B là 27 phút =
h nên ta có pt:
–
=
(2)
y
x
20
20
 y = 90 − x (a )

 x + y = 90


10
1
Từ (1) và (2) ta có hệ pt:  90 90 9 ⇔ 10
.
 x − y = 20
 x − 90 − x = 20 (b)



• Thời gian xe I đi hết đoạn đướng AB:
•
•
•

• Giải pt (b)ta được: x1 = 40(nhận) ; x2 = 450 (loại).
• Thế x = 40 vào (a) ⇒ y = 50 (nhận).
Vậy:
• Xe I có vận tốc: 40 km/h.
• Xe II có vận tốc: 50 km/h.
Bài tập 15: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A và B cách nhau 110 km.
Hai mô tô khởi hành đồng thời, xe thứ nhất từ A và xe thứ hai từ B đi ngược chiều nhau. Sau 2
giờ chúng gặp nhau. Tiếp tục đi, xe thứ hai tới A trước xe thứ nhất tới B là 44 phút. Tính vận tốc
mỗi xe.
HD:
• Gọi x, y là vận tốc của xe I và xe II (x, y > 0).
• Sau 2 giờ hai xe gặp nhau nên tổng quãng đường hai xe đi được bằng đoạn đường AB,
do đó ta có pt: 2x +2y =110 (1).

• Thời gian xe I đi hết đoạn đướng AB:

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 HKII

110
(h).
x

Trang 21


Năm học: 2019 – 2020
110
(h).
y
110
11
11
110
Vì xe II tới A trước xe I tới B là 44 phút =
h nên ta có pt:
–
=
(2)
y
x
15
15
( a)
 y = 55 − x

 2x + 2y = 110


⇔ 110
110
11
Từ (1) và (2) ta có hệ pt: 110 110 11
.
 x − y = 15
 x − 55 − x = 15 (b)



• Thời gian xe II đi hết đoạn đướng AB:
•
•

• Giải pt (b)ta được: x1 = 25(nhận) ; x2 = (loại).
• Thế x = 25 vào (a) ⇒ y = (nhận).
Vậy:
• Xe I có vận tốc: 40 km/h.
• Xe II có vận tốc: 50 km/h.

HÌNH HỌC
A. LÝ THUYẾT:
I. ĐƯỜNG TRÒN :
1. Tiếp tuyến :

a là tiếp tuyến  a ⊥ OA tại A
2. Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau:

MA; MB làtiếp tuyến
 MA = MB
¶
¶
=>  M
1 = M2
 µ ¶
 O1 = O2

3. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn :
Vị trí tương đối
Đường thẳng và đường tròn cắt nhau

Số điểm chung
2

Hệ thức giữa d & R
d
(OH = d)
Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau

(OH = d)
Đường thẳng và đường tròn không giao nhau
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 HKII

1

d=R

0

d>R
Trang 22


Năm học: 2019 – 2020

(OH = d)
4.Vị trí tương đối của hai đường tròn:
Vị trí tương đối
1). Hai đường tròn cắt nhau :

Số điểm chung

Hệ thức giữa d & R

2

R – r < OO’ < R + r

1

OO’ = R + r
OO’ = R – r > 0

0

OO’ > R + r

OO’ < R – r
OO’ = 0

OO’ là trung trực của AB

2). Hai đường tròn tiếp xúc nhau :

Ba điểm O; A; O’ thẳng hàng

3). Hai đường tròn không giao nhau :

Ngoài nhau
tâm

Đựng nhau

Đồng

II. GÓC VÀ ĐƯỜNG TRÒN:
Định nghĩa – Định lý - Hệ quả
1. Góc ở tâm:
Trong một đường tròn, số đo của góc ở tâm bằng số
đo cung bị chắn

Ký hiệu toán học
(O,R) có:
·AOB ở tâm chắn ¼
AmB ⇒ ·AOB = sđ
¼
AmB

2. Góc nội tiếp:
(O,R) có:
·
»
* Định lý: Trong một đường tròn, số đo của góc BAC
nội tiếp chắn BC
nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
1 »
·
⇒ BAC
= sđ BC
.
2

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 HKII

Trang 23


Nm hc: 2019 2020

* H qu: Trong mt ng trũn:
(O,R) cú:
a) Cỏc gúc ni tip bng nhau chn cỏc cung bng
ã
ằ
BAC
n.tieỏ
p chaộ

n BC
nhau.

ã
ằ
EDF
n.tieỏ
p chaộ
n EF


ã
ã
BAC
= EDF



ằ = EF
ằ
BC

b) Cỏc gúc ni tip cựng chn mt cung hoc chn (O,R) cú:
cung bng
ã cỏc
ằ nhau
thỡ bng nhau.
BAC
n.tieỏ
p chaộ

n BC
ã
ã
BAC = BDC
ã
ằ
BDC
n.tieỏ
p chaộ
n BC


ã
ằ
BAC
n.tieỏ
p chaộ
n BC

ã
ằ
EDF
n.tieỏ
p chaộ
n EF
ã
ã
BAC = EDF
ằ = EF
ằ

BC



(O,R) cú:

c) Gúc ni tip (nh hn hoc bng 900) cú s o (O,R) cú:
bng na s o ca gúc tõm cựng chn mt cung.

ã
ằ
BAC
n.tieỏ
p chaộ
n BC
1ã
ã
BAC = BOC
ã
ằ
2
BOC
ụỷtaõ
m chaộ
n BC


CNG ễN TP TON 9 HKII

Trang 24


Năm học: 2019 – 2020

d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vng.

O,R) có:
·
nội tiếp chắn nửa đường tròn
BAC
·
đường kính BC ⇒ BAC
= 900.

3. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung:
(O,R) có:
·
* Định lý: Trong một đường tròn, số đo của góc BAx
tạo bởi tia tiếp tuyến và dây
tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo
1
·
cung chắn »AB ⇒ BAx
= sđ »AB .
của cung bị chắn.
2

* Hệ quả: Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia (O,R) có:
tuyến và dây »cung và góc nội tiếp cùng chắn

· tiếpo bở

BAxtạ
i tt &thì
dcchắ
nAB
·
·
một cung
bằng
nhau.
 ⇒ BAx = ACB
·ACBnộ
»
i tiế
pchắ
n AB



4. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn:
(O,R) có:
·
* Định lý: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn BEC
có đỉnh bên trong đường tròn
bằng nửa 1
tổng số đo hai cung bị chắn.
·
» + sđ AD
» )

⇒ BEC
= (sđBC
2

ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP TỐN 9 HKII

Trang 25